Bài giảng Tín hiệu và hệ thống: Những khái niệm cơ bản - TS. Đặng Quang Hiếu

.c
o
ng

an

co

ET 2060 - Tín hiệu và hệ thống
Những khái niệm cơ bản

th

TS. Đặng Quang Hiếu

2015-2016

u

du
o

ng

Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
Viện Điện tử - Viễn thông

CuuDuongThanCong.com

/>

.c
o

ng

Tín hiệu liên tục / rời rạc theo thời gian

lấy mẫu
chuẩn hóa
x(t) −−−−−−→ x(nTs ) −−−−−−−−→ x[n]

co

Ts

x[n]

t

du
o

ng

th

an

x(t)

u

Hình: Tín hiệu liên tục x(t) và tín hiệu rời rạc x[n]

CuuDuongThanCong.com

/>
nTs


Đồ thị

◮

Cơng thức

an

◮

.c
o

co

ng

Biểu diễn tín hiệu trên miền thời gian

◮

th

x(t) = 10 sin(100πt + π/3),
Liệt kê

x[n] = 0.5e j20πn

u

du
o

ng

x[n] = {1, 0.5, −2, 0, 3, −1}

CuuDuongThanCong.com

/>
↑


.c
o

Tín hiệu liên tục x(t):
Cơng suất tức thời px (t) = |x(t)|2

◮

Tổng năng lượng

an

Ex = lim

co

◮

T

|x(t)|2 dt =

∞

|x(t)|2 dt

−∞

th

T →∞ −T

Cơng suất trung bình

1
T →∞ 2T

Px = lim

u

du
o

ng

◮

ng

Năng lượng và cơng suất của tín hiệu (1)

CuuDuongThanCong.com

/>
T
−T

|x(t)|2 dt


.c
o

ng

Năng lượng và cơng suất của tín hiệu (2)

◮

Tổng năng lượng

co

Tín hiệu rời rạc x[n]:
∞

Ex =

|x[n]|2

Cơng suất trung bình

th

◮

an

n=−∞

ng

1
Px = lim
N→∞ 2N + 1

n=−N

Khi 0 < Px < ∞ → x(t), x[n] - tín hiệu cơng suất.

u

◮

|x[n]|2

Khi Ex < ∞ → x(t), x[n] - tín hiệu năng lượng.

du
o

◮

N

CuuDuongThanCong.com

/>

.c
o

Dịch (shift) x(t) → x(t − T )

◮

Lấy đối xứng x(t) → x(−t)

◮

Co dãn (scale) x(t) → x(kt)

x(t − T )

th

an

x(t)

co

◮

ng

Các phép toán thực hiện trên biến thời gian (1)

ng

t

t

u

du
o

x(−t)

CuuDuongThanCong.com

/>
t
x(kt)

t


.c
o

Các phép toán thực hiện trên biến thời gian (2)

Vẽ dạng của x(kt + T )? Phân biệt với x(k(t + T ))?

◮

Trường hợp tín hiệu rời rạc?

co

ng

◮

Ví dụ: Cho tín hiệu x(t) và x[n] như hình vẽ dưới đây.

an

(a) Hãy vẽ dạng của x(2t + 1) và x(2(t + 1)).

th

(b) Hãy vẽ dạng của x[2n + 1] và x[2(n + 1)].
x[n]

ng

x(t)

du
o

1

3

4

t

u

2

CuuDuongThanCong.com

/>
1

-1

1

2

3

4

5

6

7

n


.c
o

co

ng

Các phép tốn thực hiện trên biên độ tín hiệu

Phép cộng: y (t) = x1 (t) + x2 (t)

◮

Phép nhân với hằng số: y (t) = ax(t)

◮

Nhân hai tín hiệu với nhau: y (t) = x1 (t)x2 (t)

u

du
o

ng

th

an

◮

CuuDuongThanCong.com

/>

.c
o
ng

Ví dụ: Truyền tín hiệu

an

co

n(t)

y(t)

th

x(t)

ng

y (t) = αx(t − τ ) + n(t)

u

du
o

trong đó x(t) là tín hiệu phát đi, y (t) là tín hiệu thu được, n(t) là
nhiễu cộng (quá trình ngẫu nhiên), α là suy hao do truyền dẫn, τ

là thời gian truyền (độ trễ truyền dẫn).

CuuDuongThanCong.com

/>

.c
o

Ví dụ: Kênh đa đường

co

α0 x(t − τ0 )

ng

α1 x(t − τ1 )

α2 x(t − τ2 )

y(t)

th

an

x(t)

ng

y (t) = α0 x(t − τ0 ) + α1 x(t − τ1 ) + α2 x(t − τ2 ) + · · · + n(t)
αi x(t − τi ) + n(t)

du
o

=
i

u

trong đó αi , τi tương ứng là suy hao và trễ truyền dẫn của đường
thứ i .

CuuDuongThanCong.com

/>

.c
o
y(t)

cos(2πfc t)

y (t) = x(t) cos(2πfc t)

u

du

o

ng

th

x(t)

an

co

ng

Ví dụ: Điều chế biên độ (AM)

CuuDuongThanCong.com

/>

.c
o

Tín hiệu tuần hồn
Tín hiệu liên tục

ng

◮

Tín hiệu rời rạc

an

◮

∀t

co

x(t) = x(t + T ),

x[n] = x[n + N],

∀n

Giá trị T , N nhỏ nhất gọi là chu kỳ cơ bản (fundamental
period).

ng

◮

th

với N là số nguyên dương.

du
o

Ví dụ: Xác định xem các tín hiệu dưới đây có phải là tuần hồn
khơng? Nếu tuần hồn thì hãy tính chu kỳ cơ bản.
(a) cos2 (2πt + π/4)

u

(b) sin(2n)

CuuDuongThanCong.com

/>

.c
o

ng

Tín hiệu chẵn / lẻ. Tín hiệu xác định / ngẫu nhiên

Chẵn: x(t) = x(−t); x[n] = x[−n]

◮

Lẻ: x(t) = −x(−t); x[n] = −x[−n]

Tín hiệu ngẫu nhiên (random signal): Giá trị ngẫu nhiên →
biến ngẫu nhiên, hàm mật độ xác xuất (pdf) và q trình
ngẫu nhiên

ng

th

◮

Tín hiệu xác định (deterministic signal): Giá trị xác định, biểu
diễn bởi một hàm của biến thời gian

an

◮

co

◮

u

du
o

Ví dụ: Một tín hiệu x(t) bất kỳ đều có thể được phân tích thành 2
thành phần chẵn, lẻ: x(t) = xe (t) + xo (t). Hãy tìm xe (t) và xo (t)
theo x(t).

CuuDuongThanCong.com

/>

.c

o

x(t) = Ce at , x[n] = Ce an ,

80

x(t) = 3e −2t

3

an
0

1
0

du
o

2

10

20

30

40

40

20

0
80

0

1

2

3

4

30

40

x[n] = e n/10

60
40
20
0

0

10

20

Ví dụ: Xét mạch điện có tụ C và điện trở R mắc nối tiếp. Vẽ điện
áp v (t) trên tụ C , nếu ban đầu (t = 0) tụ được nạp điện V0 .

u

0

4

ng

3

1
2
3
x[n] = 3e −n/10

th

1
4

x(t) = e t

60

2

0

C, a ∈ R

co

4

ng

Tín hiệu hàm mũ thực

CuuDuongThanCong.com

/>

.c
o
ng

Tín hiệu hình sin

Tuần hồn với chu kỳ T =
→ Tín hiệu rời rạc?

an

x(t)

2π

ω0

co

x(t) = sin(ω0 t + φ)

th

1

ng

1

2

3

4

5

t

du
o

-1

u

Ví dụ: Cho mạch điện gồm tụ C và cuộn cảm L mắc nối tiếp. Vẽ
điện áp v (t) trên tụ C , nếu ban đầu (t = 0) tụ được nạp điện V0 .

CuuDuongThanCong.com

/>

.c
o

Tín hiệu hàm mũ phức (liên tục)

co

x(t) = |C |e rt e j(ω0 t+θ)

ng

Với C và a là số phức: C = |C |e jθ và a = r + jω0 , ta có:

đường bao |C |e rt

ng

1

th

Re{x(t)}

an

= |C |e rt cos(ω0 t + θ) + j|C |e rt sin(ω0 t + θ)

2

3

du
o

1

-1

u

Ví dụ trong mạch điện?

CuuDuongThanCong.com

/>
4

5

t

.c
o
ng

Tín hiệu hàm mũ phức (rời rạc)

an

x[n] = |C |e rn e j(ω0 n+θ)

co

Với C và a là số phức: C = |C |e jθ và a = r + jω0 , ta có:

th

= |C |e rn cos(ω0 n + θ) + j|C |e rn sin(ω0 n + θ)
Nhận xét về thành phần e j(ω0 n+θ) :

ng

Xét ω0 trong đoạn [0, 2π], khi nào tần số thấp / cao?

u

◮

Không phải lúc nào cũng tuần hoàn (tùy theo giá trị của ω0 ),
nếu tuần hồn thì chu kỳ xác định như thế nào?

du
o

◮

CuuDuongThanCong.com

/>

.c
o

Im{x[n]}

20

30

50

n

40

50

n

th

-1

Im{x[n]}

du
o

ng

1

10

ω0 = 1.8π

20

30

u

-1

CuuDuongThanCong.com

40

an

10

co

ω0 = 0.8π

1

ng

Minh họa x[n] = e j(ω0 n)

/>

.c
o

Hàm nhảy đơn vị

1, n ≥ 0
0, n còn lại

ng

1, t ≥ 0
0, t cịn lại

u[n] =

co

u(t) =

u(t)

th

an

1

t

ng

u[n]

du
o

1

n

u

Ví dụ trong mạch điện?

CuuDuongThanCong.com

/>

ng

1, n = 0
0, n còn lại

δ[n] =

co

δ[n]

an

1

th

Quan hệ với hàm nhảy đơn vị?

ng

δ[n] = u[n] − u[n − 1]
∞

δ[n − k]

du
o

u[n] =
k=0

u

Với tín hiệu x[n] bất kỳ?

CuuDuongThanCong.com

∞

x[n] =

.c
o

Hàm xung đơn vị (rời rạc)

x[k]δ[n − k]

k=−∞
/>
n


.c
o

Hàm delta Dirac (liên tục)

δ(t)dt

= 1

co

−∞

∀t = 0

ng

δ(t) = 0,
∞

δ(t)
1

th

an

x(t)

t

t

ng

Một số tính chất:

du
o

δ(t) =

d
u(t),
dt

u

δ(τ )dτ
−∞

∞

x(t)δ(t − t0 )dt

x(t0 ) =

CuuDuongThanCong.com

t

u(t) =

−∞

1
δ(t)
a
/>
δ(at) =


.c
o

t, t ≥ 0
0, t còn lại

r [n]

t

u

du
o

ng

th

an

r (t)

n, n ≥ 0
0, n còn lại

r [n] =

co

r (t) =

ng

Hàm dốc đơn vị (ramp)

CuuDuongThanCong.com

/>
n


.c
o
T

T

x[n] −
→ y [n]

co

x(t) −
→ y (t),

ng

Hệ thống

an

x(t)

y (t)

ng

th

hệ thống liên tục

y [n]
hệ thống rời rạc

u

du
o

x[n]

CuuDuongThanCong.com

/>

.c
o

hệ thống 1

hệ thống 2

đầu ra

co

đầu vào

ng

Ghép nối các hệ thống

+

đầu ra

th

đầu vào

an

hệ thống 1

ng

hệ thống 2

+

hệ thống 1

hệ thống 2

u

du
o

đầu vào

CuuDuongThanCong.com

/>
đầu ra


.c
o
ng

Tính ổn định của hệ thống

co

Một hệ thống T ổn định (BIBO stable) nếu mọi đầu vào bị chặn
|x(t)| < ∞,

∀t

an

đều khiến cho đầu ra tương ứng bị chặn

th

|y (t)| < ∞,

∀t

y [n] = r n x[n]

du
o

ng

Ví dụ: Xét tính ổn định của hệ thống

u

với |r | > 1.

CuuDuongThanCong.com

/>