Ham so loi

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (941.33 KB, 49 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Giả sử là hai không gian Banach và là ánh xạ tuyến tính.

Chứng minh rằng: liên tục nếu và chỉ nếu .

Trong đó: là hai không gian đối ngẫu của 
Chiều suy ra hiển nhiên,

Chiều ngược lại dùng nguyên lý đồ thị đóng.

Bài 1 : Chứng minh rằng khơng gian metric x đầy đủ nếu và chỉ nếu và là
các không gian metric đầy đủ .

Bài 2 : Giả sử là hai dãy cauchy trong không gian metric . Chứng

minh hội tụ .

Bài 1: dùng định nghĩa thế nào là kgmetric đầy đủ, sử dụng cái metric đồ thị
oánh giá qua lại các metric

Bài 2: Sử dụng tính đầy đủ của , mình chỉ cần kiểm tra dãy là dãy
Cauchy.

Chứng minh rằng toán tử tuyến tính sau liên tục và tính chuẩn của nó :

Liên tục thì chắc đơn giản rồi , cịn khoản tính chuẩn.

Nhận xét Do đó , vì vậy

Xét hàm hằng thì ta thấy ngay

Archive for the ‘Giải tích lồi’ Category

Hàm l

ồ

i và hàm l

ồ

i suy r

ộ

ng - Ph

ầ

n 1: Hàm l

ồ

i, hàm l

ồ

i ch

ặ

t,

hàm l

ồ

i m

ạ

nh

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Hàm lồi và tập lồi đã được nghiên
cứu từ lâu có thể kể ra ở đây như Holder, Jensen, Minkowski. Đặc biệt với những công trình của
Fenchel, Moreau, Rockafellar vào các thập niên 1960 và 1970 đã đưa giải tích lồi trở thành một
trong những lĩnh vực phát triển nhất của toán học. Bên cạnh đó, một số hàm khơng lồi theo nghĩa
đầy đủ nhưng cũng chia sẻ một vài tính chất nào đó của hàm lồi. Chúng được gọi là các hàm lồi
suy rộng (generalized convex function). Có lẽ người đầu tiên đề xuất tính lồi suy rộng là Finetti
(1949) - người đã đưa ra khái niệm tựa lồi (quasiconvex). Trong series này sẽ
đưa ra một bức tranh toàn cảnh về các hàm lồi và hàm lồi suy rộng.

Ta giả thiết C là tập lồi khác rỗng trong không gian Rn, f là hàm số thực xác định trên tập lồi C.
Hàm được gọi là lồi nếu với mọi x, y thuộc C và \lambda thuộc khoảng (0,1) ta có

Nếu bất đẳng thức trên là chặt với mọi x khác y, ta nói f là lồi chặt trên C.
Một định nghĩa tương đương, thể hiện ý nghĩa hình học của hàm lồi là

lồi nếu tập

gọi là epigraph (trên đồ thị) của là tập lồi trong (epi - có nghĩa là trên, phía trên mà).
Hàm f gọi là lồi mạnh nếu tồn tại số \alpha dương sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi x, y
thuộc C và \lambda thuộc khoảng [0, 1]

Rõ ràng lồi mạnh suy ra lồi chặt và lồi chặt suy ra lồi. Chẳng hạn hàm y=x2 là lồi mạnh, do đó lồi

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Hàm l

ồ

i và hàm l

ồ

i suy r

ộ

ng - Ph

ầ

n 2: Hàm t

ự

a l

ồ

i và hàm

t

ự

a l

ồ

i ch

ặ

t

Posted by VnMaTh.CoM on 08:01 in Maths, Toán cao cấp| 0 comments

Hàm f được gọi là tựa lồi nếu với mọi x, y
thuộc C, \lambda thuộc khoảng [0,1] ta có

Hàm f được gọi là tựa lồi chặt nếu với mọi x, y thuộc C, x khác y, \lambda thuộc khoảng (0,1) ta
có

Kết hợp với bài đã đăng: Phần 1: Hàm lồi, hàm lồi chặt, hàm lồi mạnh ta có thêm một số kết quả
sau:

Một hàm tựa lồi chặt thì tựa lồi. Hàm tựa lồi thì chưa chắc tựa lồi chặt, ví dụ y=1, hay y=|x|/x,
nếu x khác 0 và y=0 nếu x=0.

Nếu hàm f lồi thì nó tựa lồi. Điều ngược lại khơng đúng. Chẳng hạn, hàm số cho bởi công thức
sau: f(x)=x nếu x thuộc đoạn [0,1] và f(x)= 1 nếu x >1.

Hàm lồi không suy ra hàm tựa lồi chặt, phản thí dụ y=const. Một câu hỏi khác là hàm tựa lồi
chặt có suy ra tính lồi và lồi chặt không? Câu trả lời cũng phủ định cụ thể là căn bậc hai của x(

).

Hàm lồi và hàm lồi suy rộng - Phần 3: Hàm giả lồi và hàm

giả lồi chặt

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Một hàm f được gọi là giả lồi nếu với mọi x, y thuộc C, f(x)bé hơn f(y) tồn tại (beta)
dương sao cho

với mọi thuộc (0,1)

Một hàm f được gọi là giả lồi chặt nếu với mọi x, y thuộc C,x khác y, f(x)<=f(y) tồn tại
dương sao cho

với mọi thuộc (0,1)

Rõ ràng hàm lồi thì giả lồi, lồi chặt thì giả lồi chặt. Nhưng hàm giả lồi thì không lồi. Chẳng hạn,
y=arctan(x). Hàm lồi không suy ra giả lồi chặt, đó là y=1.

Hàm giả lồi khơng suy ra giả lồi chặt, ví dụ y=0 nếu x khác 0 và =1 nếu x=0. Cũng với ví dụ này
ta chứng tỏ hàm giả lồi không suy ra hàm tựa lồi. Hàm tựa lồi cũng không suy ra hàm giả lồi.
Điều này thể hiện qua hàm bậc thang.

Hàm lồi (1) – Định nghĩa và tính chất cơ bản

Posted by tqlong on Tháng Hai 5, 2008

Định nghĩa (hàm lồi): Hàm trên lồi nếu

 Miền xác định lồi.

 (*)

Định nghĩa tương đương: lồi nếu tập

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Chứng minh:

“ lồi lồi”: , suy ra . Vì lồi nên
. Nghĩa là

“ lồi lồi”: Nếu , suy ra , ta có

Nghĩa là .

Ý nghĩa: Với , ta có

Nếu lồi thì

Ví dụ:

 Hàm mũ chẵn: .
 Hàm lũy thừa: .

 Nếu : ; .

 Nếu : hàm affine , chuẩn .
Định lý (Bất đẳng thức Jensen): Nếu lồi và

Chứng minh: Chứng minh bằng quy nạp theo .

Mở rộng: Nếu đóng, là phân bố xác suất trên đó đồng thời liên tục.
.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Chứng minh:

Chứng minh trên áp dụng bất đẳng thức Jensen cho hàm lồi .

Định nghĩa (Mở rộng hàm lồi trên tồn ):

Lưu ý: tính chất (*)vẫn giữ ngun nếu áp dụng các luật tính tốn sau với giá trị




Like this:

Đăng trong Gi ả i tích lồ i | Tagged: hàm lồ i , Jensen, Kullback-Leibler | Leave a Comment »

Định lý Caratheodory, Radon,

Helley

Posted by tqlong on Tháng Hai 4, 2008

Định lý Caratheodory: Nếu thì mọi điểm có thể biểu diễn bằng tổ hợp
lồi của không quá điểm thuộc .

Chứng minh: Xét và giả sử tổ hợp lồi

là tổ hợp lồi có số véctơ nhỏ nhất có thể được của . Ta sẽ chứng minh . Thật vậy,
giả sử ngược lại, , các vectơ khơng thể độc lập affine vì ,
như vậy, các véctơ khơng thể độc lập tuyến tính. Tức là tồn tại bộ số

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Nếu đặt , ta có

Như vậy, có thể viết lại như sau

Rõ ràng, với đủ nhỏ, biểu thức trên vẫn là tổ hợp lồi của . Tuy nhiên nếu ta chọn

thì số hệ số dương trong tổ hợp lồi sẽ ít hơn số hệ số dương trong tổ hợp ban đầu, mâu thuẫn với
giả thiết là nhỏ nhất có thể được (Lưu ý: chắc chắn tồn tại vì

Định lý Radon: Một tập có ít nhất điểm trong có thể chia thành hai tập con có bao lồi
giao nhau.

Chứng minh: Một tập có điểm khơng thể độc lập affine, vì thế, tồn

tại bộ số sao cho

và .

Đặt . Ta có

và .

Suy ra . Nghĩa là

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Định lý Helley. Nếu là các tập lồi trong sao cho giao của tập bất kì
đều khác rỗng thì giao của tất cả các tập cũng khác rỗng.

Chứng minh: (Quy nạp theo )

Cơ sở: Định lý đúng với mọi .

Quy nạp: Giả sử định lý đúng với tập lồi. Xét tập sao cho
tập bất kì giao nhau khác rỗng.

Đặt . Theo giả thiết quy nạp, khác rỗng, tức là tồn tại . Ta có thể phân
chia tập thành hai tập có bao lồi giao nhau (theo định lý Radon). Khơng mất
tính tổng qt, giả sử tồn tại sao cho

Ta sẽ chứng minh với mọi . Thật vậy, nếu , ta có
, vì thế

.
Ngược lại, nếu , ta có , vì thế

Nhận xét:

1. Các định lý Caratheodory, Radon, Helly là các kết quả rất sâu, là nền móng cho chun
ngành tốn Hình học tổ hợp (Combinatorial Geometry).

2. Ứng dụng của các định lý này cũng rất rộng rãi, đặc biệt ta sẽ gặp lại chúng ở các bài về
Quy hoạch tuyến tính, Hệ bất phương trình tuyến tính. Các định lý này sẽ được ứng dụng
để phân tích điều kiện của nghiệm tối ưu.

Hàm lồi (2) – Biến đổi giữ nguyên tính lồi

Posted by tqlong on Tháng Hai 5, 2008

Để chứng minh tính lồi của một hàm, ngồi việc dùng định nghĩa, ta có thể dựa vào một số biến
đổi giữ nguyên tính lồi để xây dựng nên hàm lồi mới hoặc chứng minh tính lồi của hàm.

Tổ hợp tuyến tính với hệ số dương: lồi nếu lồi và với mọi .

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

(i) Hiển nhiên, ta có lồi nếu lồi và
(ii) Cũng dễ thấy lồi nếu lồi.

(iii) Từ (i) và (ii) suy ra lồi nếu lồi và với mọi .

Lấy supremum: lồi nếu lồi với mọi .

Chứng minh: Rõ ràng . Do đó lồi vì nó là giao của các tập lồi.

Tổ hợp hàm: lồi, lồi trên và đồng biến thì

lồi trên .

Chứng minh: Nếu , ta có

Nhận xét:Nếu là hàm affine, , thì khơng cần phải đồng biến, ta vẫn có
lồi.

Lấy minimum: Nếu lồi và thì cũng lồi.

Chứng minh: Nếu , suy ra với mọi , tồn tại sao cho

và
Ta có

.
Bất đẳng thức trên đúng với mọi , vậy ta có

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

« Nhữ ng bài viế t tr ướ c
Bài kế »

Tập lồi (4) – Tính chất

tôpô

Posted by tqlong on Tháng Hai 11, 2008

Định nghĩa (điểm giới hạn): Điểm là điểm giới hạn của tập nếu có dãy hội
tụ đến .

Định nghĩa (tập đóng): Tập là tập đóng nếu chứa tất cả các điểm giới hạn của nó.
Ví dụ:

Tập hữu hạn, là tập đóng.
Tập là tập đóng.

Tập là tập đóng.
Định lý (giao và hợp tập đóng):

Giao của tập bất kì các tập đóng là tập đóng.
Hợp của tập hữu hạn các tập đóng là tập đóng.

Định nghĩa (bao đóng): Bao đóng của tập có thể định nghĩa bằng các cách tương đương sau:
Là giao của các tập đóng chứa .

Là tập hợp tất cả các điểm giới hạn của .
Kí hiệu bao đóng của là .

Định nghĩa (điểm trong): Điểm là điểm trong của tập nếu có hình cầu
.

Định nghĩa (tập mở): Tập là tập mở nếu tất cả các điểm đều là điểm trong.
Ví dụ:

là tập mở.

Tập là tập mở.

Tập là tập mở.
Định lý (giao và hợp tập mở):

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Định nghĩa (phần trong): Phần trong của tập có thể định nghĩa bằng các cách tương đương sau:
Là hợp của các tập mở chứa trong .

Là tập hợp tất cả các điểm trong của .
Kí hiệu phần trong của là .
Nhận xét:

Rõ ràng ta có quan hệ .

Biên của là tập . Biên ln là tập đóng.

Nếu thì vì khơng thể chứa bất cứ hình cầu nào do .
Định lý (tính lồi của bao đóng và phần trong): Nếu lồi thì và lồi.

Chứng minh: Nếu thì có các dãy và . Dễ

thấy dãy . Tức là lồi.

Nếu thì có các hình cầu . Dễ thấy hình cầu

, tức là là điểm
trong của . Vậy lồi.

Định lý (tính trù mật của phần trong của tập lồi): Nếu lồi và thì

Với mọi , đoạn thẳng .

trù mật trong , tức là mọi điểm đều là điểm giới hạn của .
Chứng minh (1): tức là có dãy . Xét tập

Vì lồi nên . Vì nên

. Nghĩa là bắt đầu từ nào đó, ,

hay . Vậy .

Chứng minh (2): (2) là hệ quả của (1) vì với mọi điểm , chọn một điểm bất kì
(do ), ta có dãy

đồng thời do (1).

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Định nghĩa (phần trong tương đối): Phần trong tương đối của là tập
Kí hiệu phần trong tương đối của là .

Biên tương đối của là tập .

Định lý (phần trong tương đối trù mật trong bao đóng): Nếu là tập lồi ta có
và lồi.

Với mọi , đoạn thẳng .

trù mật trong , tức là mọi điểm đều là điểm giới hạn của .

Chứng minh: Ta chỉ cần chứng minh , các kết luận khác chứng minh tương tự như
định lý trên.

Nếu , hay , rõ ràng .

Nếu , suy ra trong phải có véctơ độc lập affine sao
cho . Các véctơ này tạo thành các đỉnh của một đơn hình nằm trong

. Ta có

Rõ ràng, là tập mở (tương đối với ) nằm trong , nghĩa là .

Đăng trong Giải tích lồi | Tagged: bao đóng , biên , phần trong , tôpô , tập lồi | Leave a Comment »

Tập lồi (3) – Phép tốn giữ ngun tính

lồi

Posted by tqlong on Tháng Hai 11, 2008

Định lý: Các phép toán sau đây giữ nguyên tính lồi

1. Phép giao: Nếu lồi thì lồi.

2. Tích Đề-các: Nếu lồi thì lồi.

3. Tổ hợp tuyến tính: Nếu lồi thì lồi.
4. Biến đổi affine: Nếu lồi thì tập lồi.

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Chứng minh (1): hiển nhiên vì giao của các tập chứa đoạn thẳng nếu đoạn thẳng này nằm
trong tất cả các tập.

Chứng minh (2): hiển nhiên (dùng định nghĩa).

Chứng minh (3): hiển nhiên (dùng định nghĩa).

Chứng minh (4): Nếu , suy ra . Nếu

thì , nghĩa là .

Chứng minh (5): Nếu , suy ra . Nếu

thì , nghĩa là

Ví dụ:

1. Tập lồi vì .

2. Tập lồi vì .

3. Tập lồi vì:

+ Tập là lân cận của phép chiếu lên trục là tập lồi.
+ Tập là tập lồi.

Định lý: Đối với các nón lồi ta có các phép tốn sau đây
1. Giao của các nón lồi là nón lồi.

là nón lồi nếu là nón lồi
2. Tổ hợp tuyến tính các nón lồi là nón lồi.

là nón lồi nếu là nón lồi.
3. Tích Đề-các: Nếu là nón lồi thì

là nón lồi.

4. Biến đổi affine: Nếu là nón lồi thì tập là nón lồi.
5. Biến đổi ngược của biến đổi affine: Nếu là nón lồi thì tập

là nón lồi.

Chứng minh (1): Giao của nón lồi là tập lồi, đồng thời nếu tia thuộc vào tất cả các
nón thì nó thuộc vào giao của các nón.

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Chứng minh (3),(4),(5): Tương tự như chứng minh (1),(2).

« Nhữ ng bài viế t tr ướ c
Bài kế »

Tập lồi (2) – Tổ hợp lồi, bao lồi, bao affine, chiều, đơn hình,

nón lồi, bao

nón

Posted by tqlong on Tháng Hai 11, 2008

Định nghĩa (tổ hợp lồi): Tổ hợp tuyến tính gọi là tổ hợp lồi của nếu

Định lý: Tập lồi nếu và chỉ nếu nó đóng với phép toán tổ hợp lồi.

Chứng minh:

“ “: Ta sẽ chứng minh tổ hợp lồi của các điểm trong tập lồi vẫn phải thuộc tập lồi đó. Thật vậy,

quy nạp theo :

Cơ sở: rõ ràng định lý đúng với .

Quy nạp: Giả sử định lý đúng với . Xét tổ hợp lồi của điểm.

Rõ ràng tổ hợp này thuộc vào tập lồi vì theo giả thiết quy nạp .
“ “: hiển nhiên nếu ta xét .

Định lý (giao của tập lồi): Giao của họ bất kì các tập lồi là tập lồi

Chứng minh: hiển nhiên.

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

1. Là giao của tất cả các tập lồi chứa .

2. Là tập hợp tất cả các tổ hợp lồi của các điểm thuộc .
Kí hiệu bao lồi của là .

Chứng minh: Đặt với mọi lồi và và đặt

Rõ ràng đóng với phép toán tổ hợp lồi, nên lồi và , suy ra .

Ngược lại, nếu lồi và thì phải chứa tất cả các tổ hợp lồi của (vì đóng với
phép tốn tổ hợp lồi), suy ra với mọi , tức là . Kết luận .

Tương tự như vậy, ta cũng có các định nghĩa về tổ hợp affine và bao affine.

Định nghĩa (tổ hợp affine): Tổ hợp tuyến tính gọi là tổ hợp affine của

nếu

Định lý: Tập là tập affine nếu và chỉ nếu nó đóng với phép tốn tổ hợp affine.

Định nghĩa (bao affine):Bao affine của một tập có thể định nghĩa theo các cách tương
đương sau:

1. Là giao của tất cả các tập affine chứa .

2. Là tập tất cả các tổ hợp affine của các điểm thuộc .
Kí hiệu bao affine của là .

Định nghĩa (số chiều của tập affine):Số chiều của tập affine có thể định nghĩa bằng các cách
tương đương sau:

1. Là số chiều của không gian con gắn với , tức là .

2. Là số nhỏ nhất để tồn tại véctơ sao cho .
Các véctơ này gọi là cơ sở affine của .

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Chứng minh: Đặt và là cơ sở của . Ta sẽ chứng minh
. Thật vậy, nếu , ta có thể viết dưới dạng:

tức là là tổ hợp affine của các véctơ . Ngược lại, xét một tổ hợp affine
bất kì của

vì . Vậy . Suy ra .

Để chứng minh , ta sẽ chứng minh . Thật vậy, vì
nên với mọi véctơ , ta có với . Suy ra

vì . Tức là là tổ hợp tuyến tính của . Vậy

. Suy ra . Kết luận (lưu ý: có thể chứng minh
).

Định lý (cơ sở của tập affine): Nếu là cơ sở affine của tập affine thì mọi
véctơ chỉ có thể biểu diễn bằng một tổ hợp affine duy nhất của cơ sở này và ta nói các
véctơ này độc lập affine với nhau.

Chứng minh: Vì là số chiều của nên theo định lý trên, là số chiều của không gian con
gắn với . Rõ ràng nên chính là cơ
sở của . Với mọi véctơ , ta có với . Véctơ chỉ có thể biểu diễn bằng
một tổ hợp tuyến tính duy nhất của cơ sở của nên ta suy ra chỉ có một biểu diễn affine duy nhất
của trên cơ sở afffine của .

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Định nghĩa (đơn hình):Đơn hình với các đỉnh độc lập affine là bao lồi của
các đỉnh này.

Ví dụ:

1. Trong , điểm, đoạn thẳng, tam giác là các đơn hình.

2. Trong với hệ cơ sở chuẩn . Đơn hình có đỉnh là các véc tơ trong hệ cơ sơ
chuẩn chính là tập .

3. Trong , đơn hình có đỉnh chính là tập .

Định lý: Mọi điểm trong đơn hình chỉ có thể biểu diễn bằng một tổ hợp lồi
duy nhất các đỉnh của nó.

Chứng minh: Vì độc lập affine nên tổ hợp lồi của một điểm trong đơn hình
cũng là tổ hợp affine duy nhất của điểm đó trong bao affine .

Định nghĩa (nón lồi):

1. Một tập gọi là nón nếu nó đóng với phép tốn co dãn
là nón nếu và chỉ nếu .
2. Một tập gọi là nón lồi nếu nó vừa là tập lồi vừa là nón.

Ví dụ:

1. là nón lồi.

2. Nón Lorentz là nón lồi.
3. Tập các ma trận xác định khơng âm là nón lồi.

Định nghĩa (tổ hợp nón): Tổ hợp tuyến tính gọi là tổ hợp nón của nếu

Định lý: Tập là nón lồi nếu và chỉ nếu nó đóng với phép tốn tổ hợp nón.

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

“ “: Hiển nhiên, vì là nón lồi và tổ hợp lồi cũng là tổ hợp nón nên đóng với phép tốn tổ
hợp lồi.

“ “: Nếu là nón lồi, xét một tổ hợp nón bất kì của . Rõ ràng

vì .

Định nghĩa (bao nón):Bao nón của tập có thể định nghĩa theo các cách tương đương sau
1. Là giao của tất cả các nón lồi chứa .

2. Là tập hợp của tất cả các tổ hợp nón của các điểm thuộc .
Kí hiệu bao nón của là .

Đăng trong Giải tích lồi | Tagged: bao affine, bao lồi, bao nón, chiều, nón lồi, tập lồi, Tổ hợp lồi,

đơn hình | Leave a Comment »

Tập lồi (1) – Định nghĩa và một số ví

dụ

Posted by tqlong on Tháng Hai 10, 2008

Định nghĩa (tập lồi): Tập gọi là tập lồi nếu

Nghĩa là nếu thì đoạn thẳng .

Ví dụ:

1. là các tập lồi.

2. là tập lồi, nửa không gian ngăn cách bởi đường thẳng .

Định nghĩa (tập affine): Tập gọi là tập affine nếu

Nghĩa là nếu thì đường thẳng đi qua cũng nằm trong .

Định lý (Tính chất của tập affine):

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

2. Nếu affine và , tập là không gian con của

, đồng thời là duy nhất đối với không phụ thuộc vào . Ta cũng viết
.

3. Tập là tập affine nếu và chỉ nếu sao cho .

Chứng minh (1): Đường thẳng qua chứa đoạn thẳng nên tính chất này là hiển nhiên.

Chứng minh (2): Nếu , suy ra , ta có

vì .

Nếu , suy ra , ta có

vì .

Để chứng minh là duy nhất, xét với . Xét ,
suy ra

với . Rõ ràng và vì , suy ra , tức là
. Tương tự ta cũng có . Vậy .

Chứng minh (3):

“ “: Hiển nhiên.

“ “: Vì , xét khơng gian trực giao của . Khơng gian này có hệ cơ sở
. Đặt

Ta có

Định nghĩa (hình cầu): Hình cầu tâm , bán kính trong là tập với
là một chuẩn nào đó trong .

Nhận xét: Dễ dàng chứng minh được hình cầu là một tập đóng, lồi và giới nội.

Định nghĩa (lân cận ): Lân cận của tập là tập .

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Chứng minh: Xét , nghĩa là tồn tại sao cho . Giả
sử . Ta sẽ chứng minh khoảng cách từ đến

không lớn hơn . Thật vậy

Vì nên .

Hàm lồi (5) – Tính chất của cực

đại

Posted by tqlong on Tháng Hai 9, 2008

Định lý: Nếu hàm lồi đạt cực đại tại thì là hằng số trên .

Chứng minh: Xét điểm , ta sẽ chứng minh . Thật vậy, vì

nên với đủ nhỏ, ta có . Hiển nhiên ta có

tức là nằm bên trong đoạn thẳng . Vậy

Vì nên , tức là . Suy ra .

Định lý (tồn tại điểm cực biên là cực đại): Nếu hàm lồi đạt giá trị cực đại trên tập
khơng chứa đường thẳng thì trong các cực đại có một điểm cực biên của .

Chứng minh: Xét điểm là cực đại của . Nếu là điểm cực biên, thì
ta có điều phải chứng minh. Nếu khơng phải là điểm cực biên, , ta xét 2 trường
hợp

1. , theo định lý trên, là hằng số trên , tức là cũng đạt cực đại trên
một điểm cực biên nào đó của (điểm này luôn tồn tại do là tập lồi không
chứa đường thẳng).

2. . Xét siêu phẳng qua đỡ lấy . Xét tập . Rõ ràng
cũng là cực đại của trên đồng thời và vì

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Định lý (hàm lồi bị chặn trên đa diện lồi có cực đại): Nếu hàm lồi bị chặn trên trong đa diện
lồi thì đạt cực đại trên .

Chứng minh: Theo định lý về cấu trúc của đa diện lồi, ta có

trong đó, là hai tập hữu hạn.

Bổ đề: Nếu bị chặn trên và thì . Nghĩa là

là hàm không tăng với mọi .

Chứng minh: Giả sử ngược lại, tồn tại , sao cho .

Rõ ràng, ta có . Xét với . Vì nên

Nhân hai vế với ta được . Nghĩa là

lớn hơn hàm tuyến tính của với hệ số dương, nói cách khác khơng bị
chặn trên, mâu thuẫn với giả thiết.

Tiếp tục chứng minh định lý: Ta sẽ chứng minh .

Thật vậy, với mọi , ta có thể viết dưới dạng

trong đó . Theo bổ đề trên ta có

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Hàm lồi (4) – Điều kiện của cực

tiểu

Posted by tqlong on Tháng Hai 7, 2008

Định lý (xấp xỉ Taylor là cận dưới của hàm lồi): Xấp xỉ Taylor bậc 1 tại mà có
đạo hàm khơng lớn hơn giá trị thực của hàm lồi. Tức là với mọi , ta có

Chứng minh: Xét bất kì nằm giữa , tức là với . Vì lồi nên

Ta có

Cho , ta có (Đạo hàm theo và dùng luật
L’Hopital). Tức là

Định lí (tính cục bộ và toàn cục của cực tiểu): Cực tiểu cục bộ của hàm lồi cũng là cực đại
toàn cục

Tức là nếu và thì

Chứng minh: Xét , vì lồi, ta có

với mọi nằm trong đoạn thẳng . Chọn , ta có vế phải của bất đẳng thức
trên không âm, suy ra .

Định lý (tính lồi của tập các cực tiểu): Tập các cực tiểu của hàm lồi là tập lồi.

Chứng minh: Định lý là hệ quả của bổ đề dưới đây.

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Nhận xét:

1. Tập là tập con của miền xác định sao cho giá trị của hàm trên không lớn
hơn .

2. Rõ ràng, tập tất cả các cực tiểu của hàm là tập .
3. Nếu thì vẫn là tập lồi (theo định nghĩa).

Chứng minh: Nếu , ta có

Tức là .

Định nghĩa (Hàm lồi chặt): Hàm gọi là hàm lồi chặt nếu

 lồi.

 với mọi .

Định lý (điều kiện lồi chặt): Điều kiện đủ để lồi chặt là ma trận Hessian xác định dương.

Chứng minh: Tương tự như chứng minh lồi khi ma trân Hessian xác định khơng âm.

Định lý (tính duy nhất của cực tiểu): Nếu hàm lồi chặt thì cực tiểu (nếu tồn tại) là duy nhất.

Chứng minh: Giả sử đều là cực tiểu của . Ta có

.
Mâu thuẫn vì không thể nhận giá trị nhỏ hơn giá trị nhỏ nhất của nó.

Định lý (điều kiện cần và đủ của cực tiểu): Nếu lồi trên tập lồi và có đạo hàm tại ,
điều kiện cần và đủ để đạt cực tiểu tại là

Chứng minh:

“ “: Nếu là cực tiểu của hàm trên tập lồi , với mọi , ta có

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

“ “: Theo định lý về xấp xỉ Taylor bậc 1 của hàm lồi , ta có

Nhận xét:

1. “ ” khơng phụ thuộc vào tính lồi của hàm . Tức là điều kiện này luôn là điều kiện cần
để là cực tiểu.

2. Điều kiện trên có nghĩa là tập nằm ở một nửa không gian ngăn cách bởi siêu
phẳng qua và có véc tơ pháp tuyến nếu .

3. Nếu lồi và thì là cực tiểu.

Định nghĩa (Nón tâm): Xét tập lồi và điểm , nón tâm của tại là tập
,

tức là là tập tất cả các hướng mà tia từ theo hướng đó có một điểm thuộc .

Điều kiện tương đương của cực tiểu: Điều kiện cần và đủ để là cực tiểu của hàm lồi trên
tập lồi có thể viết lại như sau

Nếu đặt là nón trực giao của , tức là

thì điều kiện trên tương đương với .

Ví dụ:

1. Nếu (xem định nghĩa phần trong), thì , suy ra .

Nghĩa là điều kiện cần và đủ để đạt cực tiểu tại một điểm là đạo hàm tại đó
bằng .

2. Nếu (xem định nghĩa phần trong tương đối), giả sử , trong đó

là khơng gian con của . Rõ ràng . Xét , nếu , suy ra

tức là . Suy ra .

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Nếu , ta có và .
.

Điều kiện này chính là điều kiện tối ưu khi ta dùng phương pháp nhân tử Lagrange.
3. Nếu , tại điểm , tập là tập như thế nào?

Định nghĩa: Ràng buộc gọi là được kích hoạt tại nếu .

Rõ ràng, nếu một ràng buộc không được kích hoạt tại thì vẫn thỏa mãn ràng
buộc này với hướng bất kì, miễn là đủ nhỏ. Như vậy những ràng buộc có thể bị vi
phạm là những ràng buộc được kích hoạt tại .

Nếu , để , rõ ràng ta phải có do . Vậy

với . Cịn là tập như thế nào?

Nếu thì . Tức là là hệ quả của hệ bất đẳng
thức . Theo định lý Farkas thuần nhất, điều kiện cần và đủ là

Vậy

và

.
Có thể viết lại điều kiện này như sau

Trong đó điều kiện thứ hai chính là tính chất bù nhau ở độ vênh của các ràng buộc mà ta
đã gặp ở Bài toán đối ngẫu. Các điều kiện này còn gọi là điều kiện cần 
Karush-Kuhn-Tucker (KKT necessary conditions) cho bài toán tối ưu hóa có ràng buộc (Lưu ý: đối với
hàm lồi thì đây cũng chính là điều kiện đủ).

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Giả sử điểm cực tiểu , theo ví dụ 2 ở trên, điều kiện cần và đủ để đạt cực tiểu tại
là

Do , ta giải được .

Điểm này thỏa mãn điều kiện cần và đủ nên nó là cực tiểu của hàm trên . Để thấy được
cũng là cực tiểu duy nhất, có thể tính ma trận Hessian và chứng minh tính xác định dương. Một
cách khác là sử dụng định lý về tính lồi của tập các cực tiểu. Điểm là cực tiểu duy nhất trong

, nếu có một điểm cũng là cực tiểu của , rõ ràng các điểm trên đoạn thẳng
cũng là cực tiểu, mâu thuẫn vì đoạn thẳng này chứa các điểm thuộc (tính trù mật

của phần trong tương đối).

« Nhữ ng bài viế t tr ướ c
Bài kế »

Hàm lồi (3) – Kiểm tra tính

lồi

Posted by tqlong on Tháng Hai 6, 2008

Hàm lồi trong phần này sử dụng định nghĩa hàm lồi mở rộng.

Định lý (Tính chất lồi có tính một chiều):

lồi khi và chỉ khi lồi với mọi và mọi hướng .

Chứng minh:

“ “: Nếu , do là tổ hợp của và hàm affine , nên cũng lồi.

“ “: Nếu lồi với mọi và mọi hướng , lấy 2 điểm bất kì ,
chọn , ta có

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Điều kiện để hàm 1 biến lồi:
Định lý (Điều kiện cần và đủ): Với mọi

Nghĩa là đạo hàm của không giảm trên miền xác định.

Chứng minh:

“ “: Ta có

với mọi . Cho rồi cho ta có điều phải chứng minh.
“ “: Nếu , ta có

với .

Vì nên theo giả thiết, do đó ta có điều phải chứng minh.

Định lý (Điều kiện đủ): Nếu đạo hàm bậc hai tồn tại và khơng âm thì lồi.

Chứng minh: tồn tại và khơng âm chứng tỏ không giảm, suy ra lồi.

Định lý (Điều kiện đủ cho hàm nhiều biến lồi: Nếu ma trận Hessian
xác định khơng âm thì lồi.

Chứng minh: Đặt với . Đạo hàm bậc 1 và bậc 2 của tại

theo hướng là

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Nếu xác định không âm, với mọi hướng , nghĩa là lồi.

Ví dụ: lồi trên .

Nhận xét: Tuy là hàm lồi, đồng biến nhưng lại là hàm lõm ( lồi) nên ta không
thể dùng phương pháp tổ hợp để chứng minh hàm đã cho lồi.

Chứng minh: Tính đạo hàm bậc hai theo hướng bất kì:

Để thấy được , đặt , ta có

Do và , đồng thời hàm lồi, ta có , điều phải
chứng minh.

Đăng trong Giải tích lồi | Tagged: hàm lồi, tính lồi | Leave a Comment »

Hàm lồi (2) – Biến đổi giữ nguyên tính

lồi

Posted by tqlong on Tháng Hai 5, 2008

Tổ hợp tuyến tính với hệ số dương: lồi nếu lồi và với mọi .

Chứng minh:

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

(iii) Từ (i) và (ii) suy ra lồi nếu lồi và với mọi .

Lấy supremum: lồi nếu lồi với mọi .

Chứng minh: Rõ ràng . Do đó lồi vì nó là giao của các tập lồi.

Tổ hợp hàm: lồi, lồi trên và đồng biến thì

lồi trên .

Chứng minh: Nếu , ta có

Nhận xét:Nếu là hàm affine, , thì khơng cần phải đồng biến, ta vẫn có
lồi.

Lấy minimum: Nếu lồi và thì cũng lồi.

Chứng minh: Nếu , suy ra với mọi , tồn tại sao cho

và
Ta có

.
Bất đẳng thức trên đúng với mọi , vậy ta có

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Định nghĩa (siêu phẳng): Tập là siêu phẳng trong nếu là không gian affine chiều.

Định lý (dạng tuyến tính của siêu phẳng): Tập là siêu phẳng nếu và chỉ nếu có thể biểu

diễn dưới dạng

Chứng minh: Hiển nhiên vì khơng gian con gắn với có chiều.
Như vậy, siêu phẳng chia thành 2 phần

Định nghĩa (phân cách bằng siêu phẳng): Ta nói siêu phẳng phân

cách hai tập nếu

1. .

2. .

Nhận xét: Ta cũng nói dạng tuyến tính phân cách được nếu tồn tại sao cho
siêu phẳng tương ứng phân cách .

Định lý: Dạng tuyến tính phân cách được nếu và chỉ nếu

1. .

2. .

Chứng minh:

“ “: Nếu phân cách được , tồn tại sao cho siêu phẳng
phân cách , tức là

tức là .

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

“ “: Chọn sao cho , rõ ràng siêu phẳng
phân cách .

Định lý (phân cách 2 tập lồi): Điều kiện cần và đủ để hai tập lồi phân cách được là
phần trong tương đối của không giao nhau.

Chứng minh:

Bổ đề:Nếu dạng tuyến tính đạt giá trị cực đại (hoặc cực tiểu) trên tập lồi tại một điểm
thì là hằng số trên .

Chứng minh: Ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp cực đại, trường hợp cực tiểu là hệ quả nếu
ta xét dạng tuyến tính . Xét , vì nên với đủ nhỏ ta có

. Ta có

Vì nên nếu khơng vế phải sẽ nhỏ hơn vế trái, suy ra
.

“ “: Giả sử ngược lại, tức là tồn tại và có dạng tuyến tính phân cách
, ta có

Nghĩa là đạt cực tiểu trên tại , và đạt cực đại trên tại . Theo bổ

đề trên, là hằng số trên :

.
Như vậy, không phân cách được , mâu thuẫn.

“ “: Ta sẽ chứng minh theo thứ tự sau

(i) Trường hợp .

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

(iii) Trường hợp là hai tập lồi bất kì và .

(iv) Trường hợp là hai tập lồi bất kì và .

Chứng minh (i): Đặt

.
Ta thấy khơng thể là tổ hợp nón của vì nếu vậy

Tức là hay .

Theo định lý Farkas thuần nhất, phải tồn tại véctơ sao cho

nhưng .

trong đó .

Nghĩa là hay . Mặt khác, nếu

thì

Tức là dạng tuyến tính phân cách hai tập .

Bổ đề 1: Nếu tập thì tồn tại chuỗi trù mật trong , nghĩa là với
mọi điểm , có một chuỗi con .

Chứng minh: Đặt chuỗi là chuỗi tất cả các véctơ hữu tỉ trong (lưu ý: tập các
véctơ hữu tỉ trong là tập đếm được). Ta xây dựng chuỗi như sau

1. Với mọi , với mọi , đưa một điểm sao cho

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

điểm nào đó sao cho . Vì thế , đồng thời là tập đếm được (do
với mỗi chỉ có nhiều nhất một điểm được đưa vào ).

2. Tập là tập đếm được (hợp đếm được các tập đếm được) nên có thể viết
thành chuỗi .

Ta sẽ chứng minh trù mật trong . Thật vậy, với mọi , với mọi , ta có một
điểm sao cho . Trong quá trình xây dựng , ta đã đưa vào một điểm
sao cho nên . Tức là, với mọi , với mọi , ta luôn
tìm được một điểm sao cho , nói cách khác trù mật trong .

Bổ đề 2: Hai tập phân cách được nếu và chỉ nếu tồn tại dạng tuyến tính phân cách

với .

Chứng minh:

“ “: hiển nhiên.

“ “: Nếu phân cách được thì tồn tại dạng tuyến tính phân cách .
Chiếu xuống ta được

Ta thấy vì nếu thì và dạng tuyến tính cũng

phân cách vì .

Chứng minh (ii): Xét 2 tập lồi , rõ ràng vì nếu khơng . Theo

bổ đề 1 có chuỗi trù mật trong , đồng thời theo (i) hai tập lồi và
phân cách được với mọi . Như vậy, theo bổ đề 2, tồn tại dạng tuyến tính với

sao cho

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Ta sẽ chứng minh . Thật vậy, nếu ngược lại , nghĩa là

. Do nên chỉ có một khả năng là , mâu thuẫn vì .
Như vậy phân cách được bằng dạng tuyến tính . Từ đó dễ dàng suy ra

cũng phân cách vì là ảnh của phép tịnh tiến .

Chứng minh (iii) : Xét 2 tập lồi . Rõ ràng lồi vì nó là tổ hợp tuyến tính
của hai tập lồi, đồng thời vì nếu khơng . Theo (ii), phải có dạng tuyến tính

phân cách . Tức là

Tức là phân cách .

Chứng minh (iv): Xét 2 tập lồi , theo giả thiết nên theo (iii)

tồn tại dạng tuyến tính phân cách . Tức là

Vì phần trong tương đối trù mật trong bao đóng và hàm liên tục nên

,
như vậy, cũng phân cách .

Định nghĩa (phân cách chặt): Hai tập phân cách chặt nếu tồn tại dạng tuyến tính sao
cho

Nhận xét:

1. phân cách chặt thì cũng phân cách được.

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

Định lý (phân cách chặt hai tập lồi): Điều kiện cần và đủ để hai tập lồi phân cách
chặt là khoảng cách giữa chúng lớn hơn 0.

Chứng minh:

“ “: Giả sử hai tập lồi phân cách chặt và tồn tại dạng tuyến tính sao cho
.

Ta sẽ chứng minh

Thật vậy, giả sử ngược lại , nghĩa là tồn tại hai chuỗi , sao
cho

Vì hàm liên tục nên . Ta lại có

suy ra mâu thuẫn.

“ “: Giả sử . Xét là lân cận của S:

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

Tức là , suy ra .

Tối ưu không ràng buộc (5) – Tốc độ hội tụ của phương

pháp đạo hàm (hàm

lồi)

Posted by tqlong on Tháng Tư 25, 2008

Ta biết, hàm lồi có các tính chất rất “đẹp” đối với các thuật tốn tối ưu hóa. Đặc biệt, cực tiểu
cục bộ của hàm lồi cũng là cực tiểu tồn cục. Tính chất này cho phép ước lượng các sai số như

hay , đồng thời cịn đảm bảo các thuật tốn tối ưu hoạt
động khá hiệu quả trên hàm lồi như ta sẽ thấy dưới đây.

Định lý (tốc độ hội tụ của thuật toán ArD): Nếu và là hàm lồi thì với thuật tốn

ArD (với tham số ), ta có

1. Quỹ đạo hội tụ đến một cực tiểu toàn cục nào đó.
2. Tốc độ hội tụ của sai số là

trong đó là hệ số Lipschitz của , là nghiệm ban đầu.

Chứng minh (1): Để cho tiện, đặt

với bất kì (lưu ý là có thể khác ). Ta có

Vì là hàm lồi nên xấp xỉ Taylor bậc 1 là cận dưới của hàm, ta có

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

Vậy, ta có

Hơn nữa, ta lại có ước lượng của bước nhảy Armijo

nên nếu hay thì

Tức là khoảng cách khơng tăng theo , nói cách khác quỹ đạo bị chặn. Theo
định lý về tính hội tụ của các phương pháp sử dụng đạo hàm, các điểm giới hạn của quỹ đạo

thỏa mãn tính chất . Nhưng do là hàm lồi nên cũng là cực tiểu toàn cục

của . Ngoài ra, do là điểm giới hạn của quỹ đạo nên có 1 dãy con hội tụ về , nhưng do
khoảng cách không tăng theo nên

hay .

Chứng minh (2): Thay , ta có

Vì (do thuật tốn ln làm giảm hàm mục tiêu) nên

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

Định nghĩa (hàm lồi mạnh): Hàm lồi gọi là hàm lồi mạnh (strongly convex) với tham số
nếu khả vi liên tục và

Định lý (tính chất của hàm lồi mạnh): Nếu là hàm lồi mạnh với tham số thì
1. Tập là tập compact với mọi .

2. Hàm là hàm lồi chặt và có cực tiểu toàn cục duy nhất.
3. Hàm là hàm thuộc lớp với tham số .

Bổ đề: Hàm là hàm lồi mạnh với tham số nếu và chỉ nếu

với là giá trị riêng (eigenvalue) bất kì của ma trận Hessian của tại .

Chứng minh:

“ “: Nếu là hàm lồi mạnh với tham số , đặt , ta có

Suy ra

Cho ta được . Nếu chọn là vectơ riêng ứng với
giá trị riêng thì

hay . Tương tự, ta cũng có .
“ “: Giả sử

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

Ta có khai triển Taylor bậc 2 của tại là

với . Ta lại có

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Chứng minh (1): Ta sẽ chứng minh bị chặn dưới. Thật vậy, cố định , ta có

Vế phải là hàm bậc hai của với hệ số ở lũy thừa 2 dương nên bị chặn dưới, do đó bị
chặn dưới với mọi . Đặt , và xét , ta có

Vế phải là hàm bậc 2 với hệ số ở lũy thừa 2 dương nên chỉ bị chặn trên khi bị chặn trên.
Vậy tập bị chặn. Hơn nữa, do tính liên tục của , tập là tập
đóng nên cũng là tập compact.

Chứng minh (2): Tập là tập compact nên phải tồn tại cực tiểu của trong tập
này. Rõ ràng, đây cũng là cực tiểu toàn cục của . Hơn nữa là hàm lồi chặt nên cực tiểu này
là duy nhất (ma trận Hessian xác định dương do ).

Chứng minh (3): Ta có

với . Theo bổ đề trên, ta lại có

Vậy

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

Định lý (tốc độ hội tụ của thuật toán ArD khi hàm mục tiêu lồi mạnh): Nếu là hàm lồi
mạnh với tham số thì với thuật toán ArD (với tham số ), ta có

1. Quỹ đạo hội tụ về cực tiểu duy nhất .
2. Tốc độ hội tụ của hàm sai số là

với và gọi là tỉ số điều kiện (condition

number) của hàm .

3. Tốc độ hội tụ của hàm sai số là

Chứng minh (1): Dễ thấy vì các tính chất trên của hàm lồi mạnh nên các điều kiện của các định
lý về tính hội tụ của thuật tốn ArD với hàm mục tiêu lồi được thỏa mãn.

Chứng minh (2): Theo định lý trên, ta có

Với điều kiện hàm lồi mạnh, ta có thể ước lượng chính xác hơn

do , vậy

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

Ta lại có

suy ra

Nhận xét:

1. Trong trường hợp tổng quát, ta chỉ có thể đánh giá do hàm mục tiêu
có thể có nhiều cực tiểu cục bộ (và các điểm KKT khác).

2. Trong trường hợp hàm lồi thuộc lớp , ta có thể đánh giá được hàm

vì các điểm KKT là cực tiểu tồn cục của hàm mục tiêu. Tuy
nhiên ta khơng thể đánh giá hàm vì có thể có rất nhiều cực tiểu toàn
cục.

3. Trong trường hợp hàm lồi mạnh, chỉ có một cực tiểu duy nhất nên ta có điều kiện ước

lượng .

4. Tuy tốc độ hội tụ trong trường hợp hàm mục tiêu lồi mạnh là tuyến tính, tỉ lệ hội tụ phụ
thuộc rất nhiều vào tỉ số điều kiện . Khi lớn thì gần bằng tức là thuật tốn
hội tụ rất chậm. Trường hợp này ta nói hàm là hàm có điều kiện tồi (ill-conditioned).
5. Những hàm thay đổi mạnh trên một hướng nhưng thay đổi rất ít trên hướng khác là

những hàm có điều kiện tồi.

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

6. Như vậy, phương pháp tối ưu theo hướng đạo hàm phụ thuộc vào hệ tọa độ quy chiếu,
trong ví dụ trên nếu ta đổi biến

thì , tỉ số điều kiện lúc này là và thuật toán hội tụ rất nhanh.
Đăng trong Giải tích lồi, Quy hoạch lồi, Quy hoạch phi tuyến | Tagged: armijo, hàm lồi, tốc độ
hội tụ | Leave a Comment »

Tập lồi (6) – Siêu phẳng đỡ và điểm cực

biên

Posted by tqlong on Tháng Hai 12, 2008

Định nghĩa (siêu phẳng đỡ): Nếu tập lồi và điểm , siêu phẳng qua và phân tách
gọi là siêu phẳng đỡ tại .

Nhận xét: Nếu thì khơng thể có siêu phẳng đỡ tại vì .

Định lý (giao của siêu phẳng đỡ và tập lồi): Nếu thì
1. Tồn tại siêu phẳng đỡ tại .

2. .

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

Chứng minh (2): Giả sử ngược lại . Ta thấy , tức là

. Nhưng nên . Mặt khác vì

nên . Tức là , suy ra

. Mâu thuẫn vì như vậy và như vậy không thể là siêu phẳng đỡ
(theo định nghĩa siêu phẳng phân cách).

Định nghĩa (điểm cực biên):Điểm cực biên của tập đóng, lồi có thể được định nghĩa
bằng các cách tương đương sau:

1. Không tồn tại hai điểm và sao cho .
2. Không tồn tại véc tơ sao cho .

3. Tập lồi.

Kí hiệu tập các điểm cực biên của là .

Chứng minh:

: Hiển nhiên vì .

: Giả sử không lồi, suy ra tồn tại đoạn thẳng chứa , tức là có một
đoạn thẳng có là trung điểm, trái với giả thiết.

: Hiển nhiên vì nếu tồn tại và sao cho thì
khơng thể lồi.

Định lý: Nếu siêu phẳng đỡ tập lồi thì các điểm cực biên của cũng
là điểm cực biên của .

Chứng minh: Nếu là điểm cực biên của nhưng không phải là điểm cực biên của , tức

là có sao cho . Ta có .

Suy ra , tức là . Nói cách khác cũng không
là điểm cực biên của , mâu thuẫn.

Định nghĩa (đỉnh): Đỉnh của tập đóng, lồi có thể định nghĩa bằng các cách tương
đương sau:

1. Tồn tại siêu phẳng đỡ tại và .

2. Tồn tại dạng tuyến tính đạt giá trị cực đại duy nhất trên tại .

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

Định lý: Điểm là điểm cực biên của nếu nó là đỉnh của .

Chứng minh: Vì tồn tại dạng tuyến tính đạt giá trị cực đại duy nhất tại nên không thể tồn

tại véctơ sao cho do .

Định lý Krein-Milman (điều kiện tồn tại điểm cực biên): Nếu tập là tập đóng, lồi thì:
1. có điểm cực biên nếu và chỉ nếu không chứa đường thẳng.

2. Nếu giới nội thì chính là bao lồi của các điểm cực biên của nó.

Chứng minh (1):

“ “: Giả sử không chứa đường thẳng. Chọn điểm bất kì. Nếu là điểm cực biên, ta có
điều phải chứng minh. Ngược lại, nếu khơng phải là điểm cực biên, chọn một đường thẳng bất
kì qua . Đường thẳng này phải thốt ra khỏi ở một điểm nào đó (vì khơng chứa

đường thẳng). Vì , ta có mặt phẳng đỡ tại . Đặt , ta có

. Nếu khơng phải là điểm cực biên của ta lại lập luận như trên và giảm
được vì cũng khơng chứa đường thẳng. Q trình lập luận này phải dừng ở bước nào
đó mà là điểm cực biên của . Theo định lý trên ta có , tức là

là điểm cực biên của .

“ “: Giả sử có điểm cực biên và đường thẳng . Rõ
ràng, đường thẳng này khơng thể đi qua vì đây là điểm cực biên. Ta sẽ chứng minh .
Thật vậy, với nếu ta chọn điểm nằm giữa sao cho

thì . Hơn nữa, ta lại có , và đóng nên . Tương tự
. Suy ra không phải là điểm cực biên.

Chứng minh (2): Rõ ràng vì lồi. Ta sẽ chứng minh bằng quy

nạp theo .

Cơ sở: Định lý đúng với , hay .

Quy nạp: Giả sử định lý đúng với mọi , ta sẽ chứng minh định lý cũng đúng với .
Thật vậy, xét điểm , một đường thẳng bất kì qua phải thốt ra khỏi tại hai điểm

vì nếu không sẽ chứa đường thẳng hoặc chứa tia, tức là khơng bị giới nội. Như
vậy có 2 siêu phẳng đỡ lần lượt ở . Ta có

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

theo giả thiết quy nạp do và . Như vậy,

vì và .

Tập lồi (7) – Cấu trúc của đa diện

lồi

Posted by tqlong on Tháng Hai 14, 2008

Định nghĩa (đa diện lồi): Tập gọi là đa diện lồi (polyhedra) trong .

Nhận xét:

1. Đa diện lồi là tập đóng, lồi.

2. cũng là đa diện lồi khi ta chọn .

3. Các ràng buộc của bài tốn quy hoạch tuyến tính tạo nên đa diện lồi.

Định lý (cấu trúc của đa diện lồi): Đa diện lồi ln có thể biểu diễn
dưới dạng

trong đó là tập đóng lồi khơng chứa đường thẳng, là không gian con của .

Lưu ý: Nhắc lại khái niệm trong đại số tuyến tính:

1. (nhân của ma trận, cịn kí hiệu là ).
2. (khơng gian con tạo bởi các cột của ).
3. Tính chất: .

Chứng minh: Ta sẽ chứng minh theo thứ tự sau

1. Nếu , đường thẳng nếu và chỉ nếu
.

2. Đặt thì và khơng chứa

đường thẳng.

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

Ngược lại, nếu , tức là ( là dòng thứ của ). Xét 2
trường hợp:

 , rõ ràng khi ta sẽ có .
 thì khi ta cũng có .

Vậy chỉ còn khả năng , tức là .

Chứng minh (2): Rõ ràng nên theo (1). Ngược lại, nếu , chiếu

xuống , ta có

Ta thấy nên theo (1), như vậy , suy ra .
Tức là . Kết luận .

Để thấy không chứa đường thẳng, để ý rằng nên mọi đường thẳng trong cũng là
đường thẳng trong , nghĩa là hướng của đường thẳng này nằm trong , vơ lý vì nằm
trong không gian trực giao với .

Nhận xét:

1. Ta thấy là đa diện lồi trong không gian con của nên nó cũng là đa diện lồi trong
(ngồi điều kiện ta thêm vào các điều kiện ).
2. không chứa đường thằng nếu và chỉ nếu .

Định lý (cấu trúc của đa diện lồi có điểm cực biên): Nếu là đa diện

lồi không chứa đường thẳng thì có thể biểu diễn dưới dạng

trong đó hữu hạn, là tập hữu hạn các véctơ và .

Chứng minh: Ta sẽ chứng minh theo thứ tự sau

1. Nếu sao cho tồn tại thì .
2. Hơn nữa, với như vậy, với mọi .

3. .

4. Tập hữu hạn.

5. Tập là tập tất cả các tổ hợp nón của một tập hữu hạn véctơ
.

Chứng minh (1): Ta có , tức là . Nếu

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

Chứng minh (2): Vì , với mọi , ta có , tức là toàn bộ

tia .

Chứng minh (3): Rõ ràng nên theo (2).

Ngược lại, nếu , ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo
.

Cơ sở: với tức là định lý đúng.

Quy nạp: giả sử định lý đúng với , ta sẽ chứng minh định lý cũng đúng với . Thật

vậy, chọn một véctơ . Vì không chứa đường thẳng nên (do

theo định lý trên). Đồng thời, tia phải thoát ra khỏi ở một
điểm nào đó, nếu khơng sẽ chứa tồn bộ đường thẳng . Xét
siêu phẳng đỡ ở , đặt . Rõ ràng cũng là đa diện lồi,
không chứa đường thẳng, theo giả thiết quy nạp điểm phải thuộc vào tập

(do ta thêm một điều kiện vào đa diện lồi). Rõ
ràng

tức là . Suy ra

Chứng minh (4): Kết luận (4) là hệ quả của bổ đề sau đây

Bổ đề (điều kiện cực biên của đa diện lồi): Nếu là điểm cực biên của , trong các ràng buộc

được kích hoạt tại , phải có ràng buộc độc lập tuyến tính, tức là có

và độc lập tuyến tính.

Chứng minh: Thật vậy, giả sử ngược lại, chỉ có ràng buộc độc lập tuyến tính. Như vậy,
tồn tại véctơ sao cho trực giao với tất cả của các ràng buộc được kích hoạt tại . Xét
điểm . Rõ ràng, các ràng buộc được kích hoạt tại vẫn được kích hoạt tại

, ngồi ra, với đủ nhỏ, các ràng buộc khơng được kích hoạt tại vẫn được thỏa mãn
tại , như vậy với đủ nhỏ, tức là không phải là điểm cực biên,
mâu thuẫn.

Do số lượng các bộ ràng buộc trong ràng buộc ( là số dòng của ma trận A) là hữu hạn
nên số điểm cực biên, , cũng là hữu hạn.

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

bị kích hoạt tại (tại phải có điều kiện được kích hoạt, nếu khơng nó phải nằm trong
). Theo giả thiết quy nạp,

với là tập hữu hạn. Như vậy

.
Do số ràng buộc, , là hữu hạn nên nếu ta đặt , thì

Nhận xét:

1. Qua hai định lý trên, tổng hợp lại, ta luôn có khẳng định sau: Đa diện lồi
ln có thể viết dưới dạng

(*)

trong đó và hữu hạn.

2. Có thể chứng minh mọi tập có dạng (*) đều là đa diện lồi.

3. Nếu coi biểu diễn là biểu diễn từ phía ngồi ( ràng buộc ) thì biểu
diễn (*) là biểu diễn từ phía trong, nghĩa là trong có một số hữu hạn véctơ mà tất cả
các véctơ khác có thể biểu diễn bằng các véctơ này.

4. Với tập đóng, lồi và bị chặn, ta đã biết .

5. Hai cách biểu diễn như vậy giúp hiểu rõ cấu trúc của đa diện lồi, đồng thời còn giúp trả
lời các vấn đề mà nếu chỉ sử dụng biểu diễn ngồi rất khó giải thích (xem tiếp ở dưới).

6. Bổ đề về điều kiện cực biên của đa diện lồi là cơ sở của phương pháp đơn hình giải bài

tốn quy hoạch tuyến tính.

Định lý (các phép biến đổi đa diện lồi): Nếu là đa diện lồi thì
1. Ảnh của đa diện lồi qua ánh xạ affine ngược cũng là đa diện lồi.
2. Ảnh của đa diện lồi qua ánh xạ affine cũng là đa diện lồi.
3. Giao của hai đa diện lồi là đa diện lồi.

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

Chứng minh: (1) và (3) là hệ quả trực tiếp của biểu diễn ngoài, (2) và (4) là hệ quả trực tiếp của
biểu diễn trong vì đây là các phép tốn biến đổi tập lồi và nón lồi (Lưu ý, rất khó chứng minh (2)
và (4) nếu chỉ sử dụng biểu diễn ngồi).

Định lý (hàm tuyến tính bị chặn đạt cực trị trong đa diện lồi): Nếu hàm tuyến tính bị chặn
trên (chặn dưới) trong đa diện lồi thì nó đạt cực đại (cực tiểu) trong đa diện lồi đó.

Chứng minh: Nếu bị chặn trên trong đa diện lồi thì với mọi

ta phải có . Thật vậy, nếu , rõ ràng với mọi ta có

khơng bị chặn khi . Suy ra, với mọi ta
có

Tức là cực đại của trên cũng là cực đại của trên .

Nhận xét:

1. Định lý đảm bảo bài tốn quy hoạch tuyến tính ln có nghiệm nếu hàm mục tiêu bị
chặn.

2. Khi không chứa đường thẳng, cực đại của hàm mục tiêu ln có thể đạt được ở một
trong các điểm cực biên.

3. Với bài tốn quy hoạch tuyến tính ở dạng chuẩn tắc

</div>


<a href=' />

Ham so loi

Archive for the ‘Giải tích lồi’ Category

<b>Hàm l</b>

<b>ồ</b>

<b>i và hàm l</b>

<b>ồ</b>

<b>i suy r</b>

<b>ộ</b>

<b>ng - Ph</b>

<b>ầ</b>

<b>n 1: Hàm l</b>

<b>ồ</b>

<b>i, hàm l</b>

<b>ồ</b>

<b>i ch</b>

<b>ặ</b>

<b>t, </b>

<b>hàm l</b>

<b>ồ</b>

<b>i m</b>

<b>ạ</b>

<b>nh </b>

<b>Hàm l</b>

<b>ồ</b>

<b>i và hàm l</b>

<b>ồ</b>

<b>i suy r</b>

<b>ộ</b>

<b>ng - Ph</b>

<b>ầ</b>

<b>n 2: Hàm t</b>

<b>ự</b>

<b>a l</b>

<b>ồ</b>

<b>i và hàm </b>

<b>t</b>

<b>ự</b>

<b>a l</b>

<b>ồ</b>

<b>i ch</b>

<b>ặ</b>

<b>t </b>

<b>Hàm lồi và hàm lồi suy rộng - Phần 3: Hàm giả lồi và hàm </b>

<b>giả lồi chặt </b>

<b>Hàm lồi (1) – Định nghĩa và tính chất cơ bản</b>

<b>Like this:</b>

<b>Định lý Caratheodory, Radon,</b>

<b> Helley</b>

<b>Hàm lồi (2) – Biến đổi giữ nguyên tính lồi</b>

<b>Tập lồi (4) – Tính chất</b>

<b> tôpô</b>

<b>Tập lồi (3) – Phép tốn giữ ngun tính</b>

<b> lồi</b>

<b> </b>

<b>Tập lồi (2) – Tổ hợp lồi, bao lồi, bao affine, chiều, đơn hình, </b>

<b>nón lồi, bao</b>

<b> nón</b>

<b>Tập lồi (1) – Định nghĩa và một số ví</b>

<b> dụ</b>

<b> </b>

<b>Hàm lồi (5) – Tính chất của cực</b>

<b> đại</b>

<b> </b>

<b>Hàm lồi (4) – Điều kiện của cực</b>

<b> tiểu</b>

<b>Hàm lồi (3) – Kiểm tra tính</b>

<b> lồi</b>

<b> </b>

<b>Hàm lồi (2) – Biến đổi giữ nguyên tính</b>

<b> lồi</b>

<b> </b>

<b>Tối ưu không ràng buộc (5) – Tốc độ hội tụ của phương </b>

<b>pháp đạo hàm (hàm</b>

<b> lồi)</b>

<b> </b>

<b>Tập lồi (6) – Siêu phẳng đỡ và điểm cực</b>

<b> biên</b>

<b>Tập lồi (7) – Cấu trúc của đa diện</b>

<b> lồi</b>

<b> </b>