Thuyết tương đối tổng quát

1
TIỂU LUẬN THUYẾT TƯƠNG ĐỐI TỔNG QUÁT
Nguyễn Đình Hiên
Trong tiểu luận này tôi trình bày về hai phần, đó là: Các bề mặt hai chiều và
phép đo độ cong. của mục Độ Cong Không Gian. Trong hai phần này tôi tóm
tắt lại, đưa ra các ý chính và chứng minh, làm rõ tất cả các công thức có liên quan.
2
THUYẾT TƯƠNG ĐỐI TỔNG QUÁT
4.1 Mở đầu
4.2 Nguyên lý tương đương
4.3 Độ cong không gian
• 4.3.1 Giới thiệu về các khái niệm cơ bản của độ cong dựa vào các thí dụ 2-chiều.
• 4.3.2. Giới thiệu về phương pháp để đo độ cong.
• 4.3.3. Các vectơ cục bộ (local vectors) và cách để so sánh các vectơ này tại các vị
trí khác nhau trong không gian cong.
• 4.3.4. Các hệ thức giữa độ cong và phương trình metric.
• 4.3.5 Nói về không gian đối xứng cầu 3 chiều, nó chuẩn bị cho phương thức khảo
sát sau này về độ cong không-thời gian trong các mẫu vũ trụ đồng nhất.
4.3.1 Các bề mặt hai chiều
Khi nói về độ cong trong thế giới 3 chiều bằng việc xem xét một sinh vật hai chiều
đang sống trong một bề mặt cong hai chiều. Một sinh vật hai chiều, về thực tế là chỉ quan
sát được các hướng chứa trong bề mặt hai chiều. Nhưng sinh vật này tin rằng nó có thể quan
sát và đo được theo tất cả các hướng. Sinh vật này sẽ nhận được các tín hiệu sáng hai chiều
nhưng không nhận biết được bất kỳ độ cong nào. Trong ba chiều, chúng ta có thể nhận biết
rất rõ độ cong mà sinh vật đó không nhận biết được.
Các không gian hai chiều thì dễ hình dung. Vì vậy người ta dùng nó để giới thiệu các
khái niệm về độ cong không - thời gian (ba chiều không gian và một chiều thời gian).
Hình 4.6 Hình 4.7
Hình 4.6 biểu diễn một bề mặt hai chiều là mặt cầu.
Hình 4.7 biểu diễn một bề mặt hai chiều là mặt trụ.
Mặc dù cả hai đều là cong nhưng có sự khác nhau giữa chúng. Bề mặt trụ có thể

được xẻ dọc theo chiều dài của nó (AA’) và được trải ra trên một mặt phẳng, nhưng mặt
cầu thì không thể.
Một tính chất của mặt trụ là nếu các đường ngắn nhất giữa các cặp điểm, ví dụ như
3
BC, được vẽ trên bề mặt thì chúng sẽ trở thành đường thẳng khi mặt trụ bị rọc và trải ra
trên mặt phẳng. Do đó mặt trụ được gọi là thực sự phẳng, mặc dù không phải phẳng hai
chiều, và mặt cầu thì thực sự cong.
Giả thiết rằng các tọa độ trực giao Descartes được vẽ trên một tờ giấy hình chữ nhật
và rồi nó được cuộn lại thành một mặt trụ. Các khoảng cách s đo được trên bề mặt giữa
một cặp điểm mà hiệu tọa độ của chúng là x và y được tính theo định lý Pythagore
s
2
= x
2
+ y
2
.
Nhưng, việc xây dựng một hệ tọa độ trực giao Descartes để có thể bao phủ hết mặt
cầu thì không thể được. (xem thêm ví dụ trong sách) Mặc dù vậy, hệ tọa độ Descartes vẫn
có thể bao phủ tốt nếu ta chia mặt cầu thành các miền có kích thước đủ nhỏ so với bán kính
thì ta có thể xem như là phẳng. Khi đó ta nói một cách cục bộ rằng bề mặt đã được Euclid
hóa và các khoảng cách được cho bởi phương trình Pythagore dạng vi phân:
ds
2
= dx
2
+ dy
2
,
trong đó dx,vàdy là khoảng cách tọa độ của hai điểm gần kề nhau trên bề mặt.

Một hệ tọa độ có thể được dùng để bao phủ toàn bộ mặt cầu là các góc cực (θ, ϕ).
Với gốc tọa độ tại tâm Trái Đất, góc θ biến thiên từ 0
0
ở Cực Bắc đến 180
0
ở Cực Nam,
và có liên hệ với vĩ độ. ϕ liên quan với kinh độ và chạy từ −180
0
đến +180
0
. Một cách cục
bộ, nghĩa là nói đến thang đo nhỏ so với bán kính cong r của bề mặt, khoảng cách giữa hai
điểm ở (θ, ϕ) và (θ + dθ, ϕ + dϕ) là rdθ theo vĩ độ và r sinθ dϕ theo kinh độ. Khi đó khoảng
cách toàn phần được cho bởi phương trình bậc hai
ds
2
= r
2
dθ
2
+ r
2
sin
2
θdϕ
2
.
Phương trình này được gọi là phương trình metric.Phương trình metric là một tính chất cơ
bản của một bề mặt.
Vì vậy, để bao phủ toàn bộ bề mặt cong hay không gian cong thì cần phải dùng hệ

tọa độ Gauss ( hệ tọa độ đã được tổng quát hóa ). Các khoảng cách cục bộ được cho bởi
một phương trình metric theo các khoảng cách của tọa độ Gauss.
Các không gian mà chúng ta quan tâm ở đây đều thuộc không gian Riemann, chúng
được phân biệt với các không gian khác bởi các phương trình metric toàn phương theo
khoảng cách tọa độ.
Tính chất chủ chốt của các không gian Riemann: Luôn luôn có thể làm trùng khớp
một miền bất kỳ của không gian Riemann với một không gian phẳng được lấy trong một
miền đủ nhỏ. Hay ta có thể nói rằng, ta luôn có thể vẽ được một đường tiếp tuyến, tiếp xúc
với một đường cong tại một điểm bất kỳ.
Ta xét một bề mặt Riemann hai chiều với phương trình metric
ds
2
= g
11
dv
2
+2g
12
dv dw + g
22
dw
2
(4.1)
trong đó (v,w) là các tọa độ Gauss nào đó, g
11
,g
12
và g
22
là các hàm của vị trí. Chọn một

điểm P với tọa độ (x, y) trên bề mặt và Euclide hóa phương trình metric một cách cục bộ
bao quanh điểm P.
Lúc này ta có thể định nghĩa lại các tọa độ mới (v,w) như sau: Ta có:
dv =
∂v
∂x
dx +
∂v
∂y
dy (4.2)
4
dw =
∂w
∂x
dx +
∂w
∂y
dy (4.3)
Chứng minh công thức ds
2
= dx
2
+ dy
2
Đặt
A(x, y)=
∂v
∂x
,B(x, y)=
∂v

∂y
,C(x, y)=
∂w
∂x
,D(x, y)=
∂w
∂y
. (4.4)
Thay (4.4) vào (4.2) và (4.3) ta được
dv = A(x, y)dx + B(x, y)dy
dw = C(x, y)dx + D(x, y)dy,
(4.5)
Tiếp tục ta tính dv
2
và dw
2
từ (4.5) rồi thay vào (4.1), nhóm các số hạng lại và đặt
g

11
= A
2
g
11
+2ACg
12
+ C
2
g
22

,
g

12
= ABg
11
+ ADg
12
+ BCg
12
+ CDg
22
,
g

22
= B
2
g
11
+2BDg
12
+ D
2
g
22
.
ta thu được
ds
2

= g

11
dx
2
+2g

12
dxdy + g

22
dy
2
(4.6)
Chúng ta có thể chọn những giá trị của A,B,C,D và các giá trị đạo hàm của chúng
tại P sao cho:
g

11
= g

22
=+1,g

12
=0;
và thêm vào đó các đạo hàm bậc nhất của các thành phần triệt tiêu
∂g

11

∂x
=
∂g

12
∂x
=
∂g

22
∂x
=
∂g

11
∂y
=
∂g

12
∂y
=
∂g

22
∂y
=0.
Từ đây ta có được một bề mặt Euclide với phương trình metric
ds
2

= dx
2
+ dy
2
Vì vậy, một mặt phẳng luôn có thể được vẽ tại một điểm bất kỳ trên bề mặt hai
chiều Riemann sao cho nó tiếp xúc cục bộ với bề mặt tại điểm đó. Ta có thể làm tương tự
như trên để suy ra cho các không gian nhiều chiều hơn. Bằng phép biến đổi tọa độ ta có thể
chuyển các phương trình metric về phương trình có dạng tổng của các bình phương.
Các tọa độ Descartes rút ra từ phép biến đổi này mô tả một không gian tiếp tuyến
với không gian cong tại điểm quan sát. Vì một không gian tiếp tuyến phẳng luôn luôn có
thể được rút ra một cách cục bộ đối với mọi điểm bất kỳ trong không gian Riemann, các
không gian Riemann được gọi là phẳng cục bộ (hay Euclide hóa cục bộ).
Ta có thể biến đổi phương trình metric (4.1) như sau:
ds
2
=

g
1/2
11
dv +
g
12
dw
g
1/2
11

2
+


g
22
−
g
2
12
g
11

dw
2
Đặt
dx = g
1/2
11
dv +
g
12
dw
g
1/2
11
và dy =

g
22
−
g
2

12
g
11

1/2
dw
86
Ta được
ds
2
= dx
2
+ dy
2
,
với giả thiết rằng (g
11
g
22
− g
2
12
) > 0. Nếu (g
11
g
22
− g
2
12
) < 0 thì phương trình metric có dạng

ds
2
= dx
2
− dy
2
.
Đây là phương trình metric rút về dạng hiệu các bình phương. Vì vậy không gian
này vẫn còn phẳng cục bộ. Không gian tiếp tuyến của nó được gọi là giả-Riemann (pseudo-
Riemann).
Sự phân biệt giữa không gian giả-Riemann và không gian Riemann thường được bỏ
qua và được qui chung về không gian Riemann. Nhìn lại thuyết tương đối hẹp (SR), ta thấy
rằng không gian của SR là không gian giả-Euclide. Đây là một trong những lý do mà chúng
ta quan tâm đến những không gian này.
Hình 4.8
Hình 4.8 a: Một đường vĩ tuyến và một đường trắc địa (vòng tròn lớn) tiếp tuyến với nhau
trên một mặt cầu tại điểm P.
Hình 4.8 b: Một tiết diện đi qua tâm O và đi qua cực Bắc N của mặt cầu (D là tâm cong
của một đường vĩ tuyến tại P).
• Định nghĩa đường trắc địa: Đường trắc địa (geodesics) là các đường ngắn nhất nối
liền các điểm cách nhau một khoảng hữu hạn trên mặt cong.
Tất nhiên là trên một mặt phẳng, đường trắc địa là một đường thẳng.
Các đường trắc địa trên một mặt cầu là các đường tròn lớn.
4.3.2 Phép đo độ cong
Phép đo độ cong Gauss
Đây là một phép đo đơn giản, để xác định một cách định lượng độ cong cục bộ của
bề mặt hai chiều bất kỳ và từ đó có thể tổng quát hóa cho các trường hợp nhiều chiều hơn.
Phép đo này ngoài việc phát hiện bề mặt hai chiều có bị cong hay không còn giúp ta xác
định dấu của độ cong.
• Cách đo:

Một quan sát viên gắn một đầu sợi dây có chiều dài r vào một điểm O rồi vẽ một
vòng tròn tâm O sao cho toàn bộ sợi dây luôn được kéo căng trong suốt quá trình vẽ, rồi đo
chu vi C của vòng tròn đó.