Dạy thêm toán 10 CÂU hỏi CHỨA đáp án 0h2 2
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (638.09 KB, 26 trang )
DẠNG 1. TÍCH VƠ HƯỚNG
DẠNG 1. TÍCH VƠ HƯỚNG KHI BIẾT TỌA ĐỘ CỦA VECTO
r
r
rr
u 2; 1 v 3; 4
Câu 1.
Cho hai vectơ
,
. Tích u .v là
A. 11.
B. 10.
C. 5.
D. 2.
Lời giải
Câu 2.
Chọn B
r
�
u 2; 1
rr
�
� u .v 2. 3 1 4 10
�r
v 3; 4
Với �
r
r
rr
a 2;5
b 3;1
Oxy
a
Trong hệ trục tọa độ
, cho
và
. Khi đó, giá trị của .b bằng
A. 5 .
B. 1 .
C. 13 .
D. 1 .
Lời giải
Chọn D
rr
a.b 2. 3 5.1 1
Ta có
.
Câu 3.
uuu
r uuur
A 0;3 B 4;0 C 2; 5
AB
.BC .
Cho
;
;
. Tính
A. 16 .
B. 9 .
C. 10 .
Lời giải
D. 9 .
Chọn D
uuu
r
uuur
AB 4; 3 BC 6; 5
Ta có
;
uuur uuur
4. 6 3 . 5 9
Vậy AB.BC
.
Câu 4.
r r r
Oxy
u
(HKI XUÂN PHƯƠNG - HN) Trong mặt phẳng tọa độ
, cho hai vectơ i 3 j và
r
r r
rr
v 2 j 2i . Tính u.v .
rr
rr
rr
rr
A. u.v 4 .
B. u.v 4 .
C. u.v 2 .
D. u.v 2 .
Lời giải
Chọn B
r
u 1;3
Câu 5.
r
v 2; 2
Theo giả thiết ta có
và
.
rr
u.v 1. 2 3.2 4
Khi đó
.
r r r r
rr
v 2; 1
Oxy
u
Trong hệ tọa độ
, cho i 3 j ;
. Tính biểu thức tọa độ của u.v .
rr
rr
rr
rr
u
.v 2; 3
u
.
v
1
u
.
v
1
u
A.
.
B.
.
C.
.
D. .v 5 2 .
Lời giải
Chọn A
1
r
r r r
� u 1;3
u
i
3
j
Ta có
.
rr
u.v 1.2 3. 1 1
Vậy
.
DẠNG 2. TÍCH VƠ HƯỚNG KHI BIẾT ĐỘ DÀI CỦA VECTO
r
r
r
Câu 6.
Cho hai véctơ a và b đều khác véctơ 0 . Khẳng định nào sau đây đúng?
rr r r
rr r r
r r
a.b a . b
a.b a . b .cos a, b
A.
.
B.
.
rr rr
r r
rr r r
r r
a.b a.b .cos a, b
a.b a . b .sin a, b
C.
. D.
.
Lời giải
Chọn B
Theo định nghĩa tích vơ hướng của hai véctơ.
Câu 7.
uuur
uuu
r
ABC
4a
AB
Cho tam giác đều
có cạnh bằng
.Tích vơ hướng của hai vectơ
và AC là
2
A. 8a .
2
C. 8 3a .
Lời giải
B. 8a .
D. 8 3a .
Chọn A
Ta có
Câu 8.
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
AB. AC AB . AC cos AB, AC
1
4a.4a. 8a 2
4a.4a.cos 60�
2
.
(KSNLGV - THUẬN THÀNH 2 - BẮC NINH NĂM 2018 - 2019) Cho hình vng ABCD
uuu
r uuur
a
AB
. AD .
có cạnh Tính
uuur uuur a 2
uuu
r uuur
uuur uuur
uuur uuur
AB. AD
2
2 .
A. AB. AD 0 .
B. AB. AD a .
C.
D. AB. AD a .
Lời giải
Chọn A
Câu 9.
uuu
r uuur
ABCD
AB
CD
AB
. AD 0 .
Vì
là hình vng nên
do đó
r
r
Cho hai véc tơ a và b . Đẳng thức nào sau đây sai?
rr 1 r2 r2 r r2
rr r r
r r
a
.b
a b a b
a.b a . b .cos a, b
2
A.
.B.
.
r
r
r
r
r
r
2
2
2
1
r2 r2 rr2
a.b
ab a b
a . b a.b
2
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn C
rr2
r r
r r 2 r2 r2
r r
a.b �a . b .cos a, b � a . b .cos 2 a, b
�
�
nên C sai.
2
Câu 10.
uuur uuu
r
0
0
ˆ
ˆ
Cho tam giác ABC có A 90 , B 60 và AB a . Khi đó AC.CB bằng
2
2
2
2
A. 2a .
B. 2a .
C. 3a .
D. 3a .
Lời giải
Chọn D
Gọi D là điểm đối xứng với A qua C .
� 3�
a 3.2a. �
3a 2
�
uuur uuu
r uuur uuu
r
�
�
� 2 �
Khi đó: AC .CB CD.CB CD.CB.cos150�
.
uuur uuur
Câu 11. Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a . Tính tích vơ hướng AB.BC .
uuu
r uuur a 2
uuu
r uuur a 2
uuu
r uuur a 2 3
uuu
r uuur a 2 3
AB.BC
AB.BC
AB.BC
AB.BC
2 .
2 . C.
2 .
2 .
A.
B.
D.
Lời giải
Chọn D
uuu
r uuur uuu
r uuur
uuu
r uuur
a2
AB.BC AB BC cos AB, BC a.a.cos120�
2 .
Ta có
Câu 12.
Cho tam giác ABC vng tại A có AB a; AC a 3 và AM là trung tuyến. Tính tích vơ
uuu
r uuuu
r
hướng BA. AM
a2
.
2
2
C. a .
2
B. a .
A.
Lời giải
Chọn D
3
a2
.
D. 2
Ta có tam giác ABC vng tại A và có AM là trung tuyến nên
BC
AM
2
AB 2 AC 2
2
AM
BC
2 .
a 2 3a 2
a
2
.
�
Tam giác AMB có AB BM AM a nên là tam giác đều. Suy ra góc MAB 60�.
uuu
r uuuu
r
uuur uuuu
r
uuu
r uuuu
r
uuur uuuu
r
a2
BA. AM AB. AM AB . AM .cos ( AB , AM ) a.a.cos 60�
2 .
Ta có
Câu 13.
uuu
r uuur
�
Cho hình bình hành ABCD , với AB 2 , AD 1 , BAD 60�. Tích vơ hướng AB. AD bằng
1
1
A. 1 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 2 .
Lời giải
Chọn B
uuu
r uuur uuu
r uuur
uuu
r uuur
� 2.1.cos 60� 1
AB. AD AB . AD .cos AB; AD AB. AD.cos BAD
.
uuu
r uuur
�
Câu 14. Cho hình bình hành ABCD , với AB 2 , AD 1 , BAD 60�. Tích vơ hướng BA.BC bằng
1
1
A. 1 .
B. 2
C. 1 .
D. 2 .
Lời giải
Chọn C
�
�
Theo giả thiết: BAD 60�� ABC 120�.
uuu
r uuur uuu
r uuur
uuu
r uuur
BA.BC BA . BC .cos BA; BC AB.BC.cos �
ABC 2.1.cos120� 1
Câu 15.
.
�
Cho hình bình hành ABCD , với AB 2 , AD 1 , BAD 60�. Độ dài đường chéo AC bằng
7
A. 5 .
B. 7 .
C. 5 .
D. 2 .
4
Lời giải
Chọn B
Ta có:
uuur uuur uuur uuur 2 uuur2 uuur 2
uuur uuur
AC AB AD � AC AB AD 2 AB. AD � AC 2 22 12 2.1 � AC 7 .
Câu 16.
�
Cho hình bình hành ABCD , với AB 2 , AD 1 , BAD 60�. Độ dài đường chéo BD bằng
3.
A.
B.
5.
C. 5 .
D. 3 .
Lời giải
Chọn A
uuur uuu
r uuur uuur 2 uuu
r 2 uuur2
uuu
r uuur
BD BA BC � BD BA BC 2 BA.BC � BD 2 2 2 12 2. 1
� BD 3 .
r
r
r
r r
r
r r r r
a
x
,
b
y
z c
Câu 17. Cho các véc tơ a , b và c thỏa mãn các điều kiện
và
và a b 3c 0 .
rr rr rr
Tính A a.b b.c c.a .
A.
A
3x2 z 2 y 2
2
.
B.
A
3z 2 x 2 y 2
3 y2 x2 z 2
3z 2 x 2 y 2
A
A
2
2
2
. C.
. D.
.
Lời giải
Chọn B
r r r r
r r r
r
a b 3c 0 � a b c 2c .
r 2 r2 r2
r2
� a b c 2 A 4c .
r r r 2
r
� a b c 2 c
2
.
Sử dụng tính chất bình phương vơ hướng bằng bình phương độ dài ta có:
x2 y 2 z 2 2 A 4 z 2 � A
3z 2 x2 y 2
2
. Vậy chọn đáp án B.
uuur uuur
Câu 18.
Cho ABC đều; AB 6 và M là trung điểm của BC . Tích vơ hướng AB.MA bằng
5
A. 18 .
B. 27 .
D. 27 .
C. 18 .
Lời giải
Chọn D
uuu
r uuuu
r
� 30�
AB, AM BAM
Ta có
.
uuu
r uuur
uuu
r uuuu
r
uuu
r uuuu
r
uuu
r uuuu
r
6 3
AB.MA AB. AM AB . AM .cos AB, AM 6.
.cos 30� 27
2
.
Câu 19.
uuur uuu
r
Cho tam giác ABC vuông tại B , BC a 3 . Tính AC.CB .
a 2 3
2 .
B.
2
A. 3a .
a2 3
C. 2 .
2
D. 3a .
Lời giải
Chọn D
uuur uuu
r uuur uuu
r
uuur uuu
r
CB
AC.CB AC . CB .cos AC , CB AC.CB.cos �
ACB AC.CB.
BC 2 3a 2
AC
Ta có
.
r
r
r r
r r
r
r
a 2, b 3
a, b 300
a b
Câu 20. Cho hai vectơ a và b . Biết
và
. Tính
.
A.
11 .
B.
13 .
C. 12 .
Lời giải
D.
Chọn B
Ta có:
r r
a b
2
rr
r r
r r
a 2 b 2 2ab a 2 b 2 2 a . b .cos a, b
,
6
14 .
r r
� ab
Câu 21.
2
r r
4 3 2.2. 3.cos300 13 � a b 13
.
Cho hình thang ABCD vuông tại A và D ; AB AD a, CD 2a. Khi đó tích vơ hướng
uuur uuur
AC.BD bằng
2
A. a .
a 2
D. 2 .
3a 2
C. 2 .
Lời giải
B. 0 .
Chọn A
uur uuur uuur uuu
r
uuur uuur u
AD
DC
AD
AB
Ta có: AC.BD
AD 2 2 AB 2 a 2 .
Câu 22.
uuur uuu
r uuur uuu
r
AD 2 AB AD AB
uuur uuu
r
AD 2 2 AB 2 AD. AB
(THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Cho tam giác ABC vuông tại A có
uuu
r uuur
AB a; BC 2a . Tính tích vô hướng BA.BC .
uuu
r uuur
2
A. BA.BC a .
uuu
r uuur a 2
BA.BC
2 .
B.
uuu
r uuur
2
C. BA.BC 2a .
Lời giải
uuu
r uuur a 2 3
BA.BC
2 .
D.
Chọn A
Vẽ AH BC , H �BC .
uuu
r uuur uuur uuur
2
2
Có BA.BC BH .BC BH .BC BA a (theo tính chất tích vơ hướng và phép chiếu).
uuu
r uuur
Câu 23. Cho tam giác ABC vng tại A có AB 4 . Kết quả BA.BC bằng
B. 0 .
A. 16 .
C. 4 2 .
Lời giải
Chọn A
Vì
uuu
r uuur
BA.BC �
ABC
uuu
r uuur
AB
4
cos BA.BC cos �
ABC
BC BC .
nên
uuu
r uuur uuu
r uuur
uuu
r uuur
4
BA.BC BA . BC .cos BA.BC AB.BC.
4.4 16
BC
Do đó
7
D. 4 .
Câu 24.
�
, AC 2 . Gọi M là trung điểm của BC . Tính giá
Cho tam giác ABC vng tại A có B 30�
uuuu
r uuuu
r
trị của biểu thức P AM . BM .
A. P 2 .
B. P 2 3 .
C. P 2 .
Lời giải
D. P 2 3 .
.
Chọn A
uuuu
r uuuu
r
uuu
r uuuu
r uuuu
r uuu
r uuuu
r uuuu
r2
Ta có: P AM . BM ( AB BM ). BM AB. BM BM
AC
4; AB AC.cot 30� 2 3; BM 2
sin 30�
uuuu
r2
uuur uuuu
r
� BM 4; AB. BM 2 3.2.cos150� 6 � P 2 ⇒ Chọn A
BC
Câu 25.
�
Cho hình bình hành ABCD có AB 2a, AD 3a, BAD 60�
. Điểm K thuộc AD thỏa mãn
uuur uuur
uuur
uuur
AK 2 DK . Tính tích vơ hướng BK . AC
2
A. 3a .
C. 0 .
Lời giải
2
B. 6a .
Chọn D
uuur
uuu
r 2 uuur
r uuur
BK AB AD uuur uuu
3
Ta có
; AC AB AD
uuur uuur
uuu
r 2 uuur uuu
r uuur
ruuur
2
1 uuu
BK . AC ( AB AD )( AB AD) AB 2 AD 2 AB AD
3
3
3
Khi đó
uuur uuur
2
1
BK . AC 4a 2 .9a 2 2a.3a.cos 60� a 2
3
3
Câu 26.
uuu
r uuur
AB
. AC bằng:
Cho tam giác ABC có AB=5, AC=8, BC=7 thì
8
2
D. a .
A. -20.
B. 40.
C. 10.
Lời giải
D. 20.
Chọn D
uuu
r uuur 82 52 7 2 1
cos AB, AC
2.5.8
2
uuu
r uuur
uuu
r uuur
1
AB. AC AB. AC.cos AB, AC 5.8. 20
2
Câu 27.
uuur uuur
Cho hình chữ nhật ABCD có AB 8, AD 5 . Tích AB.BD
uuu
r uuur
uuur uuur
uuur uuur
AB
.
BD
62
AB
.
BD
64
A.
.
B.
.
C. AB.BD 62 .
Lời giải
uuur uuur
D. AB.BD 64 .
Chọn B
uuu
r uuu
r
Giả sử E là điểm đối xứng với A qua B ta có AB BE
2
2
Xét ABD có BD AB AD 89
Xét ABD có
cos �
ABD
uuur uuur
AB
8
8
� cos �
cos AB; BD cosDBE
ABD
BD
89 suy ra
89
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
�8 �
AB.BD AB . BD .cos AB; BD 8. 89. � � 64
� 89 �
Ta có
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH GĨC CỦA HAI VÉCTƠ
Câu 28.
rr
r r
r
r
r
r
r
a
.
b
a
.b
Cho hai vectơ a và b khác 0 . Xác định góc giữa hai vectơ a và b biết
.
0
A. 90 .
0
C. 45 .
Lời giải
0
B. 0 .
0
D. 180 .
Chọn D
rr r r
rr
r r
a.b a . b .cos
a.b a . b
0
Ta có:
. Mà
nên cos 1 . Suy ra, 180 .
Câu 29.
�
A 1; 2 B 0; 4 C 3;1
Tam giác ABC có
,
,
. Góc BAC của tam giác ABC gần với giá trị
nào dưới đây?
52�
7�
7�
A. 90�.
B. 36�
.
C. 143�
.
D. 53�
.
Lời giải
Chọn C
9
Ta có
uuur
uuur
AB 1; 2 ; AC 2; 1
.
uuu
r uuur
AB
. AC
2 2 4
� uuu
cos BAC
r uuur
5. 5 5
AB . AC
� 143�
� BAC
7�
.
rr
r r
r r
r r
a
.
b
a
.b
a
,
b
a
Câu 30. Cho hai véctơ
khác véctơ-không thỏa mãn
. Khi đó góc giữa hai vectơ , b
bằng:
r r
r r
r r
r r
a; b 450
a ; b 00
a; b 1800
a; b 900
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn C
rr
r r
�
a
.
b
a
.b
�
r r
r r
�r r
r r
r r
a.b a . b cos a, b � cos a; b 1 � a; b 1800
�
Ta có: �
.
Câu 31.
r r
a, b
(CHUN THÁI BÌNH LẦN 1_2018-2019) Cho hai véctơ
thỏa mãn:
r
r
r
r
r r
a = 4; b = 3; a - b = 4
a
. Gọi là góc giữa hai véctơ , b . Chọn phát biểu đúng.
1
3
cos =
cos =
0
0
3.
8.
A. = 60 .
B. = 30 .
C.
D.
Lời giải
Chọn D
Ta có
r r
r r2
r
rr r
a - b = 4 � ( a - b ) = 16 � a 2 - 2a.b + b 2 = 16
� 42 - 2.4.3.cos + 32 = 16 � cos =
Câu 32.
Cho hai vectơ
0
A. 45 .
r
a 4;3
và
r
b 1;7
0
B. 90 .
3
8
r
r
. Số đo góc giữa hai vectơ a và b bằng
0
C. 60 .
Lời giải
0
D. 30 .
Chọn A
rr
a.b
4.1 3.7
25
1
cos r r
a.b
2
2
2
2
25 2
2 nên 450 .
4 3 . 1 7
Ta có
r
r
r
a
2;5
b
3; 7
Oxy
a
Câu 33. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
, cho
,
. Tính góc
giữa hai véctơ
r
và b .
A. 60�.
B. 120�.
C. 45�.
D. 135�.
10
Lời giải
Chọn D
Ta có
Câu 34.
rr
2.3 5. 7
a.b
1
cos r r
� �
.
4 25. 9 49
2
a.b
r
r
r
r
a 2;1
b 3; 6
Oxy
a
b
Trên mặt phẳng tọa độ
, cho
và
. Góc giữa hai vectơ và bằng
A. 0�.
C. 180�.
B. 90�.
D. 60�.
Lời giải
Chọn B
rr
r r
r r
2.3 1. 6
a.b
cos a, b r r
0 � a, b 90�
2
a.b
22 12 . 32 6
.
rr 1 r r
r r
r
r r
a.b a . b
a
b
0
a
2
Câu 35. Cho hai vectơ ; khác vectơ thỏa mãn
. Khi đó góc giữa hai vectơ ; b là
A. 60�.
B. 120�.
C. 150�.
D. 30�.
Lời giải
Chọn A
r
r
a a
Ta có
.
r r
rr r r
r r
r r
1 r r
1
a
.
b
�
cos
a
, b � a, b 60�
a.b a . b cos a, b
2
2
Vậy
.
r
r
r
o
a 1; 2
b 3; y
y
Câu 36. Cho véc tơ
. Với giá trị nào của thì véc tơ
tạo với véctơ a một góc 45
y 1
�
�y 1
�
�
y 9 .
A. y 9 .
B. �
C. �y 9 .
D. y 1 .
Lời giải
Chọn D
rr
r r
a.b
3 2y
cos a, b r r
a.b
5. 9 y 2
Ta có:
.
r
r
o
Góc giữa hai véc tơ a và b bằng 45 suy ra
1 �
r r
cos a, b
6 4 y �0
�
�
90 10 y 2 6 4 y � �
2
90 10 y 2 6 4 y
�
11
3 2y
5. 9 y
2
2
2
1 .
� 3
�y �
�� 2
� y 1
2
�y 8 y 9 0
�
.
r
r
r
r r
r r
r r r u
a
b
2
y
2
a
b vng góc
a
b
2
x
a
b
Câu 37. Cho hai vecto ,
sao cho
,
và hai véc tơ
,
r
r
với nhau. Tính góc giữa hai véc tơ a và b .
A. 120�.
B. 60�.
C. 90�.
D. 30�.
Lời giải
Chọn C
r
r r
r r r u
y
2
a
b vng góc với nhau nên
Vì hai véc tơ x a b ,
r r
r r
a b . 2a b 0 � 2ar
� 2.
2
2
2
r2 r2 r r
r r
r2 r r
�
2.
a
b
a
.
b
.cos
a
,b 0
b a.b 0
r r
r r
r r
22 2.2.cos a, b 0 � cos a, b 0 � a, b 90�
.
DẠNG 3. ỨNG DỤNG TÍCH VƠ HƯỚNG CHỨNG MINH VNG GĨC
r
r
a
(
x
;
2)
b
Câu 38. Tìm x để hai vectơ
và (2; 3) có giá vng góc với nhau.
A. 3.
B. 0.
C. 3 .
D. 2.
Lời giải
Chọn A
r
r
a
(
x
;
2)
b
Vectơ
và (2; 3) có giá vng góc với nhau
�
rr
a.b 0 � 2 x 6 0 � x 3
Vậy x 3 .
r
Câu 39.
r
u 3; 4
v 8;6
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai vectơ
và
. Khẳng định nào đúng?
r
r
A. u v .
r r
u v
C.
.
r
r
B. u vng góc với v .
r
r
D. u và v cùng phương.
Lời giải
Chọn B
rr
r r
u.v 3. 8 4.6 0
Ta có:
. Do đó, u v .
Câu 40.
Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm
cho tam giác ABC vuông tại A .
C 6;0
C 0; 6
A.
.
B.
.
A 1; 2 , B 3;1 .
Tìm tọa độ điểm C trên trục Oy sao
C 6;0
C.
.
Lời giải
Chọn B
C �Oy � C 0; y
12
D.
C 0; 6
.
uuur
uuur
AB 4; 1 AC 1; y 2
,
.
uuu
r r
�AB �0
uuur r
�
�
۹ �AC 0
uuu
r uuur
�
uu
r uuur
AB AC � u
�
AB
. AC 0
C
B
A
A
Ba điểm , ,
tạo thành một tam giác vuông tại
� y 6.
Vậy
Câu 41.
C 0; 6 .
A 1; 2 , B 0;3 ,C 5; 2 .
Cho tam giác ABC có
Tìm tọa độ chân đường cao hạ từ đỉnh A
của tam giác ABC .
0;3 .
A.
B.
0; 3 .
3;0 .
C.
Lời giải
D.
3; 0 .
Chọn A
Ta có
uuu
r
uuur
uuur
AB 1;1 ; AC 6; 4 ; BC 5; 5 .
uuur uuur
Nhận thấy rằng AB. BC 1.5 1.( 5) 0 nên tam giác ABC vuông tại B.
ABC trùng với đỉnh B 0;3 .
Vậy chân đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác
r
r
u 1; 2
v 4m ; 2m 2
Oxy
Câu13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
, cho hai vectơ
và
. Tìm m để
r
r
vectơ u vng góc với v .
A.
m
1
2.
B.
m
1
2.
C. m 1 .
Lời giải
D. m 1 .
Chọn A
r r
rr
1
u v � u.v 0 � 4m 2. 2m 2 0 � 8m 4 0 � m .
2
Hai vectơ
Câu 42.
A 1;0 , B 4;0 , C 0; m , m �0
Cho tam giác ABC có
. Gọi G là trọng tâm của tam giác
ABC . Xác định m để tam giác GAB vuông tại G .
13
A. m 6 .
B. m �3 6 .
C. m 3 6 .
Lời giải
D. m � 6 .
Chọn B
�m�
G�
1; �
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC , suy ra � 3 �.
uuu
r �
r � m�
m � uuu
GA �
2; �
; GB �
3; �
3
3 �.
�
�
�
Ta có
uuu
r uuu
r
m2
GA.GB 0 � 6
0 � m �3 6
9
Để tam giác GAB vuông tại G thì
.
Câu 43.
A 1; 1 , B 3; 3 , C 6;0 .
Cho tam giác ABC có
Diện tích DABC là
B. 6 2 .
A. 6.
C. 12.
Lời giải
D. 9.
Chọn A
uuur
uuu
r
BC 3;3
AB
(2;
2)
Ta có
,
uuur uuur
Ta thấy AB.BC 0 nên tam giác ABC vuông tại B .
r uuur 1
1 uuu
S ABC AB . BC .2 2.3 2 6
2
2
Vậy
Câu 44.
B 1;3
C 3;1
Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm
và . Tìm tọa độ điểm A sao cho tam
giác ABC vuông cân tại A .
A.
A 0;0
hoặc
A 2; 4
C.
A 0;0
hoặc
A 2; 4
.
B.
.
D.
Lời giải
A 0;0
hoặc
A 2; 4
A 0;0
hoặc
A 2; 4
.
.
Chọn B
Tìm tọa độ điểm A sao cho tam giác ABC vuông cân tại A .
�AB 2 AC 2
�AB AC
�
A��
� �uuur uuur
A x; y
�AB AC
�AB. AC 0
Gọi
. Tam giác ABC vuông cân tại
2
2
2
2
�
�2 x y
�2 x y
1 x 3 y 3 x 1 y
�
��
� �2
�
�
2
2
1 x 3 x 3 y 1 y 0
�x y 2 x 4 y 0 �x 2 x 0
�
2x y
�
x 0, y 0
�
�
� ��
x0 � �
x 2, y 4
�
��
x2
��
.
Vậy
A 0;0
hoặc
A 2; 4
.
14
Câu 45.
Tìm bán kính đường trịn đi qua ba điểm
5
10
2
A. .
B. 2 .
A 0; 4 , B 3;4 , C 3; 0
.
C. 5 .
Lời giải
D. 3 .
Chọn A
2
2
2
Tính được AB 3, BC 4 và AC 5 . Suy ra AB BC AC nên tam giác ABC vuông tại
B . Vậy bán kính đường trịn ngoại tiếp
Câu 46.
R
1
5
AC
2
2.
Oxy cho tam giác ABC có A 1; 0 ; B 1;1 ; C 5; 1 . Tọa độ trực
Trong mặt phẳng tọa độ
tâm H của tam giác ABC là
A.
H 1; 9
.
B.
H 8; 27
.
C.
Lời giải
H 2;5
.
D.
H 3;14
.
Chọn B
uuur uuur
�u
AH
BC
BC
uur .u
uur 0 1
�
� �AH
BH AC
H x; y
�BH . AC 0
Gọi
là trực tâm của tam giác ABC
.
Ta có:
uuur
uuur
uuur
uuur
AH x 1; y BC 6; 2 BH x 1; y 1 AC 4; 1
;
;
,
.
Suy ra:
Vậy
Câu 47.
�
6 x 1 2. y 0
1 � �4 x 1 1. y 1 0
�
H 8; 27
� 6 x 2 y 6 � x 8
4 x y 5
y 27 .
.
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy ; cho tam giác ABC có A( 1;1), B (1;3) và trọng tâm
� 2�
G�
2; �
là � 3 �. Tìm tọa độ điểm M trên tia Oy sao cho tam giác MBC vuông tại M .
M 0; 3
M 0;3
M 0; 4
M 0; 4
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn A
A
G
B
I
15
C
Ta có G là trọng tâm ABC
x x x
�
�xC 3 2 1 1 6
xG A B C
�
�xC 3 xG x A xB
�
�
3
��
��
��
2
�yC 3 yG y A yB
�y y A yB yC
�yC 3. 1 3 2
3
�
�G
3
� C 6; 2
M �Oy � M 0; m
Ta có
Gọi I là trung điểm của đoạn BC ta có:
x x
5
�
�
xI B C
xI
�
�
5 1�
�
�
2
2�I�
��
; �
�
�
� 2 2�
�y yB yC
�y 1
I
I
�
�
2
2
Ta có
uuur �5
1�
uuuu
r
uuuu
r
uuu
r
IM � ; m �
BM 1; m 3 CM 6; m 2 CB 7;5
2�
�2
;
;
;
uuuu
r uuuu
r
�
m 3 m 2 6 0
�
�BM .CM 0
�
� �� 1 � 5
r
�uuur uuu
5�
m � 7. 0
�IM .CB 0
�
MBC vuông cân tại M khi:
�� 2 � 2
�
m 2 m 12 0
��
� m 3
� M 0; 3
m 3
�
Câu 48.
.
A 4;3 B 2; 7 C 3; 8
Trên hệ trục tọa độ xOy , cho tam giác ABC có
,
,
.Tọa độ chân
đường cao kẻ từ đỉnh A xuống cạnh BC là
1; 4 .
1; 4 .
1; 4 .
4;1 .
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn C
uuur uuur
D x; y
Gọi
là chân đường cao kẻ từ A xuống cạnh BC ta có AD.BC 0 và D , B , C
thẳng hàng
uuur
uuur
uuur
AD x 4; y 3 BC 5; 15 BD x 2; y 7
Mà
;
;
nên ta có hệ
�x 4 3 y 3 0
�x 1
�
3 x 2 y 7 0 � �
�
�y 4 .
Câu 49.
Cho tam giác ABC đều cạnh a . Lấy M , N , P lần lượt nằm trên ba cạnh BC , CA, AB sao cho
BM 2 MC , AC 3 AN , AP x, x 0 . Tìm x để AM vng góc với NP .
A.
x
5a
12 .
B.
x
a
2.
C.
Lời giải
Chọn A
16
x
4a
5 .
D.
x
7a
12 .
uuur r
�
�AB b
rr
r r
a2
0
�uuur r
b
.
c
a
.
a
.
cos
60
b c a
AC c
2
Đặt �
, ta có
và
uuuu
r uuu
r uuuu
r r 2 uuur r 2 r r 1 r r
AM AB BM b BC b c b b 2c
3
3
3
Ta có
uuur uuur uuu
r 1 uuur x uuu
r
r
r
x r 1r 1
PN AN AP AC AB b c
3xb ac
3
a
a
3
3a
uuuu
r uuur
r r
r r
AM PN � AM .PN 0 � b 2c 3xb ac 0
Theo yêu cầu bài tốn ta có
r2
rr
rr
r2
a3
� 3xb a b.c 6 x b.c 2ac 0 � 3 xa 2 3 xa 2 2a 3 0
2
� x
Câu 50.
5a
12 .
A 3; 1 , B 1; 2
I 1; 1
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC . Biết
và
là trọng
a; b . Tính a 3b.
tâm tam giác ABC . Trực tâm H của tam giác ABC có tọa độ
2
4
a 3b .
a 3b .
3
3
A.
B.
C. a 3b 1.
D. a 3b 2.
Lời giải
Chọn A
Giả sử
C xC ; yC
và
H xH ; y H
. Có I là trọng tâm tam giác ABC nên ta có
17
�x A xB xC
xI
�
�x 1
�
3
�� C
�
�yC 4
�y A yB yC y
I
� C 1; 4
�
3
uuur
uuur
AH xH 3; y H 1 ; BC 2; 6
Ta có
uuur
uuur
BH xH 1; yH 2 ; AC 2; 3
H là trực tâm tam giác ABC nên
10
�
uuur uuur
xH
�
�
�2 x 3 6 yH 1 0
�AH .BC 0
�
3
�� H
��
�uuur uuur
2
x
1
3
y
2
0
H
�BH . AC 0
� H
�y 8
�H
9
�
Câu 51.
a
10
8
2
;b � S
3
9
3.
Cho hình thang vng ABCD có đường cao AB 2a , các cạnh đáy AD a và BC 3a .
uuuur
uuur
Gọi M là điểm trên đoạn AC sao cho AM k AC . Tìm k để BM CD
4
3
1
2
A. 9 .
B. 7 .
C. 3 .
D. 5 .
Lời giải
Chọn D
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho gốc tọa độ trùng với điểm B , điểm A thuộc trục Oy
và điểm C thuộc trục Ox .
Theo bài ra ta có B(0; 0), A(0; 2), C (3;0), D(1; 2)
� x 3t
uuur
�
Khi đó AC (3; 2) . Phương trình tham số của đthẳng AC là �y 2 2t
uuuu
r
uuur
BM
(3
t
;
2
2
t
)
M
�
AC
�
M
(3
t
;
2
2
t
)
Gọi
. Ta có
và DC (2; 2) .
18
uuuu
r uuur
�6 6 �
2
BM .DC 0 � 6t 4 4t 0 � t � M � ; �
�5 5 �.
5
Để BM DC thì
uuuu
r �6 4 �
52
uuur
AM � ; �� AM
5 và AC 3; 2 � AC 13 .
�5 5 �
Khi đó
AM
52 2
uuuu
r uuur
uuuu
r
uuur
�k
AM
,
AC
AC
5.
5
13
AM
k
AC
Vì
và
cùng chiều
Câu 52.
(THPT Phan Bội Châu - KTHK 1-17-18) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC
có
A 3;0 , B 3; 0
A. a 6b 5 .
và
C 2; 6
H a; b
. Gọi
là tọa độ trực tâm tam giác đã cho. Tính a 6b .
B. a 6b 6 .
C. a 6b 7 .
D. a 6b 8 .
Lời giải
Chọn C
uuur
uuur
uuur
uuur
AH a 3; b BC 1;6 BH a 3; b AC 5;6
Ta có
,
,
,
.
�a 2
uuur uuur
�
�
AH
.
BC
0
a 6b 3 � � 5
�AH BC � �uuur uuur
�
�
�
b
�
�
�
5a 6b 15
�BH . AC 0
� 6.
�
Vì H là trực tâm ABC nên �BH AC
� a 6b 7 .
uuuu
r uuu
r uuuu
r2
Câu 53. Cho hai điểm B, C phân biệt. Tập hợp những điểm M thỏa mãn CM .CB CM là :
B; BC
A.Đường trịn đường kính BC .
B. Đường trịn
.
C ; CB
C. Đường tròn
.
D. Một đường khác.
Lời giải
Chọn A
uuuu
r uuu
r uuuu
r2
uuuu
r uuu
r uuuu
r2
uuuu
r uuur
CM .CB CM � CM .CB CM 0 � CM .MB 0 .
Tập hợp điểm M là đường trịn đường kính BC .
uuuu
r uuu
r uuu
r uuu
r
Câu 54. Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Tập hợp những điểm M mà CM .CB CA.CB là :
A. Đường trịn đường kính AB .
B.Đường thẳng đi qua A và vng góc với BC .
C. Đường thẳng đi qua B và vng góc với AC .
D. Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AB .
Lời giải
Chọn B
uuuu
r uuu
r uuu
r uuu
r
uuuu
r uuu
r uuu
r uuu
r
uuuu
r uuu
r uuu
r
uuuu
r uuu
r
CM .CB CA.CB � CM .CB CA.CB 0 � CM CA .CB 0 � AM .CB 0
.
Tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua A và vng góc với BC .
uuur
uuu
r
Câu 55. Cho tam giác ABC , điểm J thỏa mãn AK 3KJ , I là trung điểm của cạnh AB ,điểm K
uuu
r uuur uuur r
thỏa mãn KA KB 2 KC 0 .
19
Một điểm M thay đổi nhưng luôn thỏa mãn
uuuu
r uuur uuur uuur uuuu
r
3MK AK . MA MB 2 MC 0
.
Tập hợp điểm M là đường nào trong các đường sau.
A. Đường trịn đường kính IJ .
C. Đường trịn đường kính JK .
B. Đường trịn đường kính IK .
D. Đường trung trực đoạn JK .
Lời giải
Chọn C
uuur uuur uuuu
r
uuuu
r uuu
r uuur uuur
uuuu
r
Ta có: MA MB 2MC 4MK KA KB 2 KC 4MK .
uuu
r uuur
uuur 1 uur uuur
AB
AC
uuur
uuu
r
uuur
uuu
r
AK AI AC
AK
3
KJ
AK
3
KJ
J
2
4
2
Lấy điểm
thỏa mãn
. Ta có
, mà
nên
uuu
r uuur uuu
r uuur 1 uuur 4 uuur 1 uuur 2 uuur
AJ AK KJ AK AK AK AB AC
3
3
3
3
.
uuu
r uuu
r uuu
r 1 uuu
r 2 uuur uuur
2 uuur 2 uuur 2 uuur
BJ AJ AB AB AC AB AB AC BC
3
3
3
3
3
Lại có
.
uuu
r 2 uuur
BJ BC
3
Suy ra J là điểm cố định nằm trên đoạn thẳng BC xác định bởi hệ thức
.
uuuu
r uuur uuuu
r uuu
r uuur
Ta có 3MK AK 3MK 3KJ 3MJ .
uuuu
r uuur uuur uuur uuuu
r
uuur
uuuu
r
uuur uuuu
r
3MK AK . MA MB 2MC 0 � 3MJ . 4MK 0 � MJ .MK 0
Như vậy
.
Từ đó suy ra điểm M thuộc đường trịn đường kính JK .
Vì J , K là các điểm cố định nên điểm M luôn thuộc một đường trịn đường kính JK là
đường trịn cố định (đpcm).
DẠNG 4. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỘ DÀI VÉCTƠ
uuu
r
uuu
r
AB
Oxy
AB 6; 2
Câu 56. Trong mặt phẳng tọa độ
, cho
. Tính
?
uuu
r
uuur
uuu
r
AB 2 10
AB 20
AB
4
10
AB
2 10 .
A.
.
B.
.
C.
.
D.
Lời giải
Chọn A
20
uuu
r
AB 62 22 40 2 10
Câu 57.
A 1;0
Cho hai điểm
và
A. AB 13 .
B 3;3
. Tính độ dài đoạn thẳng AB .
B. AB 3 2 .
D. AB 5 .
C. AB 4 .
Lời giải
Chọn D
AB
Câu 58.
3 1
2
3 0 5
2
.
Cho tam giác OAB vuông cân tại O , cạnh OA 4 . Tính
uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
2OA OB 4
2OA OB 2
A.
.
B.
.
uuu
r uuur
uuu
r uuu
r
2OA OB 12
2OA OB 4 5
C.
.
D.
.
Lời giải
uuu
r uuur
2OA OB
.
Chọn D
Gọi D là điểm đối xứng của O qua A .
uuu
r uuu
r uuur uuu
r uuur
2OA OB OD OB BD BD OB2 OD2 82 42 4 5
Câu 59.
Cho hình thang vng ABCD vng tại A , D ; AB P CD ; AB 2a ; AD DC a . O là
uuu
r uuur
OB
OC bằng
AD
trung điểm của
. Độ dài vectơ tổng
a
A. 2 .
3a
B. 2 .
C. a .
Lời giải
Chọn D
21
D. 3a .
uuur uuur
uuu
r uuur
uur � OB OC 2OI
Gọi I là trung điểm của BC � OB OC 2OI
.
Xét hình thang ABCD có OI là đường trung bình
uuur uuur
OB OC 3a
Vậy
.
Câu 60.
� OI
AB CD 3a
2
2 .
A 1; 2 B 1;1
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm
;
. Điểm M thuộc trục Oy thỏa
mãn tam giác MAB cân tại M . Khi đó độ dài đoạn OM bằng
5
A. 2 .
3
B. 2 .
1
C. 2 .
Lời giải
7
D. 2 .
Chọn B
� M 0; y
Điểm M thuộc trục Oy
.
2
M � MA MB � 1 2 y
2
Ta có tam giác
� 4 4 y 1 2 y
Câu 61.
MAB
� y
cân tại
1
2
1 y
3
3
OM
2 . Vậy
2.
Cho ABC đều cạnh 2a với M là trung điểm BC . Khẳng định nào đúng?
uuuu
r a 3
uuuu
r a 3
uuuu
r
uuur uuuu
r
AM
AM
AM
a 3
2 .
2 .
A. MB MC .
B.
C.
D.
.
Lời giải
Chọn D
2a 3
a 3
Độ dài đường cao AM trong tam giác đều cạnh 2a là: 2
.
uuuu
r
AM a 3
Vậy khẳng định đúng là
.
uuu
r uuur
AB CD ?
Câu 62. Cho hình thang ABCD có hai đáy AB 2a ; CD 6a thì
A. 4a .
B. 8a .
C. 2a .
D. 4a .
Lời giải
Chọn D
uuu
r uuur
uuur
uuu
r
AB
CD CD AB 4a
Hai vectơ AB và CD ngược hướng nhau nên
.
uuu
r uuur
2AB
AC
Câu 63. Cho tam giác vuông cân ABC với AB AC a . Khi đó
bằng
A. a 3 .
B. a 5 .
C. 5a .
Lời giải
22
D. 2a .
2
Chọn B
uuu
r uuur
uuu
r
2 AB AC 2 AB
Ta có:
2
2
uuu
r uuur uuur 2
4 AB. AC AC 4 AB 2 AC 2
uuu
r uuur
4a 2 a 2 5a 2 � 2 AB AC a 5
Câu 64.
Trong hệ tọa độ Oxy, cho bốn điểm
đề:
I ABCD là hình thoi.
II
ABCD
III
AC
uuu
r uuur
( vì AB AC � AB. AC 0 )
.
A 2;1
,
B 2; 1 C 2; 3 D 2; 1
,
,
. Xét ba mệnh
là hình bình hành.
M 0; 1
cắt BD tại
.
Chọn khẳng định đúng
A. Chỉ
I
đúng.
B. Chỉ
II và III đúng.
C. Chỉ
II
đúng.
D. Cả ba đều đúng.
Lời giải
Chọn C
uuur
uuur
uuur
AB 0; 2 DC 0; 2 AC 4; 4
Ta có
;
;
.
uuu
r uuur
uuu
r uuur
Suy ra AB , AC không cùng phương và AB DC .
Nên ABCD là hình bình hành. Vậy mệnh đề (II) đúng.
Suy ra AC cắt BD tại trung điểm mỗi đường và điểm đó có tọa độ M (0; 1) , suy ra (III)
đúng.
uuur
uuur
AB 2 2 AD 4; 2
AB 0; 2
Ta có
, suy ra
;
, suy ra AD 20 , nên AB �AD ,
suy ra ABCD khơng là hình thoi. Mệnh đề (I) sai.
Câu 65.
A 1; 4 B 2;5 C 2;7
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ABC có
,
,
. Hỏi tọa độ điểm I
tâm đường tròn ngoại tiếp ABC là cặp số nào?
A.
2;6 .
B.
0;6 .
0;12 .
C.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
uuur
AB 3;1 � AB 10
.
uuur
AC 1;3 � AC 10
.
23
D.
2;6 .
uuur
BC 4; 2 � BC 20
.
2
2
2
Nhận thấy AB AC BC và AB AC nên ABC là tam giác vuông cân tại A , suy ra tâm
I là trung điểm cạnh huyền BC . Vậy I 0;6 .
Câu 66.
A 1; 17 B 11; 25
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm
;
. Tìm tọa độ điểm C
thuộc tia BA sao cho BC 13.
C 8; 23
B.
.
C 14; 27
C 8; 23
C.
và
.
A.
C 14; 27
.
C 14; 27
C 8; 23
D.
và
.
Lời giải
Chọn B
Giả sử
C xC ; yC
uuur uuu
r
C
BA
. Theo bài ra ta có
thuộc tia
nên BC ; BA cùng hướng.
xC 11 yC 25
uuur
uuu
r
uuur
uuu
r
�
k
BC xC 11; yC 25 BA 12;8
BC k BA k 0
12
8
;
ta
có:
Với
� 8 xC 12 yC 212 0
+)
BC 13 �
� yC
xC 11
2
8 xC 212
2 x 53
� yC C
(1)
12
3
yC 25 13 � xC 11 2 yC 25 2 13 (2)
2
Thế (1) vào (2) ta được:
2
2
2 xC 53
2
�
�2 x 22 �
13
2
25 � 13 � xC 11 � C
xC 11 �
�
� 13 � xC 11 13
� 3
�
� 3
�
9
2
xC 14
�
2
� xC 11 9 � �
xC 8
�
Với xC 14 thế vào (1) ta được:
Khi đó
k
Khi đó
Vậy
2.(14) 53
27
3
.
14 11 3 1
0
12
12 4
(loại).
Với xC 8 thế vào (1) ta được:
k
yC
yC
2.(8) 53
23
3
.
8 11 3 1
0
12
12 4
(thỏa mãn).
C 8; 23
.
24
Câu 67.
(THPT NƠNG CỐNG - THANH HĨA LẦN 1_2018-2019) Cho tam giác ABC vuông tại
uuuu
r uuur a 2
AM .BC
2 . Tính cạnh AB, AC.
A , BC a 3 , M là trung điểm của BC và có
A. AB a, AC a 2 . B. AB a, AC a .
C. AB a 2, AC a . D. AB a 2, AC a 2 .
Lời giải
Chọn A
Vẽ AH BC , H �BC .
uuuur
uuuu
r
Có HM là hình chiếu của AM lên BC .
uuuu
ruuur a 2
uuuu
ruuur uuuur uuur
AM BC
AM BC HM .BC , mà
2 , BC a 3
Suy ra
.
a2
a 3
uuur
uuuur
HM .BC
HM
6 .
2 ,
Suy ra HM cùng chiều BC và
Có BH BM HM
a 3 a 3 a 3
2
6
3 .
2
2
Có AB BH .BC a � AB a và AC a 2 .
Vậy AB a và AC a 2 .
Câu 68.
M 3;1
A a ;0
B 0; b
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm
. Giả sử
và
(với a, b là các
số thực không âm) là hai điểm sao cho tam giác MAB vng tại M và có diện tích nhỏ nhất.
2
2
Tính giá trị của biểu thức T a b .
A. T 10 .
B. T 9 .
C. T 5 .
Lời giải
D. T 17 .
Chọn A
uuur
uuur
MA a 3; 1 , MB 3; b 1 MAB
Ta có
.
là tam giác vng tại M khi và chỉ khi
uuur uuur
MA.MB 0 � 3 a 3 b 1 0 � b 10 3a *
25
