PT NGIEM NGUYEN

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<i> Bµi viÕt: </i>

øng dông tÝnh chia hết

vào việc giảt một số dạng toán phơng trình nghiệm nguyên.

<b> </b>

Trong quỏ trình dạy học và bồi dỡng HSG mơn tốn ở trờng phổ thơng tơi thấy rằng học sinh có
thể tiếp thu một cách dễ dàng các phép tính số học, thực hiện tốt các d y tính các phức tạp... Song, khi<b>ã</b>
gặp một số bài toán nghiệm nguyên của một phơng trình thì đa số học sinh thờng " lúng túng", nhiều em
còn "né tránh", ngại tiếp xúc. Điều đó ảnh hởng rất lớn đến sự phát triển t duy tốn học nh ; tính mềm
dẻo, tính linh hoạt, sáng tạo... của các em sau này.

ở_{bài viết này tôi xin trình bày một số ứng dụng của tính chia hết để giải một số dạng tốn ph ơng}

trình nghiệm ngun trao đổi với bạn đọc và các bậc đồng nghiệp cùng các em học sinh, nhằm phục vụ
công tác dạy học ngày càng tốt hơn.

Khi giải một phơng trình có thể sử dụng nhiều phơng pháp giải nên ở bài viết này tơi khơng đề
cập đến việc trình bày cụ thể một phơng pháp nào mà chỉ trao đổi qua một số dạng toán.

<b>II. Mét số dạng toán phơng trình nghiệm nguyên </b>

<i><b> *Dạng 1</b></i><b>: Phơng trình bậc nhất 2 ẩn dạng</b>: ax + by = c ( a,b,c z )

<b>Bài toán 1.1</b><i>:</i> Cho phơng tr×nh: 17x + 30 y = 11994 (1)

a/ Tìm nghiệm nguyên của ( 1) b/ T×m nghiệm nguyên dơng của ( 1)
<b> Híng gi¶i:</b>

a/ Tìm nghiệm nguyên của (1):

D thy 30y 6 và 11994 6 nên (1) có nghiệm nguyên khi và chỉ khi 17x 6 mà (17,6) =1 => x 6

Đặt x = 6 k (k nguyên) khi đó (1) có dạng ; 17 k + 5y = 1999

=><i>y=</i>1999<i>−</i>17<i>k</i>

5 =399<i>−</i>3<i>k</i>+

2(2<i>−k</i>)

5 . Tiêp tục <i>đ</i>ặt t =
2-k

5 <i>,</i> t<i>Zk</i>=2<i></i>5<i>t</i>
Từ đây ta có : x= 12 - 30 t (*)

y= 393 + 17 t (**)

Thay các cơng thức (*) và (**) vào (1) phơng trình đợc nghiệm đúng.
Vậy các nghiệm của (1) đợc biểu thị bởi công thức: x = 12 - 30 t

y = 17 t + 393 ( t z₎
b/ T×m nghiệm nguyên dơng:

Phơng trình ( 1) có nghiệm nguyên dơng khi và chỉ khi 12 - 30 t > 0 vµ

17t + 393 > 0 suy ra:

V× t Z nªn t { 0; -1 ; -2...; -22 ; - 23 } có 24 giá trị của t. Vậy nghiệm nguyên d ơng của phơng
trình (1) tơng ứng với các giá trị của t khi thay vào các công thức trên, ph ơng trình (1) có 24 nghiệm
nguyên dơng.

<i><b> </b></i><b>* NhËn xÐt:</b>

1. Nếu bài tốn u cầu tìm nghiệm ngun dơng thì chúng ta phải giải các điều kiện ở công thức
nghiệm để giới hạn phạm vị xác định nghiệm.

2. Việc tách các giá trị nguyên của biểu thức có nhiều cách.
Chẳng hạn:

<i>y=</i>399<i></i>4<i>k</i>+4+3<i>k</i>

5 (<i>a)</i> , y= 400 - 3k -

1 + 2k

5 ( b ) , y = 400 - 4k-
1-3k

5 (c)
Tuy nhiên cách tách trong bài giải trên đơn giản hơn so với những cách (a); (b); (c) trên vì khi gải (a);
(b) ; (c) ta cần đặt thêm ẩn phụ làm cho bài tốn trở nên phức tạp dài dịng trong cách giải.

3/ Việc giải các phơng trình dạng ax+ by = c đ có công thức giải ở trong một số tài liệu tham khảo.<b>Ã</b>
<b>Tổng quát: ax+ by = c x= x</b>0 + bt

a,b,c z; (a,b) = 1 y = y0 - at
Trong đó x0; y0 là một nghiệm riêng của phơng trình đ cho.<b>ã</b>

<i><b>B</b></i>

<b>ài toán 1.2:</b>

<b> Chứng tỏ rằng phơng trình sau không có nghiệm nguyên.</b>

<b>2004x + 2006 y = 20072007 ( 2)</b>

<b>Giải: Dễ thấy vế trái của (2) chia hết cho 2 vế phải thì 20072007 là một số lẽ không chia hết cho 2</b>

vậy phơng trình đ cho vô nghiệm . <b>·</b>
<b> * Bài tập tơng tự:</b>

a/ Tìm các nghiệm nguyên (và tìm nghiệm nguyên dơng) của các phơng trình:
a1 / 18x - 7y = 45 , a2/ 9x + 20y = 5472, a3 / 5x + 13y = 169

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

Tiếp tục đặt

<i>−</i>393
17 <<i>t</i><

2
5

<i>y=</i>1999<i></i>17<i>k</i>
5

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

b/ Chứng tỏ rằng các phơng trình sau không có nghiệm nguyên.
b1./ 2007x + 9999y = 20062010, b2/ 18x+ 24y = 2006.

<i><b>Dạng 2:</b></i><b> Phơng trình: ax2</b>

<b> + by2</b>

<b> + cxy + dx + ey + f = 0;</b>

<b>ax2</b>

<b>y + by2</b>

<b>x + cxy + dy+ ex + f = 0</b>

<b>Bài toán 2.1</b>

<b>: Tìm các nghiệm nguyên của phơng trình </b>

<b> 7x+ 11 = 2xy + 3y ( 3)</b>
Híng gi¶i: Vì x z nên 2x + 3 0 .

<i>y=</i>7<i>x+</i>11
2<i>x</i>+3 =

6<i>x</i>+9+<i>x</i>+2
2<i>x+</i>3 =

3(2<i>x+</i>3)+<i>x</i>+2
2<i>x</i>+3 =3+

<i>x+</i>2
2<i>x</i>+3
Để y nhận giá trị nguyên thì phải cã ( x+ 2 ) ( 2x + 3 )

=> 2( x+ 2 ) ( 2x+ 3) => 1 2x+ 3 => 2x+ 3 là ớc của 1
Do đó: Với 2x + 3 = 1 <=> x = -1 khi đó y = 4

Với 2x + 3 = -1 <=> x= -2 khi đó y = 3. Đáp số: ( -1;4), (-2;3)

<b> Bµi toán 2.2: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình sau: x</b>

<b>2_{y - 5x}2_{- xy - x+ y - 1 = 0 ( 4)}</b>

<i>( Trích đề thi HSG lớp 9 - Phòng GD Can Lộc )</i>
Hớng giải: Biểu thị x theo y ta có:

<i>y=</i>5<i>x</i>
2

+<i>x</i>+1

<i>x</i>2<i>− x+</i>1 ( do x
2

<i>− x</i>+1>0) => y = 5 + 6x-4
<i>x</i>2<i>− x</i>+1

Ta cã y z => ( 6x - 4 ) ( x2_{- x + 1 ) <=> 2 ( 3x - 2) ( x}2_{- x+ 1) 2 ( x}2_{- x+ 1)}
(3x-2 ) ( x2_{- x+ 1)}
x2_{- x+ 1 = + 2}

x2_{- x+ 1 = + 1} 
+ Víi x= 0 => y = 1

+ Víi x= 1 => y = 7 ( c¸c trờng hợp khác loại )

* Nếu (3x- 2) ( x2 - x+ 1) ( * ) => x ( 3x - 2 ) ( x2 - x+ 1) => (3x2 - 2x ) ( x2 - x+ 1)
=> ( 3x2_{- 3x + 3 +x - 3 ) ( x}2_{- x+ 1) => ( x-3) ( x}2_{- x+ 1) => ( 3x- 9 ) ( x}2_{- x+ 1) , (**)}
Lấy (*) trừ cho (**) ta đợc 7 ( x2_{- x+ 1) => x}2_{- x+ 1 bằng một trong các giá trị -7; 7; 1; -1}

Từ đây ta đợc các nghiệm: (3; 7 ), ( 0;1), (1, 7 ) đây cũng là nghiệm của phơng trình ( 4).

<b>Bài toán 2.3: </b>

<b> Cho phơng trình x2_{- y}2 _{+ 7x = 0 (5)}</b>
a/ Tìm nghiệm nguyên của phơng tr×nh víi y N

b/ Tìm các số x Z để x2_{+ 7x là một số chính phơng.}
Hớng giải:

a/ Cách 1: Đa phơng trình (5) về phơng tr×nh íc sè

(5) <=> (4x2_{+ 28x + 49) - 4y}2_{= 49 <=> (2x + 7 – 2y) (2x + 7 + 2y) = 49 (*)}
- NÕu y = 0 tõ (5) => x1 = 0, x2 = -7

- NÕu y > 0 tõ (*) => x3 = 9, x4 = -16

Cách 2<i>:</i> Xem (5) là phơng trình bậc hai đối với biến x.
Ta có: = 49 + 4y2

§Ĩ (5) có nghiệm nguyên thì phải là số chính phơng.
Đặt : 49 + 4y = k2_{( k N ) <=> ( k + 2y) ( k- 2y ) = 49}

V× y N nªn k + 2y > k - 2y vµ k + 2y > 0 => ( k + 2y) - ( k - 2y ) = 4y
nên k + 2y và k - 2y cùng tính chăn lẽ và phải cùng lÏ nªn ta cã:

k+ 2y 49 7

k- 2y 1 7

y 12 0

- Víi y = 0 ta cã x1 = 0, x2 = -7
- Víi y = 12 ta cã x3 = 9, x4 = -16
b/ Gi¶i tơng tự câu a)

<b> Bài toán 4: Chứng tỏ rằng các phơng tình sau không cã nghiƯm nguyªn </b>
a/ 2x2_{+ y}2 _{= 1999 (6) b/ 7x}2_{- 5y}2 _{= 3 (6')}

<b>Híng gi¶i: </b>

a/ Ta có: 2x2_{2 và 1999 2 nên để có (6) thì y}2_{phải lẽ => y lẽ.}
Đặt y = 2k + 1 (k z) khi đó (6) có dạng 2x2_{+ 4 ( k}2 _{+ k ) = 1998}
Dễ thấy 1998 chia cho 4 d 2 suy ra 2x2_{không chia hết cho 4 nên x lẽ.}
Đặt x= 2t + 1 từ đó ( 6 ) có thể viết dới dạng 8t( t + 1 ) + 4k ( k+1) = 1996 (*)

⋮
Ta biĨu thÞ x theo y nh sau:

⋮ ⋮

⋮ ⋮ ⋮

⋮

=>

=> x = 0, x= 1
* NÕu 2 : ( x2_{- x+ 1) =>}

⋮

⋮ ⋮ ⋮

⋮ ⋮ ⋮

⋮

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

m3 – 8
1 – 3m

Ta lại có vế trái chia hết cho 8 còn vế phải không chia hết cho 8 vậy (*) kh«ng cã nghiƯm ngun
suy ra (6) kh«ng cã nghiƯm nguyªn.

b/ Tõ (6') => 6x2 _{- 6y}2_{+ x}2_{+ y}2_{= 3 => x}2 _{+ y}2 ₃

Mặt khác: x2_{và y}2_{khi chia cho 3 thì d 0 hoặc 1 mà x}2 _{+ y}2_{3. Nếu x}2_{và y}2_{đều chia hết cho 3. Do}
đó x và y đều chia hết cho 3 nên x2_{và y}2_{chia hết cho 9. Nh vậy 7x}2_{- 5 y}2



9 cßn 3  9 vËy (6' ) không có
nghiệm nguyên.

<b> Nhận xét: Phơng trình nghiệm nguyên dạng "bậc 2 có hai ẩn" là dạng tốn thờng gặp ở bậc</b>
THCS. Khi giải nó chúng ta thờng đa về phơng trình ớc số (phơng trình tích) hoặc dùng tính chất chia hết
hoặc dùng điều kiện cần để một phơng trỡnh bc 2 cú nghim.

<b>* Bài tập tơng tự: 1/ Tìm nghiệm nguyên các phơg trình sau:</b>

a/ x2_{+ y}2_{- x - y = 8 , b/ x}2_{- 2x = y}2_{- 11 , c/ 3x}2 _{- 6x = 13 - 4y}2 _, _{d/ 8x}2_{- 25 = 3xy +5x}
2/ Chứng tỏ các phơng trình sau không có nghiệm nguyên:

a/ 5x2_{- 4y}2 _{= 3 b/ 19x}2 _{+ 28y}2_{= 729}

<i><b>*Dạng 3:</b></i><b>Phơng trình bậc 3 trở lên có 2 Èn</b>

<b>3.1. Bài toán 7: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình x+ x2_{+ x}3_{= 4y}2_{+ 4y ( 7)}</b>

<b> Hớng giải: Dùng tính chất chia hết và tÝnh chÊt cđa sè chÝnh ph¬ng, ta cã:</b>
(7) <=> 1+ x + x2_{+ x}3 _{= 4y}2_{+ 4y + 1 <=> (x+ 1)( x}2_{+ 1) = (2y +1)}2_(*)
DÔ thÊy (2y + 1) 2_{lÏ => x+1 vµ x}2 _{+1 lµ hai sè lÏ. Gi¶ sư ( x+1, x}2_{+ 1) = d => d lẻ}

Mặt khác x+1 d =>1- x2 _{d kÕt hỵp víi x}2_{+ 1 d ta cã 1 - x}2 _{+ 1 + x}2 _{d => 2 d => d = 1 (vì d lẻ).}
Vì (x+1 ) ( x2 _{+ 1 ) là số chính phơng} _(*)

M ( x+1 , x2_{+ 1 ) = 1 Vậy x+1 và x}2 _{+ 1 đều là số chính phơng}

Dễ thấy x2 _{và x}2 _{+ 1 là 2 số tự nhiên liên tiếp mà đều là số chính phơng nên x = 0 . Khi đó theo ( 7 ) thì y}
= 0 hoặc y = -1 . Nghiệm của (7) là: ( 0; 0); ( 0;-1 )

<i><b> </b></i><b>3.2. Bài toán 8: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x3</b>

<b> - 8 = y 3 + xy ( 8)</b>
Híng gi¶i: Ta cã (8) <=> ( x- y) 3_{+ 3xy ( x- y ) = xy + 8}

Đặt: x- y = m, xy = n ta cã : m3_{+ 3mn = n+ 8 <=> m}3 _{- 8 = - n( 3m - 1)}
=> m3_{- 8 3m - 1 => 27 ( m}3_{- 8 ) 3m - 1 => 27 m}2_{-1 -215 3m-1}
Do 27m3_{-1 3m - 1} _{nên 215 3m -1 mà 215 = 5x43}

Nªn 3m -1 { + 1; + 5; + 43; + 215 } do m, n Z nªn 3m -1 { - 1; 5; - 43; 215 }
<b> </b>

Ta cã b¶ng

3m-1 -1 5 -43 215

m 0 2 -14 72

-8 0 -64 -1736

Mặt khác: Ta có ( x- y) 2 _{+ 4xy > 0}

NÕu 4m2_{+ 4n > (*) kÕt hỵp (*) và điều kiện có nghiệm thì chỉ có m = 2và n= 0 là phù hợp. Ta có x-y = 2 và}
xy = 0 từ đây ta có nghiệm ( 0,-2), ( 2,0 )

Lu ý: Bài tốn này có thể có cách giải khác nh dùng giá trị tuyệt đối hoặc dùng tính chất của số chính
ph-ơng.

<b>3.3. Bài toán: </b>

<b>Chứng tỏ các phơng trình sau không có nghiệm nguyên</b>

<b>a/ x3_{+ y}3 _{= 2002 b/}</b> <b>_x4_{+ y}4_{+ ( x+y)}4_{= 4004}</b>
<b>Híng gi¶i:</b>

a/ Ta có nhận xét : Lập phơng của một số nguyên chia cho 9 chỉ có thể d 0; 1; 8; ( thật vậy
nếu a 3 => a3_{9. Nếu a = BS 3 + 1 thì a}3_{= BS 9 + 1 ...). Do đó x}3_{+ y}3_{chia cho 9 chỉ có d 0; 1; 2; 7; 8 cịn}
2002 chia 9 d 4 vậy phơng trình đ cho khơng có nghiệm ngun <b>ã</b>

b/ Ta cã: x4_{+ y}4_{+ ( x+ y )}4_{= 4004 <=> 2( x}2_{+ y}2 _{+ xy)}2_{= 2.2002}

<=> ( x2_{+ y}2 _{+ xy)}2_{= 2002. Điều này vô lý vì 2002 không phải là số chính phơng ( vì tận cùng}
bằng 2 ) => §PCM

<b> * Mét sè bài tập tơng tự:</b>

1/ Tìm nghiệm nguyên các phơng trình sau:

a/ x3_{+ y}3 _{= 3xy + 3 , b/ x}3_{- y}3_{= xy + 25 , c/ x}3 _{+ y}3 _{= y}6_{, d/ x}6 _{+ 3x}2_{+ 1 = y}4
2/ Chøng tỏ các phơng trình sau không có nghiệm nguyên

a/ x3_{+ y}3 _{= 2002 , b/ x}4 _{+ y}3_{+ ( x+ y )}4_{= 3996, c/ x}3_{+ y}3 _{= 7 , d/ x}5 _{+ 2xy}_{= 10. ( 3y + 1 )}

<i><b>D¹ng 4:</b></i><b>Phơng trình có chứa 3 ẩn , 4 ẩn</b>

<b>4.1 Bài toán:</b>

<b>Tìm nghiệm nguyên của phơng trình sau:2x- 5y - 6z = 4 (10)</b>

⋮ _⋮

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

⋮

⋮
⋮

⋮

⋮
⋮

n =

⋮
⋮

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b> Híng gi¶i: Từ (10 ) có nghiệm nguyên khi và chỉ khi 5y 2 => y 2 </b>
Đặt y = 2m, ta cã x - 5m - 3z = 2 => x= 5m + 3z + 2

Đặt z = t ta cã c«ng thøc nghiƯm x= 5m + t + 2 ; y = 2m vµ z = t ( víi m, t z)
4.2 Bài toán: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình x<b>7_{+ y}7 _{= 7z (11)}</b>

Híng gi¶i: (11) cã nghiƯm nguyªn khi x7 _{+ y}7₇

Theo định lý nhỏ Féc ma ta có: x7 _{- x 7 và y}7_{– y 7 , ta viết (11) dới dạng:}

( x7 _{- x ) + ( y}7 _{- y ) + ( x+ y ) = 7z ta có x+ y 7 đặt x+ y = 7 k ; x = t, ( k}_z_{, t}_z₎
Ta có cơng thức nghiệm: x= t ; y= 7k - t và z = [ t7_{+ ( 7k - t )}7_{] : 7 ( Với k, t}_z₎

4.3 Bài toán: Chứng tỏ phơng trình:

x<b>4_{+ y}4 _{+ x}4 _{+ z}4 _{+ t}4 _{+ k}4 _{= 2006 kh«ng cã nghiệm nguyên.}</b>

<b> Hớng giải: - Nếu x là số chẵn thì x</b>4₁₆

- Nếu x là số lẽ thì x2_{: 8 d 1 nªn x}4_{= ( 8k + 1 )}2_{: 16 d 1}

Nh vậy mỗi số x4_,y4_,z4_,t4_{chia cho 16 d 1hoặc 0 nên x}4_+y4_+z4_+t4_+k4_{chia cho 16 có số d nhỏ hơn hoặc}
bằng 5. Còn vế phải 2006 chia cho 16 d 6. Vậy phơng trình không có nghiệm nguyên.

<b>* Một số bài tập tơng tự:</b>

1/Tìm nghiệm nguyên của các phơng tr×nh sau:

a/ 2x-5y-z = 4, b/ x2_+2y2_{+ z}2 _{- 2xy - 2y + 2z}_{+ 2= 0, c/ x}3_{+ y}3 _{+ z} 3₌₁_{+ 3xyz}
2/ Chứng tỏ các phơng trình sau không có nghiệm nguyên

a/ x2_{+ y}2_{+ z} 2 _{= 1999 , b/ x}3_{+ y}3 _{+ z} 4 _{= 2003, c/ x}3_{+ y}3 _{+ z}3_{= 1996}2

<i><b>* Dạng 5:</b></i>Phơng trình có chứa biến ở mẫu.

<b>5.1 Bài toán:</b>

<b>Tìm nghiệm nguyên của phơng trình</b>

1
<i>x</i>+

1
<i>y</i>+

1
2 xy=

1
2

<b>Híng giải: </b>

<i>Hớng 1</i>:Đa về phơng trình ớc số

Nh©n 2 vÕ víi 2xy ta cã ( 13) <=> 2x+ 2y + 1 = xy ; (13) <=> ( x-2 ) ( y-2) = 5
Từ đây ta có nghiệm ( 7;3) , (3,7)

<i>Híng 2</i>: Gi¶ sư x > y th×
1

<i>x≤</i>

1
<i>y;</i>

1
2 xy<

1

<i>y</i>.. .. . .. .. . .. .. . ..
1
2=
1
<i>x</i>+
1
<i>y</i>+
1
2 xy<

3

<i>y,</i>suy ra<i>y</i><6
Mặt khác: y > 1 nên xét y { 2;3;4;5 } đợc y = 3; x= 7 ; Đáp số: ( 7;3) , (3,7)
<b> Bài toán 5.2: Xác định a để phơng trình </b>

<b> </b> 1
<i>x</i>2+

1
<i>y</i>2+

<i>a</i>

xy=1(14)
Híng gi¶i:

Gi¶ sư ( x1, y1 ) là nghiệm nguyên dơng của phơng trình đ cho .<b>·</b>
Gäi ( x, y) = d => x= d x1 , y = dy1, víi ( x1, y1) = 1

Ta cã: (14) <=> x2 _+y2_{+ axy = x}2_y2 _{<=> y(y+ax) = x}2_(y2_{- 1) <=> y}

1(y1 + ax1) = x21 (dy21 -1) v× (x1, y1 ) = 1
NÕu (dy2

1 - 1 ) y1 => y1 là ớc số của 1 do y nguyên dơng nên y1 = 1 => x1 =1 do đó x = y
Thay vào (14 ) ta đợc a + 2 = x2 .

Nh vậy để ( 14) có nghiệm ngun dơng thì a+ 2 là số chính phơng.
* Một số bài tập tơng tự:

1/ T×m nghiệm nguyên của các phơng trình sau:
<i>a</i>/ 1

<i>x</i>+
1

<i>y</i>=
1

5<i>;</i>. .. . .. .. . ..<i>b</i>/
1

<i>x</i>+

1
<i>y</i>=

1

<i>p</i>(<i>p</i>là số nguyên tố ) , c/
xy

<i>z</i> +
xz

<i>y</i> +
yz

<i>x</i> =3
2/ T×m nghiƯm nguyên dơng của các phơng trình

<i>a</i>/1
<i>x</i>+

1
<i>y</i>+

1
6 xy=

1

6. .. .. . .. .. . .. .<i>b/</i>

1+xy+xt+zt+xyzt

yzt+<i>y</i>+<i>t</i> =

40
31
. c/ <i>x</i>

<i>y</i>+
<i>y</i>
<i>z</i>+
<i>z</i>
<i>t</i>+
<i>t</i>

<i>x</i>=4 . .. .. .. . .. .. .<i>d</i>/
1
<i>x</i>2+

1
<i>y</i>2+

1
<i>z</i>2+

1
<i>t</i>2=1

Trên đây là một số ứng dụng tính chất chia hết để giải phơng trình nghiệm nguyên ở bậc THCS

mà trong quá trình bồi dỡng HSG tơi đ tích luỹ đ<b>ã</b> ợc, chắc chắn nội dung của bài viết cha thực sự hấp dẫn,
và khơng tránh khỏi những thiếu sót. Kính đề nghị Ban biên tập chọn đăng để bạn đọc gần xa tham khảo,
đồng góp ý, bổ sung thêm để những vấn đề nêu trên đợc đầy đủ hơn, sâu sắc hơn nhằm góp phần vào
việc nâng cao chất lợng giáo dục.

⋮
⋮ ⋮
⋮
⋮
(13)
, nếu

<b>có nghiệm nguyên dơng</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

(Tài liệu tham khảo:

<i>- Toán nâng cao và phát triển - Vũ Hữu Bình</i>
<i>- Phơng trình không mẫu mực- Nguyễn Đức Tấn</i>
<i>- Toán nâng cao các lớp 6, 7, 8, 9.</i>

<i>- §Ị thi häc sinh giái c¸c khèi líp ë bËc THCS).</i>

</div>

<!--links-->