De on thi Dai hoc nam 2012 ischool Nha Trang Dap ande 2

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Đáp án đề 2

<b>CâuI</b> Nội dung <b>2điểm</b>

1

TXĐ D= R
y’ =

<i>x+</i>2¿2
¿
4
¿

> 0 <i>∀x∈D</i>

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;-2) và (-2;+∞) và khơng có cực trị.

0.25

<i>x →</i>2+¿

lim <i>y</i>
¿

= +∞, lim <i>y</i>

<i>x →−</i>2<i>−</i> = 2 -∞ <i>⇒</i> x = -2 là tiệm cận đứng
lim <i>y</i>

<i>x →± ∞</i> = 2 <i>⇒</i> y = 2 là tiệm cận ngang

0.25
Bảng biến thiên :

x -∞ -2 +∞
y +∞

-∞

0.25

Điểm đặc biệt : (0 ; 0), (1 ; 2/3), (2 ; 1) , (-1 ;-2), tâm đối xứng I(-2 ;2)

Đồ thị :

0.25

2

Gọi M(x0 ;
2<i>x</i>₀
<i>x</i>0+2

) là điểm trên (C ). Ttiếp tuyến ∆ của (C ) tại M là :
y - 2<i>x</i>0

<i>x</i>0+2
=

<i>x</i>0+2¿2

¿
4
¿

(x – x0) <i>⇔</i> 4x – (x0 = 2) ❑2 y + 2x0 = 0 (∆)

0.25

d(I, ∆) =

<i>x</i>0+2¿
2

+2<i>x</i>0
<i>−</i>8<i>−</i>2¿

¿
<i>x</i>₀+2¿4

¿
16+¿

√¿
¿
¿

=

<i>x</i>0+2¿4
¿

16+¿

√¿
8

|

<i>x</i>0+2

|

¿

<i>x</i>0+2¿2
¿
2 . 4¿

√¿
8

|

<i>x</i>0+2

|

¿

(bđt Cô –Si)

<i>⇒</i> d(I, ∆) 8

|

<i>x</i>0+2

|

2

√

2

_|

<i>x</i>₀2

_|

= 2

√

2

0.25

<i>⇒</i> d(I, ∆) đạt giá trị lớn nhất <i>⇔</i> (x0 +2)4 = 16

y’ ₊ ₊

2 2

y

O
-2

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<i>⇔</i>

<i>x</i>0=0,(<i>y</i>0=0)
¿

<i>x</i>₀=−4,(<i>y</i>₀=4)
¿

¿
¿
¿

0.25

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn đề bài : y = x và y = x + 8 0.25

<b>Câu II</b> <b>1điểm</b>

1

Với điều kiện cosx 0 ,phương trình tương đương với :
cos2x.cos2_{x – sin}2_{x = cosx}2_{+ cos}3_{x – 1}

<i>⇔</i> cos2_{x( cos2x – cosx) = 0}

0.25

<i>⇔</i> 2cos2_{x – cosx – 1 = 0} _0.25

<i>⇔</i>

cos<i>x</i>=1

¿

cos<i>x</i>=<i>−</i>1
2

¿
¿
¿
¿

0.25

<i>⇔</i>

<i>x=n</i>2<i>π</i>(n<i>∈Z)</i>
¿
<i>x=±</i>2<i>π</i>

3 +<i>k</i>2<i>π</i>(k<i>∈Z</i>)

¿

¿
¿
¿

0.25

2

Từ hệ pt suy ra : y 0 nên

Hpt <i>⇔</i>

<i>x</i>2+1

<i>y</i> +<i>x</i>+<i>y=</i>4
<i>x+y</i>¿2<i>−2</i> <i>x</i>

2
+1
<i>y</i> =2
¿

¿
¿{

¿
Đặt u = <i>x</i>

2
+1

<i>y</i> và v = x + y .Ta có hệ phương trình :










7
2

4

2 <i>_u</i>

<i>v</i>
<i>v</i>
<i>u</i>

<i>⇔</i>

¿
<i>u=4− v</i>
<i>v</i>2+2<i>v −15=0</i>

¿{
¿

<i>⇔</i>

¿<i>u=1</i>
<i>v</i>=3

¿
¿
¿
<i>u</i>=9

¿
<i>v</i>=−5

¿
¿
¿
¿
¿

0.25

Với u = 1, v = 3 ta có hệ phương trình :

0.25
(thỏa mãn đk cosx

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

¿
<i>x</i>2+1=<i>y</i>

<i>x</i>+<i>y=3</i>
¿{

¿

<i>⇔</i>

¿
<i>x</i>2+<i>x −2=</i>0

<i>y</i>=3− x
¿{

¿

<i>⇔</i>

¿<i>x</i>=1
<i>y</i>=2

¿
¿
¿
<i>x=−</i>2

¿

<i>y</i>=5

¿
¿
¿
¿
¿
Với u= 9, v = -5 ta có hệ phương trình

¿
<i>x</i>2+1=9<i>y</i>
<i>x+y=−5</i>

¿{
¿

hệ phương trình vơ nghiệm 0.25

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (1 ; 2) , (-2 ; 5) 0.25

<b>Câu III</b> <b>1điểm</b>

Ta có

1+tan<i>x</i>
2¿

2

1+sin<i>x</i>

1+cos<i>x</i>=

1
2¿

. Do đó :

I = 1₂

1+tan <i>x</i>
2¿

2_.e<i>x</i>_dx=1

2

∫

₀

<i>π</i>

2

(1+tan2<i>x</i>
2+2 tan

<i>x</i>
2).<i>e</i>

<i>x</i>_dx

¿

∫

0

<i>π</i>

2
¿

0.25

I = 1₂

(1+tan2<i>x</i>
2)e

<i>x</i>_dx+

¿

∫

0

<i>π</i>

2
¿

∫

0

<i>π</i>

2
tan<i>x</i>

2.<i>e</i>

<i>x</i>

dx

0.25

Đặt u = ex <i>_⇒</i> _{du = e}x_{dx, dv =} 1

2(1+tan
2 <i>x</i>

2)dx <i>⇒</i> v = tan
<i>x</i>
2 .
Do đó :

I = ex_tan <i>x</i>
2

¿<i>π</i>

2

¿0

<i></i> _-

∫

0

<i>π</i>

2
tan<i>x</i>

2.<i>e</i>

<i>x</i>

dx +

_∫

0

<i>π</i>

2
tan<i>x</i>

2.<i>e</i>

<i>x</i>

dx

0.25

Vậy I = e _❑<i>π</i>4 . 0.25

<b>Câu IV</b> <b>1điểm</b>

N

<b>A</b>

<b>K</b>

<b>I</b>
<b>O</b>

<b>M</b>

<b>D</b>

<b>C</b>
<b>B</b>

<b>S</b>

0.25
Từ giả thiết suy ra ACD là tam giác

đều cạnh a

<i>⇒</i> CM AD và CM = <i>a</i>

√

3

2 .

<i>⇒</i> SBCDM = 1

2 (BC + DM).CM
= 3<i>a</i>

2

√

3

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Gọi N = BM AC <i>⇒</i> M là trọng tâm của tam giác ABD.
SA // (P) <i>⇒</i> (SAC) (P) = NK // SA

Dựng KI // SO với I AC <i>⇒</i> KI (ABCD)

0.25
∆SOC đồng dạng với ∆KIC <i>⇒</i> KI_SO=CK

CS (1)
∆SAC đồng dạng với ∆KNC <i>⇒</i> CK

CS =
CN
CA =

CO+ON

CA =

OA+1
3OA
2 OA =

2
3

(2)
Từ (1) và (2) <i>⇒</i> KI

SO=
2

3 <i>⇒</i> KI =

<i>a</i>

√

3

3 .

0.25

VK.BCDM = 1

3 SBCDM.KI = <i>a</i>
3

8 (đvtt) 0.25

<b>Câu V</b> <b>2 điểm</b>

1

0 < a 1 , 0 < b 1 <i>⇒</i> (a – 1)(b – 1) 0
<i>⇒</i> ab – a – b + 1 0
<i>⇒</i> 1 a + b – ab
<i>⇒</i> 1

ab

1
<i>a</i>+

1

<i>b</i> - 1 (1)

0.25

Tương tự như trên ta có : _bc1 <i>≥</i>1
<i>b</i>+

1

<i>c−1</i> (2)
Và 1

ca <i>≥</i>
1

<i>c</i>+

1

<i>a−1</i> (3)
Cộng 3 bất đẳng thức trên vế theo vế ta có :
1

ab+
1
bc +

1
ca<i>≥</i>2(

1
<i>a</i>+

1
<i>b</i>+

1
<i>c</i>) - 3

0.25

Ta có ( 1 + 1

abc¿ (a + b + c) = a + b + c +
1

ab+

1
bc +

1
ca
<i>⇒</i> ( 1 + _abc1 ¿ (a + b + c) a + b + c + 2( 1<i>_a</i>+1

<i>b</i>+
1
<i>c</i>¿ - 3
2

1
<i>a</i>+

1
<i>b</i>+

1
<i>c</i>
(a+<i>b+c</i>)(¿)+1

<i>a</i>+
1
<i>b</i>+

1
<i>c−</i>3

√¿
2.3 + 1

<i>a</i>+
1
<i>b</i>+

1

<i>c</i> - 3 ( theo bđt Cô –Si)
Vậy ( 1 + _abc1 ¿ _{(a + b + c)} _{3 +} 1

<i>a</i>+
1
<i>b</i>+

1
<i>c</i>

0.25

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 0.25

<b>Câu VI.a</b> <b>2điểm</b>

1

AB đi qua A(1 ;-2) và AB CH <i>⇒</i> AB : x + y + 1 = 0
B = AB BN nên tọa độ điểm B là nghiệm của hpt

¿
<i>x</i>+<i>y</i>+1=0
2<i>x</i>+<i>y</i>+5+0

¿{
¿

<i>⇒</i>

¿
<i>x=−</i>4

<i>y=3</i>
¿{

¿
<i>⇒</i> <b>B(-4 ; 3)</b>

0.25

Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua BN thì A’ BC.

Phương trình đường thẳng d đi qua A và vng góc với BN là d : x – 2y – 5 = 0.
Gọi I = d BN thì tọa độ điểm M là nghiệm của hệ pt :

¿
<i>x −</i>2<i>y −5</i>=0

2<i>x+y</i>+5+0
¿{

¿

<i>⇒</i>

¿
<i>x=−1</i>
<i>y=−</i>3

¿{
¿

<i>⇒</i> I(--1;-3).
I là trung điểm của AA’ nên A’(-3 ;-4)

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Phương trình đường thẳng BC : 7x + y + 1 = 0

C= BC CH nên tọa độ điểm C là nghiệm của hệ pt :

¿
7<i>x+y+</i>25=0

<i>x − y</i>+1=0
¿{

¿

<i>⇒</i>

<i>x=−</i>13
4
¿
<i>y=−</i>9

4
¿
¿{

¿
¿ ¿

¿

<i>⇒</i> C( <i>−</i>13
4 <i>;−</i>

9
4 <b>)</b>

0.25

BC = 15

√

2

4 , d(A,BC) = 3

√

2 ;
S<b>ABC = </b> 45

24

0.25

2

Mp(P) qua O nên(P) có pt dạng : Ax + By + Cz = 0 với A2_{+ B}2_{+ C}2 ₀

( P) ( Q)  _{1.A + 1.B + 1.C = 0} <i>_⇒</i> _{C= -A – B (1)} _0.25
d(M,(P) =

√

2  _{( A + 2B – C)}2₌

_√

₂ _{( A}2_{+ B}2_{+ C}2_{) (2)}

Từ (1) và (2)  _{8AB + 5B}2_{= 0}_

<i>B=0</i>
¿
<i>A=−</i>5

8<i>B</i>
¿
¿
¿
¿

0.25

 B = 0  C = -A  (P) : x – z = 0 0.25

 A= - 5

8<i>B</i>  (P) : 5x – 8y + 3z = 0

0.25

<b>Câu VII.a</b> <b>1 điểm</b>

N( <i>Ω</i> ) = C ❑177 = 19448 0.25

Gọi A là biến cố : « đội tuyển chỉ có mặt 1 trong 2 danh thủ Cường hoặc Thủy »
Ta có các trường hợp sau :

Đội tuyển có Cường và khơng có Thủy : số cách chọn 3 nam còn lại là C ❑36 , Số
cách chọn 3 nữ khơng có Thủy là : C ❑39

Số cách chọn đội tuyển là : C ❑36 . C ❑39 = 1680.

0.25

 Đội tuyển có Thủy (khơng có Cường) : Số cách chọn 2 nữ còn lại là C ❑92 .
Số cách chọn 4 nam (khơng có Cường) là : C ❑64 .

Số cách chọn đội tuyển là : C ❑₆4 . C ❑₉2 = 540.

 _{n(A) = 1680 + 540 = 2220}

0.25

Xác suất của biến cố A là :

P(A) = <i>n(A)</i>

<i>n(Ω)</i> =
555

4862 <i>≈</i>0<i>,11</i>

0.25

<b>Câu VI.b</b> <b>2điểm</b>

AC BH  _{AC: x – y = 0.}

A = d AC nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình :

¿
<i>x −</i>4<i>y −2</i>=0

<i>x − y=0</i>
¿{

¿

 _{x = y = -} 2
3

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

1  A( <i>−</i>
2
3<i>;−</i>

2
3 )
M là trung điểm của AC  _C( 8

3<i>;</i>
8

3 ) 0.25

BC // d  _{BC: x – 4y + m = 0}

C BC  _{m = 8} _{BC : x – 4y + 8 = 0}

0.25
B = BH BC nên tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình :


¿
<i>x=−</i>4

<i>y=1</i>
¿{

¿

 _{B(-4; 1).} 0.25

2

A Ox, C Oz  _{A(a; 0; 0), C(0; b; 0) với ac} _0.
 _{(P) :} <i>x</i>

<i>a</i>+
<i>y</i>
3+

<i>z</i>
<i>c</i>=1
M(4; 0;-3) (P)  4

<i>a−</i>
3

<i>c</i>=1  4c – 3a = ac

0.25

VOABC = 1

3<i>S</i>OAC. OB =

|ac|

2

VOABC = 3  |ac| = 6 

ac=6
¿

ac=−6

¿
¿
¿
¿

0.25

Ta có

¿4<i>c −</i>3<i>a=6</i>
ac=6

¿
¿
¿
4<i>c −3a=−</i>6

¿
ac=−6
¿
¿
¿
¿
¿



¿<i>a</i>=−4

<i>c=−</i>3

2
¿
¿
¿
<i>a=2</i>

¿
<i>c=3</i>

¿
¿
¿
¿
¿

0.25

Vậy có hai mp thỏa mãn đề bài : (P1) : - ₄<i>x</i>+₃<i>y−</i>2₃<i>z</i>=1 ; (P2) : <i>x</i>₂+₃<i>y</i>+₃<i>z</i>=1 0.25

<b>Câu VII.b</b> <b>1điểm</b>

Gọi z = a + bi với a,b <b>R </b>

_|

<i>_z</i>

_|

₌

_√

<i>_aa</i>_+b2
1<i>_z</i>=<i>a −</i>bi

<i>a</i>2+<i>b</i>2

0.25

_|1<i>_z</i>_|= 1

√

<i>a</i>2

+<i>b</i>2 ; 1 – z = 1 – a – bi

 1<i>− a</i>¿
2

+<i>b</i>2

¿

|1<i>− z</i>|=√¿

0.25

|<i>z</i>|=

|

1

<i>z</i>

|

=|1− z| 

√

<i>a</i>2+b2= 1

√

<i>a</i>2+b2

1<i>−a</i>¿2+<i>b</i>2
¿
¿
¿
¿

¿

√

<i>a</i>2+<i>b</i>2=√¿



¿
<i>a</i>2+b2=1

<i>a=</i>1
2
¿{

¿

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>



¿<i>a=</i>1
2
<i>b=</i>

√

3
2
¿
¿
¿
<i>a=</i>1

2
¿
<i>b=−</i>

√

3

2
¿
¿
¿
¿
¿

Vậy z = 1
2+

√

3

2 <i>i</i> hoặc z =
1
2<i>−</i>

√

3
2 <i>i</i>

</div>

<!--links-->