Phát triển tư duy toán học cho học sinh thông qua bài toán ứng dụng hàm số trong hệ phương trình

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI :
PHÁT TRIỂN TƯ DUY TOÁN HỌC CHO HỌC SINH
THƠNG QUA BÀI TỐN ỨNG DỤNG HÀM SỐ
TRONG HỆ PHƯƠNG TRÌNH
MƠN : TỐN

Tháng 3 năm 2021


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI :
PHÁT TRIỂN TƯ DUY TỐN HỌC CHO HỌC SINH
THƠNG QUA BÀI TỐN ỨNG DỤNG HÀM SỐ
TRONG HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Mơn
: Tốn
Tác giả : Nguyễn Thị Thắng
Tổ
: Toán –Tin

Thực hiện năm: 2020-2021
Số điện thoại : 0973 855 719


MỤC LỤC
Trang

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
1
I. Lý do chọn đề tài
1
II. Mục đích nghiên cứu
1
III. Đối tượng nghiên cứu
2
IV. Kế hoạch nghiên cứu
2
V. Phương pháp nghiên cứu
2
PHẦN II-NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
3
I-Thực trạng vấn đề khi áp dụng
3
II- Kết quả đạt được và kinh nghiệm rút ra
3
III-Khả năng ứng dụng và triển khai kết quả
3
IV-Cơ sở lý luận
3
V-Nội dung đề tài
6
1. Bài tốn tổng qt về hệ phương trình sử dụng phương 6
pháp hàm số
2. Bài toán liên quan đến hệ phương trình sử dụng phương 7
pháp hàm số
3. Một số bài toán cụ thể
7

4. Một số bài toán tự luyện
34
I-Những kết luận
41
II-Những kiến nghị đề xuất
41
Danh mục tham khảo
43


PHẦN I-ĐẶT VẤN ĐỀ
I-LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Theo chương trình giáo dục phổ thơng tổng thể : “Giáo dục tốn học hình
thành và phát triển cho học sinh những phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và
năng lực toán học với các thành tố cốt lõi: năng lực tư duy và lập luận tốn học,
năng lực mơ hình học tốn học, năng lực giải quyết vấn đề toán học, năng lực
giao tiếp tốn học, năng lực sử dụng các cơng cụ và phương tiện học toán; phát
triển kiến thức, kĩ năng then chốt và tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, áp
dụng toán học vào đời sống thực tiễn, giáo dục toán học tạo dựng sự kết nối giữa
các ý tưởng toán học, giữa toán học với các mơn học khác và giữa tốn học với
đời sống thực tiễn’’.
Trong quá trình giảng dạy, trải qua nhiều phương pháp dạy học tôi luôn trăn
trở làm thế nào để nâng cao chất lượng dạy và học. Tôi cảm thấy cần làm cho học
sinh phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo để hình thành và phát triển phẩm
chất năng lực trong tốn học. Để làm được điều đó mỗi giáo viên cần biết tích lũy
chun mơn về các phương pháp, kĩ thuật dạy học mới phù hợp với nhận thức của
học sinh. Quán triệt tinh thần “lấy học sinh làm trung tâm” giáo viên hướng dẫn để
các em đạt được những năng lực phẩm chất mà yêu cầu đặt ra, phù hợp với từng cá
nhân học sinh.
Thông qua dạy học nội dung giải hệ phương trình học sinh cần hình thành và

phát triển năng lực tư duy lập luận toán học và năng lực giải quyết vấn đề. Trong
giải hệ phương trình có một lớp bài tốn giải hệ phương trình bằng ứng dụng hàm
số là lớp bài tốn khó đối với học sinh. Vì vậy, tơi chọn cho đề tài sáng kiến kinh
nghiệm của mình là:
“Phát triển tư duy tốn học cho học sinh thơng qua bài tốn ứng dụng hàm số
trong hệ phương trình”
II-MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.
Khai thác những khó khăn và thuận lợi khi gặp bài tốn giải hệ phương trình
sử dụng phương pháp hàm số và một số bài tốn mở rộng tìm tham số để m để hệ
có nghiệm, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức.
Phát triển năng lực toán học cho học sinh như: Năng lực tư duy lập luận,
năng lực giải quyết vấn đề, năng lực mơ hình hóa tốn học, năng lực sử dụng cơng
cụ và phương tiện học toán phù hợp.
Rèn luyện phẩm chất chăm chỉ, trung thực và trách nhiệm cho học sinh trong
học toán.
Đặc biệt giúp học sinh lớp 12 có thêm tài liệu ơn thi tốt nghiệp, đại học, thi
học sinh giỏi cấp tỉnh và giáo viên có thêm tài liệu tham khảo giảng dạy.
1


III-ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.
Học sinh lớp 12.
Giáo viên bậc THPT.
IV-KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU.
Trong quá trình giảng dạy nhiều lớp và nhiều đối tượng khác nhau, tìm hiểu
những khó khăn học sinh gặp phải, trao đổi với các thầy cô cùng chun mơn trong
nhóm tốn trên diễn đàn, trong tổ tốn của trường .
Đề tài được thực hiện trong năm 2020-2021 với kế hoạch cụ thể như sau:
TT

Thời gian

Nội dung công việc

Sản phẩm

1

Từ 15/9/2020

Chọn để tài

Đăng kí đề tài
SKKN

Viết đề cương nghiên cứu

Trình duyệt bản đề
cương SKKN

Đến 28/12/2020

Đọc tài liệu lý thuyết viết cơ sở
lý thuyết

Tập hợp tài liệu lý
thuyết

4

Từ 29/12/2020
đến 17/2/2021

Trao đổi với đồng nghiệp và đề
xuất sáng kiến

Tập hợp các ý
kiến góp ý của các
đồng nghiệp.

5

Từ 18/02/2021
đến 6/3/2021

Dạy thử tại các lớp 12 D, 12E,
12 B trường THPT Đặng Thúc
Hứa và trường THPT Thanh
Chương lân cận.

Thống kê các kết
quả thử nghiệm.

6

Từ 7/03/2021

Hoàn thiện đề tài nghiên cứu

Hoàn thành nộp

SKKN.

Đến 18/10/2020
2

Từ 19/10/2020
Đến 10/12/2020

3

Từ 11/12/2020

Đến 9/03/2021
V-PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.

Tìm kiếm tài liệu liên quan đến giải hệ phương trình sử dụng phương pháp
hàm số, một số phương pháp dạy học theo chương trình mới phát triển phẩm chất
năng lực của học sinh.
Trao đổi với giáo viên trong tổ và trong nhóm trên diễn đàn toán học để đề
xuất biện pháp thực hiện.
Giảng dạy các lớp 12 tại trường THPT Đặng Thúc Hứa và phối hợp với giáo
viên mơn tốn ở các trường THPT trong huyện để dạy thử nghiệm .
2


PHẦN II-NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
I-THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG
Trường THPT Đặng Thúc Hứa đóng trên địa bàn có nhiều xã khó khăn về kinh
tế, việc học tập và phấn đấu của các em học sinh chưa thực sự được quan tâm từ
các bậc học dưới THPT vì vậy kiến thức cơ sở về mơn Tốn của các em hầu hết tập

trung ở mức độ trung bình, trung bình khá.
Khi chưa áp dụng những nghiên cứu trong đề tài để dạy học giải bài tập hệ
phương trình, các em thường thụ động trong việc tiếp cận bài toán và phụ thuộc
nhiều vào những kiến thức được giáo viên cung cấp chứ chưa ý thức tìm tịi, sáng
tạo cũng như tạo được niềm vui, sự hưng phấn khi làm toán.
Kết quả khảo sát ở một số lớp trong phần giải bài tập tốn về phần hệ phương
trình cũng như qua tìm hiểu ở các giáo viên dạy bộ mơn Tốn, chỉ có khoảng 10%
học sinh chịu khó để ngồi giải các hệ phương trình vơ tỷ ở dạng khó.
II-KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC VÀ KINH NGHIỆM RÚT RA
Sau khi áp dụng những kết quả nghiên cứu trong đề tài, qua khảo sát cho thấy:
Có trên 80% các em học sinh có hứng thú với bài học và 50% trong số đó biết cách
tìm tịi và xây dựng những bài tốn mới từ những bài toán gốc được giáo viên gợi ý
hoặc được các em tự tìm tịi.
Trong các kỳ thi thử TNTHPT và ĐH trên toàn tỉnh cũng như khảo sát với các
đề thi thử trong cả nước, có 80% học sinh ở các lớp trên có thể giải quyết bài tốn
hệ phương trình ở các đề thi đó và các bài toán liên quan khi mở rộng bài toán giải
hệ phương trình ứng dụng hàm số như tìm tham số m để hệ có nghiêm, tìm giá trị
lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức.
III- KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG VÀ TRIỂN KHAI KẾT QUẢ
Đề tài có thể làm tài liệu tham khảo cho các em học sinh đang học khối 12
THPT đang ơn thi TNTHPT , ĐH.
Đề tài có thể ứng dụng để phát triển thành mơ hình sách tham khảo cho học
sinh và giáo viên phục vụ học tập và giảng dạy mơn tốn.
IV. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1-Phẩm chất, năng lực:
Phẩm chất và năng lực là hai thành phần chủ yếu cấu thành nhân cách của
con người.
Theo chương trình giáo dục phổ thông tổng thể: Dạy học theo phát triển
phẩm chất năng lực cho học sinh nhằm giúp học sinh phát triển một cách toàn diện
hơn.

Phẩm chất : Là sống biết yêu thương, tự chủ trách nhiệm. Biết sống trung
thực tự trọng, tự lực, chăm chỉ vượt khó tự hồn thiện tính chủ động tự tin...
Năng lực : Là thuộc tính cá nhân được hình thành và phát triển nhờ tố chất
sẵn có và qua q trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp
các kiến thức ,kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú niềm tin, ý
3


chí,...thực hiện thành cơng một hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong
những điều kiện cụ thể.
Năng lực tốn học là biết tư duy logic, khái qt hóa và nhân rộng đối tượng
biết lập cơng thức, giải thích toán học trong nhiều ngữ cảnh. Năng lực toán học
phổ thơng là khả năng nhận biết ý nghĩa, vai trị toán học trong cuộc sống; vận
dụng và phát triển tư duy toán học để giải quyết vấn đề của thực tiễn, đáp ứng nhu
cầu đời sống hiện tại và tương lai một cách linh hoạt; là khả năng phân tích suy
luận , lập luận, khái qt hóa, trao đổi thơng tin hiệu quả thơng qua việc đặt ra,
hình thành và phát triển và giải quyết vấn đề toán học trong các tình huống, hồn
cảnh khác nhau, trong đó chú trọng quy trình, kiến thức và hoạt động.
Năng lực tốn học phổ thông không đồng nhất với khả năng tiếp nhận nội
dung của chương trình tốn trong nhà trường phổ thơng truyền thống, mà điều cần
nhấn mạnh đó là đó là kiến thức toán học được học, vận dụng và phát triển như thế
nào để tăng cường khả năng phân tích, suy luận lập luận khái quát hóa và phát hiện
được tri thức tốn học ẩn dấu bên trong các tình huống, các sự kiện.
2. Dạy học hình thành và phát triển phẩm chất năng lực cho học sinh.
Phương pháp dạy học phải phù hợp với tiến trình nhận thức của học sinh:
Phải đi từ cái cụ thể đến trìu tượng, từ dễ đến khó khơng chỉ coi trọng tính logic
của khoa học mà chú ý đến cách tiếp cận dựa trên vốn kinh nghiệm và trải nghiệm
của học sinh.
Quán triệt lấy người học làm trung tâm: Phải phát huy được tính tích cực, tự
giác, chú ý nhu cầu, năng lực nhận thức, cách thức học tập khác nhau của từng cá

thể học sinh, tổ chức dạy học kiến tạo trong đó học sinh được tìm tịi sáng tạo, suy
luận giải quyết vấn đề.
Linh hoạt trong việc vận dụng các phương pháp kỹ thuật dạy học tích cực.
Kết hợp nhuần nhuyễn, sáng tạo kĩ thuật dạy học tích cực với việc vận dụng các
phương pháp, kỹ thuật dạy học truyền thống, kết hợp các hoạt động dạy học trong
lớp và hoạt động trải nghiệm, vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn.
Sử dụng các thiết bị và phương tiện dạy học phù hợp với nội dung và đối
tượng học sinh.
3. Tiêu chí, chỉ báo của hành động mà học sinh khi thực hiện.
 Năng lực tư duy, lập luận toán học
Thực hiện được các thao tác tư duy so sánh, phân tích tổng hợp, đặc biệt
hóa, khái qt hóa, tương tự quy nạp diễn dịch, biết đặt và trả lòi câu hỏi, giải
thích, điều chỉnh cách thực hiện và giải quyết vấn đề về phương tiện toán học.
 Năng lực mơ hình hóa tốn học:
Sử dụng các cơng thức, mơ hình hóa tốn học để mơ tả tình huống đặt ra
trong thực tiễn, giải quyết các vấn đề toán học được thiết lập trong mơ hình...
4


 Năng lực giải quyết vấn đề :
Nhận biết phát hiện được vấn đề cần giải quyết, đề xuất lựa chọn các giải
pháp , giải quyết vấn đề bằng các kiến thức tốn học tương thích. Đánh giá giải
pháp đề ra, khái quát hóa vấn đề tương tự.
 Năng lực giao tiếp:
Nghe, viết, trình bày theo dạng văn bản tốn học.Trình bày các ý tưởng, giải
pháp khi phối hợp với người khác. Sử dụng ngơn ngữ tốn học kết hợp với ngơn
ngữ thơng thường để trình bày ý tưởng, thảo luận với người khác.
 Năng lực sử dụng công cụ phương tiện toán học:
Biết gọi tên, quy cách sử dụng, cách thức bảo quản các phương tiện, công cụ
phục vụ cho toán học. Sử dụng thành thạo, linh hoạt các cơng cụ, phương tiện khoa

học cơng nghệ để tìm tịi và giải quyết vấn đề toán học phù hợp với lứa tuổi. Chỉ ra
các ưu điểm, hạn chế của các cơng cụ, phương tiện hỗ trợ để có cách sử dụng hợp
lý.
4. Đánh giá kết quả giáo dục mơn tốn.
 Mục tiêu đánh giá :
Cung cấp thông tin kịp thời, chính xác có sự phát triển năng lực và sự tiến
bộ của học sinh trên cơ sở cần đạt ở mỗi lớp học, cấp học. Điều chỉnh các hoạt
động dạy học đảm bảo sự tiến bộ của từng học sinh nhằm nâng cao chất lượng
giáo dục mơn tốn nói riêng và giáo dục nói chung.
 Hình thức đánh giá :
Đánh giá thường xuyên trong quá trình học tập và rèn luyện với sự tiến bộ
của học sinh.
Đánh giá định kì có mục đích chính là đánh giá mục tiêu học tập. Kết quả
đánh giá định kì và đánh giá tổng kết được sử dụng để nhận cấp độ học tập, cơng
nhận thành tích học tập của học sinh.
 Phương pháp đánh giá:
Quan sát trong quá trình thực hiện nhiệm vụ, nghe viết, vấn đáp, bài tập trắc
nghiệm khách quan, tự luận, thực hành, dự án, các sản phẩm học tập....
 Mức độ đánh giá:
Nhận biết

Thông hiểu

Vận dụng

Vận dụng cao

Nhận biết
khái niệm,
nhắc lại .

Hiểu và trình bày lại
được vấn đề theo
cách hiểu của cá
nhân

Vận dụng giải
quyết những vấn
đề quen thuộc
trong học tập,
trong cuộc sống.

Vận dụng giải quyết
được những vấn đề mới
hoặc đưa ra một cách
phản hồi trong học tập,
trong cuộc sống một
5


cách linh hoạt.
5. Một số tính chất cơ bản sử dụng trong đề tài:
 Tính Chất 1:
Nếu hàm số y  f  x  luôn đồng biến ( hoặc ln nghịch biến ) và liên tục trên tập
D thì phương trình : f  x   a ( a hằng số) có khơng q một nghiệm trên tập D
 Tính chất 2:
Nếu hàm số y  f  x  luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến ) , liên tục trên tập
D và có f  x1   f  x2  ( x1 , x2 �D ) thì khi và chỉ khi: x1  x2
 Tính chất 3:
Nếu hàm số y  f  x  đồng biến , liên tục trên tập D và hàm số y  g  x  nghịch

biến, liên tục trên tập D thì phương trình f  x   g  x  có nhiều nhất một nghiệm
trên tập D .
 Tính chất 4:
Nếu hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng  a; b  thì f  u   f (v),
� u  v (với u, v �(a; b)) .
Nếu hàm số y  f  x  nghịch biến trên khoảng  a; b  thì f  u   f (v)
� u  v, (với u, v �(a; b)) .
 Tính Chất 5:
Cho hàm số y  f  x  nếu f '  x   0, x � a; b  thì hàm số đồng biến trên
khoảng  a; b  .

Cho hàm số y  f  x  nếu f '  x   0, x � a; b  thì hàm số nghịch biến trên
khoảng  a; b  .
V-NỘI DUNG ĐỀ TÀI.
Trong các đề thi thử THPTQG và một số bài toán trong đề thi học sinh giỏi
cấp tỉnh khối 12 có nhiều bài tốn giải hệ phương trình, các bài tốn tìm tham số
để hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện nào đó hay những bài tốn tìm giá trị lớn nhất,
nhỏ nhất của biểu thức mà khi học sinh gặp phải cảm thấy rất khó khăn để giải
quyết. Phần lớn học sinh khơng tìm được cách giải quyết. Sau đây là một số dạng
bài toán được phân tích, suy luận, đặc biệt hóa, tương tự hóa tổng quát hóa từ đó
giúp học sinh phát triển phẩm năng lực tư duy toán học .
1. Bài toán tổng quát về hệ phương trình sử dụng phương pháp hàm số :



Bài tốn tổng qt 1. Giải hệ phương trình sau:

�f ( x, y )  0
�
�g ( x, y )  0

.

 Các bước thực hiện:
6


Bước 1: Biến đổi phương trình : f ( x, y )  0 � h(u ( x))  h(v( y ))
Bước 2: Xét hàm số y  h(t ) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên tập D
Bước 3 : Từ đó có u  x   v  y  rút một ẩn thế vào phương trình g ( x, y )  0 giải
tìm nghiệm .
Bước 4: Kết luận nghiệm phương trình.
 Bài tốn tổng qt 2 :

Cho hệ phương trình sau:

�f ( x, y )  0
�
�g ( x, y )  m

. Tìm tham số m để hệ có nghiệm?

 Các bước thực hiện:
Bước 1: Biến đổi phương trình : f ( x, y )  0 � h(u ( x))  h(v( y ))
Bước 2: Xét hàm số y  h(t ) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên tập D
Bước 3 : Từ đó có u  x   v  y  rút một ẩn thế vào phương trình g ( x, y )  m
Bước 4: Xét hàm số y  g  x  sau khi rút thế ở bước 3, lập bảng biến thiên để tìm
điều kiện cho phương trình g  x   m có nghiệm. Kết luận .
Thơng qua các bài tốn giải hệ phương trình theo phương pháp hàm số ta
có thể xây dựng thành lớp bài tốn tìm giái trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức.

2. Bài toán liên quan đến hệ phương trình sử dụng phương pháp hàm số:
 Bài tốn tổng quát:
Cho số thực x, y �D thỏa mãn : f ( x, y )  0 . Tìm giá trị lớn nhất ( hoặc nhỏ
nhất của biểu thức P  g ( x, y )
 Các bước thực hiện:
Bước 1: Biến đổi giả thiết : f ( x, y )  0 � h(u ( x))  h(v( y ))
Bước 2: Xét hàm số y  h(t ) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên tập D
Bước 3 : Từ đó có u  x   v  y  rút một ẩn thế vào biểu thức P  g ( x, y )
Bước 4: Xét hàm số y  g  x  sau khi rút thế ở bước 3, lập bảng biến thiên để tìm
giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất ) của P . Kết luận .
3. Một số bài toán cụ thể :
7


�
x3 + x = y3 + y
(1)
�
�
�
x + y + x2 + 2y = 10 (2)
�
Bài toán 1.1: Cho hệ phương trình: �
Có nghiệm là

( x ;y ) khi đó x

+ y02

B. 16

C. 20

A. 8

0

2
0

0

bằng:
D. 12

 Phát hiện vấn đề :
-Ta quan sát hệ phương trình, nhận xét phương trình (1) có thể khai thác được
vì vai trị x và y hai vế như nhau nghĩ cách xét hàm số theo một vế hoặc ghép
nhóm nhân tử chung .Từ đó tìm ra giải pháp cho bài tốn.
 Tìm giải pháp:
 Giải pháp 1: (PP hàm số)
f ( t) = t 3 + t
y
x
- Ta quan sát PT (1) thấy vai trò và như nhau ta xét hàm số

hàm số này là hàm đồng biến trên R .

( 1) � f ( x) = f ( y) � x = y thay vào phương trình  2  để
Phương trình

giải tiếp tìm được nghiệm hệ.
 Giải pháp 2:
-Đối với bài tốn này phương trình (1) dễ thấy nhóm được nhân tử chung:
x3 + x = y3 + y � ( x - y) (x2 + xy + y2 + 1) = 0
�
x =y
��
�
x2 + xy + y2 + 1 = 0 (1')
�
�

( 1') : D
Phương trình
Thay

x

= - 3y2 - 4 < 0

x = y vào phương trình

 2

vơ nghiệm.

giải tiếp ta có nghiệm hệ phương trình.

 Trình bày giải pháp:
ĐK: x + y �0

3
Xét hàm số f (t) = t + t

f '(t) = 3t2 + 1>0 " t �R suy ra hàm số đồng biến trên R

8


PT (1) �

f ( x) = f ( y) � x = y

thay vào phương trình (2) ta có:

2x + x2 + 2x - 10 = 0 � ( 2x - 2) + x2 + 2x - 8 = 0

�

� 2
�
�
�
+ ( x - 2) ( x + 4) = 0 � ( x - 2) �
+
x
+
4
=0
�
�

�
�
�
�
�
2x + 2
2x + 2

2(x - 2)

�
x =2
�
�� 2
�
+ x + 4 = 0(vn
�
2x
+
2
�
Hệ có nghiệm duy nhất

" x �0)

( x;y) = ( 2;2)

Chọn đáp án A
Hoặc khi x = y ta không giải PT (2) mà thay các phương án A,B,C,D

2x2 = 8, 2x2 = 16, 2x2 = 20, 2x2 = 12

vào PT(2) thử đáp án nào đúng

nghiệm của PT(2) thì chọn.
Từ bài tốn 1.1 ta có thể đặc biệt hóa thành bài toán chứa tham số như
sau:
Bài toán 1.2: Cho hệ phương trình :
�
x3 + x = y3 + y
(1)
�
�
�
3x + y - 2x2 + 3y = 10+ m(2)
�
�
Tìm m để hệ có nghiệm.
A. m �1

B. m �- 7

C. m �- 10

D. m < - 10

 Tìm giải pháp:
Ta cũng định hướng như bài tốn 1.1 tìm được mối quan hệ : x = y
Thay vào phương trình (2) ta được:
Xét hàm sỗ

4x - 2x2 + 3x - 10 = m

g(x) = 4x - 2x2 + 3x - 10

�
0; +�)
trên �

 Trình bày giải pháp:
ĐK: 3x + y �0
9


3
Xét hàm số f (t) = t + t

f '(t) = 3t2 + 1>0 " t �R suy ra hàm số đồng biến trên R

PT (1) �

f (x) = f ( y) � x = y

thay vào phương trình (2) ta có:

4x - 2x2 + 3x - 10 = m ( 2')

Xét hàm sỗ

g '(x) =

1
x

g(x) = 4x - 2x2 + 3x - 10

- 4x + 3 =

(

)(

- 2 x +1

2

�
0; +�)
trên �

) =0

x- 1

x



g  x   lim
� x  1 � x  1�[0; �) , xlim

��
x��



4 x  2 x 2  3x  10  �

Xét bảng biến thiên của hàm số y = g(x) :

Để hệ có nghiệm thì phương trình

( 2')


có nghiệm

m

7.

Vậy m �- 7 thì hệ có nghiệm . Chọn đáp án B
Ta có thể phát triển tư duy học sinh bằng bài tốn tương tự hóa bài tốn
trên theo dạng tốn tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của biểu thức .
Bài tốn 1.3:
3
3
Cho hai số thực khơng âm x, y thỏa mãn x + x = y + y . Giá trị lớn
2
nhất của biểu thức P = 3x + y - 2x + 3y + a ( a tham số) thuộc

khoảng
A.

( - 2;3)

a � 5;0 

thì a thuộc khoảng nào sau đây?
B. a � 3;2 

C. a � 2;3

D. a � 4;1

10


Hướng dẫn giải:
3
Xét hàm số f (t) = t + t

f '(t) = 3t2 + 1>0 " t �R suy ra hàm số đồng biến trên khoảng  0;�

PT (1) �

f (x) = f ( y) � x = y

P = 4x - 2x2 + 3x + a

g '(x) =

�

1
x

- 4x + 3 =

thay vào P ta có:

. Xét hàm số

(

)(

- 2 x +1

2

g(x) = 4x - 2x2 + 3x + a

) =0

x- 1

x



g  x   lim

x  1 � x  1�[0; �) , xlim
��
x ��



4 x  2 x 2  3x  a  �

Ta có bảng biến thiên :

� Pmax = g(1) = a + 3 �( - 2;3) � a �( - 5;0)

. Chọn A.

�
(x - 1) x - 2 = y3 + y (1)
�
�
�2
�
x + y2 = 13 - x
(2)
�
�
Bài toán 2.1: Cho hệ phương trình :
Số nghiệm của hệ phương trình là:
A. 2

B. 1

C. 3

D. 4

 Phát hiện vấn đề :
11


Ta quan sát hệ thấy PT(2) không biến đổi được gì nên nghĩ cách phân tích
phương trình (1) :

(1) � ( x - 2) x - 2 + x - 2 = y3 + y �
Ta thấy vai trò

x - 2, y

(

)

3

x - 2 + x - 2 = y3 + y

ở hai vế như nhau nên sẽ tìm ra giải pháp .

 Tìm giải pháp:
 Giải pháp 1: (PP hàm số)

(1) � ( x - 2) x - 2 + x - 2 = y + y �

3

Xét hàm số
f

(

f ( t) = t 3 + t

(

)

3

x - 2 + x - 2 = y3 + y

đồng biến trên R mà có:

)

x - 2 = f ( y) � x - 2 = y

Thay vào phương trình (2) giải tìm x suy ra nghiệm của hệ .
 Giải pháp 2:
Phân tích phương trình (1) nhóm nhân tử chung ta có:

(1) � ( x - 2) x - 2 + x - 2 = y + y �
3

�

(

)

3

x - 2 + x - 2 = y3 + y

2
�
�
�
x - 2 - y � x - 2 + y x - 2 + y2 + 1�
=0
�
�
�
�
�
�

(

)(

)

�

y = x- 2
�
��
2
� x - 2 + y x - 2 + y2 + 1 = 0(VN )
�
�

(

)

Thay

y = x - 2 vào phương trình (2) giải và suy ra nghiệm hệ.
 Trình bày giải pháp:

ĐK: x �2
PT (1) � ( x - 2) x - 2 + x - 2 = y3 + y
�

( x - 2)

3

+ x - 2 = y3 + y

3
Xét hàm số f (t) = t + t

12


f '(t) = 3t2 + 1>0 " t �R suy ra hàm số đồng biến trên R

PT(1) �
có:

f ( x - 2) = f ( y) � y = x - 2 � y2 = x - 2
( 2)
thay vào pt ta

( 2) � x

2

+ 2x - 15 = 0 .

Với x = 3 � y = 1.
Hệ có nghiệm duy nhất

( x;y) = ( 3;1)

Chọn đáp án B
Phát triển năng lực tư duy học sinh bằng bài toán khái qt hóa từ bài
tốn 2.1 thành bài tốn chứa tham số:
�
(x - 1) x - 2 = y3 + y (1)
�
�2

�
x + y2 = 13 - x + m (2)
�
Bài tốn 2.2: Cho hệ phương trình : �
Tìm tham số m để hệ phương trình có nghiệm .
B. m �16

A. m < 16

C. m �- 7

D. m �4

 Tìm giải pháp:
Dựa trên bài toán 2.1 ta giải quyết bài toán 2.2
2
Từ phương trình (1) ta có y = x - 2 thay vào PT (2) ta có:

x2 + x - 2 = 13 - x + m � m = x2 + 2x - 15
Lập bảng biến thiên của hàm số

g  x   x 2  2 x  15

để tìm m .

 Trình bày giải pháp:
ĐK: x �2
PT (1) � ( x - 2) x - 2 + x - 2 = y3 + y
�

( x - 2)

3

+ x - 2 = y3 + y

3
. Xét hàm số f (t) = t + t

f '(t) = 3t 2 + 1 > 0 " t �R suy ra hàm số đồng biến trên R.

PT(1) �
có:

f ( x - 2) = f ( y) � y = x - 2 � y2 = x - 2
( 2) ta
thay vào pt

( 2) � x

2

+ 2x - 15 = m .
13


2
Xét hàm số : g(x) = x + 2x - 15

�

2; +�)
Bảng biến thiên của hàm số trên miền xác định �
:

Vậy hệ có nghiệm khi m �- 7 . Chọn đáp án C.
Phát triển tư duy học sinh bằng bài tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất :
Bài toán 2.3:
3
Cho số thực x, y dương thỏa mãn (x - 1) x - 2 = y + y . Giá lớn nhất của
2
2
biểu thức P = 2y - x + 4x - 3 là:

A. 2

B. - 2

C. - 7

D. 5

Hướng dẫn giải :
Từ bài toán 2.1
(x - 1) x - 2 = y3 + y � ( x - 2) x - 2 + x - 2 = y3 + y
�

( x - 2)

3

+ x - 2 = y3 + y

3
Xét hàm số f (t) = t + t đồng biến trên R
� y = x - 2 � y2 = x - 2 thay vào biểu thức P = - x2 + 6x - 7
g( x) = - x2 + 6x - 7
Xét hàm số :
g( x) = - x2 + 6x - 7
Lập bảng biến thiên hàm số
trên đoạn [2; +�)

14


Pmax = g( 3) = 2

. Chọn A.

Bài toán 3.1 Cho hệ phương trình
�
x3 - y3 + 3y2 + x - 4y + 2 = 0 (1)
�
(x, y ��)
�3
�
x
+
x
3
=

2
x
+
2
+
y
(2)
�
�
.
1
1
+
x0;y0
x02 y02
Có nghiệm là
. Biểu thức
bằng:

(

1
A. 2

)

1
B. 4

13

C. 36

11
D. 20

 Phát hiện vấn đề :
Ở vế trái PT

( 1)

là một hàm bậc 3 ta đưa về như sau:

(1) � x3 + x + 2 = y3 - 3y2 + 4y
3

� x3 + x + 2 = ( y - 1) + y - 1+ 2 ( 1')
 Tìm giải pháp:
 Giải pháp 1: ( PP hàm số)
Ta xét hàm số:
Từ

( 1')

có

f ( t) = t 3 + t + 2

đồng biến trên R .

f ( x) = f ( y - 1) � x = y - 1 � y = x + 1

Thay vào PT (2) giải theo liên hợp .
Hoặc thay y0 = x0 + 1 vào biểu thức :

1
1
+ 2
2
x0 y0

bằng các phương án A,

B,C,D rồi thử phương án nào là nghiệm của PT (2) thì chọn.
15


 Giải pháp 2:
Phân tích phương trình (1) nhóm nhân tử chung :
3
2
�2
�
�
(1) � x3 + x = ( y - 1) + y - 1 � ( x - y + 1) �
x
+
x
y
1
+

y
1
+
1
(
)
(
)
�= 0
�
�
�

�
x = y - 1 (1')
�
� �2
2
x + x ( y - 1) + ( y - 1) + 1 = 0(VN )
�
�
Thay (1’) vào PT (2) giải phương trình vơ tỷ theo PP liên hợp. Từ đó tìm
được nghiệm của hệ PT.
 Trình bày giải pháp:
ĐK: x �- 2
Phân tích bài tốn với PT(2) khơng biến đổi được gì nên nghĩ cách phân
tích phương trình (1)
Ta quan sát phương trình(1) có chứa bậc 3 ở x và y nên đưa về hàm bậc 3
theo từng vế ta có
3

(1) � x3 + x + 2 = y3 - 3y2 + 4y � x3 + x + 2 = ( y - 1) + ( y - 1) + 2 (1')
Xét hàm số

Ta có:

f ( t) = t 3 + t + 2

�
- 2; +�)
trên �
.

�2; +�)
f '( t) = 3t2 + 1 > 0, " t ��

biến trên khoảng  2; � .
PT (1') �

. Suy ra hàm số

y = f ( t)

đồng

f (x) = f ( y - 1) � x = y - 1
thay vào phương trình  2  ta có:

(

)

3
�
x
- 8 = 2 x +2- 2
x - 3 = 2 x + 2 +1

3

(

)

� ( x - 2) x2 + 2x + 4 =

(

)

� ( x - 2) x2 + 2x + 4 =

(

)(

2 x +2- 2

(

(

)

x +2 +2

)

x +2+2

2( x - 2)

)

x +2+2

16


�
�2
� ( x - 2) �
x + 2x + 4 �
�
�

�
�
�
=0

�
x +2+2 �
�
2

(

)

 x- 2= 0� x = 2� y = 3
x2 + 2x + 4 

(

2

)

x +2+2

= 0 � x2 + 2x + 4 =

(

2

)

x +2+2

( *)

2

Ta có

VT = x2 + 2x + 4 = ( x + 1) + 3 �3;

VP =

2
x +2+2

�2; +�)
�1, " x ��

Do đó phương trình (*) vơ nghiệm.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

�

( x;y) = ( 2;3)

1
1
13
+ 2=
2
36
x

y

Chọn đáp án C.
Chú ý : Ở bước thay vào PT (2) có thể đem thử khi có x = y - 1 thay vào
các đáp án đã cho đem thử xem đáp án nào thỏa mãn là nghiệm của PT (2) thì
chọn.

 Phát triển tư duy học sinh bằng bài tốn khái qt chứa tham số
thơng qua bài tốn 3.1
Bài tốn 3.2Cho hệ phương trình

�
x3 - y3 + 3y2 + x - 4y + 2 = 0 (1)
�
�3
�
x + x - 5 + 2 x + 2 = y + m (2)
�
�
A. m > - 5

B. m �- 5

(x, y ��)
. Tìm m để hệ có nghiệm.
C. m �- 10

D. m �- 14

 Tìm giải pháp:

Dựa trên PP của bài tốn 3.1 định hướng giải bài toán 3.2
(1) � x3 + x + 2 = y3 - 3y2 + 4y
3

� x3 + x + 2 = ( y - 1) + y - 1+ 2 (1')

17


Ta xét hàm số:

f ( t) = t 3 + t + 2

đồng biến trên R .

(1') � f (x) = f (y - 1) � x = y - 1 � y = x + 1 khi đó thay vào PT(2) ta

tiếp tục xét hàm số.
 Trình bày giải pháp:
3

(1) � x3 + x + 2 = y3 - 3y2 + 4y � x3 + x + 2 = ( y - 1) + ( y - 1) + 2 (1')
Xét hàm số
Ta có:

f ( t) = t 3 + t + 2

�
- 2; +�)
trên �

.

�2; +�)
f '( t) = 3t2 + 1 > 0, " t ��

trên.PT(1’) �

. Suy ra hàm số

f ( t)

đồng biến

f (x) = f ( y - 1) � x = y - 1 � y = x + 1
thay vào pt(2) ta

3
có: x - 6 + 2 x + 2 = m

Xét hàm số :
g( x) = x3 - 6 + 2 x + 2 � g '( x) = 3x2 +

1
x +2

> 0, " x > - 2

Hàm số đồng biến trên khoảng xác định .
Bảng biến thiên hàm số g(x) là:

Vậy hệ có nghiệm khi m �- 14 . Chọn D.
 Phát triển tư duy của học sinh bằng bài toán tìm giá trị lớn nhất

nhỏ nhất của biểu thức khá phức tạp , học sinh cần biết hệ thống khái qt
bài tốn 3.1 thành lớp bài tốn tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất chẳng hạn bài
toán 3.3 .
�2;7�
x, y �� �thỏa mãn :
Bài toán 3.3 : Cho số thực

x3 - y3 + 3y2 + x - 4y + 2 = 0. Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu
18


3
3
thức P = x + y + x - 5 + x + 2 là:
A. 860
B. 844
C. 876

D. 846

Bài toán 3.3 là mở rộng của bài toán 3.1 giả thiết bài tốn 3.3 chính là
phương trình (1) của bài tốn 3.1 vì thế khi ta đã giải quyết được bài tốn 3.1
thì đối bài tốn 3.3 trở nên nhẹ nhàng.

 Trình bày lời giải:
Ta phân tích giả thiết :
(gt) � x3 + x + 2 = y3 - 3y2 + 4y

3

� x3 + x + 2 = ( y - 1) + y - 1+ 2 (1)

Ta xét hàm số:

f ( t) = t 3 + t + 2 � f '( t) = 3t 2 + 1 > 0" t �R � y = f ( t)

đồng biến trên khoảng

( - 2;7)

.

Xét hàm số (1) � f (x) = f (y - 1) � x = y - 1 � y = x + 1 khi đó thay
3

vào biểu thức P ta có:

P = x3 + ( x + 1) + x - 5 + x + 2

3

g( x) = x3 + ( x + 1) + x - 5 + x + 2
2

g '( x) = 3x2 + 3( x + 1) + 1+

1
2 x +2

�2;7�
> 0 " x �� �

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Pmin  g (2)  16, Pmax  g (7)  860
� Pmax + Pmin = 844 chọn B.

19


Bài tốn 4.1: Cho hệ phương trình :

�
xy2 + y2 = xy + 1 + 26(1)
�
�
�3 3
�
y x - 1 + 3y x - 2 + 3y2 + 4 = 0(2)
�
�
.

(

)

(

)

( x ;y ) khi đó kết quả 16x
Có nghiệm
0

283
A. 4

3
0

0

216
B. 9

+ y03

là:

285
C. 4

D. 93

 Phát hiện vấn đề :
Phương trình (1) rất khó khăn để biến đổi nên ta quan sát phương trình (2)
Ở vế trái phương trình (2) là một hàm bậc 3 nên nghĩ cách biến đổi xét

xemsử dụng được hàm số không ?
(2) � x3y3 + 3xy = y3 - 3y2 + 6y - 4

Ta thấy vế trái là hàm số

f ( t) = t 3 + 3t

.

Nên phân tích vế trái về dạng vế phải ta được:
3

3

(2) � x3y3 + 3xy = y3 - 3y2 + 6y - 4 � ( xy) + 3xy = ( y - 1) + 3( y - 1)
Từ đó ta tìm ra giải pháp để giải quyết bài tốn .


Tìm giải pháp:


Giải pháp 1:
3

3

(2) � x3y3 + 3xy = y3 - 3y2 + 6y - 4 � ( xy) + 3xy = ( y - 1) + 3( y - 1) (1')
Khi đó

f ( t) = t 3 + 3t

đồng biến trên R

PT (1') � f (xy) = f ( y - 1) � xy = y - 1
Thế vào PT (1) giải quyết bài toán theo PP liên hợp tìm nghiệm x suy ra
nghiệm hệ PT.


Giải pháp 2:
20


Phân tích phương trình (1) nhóm nhân tử chung :
(2) � x3y3 + 3xy = y3 - 3y2 + 6y - 4
3

3

� ( xy) + 3xy = ( y - 1) + 3( y - 1)
2
� 2
�
� ( xy - y + 1) �
(
xy
)
+
xy
y
1

+
y
1
+ 3�
(
)
(
)
�
�= 0
�
�

�
xy - y + 1 = 0 ( 1')
�
�� 2
2
�
(xy) + xy ( y - 1) + ( y - 1) + 3 = 0(VN )
�

Thế (1’) vào phương trình (2) để giải phương trình vơ tỷ.Từ đó suy ra nghiệm
hệ PT.

ĐK

Trình bày giải pháp:

xy �- 1

3

3

(2) � x3y3 + 3xy = y3 - 3y2 + 6y - 4 � ( xy) + 3xy = ( y - 1) + 3( y - 1) ( 2')
Khi đó ta xét hàm số

f ( t) = t 3 + 3t

( 2') � f (xy) = f (y -

hàm số đồng biến trên R nên ta có :

1) � xy = y - 1

Thay vào PT(1) ta có:
(1) � y(y - 1) + y2 = y + 26 � 2y2 - y - 28 + 2 -

y =0

�
1 �
�
�
�
2y + 7 =0
� ( 2y + 7) ( y - 4) +
= 0 � ( y - 4) �
�
�

�
�
�
2
+
y
2+ y
�
�

4- y

�
y=4
�
��
1
�
2y + 7 = 0(*)
�
2
+
y
�

Do y

�

0 nên PT(*) vô nghiệm.

21


�
3
�
x0 =
�
�
4
283
3
3
�
�
16
x
+
y
=
�
y
=
4
0
0
�0
4 .
Hệ có nghiệm:

Chọn A

 Khái quát hóa bài toán 4.1 thành bài toán chứa tham số sau:
Bài toán 4.2: Cho hệ phương trình :

�
xy2 + y2 + xy + 1 - m = 0(1)
�
�
�3 3
�
y x - 1 + 3y ( x - 2) + 3y2 + 4 = 0(2)
�
�
.

(

)

Tìm tham số m để hệ có nghiệm.
A. m �2


B. m �1

C. m �1

D. m �0

Tìm giải pháp:

Dựa vào cách giải bài tốn 4.1tương tự phân tích từ phương trình (2)
Theo phương pháp hàm số tìm mối quan hệ

( 1) tiếp tục sử dụng phương pháp sự biến thiên
thế vào PT
của hàm số để tìm điều kiện m thỏa mãn đề bài.
xy - y + 1 = 0

 Trình bày giải pháp
ĐK :

xy �- 1
3

3

(2) � x3y3 + 3xy = y3 - 3y2 + 6y - 4 � ( xy) + 3xy = ( y - 1) + 3( y - 1) ( 2')
Khi đó ta xét hàm số

f ( t) = t 3 + 3t

( 2') � f (xy) = f (y -

hàm số đồng biến trên R nên ta có :

1) � xy = y - 1
.

Thay vào PT(1) ta có:
(1) � y(y - 1) + y2 + y = m

g( y) = 2y2 - y + y � g'( y) = 4y - 1+
Xét

1
2 y

> 0, " y > 0

22