Dạy thêm toán 10 CÂU hỏi CHỨA đáp án 0h2 3

DẠNG 1. ĐỊNH LÝ COSIN, ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ COSIN ĐỂ GIẢI TOÁN

CẠNH
Câu 1.

Cho tam giác ABC , mệnh đề nào sau đây đúng?
2
2
2
2
2
2
A. a  b  c  2bc cos A .
B. a  b  c  2bc cos A .
2
2
2
C. a  b  c  2bc cos C .

2
2
2
D. a  b  c  2bc cos B .
Lời giải

Chọn B
2
2
2
Theo định lý cosin trong tam giác ABC , ta có a  b  c  2bc cos A .

Câu 2.

Cho tam giác ABC , có độ dài ba cạnh là BC  a, AC  b, AB  c . Gọi ma là độ dài đường
trung tuyến kẻ từ đỉnh A , R là bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác và S là diện tích tam
giác đó. Mệnh đề nào sau đây sai?
b2  c2 a 2

2
4 .
A.
abc
S
4R .
C.
ma2 

2
2
2
B. a  b  c  2bc cos A .
a
b
c


 2R
D. sin A sin B sin C
.

Lời giải

Chọn B
2
2
2
Theo định lý hàm số cosin trong tam giác ta có a  b  c  2bc cos A

Câu 3.

0
Cho tam giác ABC có a  8, b  10 , góc C bằng 60 . Độ dài cạnh c là?

A. c  3 21 .

B. c  7 2 .

C. c  2 11 .

D. c  2 21 .

Lời giải
Chọn D.
2
2
2
2
2
0
Ta có: c  a  b  2a.b.cos C  8  10  2.8.10.cos 60  84 � c  2 21 .

Câu 4.

0
�
Cho ABC có b  6, c  8, A  60 . Độ dài cạnh a là:

A. 2 13.

C. 2 37.

B. 3 12.

D.

20.

Lời giải
Chọn A.
2
2
2
0
Ta có: a  b  c  2bc cos A  36  64  2.6.8.cos 60  52 � a  2 13 .
0
Câu 5. Cho ABC có B  60 , a  8, c  5. Độ dài cạnh b bằng:

A. 7.

B. 129.

C. 49.

Lời giải

Chọn A.
2
2
2
2
2
0
Ta có: b  a  c  2ac cos B  8  5  2.8.5.cos 60  49 � b  7 .

1

D. 129 .


Câu 6.

0
�
Cho ABC có AB  9 ; BC  8 ; B  60 . Tính độ dài AC .

A.

73 .

B.

217 .

D. 113 .

C. 8 .
Lời giải

Chọn A
Theo định lý cosin có:

AC 2  BA2  BC 2  2 BA.BC.cos �
ABC  73 � AC  73 .
Vậy AC  73 .
Câu 7.

0
Cho tam giác ABC có AB  2, AC  1 và A  60 . Tính độ dài cạnh BC.

A. BC  2.

C. BC  3.
Lời giải

B. BC  1.

D. BC  2.

Chọn C
2
2
0
Theo định lý cosin ta có: BC  AB  AC  2 AB. AC.cos 60

 22  12  2.2.1.
Câu 8.

1
2  3.

0
�
Tam giác ABC có a  8, c  3, B  60 . Độ dài cạnh b bằng bao nhiêu?

A. 49.

B.

97

C. 7.

D.

61.

Lời giải
Chọn C.
2
2
2
2
2

0
Ta có: b  a  c  2ac cos B  8  3  2.8.3.cos60  49 � b  7 .

Câu 9.

0
�
(LẦN 01_VĨNH YÊN_VĨNH PHÚC_2019) Tam giác ABC có C  150 , BC  3, AC  2.
Tính cạnh AB ?

A. 13 .

B.

3.

C. 10 .
Lời giải

D. 1 .

Chọn A
Theo định lí cosin trong ABC ta có:
�  13 � AB  13
AB 2  CA2  CB 2  2CA.CB.cos C
. Chọn

Câu 10.

A.

Cho a; b;c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC . Biết b  7 ; c  5 ;
a.
A. 3 2 .

7 2
B. 2 .

23
C. 8 .
Lời giải

2

cos A 

4
5 . Tính độ dài của

D. 6 .


Chọn A
Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC ta có:
4
a 2  b 2  c 2  2bc.cos A  7 2  52  2.7.5.  18
5
.

Suy ra: a  18  3 2 .

Câu 11.

�
Cho xOy  30�.Gọi A, B là 2 điểm di động lần lượt trên Ox, Oy sao cho AB  2 . Độ dài lớn
nhất của OB bằng bao nhiêu?
A. 4.

B. 3.

C. 6.
Lời giải

D. 2.

Chọn A

Áp dụng định lí cosin:

AB 2  OA2  OB 2  2OA.OB.cos30�� 4  OA2  OB 2  2OA.OB.

3
2

� OA2  3.OB.OA  OB 2  4  0 (*).
Coi phương trình (*) là một phương trình bậc hai ẩn OA . Để tồn tại giá trị lớn nhất của OB
�
���

0 ( 3OB) 2 4(OB2 4) 0

(*)
thì

OB 2 16

OB

4

.

Vậy max OB  4 .
Câu 12.

Cho a; b;c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Mệnh đề nào sau đây không đúng?
2
A. a  ab  ac .

2
2
2
2
2
2
2
B. a  c  b  2ac . C. b  c  a  2bc . D. ab  bc  b .
Lời giải

Chọn C
2

2
2
2
2
2
�
Do b  c  a  2bc.cos A �2bc � b  c �a  2bc nên mệnh đề C sai.
2
Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có a  b  c � a  ab  ac ;đáp án A đúng.
2
Tương tự a  c  b � ab  bc  b ;mệnh đề D đúng.
2
2
2
2
2
2
Ta có: a  c  b  2ac.cos B  2ac � a  c  b  2ac ;mệnh đề B đúng.

3


GĨC
Câu 13.

Cho tam giác ABC có AB  4 cm, BC  7 cm, AC  9 cm. Tính cos A .

A.

cos A  

2
3.

B.

cos A 

1
2.

cos A 

C.
Lời giải

1
3.

D.

cos A 

Chọn D

Ta có

cos A 

AB 2  AC 2  BC 2 42  92  7 2 2



2. AB. AC
2.4.9
3.

2
2
2
Câu 14. Cho tam giác ABC có a  b  c  0 . Khi đó:
0
A. Góc C  90

0
B. Góc C  90

0
C. Góc C  90

D. Khơng thể kết luận được gì về góc C.
Lời giải

Chọn B.
Ta có:

cos C 

a 2  b2  c2
2ab
.

2
2
2
0
Mà: a  b  c  0 suy ra: cos C  0 � C  90 .
2
2
2
Câu 15. Cho tam giác ABC thoả mãn: b  c  a  3bc . Khi đó:
0
A. A  30 .

0
B. A  45 .

0
C. A  60 .

0
D. A  75 .

Lời giải
Chọn A.
Ta có:

cos A 

b2  c2  a 2
3bc

3


� A  300.
2bc
2bc
2

�
Câu 16. Cho các điểm A(1;1), B(2; 4), C (10; 2). Góc BAC bằng bao nhiêu?
0
A. 90 .

0
B. 60 .

0
C. 45 .

0
D. 30 .

Lời giải
Chọn uA.
uur

uuur
AB

(1;3)

Ta có:
, AC  (9; 3) .
uuur uuur
AB. AC
�  uuur uuur  0 � BAC
�  900.
cos BAC
AB . AC

Suy ra:
Câu 17. Cho tam giác ABC , biết a  24, b  13, c  15. Tính góc A ?
0
A. 33 34'.

0
B. 117 49'.

0
C. 28 37 '.

Lời giải
Chọn

B.

4

0
D. 58 24'.

2
3.


Ta có:

cos A 

b 2  c 2  a 2 132  152  242
7

  � A ; 1170 49'.
2bc
2.13.15
15

Câu 18. Cho tam giác ABC , biết a  13, b  14, c  15. Tính góc B ?
0
A. 59 49'.

0
C. 59 29'.

0
B. 53 7 '.

0
D. 62 22'.

Lời giải

Chọn C.
Ta có:

Câu 19.

cos B 

a 2  c 2  b 2 132  152  14 2 33


� B ; 590 29'.
2ac
2.13.15
65

(TH&TT LẦN 1 – THÁNG 12) Cho tam giác ABC biết độ dài ba cạnh BC , CA, AB lần
b  b2  a 2   c  c2  a 2 
�
a
,
b
,
c
lượt là
và thỏa mãn hệ thức
với b �c . Khi đó, góc BAC bằng
A. 45�
.
B. 60�.
C. 90�.

D. 120�.
Lời giải

Chọn D
Ta có

b  b 2  a 2   c  c 2  a 2  � b3  ba 2  c 3  ca 2 � b3  c 3  a 2  b  c   0

�  b  c   b 2  bc  c 2  a 2   0 � b 2  c 2  a 2  bc

Mặt khác
Câu 20.

� 
cos BAC

.

b 2  c 2  a 2 bc
1
�  120�

  � BAC
2bc
2bc
2
.

(KSCL lần 1 lớp 11 Yên Lạc-Vĩnh Phúc-1819) Tam giác ABC có AB  c, BC  a, CA  b .
b  b2  a 2   c  a 2  c2 

�
Các cạnh a, b, c liên hệ với nhau bởi đẳng thức
. Khi đó góc BAC
bằng bao nhiêu độ.
A. 30�.
B. 60�
.
C. 90�.
D. 45�
.
Lời giải

Chọn B
Theo bài ra, ta có:

b  b 2  a 2   c  a 2  c 2  � b 3  a 2 b  a 2 c  c 3  0 � b 3  c 3  a 2b  a 2 c  0

�  b  c   b 2  bc  c 2   a 2  b  c   0 �  b  c   b 2  bc  c 2  a 2   0 � b 2  bc  c 2  a 2  0

(do b  c �0 )
� b 2  c 2  a 2  bc �

Câu 21.

b2  c 2  a2 1
�  1 � BAC
�  60�
 � cos BAC
2bc
2

2
.

(THPT KINH MÔN - HD - LẦN 2 - 2018) Cho tam giác ABC vuông cân tại A và M là
điểm nằm trong tam giác ABC sao cho MA : MB : MC  1: 2 : 3 khi đó góc AMB bằng bao
nhiêu?
A. 135�.
B. 90�.
C. 150�.
D. 120�.
5


Lời giải
MB  x � MA  2 x ; MC  3 x với 0  x  BC  2 .

1  4 x 2  x 2 3x 2  1
�
cos BAM 

2.1.2 x
4x
Ta có
� 
cos MAC

1  4x2  9 x2 1  5x2

4x
4x .

2

2

�3 x 2  1 � �
1  5x2 �
��

� �
� 1
� 4 x � � 4 x � � 9 x 4  6 x 2  1  1  10 x 2  25 x 4  16 .
�2 5  2 2 1
x 
 (l )
�
17
5
��
�2 5  2 2
x 
�
4
2
17
� 34 x  20 x  2  0
�
.
AM 2  BM 2  AB 2 4 x 2  x 2  1
�
� cos AMB 


2 AM .BM
2.2 x.x


�
�
5 x 2  1  �25  10 2  1�: 20  8 2  2

�
� 17
� 17
�
2 .
4x2

�
Vậy AMB  135�.

TRUNG TUYẾN
Câu 22. Cho tam giác ABC , chọn công thức đúng trong các đáp án sau:
A.

ma2 

b2  c2 a 2
 .
2
4

a 2  b2 c 2
m 
 .
2
4
C.
2
a

B.

ma2 

a 2  c 2 b2
 .
2
4

2c 2  2b 2  a 2
m 
.
4
D.
2
a

Lời giải
Chọn D.
Ta có:
Câu 23.

ma2 

b 2  c 2 a 2 2b2  2c 2  a 2


.
2
4
4

Tam giác ABC có AB  9 cm, BC  15 cm, AC  12 cm. Khi đó đường trung tuyến AM của
tam giác có độ dài là
A. 10 cm .

C. 7,5 cm .
Lời giải

B. 9 cm .

Chọn C
6

D. 8 cm .


Ta có
Câu 24.

AM 2 

15
AB 2  AC 2 BC 2 92  122 152 225
� AM 




2 .
2
4
2
4
4

Cho tam giác ABC có AB  3, BC  5 và độ dài đường trung tuyến BM  13 . Tính độ dài
AC .
A. 11 .

9
C. 2 .
Lời giải

B. 4 .

D. 10 .

Chọn B

Theo cơng thức tính độ dài đường trung tuyến;ta có:

BM 2 

Câu 25.

BA2  BC 2 AC 2

�
2
4



13



2



32  52 AC 2

� AC  4
2
4
.

�
, AB  3. Tính độ dài trung tuyến AM ?
Cho ABC vng ở A, biết C  30�

5
7
A. 3
B. 4
C. 2
D. 2
Lời giải
Chọn A

AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên

AM 

1
BC  BM  MC
2
.

�
Xét BAC có B  90� 30� 60�
.
�
Xét tam giác ABM có BM  AM và B  60�suy ra ABM là tam giác đều.
� AM  AB  3 .

Câu 26. Tam giác ABC có a  6, b  4 2, c  2. M là điểm trên cạnh BC sao cho BM  3 . Độ dài đoạn
AM bằng bao nhiêu?
1
108 .
A. 9 .

B. 9.
C. 3.
D. 2
7


Lời giải
Chọn C.
Ta có: Trong tam giác ABC có a  6 � BC  6 mà BM  3 suy ra M là trung điểm BC.
b2  c2 a 2

 9 � AM  3
2
4
Suy ra:
.
2
2
2
Câu 27. Gọi S  ma  mb  mc là tổng bình phương độ dài ba trung tuyến của tam giác ABC . Trong các
AM 2  ma2 

mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
3
S  (a 2  b 2  c 2 )
4
A.
.

C.

S

2
2
2
B. S  a  b  c .

3 2
(a  b2  c 2 )
2
2
2
2
. D. S  3( a  b  c ) .

Lời giải
Chọn A.
Ta có:
Câu 28.

S  ma2  mb2  mc2 

b2  c 2 a 2 a 2  c2 b2 a 2  b2 c 2 3 2





 (a  b 2  c 2 ).

2
4
2
4
2
4 4

0
�
Cho ABC có AB  2 ; AC  3 ; A  60 . Tính độ dài đường phân giác trong góc A của tam
giác ABC .

12
A. 5 .

6 2
B. 5 .

6 3
C. 5 .
Lời giải

6
D. 5 .

Chọn C

Gọi M là chân đường phân giác góc

A.

2
2
2
Ta có BC  AB  AC  2 AB. AC .cos A  7 � BC  7.

BM AB 2

 .
Lại có CM AC 3

Suy ra

BM 

2 7
.
5

Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABM ta được:
AB 2  BC 2  AC 2 108
2
2
�
AM  AB  BM  2 AB.BM .cos ABC  AB  BM  2 AB.BM .

.
2. AB.BC
25
2

2

2

8


� AM 

6 3
.
5 CÁ CH 2

Gọi M là chân đường phân giác trong của góc A .
Vì đoạn thẳng AM  chia tam giác ABC thành hai phần nên ta có:
S ABC  S ABM  S ACM �

1
�  1 AB. AM .sin BAM
�  1 AC. AM .sin MAC
�
AB. AC.sin BAC
2
2
2

� AM 

AB. AC.sin 60�

.
 AB  AC  .sin 30�

� AM 

6 3
.
5

Vậy

AM 

6 3
.
5

DẠNG 2. ĐỊNH LÝ SIN, ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ SIN ĐỂ GIẢI TOÁN
Câu 29. Cho tam giác ABC . Tìm cơng thức sai:
a
a
 2R .
sin A 
.
2R
A. sin A
B.

C. b sin B  2 R .

D.

sin C 

c sin A
.
a

Lời giải
Chọn C.
a
b
c


 2 R.
Ta có: sin A sin B sin C
Câu 30. Cho ABC với các cạnh AB  c, AC  b, BC  a . Gọi R, r , S lần lượt là bán kính đường trịn
ngoại tiếp, nội tiếp và diện tích của tam giác ABC . Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?

A.
C.

S

abc
4R .

S

1
ab sin C
2
.

Chọn

B.

R

a
sin A .

2
2
2
D. a  b  c  2ab cos C .
Lời giải

B.

a
 2R
Theo định lí Sin trong tam giác, ta có sin A
.
Câu 31.

�
Cho tam giác ABC có góc BAC  60�và cạnh BC  3 . Tính bán kính của đường tròn

ngoại tiếp tam giác ABC .
A. R  4 .

B. R  1 .

C. R  2 .
Lời giải

Chọn B
9

D. R  3 .


BC
BC
 2R � R 

sin A
2sin A
Ta có:
Câu 32.

3
1
3
2.
2
.

�
�
Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC có AC  4 cm , góc A  60�, B  45�
. Độ dài cạnh
BC là
A. 2 6 .

B. 2  2 3 .

C. 2 3  2 .
Lời giải

D.

6.

Chọn A

BC
AC

Ta có sin A sin B
Câu 33.

� BC 

4.

3
2 2 6

2
2
.

�
�
Cho ABC có AB  5 ; A  40�; B  60�. Độ dài BC gần nhất với kết quả nào?
A. 3, 7 .
B. 3,3 .
C. 3,5 .
D. 3,1 .
Lời giải
Chọn B

�  180� A
�B
�  180� 40� 60� 80�
C
BC
AB
AB
5

� BC 
.sin A 
sin 40��3,3
sin C
sin 80�
Áp dụng định lý sin: sin A sin C
.

Câu 34. Cho tam giác ABC thoả mãn hệ thức b  c  2a . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. cos B  cos C  2cos A. B. sin B  sin C  2sin A.
1
sin B  sin C  sin A
2
C.
.

D. sin B  cos C  2sin A.
Lời giải

Chọn B.

bc
a
b
c
b
c
bc
bc


 2R � 2 

�

� sin B  sin C  2sin A.
sin A sin B sin C

2sin A sin B  sin C
Ta có: sin A sin B sin C
0
0
�
�
Câu 35. Tam giác ABC có a  16,8 ; B  56 13' ; C  71 . Cạnh c bằng bao nhiêu?

A. 29,9.

B. 14,1.

C. 17,5.

D. 19,9.

Lời giải
Chọn D.
0
0
0
0
0
� � �
�
Ta có: Trong tam giác ABC : A  B  C  180 � A  180  71  56 13'  52 47 ' .

a
b
c

a
c
a.sin C 16,8.sin 710


�

�c 

; 19,9.
sin A
sin 520 47'
Mặt khác sin A sin B sin C sin A sin C

0
0
�
�
Câu 36. Tam giác ABC có A  68 12 ' , B  34 44 ' , AB  117. Tính AC ?
A. 68.
B. 168.
C. 118.
10

D. 200.


Lời giải
Chọn A.
0

0
0
0
0
� � �
�
Ta có: Trong tam giác ABC : A  B  C  180 � C  180  68 12' 34 44'  77 4' .

a
b
c
AC
AB
AB.sin B 117.sin 340 44'


�

� AC 

; 68.
sin C
sin 770 4'
Mặt khác sin A sin B sin C sin B sin C

DẠNG 3. DIỆN TÍCH TAM GIÁC, BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRỊN

DIỆN
Câu 37. Chọn cơng thức đúng trong các đáp án sau:
1

1
S  bc sin A .
S  ac sin A.
2
2
A.
B.

1
S  bc sin B .
2
C.

1
S  bc sin B .
2
D.

Lời giải
Chọn A.
1
1
1
S  bc sin A  ac sin B  ab sin C
2
2
2
Ta có:
.

Câu 38.

�
Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a . Góc BAD  30�. Diện tích hình thoi ABCD là
a2
A. 4 .

a2 3
C. 2 .
Lời giải

a2
B. 2 .

2
D. a .

Chọn B
Ta có S ABCD
Câu 39.

1
 a.a.sin 30� a 2
�
 AB. AD.sin BAD
2 .

Tính diện tích tam giác ABC biết AB  3, BC  5, CA  6 .
A.

56 .

B.

48 .

D. 8 .

C. 6 .
Lời giải

Chọn A

Ta có:

p

AB  AC  BC 3  5  6

7
2
2
.

Vậy diện tích tam giác ABC là:
S

p  p  AB   p  AC   p  BC   7  7  3  7  6   7  5   56

Câu 40. Cho ABC có a  6, b  8, c  10. Diện tích S của tam giác trên là:

A. 48.
B. 24.
C. 12.
Lời giải
Chọn B.
Ta có: Nửa chu vi ABC :

p

abc
2
.

11

.

D. 30.


Áp dụng công thức Hê-rông: S  p( p  a)( p  b)( p  c)  12(12  6)(12  8)(12  10)  24 .
0
Câu 41. Cho ABC có a  4, c  5, B  150 . Diện tích của tam giác là:
A. 5 3.

B. 5.

C. 10.

D. 10 3 .

Lời giải
Chọn B.
1
1
a.c.sin B  .4.5.sin1500  5.
2
2
Ta có:
Câu 42. Một tam giác có ba cạnh là 13,14,15 . Diện tích tam giác bằng bao nhiêu?
SABC 

A. 84.

B.

84 .

C. 42.

D. 168 .

Lời giải
Chọn A.
Ta có:

p

a  b  c 13  14  15


 21
2
2
.

Suy ra: S  p( p  a)( p  b)( p  c)  21(21  13)(21  14)(21  15)  84 .
Câu 43. Cho các điểm A(1; 2), B(2;3), C (0;4). Diện tích ABC bằng bao nhiêu?
13
.
A. 2

B. 13.

C. 26.

13
.
D. 4

Lời giải
Chọn uA.
uur

uuur

uuur

Ta có: AB  (3;5) � AB  34 , AC  (1;6) � AC  37 , BC  (2;1) � BC  5 .
AB  AC  BC
37  34  5


2
2
Mặt khác
.
13
S  p( p  AB)( p  AC )( p  BC )  .
2
Suy ra:
Câu 44. Cho tam giác ABC có A(1; 1), B(3; 3), C (6;0). Diện tích ABC là
p

A. 12.

B. 6.

C. 6 2.

D. 9.

Lời giải
Chọn uB.
uur

uuur
uuur
AB

(2;


2)
�
AB

2
2
AC

(5;1)
�
AC

26
Ta có:
,
, BC  (3;3) � BC  3 2 .
uuu
r uuur
Mặt khác AB.BC  0 � AB  BC .
1
AB.BC  6.
2
Suy ra:
Câu 45. Cho tam giác ABC có a  4, b  6, c  8 . Khi đó diện tích của tam giác là:
SABC 

A. 9 15.

B. 3 15.

C. 105.
Lời giải

Chọn B.
Ta có:

p

a bc 468

 9.
2
2

Suy ra: S  p( p  a)( p  b)( p  c)  3 15.
12

2
15.
D. 3


Câu 46.

�
Cho tam giác ABC . Biết AB  2 ; BC  3 và ABC  60�. Tính chu vi và diện tích tam giác
ABC .
3
A. 5  7 và 2 .

C. 5 7 và

3 3
2 .

3 3
B. 5  7 và 2 .
3
5

19
D.
và 2 .

Lời giải

Chọn B
2
2
2
�
Ta có: AC  AB  BC  2. AB.BC.c os ABC  4  9  2.2.3.c os60� 13  6  7 .

Suy ra AC  7 .
Chu vi tam giác ABC là AB  AC  BC  2  3  7 .
1
1
3 3
S ABC  AB.BC.sin �
ABC  .2.3.sin 60�

2
2
2 (đvdt).
Diện tích tam giác ABC là
m  15 mb  12 mc  9
Câu 47. Tam giác ABC có các trung tuyến a
,
,
.Diện tích S của tam giác ABC
bằng
A. 72 .
B. 144 .
C. 54 .
D. 108 .
Lời giải 1
Chọn A
Theo bài tốn ta có
� 2 b2  c2 a 2
ma 
  152
�
2
4
�
�a  10
2b 2  2c 2  a 2  900
�
2
2
2

�
�
� 2 a c b
mb 
  122 � �
2a 2  2c 2  b 2  576 � �
b  4 13
�
2
4
�
�
�
2
2
2
2a  2b  c  324
c  2 73
�
�
� 2 a 2  b2 c2
2
m



9
�c
2
4

�

Ta có

S ABC 

p

abc
 5  2 13  73
2
, áp dụng công thức He-rong ta có

p ( p  a )( p  b)( p  c)  72

.

Cách 2:
Đặt BC  a, CA  b, AB  c ,
13


Theo định lý trung tuyến có:
�
4ma2  a 2  2  b 2  c 2 
a  10
�
�
a 2  2b 2  2c 2  900 �
a 2  100

a 2  100 �
�
� 2
2
2
2
�
�
�
4mb  b  2  a  c  � 2a 2  b 2  2c 2  576 � b 2  208 � b 2  208 � �
�
b  4 13
�
�
�
�
� 2 2
�
�
�
�
2
2
2
2
2
2
2
4mc  c  2  b  a 
2a  2b  c  324

c  291
c  292 �
c  2 73
�
�
�
�
�

Có

Câu 48.

S ABC 

p  p  a  p  b  p  c

Cho tam giác  ABC có

7 2
A. 2 .

,

p

1
 a  b  c
S  72
2

Suy ra ABC

b  7; c  5;cos A 

3
5 . Độ dài đường cao ha của tam giác  ABC là.

C. 8 3
Lời giải

B. 8 .

D. 80 3

Chọn A

3
a  b 2  c 2  2bc cos A  7 2  52  2.7.5.  32  4 2
5
4
�
sin A 
�
5
�
2
4
�3 � 16
4
�

sin 2 A 1  cos 2 A  1  � �
sin A  
sin
A

0
�
5 vì 0 �A �180 nên
�
�5 � 25 . Suy ra �
5

1
1
4
1
1
7 2
S  bc sin A  .7.5.  14
S  a.ha � 14  .4 2.ha � ha 
2
2
5
2
2
2
mà
Câu 49.

�

Cho tam giác ABC có AB  2a; AC  4a và BAC  120�. Tính diện tích tam giác ABC ?
2
A. S  8a .

2
B. S  2a 3 .

2
C. S  a 3 .
Lời giải

2
D. S  4a .

Chọn B
Diện tích của tam giác ABC là

BÁN
Câu 50.

S ABC 

1
�  1 .2a.4a.sin120� 2a 2 3
AB. AC .sin BAC
2
2
(đvdt).

Cho tam giác ABC đều cạnh a . Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC bằng

a 3
A. 2 .

a 3
B. 3 .

a 3
C. 4 .
Lời giải

Chọn B
14

a 2
D. 2 .


Gọi G là trọng tâm ABC . Bán kính đường tròn ngoại tiếp
Câu 51.

R  AG 

2a 3 a 3

3 2
3 .

Cho tam giác ABC có chu vi bằng 12 và bán kính đường trịn nội tiếp bằng 1. Diện tích của
tam giác ABC bằng

A. 12 .
B. 3 .
C. 6 .
D. 24 .
Lời giải
Chọn C
Theo đề bài tam giác ABC có chu vi bằng 12 nên nửa chu vi là
nội tiếp bằng 1, tức là ta có: r  1 .

p

12
2 ; bán kính đường trịn

Diện tích tam giác ABC là: S  p.r  6.1  6 .
Câu 52.

(THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Cho tam giác ABC đều cạnh 2a . Tính
bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
2a
A. 3 .

4a
B. 3 .

8a
C. 3 .
Lời giải

Chọn A

Gọi H, K lần lượt là trung điểm cạnh AB, BC ;
I là giao điểm của AH và CK .
Lúc đó, I là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác

Ta có:

Do đó:

AH 

2a 3
a 3
2
.

R  AI 

2
2
2a
AH  a 3 
.
3
3
3

15

ABC .

6a
D. 3 .


Câu 53.

Cho tam giác ABC có BC  6 , AC  2 và AB  3  1 . Bán kính đường trịn ngoại tiếp
tam giác ABC bằng:
A.

5.

3.

B.

C. 2 .
Lời giải

D. 2 .

Chọn C

Áp dụng định lý cosin ta có

Áp dụng định lý sin ta có
Câu 54.

cos A 

R

b2  c2  a 2 1

2bc
2 suy ra A  60�.

a
 2
2sin A
.

Cho tam giác ABC có AB  3 , AC  4 , BC  5 . Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác bằng
8
4
3
A. 1 .
B. 9 .
C. 5 .
D. 4 .
Lời giải
Chọn A
2
2
2
Vì AB  AC  BC nên tam giác ABC vuông tại A .

1
AB. AC

S
3.4
2
r 

1
p 1 AB  AC  BC
3 4 5


2
Do đó bán kính đường trịn nội tiếp
.
Câu 55. Cho ABC có S  84, a  13, b  14, c  15. Độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp R của tam giác
trên là:
A. 8,125.

B. 130.

D. 8,5.

C. 8.
Lời giải

Chọn A.
Ta có:

SABC 

a.b.c

a.b.c 13.14.15 65
�R


4R
4S
4.84
8 .

Câu 56. Cho ABC có S  10 3 , nửa chu vi p  10 . Độ dài bán kính đường trịn nội tiếp r của tam
giác trên là:
A. 3.

B. 2.

C.

2.

D.

3.

Lời giải
Chọn D.
S  pr � r 

S 10 3

 3.

p
10

Ta có:
Câu 57. Một tam giác có ba cạnh là 26, 28,30. Bán kính đường trịn nội tiếp là:
A. 16.
B. 8.
C. 4.
D. 4 2.
Lời giải
Chọn B.
16


Ta có:

p

a  b  c 26  28  30

 42.
2
2

p ( p  a )( p  b)( p  c )
42(42  26)(42  28)(42  30)

 8.
p
42

Câu 58. Một tam giác có ba cạnh là 52,56,60. Bán kính đường trịn ngoại tiếp là:
65
65
.
.
A. 8
B. 40.
C. 32,5.
D. 4
S  pr � r 

S

p

Lời giải
Chọn C.
Ta có:

p

a  b  c 52  56  60

 84.
2
2

Suy ra: S  p ( p  a)( p  b)( p  c )  84(84  52)(84  56)(84  60)  1344 .
abc
abc 52.56.60 65

�R


4R
4S
4.1344
2 .
Mà
Câu 59. Tam giác với ba cạnh là 5;12;13 có bán kính đường tròn ngoại tiếp là?
S

A. 6.

13
C. 2 .

B. 8.

11
D. 2 .

Lời giải
Chọn C.
13
1
.
2
Ta có:
(Tam giác vng bán kính đường trịn ngoại tiếp bằng 2 cạnh huyền ).
Câu 60. Tam giác với ba cạnh là 5;12;13 có bán kính đường trịn nội tiếp tam giác đó bằng bao nhiêu?

52  122  132 � R 

A. 2.

C. 2 3.

B. 2 2.

D. 3.

Lời giải
Chọn A.

5  12  13
1
 15
52  122  132 � S  .5.12  30.
2
2
Ta có:
. Mà
S
S  p.r � r   2.
p
Mặt khác
Câu 61. Tam giác với ba cạnh là 6;8;10 có bán kính đường trịn ngoại tiếp bằng bao nhiêu?
p

A. 5.

B. 4 2.

C. 5 2.

D. 6 .

Lời giải
Chọn A.
Ta có:

62  82  10 2 � R 

10
1
 5.
2
(Tam giác vng bán kính đường trịn ngoại tiếp bằng 2 cạnh

huyền ).
Câu 62.

Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB  4, BC  6 , M là trung điểm của BC , N là điểm trên
cạnh CD sao cho ND  3 NC . Khi đó bán kính của đường trịn ngoại tiếp tam giác AMN bằng
A. 3 5 .

3 5
B. 2 .

C. 5 2 .
Lời giải

Chọn D
17

5 2
D. 2 .


Ta có
MC  3, NC  1 � MN  10
BM  3, AB  4 � AM  5
AD  6, ND  3 � AN  45

p

AM  AN  MN
10  5  45

2
2
S AMN 

p  p  AM   p  AN   p  MN  

15
2
R

Câu 63.

AM . AN .MN 5 2

4 S AMN
2

Bán kính của đường trịn ngoại tiếp của tam giác AMN là:
uuur
uuur
ABC
DC

2
BD . Gọi R và r lần lượt là bán
D
Cho tam giác đều
;gọi
là điểm thỏa mãn
R
kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ADC. Tính tỉ số r .
5
A. 2 .

57 7
9
B.
.

75 5
9
C.

.
Lời giải

Chọn D
uuur
uuur
uuur
uuur
Ta có DC  2 BD � DC  2 DB . Do đó DC  2 DB .

Gọi S là diện tích của tam giác ACD và E là trung điểm của BC .
18

75 7
9
D.
.


� 2
2 a2 3
�S  S ABC  .
3 4
� 3
�
�AD  AE 2  ED 2 
�
Đặt AB  a . Suy ra �

a2 3

6



2

2
�a 3 � �a �
2a 7


�
�
�
�
� 2 � �6 �
6
� �
.

� AD  DC  AC
5 7
.r 
a.r
�S 
5  7 ar.2a 3 7
7 5  7 a 4r
�
2
6

2
�S 

�
3
6.36
R
108 R
AD
.
DC
.
BC
2
a
7
�S 

�
4R
36 R
Hơn nữa �
.





















7 5  7 a4r
7 5  7 .12
7 5 7
a4
R
R

� 
� 
108 R
r
108
r
9
Hay 12
.

DẠNG 4. ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Câu 64. Khoảng cách từ A đến B không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta
o
xác định được một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A và B dưới một góc 78 24' . Biết

CA  250 m, CB  120 m . Khoảng cách AB bằng bao nhiêu?
A. 266 m.
B. 255 m.
C. 166 m.

D. 298 m.

Lời giải
Chọn B.
2
2
2
2
2
o
Ta có: AB  CA  CB  2CB.CA.cos C  250  120  2.250.120.cos78 24' ; 64835 � AB ; 255.
Câu 65. Hai chiếc tàu thuỷ cùng xuất phát từ vị trí A , đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc

600 . Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 30 km / h , tàu thứ hai chạy với tốc độ 40 km / h . Hỏi sau 2 giờ
hai tàu cách nhau bao nhiêu km ?

A. 13.

B. 20 13.

C. 10 13.

D. 15.

Lời giải
Chọn B.

Ta có: Sau 2h quãng đường tàu thứ nhất chạy được là: S1  30.2  60 km.
Sau 2h quãng đường tàu thứ hai chạy được là: S2  40.2  80 km.

2
2
0
Vậy: sau 2h hai tàu cách nhau là: S  S1  S 2  2S1.S 2 .cos 60  20 13.
Câu 66. Từ một đỉnh tháp chiều cao CD  80 m , người ta nhìn hai điểm A và B trên mặt đất dưới các

0
0
góc nhìn là 72 12' và 34 26' . Ba điểm A, B, D thẳng hàng. Tính khoảng cách AB ?

A. 71 m.

B. 91m.

C. 79 m.

D. 40 m.

Lời giải

Chọn B.
Ta có: Trong tam giác vng CDA :
Trong tam giác vuông CDB :

tan 72012' 

tan 340 26' 

CD
CD
80
� AD 

; 25,7.
0
AD
tan 72 12' tan 72012'

CD
CD
80
� BD 

; 116,7.
0
BD
tan 34 26 ' tan 340 26'

19

Suy ra: khoảng cách AB  116,7  25,7  91 m.
Câu 67. Khoảng cách từ A đến B không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta
0
xác định được một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A và B dưới một góc 56 16' . Biết

CA  200 m , CB  180 m . Khoảng cách AB bằng bao nhiêu?
A. 180 m.
B. 224 m.
C. 112 m.

D. 168 m.

Lời giải
Chọn A.
2
2
2
2
2
0
Ta có: AB  CA  CB  2CB.CA.cos C  200  180  2.200.180.cos56 16' ; 32416 � AB ; 180.

Câu 68.

Trong khi khai quật một ngôi mộ cổ, các nhà khảo cổ học đã tìm được một chiếc đĩa cổ hình
trịn bị vỡ, các nhà khảo cổ muốn khơi phục lại hình dạng chiếc đĩa này. Để xác định bán kính
của chiếc đĩa, các nhà khảo cổ lấy 3 điểm trên chiếc đĩa và tiến hành đo đạc thu được kết quả
như hình vẽ ( AB  4,3 cm; BC  3, 7 cm; CA  7,5 cm). Bán kính của chiếc đĩa này bằng (kết
quả làm trịn tới hai chữ số sau dấu phẩy).

A. 5,73 cm.

B. 6,01cm.

C. 5,85cm.
Lời giải

D. 4,57cm.

Chọn A
Bán kính R của chiếc đĩa bằng bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC .
Nửa chu vi của tam giác ABC là:

S
Diện tích tam giác ABC là:
Mà
Câu 69.

S

p

AB  BC  CA 4, 3  3, 7  7,5 31


2
2
4 cm.

p  p  AB   p  BC   p  CA  �5, 2

cm2.

AB.BC.CA
AB.BC.CA
�R
�5, 73
4R
4S
cm.

(THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Giả sử CD = h là chiều cao của tháp
trong đó C là chân tháp. Chọn hai điểm A, B trên mặt đất sao cho ba điểm A, B, C thẳng hàng.
0
0
�
�
Ta đo được AB = 24m, CAD  63 ; CBD  48 . Chiều cao h của khối tháp gần với giá trị nào
sau đây?
A. 61,4 m.
B. 18,5 m.
C. 60 m.
D. 18 m.
Lời giải
Chọn A

20

Ta có

�  630 � BAD
�  117 0 � �
CAD
ADB  1800   1170  480   150

�
AB
BD
AB.sin BAD

� BD 
�
�
sin �
ADB
Áp dụng định lý sin trong tam giác ABD ta có: sin ADB sin BAD

Tam giác BCD vng tại C nên có:

Vậy

CD 

� 
sin CBD

CD
�

� CD  BD.sin CBD
BD

� .sin CBD
�
AB.sin BAD
24.sin117 0.sin 480

 61, 4m
sin150
sin �
ADB

21