Bai so 3 - giải tích 3 BKHN

2. Các tính chất của chuỗi lũy thừa
Giả sử chuỗi lũy thừa có bán kinh HT
  là .
TC1: Chuỗi lũy thừa HT đều trên
TC2: liên tục trên
TC3: Với mọi nằm trong khoảng thì
TC4: Tại mọi ta có
=


3. Ứng dụng tính tổng của chuỗi
•VD:
  Tính tổng (1)
Giải: Đặt f
Ta có
Khoảng HT
• HT theo Leibnitz.
• FK

Miền HT


$4. Chuỗi Taylor, chuỗi Maclaurent
1. Chuỗi Taylor
1.1.
•   ĐN. i) Giả sử hàm có đạo hàm vơ hạn lần trong lận cận của , ký hiệu là
( chuỗi
(1)
Gọi là chuỗi Taylor của hàm lân cận của
ii) Nếu (1) HT và có tổng đúng bằng gọi là khai triển được thành chuỗi Taylor trong lân cận của
Ta biết

+
trong đó là điểm nằm giữa .
Đặt


1.2 Điều kiện khai triển được thành chuỗi Taylor
Định
•   lý 1. Giả sử hàm số có đạo hàm vơ hạn lần trong lân cận của khi đó hàm khai triển được thành
chuỗi Taylor lân cận đó khi và chỉ khi
Định lý 2. Nếu trong lân cận của hàm có đạo hàm vô hạn lần và tồn tại sao cho thì khai triển được
thành chuỗi Taylor trong .
2. Chuỗi Maclaurent Khi thì chuỗi Taylor gọi là chuỗi Maclaurent
(2)
3. Khai triển một số hàm sơ cấp cơ bản thành chuỗi lũy thừa
3.1 Hàm
Với a có và < Vậy có thể khai triển thành chuỗi Taylor trong khoảng mà tùy ý nên có thể khai triển
thành chuỗi Taylor trên R.


3. Khai triển một số hàm sơ cấp cơ bản thành chuỗi lũy thừa (tiếp)

3.2
•   Hàm
có thể khai triển thành chuỗi Maclaurent
Ta có
+
3.3 Hàm
có thể khai triển thành chuỗi Maclaurent
Ta có
cos+

3. Khai triển một số hàm sơ cấp cơ bản thành chuỗi lũy thừa (tiếp)

3.4
•   Hàm số
;
khơng thỏa mãn đk của Đinh lý 2.
với
với
+

với

3.5 Hàm số
với
với


3. Khai triển một số hàm sơ cấp cơ bản thành chuỗi lũy thừa (tiếp)
3.6
•   Hàm số
Chuỗi Maclaurent củaHT về :

VD: Khai triển hàm thành chuỗi lũy thừa của
Giải: với


$4. Chuỗi Fourier
1. Chuỗi lượng giác, chuỗi Fourier

1.1
•   Chuỗi lượng giác
ĐN:
gọi là chuỗi lượng giác
1.2 Chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn chu kỳ
ĐN: i)Giả sử hàm xác định, khả tích trên đoạn , tuần hoafn chu kỳ Khi đó các hệ số

gọi là các hệ số Fourier của và chuỗi
(1)
gọi là chuỗi Fourier của .
ii) Nếu chuỗi Fourier (1) của HT và có tổng bằng thì hàm số gọi là khai triển được thành
chuỗi Fourier. Khi đó


Chuỗi Fourier (tiếp)
Nhận
•   xét: Nếu là hàm chẵn thì Khi đó chuỗi Fourier của hàm chỉ có các hàm số cosine:
(khai triển Fourier hàm chẵn)
Nếu là hàm lẻ thì Khi đó chuỗi Fourier của hàm chỉ có các hàm sin:
hàm lẻ)

(khai triển Fourier

2. Các Định lý
Định lý 1(Dirichlet) : Nếu là hàm số tuần hoàn chu kỳ và liên tục từng khúc trên thì chuỗi
Fourier của HT trên và có tổng

Định lý 2. Nếu là hàm số tuần hồn chu kỳ liên tục và liên tục từng khúc trên thì chuỗi
Fourier của HT đều trên và có tổng đúng bằng .

VD. Khai triển thành chuỗi Fourier hàm tuần hoàn chu kỳ xác định bởi
khoảng .

 

Giải:
•   là hàm lẻ

Nhận xét:


3. Chuỗi Fourier của hàm tuần hồn chu kỳ

 

•tuần
  hồn chu kỳ 2l khả tích trên .
Dùng phép đổi biến tuần hoàn chu kỳ


VD Khai triển thành chuỗi Fourier hàm tuần hồn

 

Giải:
•   là hàm chẵn

Thay vào ta có