Olympic 20102011

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2010 – 2011</b>

<b>MƠN: TỐN - LỚP 6</b>

<i>Thời gian làm bài 120 phút</i>

<b>Câu 1.</b>

a) Tìm x: 2

2x – 1

_{+ 6.2}

8

_{= 14.2}

8

b) Tính: A =

(

1<i>−</i>1

4

)

.

(

1<i>−</i>
1
9

)

.

(

1<i>−</i>

1

16

)

.

(

1<i>−</i>
1

25

)

. .. .. . .. .. . .. .

(

1<i>−</i>
1

196

)

.

(

1<i>−</i>
1
225

)

<b>Câu 2.</b>

a) Cho S = 2010 + 2010

2

_{+ 2010}

3

_{+ 2010}

4

_{+ ...+ 2010}

2009

_{+ 2010}

2010

_.

Chứng tỏ rằng S chia hết cho 2011.

b) Tìm kết quả của phép nhân:

B = 33 ... 3 x 99...9

20 chữ số 20 chữ số

<b>Câu 3. </b>

a) Tìm phân số bằng phân số

200₅₂₀

biết tổng của tử và mẫu là 306.

b) Tìm các giá trị nguyên của n để phân số M =

3<i>_n−n −</i>₁1

có giá trị là số

nguyên.

<b>Câu 4.</b>

Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho p bằng tổng của hai số nguyên tố và

bằng hiệu của hai số nguyên tố.

<b>Câu 5. </b>

Cho hai điểm C và D nằm giữa hai điểm A và B. Biết AB = 12cm, AC = 7cm,

CD = 3cm. Tính BD

?

<b>Câu 6.</b>

a) Cho 10 điểm phân biệt trên mặt phẳng sao cho khơng có ba điểm nào thẳng

hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ một đường thẳng. Hỏi vẽ được tất cả bao nhiêu đường

thẳng?

b) Giải bài tốn ở câu a trong trường hợp có đúng 3 điểm thẳng hàng.

<b>---HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC NĂM HỌC 2010 – 2011</b>

MƠN: TỐN - L

Ớ

P 6

<b>Câu1 </b>
(4điểm)
1a (2điểm)
1b (2điểm)
<b>Câu2 </b>
(5điểm)
2a (3điểm)
2b (2điểm)

a)22x – 1_{+ 6.2}8 _{= 14.2}8_{=> 2}2x-1_{= 2}8_{.(14 – 6) = 2}11

=> 2x – 1 = 11 =>x =6

¿
<i>b</i>=3

4.
8
9.

15
16 .

24

25 . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .
195
196.

224
225=

1. 3
2 .2.

2. 4
3 .3.

3 .5
4 . 4.

4 .6

5 . 5.. . .. .. . ..
13. 15
14 .14 .

14 . 16
15 . 15 ¿=

(1 .2 .3 . 4 .. .. . .. .. .13 . 14).(3 . 4 .5 . 6 .. . .. .. .. 15 .16)
(2 . 3. 4 .5 . .. .. . 14 .15).(2 .3 . 4 . 5 .. .. . 14 .15) =

16
15 . 2=

8
15 ¿

a) Ta có: S = 2010 + 20102_{+ 2010}3_{+ 2010}4_{+ ...+ 2010}2009_{+ 2010}2010

= 2010(1 + 2010) + 20103_{(1 + 2010) +...+ 2010}2009_{(1 + 2010) = 2010.2011}

+ 20103_{.2011 + ...+ 2010}2009_.2011

= 2011.( 2010 + 20103_{+ ...+ 2010}2009₎ _⋮ _{2011 (đpct)}

b) B = 33 ... 3 x 99...9 = 33…3 x (1020_{– 1 )}

20 chữ số 20 chữ số

= 33…3 x 1020_{– 33…3 = 33…300…0 – 33…3 = 33…3266…67}

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>Câu3</b>
(4,5điểm)
3a (2,5đ)

3b( 2 điểm)

<b>Câu4</b>
(2 điểm)

<b>Câu5</b>
(2,5điểm)
Vẽ hình
(0,5đ)
TH1(1điểm
TH2(1điểm
<b>Câu 6</b>
6a(1,5
điểm)
6b ( 0,5đ)

20chữ số 20chữ số 20chữ số 20chữ số 20chữ số 19chữ số 19chữ
số

a) Ta có 200₅₂₀= 5

13 là phân số tối giản nên phân số bằng
200

520 có dạng

tổng quát ₁₃5<i>m_m</i> ( m Z , m 0) => 5m + 13m = 306 = > m = 17
=> phân số cần tìm là 85₂₂₁

b) M = 3<i>_n−n −</i>₁1 có giá trị là số nguyên<i> => 3n - 1</i> ⋮ <i> n – 1 </i>

<i>=> 3(n – 1) + 2 </i> ⋮ <i> n – 1 => 2 </i> ⋮ <i> n – 1=> n - 1</i> <i>Ư(2) =</i>

{<i>−</i>1<i>;</i>1<i>;−</i>2<i>;</i>2}

Ta có bảng n – 1 -1 1 -2 2
n 0 2 -1 3

thử lại ta có n {0<i>;</i>2<i>;−</i>1<i>;</i>3} thì M nhận giá trị nguyên

Dễ thấy p > 2 nên p lẻ . Vì p vừa là tổng vừa là hiệu của 2 số nguyên tố nên
1 số phải chẵn, số kia là lẻ. Số chẵn là 2

Như vậy p = a + 2 = b – 2 ( a, b là các số nguyên tố).

Mà a = p – 2 , p , b = p + 2 là 3 số lẻ liên tiếp nên có một số chia hết cho 3.
Vậy phải có một số bằng 3

Nếu a = 3 thì p = 5 và b = 7 thỏa mãn
Nếu p = 3 thì a = 1 khơng là số nguyên tố
Nếu b = 3 thì p = 1 không là số nguyên tố

Vậy số nguyên tố p = 5 là số nguyên tố duy nhất thỏa mãn đầu bài

| A D C D B
Vì C nằm giữa A và B nên AC + CB = AB => CB = 12 – 7 = 5cm
Vì D nằm giữa hai điểm A và B và DC = 3 cm nên có 2 trường hợp
TH1 D nằm giữa A và C hay C nằm giữa B và D ta có

BC + CD = BD => BD = 8cm

TH2: D nằm giữa C và B => BD + DC = CB = > DB = 2cm

a) Chọn một điểm. Qua điểm đó và từng điểm còn lại ta vẽ được 9
đường thẳng. Làm như vậy với 10 điểm ta được 9. 10 = 90 đường
thẳng. Nhưng mỗi đường thẳng đã được tính 2 lần do đó tất cả chỉ có
90 : 2 = 45 đường thẳng

b) Giả sử không có 3 điểm thẳng hàng thì có 45 đường thẳng Vì có 3
điểm thẳng hảng nên số đường thẳng giảm đi là 3 – 1 = 2

Vậy chỉ có 43 đường thẳng

2đ
1đ
1đ
0,5đ
0,5đ
1đ
0,5đ
1đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ

1đ
1đ
1,5đ
0,5đ

<b>ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2010 – 2011</b>

<b>MÔN: TOÁN - LỚP 7</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>Câu 1.</b>

a) Tìm x, biết:

|

|<i>x −</i>2010|<i>−</i>1

|

= 2011

b) Cho ba số x, y, z có tổng khác 0 thỏa mãn

<i>x_y</i>=<i>y</i>

<i>z</i>=
<i>z</i>

<i>x</i>

. Tính:

<i>x</i>123.<i>y</i>456
<i>z</i>579

<b>Câu 2. </b>

a) Cho A =

√

<i>x</i>+1

√

<i>x −</i>2

. Tìm x

Z để A có giá trị là một số nguyên dương.

b) Biết m, n, p là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Chứng minh rằng: m

2

_{+ n}

2

_{+ p}

2

_{< 2(mn + np + pm)}

<b>Câu 3.</b>

Tìm a, b

Z thoả mãn:

ab + 2a – 3b = 11

<b>Câu 4.</b>

Thực hiện phép tính:

P = (1 –

₁₊₂1

).(1 –

₁₊1₂₊₃

)....(1 –

₁₊₂₊₃₊₄₊1 _{.. .+}₂₀₁₁

)

<b>Câu 5.</b>

Cho tam giác ABC có

^<i>_A</i>

_{= 90}

0

_,

<i>_B</i>_^

_{= 60}

0

_{, đường cao AH. Trên HC lấy}

điểm D sao cho DH = BH.

a) Xác định dạng của tam giác ABD.

b) Vẽ CF vng góc với AD (F thuộc đường thẳng AD).

Chứng minh rằng: AH = HF = FC.

c) Chứng minh rằng:

1
AB2

<b>+</b>

1
AC2

<b>=</b>

1
AH2

---HƯỚNG

D

ẪN CHM

thi O lym pic toán 7

năm học : 2010-2011

<b> Câu1.(4đi</b>

<b>m</b>

<b>)</b>

a. (2đ) - TH1: /x-2010/-1= 2011

/x-2010/ = 2012

<i>⇒</i>

x= 4022 hoặc x=-2 (1đ)

- TH2: /x-2010/-1= - 2011

<i>⇒</i>

/x-2010/= - 2010 ( loại) (1đ)

b. (2®) :

<i>x</i>

<i>y</i>

=

<i>y</i>
<i>z</i>

=

<i>z</i>
<i>x</i>

=

<i>x</i>+<i>y</i>+<i>z</i>

<i>y</i>+<i>z</i>+<i>x</i>

=1

<i>⇒</i>

x=y=z

(1®)

<i>⇒</i>

<i>x</i>456

₌

<i>_y</i>456

_;

<i>_x</i>579

₌

<i>_z</i>579



<i>_⇒</i>



<i>x</i>
123

.<i>y</i>456
<i>z</i>579

=

<i>x</i>123.<i>x</i>456
<i>x</i>579

<i>x</i>579

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<i> </i>

A=

√

<i>x</i>+1

√

<i>x −</i>2=1+

3

√

<i>x −</i>2

( ®k x

≥0 , x≠4 ) (1d)

A nguyªn khi

3

√

<i>x −</i>2

nguyên

<i></i>

<i>x </i>2

là Ư (3)

¦(4) =

{

-3; -1; 1; 3

}

Các giá trị của x là :

{

9 ;25

}

( 1đ)

b. (2đ) Trong tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn hơn cạnh thứ 3. Vậy có:

m + n > p.

Nh©n 2 vÕ víi p >0 ta cã: m.p + n.m > p

2

_.(1)

T¬ng tù ta cã :

m.n + p.n > n

2

_{(2) ( 1®)}

p.m + m.n > m

2

_(3).

Cộng vế với vế của (1), (2), (3) ta đợc:

2(m.n + n.p + p.m) > m

2

_{+ n}

2

_{+ p}

2

_{. (dpcm) (1đ)}

<b>Câu 3. (3®i</b>

<b>ểm</b>

<b>) T</b>

a cã : ab+2a-3b=11

<i>⇒</i>

(a-3).(b+2)=5 (2®)

<i>⇒</i>

(a,b)=(4;3);(8;-1);(2,-7);(-2;-3) (1®)

<b>Câu 4</b>

.(

<b>4đi</b>

<b>m</b>

<b>)</b>

Thực hiện phÐp tÝnh:

A=(1-1
(1+2).2

2

) .

(1-1
(1+3).3

2

)

…

(1-1

(1+2011). 2011
2

) =

2

3

.

5
6

.

9
10

…

2012. 2011<i>−</i>2
2012. 2011

=

4
6

.

10
12

.

18
20

…

2011.2012<i>−</i>2
2012. 2011

(1)

Mµ: 2012.2010 - 2 = 2011(2013 - 1) + 2011 - 2013

= 2011(2013 - 1+ 1) - 2013 = 2013(2011 -1) = 2013.2010 (2) (2đ)

Từ (1) và (2) ta có:

A=

4 . 1

2. 3

.

5 .2
3 . 4

.

6 .3
4 . 5

…

2013 .2010
12011.2012

=

(4 .5 . 6 .. .2013).(1. 2 .3 . .. 2010)
(2 .3 . 4 . .. 2011).(3 . 4 .5 . .. 2012)

=

2013
2011.3

=

2013
6030

=

671

2011

(2®)

<b>Câu 4</b>

<b>(5đi</b>

<b>ểm</b>

<b>)</b>

a/ (1đ) Tam giác ABD có AH vừa là đờng cao vừa là trung

tuyến nên Là tam giác cân, có <B= 60

0

_nên

<i>_Δ</i>

_{ABD đều}

b. (2đ) tam giác ABC vuông ë A, <B=60

0

_{nªn <C}

₁

₌₃₀

0

tam giác AFC vuông ở F, <A

3

=30

0

nên <C

1

+C

2

=60

0

mà <C

1

=30

0

nªn <C

2 =

30

0

<i>Δ</i>

AHC=

<i>Δ</i>

CFA ( c¹nh hun gãc nhän), nªn HC= AF

<i></i>

ADC cân ở A vì < A

3

= <C

1

=30

0

nên AD=CD và <ADC=120

0

(1 đ) suy ra:

DH=DF và < HDF=120

0

_{. khi đó trong tam giác cân DHF, có <H}

₁

_=<F

₁

₌₃₀

0

<i>Δ</i>

AHF cân ở H vì có <A

2=

<F

1

ta có HA=HF

<i>Δ</i>

FHC c©n ë F v× <H

1=

< C

2

, ta cã HF=FC

Từ đó ta có: HA=HF=FC (DPCM)(1đ)

c. (2đ) ta có:

S

ABC =

1₂

AB.AC

S

ABC =

1₂

AH.BC (1®)

Suy ra: AB.AC=AH.BC , AB

2

_.AC

2

_=AH

2

_.BC

2

A

B

H

D

F

C

3

1

₂

1

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

hay

BC

2

AB2. AC2

<b>=</b>

1
AH2

Hay AB

2

_+AC

2

_{/ AB}

2

_.AC

2

_{=1/ AH}

2

_{suy ra:}

<b></b>

1
AB2

<b>+</b>

1
AC2

<b>=</b>

1

AH2

(1đ)( đpcm)

<i>( Làm cách khác đúng vẩn cho điểm tối đa)./.</i>

<b>ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2010 – 2011</b>

<b>MƠN: TỐN - LỚP 8</b>

<i>Thời gian làm bài: 120 phút</i>

<b>Câu 1.</b>

a) Phân tích đa thức thành nhân tử: 2x

3

_{+ x}

2

_{– 13x + 6}

b) Tìm các cặp số x, y thỏa mãn: 2x

2

_{+ y}

2

_{– 6x + 2xy – 2y + 5 = 0}

<b>Câu 2. </b>

Cho biểu thức : A =

2 2

3

6

1

10

:

2

4

6 3

2

2

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>



 















 













 



a) Tìm điều kiện xác định của A, rồi rút gọn biểu thức A.

b) Tính giá trị của biểu thức A khi

1
2
<i>x</i> 

.

c) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.

<b>Câu 3.</b>

Cho hai số a, b thỏa mãn a + b = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = a

3

_{+ b}

3

_{+ ab.}

<b>Câu 4.</b>

Tìm đa thức f(x) biết rằng f(x) chia cho x + 2 thì dư 3, chia cho x – 3 thì dư 8

và chia cho (x + 2)(x – 3) thì được thương là 2x và cịn dư.

<b>Câu 5.</b>

Cho

2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

 

  

 

_.

Chứng minh rằng:

2011 2011 2011 2011 2011 2011

2011 2011 2011 2011 2011 2011

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>z</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>z</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>c</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>c</i>















<b>Câu 6.</b>

Cho hình vuông ABCD. M là một điểm thuộc cạnh AB, N là một điểm thuộc

cạnh BC, trên tia đối của tia AB lấy điểm E. Biết AM = BN = AE =

1

4<i>AB</i>

_{. Gọi F là}

giao điểm của MC và DN. Chứng minh rằng:

a) DN vng góc với CM.

b) EF = DM.

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

HƯỚNG DẪN CHẤMthi O lym pic toán 8
năm học : 2010-2011

<b>---Cõu 1.(4 đim) </b>

a) (2 ®)Phân tích đa thức thành nhân tử: 2x3 + x2 – 13x + 6
Ta cã 2x3 + x2 – 13x + 6 = (2x3 – 8x) + (x2 – 5x + 6 )
= 2x(x-2)(x+2) + (x-2)(x-3) = (x-2)(2x2_{+4x +x – 3)}

= (x-2)(2x2_{+ 6x - x – 3) = (x -2)(x+ 3)(2x- 1)}

b) (2®)Tìm các cặp số x, y thỏa mãn: 2x2 + y2 – 6x + 2xy – 2y + 5 = 0
Ta cã: 2x2 + y2 – 6x + 2xy – 2y + 5 = 0

<=> 2[ x2_{+ x(y-3)] + y}2_{– 2y + 5 = 0}

<=> 2(x +
3
2
<i>y</i>

)2_-

2
( 3)

2
<i>y</i>

+ y2_{– 2y + 5 = 0}

<=> (2x + y – 3)2_{+ y}2_{+2y +1 = 0<=> (2x + y – 3)}2 _{+ (y +1)}2_{= 0 (*)}

Do (2x + y – 3)2 __{0 ; (y +1)}2_₀

víi mäi x,y nªn VT _víi

mäi x, y nªn dÊu “=” xÈy ra khi 2x + y - 3 = 0 và y + 1 = 0
Vậy cặp số x, y cần tìm là: x = 2; y = -1

<b>C©u 2</b>:<b> (3,5 ®iểm)</b>

a)( 1,5 đ) Với x 0, x 2 thì giá trị của biểu thức A đợc xác định

A=

2 2

3

6 1 10

: 2

4 6 3 2 2

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

    

   

   

   

   

=

2 1 6

:
( 2)( 2) 2 2 2

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 

 

 

    

 

=

2( 2) 2 6 6 2

: .

( 2)( 2) 2 ( 2)( 2) 6

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

     



     ₌

1 1
2 2

<i>x</i> <i>x</i>




 

b)( 1 đ)
1
2
<i>x</i>

nên x =
1

2_{hoặc x =}
-1

2_(TMĐKXĐ)

NÕu x =

1

2_{th× A =}
2

3_{NÕu x = -}
1

2_{th× A =}
2
5

c)( 1 đ)Để A có giá trị ngun thì 2 - x phải là ớc của 1.Từ đó suy ra
2 - x = 1 hoặc 2 - x = -1 => x = 1 hoặc x = 3 ( TMKX)

Vậy giá trị nguyên của x cần tìm là x = 1 ;x = 3
<b>Câu 3.(2, 5 ®iểm)</b>

Ta cã B =a3_{+ b}3 _{+ ab = (a+b)(a}2_{- ab + b}2_{) + ab = a}2_{- ab +b}2_{+ab = a}2_{+ b}2
Do (a - b)2__{0 víi mäi a,b}

<=> a2_{-2ab +b}2 __{0 <=> a}2_+b2 __{2ab <=> 2(a}2_+b2₎__a2_{-2ab +b}2_{<=> 2(a}2
+b2₎__{(a + b)}2_{=1 ( gi¶ thiÕt cho a + b = 1)}_a2_+b2_

1
2
VËy minB =

1

2_{khi a = b =}
1
2

<b>C©u 4:(2,5 đim) </b>

Vì đa thức (x+2)(x- 3) cã bËc b»ng hai nªn d cđa f(x) chia cho
(x+2)(x- 3) ph¶i cã d¹ng R(x) = ax+b

 f(x) = (x+2)(x-3).2x +(ax + b) Ta cã f(-2) = -2a + b = 3 ;f(3) = 3a + b = 8

 a = 1 vµ b = 5

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Do

2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

 

  

  _{nªn :}

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0

<i>x</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>z</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>c</i>

     

     

     

     

     

hay x2 2 2 2 2

1 1

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>

 



 

 

 _+y2 2 2 2 2

1 1

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>b</i>

 



 

 

 _+z2 2 2 2 2

1 1

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>c</i>

 



 

 

 _{= 0 (*)}

V× 2 2 2 2

1 1

0

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>  <i>a</i>  _; 2 2 2 2

1 1

0

<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>  <i>b</i>  _; 2 2 2 2

1 1

0
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>  <i>c</i> 

mà x2_{; y}2_{; z}2 __{0 nên đẳng thức (*) xẩy ra khi và chỉ khi x}2_{= y}2_{= z}2₌₀
hay x = y = z = 0. Từ đó suy ra iu phi chng minh.

<b>Câu 6</b>: <b>(5 đim)</b>

I
F
A

D C

B

E M

N

K
C/M:

a) (2,5 ®)XÐt hai tam giác vuông MBC và NCD có:
BC = CD

BM = CN = 3/4AB

=> <i>MBC</i><i>NCD</i>(2 cạnh góc vuông)
=>C

^

<i>M</i> _{B = D}<i>N</i>^ _{C(2 gãc t¬ng øng)}
Ta cã C

^

<i>M</i> _{B + N}<i>C</i>^ _{F = 90}0
=> D

^

<i>N</i> _{C+ N}<i>C</i>^ _{F = 90}0
=> <i>NFC</i> vuông tại F
=> DN _MC(đpcm)

b) (2,5 đ)

Do AD _{EM tại trung điểm A nên DA là đờng trung trực của đoạn ME}

=> DM = DE (1)

Qua E kẻ đờng thẳng song song với MC, đờng thẳng này cắt DF tại I, cắt DC tại K
Tứ giác EMCK là hình bình hành( vì EM//CK và EK//MC)

 EM = CK = 1/2DC

K là trung điểm của CD

Do KI // CF nên I cũng là trung điểm của DF
Mặt khác MC DN; EK// MC nên EK DF
=>EI là đờng trung trực của đoạn DF

=> ED = EF (2)

</div>

<!--links-->