Toán 10 Bài 2 tập hợp và các PHÉP TOÁN TRÊN tập hợp

CHUYÊN ĐỀ
BÀI 2. TẬP HỢP VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Hiểu được khái niệm tập hợp, tập con.
+ Nắm được khái niệm hai tập hợp bằng nhau.
+ Hiểu được các phép toán giao các tập hợp, hợp các tập hợp, phần bù trên tập hợp.
 Kĩ năng
+ Cho tập hợp bằng hai cách.
+ Thực hiện các phép toán giao hai tập hợp; hợp hai tập hợp; hiệu hai tập hợp, phần bù của một
tập con
+ Dùng biểu đồ Ven để biểu diễn các phép toán trên tập hợp.

Trang 1


I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Tập hợp và các cách biểu diễn
Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học,
khơng định nghĩa.
Các cách xác định tập hợp

Ví dụ: tập các ước nguyên dương của 6

Cách 1: Liệt kê các phần tử của tập hợp

A = { 1; 2;3;6} .

Cách 2: Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của

A = { n ∈ ¥ 6Mn} .

tập hợp.
Tập rỗng
Tập rỗng là tập hợp không chứa phần tử nào. Kí hiệu ∅
.

{

}

2
Ví dụ: A = x ∈ ¡ x + x + 1 = 0 .

Tập A các nghiệm của phương trình
x 2 + x + 1 = 0 là tập rỗng.

Mối quan hệ giữa các tập hợp
1. Tập hợp con
Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của
tập hợp B thì A được gọi là tập hợp con của tập hợp B.
Kí hiệu: A ⊂ B hoặc B ⊃ A.

Ví

dụ:

2. Hai tập hợp bằng nhau
Khi A ⊂ B và B ⊂ A thì A và B là hai tập hợp bằng
nhau.
Kí hiệu: A = B.

Khoảng
( a; b ) = { x ∈ ¡ a < x < b}

[ a; b] = { x ∈ ¡

}

x 2 + 3x + 2 = 0 

B = x ∈ ¡
 = 0 là hai tập
x−4


hợp bằng nhau

Các tập con thường gặp của ¡

Đoạn

{

A = x ∈ ¡ x 2 + 3x + 2 = 0 và

Câu hỏi: “Hai tập hợp có cùng số phần tử
có bằng nhau không?”

a ≤ x ≤ b}

Nửa khoảng
[ a; b ) = { x ∈ ¡ a ≤ x < b}

( a; b ] = { x ∈ ¡ a < x ≤ b}
[ a; +∞ ) = { x ∈ ¡ a ≤ x}
( −∞; b] = { x ∈ ¡

x ≤ b}

( a; +∞ ) = { x ∈ ¡
( −∞; b ) = { x ∈ ¡

a < x}

x < b}

Trang 2


Các phép toán trên tập hợp
1. Giao của hai tập hợp
A ∩ B = { x x ∈ A và x ∈ B} .
x ∈ A
x∈A ∩B ⇔ 
.
x ∈ B
2. Hợp của hai tập hợp

{

}

A ∪ B = x x ∈ A hoaë
c x∈ B .
x ∈ A
x∈A ∪B ⇔ 
.
x ∈ B
3. Hiệu và phần bù của hai tập hợp
A \ B = { x x ∈ A; x ∉ B} .
x ∈ A
x∈A \ B ⇔ 
.
x ∉ B

Khi B ⊂ A thì A \ B gọi là phần bù của B trong A, kí
hiệu C A B.

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tập hợp và xác định tập hợp
Bài toán 1. Xác định tập hợp
Phương pháp giải
• Tập hợp là một khái niệm cơ bản của tốn học, khơng Ví dụ: Tập hợp A các số tự nhiên bé hơn 5
định nghĩa.

có thể được viết bằng 2 cách dưới đây

• Các cách xác định tập hợp
+) Liệt kê các phần tử:
Liệt kê các phần tử theo quy tắc

+) Liệt kê các phần tử:
A = { 0;1; 2;3; 4} .

• Viết các phần tử của tập hợp giữa hai dấu { };
• Các phần tử cách nhau bởi dấu , hoặc ;
Trang 3


• Mỗi phần tử chỉ được viết một lần.

+) Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần

+) Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.
• Tập rỗng là tập hợp khơng chứa phần tử nào, kí hiệu ∅.
Ví dụ mẫu

tử của tập hợp.
A = { x ∈ ¥ x < 5} .

Ví dụ 1. Cho các tập hợp

{

a) A = x ∈ ¡

(x

2

}

+ 7x + 6 ) ( x 2 − 4 ) = 0 ;

b) B = { x ∈ ¥ 2x ≤ 8} ;
c) C = { 2x + 1 x ∈ ¢ và − 2 ≤ x ≤ 4} ;

{

}

2
3
d) D = x ∈ ¥ ( x − 10x + 21) ( x − x ) = 0 .

Hãy viết lại các tập hợp A, B, C dưới dạng liệt kê các phần tử.
Hướng dẫn giải
 x 2 + 7x + 6 = 0
 x = −1
x = 2
⇔
.
a) Ta có ( x + 7x + 6 ) ( x − 4 ) = 0 ⇔  2
hoặc 
 x = −6
 x = −2
x − 4 = 0
2

2

Vậy A = { −6; −2; −1; 2} .
x ∈ ¥
x ∈ ¥
⇔
⇔ x ∈ { 0;1; 2;3; 4} .
b) Ta có 
 2x ≤ 8
x ≤ 4
Vậy B = { 0;1; 2;3; 4} .
x ∈ ¢
⇔ x ∈ { −2; −1;0;1; 2;3; 4} .
c) Ta có 
 −2 ≤ x ≤ 4
Suy ra C = { −3; −1;1;3;5;7;9} .
x = 3

 x − 10x + 21 = 0
x = 7
2
3
⇔
.
d) Ta có ( x − 10x + 21) ( x − x ) = 0 ⇔  3
x = 0
x − x = 0

  x = ±1
2

mà x là các số tự nhiên nên D = { 0;1;3;7} .
Ví dụ 2. Xác định các tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng.
a) A = {0;1; 2;3; 4;5;6}.
b) B = {0;5;10;15; 20}.
c) C = {1;3;9; 27; 81}.
d) D = { −4; −3; −2; −1;0;1; 2;3; 4} .
e) E = { 1;3;5;7;9} .
Trang 4


f) F = {0;1; 4;9;16; 25}.
Hướng dẫn giải
a) A = { x ∈ ¥ x ≤ 6} .
b) B = { x ∈ ¥ x M5, x ≤ 20} .
n
c) C = { 3 n ≤ 4, n ∈ ¥ } .

{

}

d) D = x ∈ ¢ x ≤ 4 .

{
F ={n

}

e) E = x ∈ ¥ xlàsốlẻnhỏhơn 10 .
f)

2

}

n làsốtựnhiê
n nhỏhơn 6 .

Bài tốn 2. Xác định các tập hợp con thường gặp của tập số thực
Phương pháp gỉải
Mội số tập con của tập hợp số thực
Tên gọi, ký hiệu

Tập hợp

Tập số thực ( −∞; +∞ )

Hình biểu diễn

¡

Đoạn a;b

{ x∈ ¡

a≤ x ≤ b

}

Khoảng ( a;b)

{ x∈ ¡

a< x < b

Khoảng ( −∞;a)

{ x∈ ¡

x< a

Khoảng ( a; +∞ )

{ x∈ ¡

a< x

Nửa khoảng a;b)
Nửa khoảng ( a;b

{ x∈ ¡
{ x∈ ¡

Nửa khoảng ( −∞;a

{ x∈ ¡

x≤ a

Nửa khoảng a; +∞ )

{ x∈ ¡

x≥ a

}

}
}

}
a < x ≤ b}
a≤ x < b

}
}

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho các tập hợp sau. Hãy viết lại tập hợp dưới kí hiệu khoảng, nửa khoảng, đoạn.

{
c) C = { x ∈ ¡

}

a) A = x ∈ ¡ x < 4 .

}

x > −3 .

{
d) D = { x ∈ ¡

}

b) B = x ∈ ¡ x ≤ −8 .

}

x≥1 .
Trang 5


{

}

{

e) E = x ∈ ¡ 1< x ≤ 8 .

}

f) F = x ∈ ¡ −2 ≤ x < 3 .

Hướng dẫn giải
a) ( −∞;4) .

b) ( −∞; −8 .

c) ( −3; +∞ ) .

d) 1; +∞ )

e) ( 1;8 .

f) −
 2;3) .

Ví dụ 2. Viết lại các tập hợp sau dưới dạng khoảng, nửa khoảng, đoạn (nếu có thể):

{

}

a) A = {0;1; 2;3; 4;5}.

b) B = x ∈ ¡ x ≤ 3 .

c) C = {−3; −2; −1;1}

d) D = { −3; −2; −1;0;1} .

Hướng dẫn giải
Các ý a, c, d không viết được dưới dạng khoảng, nửa khoảng, đoạn.
b) Ta có x ≤ 3 ⇔ −3 ≤ x ≤ 3 ⇒ B = [ −3;3] .
Chú ý: A; C; D là các tập số tự nhiên liên tiếp (khác với định nghĩa khoảng, nửa khoảng, đoạn)
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Cho tập hợp X = { −2; −1; 0;1; 2;3} . Tập hợp X được xác định bằng cách nêu tính chất đặc trưng

các phần tử của nó là
A. { x ∈ ¢ −2 ≤ x ≤ 3} .

B. { x ∈ ¥ −2 ≤ x ≤ 3} .

C. { x ∈ ¡ −2 ≤ x ≤ 3} .

D. { x ∈ ¢ −2 ≤ x + 1 ≤ 6} .

1 1 1 1

Câu 2: Cho tập hợp X =  ; ; ; ;.... . Tập hợp X được xác định bằng cách nêu tính chất đặc trưng
 2 6 12 20 
các phần tử của nó là


1
; n ∈ ¥ * .
A.  x ∈ ¥ x =
n ( n + 1)





1
; n Ơ * .
B. x Ô x =
n ( n + 1)






1
; n ∈ ¥ * .
C.  x ∈ ¢ x =
n ( n + 1)





1
; n Ơ * .
D. x Ô x = 2
n ( n + 1)



1 1 

Câu 3: Cho tập hợp X = 9; −3;1; − ; ;... . Tập hợp X được xác định bằng cách nêu tính chất đặc trưng
3 9 

các phần tử của nó là
n


 1

*
A.  x ∈ ¢ x = 9.  − ÷ ; n ∈ ¥  .
 3



n


 1
B.  x  x = 9. ữ ; n ∈ ¥  .
 3



n


 1
C.  x ∈ ¡ x = 9.  − ÷ ; n ∈ ¥  .
 3



n


 1
D.  x ∈ ¥ x = 9. ữ ; n Ơ .
 3




Câu 4: Sử dụng các kí hiệu khoảng, đoạn để viết tập hợp A = { x ∈ ¡ x ≤ 9} . ta được
Trang 6


B. A = ( −∞;9] .

A. A = ( −∞;9 ) .

C. A = [ 9; −∞ ) .

D. A = ( 9; +∞ ) .

C. A = ( −∞; −1] .

1

D. A =  −∞; −  .
2


Câu 5: Cho tập hợp A = { x ∈ ¡ 2x + 1 ≤ 0} .
B. A = ( −∞;0] .

A. A = ( −∞;0 ) .

{

}

Câu 6: Cho các tập hợp B = x ∈ ¡ x ≤ 10 . Hãy viết lại các tập hợp B dưới kí hiệu khoảng, nửa
khoảng, đoạn.
A. B = ( −10;10] .

B. B = [ −10;10 ) .

C. B = [ −10;10] .

{

D. B = [ −∞;10] .

}

c chung củ
a 36 và120 . là ước chung của 36 và 120}. Các phần
Câu 7: Cho tập hợp A = x ∈ ¥ xlàướ
tử của tập A là
A. A = { 1; 2;3; 4;6;12} .

B. A = { 1; 2;3; 4;6;8;12} .

C. A = { 2;3; 4;6;8;10;12} .

D. A = { 1; 2;3; 4;6;9;12;18;36} .

{

}

2
Câu 8: Các phần tử của tập hợp A = x ∈ ¡ 2x − 5x + 3 = 0 là

A. A = { 0} .

3
C. A =   .
2

B. A = { 1} .

 3
D. A = 1;  .
 2

Câu 9: Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập rỗng?

{
C. C = { x ∈ ¡

}
− 5 = 0} .

{
D. D = { x Ô x

2
A. A = x ∈ ¥ x − 4 = 0 .

x2

}
+ x − 12 = 0} .

2
B. B = x ∈ ¡ x + 2x + 3 = 0
2

Câu 10: Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập rỗng?

{
C. C = { x ∈ ¢ ( x

}

{
D. D = { x Ô x ( x

2
A. A = x ∈ ¡ x + x + 1 = 0 .
3

}
+ 3)} = 0.

2
B. B = x ∈ ¥ x − 2 = 0 .

}

− 3)( x 2 + l) = 0 .

2

Dạng 2: Quan hệ giữa các tập hợp
Bài toán 1. Tập hợp con
Phương pháp giải
1. Để chứng minh A ⊂ B.
Lấy x ∈ A bất kì, sau đó chứng minh

Ví dụ 1: Cho A = { 1;3;5} . Tập hợp A có tất cả bao nhiêu

x∈B

tập con? Liệt kê các tập con của tập A.

2. Xác định số tập con của một tập hợp A
có n phần tử
n

Tập hợp có n phần tử có 2 tập hợp con

Hướng dẫn giải
Tập hợp A có 3 phần tử, do đó có tất cả 23 = 8 tập hợp
con.
Các tập con của A bao gồm

{ 1} , { 3} , { 5} , { 1;3} , { 1;5} , { 3;5} , { 1;3;5} , ∅

Ví dụ 2: Cho hai tập hợp

A = { 2n + 1, n ∈ ¥ } ;
Trang 7


B = { 4k + 3, k ∈ ¥ } . Chứng tỏ B ⊂ A.
Hướng dẫn giải
Giả sử x ∈ B, x = 4k + 3, k ∈ ¥ . Khi đó ta có thể viết
x = 2 ( 2k + 1) + 1.
Đặt n = 2k + 1 thì n ∈ ¥ và ta có x = 2n + 1, suy ra x ∈ A.
Như vậy x ∈ B ⇒ x ∈ A hay B ⊂ A.

Ví dụ mẫu

Ví dụ: Trong các tập sau đây, tập hợp nào có đúng hai tập hợp con?
A. { 1;5} .

B. { 9} .

C. { 0;9} .

D. { 0;1;5} .

Hướng dẫn giải
Chọn B.

{ 1;5}

có hai phần tử nên có 22 = 4 (tập con).

{ 9} có một phần tử nên có 21 = 2
{ 0;9}

(tập con) là { 9} và ∅.

có hai phần tử nên có 22 = 4 (tập con).

{ 0;1;5}

có ba phần tử nên có 23 = 8 (tập con).

Bài toán 2. Tập hợp bằng nhau
Phương pháp giải
Để chứng minh A = B ta đi chứng minh
A ⊂ B và B ⊂ A hoặc ∀x, x ∈ A ⇔ x ∈ B.

π

Ví dụ 3. Cho các tập hợp A =  + kπ , k ∈ ¢  ,
3

 2π

A = −
+ kπ , k ∈ ¢  . Chứng minh rằng A = B.
 3

Hướng dẫn giải
+) Chứng minh A ⊂ B.

Ta có ∀x ∈ A ⇒ ∃k 0 ∈ ¢ sao cho x =

x=

π
+ k 0π , suy ra
3

π
2π
− π + ( k 0 + 1) π = −
+ ( k 0 + 1) π .
3
3

Vì k 0 ∈ ¢ nên k 0 + 1∈ ¢.
Suy ra x ∈ B. Do đó A ⊂ B.

(1)

+) Chứng minh B ⊂ A.
∀x ∈ B ⇒ ∃k 0 ∈ ¢ sao cho x = −

2π
+ k 0π , suy ra
3

Trang 8

x=−

2π
π
+ π + ( k 0 − 1) π = + ( k 0 − 1) π .
3
3

Vì k 0 ∈ ¢ ⇒ k 0 − 1 ∈ ¢. Suy ra x ∈ A.
Vậy B ⊂ A.

(2)

Từ (1) và (2) suy ra A = B.
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Cho A = { 1; 2;3} . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. ∅ ⊂ A.

C. { 1; 2} ⊂ A.

B. 1 ∈ A.

D. 2 = A.

Câu 2: Cho tập hợp A = { 1; 2;3; 4;5} . Tập hợp A có tất cả bao nhiêu tập con có đúng 3 phần tử?
A. 32.

B. 15.

C. 25.

D. 10.

Câu 3: Cho tập hợp A = a, b, c, d}. Tập A có mấy tập con?
A. 16.

B. 15.

C. 12.

D. 10.

Câu 4: Trong các tập sau đây, tập hợp nào có đúng hai tập hợp con?
A. { x; y} .

B. { x} .

C. { 0; x} .

D. { 0; x; y} .

C. { a} ∈ [ a; b ] .

D. a ∈ ( a; b ] .

Câu 5: Cách viết nào sau đây là đúng?
A. a ⊂ [ a; b ] .

B. { a} ⊂ [ a; b ] .

Câu 6: Cho tập hợp A = [ m; m + 2] và B = [ −1; 2] . Điều kiện của m để A ⊂ B là
A. m ≤ −1 hoặc m ≥ 0.

B. −1 ≤ m ≤ 0.

C. 1 ≤ m ≤ 2.

D. m < −1 hoặc m > 2.

Câu 7: Cho A = ( 2; +∞ ) , B = ( m; +∞ ) . Điều kiện cần và đủ của m sao cho B là tập con của A là
A. m ≤ 2.

B. m = 2.

C. m > 2.

D. m ≥ 2.

Câu 8: Cho hai tập hợp A = [ 1;3] và B = [ m; m + 1] . Tìm tất cả giá trị của tham số m để B ⊂ A.
A. m = 1.

B. 1 < m < 2.

C. 1 ≤ m ≤ 2.

D. m = 2.

Dạng 3. Xác định tập hợp và phép toán trên tập số thực
Bài toán 1. Phép toán với tập hợp ở dạng liệt kê, tính chất đặc trưng.
Phương pháp giải

Ví dụ 1: Cho tập hợp A = {1; 2;3;5} và B = { 2;3;5; 7; 9} .
Xác định các tập hợp A ∪ B; A ∩ B; A \ B; B / A.
Có tồn tại các tập hợp CAB, CBA hay không?
Hướng dẫn giải

{

}

A ∪ B = x x ∈ A hoaë
c x∈ B .

A ∪ B = { 1; 2;3;5;7;9} .

A ∩ B = { x x ∈ A; x ∈ B} .

A ∩ B = { 2;3;5} .

A \ B = { x x ∈ A; x ∉ B} .

A \ B = { 1} .
B \ A = { 7;9} .
Trang 9


Khơng tồn tại tập hợp CAB vì B khơng là tập hợp con của A.
Không tồn tại tập hợp CBA vì A khơng là tập hợp con của B.
Ví dụ mẫu

{

}

2
3
Vi dụ 1. Cho hai tập hợp A = x ∈ ¢ ( x − 10x + 21) ( x − x ) = 0 , B = { x ∈ ¢ −3 < 2x + 1 < 5} .

Xác định tập hợp X = A ∪ B; A ∩ B; A \ B.
Hướng dẫn giải
x = 3

 x 2 − 10x + 21 = 0
x = 7
2
3
⇔
Giải phương trình ( x − 10x + 21) ( x − x ) = 0 ⇔  3
x = 0
x − x = 0

  x = ±1
Mà x ∈ ¢ nên A = { −1;0;1;3;7} .
Giải bất phương trình −3 < 2x + 1 < 5 ⇔ −2 < x < 2. Mà x ∈ ¢ nên B = { −1;0;1} .
Khi đó x = A ∪ B = { −1;0;1;3;7} ; A ∩ B = { −1;0;1} và A \ B = { 3;7} .
Ví dụ 2. Cho tập A = { −1;1;5;8} , B: “Gồm các ước số nguyên dương của 16”.
a) Viết tập hợp A bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử.
Viết tập B dưới dạng liệt kê các phần tử.
b) Xác định các tập hợp A ∪ B; A ∩ B; A \ B.
Hướng dẫn giải

{

a) Ta có A = x ∈ ¡

( x + 1) ( x − 1) ( x − 5 ) ( x − 8 ) = 0} ; B = { 1; 2; 4;8;16} .

b) Ta có A ∩ B = { 1;8} , A ∪ B = { −1;1; 2; 4;5;8;16} , A \ B = { −1;5} .

{

}

{

}

c cuû
a12 , B = x x ∈ ¥ ;x làướ
c củ
a16 .
Ví dụ 3. Cho A = x x ∈ ¥ ;x làướ
Hãy tìm
a) A ∩ B;

b) A ∪ B;

c) A \ B.

Hướng dẫn giải
Ta có A = { 1; 2;3; 4;6;12} và B = { 1; 2; 4;8;16} .

a) A ∩ B = { 1; 2; 4} .
b) A ∪ B = { 1; 2;3; 4;6;8;12;16} .
c) A \ B = { 3;6;12} .
Bài toán 2. Phép toán với các tập hợp dạng nửa khoảng, khoảng, đoạn
Phương pháp giải

Trang 10


Cách tìm A ∪ B; A ∩ B; A \ B.

Ví dụ: Cho các tập hợp

A = { x ∈ ¡ −3 ≤ x ≤ 2} ,

B = { x ∈ ¡ 0 < x ≤ 7} . Xác định
a) A ∪ B;
b) A ∩ B;
c) A \ B.
Hướng dẫn giải
Để tìm A ∪ B ta làm như sau
• Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các điểm

A = [ −3; 2] , B = ( 0;7 ]
a) Ta có

đầu mút của các tập hợp A, B lên trục số.
• Tơ đậm các tập A, B trên trục số.
• Phần tơ đậm chính là hợp của hai tập
hợp A ∪ B .

Để tìm A ∩ B ta làm như sau

Vậy A ∪ B = [ −3;7 ] .
b) Ta có

• Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các điểm
đầu mút của các tập hợp A, B lên trục số.
• Biểu diễn các tập A, B trên trục số (phần

Vậy A ∩ B = ( 0; 2] .

nào không thuộc các tập đó thì gạch bỏ).
• Phần khơng bị gạch bỏ chính là giao
của hai tập hợp A, B.
Để tìm A \ B ta làm như sau

c) Ta có

• Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các điểm
đầu mút của các tập hợp A, B lên trục số.
• Biểu diễn tập A trên trục số (gạch bỏ

Vậy A \ B = [ 3;0] .

phần không thuộc tập A), gạch bỏ phần
thuộc tập B trên trục số.
• Phần khơng bị gạch bỏ chính là A\ B.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Xác định mỗi tập hợp số sau.
a) ( −∞;3) ∩ ( −2; +∞ ) ;

b) ( −1;5] ∪ ( 3;7 ) ;

c) ( −2;3) \ [ 0;5 ) ;

d) ( −2; 2] ∩ [ 1;3) .

Hướng dẫn giải
a) ( −∞;3) ∩ ( −2; +∞ ) = ( −2;3) .

Trang 11


b) ( −1;5] ∪ ( 3;7 ) = ( −1;7 ) .

c) ( −2;3) \ [ 0;5 ) = ( −2;0 ) .

d) ( −2; 2] ∩ [ 1;3) = [ 1; 2 ) .

Ví dụ 2. Cho các tập hợp:
A = { x ∈ ¡ x < 3} , B = { x ∈ ¡ 1 < x ≤ 5} , C = { x ∈ ¡ −2 ≤ x ≤ 4} .
a) Hãy viết lại các tập hợp A, B, C dưới kí hiệu khoảng, nửa khoảng, đoạn.
b) Tìm A ∪ B, A ∩ B, A \ B.
c) Tìm ( B ∪ C ) \ ( A ∩ C )
Hướng dẫn giải
a) Ta có A = ( −∞;3) ;

B = ( 1;5] ;

C = [ −2; 4] .

b) Tìm A ∪ B.
Biểu diễn trên trục số:

Suy ra A ∪ B = ( −∞;5] .
Tìm A ∩ B.
Biểu diễn trên trục số:

Suy ra A ∩ B = ( 1;3) .
Tìm A \ B.
Biểu diễn trên trục số:

Suy ra A \ B = ( −∞;1] .
c) Bằng cách biểu diễn trên trục số, ta có
Trang 12


A ∩ C = [ −2;3) và B ∪ C = [ −2;5] .
Suy ra ( B ∪ C ) \ ( A ∩ C ) = [ 3;5] .
Ví dụ 3. Tìm phần bù của các tập hợp sau trong ¡ .
a) A = [ −12;10 ) .
b) B = ( −∞; −2 ) ∪ ( 2; +∞ ) .
c) C = [ 3; +∞ ) \ { 5} .
d) D = { x ∈ ¡ −4 < x + 2 ≤ 5} .
Hướng dẫn giải
a) Ta có A = [ −12;10 ) . Vậy C ¡ A = ( −∞; −12 ) ∪ [ 10; +∞ ) .
b) Ta có B = ( −∞; −2 ) ∪ ( 2; +∞ ) . Vậy C ¡ B = [ −2; 2] .
c) Ta có C = [ 3; +∞ ) \ { 5} . Vậy C ¡ C = ( −∞;3) ∪ { 5} .
d) −4 < x + 2 ≤ 5 ⇔ −6 < x ≤ 3.
Suy ra D = ( −6;3] . Vậy C ¡ D = ( −∞;6] ∪ ( 3; +∞ ) .

Bài toán 3. Tập hợp xác định bởi tham số
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Xác định điều kiện của a, b để
a) A ∩ B = ∅ với A = ( a − 1;a + 2 ) và B = ( b; b + 4 ] .
b) E ⊂ ( C ∪ D ) với C = [ −1; 4] ; D = ¡ \ ( −3;3 ) và E = [ a; b ] .
Hướng dẫn giải
a) A ∩ B = ∅ với A = ( a − 1;a + 2 ) và B = ( b; b + 4 ] .
b ≥ a + 2
a − b ≤ −2
A∩B =∅ ⇔ 
⇔
.
 b + 4 ≤ a − 1 a − b ≥ 5
b) E ⊂ ( C ∪ D ) với C = [ −1; 4] ; D = ¡ \ ( −3;3 ) và E = [ a; b ] .
Ta có C ∪ D = ( −∞; −3] ∪ [ −1; +∞ ) .
  b ≤ −3

E ⊂ ( C ∪ D ) ⇔   a ≥ −1
a ≤ b

Chú ý: để hình dung cách làm có thể vẽ trên trục số như sau:

Trang 13


Để A ∩ B = ∅ thì tập B sẽ nằm trong phần bị gạch chéo
Chú ý: điều kiện a ≤ b để E là một đoạn
Ví dụ 2: Tìm m sao cho
a) A ∪ B = ¡ biết A = ( −∞;3] và B = [ m; +∞ ) .
b) C ∪ D là một khoảng (tùy theo m xác định khoảng đó), biết C = ( m; m + 2 ) và D = ( −3;1) .

Hướng dẫn giải
a) Ta có A ∪ B = ¡ ⇔ m ≤ 3.
b) C ∪ D là một khoảng (tùy theo m xác định khoảng đó) khi và chỉ khi
m < 1
⇔ −5 < m < 1.

 m + 2 > −3
Ví dụ 3. Cho A = ( −4;5] và B = ( 2m − 1; m + 3) , tìm m sao cho
a) A ⊂ B.
b) B ⊂ A.
c) A ∩ B = ∅.
d) A ∪ B là một khoảng.
Hướng dẫn giải
3

 2m − 1 ≤ −4
m ≤ −
⇔
2 ⇔ m ∈∅.
a) A ⊂ B ⇔ 
m + 3 > 5
m > 2
3

 2m − 1 ≥ −4
3
m ≥ −
⇔
2 ⇔ − ≤ m ≤ 2.
b) B ⊂ A ⇔ 

2
m + 3 ≤ 5
m ≤ 2
 2m − 1 ≥ 5
m > 3
⇔
⇔ m ∈ ∅.
c) A ∩ B = ∅ ⇔ 
 m + 3 ≤ −4
 m ≤ −7
m + 3 > 5
m > 2


d) A ∪ B là một khoảng ⇔ 2m − 1 < m + 3 ⇔ m < 4 ⇔ 2 < m ≤ 3.
2m − 1 ≤ 5
m ≤ 3


Ví dụ 4. Cho hai tập khác rỗng A = ( m − 1; 4] , B = ( −2; 2m + 2 ) , với m ∈ ¡ .
Xác định m để
a) A ∩ B ≠ ∅;

b) A ⊂ B;

c) B ⊂ A;

d) A ∩ B ⊂ ( −1;3) .

Hướng dẫn giải

Với A = ( m − 1; 4] , B = ( −2; 2m + 2 ) , khác tập rỗng, ta có điều kiện
Trang 14


m − 1
m < 5
⇔
⇔ −2 < m < 5 ( * ) .

 2m + 2 > −2
m > −2
Với điều kiện (*), ta có
a) A ∩ B ≠ ∅ ⇔ m − 1 < 2m + 2 ⇔ m > −3. So sánh với (*) ta thấy các giá trị m thỏa mãn yêu cầu
A ∩ B ≠ ∅ là − 2 < m < 5.
 m − 1 ≥ −2
m ≥ −1
⇔
⇔ m > 1. So sánh (*) ta thấy các giá trị m thỏa mãn yêu cầu
b) A ⊂ B ⇔ 
 2m + 2 > 4
m > 1
A ⊂ B là 1 < m < 5.
 m − 1 ≤ −2
m ≤ −1
⇔
⇔ m ≤ −1. So sánh (*) ta thấy các giá trị m thỏa mãn yêu cầu
c) B ⊂ A ⇔ 
 2m + 2 ≤ 4
m ≤ 1
B ⊂ A là − 2 < m ≤ −1.

m − 1 ≥ −1
1
⇔ 0 ≤ m ≤ (thỏa mãn (*)).
d) A ∩ B ⊂ ( −1;3) ⇔ 
2
2m + 2 ≤ 3
Bài tập tự luyện dạng 3
*
Câu 1: Cho tập hợp A = { x ∈ ¥ 3x − 2 > 10} khi đó

A. C ¥ A = { 1; 2;3; 4} .

B. C ¥ A = { 0;1; 2;3; 4} .

C. C ¥ A = { 1; 2;3} .

D. C ¥ A = { 1; 2; 4} .

{

}

2
Câu 2: Cho tập hợp A = x ∈ ¢ 2x − 3x + 1 = 0 , B = { x ∈ ¥ 3x + 2 < 9} . Tập hợp A ∩ B là

A. { 1} .

 1
B. 1;  .
 2

C. { 0;1; 2} .

D. { 0; 2} .

Câu 3: Cho tập hợp E = [ −4;5] ; F = ( −∞;0] . Khi đó, tập E \ F là
A. ( −∞; −4]

B. ( −∞;5] .

C. ( 0;5] .

D. ( −4;0 ) .

Câu 4: Cho A = { x ∈ ¡ : x + 2 ≥ 0} , B = { x ∈ ¡ : 5 − x ≥ 0} . Khi đó A \ B là
A. [ −2;5] .

B. [ −2;6] .

C. ( 5; +∞ ) .

D. ( 2; +∞ )

Câu 5: Cho A = [ −3; 2 ) . Tập hợp C ¡ A là
A. ( −∞; −3)

B. ( 3; +∞ ) .

C. [ 2; +∞ )

D. ( −∞; −3) ∪ [ 2; +∞ )

Câu 6: Cho tập hợp A = ( −∞;3] ; B = ( 1;5] . Khi đó, tập A ∪ B là
A. ( 1;3] .

B. ( 3;5] .

C. ( −∞;5] .

D. ( −∞;1) .

Câu 7: Cho hai tập hợp A = [ −2;3] và B = ( 1; +∞ ) . Tìm A ∩ B.
A. A ∩ B = [ −2; +∞ ) . B. A ∩ B = ( 1;3] .

C. A ∩ B = [ 1;3] .

D. A ∩ B = ( 1;3) .

Trang 15


Câu 8: Cho A = [ −4;7 ] , B = ( −∞; −2 ) ∪ ( 3; +∞ ) . Khi đó A ∩ B. là
A. [ −4; −2 ) ∪ ( 3;7 ] .

B. [ −4; −2 ) ∪ ( 3;7 ) .

C. ( −∞; 2] ∪ ( 3; +∞ ) .

D. ( −∞; −2 ) ∪ [ 3; +∞ ) .

Câu 9: Cho hai tập hợp A = [ 1;3] và B = [ m; m + 1] . Tìm tất cả giá trị của tham số m để B ⊂ A.
A. m = 1.

B. 1 < m < 2.

C. 1 ≤ m ≤ 2.

{

}

D. m = 2.

{

}

Câu 10: Cho các tập hợp C = x ∈ ¡ 2x − 4 < 10 , D = x ∈ ¡ 8 < −3x + 5 , E = [ −2;5] .
Tập hợp ( C ∩ D ) ∪ E là
 13 
B. ( −2; −1) ∪  ;5 ÷.
3 

A. [ −3;7 ] .

(


5
2; +∞ và B =  −∞;

 . Khi đó ( A ∩ B ) ∪ ( B\ A ) là
2



(

2; +∞

Câu 11: Cho hai tập hợp A =
 5

A.  ; 2 
 2


B.

D. [ −2;5] .

C. ( −3;7 ) .

)


5
C.  −∞;

2 


)

 12 
Câu 12: Cho tập hợp C ¡ A = [ 0;6 ) , C ¡ B =  − ;5 ÷∪
 3 

(


5
D.  −∞;
÷
2 ÷



)

17; 55 . Tập C ¡ ( A ∩ B ) là

 12

A.  − ; 55  .
 3


B. ∅.

 12


C.  − ; 55 ÷.
 3


 12 
D.  − ;0 ÷∪
 3 

(

)

17; 55 .

Câu 13: Cho m là một tham số thực và hai tập hợp A = [ 1 − 2m; m + 3] , B = { x ∈ ¡ x ≥ 8 − 5m} . Tất cả
các giá trị m để A ∩ B = ∅ là
5
A. m ≥ .
6

2
B. m < − .
3

{

5
C. m ≤ .
6

{

}

D. −

2
5
≤m< .
3
6

}

2
Câu 14: Cho A = x ∈ ¡ mx − 3 = mx − 3 , B = x ∈ ¡ x − 4 = 0 . Tìm m để B \ A = B.

A. −

3
3
≤m≤ .
2
2

3
B. m < .
2

C. −

3
3
2
2

3
D. m ≥ − .
2

Bài tập tự luận
Câu 15: Xác định các tập A ∪ B; A ∩ B; A \ B; B \ A biết

{

}

a) A = { x ∈ ¡ −3 ≤ x ≤ 5} ; B = x ∈ ¡ x < 4 .
b) A = [ 1;5] ; B = ( −3; 2 ) ∪ ( 3;7 ) .


1
≥ 2 ; B = x ∈ ¡ x − 2 ≤ 1 .
c) A =  x ∈ ¡
x −1



{

}

d) A = [ 0; 2] ∪ ( 4;6 ) ; B = ( −5;0] ∪ ( 3;5 ) .

Trang 16


Câu 16: Cho các tập hợp A = ( −∞; m ) và B = [ 3m − 1;3m + 3] . Tìm m để
a) A ∩ B = ∅

b) B ⊂ A.

c) A ⊂ C¡ B.

d) C ¡ A ∩ B ≠ ∅.
ĐÁP ÁN PHẦN KIẾN THỨC CHUNG

BÀI 2. TẬP HỢP VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP
Dạng 1. Tập hợp và xác định tập hợp
1 -A

2-B

3-C

4-B

5-D

6-C

7 -A

8-D

9-B

10 - D

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Chọn A.
Nhận thấy X là tập các số nguyên liên tiếp bắt đầu bằng số −2 và kết thúc bằng số 3 nên ta có
X = { x ∈ ¢ −2 ≤ x ≤ 3} .
Câu 2. Chọn B.
Ta có: 2 = 1.2; 6 = 2.3; 12 = 3.4; 20 = 4.5...


1
; n ∈ Ơ * .
Do ú X = x Ô x =
n ( n + 1)


Câu 3. Chọn C.
0

1

2

3

4

 −1 
 −1 
 −1  −1
 − 1  1  −1 
Ta có: 9 = 9.  ÷ ; − 3 = 9.  ÷ ;1 = 9.  ÷ ;
= 9.  ÷ ; =  ÷ ;...
 3 
 3 
 3  3
 3  9 3
n
n




1
1
X
=
x

Ă
x

=
9.
;
n

Ơ
X
=
x

Ô
x
=
9.
Do ú

hoc

ữ
÷ ; n ∈ ¥ .
 3 
 3 





Câu 4. Chọn B.
A = ( −∞;9] .
Câu 7. Chọn A.

Ta có Ư ( 36) = { 1;2;3;4;6;9;12;18} và Ư ( 120) = { 1;2;3;4;5;6;8;10;12;15;20;24;30;40;60} .
Vậy tập hợp các ước chung của 36 và 120 là A = { 1; 2;3; 4;6;12} .
Câu 9. Chọn B.
x = 2
2
Đáp án A. Ta có x − 4 = 0 ⇔ 
nên A = { −2;2} .
 x = −2
Đáp án B. Ta có x 2 + 2x + 3 = 0 là vô nghiệm vì x 2 + 2x + 3 = ( x + 1) + 2 > 0; ∀x ∈ ¡ . Do đó B = ∅.
2

x = 5
2
. Do đó C = − 5; 5 .
Đáp án C. Ta có x − 5 = 0 ⇔ 
 x = − 5

{

}

Trang 17


 x = −4
2
. Do đó D = { −4;3} .
Đáp án D. Ta có x + x − 12 = 0 ⇔ 
x = 3
Câu 10. Chọn D.

Đáp án A. Ta có x 2 + x + 1 = 0 là phương trình vơ nghiệm vì
2

1 3

x + x + 1 =  x + ÷ + > 0, ∀x ∈ ¡ ⇒ A = ∅.
2 4

2

Đáp án B. Ta có x 2 − 2 = 0 ⇔ x = ± 2 ∉ ¥ ⇒ B = ∅.
x3 − 3 = 0
3
2
x
−
3
x
+
1
=
0
⇔
⇔ x 3 − 3 = 0 ( do x 2 + 1 ≥ 1, ∀x )
Đáp án C. Ta có (
)(
)
 2
x + 1 = 0
⇔ x = 3 3 ∉ ¢ ⇒ C = ∅.

x = 0
2
⇔ x = 0 ( do x 2 + 3 ≥ 3, ∀x ) ⇒ D = { 0} .
Đáp án D. Ta có x ( x + 3) = 0 ⇒  2
x + 3 = 0
Dạng 2. Quan hệ giữa các tập hợp
1-D

2-D

3 -A

4-B

5-B

6-B

7-D

8-C

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Chọn D.
Vì 2 khơng phải là một tập hợp nên đáp án D là sai. Sửa lại: 2∈ A.
Câu 2. Chọn D.
Các tập con có 3 phần tử của A là

{ 1; 2;3} ; { 1; 2; 4} ; { 1; 2;5} ; { 1;3; 4} ; { 1; 4;5} ; { 1;3;5} ; { 2;3; 4} ;{ 2;3;5} ; { 2; 4;5} ; { 3; 4;5} .
Câu 5. Chọn B.

Câu 6. Chọn B.
 m ≥ −1
m ≥ −1
⇔
⇔ −1≤ m ≤ 0.
Để A ⊂ B thì 
m
+
2
≤
2
m
≤
0


Câu 7. Chọn D.
Để B ⊂ A thì m ≥ 2.
Câu 8. Chọn C.
m ≥ 1
m ≥ 1
⇔
⇔ 1 ≤ m ≤ 2.
Để B ⊂ A thì 
m + 1 ≤ 3 m ≤ 2
Dạng 3. Xác định tập hợp và các phép toán trên tập số thực
1-B

2-A

3-C

4-C

11 - C

12 - C

13 - D

14 - C

5-D

6-C

7-B

8 -A

9-C

10 – C

Trang 18


BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu 15.
a) Ta có A =  −3;5 .

x < 4 ⇔ −4 < x < 4. Do đó B = ( −4;4) .
Vậy A ∪ B = ( −4;5] ; A ∩ B = [ −3; 4 ) ; A \ B = [ 4;5] ; B \ A = ( −4; −3 ) .
b) Ta có A = [ 1;5] ; B = ( −3; 2 ) ∪ ( 3;7 ) .
Vậy A ∪ B = ( −3;7 ] ; A ∩ B = [ 1; 2 ) ∪ ( 3;5] ; A \ B = [ 2;3] ; B \ A = ( −3;1) ∪ ( 5;7 ) .
1


≥ 2 ; B = x ∈ ¡ x − 2 ≤ 1 .
c) A =  x ∈ ¡
x −1



{

}

x ≠ 1
x ≠ 1
 1 3
1


≥2⇔
1 ⇔ 1
3 . Do đó A =  − ;  \ { 1} .
x −1
 2 2
 x − 1 ≤ 2
 2 ≤ x ≤ 2

x − 2 ≤ 1⇔ 1≤ x ≤ 3. Do đó B = 1;3 .
 1 
 3
 1 
3 
Vậy A ∪ B =  − ;3 ; A ∩ B = 1;  ; A \ B =  − ;1÷; B \ A =  ;3 .
 2 
 2
 2 
2 
d) Ta có A = [ 0; 2] ∪ ( 4;6 ) ; B = ( −5;0] ∪ ( 3;5 ) .
Vậy A ∪ B ( −5; 2] ∪ ( 3;6 ) ; A ∩ B = { 0} ∪ ( 4;5 ) ; A \ B = ( 0; 2 ] ∪ [ 5;6 ) ; B \ A = ( −5;0 ) ∪ ( 3; 4 ] .
Câu 16.
Ta có biểu diễn trên trục số các tập A và B trên hình vẽ

1
a) Ta có A ∩ B = ∅ ⇔ m ≤ 3m − 1 ⇔ m ≥ .
2
Vậy m ≥

1
là giá trị cần tìm.
2

3
b) Ta có B ⊂ A ⇔ 3m + 3 < m ⇔ m < − .
2
Vậy m < −

3

là giá trị cần tìm.
2
Trang 19


c) Ta có C ¡ B = ( −∞;3m − 1) ∪ ( 3m + 3; +∞ ) .
1
Suy ra A ⊂ C¡ B ⇔ m ≤ 3m − 1 ⇔ m ≥ .
2
Vậy m ≥

1
là giá trị cần tìm.
2

d) Ta có C ¡ A = [ m; +∞ )
3
Suy ra C ¡ A ∩ B ≠ ∅ ⇔ m ≤ 3m + 3 ⇔ m ≥ − .
2
Vậy m ≥ −

3
là giá trị cần tìm.
2

Trang 20