ToanDe thi thu chuyen Nguyen Hue lan 4 2012 khoiAB

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (232.08 KB, 6 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số: y = x3 3mx + 22 (1), m là tham số
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.

2. Tìm m để đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) tạo với các trục tọa độ
một tam giác có diện tích bằng 4.

Câu II: (2,0 điểm)

1. Giải phương trình: 3 cot2 x2 2 sin2 x(2 3 2 ) cos x
2. Giải phương trình: 3 2 6 3 7

x

x  x  

Câu III: (1,0 điểm) Tính tích phân
1

2
1

3 9 1

x

dx
x x 



Câu IV: (1,0 điểm) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a, SA = a,

SB = a 3 , BAD = 60 0 và mp(SAB) vng góc với mặt đáy. Gọi M, N là trung điểm của AB,
BC. Tính thể tích tứ diện NSDC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM và DN.
Câu V: (1,0 điểm) Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức:

3 3 3

x y z

P x y z

y z x

     

      

  

     

Câu VI (2,0 điểm)

1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm cạnh BC là M(3,2),
trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt là G(2 2,

3 3) và I(1,-2). Xác

định tọa độ đỉnh C.

2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1 1 1

2 1 1

x y z

d      , điểm
A (1,4,2) và mặt phẳng (P): 5x – y + 3z – 7 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua A,

nằm trong mp(P) biết rằng khoảng cách giữa d và  bằng 2 3.

Câu VII (1,0 điểm) Cho hai số phức z , z1 2 thỏa mãn i.z1 2 0,5 và z = i.z2 1. Tìm giá trị
nhỏ nhất của z1z2

---Hết---

Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm 
Họ và tên:………..SBD:………
TRƯỜNG THPT

CHUN

NGUYỄN HUỆ

KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ TƯ NĂM HỌC 2011 – 2012

ĐỀ THI MƠN: TỐN

KHỐI A,B

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

TRƯỜNG THPT 
CHUYÊN 
NGUYỄN HUỆ

HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ TƯ 
 NĂM HỌC 2011 – 2012

ĐỀ THI MÔN: TOÁN KHỐI A, B

CÂU NỘI DUNG ĐIỂM

m = 1  y = x3 3x + 22
a) TXĐ: R

b) Sự biến thiên:

*) Giới hạn: lim ; lim

xy  xy  0,25

*) Chiều biến thiên:

2 x = 0

x = 2

y' = 3x 6x ; y' = 0 



 

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-; 0) và (2; + ), hàm số nghịch biến trên (0; 2)
Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ= 2; hàm số đạt tiểu tại x = 2, yCT= - 2

0,25

BBT x - 0 2 +
f’(x) + 0 - 0 +

f(x) 2 +

- -2 0,25 
I-1

(1điểm
)

c) Đồ thị:

5
4

-2

-4

O 2

0,25

3 2

y = x  3mx + 2 y' = 3x2 6mx ; x = 0

x = 2m

y' = 0 





Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị  y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt  m  0 0,25 
I-2

(1điểm
)

Với m  0 thì đồ thị hàm số (1) có tọa độ 2 điểm cực trị là: A(0; 2) và

B(2m;-4m3+2)

Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị A, B là:
2

x y 2

= 2m x + y 2 = 0

2m - 4m



</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

AB cắt Ox tại C 12;0
m

 

 

 

, cắt Oy tại A(0; 2)

Đường thẳng qua 2 điểm cực trị tạo với các trục tọa độ tam giác OAC vng tại O ta
có: SOAC= OA.OC = .2.1 1 12 = 12

2 2 m m 0,25

Yêu cầu bài toán thỏa mãn 12 = 4 m 1

= ±

  (thỏa mãn m  0).

Vậy m 1

= ±

0,25

Điều kiện : x  k

Phương trình tương đương: 3cosx( 2
sin

cos

2 
x
x

) = 2(cosx - 2sin2x) 0,25

 (cosx - 2sin2x)(3cosx – 2sin2x) = 0  









0
2
cos
3
cos
2
0
2
cos
cos
2
2
2
x
x
x
x
0,25

co s 2 ( )

2
c o s

c o s 2 ( )

1
c o s

x lo a i

x

x lo a i
x
  




 
 





0,25
II-1 
(1 
điểm)

Kết hợp với đ/k suy ra pt có nghiệm: x =  2

4 k

 & x =  2

3 k

 0,25

2 7 2 1 1

3 6 3 ( 1) 2 ( 1) 2

3 3 3

x

x  x    x   x  , x 7

Đặt

1
1

( 1) 2 ( 0)
3

u x

v x v

 



   



ta có hệ phương trình:
2
2
1
2
3
1
2
3
u v
v u

 



  



0,25


2 2 2

2 2

( )[3( ) 1] 0

3 6 3( ) 0

3 6

3 6 3 6

u v u v

u v u v u v

u v

v u u v

   
        
 
 
  

 
   
  
 

2
0
3 6
u v
u v
 


 

hoặc
2

3( ) 1 0
3 6
u v
u v
  


 

0,25
2 2
1 73

(lo¹i)
0 6

3 6 3 6 0 1 73

u

u v u v

u v u u

u
 


  
 

 
 
      
 



2
2

1 1 69

3( ) 1 0 3 6

3 6 3 0 1 69

(lo¹i)

3 6

v u u

u v

u u u

  

    

  
  
 
 
    
     



 
0,25
II-2 
(1 
điểm)

+ Với 1 3 7 1 73 1 73 5

6 6 6

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

+ Với 1 69 1 69 1 69 7

6 6 6

u  x      .

1 1 1 1

2 2 2

1 1 1 1

3 3 3 3

(3 9 1) 3 9 1

3 9 1

x

I dx x x x dx x dx x x dx

x x

      

 



0,25

2 3

1
1

3
1

26

3

27 I





x dx



x



0,25

1 1 3

2 2 2 2 2

1 1

3 3

1 1 16 2

9 1 9 1 (9 1) (9 1)

18 27 27

I 



x x  dx



x  d x   x   0,25

III 
(1 
điểm)

Vậy 26 16 2

I   0,25

Từ giả thiết có AB = 2a, SA = a,

SB = 3, tam giác ASB vuông tại S suy ra

AB

SM  a do đó tam giác SAM đều.
Gọi H là trung điểm AM thì

SHAB. Mặt khác (SAB)(ABCD) nên
suy ra SH (ABCD)

N

M
B

A
S

C

D
H

Q
K

0,25

2 3

1 1 1 1 3 1 4 3

. . . .

3 3 2 3 2 2 4 4

NSDC SNDC DNC BDC

a a a

V V  SH S  SH S   0,25

Gọi Q là điểm thuộc đoạn AD sao cho AD = 4 AQ khi đó MQ//ND nên

 

(SM DN, )(SM QM, ). Gọi K là trung điểm MQ suy ra HK//AD nên HKMQ
Mà SH(ABCD), HKMK suy ra SKMQ suy ra (SM DN, )(SM QM, )SMK

0,25
IV

(1 
điểm)

Trong tam giác vuông SMK: 

1 1 1

3
3

2 4 4

MQ DN a

MK
c SMK

SM a a a

     0,25

V 
(1 điểm)

ĐỈt x = a2,yb z2, c2. Do xy z 3suy ra a2b2c23 .

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của

3 3 3

2 2 2

3 3 3

a b c

P

b c a

  

  

.
Áp dụng Bất đẳng thức Trung bình cộng – trung bình nhân có:

3 3 2 6 2

2 2

3 3

16 64 4

2 3 2 3

a a b a a

b b



   

  (1)

3 3 2 6 2

2 2

3 3

16 64 4

2 3 2 3

b b c c c

c c



   

  (2)

3 3 2 6 2

2 2

3 3

16 64 4

2 3 2 3

c c a c c

a a



   

 

(3)

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Cộng theo vế ta được:





2 2 2

2 2 2
9 3

16 4

a b c

P     a b c (4) 0,25

Vì a2+b2+c2=3

Từ (4) 3

P

  vậy giá trị nhỏ nhất 3

P khi a = b = c =1 x = y = z = 1

0,25

7 4
(2;4), ;

3 3

IM GM  

 

 

Gọi A(xA; yA). Có AG2GM

 

 A(-4; -2).

0,25

Đường thẳng BC đi qua M nhận vec tơ IM



làm vec tơ pháp tuyến nên có PT:

2(x - 3) + 4(y - 2) = 0  x + 2y - 7 = 0. 0,25

Gọi C(x; y). Có C  BC  x + 2y - 7 = 0.

Mặt khác IC = IA  (x1)2(y2)2  25(x1)2(y2)225. 0,25

VI- 1 
(1 điểm)

Tọa độ C là nghiệm của hệ phương trình:

2 2

2 7 0

( 1) ( 2) 25

x y

  




   



Giải hệ phương trình ta tìm được 5

x
y








và 1

x
y








.
Vậy có 2 điểm C thỏa mãn là C(5; 1) và C(1; 3).

0,25

Gọi (Q) là mặt phẳng qua d và cách A(1,4,2) một khoảng 2 3.

(Q) qua N(1, -1, 1) thuộc d nên có phương trình: a(x-1) + b(y+1) +c(z-1) = 0 (1)
Do (Q) qua N’(1, -1, 1) thuộc d nên 2a + b + c =0 hay c = - 2a – 2b (2)

0,25

2 2 2 2
( ,( )) 2 2 2

2 2 2

(1 1) (4 1) (2 1)

2 3 2 3 (5 ) 12( )

12 13 11 10 0 (3)

A Q

a b c

d b c a b c

a b c

a b c bc

    

       

 

    

Thay (2) vào (3) có 7a28ab b 2 0. Chọn b = 1 được a = -1 hoặc a = 1

7


0,25

Với b = 1 , a = -1 thì (Q) có phương trình: x – y – z – 1 = 0

Đường thẳng  qua A và song song với giao tuyến của (P) và (Q) có VTCP

1 1 1 1 1 1

, , 4(1, 2, 1)

1 3 3 5 5 1

u       

 

 



nên  có phương trình:

1 4 2

1 2 1

x y z

 



0,25
VI-2

(1 điểm)

Với b = 1 , a = 1

7


thì (Q) có phương trình: x –7y +5z – 13 = 0

Đường thẳng  qua A và song song với giao tuyến của (P) và (Q) có VTCP

( 8,11,17)

u  nên  có phương trình: 1 4 2

8 11 17

x y z

 



0,25

Đặt z1x1iy x y1( ,1 1R)

Khi đó điểm M( ,x y1 1) biểu diễn z1,

2 2

1 1 1 1 1

i.z  2 0, 5 i.x y  2 0,5x (y  2 ) 0, 25

Suy ra tập hợp các điểm M biểu diễn z1 là đường tròn (C1) tâm O1(0, 2) bán kính

R1=0,5.

0,25
VII.

(1 điểm)

2 1 1 1

z iz  y x i Suy ra N (- y1 , x1) biểu diễn z2

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Ta cần tìm M thuộc (C1) để z1z2 MN nhỏ nhất
Để ý rằng OM x y( ,1 1)ON(y x1, )1

 

và OM = ON nên MN = 2 .OM 0,25

MN đạt giá trị nhỏ nhất khi OM nhỏ nhất . Đường thẳng OO1 đường tròn (C1) tại
M1(0, 2 1

 ) và M2(0,

1
2

 ). Dễ thấy MN nhỏ nhất bằng 2 1
2

 khi M trùng

M1(0, 2 1
2

 ) tức là 1 ( 2 1)
2

z   i

</div>

ToanDe thi thu chuyen Nguyen Hue lan 4 2012 khoiAB



= ±

= ±









26

3

27

<i>I</i>



<sub></sub>

<i>x dx</i>



<i>x</i>



<sub></sub>

<sub></sub>





Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về