201 BAI TOAN HINH CHON LOC THI VAO THPT

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (289.62 KB, 40 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

ơn tập hình học 9 về đờng trịn – góc với đờng trịn
A) Đờng trịn:

1, Định nghĩa: Tập hợp các điểm cách điểm 0 cho trớc một khoảng cách R > 0 khơng đổi
gọi là đờng trịn tâm 0 bán kính R . Kí hiệu : ( 0 ; R)

2, Vị trí t ơng đối:

* Của một điểm với một đờng tròn : xét (0 ; R ) và điểm M bất kì

vị trí tơng đối Hệ thức

M n»m ngoµi ( O ; R ) OM > R

M n»m trªn ( O ; R ) hay M thuéc ( O ; R) OM = R

M n»m trong ( O ; R ) OM < R

* Của một đờng thẳng với một đờng tròn : xét ( O; R ) và đờng thẳng a bất kì
( với d là khoảng cách từ tâm O đến đờng thẳng a )

vị trí tơng đối Số điểm chung Hệ thức

a c¾t ( O ; R ) 2 d < R

a tiÕp xóc ( O ; R ) 1 d = R

a và ( O ; R ) không giao nhau 0 d > R

* Của hai đờng tròn :xét ( O; R) và (O’; R’) ( với d = O O’ )

vị trí tơng đối Số điểm chung Hệ thức

Hai đờng tròn cắt nhau 2 R – r < d < R - r

Hai đờng tròn tiếp xúc nhau :
+ tiếp xúc ngoài :

+ tiÕp xóc trong :

1 d = R + r

d = R – r
Haiđờng trịn khơng giao nhau :

+ hai đờng trịn ở ngồi nhau :

+ đờng trịn lớn đựng đờng tròn nhỏ :

0 > R + r

d < R - r
3 . Tiếp tuyến của đ ờng tròn :

a. Định nghĩa : đờng thẳng d đợc gọi là tiếp tuyến của một đờng trịn nếu nó chỉ có một
điểm chung với đờng đó .

b, TÝnh chÊt :

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

+ Tính chất 2 : Nếu hai tiếp tuyến của một đờng tròn cắt nhau tại một điểm thì giao điểm
này cách đều hai tiếp điểm và tia kẻ từ giao điểm đó qua tâm đờng trịn là tia phân giác

của góc tạo bởi hai tiếp tuyến .

c, C¸ch chøng minh :

 Cách 1 : chứng minh đờng thẳng đó có một điểm chung với đờng trịn đó .

 Cách 2 : chứng minh đờng thẳng đó vng góc với bán kính của đờng trịn đó tại
một điểm và điểm đó thuộc đờng trịn .

4 . Quan hệ giữa đ ờng kính và dây cung :

* Định lí 1 : Đờng kính vuông góc với một dây cung thì chia dây cung ấy ra thành hai
phần bằng nhau .

* Định lí 2 : Đờng kính đi qua trung điểm của một dây cung không đi qua tâm thì vuông
góc với dây cung ấy.

5 . Quan hệ giữa dây cung và khoảng cách đến tâm :

* Định lí 1 : Trong một đờng trịn hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều
tâm .

* Định lí 2 : Trong hai dây cung khơng bằng nhau của một đờng trịn, dây cung lớn hơn
khi và chỉ khi nó gần tâm hơn .

B. Gúc vi ng trũn:

1, Các loại góc trong đ ờng tròn:
- Góc ở tâm

- Gúc cú nh bên trong hay bên ngồi đờng trịn
- Góc nội tip

- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
2, Mối quan hệ giữa cung và dây cung:

* nh lí 1: Đối với hai cung nhỏ trong một đờng tròn:
a, Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau

b, Đảo lại, hai dây bằng nhau trơng hai cung bằng nhau.
* Định lí 2: Đối với hai cung nh trong mt ng trũn:

a, Cung lớn hơn căng dây lớn hơn
b, Dây lớn hơn trơng cung lớn hơn.
3, Tứ giác nội tiếp:

a, nh ngha: T giỏc ni tiếp một đờng trịn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đờng
trịn . Đơng trịn đó đợc gọi là đờng trịn ngoại tiếp tứ giác.

b, C¸ch chøng minh :

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

* Cách 2: chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 1800

* Cách 3: chứng minh tứ giác có 2 đỉnh kề nhau nhìn cạnh đối diện dới cùng một góc.
I ) Góc ở tâm – liên hệ giữa cung và dây.

Bµi 1 .

Cho (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B. Dây AC của đờng trịn (O) vng góc
với AO’, dây AD của (O’) vng góc với AO. So sánh các góc AOD và AO’D

Bµi 2 .

Trên một đờng trịn (O) có cung AB bằng 140o . Gọi A’. B’ lần lợt là đối xứng của 
A, B qua O; lấy cung AD nhận B’ làm điểm chính giữa; lấy cung CB nhận A’ làm điểm
chính giữa. Tính số đo cung nhỏ CD.

Bài 3 . cho hai đờng tròn bằng nhau (O) , (O’) cắt nhau tại A, B. Kẻ các đờng kính
AOC và AO’D. Gọi E là giao điểm thứ hai của đờng thẳng AC với (O’).

a) So s¸nh c¸c cung nhá CB, BD.

b) Chứng minh rằng B là điểm chính giữa cung EBD.

Bài 4 . cho đờng tròn (O), dây AB. Gọi M là điểm chính giữa cung AB . Vẽ dây MC cắt
dây AB tại D. Vẽ đờng vuông góc với AB tại D, cắt OC tại K.  KCD là tam giác gì ?
Bài 5 .

Cho M, N, P, Q là bốn điểm tùy ý trên (O). Các tiếp tuyến của (O) tại bốn điểm trên
cắt nhau tạo thành tứ giác ABCD. Tính số đo tổng các góc AOB + COD ?

Bµi 6 .

Cho đờng trịn (O), dây AB. Trên dây AB lấy D rồi nối D với C trên đờng tròn (C khác A,
B; A, O, C không thẳng hàng). Các đờng trung trực của AD và DC cắt nhau ở M. CMR:
đ-ờng thẳng MO đi qua điểm chính giữa cung AC

Bµi 7 .

Cho hai đờng tròn đồng tâm (O; R) và (O; 2R). P là một điểm ngoài (O; 2R). Vẽ

đ-ờng tròn (P; PO) cắt đđ-ờng tròn (O; 2R) tại C và D, cắt đđ-ờng tròn (O; R) ở E và F. OC và
OD cắt (O; R) ở A và B. CMR:

a) CD // EF.

b) PA vµ PB lµ hai tiÕp tuyÕn cña (O; R).

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

II ) gãc néi tiÕp.
Bµi 9 .

Cho góc xOy bằng x và một độ dài l . Hai điểm A, B di động trên hai cạnh tơng ứng sao
cho độ dài AB ln bằng l . Gọi I là tâm đờng trịn ngoại tiếp tam giác OAB.

a) CMR: Tam giác IAB có các kích thớc khơng đổi.
b) Tìm quỹ tích điểm I.

Bµi 10 .

Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A, B. Qua A kẻ cát tuyến cắt các đờng tròn (O),
(O’) tại các điểm thứ hai C, D. Tia DB cắt (O) tại điểm thứ hai là M. Các tia OB, BO’ lần
lợt cắt (O’) tại các điểm thứ hai là N, P.

a) So s¸nh hai gãc ACB và BOO'.
b) So sánh hai góc CAM và PAN.
Bài 11 .

Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A, B. Hai dây AC và BD cắt nhau ở I và cắt
(O’) tại C’, D’. Chứng minh rằng C’D’ // CD.

Bµi 12 .

Cho tam giác ABC nội tiếp (O), các đờng cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Các tia AD,
BE, CF cắt (O) tại các điểm thứ hai tơng ứng A’, B’, C’.

a) CMR: AB, BC, CA là trung trực của các đoạn thẳng tơng ứng HC’, HA’, HB’.
b) CMR: H là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF.

c) CMR: Tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác DEF. Từ đó so sánh bán kính
đ-ờng trịn ngoại tiếp tam giác DEF và bán kính đđ-ờng trịn (O).

Bµi 13 .

Cho đờng thẳng d và đoạn thẳng AB cắt nhau tại C. Dựng điểm M trên d sao cho
MC là phân giác góc AMB.

Bµi 14 .

Cho (O) vµ (O’) tiÕp xóc víi nhau tại A. Qua A vẽ một cát tuyến cắt (O) tại B, cắt
(O) tại C. Một cát tuyến thứ hai qua A cắt (O) tại D, cắt (O) tại E. Cmr : CE // BD.
Bµi 15 .

Cho nửa đờng trịn đờng kính AB. Gọi O là điểm chính giữa cung AB và M là một
điểm bất kì của nửa đờng trịn đó. Tia AM cắt đờng trịn (O; OA) tại điểm thứ hai là N.
Chứng minh rằng : MN = MB.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Cho (O), đờng kính AB, điểm D thuộc đờng trịn. Gọi E là điểm đối xứng với A qua D.
a) Tam giác ABE là tam giác gì ?

b) Gäi K lµ giao ®iĨm cđa EB víi (O). Chøng minh r»ng OD AK.
Bµi 17 .

Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau ở A, B, O nằm trên (O’). Dây AC của (O) cắt (O’)
ở D, dây OE của (O’) cắt (O) ở F. Chứng minh :

a) OD  BC.

b) Điểm F cách đều ba cạnh của tam giác ABE.
Bài 18 .

Cho hai đờng thẳng song song. Một đờng tròn tiếp xúc với một đờng thẳng tại A và
cắt đờng thẳng kia tại B, C. Trên đờng tròn lấy điểm D ( không trùng A, B, C ) . Chứng
minh rằng A cách đều hai đờng thẳng BD và CD.

Bµi 19 .

Cho đờng trịn tâm O đờng kính AB và một điểm C chạy trên một nửa đờng tròn.
Vẽ đờng tròn (I) tiếp xúc với (O) tại C và tiếp xúc với đờng kính AB tại D, đờng tròn này
cắt CA, CB lần lợt tại các điểm thứ hai là M, N. CMR:

a) Ba điểm M, I, N thẳng hàng.
b) ID MN.

c) ng thẳng CD đi qua một điểm cố định.
d) Suy ra cách dựng đờng trịn (I) nói trên.

Bµi 20 . Cho MA vµ MB lµ hai tiÕp tun cđa (O). VÏ (M; MA), C là một điểm nằm
trên

cung AB của (M) ( cung AB nằm trong đờng tròn (O) ). Tia AC, BC cắt (O) ở P, Q. Chứng
minh rằng : P và Q đối xứng với nhau qua O.

Bµi 21 .

Trên cạnh CD của hình vng ABCD ta lấy một điểm M khác C, D. Các đờng trịn
đờng kính CD và AM cắt nhau tại điểm thứ hai N ( khác D ). Tia DN cắt BC tại P. Chứng
minh rằng: AC  PM.

III ) góc giữa tiếp tuyến và một dây.
Bài 22 .

Hai tiếp tuyến tại A và B của đờng tròn (O1) cắt nhau tại C. Vẽ đờng tròn (O2) đi
qua C, tiếp xúc với đờng thẳng AB tại B và cắt đờng tròn (O1) ở M. Chứng minh rằng
đ-ờng thẳng AM chia đoạn BC thành hai phần bằng nhau.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Cho (O; R) vµ (O’; r) víi R > r tiếp xúc trong tại A. Dây BC cđa (O; R) tiÕp xóc víi
(O’; r) t¹i M (3 điểm O, A, M không thẳng hàng ). Cmr : tia AM là phân giác của BAC
Bài 24 .

Cho na đờng trịn tâm O đờng kính EF. Vẽ (O’) tiếp xúc trong với nửa đờng tròn
tâm O tại A. Kẻ đờng thẳng vng góc với EF cắt nửa đờng tròn tâm O tại B và tiếp xúc
với (O’) tại M. Chứng minh rằng tia AM đi qua một đầu của đờng kính EF.

Bài 25 . cho ABC vng tại A, đờng cao AH. Vẽ đờng trịn tâm I đờng kính BH, nó
cắt AB ở M. Vẽ đờng trịn tâm K đờng kính CH, nó cắt AC tại N.

a) Tứ giác AMHN là hình gì ?

b) CMR: MN là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn (I) và (K).

c) Vẽ tiếp tuyến Ax của đờng tròn ngoại tiếp  ABC. CMR: Ax // MN.

Bài 26 .

Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại B, C. Tiếp tuyến tại C của đờng tròn (O)
cắt (O’) tại điểm thứ hai là M. Vẽ cát tuyến MBA ( A thuộc đờng tròn tâm O ). Từ M vẽ
tiếp tuyến xy của đờng tròn (O’). Chứng minh rằng :

a) MC2 = MA.MB
b) AC // xy

Bµi 27 .

Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A, B. Vẽ dây BC của (O) tiếp xúc với
(O’). Vẽ dây BD của (O’) tiếp xúc với (O). Chứng minh rằng :

a) AB2 = AC.AD

BC AC

BD AD

Bµi 28 . Cho  ABC ngo¹i tiÕp (O). Gäi D, E, F là các tiếp điểm trên các cạnh AB,
BC,

CA. Gọi M, N, P lần lợt là giao điểm của (O) với các tia OA, OB, OC. Cmr : các điểm M,
N, P lần lợt là tâm của các đờng tròn nội tiếp các tam giác ADF, BDE và CEF.

Bài 29 . Cho (O) và (O’) cắt nhau ở A, B. Một đờng thẳng tiếp xúc với (O) tại C và
tiếp

xúc với (O’) tại D. Vẽ đờng tròn (I) qua ba điểm A, C, D cắt đờng thẳng AB tại điểm thứ
hai là E. CMR:

a)  CAD +  CBD = 180o.

b) Tø gi¸c BCED là hình bình hành.

Bài 30 . Cho (O) ngoại tiếp ABC. Gọi I và J lần lợt là giao điểm của hai phân giác
trong và ngoài của góc B và góc C của ABC. Đờng thẳng IJ cắt (O) tại M.

a) CMR: MBI = BIM.

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Bài 31 . Cho điểm A cố định trên đờng trịn cố định tâm O. Một góc  xAy = x
không

đổi quay quanh A, Ax cắt (O) tại B, Ay cắt (O) tại C. Các đờng thẳng qua B và C lần lợt
vng góc với Ay và Ax, cắt (O) theo thứ tự tại P và Q.

a) Chứng minh P, Q cố định.

b) T×m tËp hợp những điểm H là giao của BP và CQ.

Bi 32 . Cho  ABC cân tại A và một dây di động AM của đờng tròn ngoại tiếp tam
giỏc

ấy. Đờng thẳng qua B, vuông góc với AM tại A, cắt CM tại P.
a) Chứng tỏ DMB =  BMP.

b) Chứng minh P thuộc đờng tròn cố định.

IV ) góc có đỉnh bên trong - bên ngồi đờng trịn.
Bài 33 .

Cho  ABC néi tiÕp (O), C¸c tia phân giác của góc A và góc B cắt nhau tại I và cắt (O)
theo thứ tự tại M vµ N

a) Chøng minh : MB =NC; NA = NC
b) Chøng minh : MB = MI = MC.

c) Gọi K là điểm đối xứng với I qua M. CMR: K là tâm đờng tròn bàng tiếp  ABC.
Bài 34 .

Cho (O), đờng kính AB vng góc với dây CD. Qua M thuộc cung AD kẻ tiếp
tuyến với đờng tròn cắt CD tại I. Gọi E là giao điểm của BM và CD.

a) Chøng minh r»ng : IM = IE.

b) Gọi F là giao điểm của AM và CD. Chøng minh r»ng  AFC =  ABM.
Bµi 35 .

Từ một điểm A bên ngoài (O) ta vẽ tiếp tuyến AB và cát tuyến ACD. Vẽ dây BM
vuông góc với tia phân giác của góc BAC, dây này cắt CD tại E. Chứng minh rằng :

a) Tia BM là phân giác của góc CBD.
b) MD2 = ME.MB

Bµi 36 .

Ba điểm A, B, C thuộc (O) sao cho tiếp tuyến tại A cắt tia BC tại D. Tia phân giác

của góc  BAC cắt đờng trịn ở M, tia phân giác của góc D cắt AM ở I. Cmr : DI  AM
Bài 37 .

Cho  ABC cân tại B. Qua B kẻ đờng thẳng xy song song với AC. Gọi O là một
điểm trên xy. Vẽ đờng tròn tâm O tiếp xúc với AC ở D, cắt các cạnh AB và BC ở E và F.
Chứng minh rằng số đo cung EDF không đổi khi O di chuyển trên xy.

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Cho  ABC néi tiÕp (O). Gäi CM, AN, BP lần lợt là các phân giác của ABC
chúng giao nhau tại I. MN cắt AB tại E.

a) BNI là tam giác gì ?
b) CMR: AE.BN = EB.AN
c) CMR: EI // BC.

d) Gäi D lµ giao cđa AN vµ BC. CMR:

AN AB

BN BD

Bµi 39 .

Cho hình thang vuông ABCD ( BC // AD ). Trên AB lấy hai điểm M, N sao cho M,
N nhìn CD dới các góc vuông. CMR: SABCD = SMCD + SNCD

Bµi 40 .

Cho  ABC nội tiếp trong (O). D là điểm chính giữa cung BC. Một đờng tròn thay
đổi đi qua A và D cắt các đờng thẳng AB, BD, AC theo thứ tự E, F, G. Chng minh :

a) D là điểm chính giữa cung EG

b) EF song song với một đờng thẳng cố định.
Bài 41 .

Cho góc nhọn xAy, lấy B và C trên Ax và Ay. Dựng đờng tròn qua B và C cắt Ax tại
P, Ay tại Q sao cho PQ = m ( m là độ dài cho trớc ).

Bài 42 .

Cho (O) và (O) tiếp xúc ngoài tại A. Gäi TT' lµ tiÕp tun chung ngoµi cđa (O) và
(O), T và T là các tiếp điểm tơng ứng của (O) và (O). Đờng thẳng OO cắt (O) tại B
(khác A) và cắt (O) tại C (khác A). BT cắt CT tại D. Cmr : BCD  ATT’

Bµi 43 .

Cho  ABC nhọn ; các chân đờng cao xuất phát từ A, B, C trên các cạnh BC, CA,
AB là D, E, F. Cmr : trực tâm  ABC trùng với tâm dờng tròn nội tiếp  DEF.

Bµi 44 .

Cho  ABC nội tiếp (O). BD và CE là hai đờng cao xuất phát từ B và C. (d) là tiếp
tuyến của (O) tại A. CMR: d // DE

V ) tø gi¸c néi tiÕp. 
Bµi 45 .

Cho ba đờng trịn cùng đi qua điểm P. Gọi các giao điểm còn lại của chúng là A, B,
C. Từ một điểm D trên đờng tròn (PBC) kẻ các tia DB, DC cắt các đờng tròn (PAB) và
(PAC) tại M và N. CMR: M, A, N thẳng hàng.

Bµi 46 .

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

AE , BF cắt nhau tại M. Hai tia AF, BE cắt nhau tại N. Chứng minh rằng :
a) Tứ giác FNEM nội tiếp.

b) Tứ giác CDFE nội tiếp.
Bài 47 .

Cho ABC. Hai đờng cao BE và CF cắt nhau tại H. Gọi D là điểm đối xứng của H qua
trung điểm M của BC.

a) Chứng minh rằng tứ giác ABDC nội tiếp. Tìm tâm O của đờng trịn đó.

b) Đờng thẳng DH cắt (O) tại điểm thứ hai là I. Chứng minh rằng A, I, F, H, E cùng
nằm trên một đờng trịn.

Bµi 48 .

Cho hai đờng trịn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Tia OA cắt (O’) tại C. Tia O’A cắt (O)
tại D. CMR: O, O’, B, C, D cùng nằm trên một ng trũn.

Bài 49 .

Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy một điểm M. Đờng thẳng qua C vuông
góc với CM cắt các tia AB, AD lần lợt tại E và F. Tia CM cắt AD tại N. Cmr :

a) Các tứ giác AMCF và ANEC nội tiếp.
b) CM + CN = EF.

Bµi 50 .

Cho  ABCD nội tiếp nửa đờng trịn đờng kính AD. Hai đờng chéo AC và BD cắt
nhau tại E. Vẽ EF  AD. Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh rằng :

a) C¸c tø gi¸c ABEF, DCEF néi tiÕp.
b) Tia CA là phân giác của góc BCF.
c)* Tứ giác BCMF nội tiếp.

Bài 51 .

Cho (O) và (O) cắt nhau tại M và P. Kẻ dây MA của (O) tiếp xúc với (O) tại M.
Kẻ dây MB cđa (O’) tiÕp xóc víi (O) ë M. Trªn tia MP lÊy H sao cho PH = PM.

CMR: Tø gi¸c MAHB néi tiÕp.

Bài 52 . cho hình thang ABCD nội tiếp trong (O). Các đờng chéo AC, BD cắt nhau
tại

E, các cạnh AD, BC kéo dài cắt nhau tại F. CMR:
a) A, D, O, E cùng nằm trên một đờng tròn.
b) Tứ giác AOCF ni tip.

Bài 53 . cho ABC vuông tại C. Trên AB dựng hình vuông ABMN có tâm I. Chứng
minh rằng : CI là phân giác của góc tạo bởi AC và BC.

Bài 54 .

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Bài 55 .

Hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Một cát tuyến qua A cắt các đờng
tròn này tại M, N. Các tiếp tuyến tại A của (O), (O’) theo thứ tự cắt BN và BM ở P và Q.
Chứng minh PQ // MN.

Bµi 56 .

Cho  ABC đều. Một nửa đờng trịn có tâm O trên cạnh AB, tiếp xúc với AC, BC
tại K và I. Kẻ một tiếp tuyến với nửa đờng tròn cắt các cạnh BC và AC tại M và N. Đoạn
thẳng KI cắt OM và ON tại P, Q. CMR: MN = 2PQ

Bµi 57 .

Cho  ABC vuông tại A. Trên đoạn AB lấy D. Đờng trịn đờng kính BD cắt BC tại
E và CD tại F. Chứng minh rằng :

a) Tø gi¸c ACBF néi tiÕp.

b) D là tâm đờng tròn nội tiếp  AEF.
c) B là tâm đờng tròn bàng tiếp của  AEF.
Bài 58 .

Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại B và C. A là điểm trên (O). AB cắt (O’) tại D,
AC cắt (O’) tại E. AO cắt DE tại H. I là trung điểm của BC.

a) Chøng minh tø gi¸c OIDH néi tiÕp. Suy ra AH  DE.
b) Gäi (d) lµ tiÕp tun cđa (O) tại A. Chứng minh (d) // DE.
Bài 59 .

Cho (O; R) và điểm A ở ngoài (O). Qua A vẽ tiếp tuyến AB của (O), B là tiếp điểm; vẽ cát
tuyến ACD thay đổi cắt (O) tại C và D. Gọi H là hình chiếu của B lên AO.

a) Chứng minh AB2 = AC.AD

b) cho BH cắt CD tại I , J là trung điểm của CD. Cmr : AI.AJ = AH.AO
Bµi 60 .

Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có đờng trung bình bằng một cạnh bên.
Chứng minh ABCD có đờng trịn nội tiếp.

Bµi 61 .

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

VI ) bài tập tổng hợp về đờng trịn 
Bài 62 . (3điểm)

Cho  ABC vng tại A(AB < AC), đường cao AH. Trên đoạn thẳng HC lấy điểm
D sao cho HD = HB. Kẻ CE vng góc với AD (E thuộc đường thẳng AD)

a) Chứng minh tứ giác AHEC nội tiếp.

b) Chứng minh rằng CH là tia phân giác của góc ACE.

c) Tính diện tích hình giới hạn bởi các đoạn thẳng CA, CH và cung nhỏ AH của đ
-êng tròn ngoại tiếp tứ giác AHEC. Biết AC = 6cm, góc ACB bằng 300.

Bµi 63 . (3, 5điểm)

Cho (O ; R) và một dây cung AB cố định không đi qua tâm. M là một điểm trên
cung lớn AB (M khác A và B). Các đường cao AC và BD của  AMB cắt nhau tại H.

a) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp.

b) Chứng minh : MA.MD = MB.MC.

c) Cho điểm M di động trên cung lớn AB. Xác định vị trí của điểm M sao cho diện
tích tam giác AMB lớn nhất.

Bµi 64 . (3, 5điểm)

Cho (O), từ một điểm M tùy ý trên nửa đường tròn (M khác A, B) vẽ tiếp tuyến thứ
ba với nửa đường tròn cắt các tiếp tuyến tại A, B theo thứ tự là H, K.

a) Chứng minh: Tứ giác AHMO nội tiếp.

b) Chứng minh: AH + BK = HK.

c) Chứng minh: HAOAMB và HO.MB = 2R2.

d) Cho MOB 1200, R = 3cm. Tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi hai tiếp

tuyến MK, MB và cung BM.

Bµi 65 . Cho  ABC cân có đáy BC và   200. Trên nửa nặt phẳng bờ AB không

chứa

điểm C lấy điểm D sao cho DA = DB và  D  400. Gọi E là giao điểm của AB và CD

a) Chứng minh ACBD là tứ giác nội tiếp,
b) Tính góc AED.

Bµi 66 .

Cho  ABC cân tại A có cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên nội tiếp (O). Tiếp tuyến tại B
và C của đường tròn cắt tia AC và AB ở D và E. Chứng minh:

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

b) BC song song DE.

Bµi 67 . Cho  ABC cân tại C và nội tiếp (O),  = 370; Vẽ BD //AC (D  (O)).
Tính DC , D , D C



 và C



 .

Bµi 68 . (3, 5đ) Cho đường trịn (O; R). Từ một điểm M ở ngoài (O) sao cho MO =
2R, ta

kẻ hai tiếp tuyến MA và MB (A và B là tiếp điểm). Một cát tuyến bất kỳ qua M cắt
đường tròn tại C và D. Kẻ tia phân giác của CAD cắt dây CD tại E và đường tròn tại N.

Chứng minh tứ giác OAMB nội tiếp được.
Chứng minh MA = ME.

Tính tích số MC.MD theo R.

Bµi 69 . (4,0đ) Cho nửa (O), đường kính BC. Lấy điểm A trên cung BC sao cho AB
< AC

D là trung điểm của OC, từ D kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt AC tại E.
a) Chứng minh tứ giác ABDE nội tiếp được đường tròn, xác định tâm.
b) Chứng minh BAD BED

 

 .

c) Chứng minh CE.CA = CD.CB.

Bµi 70 . (4đ) Cho hình vng ABCD, điểm E thuộc cạnh BC. Qua B kẻ đường thẳng
vng góc với DE, đường thẳng này cắt các đường thẳng DE, DC tại H và K.

a) Chứng minh tứ giác BHCD nội tiếp

b) Tính góc CHK

c) Chứng minh KC.KD = KH.KB

d) Tìm quỹ tích của H.

Bµi 71 . Cho nửa (O; R) đường kính AB, Ax và By là 2 tiếp tuyến với nửa đường

trònù

Lấy điểm C trên tia Ax rồi vẽ tiếp tuyến CE (E là tiếp điểm) cắt By tại D .

a) C/minh : tứ giác OACE nội tiếp

b) C/minh :  COD = 1v

c) C/m  COD và  AEB đồng dạng

d) Cho AE = R . C/minh  DEB đều Tính phần d.tích  DEB nằm ngồi (O)
Bµi 72 . ( 3, 25đ) Cho (O; R ) . Từ S ở ngồi đường trịn vẽ 2 tiếp tuyến SA và SB

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

B là 2 tiếp điểm ) và đường kính AC của (O)
a./ Chứng minh tứ giác SAOB nội tiếp
b./ Chứng minh SO song song với BC .

c./ Cho SO = 2R . Tính diện tích hình quạt trịn AOB ( ứng với cung nhỏ AB)

Bµi 73 .

Từ một điểm T ở ngoài (O ; R) . Vẽ hai tiếp tuyến TA và TB với đ.trịn đó.
a./ C/minh tứ giác OATB nội tiếp

b./ Vẽ đường kính BOC c/minh OT // AC.
c./ Cho OT = 2R .

1. Chứng minh  TAB đều

2. Cho OT cắt cung AB nhỏ tại D .Tính diện tích phần giới hạn bởi nửa đường trịn

đường kính BC và 3 dây cung CA, AD, DB theo R.

Bµi 74 .

Cho (O) và cát tuyến (d) cố định không qua O cắt (O) tại 2 điểm E , F Lấy A bất

kỳ trên (d) (E nằm giữa A, F) vẽ tiếp tuyến AB, AC (B, C là tiếp điểm ) Gọi H là
trung điểm EF

a./ C/minh AO BC

b./ C/m: A , B, O, H , C thuoäc 1 ñ.troøn

c./ BC cắt OA , OH lần lượt tại I và K . C/minh OI.OA = OH.OK = R2 . 
d./ C/minh KE OE  KEOF nội tiếp

Bµi 75 .

Cho (O; R ) 2 đường kính AB và CD vng góc nhau.M thuộc cung AC nhỏ.Từ

D hạ DE MA và DF MB ; MD cắt EF tại I .
a./ C/minh MD là phân giác của góc AMB

b./ C/minh O, I, E thẳng hàng

c./ Khi M chạy trên cung ACB thì I chạy trên đường nào ?

d./ Khi MC là cạnh lục giác đều nội tiếp . Tính d.tích tứ giác MEDF

Bµi 76 . Cho nửa (O; R) đường kính AB và một dây CD . Qua C vẽ đường thẳng

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

a./ C/minh tứ giác AECI và BFCI nội tiếp
b./ Chứng minh CIE CBA 

c./ C/minh IEF vuoâng

d./ Khi CD = R 2. Tiếp tuyến tại C và D của (O) cắt nhau tại S.  ODSC là

hình gì ? Tính chu vi và diện tích đường trịn ngoại tiếp  SC OD
Bµi 77 .

Cho  ABC có Â = 1v . Vẽ đường cao AH và trung tuyến AM . Đường tròn tâm

H bán kính HA cắt AB tại D và AC tại E .
a./ C/minh D , H , E thẳng hàng
b./ C/minh AM DE

c./ C/m tứ giác DBEC nội tiếp. Tâm O? C/minh OHAM là h.bình hành
d./ cho  C = 300 , AH = a . Tính diện tích HEC theo a .

Bµi 78 .

Trên nửa ( O; R ) đ.kính AD lấy điểm B và điểm C sao cho AB = BC = CD .

Qua C vẽ đường thẳng vuơng gĩc với AD tại H. Kéo dài AB cắt tia HC tại T. BD cắt

CH taïi E

a./ C/m tứ giác HDTB nội tiếp.

b./ Tiếp tuyến của nửa ( O; R ) tại B cắt tia HC tại F . C/m  FBE =  FEB
c./ Tiếp tuyến tại D cắt BF tại M . C/minh  MBD đều và M , C , O thẳng hàng

d./ Tính theo R diện tích  TAH

Bµi 79 .

Cho  ABC đều nội tiếp trong (O ; R ) .Vẽ đường kính AOI . Lấy M bất kỳ trên

cung nhoû AB , trên dây MC lấy N sao cho MN = MA ; MC cắt AB tại D .
a./ C/minh BI CI 

b./ C/minh tam giác AMN đều

c./ C/minh AMB = ANC . Tìm vị trí M trên ABnhỏ để MA + MB lớn nhất
d./ Trên tia đối của tia CA lấy điểm F sao cho CF = BD ; DF cắt BC ở K .

C/minh  ADIF nội tiếp và IK DF
Bµi 80 .

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

a) Chứng minh các tứ giác AEDB và CDHE là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh CE.CA = CD. CB và DB.DC = DH.DA.

c) Chứng minh OC vuông góc víi DE.

d) Đờng phân giác trong AN của BAC cắt BC tại N và đờng tròng ( O ) tại K ( K
khác A). Gọi I là tâm đờng tròn ngoại tiếp  CAN. Cmr : KO và CI cắt nhau tại
một điểm thuộc đờng trịn (O)

Bµi 81 . (3ñ)

Cho  ABC nội tiếp (O) . Gọi D là điểm chính giữa cung nhỏ BC ( điểm A

thuộc cung nhỏ BD) . Hai tiếp tuyến tại C và D của (O) cắt nhau tại E. Gọi P là giao
điểm của 2 đường thẳng AB và CD ; Q là giao điểm của 2 đ.thẳng AD vaø CE .

a./ C/m tứ giác CODE và APQC nội tiếp
b./ C/minh QP // BC

Bµi 82 .

Trên đờng trịn (O; R) đờng kính AB lấy hai điểm M, E theo thứ tự A, M, E, B. AM
cắt BE tại C; AE cắt MB tại D.

a) Chứng minh MCED là tứ giác nội tiếp và CD vuông góc với AB.

b) Gọi H là giao điểm cảu CD và AB. Chứng minh rằng BE. BC = BH. BA.

c) Cmr : tiếp tuyến tại M và E của (O) cắt nhau tại 1 điểm nằm trên đờng thẳng CD
Bài 83 .

Cho đờng tròn (O; R) và một điểm S ở ngồi đờng trịn. Vẽ tiếp tuyến SA và SB. Vẽ
đờng thẳng a đi qua S và cắt (O) tại M; N với M nằm giữa S và N. (O  a).

a) Chøng minh SO  AB

b) Gọi H là giao điểm của SO và AB; I là trung điểm của MN. Hai đờng thẳng OI và
AB cắt nhau tại E. Chứng minh :L  ISHE nội tiếp.

c) Chøng minh OI.OE = R2.

d) Cho SO = 2R vµ MN = R 3. TÝnh diÕn tích tam giác ESM theo R.
Bài 84 .

Cho MNP vuông tại M, đờng cao MH ( H trên cạnh NP ). Đờng trịn đờng kính
MH cắt các cạnh MN tại A và cắt cạnh MP tại B.

1. Chứng minh : AB là đờng kính của Đờng trịn đờng kính MH.
2. Chứng minh tứ giác NABP là tứ giác nội tiếp.

3. Từ M kẻ đờng thẳng vng góc với AB cắt cạnh NP tại I. Cmr : IN = IP
Bài 85 .

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

a) Chứng minh 5 điểm A, E, O, I, F năm trên một đờng thẳng.
b) Đờng thẳng FI cắt đờng tròn (O) tại G. Chứng minh : EG//AB
c) Nối EF cắt AC tại K. Chứng minh : AK.AI = AB.AC

Bµi 86 .

Cho tam giác nhọn ABC, đờng cao kẻ từ đỉnh B và đỉnh C cắt nhau tại H và cắt
đ-ờng tròn ngoại tiếp  ABC lần lợt tại E và F.

1. Chứng minh AE = AF

2. Chứng minh A là tâm đờng tròn ngoại tiếp  EFH.
3. Kẻ đờng kính BD . Chứng minh  ADCH là hình bình.
Bài 87 .

Cho  PQR (

¿
P

❑

= 900 ) nội tiếp (O), kẻ đờng kính PD.
1. Chứng minh tứ giác PQDR là hình chữ nhật .

2. Gọi M và N thứ tự là hình chiếu vng góc của Q, R trên PD. PH là đờng cao của
tam giác ( H trên cạnh QR ) . Chứng minh HM vng góc với cạnh PR.

3. Xác định tâm của đờng tròn ngoại tiếp tam giác MHN.

4. Gọi bán kính đờng tròn nội, ngoại tiếp  PQR là r và R . Cmr : r + R
√PQ. PR

Bµi 88 .

Cho  ABC vuông tại C. O là trung điểm của AB và D  AB ( D  A, O, B ) . Gọi
I và J thứ tự là tâm đờng tròn ngoại tiếp  ACD và  BCD.

1. Chøng minh OI // BC

2. Chứng minh 4 điểm I, J, O, D nằm trên một đờng trũn.

3. Chứng minh rằng CD là phân giác của góc ACB khi vµ chØ khi OI = OJ.
Bµi 89 .

Cho đờng trịn tâm O và M là điểm ở ngồi đờng tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến MA, MB (
A, B là tiếp điểm ) và một cát tuyến cắt đờng tròn tại C, D.

1. Gọi I là trung điểm của CD. Cmr : 4 điểm A, B, O, I nằm trên một đờng tròn.
2. AB cắt CD tại E. Chng MA2 = ME.MI

3. Giả sử AD = a và C là trung điểm của MD. Tính đoạn AC theo a.
Bµi 90 .

Cho điểm A ở bên ngồi đờng trịn tâm O. Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đờng
trịn(B, C là tiếp tuyến). M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC (M ≠ B, M ≠ C). Gọi D, E, F
tơng ứng là hình chiếu vng góc của M trên các đờng thẳng AB, AC, BC; H là giao điểm
của MB và DF ; K là giao điểm của MC và EF.

1. Chøng minh:

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

2. Tìm vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MD.ME lớn nhất.
Bài 91 .

Cho hình vuôngABCD, M là một điểm trên đờng chéo BD, gọi H, I và K lần lợt là
hình chiếu vng góc của M trên AB, BC, AD.

1. Chøng minh tam gi¸c MIC b»ng tam gi¸c HMK.
2. Chøng minh CM vu«ng gãc víi HK.

3. Xác định vị trí của M để diện tích của tam giác CHK đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 92 .

Cho hai đờng tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại M và N, tiếp tuyến chung với hai đờng
trịn (O1) và (O2) về phía nửa mặt phẳng bờ O1O2 chứa điểm N, có tiếp điểm thứ tự là A và
B. Qua M kẻ cát tuyến song song với AB cắt đờng tròn (O1), (O2) thứ tự tại C, D. Đờng
thẳng CA và đờng thẳng DB cắt nhau tại I.

1. Chøng minh IM vu«ng gãc với CD.

2. Chứng minh tứ giác IANB là tứ giác néi tiÕp.

3. Chứng minh đờng thẳng MNđi qua trung điểm của AB.
Bài 93 .

Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Dựng đờng trịn đờng kính AB, BC,
gọi D và E thứ tự là hai tiếp điểm của tiếp tuyến chung với đờng trịn đờng kính AB và
BC, và M là giao điểm của AD vi CE.

1. Chứng minh tứ giác ADEC là tứ gi¸c néi tiÕp.

2. Chứng minh MB là tiếp tuyến của hai đờng trịn đờng kính AB và BC

3. Kẻ đờng kính DK của đờng trịn đờng kính AB. Chứng minh K, B, E thng
hng.

Bài 94 .

Cho tam giác vuông MNP (góc M = 900). Từ N dựng đoạn thẳng NQ về phía tam
giác MNP sao cho NP = NQ và gãc MNP = gãc PNQ, vµ gäi I lµ trung điểm của PQ, MI
cắt NP tại E.

1.Chứng minh góc PMI và góc QNP bằng nhau.
2. Chứng minh tam giác MNE là tam giác cân.
3. Chứng minh MN.PQ = NP.ME

Bài 95 .

Cho nửa đờng trịn đờng kính AB. Lấy điểm D tuỳ ý trên nửa đờng tròn (D ≠ A và
D ≠ B). Dựng hình bình hành ABCD. Từ D kẻ DM vng góc với đờng thẳng AC tại M và

từ B kẻ BN vng góc với đờng thẳng AC tại N.

a) Chứng minh bốn điểm D, M, B, C nằm trên một đờng tròn.
b) Chứng minh AD.ND = BN.DC

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Cho  ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AD. Hai đờng chéo AC, BD cắt nhau tại
E. Hình chiếu vng góc của E trên AD là F. Đờng thẳng CF cắt đờng tròn tại điểm thứ
hai là M. Giao điểm của BD và CF là N. Chứng minh:

a) CEFD néi tiÕp.

b) Tia FA lµ tia phân giác của góc BFM
c) BE.DN = EN.BD

Bài 97 .

Cho đờng trịn (O) đờng kính AB. Một dây CD cắt AB tại H. Tiếp tuyến tại B của
đ-ờng tròn (O) cắt các tia AC, AD lần lợt tại M và N.

1. Chứng minh tam giác ACB đồng dạng với tam giác ABM.

2. Các tiếp tuyến tại C và D của đờng tròn (O) cắt MN lần lợt tại E và F. Chứng
minh EF = MN/2

3. Xác định vị trí của dây CD để tam giác AMN là tam giác đều.
Bài 98 .

Cho đờng tròn (O) và một đờng thẳng a khơng có điểm chung với (O). Từ một điểm
A thuộc đờng thẳng a, kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đờng tròn (O) (B, C  (O)). Từ O
kẻ OH  a tại H. Dây BC cắt OA tại D và cắt OH tại E.

1. Chứng minh từ giác ABOC nội tiếp đợc trong một đờng tròn.
2. Gọi R là bán kính đờng trịn (O). Chứng minh OH.OE = R2

3. Khi A di chuyển trên đờng thẳng a, Cmr : BC luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 99 .

Cho tam giác ABC cân tại A, có góc BAC = 450, nội tiếp đờng trịn (O ; R). Tia AO 
cắt đờng tròn (O; R) tại D khác A. Lấy điểm M trên cung nhỏ AB (M khác A, B). Dây
MD cắt dây BC tại I. Trên tia đối của tia MC lấy điểm E sao cho ME = MB. Đờng trịn
tâm D bán kính DC cắt MC tại điểm thứ hai K.

1. Chøng minh r»ng:

a. BE song song víi DM.
b.  DCKI lµ tø giác nội tiếp.

2. Không dùng máy tính hoặc bảng lợng giác, hÃy tính theo R thể tích của hình do
tam giác ACD quay một vòng quanh cạnh AC sinh ra.

Bi 100 . Cho (O) đờng kính AB = 2R, C là trung điểm của OA và dây MN  OA ti
C.

Gọi K là điểm tuỳ ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK và MN.
1. Chøng minh  BCHK néi tiÕp.

2. TÝnh tÝch AH.AK theo R.
Bµi 101 .

Cho hình thoi ABCD , có góc A = 600, M là một điểm trên cạnh BC, đờng thẳng AM

cắt cạnh DC kéo dài tại N.

1. Chứng minh đẳng thức: AD2 = BM.DN.

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

3. Khi hình thoi ABCD cố định. Chứng minh rằng điểm E năm trên cung tròn cố
định khi điểm M thay đổi trên cạnh BC.

Bµi 102 .

Cho đờng trịn ( 0 ), AB là dây cố định của đờng trịn khơng đi qua tâm. M là một
điểm trên cung lớn AB sao cho  MAB là tam giác nhọn. Gọi D và C thứ tự là điểm chính
giữa của cung nhỏ MA, MB, đờng thẳng AC cắt đờng thẳng BD tại I, đờng thẳng CD cắt
cạnh MA và MB thứ tự tại P, Q.

1. Chøng minh tam gi¸c BCI là tam giác cân.
2. Chứng minh tứ giác BCQI là tø gi¸c néi tiÕp
3. Chøng minh QI = MP

4. Đờng thẳng MI cắt đờng tròn tại N, khi M chuyển động trên cung lớn AB thì trung
điểm của MN chuyển động trên đờng nào ?

Bµi 103 . Cho tam giác vuông cân ABC ( AB = AC ), trên cạnh BC lấy điểm M. Gọi
(O1)

l tõm ng tròn tâm 01qua M và tiếp xúc với AB tại B, gọi ( O2 ) là tâm đờng tròn tâm O2
đi qua M và tiếp xúc với AC tại C. Đờng tròn ( O1) và ( O2 ) cắt nhau tại D ( D M )

1. CMR tam giác BDC là tam giác vuông

2. Chng ming 01D là tiếp tuyến của đờng tròn tâm ( O2 )

3. B01 cắt C02 tại E. Chứng minh 5 điểm A, B, D, E, C năm trên một đờng tròn.
4. Xác định vị trí của M sao cho đoạn thẳng O102 là ngắn nhất.

Bµi 104 . Cho  ABC ( AC > AB,

¿
A

❑
¿

= 900 ). Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp  ABC,
các

tiếp điểm của đờng tròn nội tiếp với các cạnh AB, BC, AC lần lợt tại M, N, P.
1. Chứng minh tứ giác AMIP là hình vng.

2. Đờng thẳng AI cắt PN tại D. Chứng minh 5 điểm M, B, N, D, I nằm trên một đờng
trịn.

3. Cho BI vµ CI kÐo dµi cắt AC, AB lần lợt tại E và F. Cmr : BE. CF = 2 BI . CI

Bµi 105 . Từ A nằm ngoài (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ANM ®ến (O).
Gọi E

là trung điểm của MN .Đường thẳng CE cắt (O) tại I.

a) Chứng minh: 5 điểm A, B, O, E, C cùng thuộc một đường trịn có tâm là S.
b) Chứng minh: góc AOC = góc BIC.

c) Xác định vị trí cát tuyến ANM sao cho tổng AM + AN lớn nhất ?
Bµi 106 .

Cho đờng trịn tâm O đờng kính AB. Trên đờng trịn (O) lấy điểm C (C khơng trùng
với A, B và CA > CB). Các tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại A, tại C cắt nhau ở điểm D, kẻ
CH vng góc với AB ( H thuộc AB), DO cắt AC tại E.

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

2) Đờng thẳng CD cắt đờng thẳng AB tại F. Chứng minh 2BCF CFB 90   0.
3) BD cắt CH tại M . Chứng minh EM//AB.

Bµi 107 .

Cho các đường cao hạ từ A và B của Δ ABC cắt nhau tại H ( góc ACB 900 )

và cắt đường tròn ngoại tiếp Δ ABC lần lượt tại D và E.
a) Chứng minh : CD = CE.

b) Chứng minh Δ BHD cân và CD = CH.

c) AD cắt BC tại M. Gọi N và F là các hình chiếu của D trên AB và AC.
Chứng minh 3 điểm N; M; F thẳng hàng.

Bµi 108 .

Cho Δ ABC ( AB < AC) nội tiếp trong (O; R), đường cao AD kéo dài cắt (O) tại
E. Trên ®oạn DA lấy H sao cho DH = DE. Tia BH cắt AC tại K; cắt (O) tại F

a) Chứng minh : Tứ giác CDHK và  ABDK nội tiếp được đường tròn.
b) Chứng minh: KD // EF và H là trực tâm của Δ ABC

c) Chứng minh: BM.AB + CK.AC = BC2.
d) Cho biết DK = 12AB .Tính DK theo R.

Bµi 109 . Cho (O; R) đường kính AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E. Từ E vẽ
tiếp

tuyến EM với (O) ( M là tiếp điểm). Vẽ các tiếp tuyến tại A ; B cắt EM lần lượt tại C; D.
a) Chứng minh : AC + BD = CD và góc COD = 900.

b) Chứng minh: AC.BD = R2.

c) Vẽ MH AB vµ đường kính MON của (O). EN cắt (O) tại F .
Cmr:  MHFE nội tiếp.

d) Cho AD cắt BF tại K. Tính AK.AN + BK.BF theo R.

Bµi 110 . Cho ∆ABC có 3 góc nhọn .Vẽ (O) đường kính BC cắt AB tại E và cắt AC
tại F.

a/BF, CE và đường cao AK của  ABC đồng quy tại H
b/C/m : BH.HF = HC.HE

c/Chứng tỏ 4 điểm : B; K; H; E cùng nằm trên một đường trịn từ đó suy ra EC là
phân giác của  KEF

Bµi 111 .

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

a) Chứng minh: AB.AC = AH.AD

b) Đường thẳng AH cắt (O) tại E. Gọi K là điểm đối xứng của E qua BC.
c) Chứng minh: K là trực tâm của Δ ABC.

d) Hai đường thẳng CK và AB cắt nhau tại M. Hai đường thẳng BK và AC cắt nhau
tại N. Chứng minh hai đường thẳng AD MN.

e) Cho góc BAC = 450 . Chu7ng1 minh 5 điểm B, M, O, N, C cùng thuộc một đường

trịn có tâm là I. Tính diện tích hình phẳng giới hạn dây MN và cung MN của ( I )
theo R.

Bµi 112 .

Cho (O; 2R) và và (O’; R) tiếp xúc ngoài tại I. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài AB của
(O) và (O’) trong đó ( B (O) và A (O’). Tiếp tuyến chung trong tại I cắt AB tại M.

a) Chứng minh : các tam giác O’MO và AIB là các tam giác vuông.

b) OM cắt BI tại E ; O’M cắt AI tại F. Chứng minh:  EMFI là hình chữ nhật.
c) Chứng minh: OEFO’ nội tiếp.

d) Cho AB = 8cm . Tính diện tích tam giác MEF.
Bµi 113 .

Cho  ABC nhọn .Đường trịn tâm O đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại F và
E; BE cắt CF tại H.

a) C/m: tứ giác AEHF nội tiếp.Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác này.

b) C/m: OI EF.

c) AH cắt BC tại D và cắt (O) tại M ; N . Chứng minh: HM .HN = HD . HA

d) Cho góc ABC = 600 , góc ACB = 750 và BC = 4 cm. Tính diện tích hình phẳng giới

hạn bởi IE, IF và cung nhỏ EF của (O).
Bµi 114 .

Cho  ABCD nội tiếp (O; R) có AB là đường kính, hai đường chéo AC và DB cắt
nhau tại I. Dựng IK AB tại K.

a) C/m:  ADIK và  BCIK nội tiếp. Xác định tâm E và tâm F của các đường tròn
ngoại tiếp hai tứ giác trên.

b) C/m: KI là phân giác của  DKC  I là tâm của đường tròn ngoại tiếp Δ DKC.
c) C/ m: DEKC nội tiếp.

d) C/m: ba đường thẳng AD, IK, BC đồng quy tại 1 điểm.
Bµi 115 .

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

a) C/m: OM BC.

b) Dựng đường cao AH của Δ ABC. Cmr: AM là tia phân giác của góc OAH.
c) Từ H kẻ đường thẳng song song với tiếp tuyến tại C của (O) cắt AC tại I. Chứng

minh: BI là đường cao của  ABC.
d) C/m: AD2 = AB.AC – DB . DC.

Bµi 116 . Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R. kẻ tiếp tuyến Ax với nửa đường

tròn .C là một điểm trên nửa đường tròn sao cho cung AC bằng cung CB .Trên cung
AC lấy điểm D tuỳ ý (D khác A và C).các tia BC, BD cắt Ax lần lượt tại E và F.

a/ C.m ∆BAE vuông cân

b/C/m tứ giác ECDF nội tiếp

c/ Cho C đi động trên nửa đường tròn (C khác A và B ) và D di động trên cung
AC (D khác A và C) . Cmr : BC.BE + BD.BF có giá trị khơng đổi

Bµi 117 . Cho nửa (O) đường kính BC = 2a và một điểm A nằm trên nửa đường tròn
sao

cho AB = a, M là điểm trên cung nhỏ AC , BM cắt AC tại I.Tia BA cắt CM tại D.
a/ C/m ∆AOB đều

b/ AIMD nội tiếp đường tròn , xác định tâm K của đường trịn ngoại tiếp tứ giác đó
c/ Tính ADI

d/ Cho ABM = 450 . Tính độ dài cung AI và diện tích hình quạt AKI của đường trịn

tâm K theo a

Bµi 118 . (3 đ) C h o đường trịn (O) đường kính AB. Vẽ dây CD vng góc với
đường

kính AB tại H. Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ CB, I là giao điểm của CB và OM.
a. Chứng minh: MA là tia phân giác CMD

b. Chứng minh: Bốn điểm O, H, C, I cùng nằm trên một đường trịn.

c. Cmr :Đường vng góc vẽ từ M đến AC cũng là tiếp tuyến của (O) tại M.

Bµi 119 . Cho  ABC có AB = AC các đường cao AG; BE; CF gặp nhau tại H.
a. Cmr :  AEHF nội tiếp. Xác định tâm I của đường trịn ngoại tiếp tứ giác đó.
b. Chứng minh: GE là tiếp tuyến của (I).

c. Chứng minh: AH.BE = AF.BC.

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Bài 120 . (3 điểm) Cho ng trịn tâm O đường kính AB. Trên đường trịn lấy 
điểm D

khác A và B. Trên đường kính AB lấy điểm C và kẻ CH  AD tại H. Đường phân
giác trong của  DAB cắt đường tròn tại E và cắt CH tại F, đường thẳng DF cắt
đường tròn tại N. Chứng minh rằng:

a)  ANF =  ACF

b) Tứ giác AFCN là tứ giác nội tiếp đường tròn.
c) Ba điểm C, N, E thẳng hàng.

Bài 121 . Cho  ABC ( Â = 1v ), đờng cao AH. Đờng trịn đờng kính AH cắt các cạnh
AB, AC lần lợt tại E và F.

a. CM: AEHF là hình chữ nhật.
b. CM: EFCB nội tiếp.

c. Đờng thẳng qua A vuông góc với EF cắt BC tại I. Cmr : I là trung ®iĨm cđa BC.
d. CMR: NÕu S ABC = 2. S AEHF thì ABC vuông cân.

Bi 122 . Cho  ABC ( AB > AC ) nội tiếp (O). Vẽ đờng phân giác của Â cắt (O) tại
M.

Nối OM cắt BC tại I.

1. Chứng minh tam giác BMC c©n.
2. Chøng minh: gãc BMA < gãc AMC.

3. Chøng minh: gãc ABC + gãc ACB = gãc BMC.

4. §êng cao AH và BP của tam giác ABC cắt nhau tại Q. Chứng minh OH // AH.
5. Trên AH lấy ®iĨm D sao cho AD = MO. Tø gi¸c OMDA là hình gì?

6. Chứng minh AM là phân giác của góc OAH.

7. OM kéo dài cắt (O) tại N. Vẽ OE vu«ng gãc víi NC. Chøng minh OE=1

2MB .
8. Chứng minh  OICE nội tiếp. Xác định tâm của đờng tròn ngoại tiếp  OICE.
9. Chứng minh các tứ giác ABHP và QPCH nội tiếp.

10. Tõ C vÏ tiÕp tuyến của (O) cắt BM tại K. Cmr: CM là phân giác của BCK.
11. So sánh các góc KMC vµ KCB víi gãc A.

12. Từ B vẽ đờng thẳng song song với OM cắt CM tại S. Chứng minh  BMS cân
13. Chứng minh góc S = góc EOI – góc MOC.

14. Chøng minh gãc SBC = gãc NCM.
15. Chøng minh gãc ABF = gãc AON.

16. Tõ A kỴ AF // BC, F thuéc (O). Chøng minh BF = CA

Bài 123 . Cho  ABC có ba góc nhọn. Đờng trịn tâm O đờng kính BC cắt AB, AC theo
thứ tự tại D, E. Gọi I là giao điểm của BE và CD.

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

2. Chøng minh gãc IDE = gãc IAE.
3. Chøng minh : AE . EC = BE . EI.

4. Cho góc BAC = 600 . Chứng minh tam giác DOE đều.

Bµi 124 . Cho  ABC nhän néi tiÕp (O). §êng cao AH cđa tam giác ABC cắt (O) tại
D ,

AO kéo dài cắt (O) tại E.

a. Chứng minh tứ giác BDEC là hình thang cân.

b.Gọi M là điểm chính giữa của cung DE, OM cắt BC tại I. Chứng minh I là trung
điểm của BC.

c. Tính bán kính của (O) biết BC = 24 cm vµ IM = 8 cm.

Bài 125 . Trên nửa (O) đờng kính AB lấy hai điểm M và N sao cho các cung AM,
MN,

NB bằng nhau. Gọi P là giao điểm của AM và BN, H là giao điểm của AN với BM.
a) CMR: AMNB là hình thang cân.

b) CMR: PH AB. Từ đó suy ra P, H, O thẳng hàng.
c) CMR: ON là tiếp tuyến của đờng trịn đờng kính PH.

Bài 126 . Tứ giác ABCD nội tiếp đờng trịn đờng kính AC ( AB > BC ; AD > CD ). Gọi
E là giao điểm của AB và CD, F là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng:

a) EF  AC

b) DA . DF = DC . DE
c) Tø gi¸c BDFE néi tiÕp.

Bài 127 . Cho  ABC vuông cân tại A ( AB > AC ), đờng cao AH. Vẽ đờng tròn tâm I
đờng kính BH cắt AB tại E, đờng trịn tâm K đờng kính CH cắt AC tại F.

a) Tø gi¸c AEHF là hình gì?

b) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp.
c) Chøng minh AE . AB = AF . AC.

d) Chømg minh EF lµ tiÕp tun chung cđa (O) vµ (I).

e) Gọi Ax là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp  ABC. Chứng minh Ax // EF.
Bài 128 .

Cho (O, R) , dây cung AB < 2R. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. Kẻ
hai dây MC, MD lần lợt cắt AB tại E và F. CMR:

a) Tam giác MAE và MCA đồng dạng.
b) ME . MC = MF . MD.

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

d) Khi AB=R√3 thì tam giác OAM đều.
Bài 129 .

Cho (O) và (O’) có bán kính R và R’ ( R > R’) tiếp xúc ngoài tại C. Gọi AC và BC
là hai đờng kính đi qua C của (O) và (O’). DE là dây cung của (O) vng góc với AB tại
trung điểm của M của AB. Gọi giao điểm thứ hai của đờng thẳng DC với (O’) là F.

a) Tứ giác AEBD là hình gì?

b) Chứng minh rằng ba điểm B, E, F thẳng hàng.

c) Chứng minh tứ giác MDBF néi tiÕp.

d) DB cắt (O’) tại G. Chứng minh DF, EG, AB đồng qui.

e) Chøng minh MF=1

2DE vµ MF lµ tiÕp tun cđa (O’).

Bµi 130 .

Cho  ABC vuông cân tại A. Điểm D thuộc AB. Qua B vẽ đờng thẳng vng góc
với CD tại H, đờng thẳng BH cắt CA tại E.

a) Chøng minh tø gi¸c AHBC néi tiÕp.

b) TÝnh gãc AHE.

c) Chứng minh tam giác EAH và EBC đồng dạng.

d) Chøng minh AD = AE.

e) Khi điểm D di chuyển trên cạnh AB thì điểm H di chuyển trên đờng nào?
Bài 131 .

Cho đờng trịn tâm O đờng kính BC, điểm A thuộc (O). Vẽ bán kính OK // BA ( K
và A nằm cùng phía đối với BC ). Tiếp tuyến với (O) tại C cắt OK tại I.

a) Chøng minh IA lµ tiÕp tun cđa (O)

b) Chøng minh CK lµ tia phân giác của góc ACI

c) Cho BC = 30 cm; AB = 18 cm. Tính OI, CI.
Bài 132 .

Cho đoạn thẳng AB và O là trung điểm của AB. Vẽ vỊ cïng phÝa víi AB c¸c tia
Ax, By cïng vuông góc với AB. Các điểm M, N theo thứ tự di chuyển trên Ax và By sao
cho góc MON = 900. Gọi I là trung điểm của MN. Chøng minh r»ng :

a) AB lµ tiÕp tun cđa (I ; IO)

b) MO là tia phân giác của góc AMN

c) MN là tiếp tuyến của đờng trịn đờng kính AB

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Cho (O; R) và (O’; r)tiếp xúc ngoài tại A. Gọi BC là tiếp tuyến chung ngoài của hai
đờng tròn ( B thuộc (O); C thuộc (O’) ). Tiếp tuyến chung trong của hai đờng tròn tại A
cắt BC tại M.

a) Chứng minh A, B, C thuộc đờng trịn tâm M.

b) Đờng thẳng OO’ có vị trí tơng đối gì với (M) nói trên?

c) Xác định tâm đờng tròn đi qua ba điểm O, O’, M.

d) Chứng minh BC là tiếp tuyến của đờng tròn đi qua ba điểm O, O’, M.
Bài 134 .

Cho (O) và (O’)tiếp xúcngồi tại A. Đờng thẳng Ơ’ cắt (O) và (O’) theo thứ tự tạu
B và C ( khác A ). Gọi DE là tiếp tuyến chung ngoài của hai đờng tròn ( D thuộc (O); E
thuộc (O’)) . M là giao điểm của BD và CE. Chứng minh rằng :

a) Góc DME là góc vuông.

b) MA l tip tuyn chung của hai đờng tròn.

c) MD . MB = ME . MC.
Bµi 135 .

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O), đờng cao BD, CE , M là trung điểm
của BC.

a) Chøng minh tø gi¸c BCDE néi tiÕp.

b) Chứng minh các tam giác ADE và ABC đồng dạng .

c) KỴ tiÕp tun Ax víi (O) . Chøng minh Ax // DE.

d) Chứng minh rằng nếu góc BAC = 600 thì tam giác DME là tam giác đều.
Bài 136 .

Cho (O) và điểm A nằm bên ngoài (O). Vẽ các tiếp tuyến AB và AC , cát tuyến

ADE. Gọi H là trung điểm của DE.

a) Chứng minh tứ giác BHOC nội tiếp.

b) Chứng minh HA là tia phân giác của góc BHA.

c) Gọi I là giao điểm của BC vµ DE. Chøng minh : AB2 = AI . AH.

d) Cho BH cắt (O) tại K . Chứng minh AE // CK.
Bµi 137 .

Từ một điểm A ở bên ngồi đờng trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến
AMN của đờng trịn đó. Gọi I là trung điểm của dây MN.

a) Chứng minh 5 điểm A, B, I, O, C cùng nằm trên một đờng trịn.

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Bµi 138 .

Cho (O), đờng trịn AB. Vẽ tiếp tuyến xBy. Gọi C, D là hai điểm di động trên hai
nửa mặt phẳng bờ AB đối nhau. Tia AC cắt Bx tại M, tia AD cắt By tại N.

a) Chứng minh các tam giác ACD và AMN đồng dạng.

b) Tø gi¸c MNDC néi tiÕp.

c) Chứng minh AC . AM = AD . AN và tích này không đổi khi C, D di động.
Bài 139 . Xét nửa đờng trịn (O), đờng kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa
đờng tròn. kẻ tiếp tuyến Ax và dây AC bất kỳ. Tia phân giác của góc Cax cắt nửa đờng
trịn tại D, các tia AD và BC cắt nhau tại E.

a) Chøng minh tam giác ABE cân tại B.

b) Các dây AC và BD cắt nhau tại K. Chứng minh EK AB.

c) Tia BD cắt tia Ax tại F. Chứng minh tứ giác AKEF là hình thoi.

Bi 140 . Cho ABC nội tiếp đờng tròn tâm O , tia phân giác trong của góc A cắt BC
tại

E và cắt đờng tròn tại M .

a) CMR OM  BC

b) Dựng tia phân giác ngồi Ax của góc A . CMR Ax đi qua một điểm cố định

c) Kéo dài Ax cắt CB kéo dài tại F . CMR FB . EC = FC . EB

Bµi 141 . Cho  ABC nhän néi tiÕp (O), H là trực tâm của tam giác ABC, M là một
điểm

trên cung BC không chứa điểm A.

a) Xỏc định vị trí của M để tứ giác BHCM là hình bình hành.

b) Gọi N và E lần lợt là các điểm đối xứng của M qua AB và AC. Chứng minh ba
điểm N. H , E thẳng hàng.

c) Xác định vị trí của M để NE có độ dài lớn nhất.

Bài 142 . Cho nửa lục giác đều ABCD nội tiếp trong nửa đờng tròn (O ; R). Hai tip

tuyn

tại B và D cắt nhau tại T.

a) Chøng minh r»ng OT // AB.

b) Chøng minh ba ®iĨm O, C, T thẳng hàng.

c) Tính chu vi và diện tÝch  TBD theo R.

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Cho đờng tròn tâm O, đờng kính AC. Trên đoạn OC lấy một điểm B và vẽ đờng
trịn tâm O’ đờng kính BC. Gọi M là trung điểm của AB. Từ M kẻ dây cung DE vng
góc với AB, DC cắt (O’) tại I.

a) Tứ giác ADBE là hình gì ? tại sao?

b) Chøng minh BI // AD.

c) Chøng minh ba ®iĨm I, B, E thẳng hàng và MD = MI.

d) Xỏc nh và giải thích vị trí tơng đối của đờng thẳng MI với (O’).

Bài 144 . Cho nửa đờng trịn (O) đờng kính AB, bán kính OC vng góc với AB. Gọi
M là một điểm di động trên cung BC ( M ≠ B, M ≠ C). AM cắt OC tại N.

a) Chứng minh rằng tích AM . AN không đổi.

b) VÏ CD  AM . Chøng minh các tứ giác MNOB và AODC nội tiếp.

c) Xỏc nh vị trí của điểm M trên cung BC để tam giác COD cân tại D.

Bµi 145 . Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Tia phân giác của góc A cắt BC tại D, cắt
(O)

ti E. Tip tuyến của đờng tròn tại A cắt đờng thẳng BC tại M.

a) Chøng minh MA = MD.

b) Gọi I là điểm đối xứng với D qua M, gọi F là giao điểm của IA với (O).
Chứng minh E, O, F thng hng.

Bài 146 . Cho tam giác ABC vuông tại A.

a) Nêu cách dựng (O) qua A và tiếp xúc với BC tại B. Nêu cách dựng (O) qua tiÕp
xóc víi BC t¹i C.

b) Hai đờng trịn (O) và (O’) ở vị trí tơng đối nào?

c) Gäi M lµ trung điểm của BC. Cmr : AM là tiếp tuyến chung cđa (O) vµ (O’).

d) Cho AB = 36cm, AC = 48 cm. Tính độ dài BC và các bán kính của (O) , (O’).
Bài 147 .

Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng (O) đờng kính
MC. Đờng thẳng BM cắt (O) tại D. Đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) tại S.

a) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp. CA là tia phân giác của góc SCB.

b) Gi E l giao im của BC với (O) . Cmr: 3 đờng thẳng BA, EM, CD ng qui

c) Chứng minh DM là phân gi¸c cđa gãc ADE.

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Cho (O, R) và (O’, r) tiếp xúc ngoài tại M ( R > r ). Đ ờng thẳng OO’ cắt (O) tại C,
cắt (O’) tại D . Tiếp tuyến chung ngoài AB ( A∈(O), B∈(O ') ) cắt đòng thẳng OO’ tại
H. Tiếp tuyến chung của hai đờng tròn ở M cắt AB ti I.

a) Chứng minh các tam giác OIO và AMB là các tam giác vuông.

b) Chứng minh AB=2R.r

c) Tia AM cắt (O) tại A, tia BM cắt (O) tại B. Chứng minh ba điểm A, O, B và
A , O , B thẳng hàng và CD2 = BB2 + AA’2.

d) Gọi N và N’ lần lợt là giao điểm của AM với OI và BM với O’I. Tính độ dài các
đoạn thẳng MI, AB, OI, O’I, OH, O’H theo R và r.

Bµi 149 .

Cho (O) đờng kính AB, một điểm C ( khác A, B ) nằm trên đờng tròn . Tiếp tuyến
Cx của (O) cắt tia AB tại I. Phân giác góc CIA cắt OC tại O’.

a) Chứng minh (O’, O’C) vừa tiếp xúc với (O) vừa tiếp xúc với đờng thẳng AB.

b) Gäi D, E theo thứ tự là giao điểm thứ hai của CA, CB với (O).
Chứng minh D, O, E thẳng hàng .

c) Tìm vị trí của C sao cho đờng trịn ngoại tiếp tam giác OCI tiếp xúc với AC.
Bài 150 .

Cho nửa đờng trịn đờng kính AB = 2R. Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đờng tròn. C và D

là hai điểm di động trên nửa đờng tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lợt tại E và F ( F nằm
giữa B và E ).

a) Chứng minh hai tam giác ABF và BDF đồng dạng.

b) Chøng minh tø gi¸c CEFD néi tiÕp.

c) Khi D và C di động trên nửa đờng tròn , Cmr :AC. AE = AD . AF = hằng số
Bài 151 .

Cho (O). Vẽ hai dây AB và CD vng góc tại M ở bên trong (O). Từ A vẽ một đờng
thẳng vng góc với BC tại H, cắt CD tại E. F là điểm đối xứng của C qua AB. Tia AF cắt
tia BD tại K. Chứng minh rằng:

a) Gãc MAH = gãc MCB.

b) Tam giác ADE cân.

c) Tứ giác AHBK nội tiếp.
Bài 152 .

Cho đoạn thẳng AB và C là một điểm nằm giữa A và B. Ngời ta kẻ trên cùng một
nửa mặt phẳng bờ AB hai tia Ax và By vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy một điểm I. Tia
Cz  CI tại C và cắt By tại K. Đờng trịn đờng kính IC cắt IK tại P. Chứng minh:

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

b) AI.BK = AC.CB.

c)  APB vu«ng.

d) Giả sử A, B, I cố định. Xác định vị trí điểm C sao cho diện tích hình thang

vng ABKI lớn nhất.

Bµi 153 .

Cho (O) và một điểm A nằm ngoài (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến
AMN với (O). (B, C, M, N cùng thuộc (O); AM < AN). Gọi E là trung điểm của dây MN,
I là giao điểm thứ hai của đờng thẳng CE với (O).

a) Chứng minh bốn điểm A, O, E, C cùng nằm trên một đờng tròn.

b) Chøng minh gãc AOC = gãc BIC

c) Chøng minh BI//MN.

d) Xác định ví trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất.
Bài 154 .

Cho tam giác ABC vuông ở A (AB < AC), đờng cao AH. Trên đoạn thẳng HC lấy D
sao cho HD = HB. Vẽ CE vng góc với AD (EAD).

a) Chøng minh tø gi¸c AHCE néi tiÕp.

b) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đờng trịn ngoại tiếp  AHCE.

c) Chøng minh CH lµ tia phân giác của góc ACE.

d) Tính diện tích hình giới hạn bởi các đoạn thẳng CA, CH và cung nhỏ AH của
đ-ờng tròn nói trên biết AC = 6cm; gãc ACB = 30o.

Bµi 155 .

Cho  ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng trịn tâm O . Các đờng cao AD , BK cắt
nhau tại H , BK kéo dài cắt đờng trong tại F . Vẽ ng kớnh BOE .

a) Tứ giác AFEC là hình gì ? Tại sao ?

b) Gọi I là trung điểm của AC , chøng minh H , I , E th¼ng hµng

c) CMR OI = BH

2 và H ; F đối xứng nhau qua AC

Bài 156 . Cho (O) có đờng kính BC. Gọi A là một điểm thuộc cung BC (cung AB <
AC)

D  OC. Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC ở E, cắt tia BA ở F.

a) Chứng minh tứ giác ADCF nội tiếp.

b) Gọi M là trung điểm của EF. Chøng minh: gãc AME = 2 gãc ACB.

c) Chøng minh AM lµ tiÕp tun cđa (O).

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Bài 157 . Cho đờng trịn (O) đờng kính AB = 2R và một điểm M di chuyển trên nửa
đờng tròn. Ngời ta vẽ đờng tròn tâm E tiếp xúc với (O) tại M và tiếp xúc với AB tại N.
Đ-ờng tròn này cắt MA, MB lần lợt tại các điểm thứ hai C, D.

a) Chøng minh CD//AB.

b) Chứng minh MN là tia phân giác của góc AMB và đờng thẳng MN đi qua một

điểm K cố định.

c) Chứng minh tích KM.KN cố định.

d) Gọi giao điểm của các tia CN, DN với KB, KA lần lợt là C', D'. Tìm vị trí của M
để chu vi  NC'D' đạt GTNN.

Bµi 158 .

Cho một đờng trịn đờng kính AB, các điểm C, D ở trên đờng tròn sao cho C,
D không nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD > AC. Gọi các điểm
chính giữa các cung AC, AD lần lợt là M, N. Giao điểm của MN với AC, AD lần lợt là H,
I. Giao điểm của MD với CN là K.

a) CM: NKD và MAK cân.

b) CM: t giỏc MCKH nội tiếp đợc. Suy ra KH//AD

c) So s¸nh c¸c gãc CAK víi gãc DAK.

d) Tìm một hệ thức giữa số đo AC, số đo AD là điều kiện cần và đủ để AK//ND.
Bài 159 .

Cho (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm A và tiếp tuyến chung Ax. Một
đ-ờng thẳng d tiếp xúc với (O1), (O2) lần lợt tại B, C và cắt Ax tại điểm M. Kẻ các đờng kính
BO1D, CO2E.

a) Chøng minh M lµ trung điểm BC.

b) Chứng minh O1MO2 vuông.

c) Chứng minh B, A, E thẳng hàng; C, A, D thẳng hàng.

d) Gi I là trung điểm của DE. Cmr : đờng tròn ngoại tiếp  IO1O2 tiếp xúc với d.
Bài 160 .

Cho hai đờng trịn tâm O và O’ có R > R’ tiếp xúc ngoài tại C . Kẻ các đờng kính
COA và CO’B. Qua trung điểm M của AB , dng DE AB.

a) Tứ giác ADBE là hình gì ? T¹i sao ?

b) Nối D với C cắt đờng tròn tâm O’ tại F . CMR ba điểm B , F , E thẳng hàng

c) Nối D với B cắt đờng tròn tâm O’ tại G . CMR : EC đi qua G

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Cho nửa đờng trịn đờng kính COD = 2R . Dựng Cx , Dy  CD . Từ điểm E bất kì
trên nửa đờng tròn , dựng tiếp tuyến với đờng tròn , cắt Cx tại P , cắt Dy tại Q.

a) Chứng minh  POQ vuông ;  POQ đồng dạng với  CED

b) TÝnh tÝch CP.DQ theo R

c) Khi PC = R

2 . CMR

ΔPOQ
ΔCED=

Bµi 162 .

Cho đờng trịn tâm O bán kính R có hai đờng kính AOB , COD vng góc với
nhau. Lấy điểm E bất kì trên OA , nối CE cắt đờng tròn tại F . Qua F dựng tiếp tuyến Fx
với đờng tròn , qua E dựng Ey vng góc với OA . Gọi I là giao điểm của Fx và Ey .

a) Chứng minh I, F, E, O cùng nằm trên một đờng trũn.

b) Tứ giác CEIO là hình gì ?

c) Khi E chuyển động trên AB thì I chuyển động trên đờng nào ?
Bài 163 .

Cho đờng tròn tâm O và một điểm A trên đờng tròn . Qua A dựng tiếp tuyến Ax .
Trên Ax lấy một điểm Q bất kì , dựng tiếp tuyến QB .

a) CMR tứ giác QBOA nội tiếp đợc

b) Gọi E là trung điểm của QO , tìm quỹ tích của E khi Q chuyển động trên Ax.

c) H¹ BK  Ax , BK cắt QO tại H . CMR OBHA là hình thoi
Bµi 164 .

Cho (O, R) và (O’, R’ ) (với R > R’ ) tiếp xúc trong tại A . Đờng nối tâm cắt đờng
tròn O’ và đờng tròn O tại B và C . Qua trung điểm P của BC dựng dây MN  BC . Nối A
với M cắt đờng trịn O’ tại E .

a) So s¸nh  AMO víi  NMC

b) Chøng minh N , B , E thẳng hàng và OP = R ; OP = R’

c) Xét vị trí của PE với đờng tròn tâm O’
Bài 165 .

Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB . Lấy B làm tâm vẽ đờng trịn bán kính OB .
Đ-ờng trịn này cắt đĐ-ờng trịn O ti C v D

a) Tứ giác ODBC là hình gì ? Tại sao ?

b) CMR OC AD ; OD  AC

c) CMR trực tâm của tam giác CDB nằm trên đờng tròn tâm B
Bài 166 .

Cho đờng tròn tâm O và một đờng thẳng d cắt đờng trịn đó tại hai điểm cố định A
và B . Từ một điểm M bất kì trên đờng thẳng d nằm ngoài đoạn AB ngời ta kẻ hai tiếp
tuyến với đờng tròn là MP và MQ ( P, Q là các tiếp điểm ) .

a) TÝnh c¸c gãc cđa ΔMPQ biÕt r»ng gãc gi÷a hai tiÕp tuyÕn MP vµ MQ lµ 45

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

b) Gäi I là trung điểm AB . CMR 5 điểm M , P , Q , O , I cïng n»m trªn một đ ờng
tròn .

Bài 167 . Cho ABC ( AB = AC ,  A < 900 ), một cung tròn BC nằm trong ABC 
và

tip xúc với AB , AC tại B và C . Trên cung BC lấy điểm M rồi hạ các đờng vng góc MI
, MH , MK xuống các cạnh tơng ứng BC , CA , AB . Gọi P là giao điểm của MB , IK và Q

là giao điểm của MC , IH.

a) CMR các tứ giác BIMK , CIMH nội tiếp đợc

b) CMR tia đối của tia MI là phân giác  HMK

c) CMR tứ giác MPIQ nội tiếp đợc . Suy ra PQ  BC

Bµi 168 . Cho  ABC ( AC > AB ; B^A C > 900 ) . I , K theo thứ tự là các trung 
điểm của

AB , AC . Các đờng trịn đờng kính AB , AC cắt nhau tại điểm thứ hai D ; tia BA cắt đờng
tròn (K) tại điểm thứ hai E ; tia CA cắt đờng tròn (I) tại điểm thứ hai F.

a) CMR ba ®iĨm B , C , D thẳng hàng

b) CMR t giỏc BFEC ni tip đợc

c) Chứng minh ba đờng thẳng AD , BF , CE đồng quy

d) Gọi H là giao điểm thứ hai của tia DF với đờng tròn ngoại tiếp  AEF . Hãy so
sánh độ dài các đoạn thẳng DH , DE .

Bài 169 . Cho đờng tròn (O; R) và điểm A với OA = R√2 , một đờng thẳng (d) quay
quanh A cắt (O) tại M , N ; gọi I là trung điểm của đoạn MN .

a) CMR OI  MN. Suy ra I di chuyển trên một cung tròn cố định với hai điểm giới
hạn B , C thuộc (O)

b) Tính theo R độ dài AB , AC . Suy ra A , O , B , C là bốn đỉnh của hình vuụng

c) Tính diện tích của phần mặt phẳng giới hạn bởi đoạn AB , AC và cung nhỏ BC
của (O)

Bài 170 . Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R , C là trung điểm của cung AB . Trên
cung AC lấy điểm F bất kì . Trên dây BF lấy điểm E sao cho BE = AF.

a)  AFC vµ  BEC cã quan hệ với nhau nh thế nào ? Tại sao ?

b) CMR FEC vuông cân

c) Gi D l giao im của đờng thẳng AC với tiếp tuyến tại B của nửa đờng tròn
CMR tứ giác BECD nội tiếp đợc

Bài 171 . Cho đờng tròn (O; R) và hai đờng kính AB , CD vng góc với nhau . E là
một điểm bất kì trên cung nhỏ BD ( E ≠ B ; E ≠ D ) . EC cắt AB ở M , EA cắt CD ở N.

a) CMR  AMC đồng dạng  ANC .

b) CMR : AM.CN = 2R2

c) Gi¶ sö AM = 3MB . TÝnh tØ sè CN
ND

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

hai điểm chính giữa các cungAM , MB ; gọi Q là trung điểm của dây MB , K là giao điểm
của AM , HI.

a) Tớnh ln góc HKM

b) Vẽ IP  AM tại P , CMR IP tiếp xúc với đờng trịn (O)

c) Dựng hình bình hành APQR . Tìm tập hợp các điểm R khi M di động trên nửa
đờng tròn (O) đờng kính AB

Bài 173 . Gọi O là trung điểm cạnh BC của  ABC đều . Vẽ góc xOy = 600 sao cho tia
Ox,

Oy cắt cạnh AB , AC lần lợt tại M, N .

a) CMR OBM đồng dạng  NCO , từ đó suy ra BC2 = 4 BM.CN

b) CMR : MO, NO theo thứ tự là tia phân giác các góc BMN, MNC .

c) CMR đờng thẳng MN luôn tiếp xúc với một đờng trịn cố định , khi góc xOy
quay xung quanh O sao cho các tia Ox, Oy vẫn cắt các cạnh AB, AC của tam
giác đều ABC

Bài 174 . Cho M là điểm bất kì trên nửa đờng trịn tâm (O) đờng kính AB = 2R
Bài 175 . ( M ≠ A , B ). Vẽ các tiếp tuyến Ax , By , Mz của nửa đờng trịn đó . Đờng

Mz cắt Ax , By lần lợt tại N và P . Đờng thẳng AM cắt By tại C và đờng thẳng BM
cắt Ax tại D . Chứng minh :

a) Tứ giác AOMN nội tiếp đờng trịn và NP = AN + BP

b) N vµ P lần lợt là trung điểm các đoạn thẳng AD vµ BC

c) AD.BC = 4R2

d) Xác định vị trí M để t giác ABCD có diện tích nhỏ nhất

Bài 176 .

Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đờng tâm (O) và I là điểm chính giữa cung AB
(cung AB không chứa C và D ). Dây ID , IC cắt AB lần lợt tại M và N .

a) CMR tứ giác DMNC nội tiếp trong đờng tròn

b) IC và AD cắt nhau tại E ; ID và BC cắt nhau tại F . CMR EF // AB

Bi 177 . Cho đờng trịn tâm (O) đờng kính AC . Trên đoạn OC lấy điểm B ( B ≠ C )
và

vẽ đờng tròn tâm (O’) đờng kính BC . Gọi M là trung điểm của đoạn AB . Qua M kẻ dây 
cung DE vng góc với AB , DC cắt đờng tròn (O’) tại I .

a) Tứ giác ADBE là hình gì ? Tại sao ?

b) Chøng minh ba ®iĨm I , B , E thẳng hàng

c) CMR: MI l tip tuyn ca ng trũn (O’) và MI2 = MB.MC
Bài 178 .

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

a) Chøng minh : CD // AB .

b) Chứng minh MN là tia phân giác của góc AMB và đờng thẳng MN luôn đi qua
một điểm K cố định.

c) CMR : KM.KN khơng đổi
Bài 179 .

Cho đờng trịn đờng kính AB, các điểm C, D ở trên đờng tròn sao cho C, D
không nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD > AC. Gọi các điểm chính
giữa các cung AC, AD lần lợt là M, N; giao điểm của MN với AC, AD lần lợt là H, I; giao
điểm của MD với CN là K

b) CMR tứ giác MCKH nội tiếp đợc . Suy ra KH // AD

c) So sánh góc CAK với góc DAK
Bài 180 .

Cho ba điểm A , B , C trên một đờng thẳng theo thứ tự ấy và đờng thẳng (d)
vng góc với AC tại A . Vẽ đờng trịn đờng kính BC và trên đó lấy điểm M bất kì . Tia
CM cắt đờng thẳng d tại D ; tia AM cắt đờng tròn tại điểm thứ hai N ; tia DB cắt đờng
tròn tại điểm thứ hai P.

a) CMR tứ giác ABMD nội tiếp đợc CMR : CM.CD khơng phụ thuộc vị trí của M

b) Tứ giác APND là hình gì ? Tại sao ?

c) Cmr : trọng tâm G của  MAC chạy trên một đờng tròn cố định khi M di động
Bài 181 .

Cho nửa đờng trịn tâm O đờng kính AB . Một điểm M nằm trên cung AB ; gọi H là
điểm chính giữa của cung AM . Tia BH cắt AM tại một điểm I và cắt tiếp tuyến tại A của
(O) tại điểm K . Các tia AH ; BM cắt nhau tại S .

a)  BAS là tam giác gì ? Tại sao ? Suy ra điểm S nằm trên một đờng tròn cố định

b) Xác định vị trí tong đối của đờng thẳng KS với đờng tròn (B; BA)

c) Đờng tròn đi qua B , I , S cắt đờng tròn (B; BA) tại một điểm N . CMR đờng
thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên cung AB.

d) Xác định vị trí của M sao cho MK A=^ 900 .
Bài 182 .

Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đờng trịn và P là điểm chính giữa của cung
AB không chứa C và D . Hai dây PC và PD lần lợt cắt dây AB tại E và F . Các dây AD và
PC kéo dài cắt nhau tại I ; các dây BC và PD kéo dài cắt nhau tại K . CMR:

a) Gãc CID b»ng gãc CKD

b) Tứ giác CDFE nội tiếp đợc

c) IK // AB

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

Bài 183 . Cho hai đờng trịn (O1) và (O2) tiếp xúc ngồi với nhau tại A , kẻ tiếp tuyến
chung Ax. Một đờng thẳng d tiếp xúc với (O1) , (O2) lần lợt tại các điểm B , C và cắt Ax
tại điểm M . Kẻ các đờng kính BO1D và CO2E.

a) CMR: M là trung điểm của BC

b) CMR: O1MO2 vu«ng

c) Chøng minh B , A , E thẳng hàng ; C , A , D thẳng hàng

d) Gọi I là trung điểm của DE . Cmr : đờng tròn ngoại tiếp  IO1O2 tiếp xúc với
đ-ờng thẳng d

Bài 184 . Cho (O; R) trên đó có một dây AB = R √2 cố định và một điểm M di động
trên

cung lớn AB sao cho tam giác MAB có ba góc nhọn . Gọi H là trực tâm của tam giác
MAB ; P , Q lần lợt là các giao điểm thứ hai của các đờng thẳng AH , BH với đờng tròn
(O) ; S là giao điểm của các đờng thẳng PB , QA.

a) CMR : PQ là đờng kính ca ng trũn (O)

b) Tứ giác AMBS là hình gì ? Tại sao ?

c) Chng minh di SH không đổi

d) Gọi I là giao điểm của các đờng thẳng SH , PQ . Chứng minh I chạy trên một
đ-ờng trịn cố định.

Bµi 185 .

Cho đờng trịn (O; R) đờng kính AB , kẻ tiếp tuyến Ax và trên đó lấy điểm P sao
cho AP > R . Kẻ tiếp tuyến PM (M là tiếp điểm ) .

a) CMR : BM // OP

b) Đờngthẳng vuông gócvới AB tại O cắt tia BM tại N . Tứ giác OBNP là hình gì ?
Tại sao ?

c) Gọi K là giao điểm của AN với OP ; I là giao ®iĨm cđa ON víi PM ; J lµ giao
®iĨm cđa PN víi OM . CMR : K , I , J thẳng hàng

d) Xỏc nh v trớ ca P sao cho K nằm trên đờng tròn (O)
Bài 186 .

Cho (O; R) , hai đờng kính AB và CD vng góc nhau . Trong đoạn thẳng AB lấy
điểm M ( khác điểm O ) , đờng thẳng CM cắt đờng trịn (O) tại điểm thứ hai N . Đờng
thẳng vng góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N với (O) ở điểm P .

a) CMR tứ giác OMNP ni tip c

b) Tứ giác CMPO là hình gì ? T¹i sao ?

c) CMR : CM.CN khơng đổi

d) CMR : khi M di động trên đoạn AB thì P chạy trên mộtđờng thẳng cố định
Bài 187 .

Cho nửa đờng trịn đờng kính AB = 2R và một điểm M bất kỳ trên nửa đờng
tròn ( M khác A và B ) . Đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn tại M và cắt đờng trung
trực của đoạn AB tại I . Đờng tròn (I) tiếp xúc với AB cắt đờng thẳng d tại C và D ( D nằm
trong góc BOM ).

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

b) CMR : CA và DB vuông góc với AB

c) CMR : ΔAMB đồng dạng ΔCOD

d) CMR : AC.BD = R2
Bµi 188 .

Cho nửa (O) đờng kính AB và hai điểm C , D thuộc nửa đờng tròn sao cho cung AC
< 900 và CO D^

=900 . Gọi M là một điểm trên nửa đờng trịn sao cho C là điểm chính
chính giữa cung AM . Các dây AM , BM cắt OC , OD lần lợt tại E và F .

a)  OEMF là hình gì ? Tại sao ?

b) CMR : D là điểm chính giữa của cung MB.

c) Mt ng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn tại M và cắt các tia OC , OD lần lợt
tại I , K . CMR các tứ giác OBKM ; OAIM nội tiếp đợc.

d) Giả sử tia AM cắt tia BD tại S . Xác định vị trí của C và D sao cho 5 điểm M , O ,
B , K , S cùng thuộc một đờng trịn

Bµi 189 .

Cho hai đờng tròn (O) , (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B . Các đờng thẳng AO , AO’
cắt đờng tròn (O) lần lợt tại các điểm thứ hai C , D và cắt đờng tròn (O’) lần lợt tại các
điểm thứ hai E , F .

a) CMR: B , F , C th¼ng hµng

b) Tứ giác CDEF nội tiếp đợc

c) Chứng minh A là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BDE

d) Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của các đờng tròn (O) , (O’)
Bài 190 .

Cho  ABC(AB = AC ), một cung tròn BC nằm bên trong  ABC và tiếp xúc với

AB , AC tại B , C sao cho A và tâm của cung BC nằm khác phía đối với BC . Trên cung
BC lấy một điểm M rồi kẻ các đờng vng góc MI , MH , MK xuống các cạnh tơng ứng
BC , CA , AB . Gọi giao điểm của BM , IK là P ; giao điểm của CM , IH là Q.

a) CMR các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp đợc .

b) CMR : MI2 = MH . MK

c) CMR tứ giác IPMQ nội tiếp đợc . Suy ra PQ MI

d) CMR nÕu KI = KB th× IH = IC

LUYỆN TẬP ø VỊ TIẾP TUYẾN
Bµi 191 .

Cho (O, R) đường kính AB, tiếp tuyến Bx, trên Bx lấy BM = R, kẻ tiếp tuyÕn
MC, AM cắt (O) tại E.

a) Chứng minh: OCMB là hình vng

b) Chứng minh:MA.ME = R2

c) Chứng minh: Δ CME ~ Δ AMC

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

Bµi 192 .

Cho (O, R) đường kính BC, kẻ dây AD vng góc OB tại trung điểm của OB >
Vẽ BM, CN là tiếp tuyến của (A) (M và N là tiếp điểm).

a) Chứng minh:OBAC là hình thoi.

b) Chứng minh:BM + NC = BC.

c) Chứng minh:M, A, N thẳng hàng.

d) Tính SBMNC theo R

Bµi 193 .

Cho nửa(O) đường kính AB, C thuộc (O), kẻ OH vng góc BC, OH cắt tiếp
tuyến tại B ở E. Gọi D là giao điểm của OE với (O), M là giao điểm của AD với BC.

a) Chứng minh: AC B^ =A^B E và H là trung điểm của BC.
b) Chứng minh: AD là phân giác của C^A B .

c) Chứng minh: EC là tiếp tuyến của (O).

d) AD cắt BE tại I, IH cắt BD tại K. Chứng minh: KH.BI = IK.BH

Bµi 194 .

Cho AB và AC là 2 tiếp tuyến của(O, R) . Kẻ đường kính CM, kẻ OH vng
góc BC tại H, AM cắt (O) tại N.

a) Chứng minh: AB C^ =AC B^

b) Chứng minh: O, H, A thẳng hàng.

c) Chứng minh: AB2 = AM.AN.

d) Chứng minh: A^H N=A^M O .

e) Bieát OA = 3R. Tính BC và SAOM theo R.

Bµi 195 .

Cho (O) đường kính AB, kẻ bán kính OI vng góc BC tại H, gọi M là giao
điểm của BC và AI. Vẽ (I) bán kính IB, AC cắt (I) tại K.

a) Chứng minh: H là trung điểm của BC.
b) Chứng minh: AI là phân giác của C^A B .

c) Chứng minh: B, I, K thẳng hàng.

d) Gọi E là trung điểm của AM, chứng minh: CE là tiếp tuyến của (I)

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

Cho (O, R) đường kính AB, Trên tiếp tuyến tại A lấy AD = 2R, trên (O) lấy
điểm C sao cho AD = DC . vẽ (I) đường kính OA cắt AC tại M.

a) Chứng minh: hai đường tròn tâm O và I tiếp xúc.

b) Chứng minh: OM // BC và 3 điểm O, M, D thẳng hàng.
c) Chứng minh: DC là tiếp tuyến của (O).

d) Kẻ AI // OC ( I thuộc AD). Chứng minh: AOCI là hình thoi và tính SAOCI
theo R.

Bµi 197 . Cho (O, R) đường kính AB, tiếp tuyến Ax, trên Ax lấy điểm M sao cho
OM =

2R, kẻ tiếp tuyến MC, kẻ CH  AB và OK  AC. Tiếp tuyến tại B cắt AC tại D
a) Chứng minh: O, K, M thẳng hàng.

b) Chứng minh: AC.AD = 4R2 .

c) Kẻ CE vng góc AM cắt OM tại P. Chứng minh: OCPA là hình thoi.

d) Gọi I làtrung điểm của CH, AI cắt BD tại N. Chứng minh: CN là tiếp tuyến
của(O).

Bµi 198 .

Cho (O) đờng kính AB, dãy AC < CB.Tia phãn giaực AOC^ caột tieỏp tuyeỏn ụỷ A
taùi M, keỷ CH vuoõng goực AB.

a) Chứng minh: MC là tiếp tuyến của (O).

b) Chứng minh: OM // BC.

c) OM.CH = MC.BC

d) Gọi I là giao điểm của CH và MB. Chứng minh: I là trung điểm của CH.

Bµi 199 .

Cho (O) đường kính AB, lấy C thuộc (O), kẻ bán kính OI // AC , BI cắt AC tại
D, AI cắt tiếp tuyến ở B tại O’. Vẽ (O’) bán kính O’B .

a) Chứng minh: O’B2 = O’A.O’I

b) Chứng minh:AO’ là phân giác D^A B .
c) Chứng minh: AD là tiếp tuyến của (O’).

d) Kẻ dây cung EF của (O’) đi qua I. Chứng minh: IE.AF = IF.AE

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

Cho (O) đường kính AB, dây cung AD > DB, kéo dài AD một đoạn DM = AD.
BM cắt (O) tại C, gọi H là giao điểm của AC và BD.

a) Chứng minh:AB = BM.

b) Chứng minh: AH.BC = HC.AB.

c) Chứng minh:MH vng góc AB tại I.

d) Chứng minh: AC.AH + BH.BD = 4R2 .

e) Gọi K là trung điểm MH. Chứng minh: DK là tiếp tuyến của(O).

Bµi 201 .

Cho Δ ABC có 3 góc nhọn , vẽ (O) đường kính BC cắt AB và AC tại M và

N. Gọi H là giao điểm của BN và CM.

a) Chứng minh: AH vng góc BC tại D.

b) Chứng minh: 4 điểm B, M, H, D cùng thuộc 1 đường tròn, xác định tâm K
của đường tròn này.

c) Chứng minh: AH.AD + BH.BN = AB2 .

</div>

201 BAI TOAN HINH CHON LOC THI VAO THPT

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về