Laplace Tranform in Mathematica

ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG
NGÔN NGỮ LẬP TRÌNH HÌNH THỨC
MATHEMATICA 5.1
Tác giả: Đào Anh Pha

 DẪN NHẬP

PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE

♦
Phép biến đổi Laplace
♦
Phép biến đổi Laplace ngược
♦
Một số định lý cơ bản của phép biến đổi Laplace
♦
Phép biến đổi Laplace trên hàm bậc thang Heaveside


BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG NGÔN NGỮ HÌNH THỨC MATHEMATICA
5.1

♦
Phép biến đổi Laplace
♦
Phép biến đổi Laplace ngược


 ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
♦
Giải phương trình vi phân

♦
Giải hệ phương trình vi phân hệ số hằng
♦
Giải phương trình vi phân có vế phải là hàm bậc thang

 KẾT LUẬN

[ 1 ]
MỤC LỤC
DẪN NHẬP 4
1. PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 4
1.1 ĐỊNH NGHĨA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLCE 4

1.1.1 Định nghĩa 1 4

1.1.2 Định nghĩa 2 4

1.1.3 Thí dụ 4

1.2 ĐỊNH NGHĨA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC 5

1.2.1 Định nghĩa 5

1.3 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 5

1.3.1 Biến đổi của một tổ hợp tuyến tính 5

1.3.2 Biến đổi của e
-at
f(t) 5

1.3.3 Biến đổi của u(t-τ)f(t-τ) 6

1.3.4 Định lý kết hợp (Convolution theorem) 6

1.3.5 Biến đổi của đạo hàm 7

1.3.6 Biến đổi của tích phân 7

1.3.7 Biến đổi của tf(t) 7

1.4 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TRÊN HÀM BẬC THANG HEAVESIDE 10

1.4.1 Định nghĩa 10

1.4.1.1Định nghĩa 1 10

1.4.1.2 Định nghĩa 2 10

1.4.1.3 Định nghĩa 3 10

1.4.1.4 Thí dụ 10

1.4.2 Biến đổi Laplace 11

1.4.2.1 Hàm bậc thang Heaveside 11

1.4.2.2Hàm tịnh tuyến bậc thang Heaveside 11

1.4.2.3 Hàm khoảng bậc thang Heaveside 11

1.4.2.4 Thí dụ 11

1.4.3 Biến đổi Laplace ngược hàm Heaveside 12

2. BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG NGÔN NGỮ HÌNH THỨC MATHEMATICA 5.1 13
2.1 MỘT SỐ HÀM CƠN BẢN TRONG NGÔN NGỮ HÌNH THỨC MATHEMATICA 13

2.2 BIẾN ĐỔI LAPLACE 14

2.2.1 Biến đổi Laplace 14

2.2.2 Biến đổi Laplace ngược 14

3. ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 15
3.1 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 15

3.1.1 Giải phương trình vi phân thường 15

[ 2 ]
3.1.1.1 Phương pháp chung 15

3.1.1.2 Module cài đặt 15

3.1.1.3 Một số thí dụ được giải bằng chương trình 17

3.1.2 Giải phương trình vi phân có vế phải là hàm bậc thang 20

3.1.2.1 Phương pháp chung 20

3.1.2.2 Một số thí dụ 21

3.2 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HỆ SỐ HẰNG 23

3.2.1 Phương pháp chung 23

3.2.2 Module cài đặt 23

3.2.3 Một số thí dụ được giải bằng chương trình 28

KẾT LUẬN 31
TÀI LIỆU THAM KHẢO 32




[ 3 ]
D
ẪN
N
HẬP
Ứng dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình, hệ phương vi phân là
một ứng dụng hiệu quả và được rất nhiều người sử dụng. Phương pháp này được sử
dụng nhiều trong các ngành khoa học kỹ thuật đặc biệt là lĩnh vực vật lý. Bên cạnh
việc sử dụng phương pháp này người ta sử dụng thêm các công cụ hỗ trợ cho việc
tính toán nhanh chóng và hiệu quả. Ở đây, chúng ta s
ử dụng ngôn ngữ lập trình hình
thức Mathematica 5.1 để cài đặt các phương pháp nhằm mô tả việc giải phương
trình và hệ phương trình vi phân. Đây là một công cụ khá mạnh giúp chúng ta thực
hiện nhanh chóng và nhẹ nhàn. Tuy nhiên, việc cài đặt các Module cũng khá phức

tạp. Sau đây, chúng ta nghiên cứu cơ sở lý thuyết và cài đặt cho phương pháp này.
1
.
PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
1.1 ĐỊNH NGHĨA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLCE
1.1.1 Định nghĩa 1

Ta gọi hàm phức tùy ý
của biến thực t là hàm gốc thoả mãn 3 điều kiện sau:
)(tf
1) f(t) và các đạo hàm cấp cao của nó liên tục trên toàn trục t trừ những điểm
gián đoạn loại một mà số điểm hữu hạn trong mỗi khoảng hữu hạn.
2) Tăng không quá nhanh
0
S
0
0, 0, , ( ) .
t
M StftMe∃> ≥∀ ≤
, S
0
được gọi là mũ
tăng của hàm
.
)(tf
3)
=0 khi t<0.
)(tf
1.1.2 Định nghĩa 2

Hàm F(p) của biến phức
p uiv= +
xác định bởi:

(1)
0
() ()
pt
Fp e ftdt
∞
−
=
∫
được gọi là hàm ảnh của
.
)(tf
Ký hiệu:

[ ]
() ( )Lft Fp=

hoặc
)(tf
F(p) hay F(p)
)(tf
1.1.3 Thí dụ
a) Tìm biến đổi Laplace của hàm nấc đơn vị
[]
0
0

1,0
()
0,0
11
()
pt pt
t
t
t
Lt edt e
pp
η
η
∞
∞
−−
≥
⎧
=
⎨
<
⎩
==−
∫
=

b) Tìm biến đổi Laplace của
()
at
f te=

() ()
00
0
11
at at pt p a t p a t
Le e e dt e dt e
pa pa
∞
∞∞
−−− −−
⎡⎤
== =− =
⎣⎦
− −
∫∫

[ 4 ]
1.2 ĐỊNH NGHĨA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC
1.2.1 Định nghĩa

Phép biến đổi Laplace ngược được định nghĩa

[]
1
1
() ( ) ( )
2
ai
pt

ai
f tLFp eFpd
i
π
+∞
−
−∞
==
∫
p
(2)
Đây là tích phân đường, lấy dọc theo đường thẳng đứng p=a, từ
đến
i

i−∞ ∞

Do tính duy nhất của phép biến đổi Laplace, ta không sử dụng định nghĩa (2)
để xác định f(t) mà ta thường dùng kết quả của những cặp biến đổi để xác định f(t)
khi đã có F(p).

1.3 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
1.3.1 Biến đổi của một tổ hợp tuyến tính
Cho hai hàm
và g(t) với các hằng số k. F(s) và G(s) lần lượt là biến đổi Laplace
của f(t) và g(t). Ta có:
)(
tf
1)

L[ +g(t)] = F(p) + G(p)
)(
tf
2)

L[k ]= kF(p)
)(
tf
Hai tính chất trên tương đương với:
L[af(t)+bg(t)] = aF(p) + bG(p). (3)
Thí dụ:
Tìm biến đổi Laplace của cosat và sinat.
Từ công thức Euler
ee
cos = , sin
22
iat iat iat iat
ee
at at
i
−−
+−
=

Ta có:

[]
22
e111
cos

22
iat iat
ep
LatL
pia pia
pa
−
⎡⎤
⎡⎤
+
==+=
⎢⎥
⎢⎥
−+
+
⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦

[]
22
e111
cos
22
iat iat
ea
LatL
iipiapia
pa
−

⎡⎤
⎡⎤
−
==−=
⎢⎥
⎢⎥
−+
+
⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦

1.3.2 Biến đổi của e
-at
f(t)


()
00
[ ()] () () ( )
at at pt a p t
L eft eftedt fte dtFpa
∞∞
−−− −+
===
∫∫
+
(4)

Khi hàm f(t) nhân với e

-at
, biến đổi Laplace tương ứng e
-at
f(t) có được bằng
cách thay F(p) bởi F(a+p).

[ 5 ]
Thí dụ:
Tìm biến đổi Laplace của và
cos
mt
ea
−
t tsin
mt
ea
−
()
2
2
cos ( )
mt
pm
Le at Fp m
p ma
−
+
⎡⎤
=+=
⎣⎦

++

()
2
2
sin ( )
mt
a
Le at Fp m
p ma
−
⎡⎤
=+=
⎣⎦
++

1.3.3 Biến đổi của u(t-τ)f(t-τ)

Nếu
[() ()] ( )
L ut f t F p
=
với u(t) là bước nhảy đơn vị thì với mọi T>0 ta có:
0
[()()] ()()
pt
L ut f t ut f t e dt
ττ ττ
∞
−

−−= −−
∫

Đổi biến số:
x t
τ
=−

()
00
[( ) ( )] () ()
px p px
L ut f t f xe dx e f xe dx
ττ
ττ
∞∞
−+ − −
−−= =
∫∫



(5)
[( ) ( )] ( )
p
Lut f t e F p
τ
ττ
−
−−=

Thí dụ:
Tìm biến đổi Laplace của
3
() ( 2)
t
ft e ut
−
= −



3( 2) 6 6 3( 2)
() ( 2) ( 2)
tt
ft e ut e e ut
−−− −−−
=−= −
Vì
3
1
()
3
t
Le ut
p
−
⎡⎤
=
⎣⎦
+

Nên

()
2
32
2
36
(2)
3
(2)
3
p
t
p
t
e
Le ut
p
e
Le ut e
p
−
−−
−
−−
⎡⎤
−=
⎢⎥
⎣⎦

+
⎡⎤
−=
⎣⎦
+

1.3.4 Định lý kết hợp
(Convolution theorem)

Đây là định lý dùng để tìm biến đổi ngược y(t) của tích 2 hàm F(p)và G(p)

1
0
() [ ( ) ( )] ( ) ( )
t
yt L G pF p g f t d
τ ττ
−
=−
∫
(6)
Tích phân trong biểu thức được goik là kết hợp hai hàm f(t) và g(t). Ký hiệu:

0
()* () ( ) ( )
t
gt f t g f t d
τ ττ
=−
∫

(7)

Thí dụ:
Tìm kết hợp 2 hàm e
-t
và e
-2t
.
Sử dụng (7) ta có
()
2
2
0
2
0
22
0
*
t
t
tt
t
t
t
tt
ee ee d
eed
ee e e
τ
τ

τ
τ
τ
τ
−−
−− −
−
t
− −−
=
=
==−
∫
∫

[ 6 ]
1.3.5 Biến đổi của đạo hàm

♦
Đạo hàm cấp 1


0
()
()
pt
df t d
L fte dt
dt dt
∞

−
=
∫

Lấy tích phân từng phần
Đặt:

() ()
pt pt
u e du pe dt
dv df t v f t
−−
=⇒=−
=⇒=

0
0
()
() ()
ptp
df t
t
L eft pfted
dt
∞
∞
−−
=+
∫
t

Vì
li
nên
m ( ) 0
pt
t
eft
−
→∞
=

()
() (0)
df t
LpFpf
dt
= −+
(8)
♦
Đạo hàm cấp 2


2
2'
2
()
() (0) (0)
df t
LpFppff

dt
= −+−+
(9)
♦
Đạo hàm cấp n


1
()
( ) ( 0) ... ( 0)
n
nn n
n
df t
LpFppf f
dt
− 1−
= −+−−+
(10)
1.3.6 Biến đổi của tích phân

000
() [ () ]
t
pt
Lftdt ftdte
∞∞
−
⎡⎤
=

⎢⎥
⎣⎦
∫∫∫
dt

Đặt:
0
() ()
1
t
pt pt
uftdtduft
dv e dt v e
p
−−
=⇒=
=⇒=−
∫

000
0
1
() () ()
pt
t
pt
e
L f tdt f tdt f te dt
pp
∞

−
∞∞
−
⎡⎤
=− +
⎢⎥
⎣⎦
∫∫∫

Khi
và
0
pt
te
−
→∞⇒ →
0
0
() 0
t
t
ftdt
=
=
∫
nên số hạng thứ nhất của vế phải triệt tiêu.
Vậy
0
1
() ( )

t
Lftdt Fs
p
⎡⎤
=
⎢⎥
⎣⎦
∫
(11)

1.3.7 Biến đổi của tf(t)

Lấy đạo hàm hệ thức (1), đồng thời hoán chuyển các toán tử lấy đạo hàm và
tích phân, ta được:
00
()
() ()
pt pt
dF p d
f t e dt tf t e dt
dp dp
∞∞
−−
⎡⎤⎡
==−
⎣⎦⎣
∫∫
⎤
⎦

[ 7 ]
Vậy:
()
[()]
dF p
Ltf t
dp
=−
(12)
Thí dụ:
Tìm biến đổi Laplace của hàm
( )
tu t
và
costat

()
2
1
() () ( )
11
ft t Fp
p
d
Lt t
dp p p
η
η
=⇒ =
=− =⎡⎤

⎣⎦


() ( )
[]
()
22
22
2
22
22
cos
cos
p
ft at Fp
pa
dp pa
Lt at
dp p a
pa
=⇒=
+
⎡⎤
−
=− =
⎢⎥
+
⎣⎦
+

BẢNG ĐỐI CHIẾU CÁC BIẾN ĐỔI LAPLACE THÔNG DỤNG
STT
)(
tf

)(
pF

1 1
0,
1
>p
p

2 t
0,
1
2
>p
p

3
n
t

np
p
n
n

,0,
!
1
>
+
là số tự nhiên
4
at
e

ap
ap
>
−
,
1

5
at
e
−

ap
ap
−>
+
,
1

6

at
te

ap
ap
>
−
,
)(
1
2

7
at
te
−

ap
ap
−>
+
,
)(
1
2

8
atn
et

nap
ap
n
n
,,
)(
!
1
>
−
+
là số tự nhiên
9
atn
et
−

nap
ap
n
n
,,
)(
!
1
−>
+
+
là số tự nhiên
10

cos at

0,
22
>
+
p
ap
p

11
atsin

0,
22
>
+
p
ap
a

12
att cos

0,
)(
222
22
>
+

−
p
ap
ap

[ 8 ]
13
att sin

0,
)(
2
222
>
+
p
ap
ap

14
bte
at
sin

ap
bas
b
>
+−
,

)(
22

15
bte
at
cos

ap
bas
ap
>
+−
−
,
)(
22

16
atcosh

ap
ap
p
>
−
,
22

17

atsinh

ap
ap
a
>
−
,
22

18
()df t
dt

() (0)pF p f
+
−

19
2
2
()dft
dt

2
( ) (0) '(0)pF p pf f
++
−−

20

()
n
n
dft
dt

11
( ) (0) ... (0)
nn n
pFp p f f
−−
++
−−−

21
0
()f tdt
∞
∫

( )
1
0
()
f
Fp
pp
−
+
+

22
()()
ft ut
τ τ
−−

()
p
eFp
τ
−

23
() ()
af t bg t
+

( ) ( )
aF t bG t
+

24
()
at
eft
−

( )
Fp a

+

25
()
tf t

()dF p
dp
−


[ 9 ]
1.4 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TRÊN HÀM BẬC THANG HEAVESIDE
1.4.1 Định nghĩa
1.4.1.1Định nghĩa 1

Hàm bậc thang Heaviside
⎩
⎨
⎧
≥
<
=
01
00
)(
t
t
tH
(13)

còn được gọi là hàm bậc thang đơn vị, hàm không liên tục này nhận giá trị 0 khi đối
số (t) âm và nhận giá trị 1 khi đối số (t) dương. Hàm này được sử dụng trong lý
thuyết toán học điều khiển hay trong xử lý tín hiệu.
1.4.1.2 Định nghĩa 2
Hàm tịnh tiến bậc thang Heaviside
⎩
⎨
⎧
≥
<
=−=
ct
ct
ctHtH
c
1
0
)()(
(14)

Nếu c>0 (c<0) thì đồ thị của H
c
sẽ được tịnh tiến qua phải (qua trái) so với
đồ thị của H.
1.4.1.3 Định nghĩa 3
Hàm khoảng H
ab
với a<b được định nghĩa bằng hàm tịnh tiến bậc thang
Heaviside
)()()()()( btHatHtHtHtH

baab
−−−=−=
(15)
Thật vậy:
1) t<a thì H
a
(t) và H
b
(t) bằng 0
0)( =⇒ tH
ab

2)
thì H
bta <≤
a
(t) =1 và H
b
(t) = 0
1)( =⇒ tH
ab

3)
thì H
tb ≤
a
(t) =1 và H
b
(t) = 1
0)( =⇒ tH

ab

Hàm Heaviside H, hàm tịnh tiến H
a
, và hàm khoảng H
ab
thường được dùng
để mô tả hàm liên tục từng khúc.
1.4.1.4 Thí dụ
Mô tả hàm:
⎩
⎨
⎧
∞<≤
<≤
=
t
tt
tf
12
102
)(

sử dụng hàm bậc thang Heaviside.
[ 10 ]
Từ là hàm khả vi từng khúc trên khoảng
)(
tf
10 <≤ t
và , chúng ta sử

dụng hàm khoảng H
1≥t
01
(t) trên khoảng
10 <≤ t
, và dùng hàm tịnh tiến H
1
(t) trên
.
1≥t
Vậy:

[ ]
)1()1(2)(.2
)1(2)1()(2)(2)(.2)(
101
−−−=
−+−−=+=
tHttHt
tHtHtHttHtHttf

1.4.2 Biến đổi Laplace
1.4.2.1 Hàm bậc thang Heaveside
[]
0
() ()
cp
pt pt
cc
c

e
LH p H te dt e dt
p
∞∞
−
−−
==
∫∫
=
(16)
1.4.2.2Hàm tịnh tuyến bậc thang Heaveside
[] [] []
() () ()
ap bp
ab a b
ee
LH p LH p LH p
p
−−
−
=−=
(17)
1.4.2.3 Hàm khoảng bậc thang Heaveside
[]
)()()()( pFepctfctHL
cp
−
=−−
(18)
1.4.2.4 Thí dụ

a) Biến đổi Laplace
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
∞<≤
<≤−
<≤
=
−
te
t
t
tf
t
6
645
403
)(
7

Ta có:


[][ ]
)6(.)6(5)4(8)(3
)6()6(5)4(8)(3
)6()6()4(5)4()(3
)()(5)(3)(

)6(
7
7
6
7
4604
−+−+−−=
−+−+−−=
−+−−−−−−=
+−=
−−
−
−
−
tHeetHtHtH
tHetHtHtH
tHetHtHtHtH
tHetHtHtf
t
t
t
t
Dựa vào công thức biến đổi Laplace của hàm bậc thang Heaviside và bảng
biến đổi Laplace ta được:

[]
1
5.83
)(
664

+
++−=
−−−
p
e
e
p
e
p
e
p
pfL
ppp

b) Biến đổi Laplace
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
<≤−
<
=
20
21sin
10
)(
t
tt

t
tf
π

Ta có:
[ 11 ]
[]
)2()2(sin)1()1(sin
)2(sin)1(sin
)2()1(sin
)(.0)(sin)(.0)(
2121
−−+−−=
−+−−=
−−−−=
+−=
tHttHt
ttHttH
tHtHt
tHttHtHtf
ππ
ππ
π
π

Dựa vào công thức biến đổi Laplace của hàm bậc thang Heaviside và bảng
biến đổi Laplace ta được:
[]
)()(
22

2
22
2
22
π
π
π
π
π
π
+
+
=
+
+
+
=
−−−−
p
ee
p
e
p
e
pfL
pppp

1.4.3 Biến đổi Laplace ngược hàm Heaveside
Cho hàm là hàm liên tục từng đoạn và
)(

tf
[ ]
() ()Fp Lft
=
thì:
[ ]
)()()()(
1
ctfctHtpFeL
cp
−−=
−−
(19)

[ 12 ]