toan hinh dai hoc

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>CHƯƠNG 4: </b>

<b>SỰ TƯƠNG GIAO</b>

•

<b>_{4.3. CÁC PHÉP BIẾN ĐỞI HÌNH CHIẾU}</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>4.3. CÁC PHÉP BIẾN ĐỞI HÌNH </b>

<b>CHIẾU</b>

<b>4.3.1. PHÉP THAY MẶT PHẲNG HÌNH </b>
<b>CHIẾU:</b>

• a) <i>Thay mặt phẳng hình chiếu bằng:</i>

• Giả sử ta có mặt phẳng hình chiếu P1, P2 (H. 4-17).

• Thay mặt phẳng hình chiếu bằng là lấy mặt phẳng P2’ mới

vng góc với P1 thay mặt phẳng P2. Kết quả của việc thay

mặt phẳng hình chiếu như vậy là ta có một đồ thức mới mà
trục hình chiếu là

x’ = P1 P2’ và hướng đường dóng mới là hướng vng

góc với x’. Từ hình 4-17 ta thấy rằng đối với một điểm A
bất kỳ, khi thay mặt phẳng hình chiếu bằng vị trí tương đối
của điểm A đối với P1 khơng có gì thay đổi, do đó:

- Hình chiếu đứng A1 của A khơng thay đổi.

- Độ xa của điểm A trong hệ thống hình chiếu mới bằng độ
xa của điểm A trong hệ thống hình chiếu cũ, tức là:

A2’AX = A2AX = AA1

- Từ những nhận xét trên việc thay mặt phẳng hình chiếu
bằng cho điểm A bất kỳ được thực hiện bằng cách dễ dàng
(H. 4-18).

- Biết cách lập đồ thức mới của một điểm khi thay mặt
phẳng hình chiếu bằng, ta suy ra cách thành lập đồ thức
mới đối với một đường thẳng hay đối với một mặt phẳng.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Ta xét một vài thí dụ:

• <b>_{Thí dụ 1:}</b>_{Cho đoạn thẳng AB}

(A₁B₁, A₂B₂). Thay mặt phẳng hình
chiếu bằng sao cho trong hệ thống
mới mặt phẳng hình chiếu mới AB
là đường bằng. (H. 4-19).

• <b>_Giải:</b>_{Điều kiện ắt có và đủ để AB}
là đường bằng A₁B₁ là phải song
song với trục hình chiếu. Do đó
chọn x’ // A₁B₁. Hình chiếu bằng
mới của đoạn thẳng là A2’B2’

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

• <b>Thí dụ 2:</b> Cho mặt phẳng ABC. Thay
mặt phẳng hình chiếu bằng sao cho trong

mặt phẳng hình chiếu mới ABC là mặt
phẳng hình chiếu bằng (H. 4-20).

• <b>Giải:</b> Mặt phẳng P2’ phải chọn vừa

vng góc với ABC vừa vng góc với
P1 nên nó vng góc với một đường mặt

của mặt phẳng ABC. Do đó trục hình
chiếu mới x’ phải vng góc với hình
chiếu đứng của đường mặt của ABC.
Suy ra các bước vẽ:

• Vẽ một đường mặt bất kỳ của ABC, ví
dụ đường mặt AE.

• Vẽ x’ A1E1.

• Hình chiếu bằng mới của ABC là

A2’B2’C2’. Ba điểm này thẳng hàng vì

trong hệ thống mặt phẳng hình chiếu mới
ABC là mặt phẳng chiếu bằng.

• Góc của A2’B2’C2’ với x’ chính là góc

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

• b) <i>Thay mặt phẳng hình chiếu đứng:</i>

• Tương tự như trên, khi thay mặt phẳng

hình chiếu đứng ta có (H.4-21):

- Hình chiếu bằng A2 của A khơng thay

đổi.

- Độ cao của điểm A trong hệ thống hình
chiếu mới bằng độ cao của điểm A

trong hệ thống hình chiếu cũ, tức là:
A1’Ax = A1Ax = AA2

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

• Một vài thí dụ áp dụng:

• <b>_{Thí dụ 1:}</b>_{Thay mặt phẳng}
hình chiếu đứng để đường
bằng AB trở thành đường
thẳng chiếu đứng (H.4-23).
• <b>_Giải:</b>_{Để đường bằng AB trở}

thành đường thẳng chiếu đứng
phải chọn x’ vng góc A₂B₂.
Hình chiếu đứng mới của AB
trùng thành một điểm, cách x’
một đoạn bằng độ cao của

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

• <b>_{Thí dụ 2:}</b>_{Thay mặt phẳng}

hình chiếu đứng để mặt phẳng
chiếu bằng ABC trở thành

mặt phẳng mặt (H.4-24).
• <b>Giải:</b> ABC trở thành mặt

phẳng mặt khi và chỉ khi
A2B2C2 song song với trục

hình chiếu.

• Do đó ta chọn x’ // A₂B₂C₂. Vì
trong hệ thống mới mặt phẳng
ABC là mặt phẳng mặt nên

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

c) Thay liên tiếp các mặt phẳng hình chiếu:

• Như đã xét ở trên, bằng cách mặt phẳng hình chiếu

ta có thể đưa bài tốn đang xét về dạng đặc biệt để

cách giải trở nên đơn giản hơn nhiều. Bằng cách

thay liên tiếp các mặt phẳng hình chiếu ta có thể đưa

đường thẳng thường trở thành đường thẳng chiếu

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

•

<b>_{4.3.2 PHÉP QUAY HÌNH}</b>

<b>PHẲNG QUANH ĐƯỜNG </b>

<b>BẰNG HAY ĐƯỜNG MẶT </b>

<b>CỦA NĨ:</b>

• Dưới đây trình bày một phương pháp khác đưa mặt phẳng về vị
trí song song với mặt phẳng hình chiếu: phương pháp quay hình

phẳng quanh đường bằng hay đường mặt của nó.

• Trước hết ta nhắc lại khái niệm quay một điểm quanh một
đường thẳng:

• Quay một điểm M quanh đường thẳng d một góc có hướng là
thực hiện phép biến đổi sao cho:

1. ảnh M’ của M cùng với M nằm trong một mặt phẳng P vng
góc với d.

2. Khoảng cách của M và M’ đến d bằng nhau: OM = OM’ (O là
giao điểm của P với d).

3. Góc MOM’ =

• Đường thẳng d gọi là trục quay. Khoảng cách OM từ M đến d
gọi là bán kính quay của điểm M (H.4-25).

• Quay một hình quanh đường thẳng d một góc là quay mọi điểm
của quanh d theo cùng một góc. Để quay một đường thẳng hay
một mặt phẳng quanh đường thẳng d một góc là quay hai điểm
của đường thẳng hay ba điểm của mặt phẳng quanh d theo cùng
một góc. Từ đó để quay một hình phẳng quanh đường bằng hay
đường mặt của nó ta chỉ cần quay một điểm của mặt phẳng ấy.

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

• Ta xét một vài thí dụ:

• <b>_{Thí dụ 1:}</b>_{Cho mặt phẳng ABC có AB là}
đường bằng. Hãy quay mặt phẳng ABC

quanh AB để Abc trở thành song song với
mặt phẳng hình chiếu bằng.

• <b>Giải:</b> Ta chỉ cần quay C quanh AB về vị trí
C’ sao cho ABC’ song song với P2. Để xác

định C’ ta dựa vào các điều kiện 1 và 2 của
phép quay một điểm quanh đường thẳng.
- Điểm C và điểm C’ nằm trong mặt phẳng

vng góc với AB (điều kiện 1). Vì AB là
đường bằng nên mặt phẳng ấy là mặt

phẳng chiếu bằng. Do đó:
C2C2’ A2B2.

• Gọi O2 = C2C2’ A2B2. O2 chính là hình

chiếu bằng của điểm O (O là giao điểm của
AB với mặt phẳng chiếu bằng chứa CC’).
• OC’ = OC (điều kiện 2). Từ điều kiện này

ta dễ dàng xác định được C2’ khi biết độ

dài của OC (H. 4-26).



</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

• <b>Thí dụ 2:</b> Vẽ trong mặt phẳng P (V1P, V2P)

một tam giác đều ABC. Cạnh AB của tam giác
cho trước (H. 4-27).

• <b>Giải:</b> Để xác định đỉnh C ta gập mặt phẳng P,
chẳng hạn, vào mặt phẳng P2. Việc gập được

thực hiện bằng cách quay một điểm N bất kỳ
của P (trên đồ thức ta lấy N V1P) quanh V2P

đến N’ P2. Cách xác định N’ thấy rõ trên hình

vẽ

(N’N2 V2P; O2N’ = O2N2*). Vết đứng V1P

của mặt phẳng gập thành

V1’P PxN’. Điểm N’ cịn có thể xác định với

chú ý rằng PxN1 = PxN’. Hình gập của AB là

A’B’, vẽ được bằng cách gắn nó lên đường
thẳng IK.

Vì I V1P nên I’ V1P’; K V2P nên K K’.

Với A’B’ làm cạnh, ta dựng được tam giác đều
A’B’C’. A’B’C’ chính là hình gập của tam

giác ABC cần vẽ. Sau đó theo C’ xác định C2

và C1. Chú ý là C’B’ cắt V2P ở E’ E E2 nên

C2 E2B2 và C1 E1B1.

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

<b>4.4 SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA CÁC </b>

<b>MẶT</b>

<b>4.4.1. GIAO CỦA MẶT PHẲNG VỚI MẶT:</b>

a) <i>Giao của mặt phẳng với đa diện:</i>

• Giao của mặt phẳng với đa diện thường là một hay nhiều đa
giác có cạnh là các giao tuyến của các mặt bên của đa diện
với mặt phẳng và có các đỉnh là các giao điểm của các cạnh
của đa diện với mặt phẳng.

• Để xác định giao của mặt phẳng với đa diện, ta có thể:

- Xác định các đỉnh của giao bằng cách tìm các giao điểm của
các cạnh của đa diện với mặt phẳng đã cho.

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

• <b>Thí dụ:</b> Vẽ giao của mặt phẳng P với
mặt chóp cho trên hình vẽ 4-28.

• <b>Giải:</b> Ta chỉ cần vẽ giao tuyến của các
mặt bên của đa diện với mặt phẳng đã
cho.

• Thí dụ ta vẽ giao tuyến của mặt SAC

với mặt đã cho.

• Để vẽ giao tuyến của mặt SAC với mặt
phẳng P, ta tìm giao điểm K của đường
thẳng SA với mặt phẳng P.

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

• b) <i>Giao của mặt phẳng với mặt </i>
<i>cong:</i>

• Nói chung giao của một mặt
phẳng với một mặt cong là một
đường cong phẳng và nếu mặt
cong là mặt đại số bậc n thì giao
của mặt phẳng với mặt đó là

một đường cong đại số bậc n.

• Muốn vẽ các điểm của giao một
mặt phẳng với một mặt cong

người ta thường làm như sau:
Vẽ một mặt phẳng phụ trợ cắt
mặt phẳng đã cho theo đường
thẳng g và cắt mặt cong theo

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

<i>1. Giao của mặt phẳng với mặt cầu:</i>

• Giao của mặt phẳng với mặt cầu là một
đường trịn.Hình chiếu của đường trịn này
trên các mặt phẳng hình chiếu sẽ là các elíp.

Các yếu tố xác định elíp được xác định theo
vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu.
• <b>Thí dụ:</b> Vẽ giao của mặt phẳng chiếu đứng

K với mặt cầu (H. 4-30).

• <b>Giải:</b> Giao phải tìm là đường trịn có tâm I
với I1 C1 D1. Vì mặt phẳng cắt là mặt

phẳng chiếu đứng nên hình chiếu đứng của
giao là đoạn thẳng A1B1 thuộc hình chiếu

đứng K1 của mặt phẳng cắt. Biết hình chiếu

đứng của giao ta dễ dàng suy ra hình chiếu
bằng là một elíp có trục dài là C2D2 = A1B1

(với C1 D1 là điểm giữa của A1B1) và trục

ngắn là A2B2. Các giao điểm của đường trịn

vĩ tuyến chính với mặt phẳng cắt cho ta các
điểm ranh giới thấy khuất E, G của giao
trên hình chiếu bằng.

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

• 2. <i>Giao của mặt phẳng với mặt nón:</i>

• Giao của mặt phẳng mặt nón có đáy là đường trịn sẽ là:

• Một đường trịn , nếu mặt phẳng đã cho song song với mặt
• phẳng đáy nón.

• Một đường elíp, nếu mọi điểm của giao đều là những điểm
hữu hạn, tức là mặt phẳng đã cho phải cắt tất cả các đường
sinh của nón.

• Một parabơn nếu giao có một và chỉ một ở vơ tận, tức là mặt
phẳng đã cho song song với một và chỉ một đường sinh của
nón.

• Một hypecbơn nếu giao có hai điểm ở vơ tận, tức là mặt
phẳng đã cho song song với hai đường sinh của nón.

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

• <b>_{Thí dụ:}</b>_{Vẽ giao của mặt phẳng}
chiếu đứng K với mặt nón trịn
xoay đỉnh S (H. 4-31).

• <b>Giải:</b> Theo hình đã cho ta dễ

nhận thấy rằng mặt phẳng chiếu
đứng K cắt tất cả các đường sinh
của nón. Vậy giao phảI tìm là một
đường elíp. Hình chiếu đứng của
elíp này là một đoạn thẳng thuộc
K₁. Hình chiếu bằng của elíp

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

• 3. Giao của mặt phẳng với mặt trụ:

• Giao của mặt phẳng với mặt trụ đáy trịn sẽ là:

• Một đường trịn nếu mặt phẳng đã cho song song

với đáy trụ.

• Một elíp nếu mặt phẳng đã cho không song song với

đáy trụ.

• Hai đường thẳng khác nhau nếu mặt phẳng cắt song

song với đường sinh của trụ và cắt đáy trụ tại hai

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

• <b>Thí dụ:</b> Vẽ giao tuyến của mặt
phẳng K cho bằng vết với mặt trụ
có đường chuẩn trịn cho như

hình 4-32.

• <b>Giải:</b> Để tìm các giao điểm của
các đường sinh của trụ với mặt
phẳng cắt K ta thay mặt phẳng
hình chiếu đứng để mặt phẳng K
đã cho trở thành mặt phẳng chiếu
đứng. Từ hình chiếu đứng mới
V1'K ta biết ngay dạng của giao.

Theo hình vẽ ta dễ dàng thấy
rằng mặt phẳng K cắt trụ theo
một elíp. Hình chiếu đứng mới
của elíp này là đoạn thẳng A1'B1'

thuộc V1'K.Có hình chiếu đứng

mới ta suy ra hình chiếu bằng và
hình chiếu đứng của elíp cần tìm.
Ta cũng thấy rằng B, A là các

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

4. Giao của mặt phẳng với mặt tròn xoay:

Giao của mặt phẳng với mặt tròn xoay sẽ là:

- Một đường kinh tuyến nếu mặt phẳng cắt đi qua

trục.

- Một đường vĩ tuyến nếu mặt phẳng cắt vng góc

với trục.

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

•

<b>_{Thí dụ:}</b>

_{Vẽ giao của mặt}

phẳng P với mặt elípxơít

trịn xoay cho như ở hình

4-33.

•

<b>_Giải:</b>

_{Vì mặt phẳng cắt}

khơng vng góc với trục

của mặt tròn xoay nên

giao là một đường elíp.

• Ta tìm các điểm của

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

<b>4.4.2 GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI MẶT:</b>

a) Giao của đường thẳng với đa diện:

Muốn tìm giao của một đường thẳng với một đa

diện, người ta thường dùng phương pháp mặt phẳng

phụ trợ. Nội dung phương pháp đó như sau:

- Qua đường thẳng đã cho dựng một mặt phẳng gọi là

mặt phẳng phụ trợ.

- Tìm giao của mặt phẳng phụ trợ với đa diện đã cho.

Giao này gọi là giao phụ.

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

• <b>_{Thí dụ:}</b>_{Vẽ giao của đường}
thẳng l với tứ diện ABCD
(H. 4-34).

• <b>Giải:</b> Ta thực hiên như sau:
• Dựng qua l mặt phẳng chiếu

đứng K.

• Vẽ giao của K với tứ diện,
được giao phụ g là tứ giác
MNPQ.

• Vẽ giao của g với đường
thẳng đã cho. Theo hình vẽ
giao phải tìm là hai điểm K,
H.

• Theo hình vẽ , trên hình chiếu

đứng điểm H thấy, điểm K

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

b) Giao của đường thẳng với mặt cong:

• Muốn tìm giao của một đường thẳng l với một mặt

cong người ta thường dùng phương pháp mặt phẳng

phụ trợ. Nội dung phương pháp đó như sau :

- Qua đường thẳng đã cho l dựng một mặt phẳng phụ

trợ K.

- Vẽ giao g của K với mặt đã cho, giao g được gọi là

giao phụ.

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

• 1. <i>Giao của đường thẳng với mặt cầu:</i>

• Ta đã biết mọi mặt phẳng đều cắt mặt cầu theo một
đường tròn. Vấn đề là chọn mặt phẳng phụ trợ thế
nào để việc vẽ giao của đường thẳng với đường tròn
phụ được đơn giản.Người ta thường chọn mặt

phẳng phụ trợ là mặt phẳng chiếu hay mặt phẳng đi
qua tâm mặt cầu.

• Trên hình 4-35, để tìm giao của l với mặt cầu ta
chọn mặt phẳng phụ trợ là mặt phẳng chiếu đứng K
chứa l. Hình chiếu đứng K1 trùng với l1. Để tìm các

giao điểm của l với đường tròn phụ v ta dùng

phương pháp thay mặt phẳng hình chiếu bằng. Mặt
phẳng hình chiếu bằng mới được chọn trùng với
mặt phẳng phụ trợ. Dựa vào các hình chiếu bằng
mới của l và đường tròn v, ta dễ dàng vẽ được các
giao điểm H, K của l với v. Các giao điểm đó là các
giao phải tìm.

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

<b>2. </b>

<i><b>GIAO CỦA ĐƯỜNG </b></i>

<i><b>THẲNG VỚI MẶT NÓN, </b></i>

<i><b>MẶT TRỤ:</b></i>

• Trong trường hợp này người ta thường dùng
mặt phẳng phụ trợ là mặt phẳng chứa đường
thẳng đã cho và đi qua đỉnh nón hay song song
với đường sinh của trụ (để giao phụ là các

đường thẳng).

• Thí dụ 1: Vẽ giao của đường thẳng l với mặt
nón có đường chuẩn năm trong mặt phẳng
chiếu đứng D (H. 4-36 ).

• Giải: Mặt phẳng phụ trợ xác định bởi l và đỉnh
S của nón. Để vẽ giao của mặt phẳng phụ trợ
với mặt nón ta làm như sau :

- Vẽ giao tuyến g của mặt phẳng phụ trợ với mặt
phẳng chứa đáy nón.

- Xác định các giao điểm 1, 2 của g với đường
chuẩn. Giao của mặt phẳng phụ trợ với mặt
nón (giao phụ) sẽ là hai đường thẳng S1, S2 với

l.

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

• <b>Thí dụ 2:</b> Vẽ giao của đường thẳng l
với mặt trụ (H. 4-37 ).

• <b>Giải:</b> Mặt phẳng phụ trợ là mặt
phẳng chứa l và song song với các
đường sinh của mặt trụ. Trên hình vẽ
mặt phẳng đó là mặt phẳng K chứa l
và chứa một đường thẳng t song

song với các đường sinh của mặt trụ
(t đi qua điểm M trên l).

• Mặt phẳng phụ trợ K cắt đường

chuẩn của trụ ở hai điểm 1, 2. Giao
phụ sẽ là hai đường sinh đi qua 1, 2.
Các giao điểm K, H của các đường
sinh này với l sẽ là giao của l với trụ.
• Trên hình chiếu bằng điểm K thấy,

điểm H khuất.

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28></div>

<!--links-->