Bai so 5 - giải tích 3 BKHN

$3. PTVP cấp 2

1.

Đại cương về PTVP cấp 2.

1.1 ĐN

 

1.2 Sơ kiện ban đầu: và
hay (3) với cho trước
Bài toán Cauchy (bài tốn giá trị ban đầu): Tìm nghiệm của PTVP (1) hoặc (2) thỏa mãn sơ kiện ban
đầu (3).
1.3 Định lý (sự tồn tại và duy nhất nghiệm). Nếu liên tục trong miền ῼ chứa điểm thì phương trình
(2) có nghiệm duy nhất thỏa mãn sơ kiện (3).


1.4 Nghiệm tổng qt, nghiệm riêng

•1)   Nó thỏa mãn PTVP (2) với mọi

Nghiệm TQ của PTVP (2) là hàm số trong đó là các hàng số tùy ý sao cho:

2)

Với bộ 3 số cho trước sao cho điều kiện

Định lý trên thỏa mãn thì tồn tại ,
hàm số thỏa mãn sơ kiện ban đầu (3).
Hệ thức xác định nghiệm TQ của (2) gọi là TP TQ của nó.

Hệ thức gọi là TP riêng


2. Một số PT khuyết.

•Cách  giải:Đặt ây là PTVP cấp 1.
2.1 PT khuyết

VD. Giải PTVP
Giải: Đặt


2.2 PT khuyết
Cách giải: Đặt PTVP cấp1

VD.

•Giải.  Đặt
* là nghiệm
*

 


2.3 PT khuyết

•VD. Giải phương trình .

Cách giải: Đặt PTVP cấp 1 ẩn là , biến là
Giải: Đặt

=
với là hằng số

 


3. PT tuyến tính cấp 2

•3.1 ĐN:
  PTVP tuyến tính cấp 2 là PT
trong đó
3.2 Bài tốn Cauchy đối với PTVP TT cấp 2.
Tìm nghiệm của (1) thỏa mãn
với và cho trước
Định lý: Nếu liên tục trên khoảng mở thì PT

có nghiệm duy nhất trên với và cho trước.


3.3 PTVP tuyến tính thuần nhất
(2)

 

•với  là 2 hằng số tùy ý là nghiệm của (2)
Định lý 1. Nếu là 2 nghiệm của (2) thì

Chứng minh:
++
+

=

Định nghĩa 1. Hai hàm số gọi là độc lập tuyến tính trên nếu là hằng số, trái lại gọi là pttt)
VD: độc lập tuyến tính trên
phụ thuộc tuyến tính trên


3.3 PTVP tuyến tính thuần nhất (tiếp)
(2)

•Định  lý 2. Nếu hai hàm số ; pttt trên thì =0

 

ĐN2. Hai hàm số ; khả vi trên Khi đó định thức gọi là định thức Wronski.
CM: ; pttt


3.3 PTVP tuyến tính thuần nhất (tiếp)
(2)

•

 

Định lý 3(Định lý Abel). Nếu là 2 nghiệm của (2), liên tục trên khoảng mở thì

 

Hệ quả: hoặc

CM: . Nếu =0 thì . Nếu 0 thì


Định lý 4. Giả sử là 2 nghiệm của (2), liên tục trên khoảng mở Khi đó đltt khi và chỉ khi

 

•

Định  lý 5. Nếu là 2 nghiệm đltt trên của (2), liên tục trên thì là nghiệm TQ của (2) trên .
CM: Theo Định lý 1 thì là nghiệm của (2) là các hằng số
Giả sử sơ kiện ban đầu cho trước. Ta có
(I)
Ta có
Hệ pt có = (I) có nghiệm duy nhất (ẩn là


Bài tốn: Giải pt thuần nhất. Tìm 2 nghiệm đltt của (2)

•VD.  Giải PT biết nghiệm
Biết Tìm

Giải:
thay vào (1):
+

Đặt

Vậy nghiệm TQ của (1) trong đó là 2 hằng số tùy ý

3.4 PT tuyến tính khơng thuần nhất

•

 

Định lý 6. Nghiệm TQ của (3) là tổng nghiệm TQ của PT thuần nhất (2) với một nghiệm riêng bất kỳ của (3):

 

Cách giải (3): (Phương pháp biến thiên hằng số Lagrange):
Giả sử là nghiệm TQ của (2) là các hằng số
Tìm trong đó là hàm số
Chọn
thay vào (3):

(ii)


 

•

 


VD: (1) biết là một nghiệm của PT thuần nhất

•

* .
+
Đặt

Lấy

 

 


1

•thỏa mãn

Nghiệm TQ:

 


Định lý 7 (Nguyên lý chồng chất nghiệm)

•Nếu là  nghiệm riêng của và là nghiệm riêng của (3)
Cho pt: (1) với liên tục trong khoảng
thì là nghiệm riêng của (1).

CM: ’+’; +
+[ (đpcm)

4. PTVT tuyến tính cấp 2 hệ số hằng

 

•

4.1 Cơng thức Euler:
 

4.2 PT thuần nhất:
Nghiệm vào (2)
Phương trình đặc trưng


Nghiệm của PT thuần nhất:
TH1. đltt

•

TH2.  

thay vào (2):
Vì =0 và =0
TH3:

là 2 nghiệm đltt của (2)
Là nghiệm TQ của (2)

 

VD. Tìm nghiệm tổng qt:

•

 

Giải:

2)
Giải:

3)
Giải:


4.3 PT tuyến tính khơng thuần nhất

•Dạng 1. là đa thức bậc

 

Nguyên tắc chung: Sử dụng phương pháp biến thiên hằng số Lagrange. Khi có dang đặc biệt
TH1: đa thức cùng bậc với
TH2:
TH3:
VD. 1) (1)

Giải:

thay vào (1):
=

Nghiệm +


VD2: (1)

••

Giải:

 

Nghiệm: .

 


Dạng 2.

•

TH1:;

TH2:; 

VD:
Giải:

Nghiệm .

 


5. PTVP Euler: là hằng số

•thay vào (1):

Cách giải: Đặt

VD:

Giải Đây là ptvp tt cấp 2 hệ số hằng
Nghiệm của (3):
Nghiệm của (2):