de cuong on tap ds 11 hk1

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (308.66 KB, 19 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM

Chương I : HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Bảng các giá trị lượng giác của góc đặc biệt
Độ

GTLG
rad

00
0

300

π

6

450

π

4

600

π

3

900

π

2

1200

2 π

3

1350

3 π

4

1500

5 π

6

1800

π

2700

3 π

2

3600

2 π

sin 0

1

2 √

2

2 √

2

3 √

2

3 √

2

2

1

2 −

1

cos 1

√

2

3 √

2

2

1

2 −

1

2

 22

−

√

2

3

−1 0 1

tan 0

√

3

3 √

3

−

√

3

−1

−

√

3

3

0 || 0

cot ||

√

3

√

3

3 −

√

3

3 −

1

−

√

3

|| 0 ||

Ct đổi độ sang rad

Rad

=

π

180 .

Đ

o

^

ộ

Ct đổi Rad sang độ

Đ

o

^

=

180 π

. Rad

ộ

Cung đối

sin

(

− x

)=

−

sin

x

cos

(

− x

)=

cos

x

tan

(

− x

)=

−

tan

x

cot

(

− x

)=

−

cot

x

Cung phụ

Các hệ thứ cơ bản

sin2x

+cos2x=1 ,

tan

x

=

sin

x

cos

x

cot

x

=

cos

x

sin

x

, tanx.cotx=1

1 cos

x

=

1 +

tan

x

1 sin

x

=

1 +

cot

x

Công thức cộng

sin

(

a± b

)=

sin

a

.cos

b ±

cos

a

.sin

b

cos

(

a ± b

)=

cos

a

. cos

b

∓

sin

a

. sin

b

Cơng thức biến đổi tổng thành tích

sin

a

+

sin

b

=

2 sin

a

+

b

2 . cos

a − b

2 sin

a −

sin

b

=

2 cos

a

+

b

2 .sin

a − b

2 cos

a

+

cos

b

=

2 cos

a

+

b

2 . cos

a − b

2 cos

a −

cos

b

=

−

2 sin

a

+

b

2 sin

a − b

2

Công thức biến đổi tích thành tổng

cos

a

. cos

b

=

1

2 [

cos

(

a −b

)+

cos

(

a

+

b

)

]

sin

a

. sin

b

=

1

2 [

cos

(

a − b

)+

cos

(

a

+

b

)

]

sin

a

. cos

b

=

1

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM

sin

(

π

/

2 − x

)=

cos

x

cos

(

π

/

2 − x

)=

sin

x

tan

(

π

/

2 − x

)=

cot

x

cot

(

π

/

2 − x

)=

tan

x

Cung bù

sin

(

π − x

)=

sin

x

cos

(

π − x

)=

−

cos

x

tan

(

π − x

)=

−

tan

x

cot

(

π − x

)=

−

cot

x

Hơn kém 

sin

(

π

+

x

)=

−

sin

x

cos

(

π

+

x

)=

−

cos

x

tan

(

π

+

x

)=

tan

x

cot

(

π

+

x

)=

cot

x

tan

(

a ± b

)=

tan

a±

tan

b

1 ∓

tan

a

. tan

b

Công thức nhân đôi

sin 2

a

=

2 sin

a

. cos

a

cos 2

a

=

cos

a −

sin

a

=

2 cos

a −

1 ¿=

1 −

2 sin

a

tan 2

a

=

2 tan

a

1 −

tan

a

Công thức nhân ba ;

sin3x = 3sinx - 4 sin3x

cos3x = 4cos3x - 3cosx

Công thức hạ bậc

sin

x

=

1 −

cos 2

x

2 cos

x

=

1 +

cos 2

x

2

Các phương trình đặc biệt

sin

u

=

0 ⇔

u

=

kπ

sin

u

=

1 ⇔

u

=

π

2 +

kπ

sin

u

=

−

1 ⇔

u

=

−

π

2 +

kπ

cos

u

=

0 ⇔

u

=

π

2 +

kπ

cos

u

=

1 ⇔

u

=

k

2 π

cos

u

=

−

1 ⇔

u

=

π

+

k

2 π

tan

u

=

0 ⇔

sin

u

cos

u

=

0 ⇔

sin

u

=

0 ⇔

u

=

kπ

tan

u

=

1 ⇔

u

=

π

4 +

kπ

tan

u

=

−

1 ⇔u

=

−

π

4 +

kπ

cot

u

=

0 ⇔

cos

u

sin

u

=

0 ⇔

cos

u

=

0 ⇔

u

=

π

2 +

kπ

cot

u

=

1 ⇔

u

=

π

4 +

kπ

cot

u

=

−

1 ⇔u

=

−

π

4 +

kπ



1 - HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1/ TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ

BÀI TẬP

tan

x

=

sin

x

cos

x

xác định khi

cos

x ≠

0 ⇔

x ≠

π

2 +

kπ

k z

cot

x

=

cos

x

sin

x

xác định khi sinx ≠0⇔x ≠ kπ , k

y=f(x)

g(x) xác định khi

g

(

x

)

≠

0

y =

√

f

(

x

)

xác định khi

f

(

x

)

≥

0

Tìm tập xác định của các hàm số :

y

=

2 sin 2

x −

1 y

=

tan

(

3 x −

π

6 )

3) y = tan2x + cot3x

y

=

3 sin

x −

cos

x

y

=

sin

x

+

3 cos

x

+

cot

(

x

+

45 )

y

=

2 sin 2

x −

cos

x

y

=

√

1 +

sin

x

1 −

sin

x

y

=

2 x

+

3 √

3 −

cot

(

2 x −

π

4 )

y

=

cos

x

1 +

sin

x

+

tan

(

2 x −

π

3 )

10)

y

=

x

+

1 (

sin

x

+

1 )

(

2 cos

x −

√

2 )

11) x x

y

cos
sin




</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM

HD : 7) Vì 1+sinx ≥0 và 1−sinx ≥0 nên

1 −

sin

x

1 −

sin

x

≥

0

.Biểu thức trong

căn bậc hai không âm,để hàm số xác định thì

1 −

sin

x ≠

0

2/ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT :

−1≤sinx ≤1 , −1≤cosx ≤1

và

0

≤

sin

x ≤

1 0

≤

cos

x ≤

1 sin

x

. cos

x

=

sin 2

x

2 sin

x

. cos

x

=

(

2 sin

x

. cos

x

)

4 =

sin

2

x

4 sin

x

+

cos

x

=

√

2cos

(

x −

π

4 )

=

√

2 sin

(

x

+

π

4 )

sin

x −

cos

x

=

√

2sin

(

x −

π

4 )

=

−

√

2 cos

(

x

+

π

4 )

cos

x −

sin

x

=

√

2cos

(

x

+

π

4 )

=

−

√

2 sin

(

x

+

π

4 )

VÍ DỤ :

Bài giải :

1) Ta có :

−

1 ≤

sin

x ≤

1



−

2 ≤

2 sin

x ≤

2



−

2 +

3 ≤

2sin

x

+

3 ≤

2 +

3



1 ≤ y ≤

5

Vậy : Giá trị nhỏ nhất của hàm số là ymin=1 đạt được khi :

sin

x

=

−

1 ⇔

x

=

−

π

2 +

k

2 π , k

∈

z

Giá trị lớn nhất cùa hàm số là ymax=5 đạt được khi :

sin

x

=

1 ⇔

x

=

π

2 +

k

2 π , k

∈

z

2) Ta có :

0 ≤

cos

2

x ≤

1



0

≤

3 cos

2

x ≤

3



0

≥−

3 cos

x ≥ −

3



4≥4−3 cos2x ≥ −3+4



4

5 ≥

4 −

3 cos

2 x

5 ≥

1

5



4

5 ≥ y ≥

1

5

Vậy : Giá trị lớn nhất của hàm số là

y

max

=

4

5

đạt được khi :

cos

2

x

=

0 ⇔

cos 2

x

=

0 ¿

⇔

2 x

=

π

2 +

kπ

⇔

x

=

π

4 +

k

π

2 ,

¿

k

∈

z

Giá trị nhỏ nhất cùa hàm số là

y

min

=

1

5

đạt được khi

cos 2

x

=

1 cos 2

x

=

−

1 cos

2 x

=

1 ⇔

¿

x

=

kπ

¿

x

=

π

2 +

kπ

,

¿

k

∈

z

2 x

=

k

2 π

¿

2 x

=

π

+

k

2 π

⇔

¿

⇔

¿

BÀI TẬP

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau :

y

=

√

3 −

sin

x

cos

x

y

=

2 sin

x −

3 sin

x

cos

x

+

2 cos

x

y

=

2 −

sin

x −

cos

x

4) y=2 sin2x −5 cos2x+2 5) y=cos2x+2 cos 2x

y

=

2 √

cos

x

+

1 y

=

√

3

(

2

−

sin

x

)

+

5

8) y = sin6x + cos6x 9)

Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất :
1)

y

=

2 sin

x

+

3 y

=

4 −

3 cos

2

x

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM

y

=

cos

x

+

cos

(

x −

π

3 )

10) y=3 sin23x −4 cos23x+2 cos 6x 11)

y

=

3 −

4 sin

x

. cos

x

2

12)

y

=

2 −

3 sin 4

x

4

13)

y

=

sin

x

+

cos

x

14)

y

=

3 cos 2

x −

3

3 sin 2

x −

5

HD : 1)Thay

sin

x

. cos

x

=

sin

2 x

4 y

=

2 (

sin

x

+

cos

x

)

−

3 sin

2 x

4

3) Thay

sin

x

+

cos

x

=

√

2cos

(

x −

π

4 )

thì

y

=

2 −

√

2 cos

(

x −

π

4 )

2 - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

1-Phương trình sinu = a

+ a <-1 hay a > 1 : phương trình vô nghieäm

+ -1  a 1 : Nếu a không là giá trị đặc biệt thì nghiệm của pt là :

u

=

arcsin

a

+

k

2 π

u

=

π −

arcsin

a

+

k

2 π , k

∈

z

¿

sin

u

=

a

⇔

¿

Nếu a là giá trị đặc biệt ,thì biến đổi đưa pt về dạng :

u

=

v

+

k

2 π

¿

u

=

π − v

+

k

2 π

, k

∈

z

sin

u

=

sin

v

⇔

¿

2-Phương trình cosu = a

+ a <-1 hay a > 1 : phương trình vô nghiệm

+ -1  a 1 : Nếu a không là giá trị đặc biệt thì nghiệm của pt là :

u

=

arccos

a

+

k

2 π

¿

u

=

−

arccos

a

+

k

2 π ,k

∈

z

cos

u

=

a

⇔

¿

Nếu a là giá trị đặc biệt ,thì biến đổi đưa pt về dạng :

u

=

v

+

k

2 π

u

=

− v

+

k

2 π

, k

∈

z

¿

cos

u

=

cos

v

⇔

¿

3- Phương trình tanu = a Điều kiện :

cos

u ≠

0 ⇔

u ≠

π

2 +

kπ , k

∈

z

Neáu a không là giá trị đặc biệt ta có : tanu=a⇔u=arctana+kπ , k∈z

Nếu a là giá trị đặc biệt ,thì biến đổi đưa phương trình về dạng :

tan

u

=

tan

v

⇔

u

=

v

+

kπ , k

∈

z

4- Phươpng trình cotu = a Điều kiện :

u ≠ kπ , k

∈

z

Nếu a không là giá trị đặc biệt :

cot

u

=

a

⇔u

=

arccot

a

+

kπ , k

∈

z

Nếu a là giá trị đặc biệt ,thì biến đổi đưa phương trình về dạng : cotu=cotv⇔u=v+kπ , k∈z

BÀI TẬP

Bài 1 : Giải các phương trình
1)

√

2cos

(

2 x −

π

5 )

=

1 sin

(

3 x −

2 )=

−

1 cot

(

45 −

3 x

)

=

√

3 2 sin

(

2 x −

π

6 )

−

√

3 =

0 cos

(

3 x

+

45 )

−

sin 4

x

=

0 2 cos

(

2 x

3 −

π

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM

[

sin

(

x

2 −

3 )

+

1 ]

.

(

√

3 cot

2 x

3 +

1 )

=

0

9) tan(2x+600) = 10
10)

tan

(

2 x

+

π

3 )

=

cot

(

x −

π

6 )

11)

cos

(

2 x

+

π

6 )

−

cos

(

3 x −

3 π

4 )

=

0

12)

cos

x

2 =

−

cos

(

2 x −

30 )

Bài 2 : Giải các phương trình
1) 4 sin2

2x −3=0 2) sin2x – cosx = 0 3) sin2x + 2cos2x = 0

4) sin2x + cos22x = 1 5) sin2x + cos2x = 0 6) 8 sinx cosx cos2x = -

√

2

7) tan2x.cot3x = 2 8 ) sin22x- cos2x = 0 9) tan3x.tan2x = 1

10)

√

3 sin

x

=

cos

x

11)

cot

2 3

x

=

1 3

12)
cosxcos2xcos4xcos8x =

1

16

Bài 3 : Giải phương trình :

cos2

x

1 −

sin 2

x

=

0

HD : Điều kiện xác định của phương trình là :

sin 2

x ≠

1 ⇔

2 x

⇔

π

2 +

k

2 π

⇔

x ≠

π

4 +

kπ

Với :

k

=

0 ⇒

x ≠

π

4

,

k

=

1 ⇒

x ≠

5 π

4

,

k

=

2 ⇒

x ≠

9 π

4

,

k

=

3 ⇒

x ≠

13 π

4

…

Với điều kiện trên thì phương trình đã cho tương đương với :

cos 2

x

=

0 ⇔

2 x

=

π

2 +

hπ

⇔

x

=

π

4 +

h

π

2 , k

∈

z

Với :

h

=

0 ⇒

x

=

π

4

(loại) ,

h

=

1 ⇒

x ≠

3 π

4

,

h

=

2 ⇒

x ≠

5 π

4

(loại ) ,

h

=

3 ⇒

x ≠

7 π

4

…/

Nhận thấy với k lẻ thì nghiệm của phương trình thỏa điều kiện của bài
Vậy pt có nghiệm

x

=

π

4 +

h

π

2

với h lẻ nghĩa là h = 2k+1

3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT

HÀM SỐ

LƯỢNG GIÁC

Phương trình bậc 2 theo 1 hàm số lượng giác là pt có một trong các dạng sau :

asin2x + bsinx + c = 0 (1) atan2x + btanx + c = 0 (3)

acos2x + bcosx + c = 0 (2) acot2x + bcotx + c = 0 (4)

Cách giải : Đặt ẩn phụ t bằng một trong các hslg trên,pt (1) và (2) điều kiện -1  t  1 ,pt (3) và ((4) phải có

điều kiện của tanx và cotx

VÍ DỤ

Giải các phương trình : sin2x – 3sinx +2 = 0 
Giải :

Đặt t = sinx , điều kiện −1≤t ≤1 ,phương trình trở thành :
t2 – 3t + 2 = 0

t

=

1 t

=

2 ⇔

¿

Nghiệm t = 2 không thỏa điều kiện của phương trình .
Với t = 1  sinx = 1 

x

=

π

2 +

k

2 π , k

∈

Z

BÀI TẬP

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM
1) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 2)

tan

2 x −

(

1 +

√

3 )

tan2

x

+

√

3 =

0 cot

x

2 −

6 cot

x

2 +

5 =

0 4 sin

x −

2 (

1 +

√

3 )

sin

x

+

√

3 =

0

Bài 2 : Giải các phương trình :

1) 8cos2x + 2sinx - 5 = 0 2)

2 cos 2

x

+

2 cos

x −

√

2 =

0

3) cos2x -

√

3

sinx =1 4)

2 cos 2

x −

2 (

1 +

√

3 )

sin

x

+

√

3 −

2 =

0

5) 6 sin23x +cos12x =14 6)

cos 2x −sin2x=0

7) cos4x + cos2x =2 8)

3 tan 2

x

+

√

3 cot 2

x −

3 −

√

3 =

0

9) 2cos2x – sin2x - 4cosx + 2 = 0 10) 9sin2x -5cos2x -5sinx + 4 = 0

11) cos2x + sin2x +2cosx + 1 = 0 12) tanx + 2cotx = 3

13)

sin

x

2 −

2cos

x

2 +

2 =

0

14) sin3x+cos3x =sinx + cosx
15)sin4x + cos4x =

1

2 sin 2

x

16) 2cos22x +3sin2x = 2
17) 2 – cos2 x = sin4x 18)

sin

x

+

cos

x

=

2 −

sin 2

x

2

19) (3-2cosx)cosx = 2cos2x -1 20)

cos 2

x

+

2cos

x

=

2sin

x

2

HƯỚNG DẪN

12) Thay sin3x + cos3x =(sinx+cosx)(sin2x –sinxcosx+cos2x) =(sinx+cosx)(1-

sin 2

x

2

)
15)

sin

x

+

cos

x

=

(

sin

x

)

+

(

cos

x

)

=[

(

sin

x

)

+

(

cos

x

)

+

2 sin

x

cos

x

]

−

2sin

x

cos

x

(

sin

x

+

cos

x

)

−

2 sin

x

cos

x

=

1 −

2 .

sin

2 x

4

18) Thay sin3x + cos3x =(sinx+cosx)(sin2x –sinxcosx+cos2x)=(sinx+cosx)(1-

sin 2

x

2

) )
16) Thay

sin

x

=

1 −

cos 2

x

2

3/ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SINX VÀ COSX : a sinx + b cosx = c (1)

A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ

sin

cos

a

a

. cos

. cos

b ±

b ±

cos

sin

a

a

. sin

. sin

b

b

=

sin

(

a ± b

)

=

cos

(

a

∓

b

)

Cách giải

Caùch 1 : Chia hai vế của phương trình cho

√

a

+

b

2 ,ta được :

a

√

a

+

b

sin

x

+

b

√

a

+

b

cos

x

=

c

√

a

+

b

2
Vì

(

a

√

a

+

b

)

+

(

b

√

a

+

b

)

=

1

nên nếu

a

√

a

+

b

=

cos

α

thì

b

√

a

+

b

=

sin

α

pt trở
thành :

sinx. cosα+cosx. sinα= c

√

a2

+b2

¿

⇔

¿

sin

(

x − α

)=

c

√

a

+

b

¿

Đây là pt lượng giác cơ bản,pt này có nghiệm khi

|

c

√

a

+

b

|

≤

1 ⇔a

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM
Cách 2 : Chia hai vế của phương trình cho a ,pt trở thành :

sin

x

+

b

a

cos

x

=

c

a

⇔

sin

x

+

tan

α

.cos

x

=

c

a

⇔

sin

x

+

sin

α

cos

α

cos

x

=

c

a

⇔

sin

x

cos

α

+

cos

x

sin

α

=

c

a

cos

α

⇔

sin

(

x

+

α

)=

c

a

cos

α

Nếu

|

c

a

cos

α

|

>

1

thì phương trình vơ nghiệm .
Nếu

|

c

a

cos

α

|

<

1

ta đặt

|

c

a

cos

α

|

=

sin

β

,pt trở thành :

sin

(

x

+

α

)=

sin

β

đây là pt cơ bản

Cách 3: Đặt

t

=

tan

x

2

, ta có cơng thức :

sin

x

=

2 t

1 +

t

2 ,

cos

x

=

1 − t

1 +

t

2 thì pt trở thành :

a

2 t

1 +

t

+

b

1 −t

1 +

t

=

c

¿

⇔

(

b

+

c

)

t

−

2 at

+

b − c

=

0 ¿

, Đây là pt bậc hai theo t

B.VÍ DỤ :

Giải phương trình :

sin

x −

√

3 cos

x

=

1

Bài giải :

Cách 1 : Chia hai vế của phương trình cho 2 ta được :

1

2 sin

x −

√

3

2 cos

x

=

1

2

Vì

1

2 =

cos 60

và

√

3

2 =

sin 60

nên phương trở thành :
sinxcos600 - cosxsin600 =

1

2

 sin(x- 600) = sin300


x −

60 =

30 +

k

360 ¿

x −

60 =

180 −

30 +

k

360 ¿

x

=

90 +

k

360 ¿

x

=

210 +

k

360 ¿

, kz

Cách 2 : Chia hai vế của pt cho 1 , phương trình trở thành

sin

x −

√

3 cos

x

=

1

⇔sinx −tan 600. cosx

⇔

sin

x −

sin 60

cos 60

cos

x

=

1 ⇔

sin

x

cos 60

−

cos

x

sin 60

=

cos 60

⇔

sin

(

x −

60 )=

1

2 ⇔

sin

(

x −

60 )=

sin 30

0 , đây là pt cơ bản .
Cách 3 : Đặt

t

=

tan

x

2

, phương trình trở thành :

2 t

1 +

t

−

√

3

1 − t

1 +

t

=

1

⇔2t −

√

3t

=1+t2

⇔

(

1 −

√

3 )

t

−

2 t

+

1 +

√

3 =

0

Đây là phương trình bậ hai theo t
C.BÀI TẬP

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM

3 cos 2

x −

√

3 sin 2

x

=

−

3 √

3 sin

(

x −

30 )

+

cos

(

x −

30 )

=

1

3) 3sin2x + 4 cos2x = 5 4)

√

2cos

(

− x

)+

√

2 sin

(

π

+

x

)=

√

3

5) sinx + cosx =

√

2 sin 2

x

+

2 √

3cos

x

=

0 sin 4

x

=

√

3 (

cos 4

x −

1 )

8) tan150.cosx + sinx -1 = 0

sin 2

x

+

sin

x

=

1

2

10)

1 +

sin

x

1 −

cos

x

=

2

HD : 6) Thay

cos

x

=

1 +

cos 2

x

2

8) Thay

tan 15

=

sin 15

cos 15

0 rồi qui đồng mẫu số .
9) Thay

sin

x

=

1 −

cos 2

x

2

10) Đặt điều kiện rồi qui đồng ,khử mẫu đưa về dạng ( 1 )

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THUẦN NHẤT THEO SINX VAØ COSX

asin2x + b sinxcosx + c.cos2x =d với a,b,c không đồng thời bằng 0

A. KIÊN THỨC CẦN NHỚ
Cách giải :

Cách 1 :

+ Với cosx = 0 tương ứng

sin

x

=

±

1

thế vào pt
Nếu vt = vp ( thỏa) : pt cĩ nghiệm

x

=

π

2 +

kπ , k

∈

z

Nếu vt ≠ vp (khơng thỏa ) pt khơng có nghiệm

x

=

π

2 +

kπ

+ Với cosx ≠0 ,Chia hai vế của phương trình cho cos2x,phương trình trở thành :

a tan2x + b tanx + c =

d

cos

x

 a tan2x + b tanx + c = d(1+tan2x)
Đây là phương trình bậc 2 theo tanx .

Cách 2 : Dùng công thức hạ bậc , thay

sin

x

=

1 −

cos 2

x

2 cos

x

=

1 +

cos 2

x

2 sin

x

cos

x

=

sin 2

x

2

ta được :

a

1 −

cos 2

x

2 +

b

sin 2

x

2 +

c

1 +

cos 2

x

2 =

d

⇔

b

sin 2

x

+(

c −a

)

cos 2

x

=

2 d − a −c

Đây là phương trình bậc nhất theo sin2x và cos2x

B.VÍ DỤ ;

Ví dụ 1 : Giải các phương trình :

2sin2x – 5 sinx.cosx - cos2x = -2

Bài giải :
 Cách 1 :

+ Với cosx = 0 tương ứng với

sin

x

=

±

1

khi đó VT = 2  VP = -2 nên cosx = 0 không

thỏa

mãn phương trình (1). Pt khơng có nghiệm cosx = 0 .
 + Với cosx  0 , chia hai vế của pt cho cos2x . pt trở thành :

2 tan2x -5 tanx -1 =

−

2 cos

x

=

−

2 (

1 +

tan

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM
 4tan2x – 5tanx + 1 = 0

tan

x

=

1 tan

x

=

1

4 ⇔

¿

Với tanx = 1

⇔

x

=

π

4 +

kπ , k

∈

z

Với tanx =

1

4 ⇔

x

=

arctan

1

4 +

kπ

, kz
Cách 2 : Thay

sin

x

=

1 −

cos 2

x

2 cos

x

=

1 +

cos 2

x

2 sin

x

cos

x

=

sin 2

x

2

ta
được :

2

1 −

cos2

x

2 −

5 sin 2

x

2 −

1 +

cos 2

x

2 =

−

2 ⇔

5 sin 2

x

+

3 cos 2

x

=

5

Đây là phương trình bậc nhất theo sin2x và cos2x .
Ví dụ 2 : Giải phương trình :

2 cos

x −

3 √

3 sin 2

x −

4 sin

x

=

−

4

Bài giải :

Pt được viết lại dưới dạng : cos2x −3

√

3 sinxcosx −2 sin2x

=−2

+ Với cosx = 0 tương ứng với

sin

x

=

±

1

khi đó VT = -2 = VP = -2 nên cosx = 0 thỏa

phương trình (1). Pt có nghiệm cosx = 0

⇔

x

=

π

2 +

kπ ,

¿

k

∈

z

.

+ Với cosx  0 , chia hai vế của pt cho cos2x . pt trở thành :

1 -

3 √

3

tanx -2 tan2x=

−

2 cos

x

=

−

2 (

1 +

tan

x

)

⇔

1 −

√

3 tan

x

=

0

⇔

tan

x

=

1 √

3 ⇔

tan

x

=

tan

π

6 ⇔

x

=

π

6 +

kπ ,

¿

k

∈

z

Vậy pt có nghiệm là

x

=

π

2 +

kπ ,

và

x

=

π

6 +

kπ ,

¿

k

∈

z

Bài tập : Giải các phương trình

3 sin

x

+

4 sin 2

x

+

(

8 √

3 −

9 )

cos

x

=

0 (

√

3 +

1 )

sin

x −

√

3 sin 2

x

+

(

√

3 −

1 )

cos

x

=

0

3) 3sin2x - 4 sinxcosx +5cos2x = 2 4) sin2x + sin2x - 2cos2x =

1

2 sin

x −

√

3 cos

x

=

(

1 −

√

3 )

2 sin 2

x

6) cos

22x −

√

3 sin 4x=1+sin22x
7)

2 sin

2 x

+

(

3 +

√

3 )

sin 2

x

cos 2

x

+

(

√

3 −

1 )

cos

2 x

=

−

1 √

3 sin

x

+

(

1 −

√

3 )

sin

x

. cos

x −

cos

x

+

1 −

√

3 =

0 2 sin

x

+

3 sin 2

x

+

2 (

1 +

√

3 )=

5 +

√

3

10) sin2x −2 cos 2x −4 sin 2x=0
Một số pt áp dụng công thức biến đổi :

Vd: Giải các phương trình

1) sinx + sin2x + sin3x = 0 2) cos3x – cos4x + cos5x = 0 (*)

3) cos3x.cos7x = sin4x.sin6x 4) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2 (*)

5) 2 sin2x.sinx =1 + cosx – cos3x
Giải

1) sinx + sin2x + sin3x = 0

Ta có : sinx + sin2x + sin3x = 0

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM
⇔sin 2x

(

2 cosx+1

)

sin 2

x

=

0 2 cos

x

+

1 =

0 ⇔

¿

 sin2x= 0

⇔

x

=

kπ

k

∈

z

 2cosx+1 = 0

⇔

cos

x

=

−

1

2 =

cos

2 π

3 x

=

2 π

3 +

k

2 π

x

=

−

2 π

3 +

k

2 π

, k

∈

z

⇔

¿

CHƯƠNG II : TỔ HỢP – XÁC SUẤT



1 QUI TẮC ĐẾM

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ :

1- Qui tắc cộng :Một công việc được thực hiện bởi nhiều phương án .Phương án thứ nhất có m cách 
chọn,phương án thứ hai có n cách chọn thì có m + n cách chọn công việc .

Nếu và B là các tập hợp hữu hạn khơng có giao nhau( A B =  )thì

n

(

A

∪

B

)=

n

(

A

)+

n

(

B

)

Nếu Avà B là hai tập hợp hữu hạn bất kì ( A và B có thể giao nhau) thì n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB)

n

(

A

∪

B

)=

n

(

A

)+

n

(

B

)

−n

(

A ∩ B

)

2- Qui tắc nhân :Một công việc được thực hiện bởi nhiều công đoạn liên tiếp nhau .Cơng đoạn thứ nhất 
có m cách chọn,cơng đoạn thứ hai có n cách chọn thì có m . n cách chọn cơng việc .

B. VÍ DỤ 
Ví dụ 1:

Có 4 nam , 5 nữ .hỏi có bao nhiêu cách chọn :
a) Một học sinh đi trực

b) Một cặp song ca .

Vd2 : Từ các số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số:

a) Có 4 chữ số b) Có 4 chữ số khác nhau

c) Số lẻ có 4 chữ số khác nhau d) Số chẵn có 4 chữ số khác nhau
Bài giải :

a ) Gọi số cần tìm là abcd

Tại a có 5 cách chọn vì a 0 (

a

∈

{1,2,3,4,5

}

)
 Tại b có 6 cách chọn (

b

∈

{0,1,2,3,4,5

}

)
 Tại c có 6 cách chọn ( tương tự )
 Tại d có 6 cách chọn

Qui tắc nhân ta có : 5.6.6.6 = 1080 số 
b) Gọi số cần tìm là abcd

Tại c có 3 cách chọn vì c  a và c  b và c  dQui

tắc nhân ta có : 3.4.4.3 = 144 số .
d) Gọi số cần tìm là abcd

Cách 1:Số có 4 chữ số khác nhau = số lẻ có 4 chữ số khác
 nhau + số chẵn có 4 chữ số

 số chẵn có 4 chữ số khác nhau = Số có 4 chữ số khác

nhau – số lẻ có 4 chữ số khác nh = 300 – 144 = 156

Bài giải :

a) Số cách chọn một học sinh đỉ trực 
 Có 4 cách chọn 1nam
Có 5 cách chọn 1 nữ

Vậy theo qui tắc cộng ta có : 4 + 5 = 9 cách 
b) Số cách chọn một cặp song ca

- Có 4 cách chọn nam,

- Ứng với 1 cách chọn nam thì lại có 5 cách 
chọn nữ

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM

Tại a có 5 cách chọn vì a 0 (

a

∈

{1,2,3,4,5

}

)
 Tại b có 5 cách chọn vì b  a

Tại c có 4 cách chọn vì c  a và c  b

( tương tự )

Tại d có 3 cách chọn vì d  a và d  b và d  c

Qui tắc nhân ta có : 5.5.4.3 = 300 số 
c) Gọi số cần tìm là abcd

Tại d có 3 cách chọn (

d

∈

{

1,3,5}

)
 Tại a có 4 cách chọn vì a  0 và a  d

Tại b có 4 cách chọn vì b  a và b d

Cách 2 :

Trường hợp d = 0 . Tại d có 1 cách chọn

Tại a có 5 cách chọn vì ad

Tại b có 4 cách chọn vì b  a và b d

Tại c có 3 cách chọn

Theo qui tắc nhân ta có 1.5.4.3 = 60 số

Trường hợp d  0 . Tại d có 2 cách chọn (

d

∈

{

2 ;

4 }

)

Tại a có 4 cách chọn vì a  0 và a  d

Tại b có 4 cách chọn vì b  a và b d

Tại c có 3 cách chọn

Theo qui tắc nhân ta có 2.4.4.3 = 96 số

Bài tập

1/ Từ các số 1,2,3,4,5,6,,7 có thể lập được bao nhiêu số :

a) Có 5 chữ số b) Có 5 chữ số khác nhau

c) Số chẵn có 5 chữ số d) Số chẵn có 5 chữ số khác nhau
2/ Từ các số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số:

a) Có 5 chữ số b) Có 5 chữ số khác nhau

c) Số lẻ có 5 chữ số khác nhau d) Số chẵn có 5 chữ số khác nhau
e) Số chẵn có 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 5

3/ Một lớp học có 50 học sinh trong đó có 30 hs biết đá bóng,20 học sinh biết đánh bóng chuyền ,15 học sinh
biết cả hai mơn . Hỏi lớp học đó có bao nhiêu học sinh

a) Biết chơi thể thao b) Không biết chơi thể thao .

4 / Từ A đến B có 3 con đường ,từ B đến C có 4 con đường ,từ C đến D có 5 con đường . Hỏi có bao nhiêu cách
đi :

a) Từ A đến D . ( ĐS : 3.4.5 cách )

b) Từ A đến D rồi trở về A . (ĐS : 60.60 cách )

c) Từ A đến D rồi trở về A mà không trở lại đường cũ . (ĐS: 60.24 cách)

5) Có 10 cặp vợ chồng đi dự tiệc .Người ta chọn 1 cặp để phát biểu ý kiến ,Hỏi có bao nhiêu cách chọn để :
a) Hai người đó là vợ chồng ( Đs : 10 cách )

b) Hai người đó khơng phải là vợ chồng . ( Đs : 90 cách )

6) Có bao nhiêu cách xếp 5 nam , 5 nữ vào 10 ghế thành hàng ngang sao cho :
a)Nam nữ ngồi xen kẽ nhau . (Đs : 5!.5! cách)

b)Các bạn nam ngồi cạnh nhau . (Đs : 6.5!.5! cách )



2 HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ :

1)Hoán vi :Chọn n trong n phần tử và xếp theo 1 thứ tự nhất định thì gọi là 1 hốn vị của n phần tử.Tổng 
số các hoán vị là :

P

n

=

n !

=

n

(

n−

1 )(

n−

2 )

. .. .3 . 2. 1

2)Chỉnh hợp :Chọn k trong n phần tử (

1 ≤ k ≤ n

) và sắp xếp theo 1 thứ tự nhất định (vd:nhất,nhì,ba) 
thì gọi là chỉnh hợp chập k của n phần tử.Tổng số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là :

A

n

k

=

n !

(

n −k

)

!

3)Tổ hợp : Một tập hợp con gồm k phần tử (

1 ≤ k ≤ n

) được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử . 
Tổng số các tổ hợp chập k của n phần tử là :

C

n
k

=

n !

k !

(

n− k

)

!

B. VÍ DỤ :

Có 10 học sinh .Hỏi có bao nhiêu cách xếp :
1) 10 học sinh vào cái bàn có 10 chỗ ngồi.
2) 4 học sinh để phát thưởng nhất ,nhì , ba ,tư .
3) 3 học sinh đi trực

Bài giải :

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM

P10 = 3628800 cách xếp

2) Chọn 4 trong 10 học sinh và sắp xếp theo một thứ tự :nhất ,nhì ,ba tư là chỉnh hợp chập 4 của 10 
 phần tử . Tổng số cácchỉnh hợp này là :

A

=

5040

3) Chọn 3 trong 10 học sinh đi trực . Mỗi cách chọn là 1 tập hợp con có 3 phần tử .Tổng số tập hợp 
 con này là tổ hợp chập 3 của 10 phần tử . Như vậy có

C

=

120

cách xếp 
C.BÀI TẬP

1) Từ 8 điểm trên mp ta có thể vẽ được bao nhiêu

a) Đường thẳng b) Véc tơ c) Tam giác
2) Một ban chấp hành gồm 7 người . Hỏi có bao nhiêu cách chọn

a) Cả 7 người vào một bàn ăn có 7 chỗ ngồi khác nhau .
b) Ba người vào ban thường vụ : Bí thư,phó bí thư,ủy viên.
c) Năm người đi dự đại hội đồn cấp trên .

3) Có bao nhiêu cách chọn 5 trong 11 cầu thủ đá phạt đền.
4) Có bao nhiêu đường chéo trong 1 hình đa giác lồi 20 cạnh.

5) Có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành từ 5 đt// và 4 đt vuông góc .

6) Trên giá sách có 10 quyển sách tốn,8 quyển sách văn và 3 quyển sách lý.Lấy 3 quyển.Tính số cách lấy để :
a) Mỗi loại có 1 quyển. b) Cả 3 quyển cùng loại.

c) Chỉ có đúng 1 quyển sách văn. d) Có ít nhất 1 quyển tốn.
D.MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TỔ HỢP

Giải các phương trình :
 1)

A

x

=

12

2)

(

n

+

1 )

!

(

n−

1 )

!

=

72

3)

n!−

(

n −

1 )

!

(

n

+

1 )

!

=

1

6

4)

n!

(

n−

2 )

!

−

n !

(

n −

1 )

!

=

3

5) Ax

+5A2x=21x 6) A3x+Cxx −2=14x
 7)

2 A

x2

+

50 =

A

22x 8)

C

1x

+

C

2x

=

6

9)

C

x

+

C

2x

+

C

3x

=

7 x

2

10)

2 C

x+1
2

+

3 A

x

=

30

11)

C

x

+

C

x
x−1

+

C

x
x−2

=

79

12)

C

x

+

6 C

x

+

6 C

x

=

9 x

−

14

13)

1

2 A

2x

− A

x

≤

6 x

.

C

x

+

10

14) Pn+3=720An5Pn −5 15) An5=18An−4 2

16)

P

x

A

x

+

72 =

6 (

A

x

+

2 P

x

)

17)

C

x+8

x+3

=

5 A

x+6
3

18)

1 C

4x

−

1 C

5x

=

1 C

6x

19)

C

3x −1

− C

2x −1

=

2

3 A

x −2

20)

1 C

x

−

1 C

x+1

=

7

6 C

x+4

1 21)

2Pn+6An2− Pn.An2=12

22)

A

10x

+

A

9x

=

9 A

8x 23)

2 C

2x+1

+

3 A

x2

<

30

24)

72 A

x1

− A

3x+1

=

72 

3 -NHỊ THỨC NIU-TƠN

A

. KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
Cần nhớ : a0 = 1 ,

a

− n

=

1 a

n ,

√

nam=a
m

n , am.an = am+n ,

a

m

a

n

=

a

m−n

(

a

m

)

n

=

a

m.n
1) Công thức nhị thức niu tơn :

(

a

+

b

)

n

=

C

n0

a

n

+

C

1n

a

n −1

b

+

C

2n

a

n −2

b

+

. . .

+

C

nk

a

n − k

b

k

+

..

+

C

nn

b

n
+ Số hạng tổng quát là Cn

k

an −kbk
+ Tổng các hệ số của (ax+by)n là (a+b)n

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM

n=0 (a+b)0 1 1

n=1 (a+b)1 1 1 1 1

n=2 (a+b)2 1 2 1 1 2 1

n=2 (a+b)3 1 3 3 1 hay 1 3 3 1

n=4 1 4 6 4 1 1 4 6 4 1
n=5 1 5 10 10 5 1 1 5 10 10 5 1
B.BÀI TẬP

1/ Khai triển nhị thức :

a)) (x+2)4 b) (3x- 4)5 c) (2x-3y)5 d)

(

sin

x

+

2 )

4
e)

(

x −

√

2 )

6 f)

(

x −

2 x

)

(

x

+

1

2 x

)

(

2 x −

4 x

)

(

2 x

−

3 x

)

(

x

−

2 x

)

(

2

x

−

3 xy

)

6 n)

(

x

y

+

x

y

)

2/ a)Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển

(

x

+

1 x

)

b)Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển

(

x −

2 x

)

a) Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển

(

2 x −

1 x

)

b) Tìm số hạng thứ 8 trong khai triển (1-2x)12

c) Tìm số hạng thứ 6 trong khai triển

(

x

+

4 x

)

d) Tìm hệ số của x4 trong khai triển

(

x

1 −

2 x

)

n biết Cn+4

n+1

−Cn+3

n

=7(n+3)
e) Biết hệ số của x2 trong khai triển (1+3x)n là 90.Tìm n



4- PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ

A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1/ Không gian mẫu :là tập hợp tất cả các kết quả có thể sảy ra trong một phép thử .k/h  .
2/ Biến cố :là tập con của không gian mẫu



5. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ :

1 - Định nghĩ xác suất : tỉ số P(A)=n(A)

n(Ω) gọi là xác suất của biến cố A
2/ Tính chất :

Nếu

{

A ∩ B

=

∅

A

∪

B

=

Ω

thì A và B là hai biến cố đối (

B

=

A

) khi đó :

P

(

A

)+

P

(

B

)=

1

hay

P

(

A

)+

P

(

A

)=

1

B.VÍ DỤ :

Có 3 quả cầu trắng , 4 quả cầu xanh . Chọn ngẫu nhiên hai quả .Tính xác suất của biến cố :
a) Hai quả cùng màu b) Hai quả khác màu

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM

Lấy hai trong 7 quả cầu là tổ hợp chập 2 của 7 phần tử ,do do đó

n

(

Ω

)=

C

72

=

21

a ) Chọn được hai quả cùng màu ,Có hai khả năng:
+ Chọn được hai quả trắng ,có

C

32 cách

+ Chọn được hai quả xanh ,có C24 cách

Nên

n

(

A

)=

C

+

C

=

9

, do đó

P

(

A

)=

n

(

A

)

n

(

Ω

)

=

9

21 =

3

7

b) Chọn được hai quả khác màu 
+ Có

C

cách chọn một quả trắng .

+ Ứng với 1 cách chọn trắng thì lại có C14 cách quả xanh

Qui tắc nhân ta có n(B) =

C

.

C

=

12

, do đó

P

(

B

)=

n

(

B

)

n

(

Ω

)

=

12

21 =

4

7

c) Chọn được ít nhất một quả trắng : Có hai khả năng :
+ Chọn được 1 trắng, 1 xanh : có

C

.

C

4
1

cách
+ Chọn được hai trắng : có C32 cách .

Qui tắc cơng ta có n ( C ) =

C

.

C

41 +

C

32 =15 ,do đó

P(A)=n(A)
n(Ω)=

21=

5
7

d) vì

{

A ∩ B

=

∅

A

∪

B

=

Ω

nên A và B là hai biến cố đối nhau ( B=A ) nên :

P(A) + P(B) = 1  P(D) = 1- P(C) =

1 −

5

7 =

2

7 C.BÀI TẬP

2) Gieo một đồng tiền hai lần . Tính xác suất của các biến cố :

A: “ Lần đầu xuất hiện mặt sấp” B: “ Mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần”
3) Gieo một đồng tiền ba lần .Tính xác suất của biến cố :

A: “ Lần đầu xuất hiện mặt sấp’ B: “ Mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần”
C: “ Khơng có lần nào xuất hiện mặt sấp . D: “ Mặt sấp xuất hiện ít nhất hai lần”
3) Gieo con súc sắc hai lần . Tính xác suất của các biến cố :

a) Lần đầu xuất hiện mặt một chấm . b) Mặt một chấm xuất hiện ít nhất một lần .
c) Khơng có lần nào xuất hiện mặt một chấm . d) Tổng số chấm trên hai mặt nhỏ hơn 5.
5) Có 4 quả cầu trắng , 5 quả xanh , 6 quả đỏ . Chọn 3 quả .Hỏi có bao nhiêu cách chọn

a) Ba quả cùng màu. b) Ba quả khác màu . c) Ít nhất một quả trắng.

d) Khơng có quả trắng nào . e) Có đúng một quả trắng f) Ít nhất hai quả trắng .
6) Một bình có 16 viên bi với 7 bi trắng ,6 bi đen,3 bi đỏ .

a) Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi .Tính xác suất để :

i) Lấy được 3 bi đỏ . ii) Lấy được 3 bi không đỏ
b) Lấy ngẫu nhiên hai bi . Tính xác suất để lấy được:

i) Hai bi khác màu. ii) Hai bi cùng màu

CHƯƠNG III : DÃY SỐ - CẤP SỐ



1-PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC

Phương pháp chứng minh qui nạp gồm có 3 bước :
Bước 1 : Kiểm tra mệnh đề đúng với n= 1

Bước 2 : Giả thiết mệnh đề đúng với n=k
Bước 3 : Ta c/m mệnh đề đúng với n = k+1

Vd1 : Cmr  nN* ,ta có :

1+3+5+ ….+ (2n-1) = n2

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM

1 +

2 +

3 +

. ..

+

n

=

n

(

n

+

1 )

2

Vd3: : Cmr  nN* thì n3 – n chia hết cho 3

Vd4 : Cmr  nN* ,ta có : 3n > 3n+1



2 DÃY SỐ

a) Dãy số un gọi là dãy số tăng nếu un <un+1

Dãy số un gọi là dãy số giảm nếu un >un+1

b) Phương pháp khảo sát tính đơn điệu của dãy số :

Phương pháp 1 : xét hiệu un+1 – un nếu un+1 –un >0  un+1 > un thì dãy số tăng

nếu un+1 –un < 0  un+1 < un thì dãy số giảm

Phương pháp 2 : Nếu un > 0 với mọi n N* thì lập tỉ số

un+1
un

Nếu

u

n+1

u

n

>0 với mọi n N* thì dãy số tăng

Nếu un+1

un

<0 0 với mọi n N* thì dãy số giảm

Vd :

a) Chứng minh dãy số sau là dãy số tăng : un = 2n-3

b) Chứng minh dãy số sau là dãy số giảm :

u

n

=

1 n



3 CẤP SỐ CỘNG

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ :

a) ĐN : un=un −1+d ( hoặc un+1 = un + d )

b) Số hạng tổng quát :

u

n

=

u

+(

n −

1 )

d

c) Tính chất :

u

k

=

u

k −1

+

u

k+1

2

( k ≥2 )
d) Tổng :

S

n

=

n

2 (

u

+

u

n

)

Hay

S

n

=

n

2 [

2 u

+(

n −

1 )

d

]

B . BÀI TẬP

Dạng 1 : Tìm số hạng của cấp số cộng :

Vd1 : 1) Tìm 5 số hạng đầu của csc biết u1 = 2 , d = 3 .

2) Cho cấp số cộng biết u1 = 3 , u6 = 23

a) Tìm 5 số hạng đầu của cấp số cộng.
b) Tính số hạng thứ 50 .

c) Tính tổng của 100 số hạng đầu tiên .

3) Tìm 6 số hạng đầu liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng ba số hạng đầu là 12,tổng của ba số hạng
kế là 30 .

3) Xen vào giữa số 3 và số 24 để được một csc có tám số hạng .

Dạng 2 : Tính tổng của cấp số cộng

1) Tính tổng S = 1+4+7+…+ 997+1000 ( HD : un = u1 + (n-1)d =1000 , tìm n )

2) Tính tổng

S

=

1 +

3

2 +

5

2 +

. ..

+

101

2

3) Tính tổng S= 400 + 396 + 392 + …+ 4

4) Tính tổng S= 12-22+32 - 42 +52-62 + …+ (-1)n-1.n2 (HD: 12-22 = -3 , 32-42 = -7 , 52-62 = -11 )

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM
1)

{

u

=

4 u

=

13 {

2 u

−u

=

14 u

+

u

=

20 {

u

− u

=

−

9 u

.

u

=

54 {

u

+

u

−

2 u

=

−

6 S

=

30 {

u

+

2 u

=

0 S

=

14

{

u

+

u

=

11 3

S

=

14

3 {

u

+

u

− u

=

10 u

+

u

=

7 {

u

+

u

+

u

=

27 u

12

+

u

+

u

=

275

Dạng 4 : Chứng minh dãy số (un) là cấp số cộng ,tìm n .

1) Cho dãy số (un) biết un= 2n-3 .

a) Chứng minh dãy số (un) là một cấp số cộng .Tìm u1 và d .

b) Số 1999 là số hạng thứ bao nhiêu ?
c) Số 9800 là tổng của bao nhiêu số hạng ?
2) Tìm x trong cấp số cộng biết :

a) 1+ 6 +11+ 16 +…+ x = 970
b) 2 + 7 + 12 +…+ x = 24

Giải : a) Tổng trên là tổng của cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 1,un = x ,cơng sai d = 5 ,và có

Sn = 970. Để tìm được x ta cần tìm n .Ta có :

S

n

=

n

2 [

2 u

+(

n −

1 )

d

]

=

970 ⇔

n

[

2. 1

+(

n−

1 )

. 5

]

=

1940

⇔2n+5n2−5n=1940

n

=

20 ¿

n

=

−

194 (

loai

)

⇔

5 n

−

3 n −

1940

=

0 ⇔

¿

Do đó x chính là số hạng thứ 20 hay x = u20 = u1 + 19d =1+19.5 = 96

Dạng 5 : Dùng tính chất của cấp số cộng để giải một số bài toán :

1) Tìm m để 3 số : 3m2 + 1 ; 7m – m2 ; m2 + 3 lập thành một cấp số cộng

2) Tìm x trong cấp số cộng có 3 số hạng liên tiếp là C1x , C2x , C3x

3) Tìm x để 1+ sinx , sin2x , 1+ sin3x lập thành một cấp số cộng .

4) Cho cấp số cộng có 4 số hạng liên tiếp là 1 , x+1 , y - 2 , 19 lập thành một cấp số cộng .

Dạng 6 : Xác định các góc,cạnh trong một tam giác ,tứ giác .

1) Tìm 3 góc trong 1 tam giác lập thành một cấp số cộng có cơng sai d = 30 .
2) Tìm 3 góc trong 1 tam giác vuông lập thành một cấp số cộng .

3) Tìm 3 góc trong một tam giác lập thành một cấp số cộng biết góc nhỏ nhất là 200 .

4) Ba góc của 1 tam giác có số đo lập thành 1 cấp số cộng.Góc nhỏ nhất bằng 1/7 góc lớn nhất.Tính
số đo 3 góc tam giác ấy.

5) Tìm 4 góc trong 1 tứ giác lập thành 1 cấp số cộng có góc nhỏ nhất bằng 150

6) Tìm các cạnh trong một đa giác lập thành một cấp số cơng, có chu vi là 158 cm , biết góc lớn nhất là
44 ,công sai d = 3 cm



4 . CẤP SỐ NHÂN

A. KIÊN THỨC CẦN NHỚ :

a) ĐN :

u

n

=

u

n −1

.

q

( hoặc un+1 = un .q )

b) Số hạng tổng quát : un=u1.qn −1

c) Tính chất :

u

k2

=

u

k −1

.

u

k+1 (

k ≥

2

)

d) Tổng :

S

n

=

u

1 − q

n

1 −q

Nếu q < 1 thì qn→0 ,ta có tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là :

S

=

u

1 − q

B. BÀI TẬP

Dạng 1 : Tìm số hạng và tổng của cấp số nhân :

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM
2) Cho cấp số nhân có 3 số hạng đầu là

1

3

2

9

4

27

, tính u8 , S8 .

3) Cho cấp số nhân có bốn số hạng liên tiếp là 3 , x , 9 , y . Hãy tìm x , y
4) Cho cấp số nhân biết u1 = 3 , u4 = 81

a) Tìm 5 số hạng đầu của cấp số nhân.
b) Tính số hạng thứ 8 .

c) Tính tổng của 6 số hạng đầu tiên .

5) Xen vào giữa số 1 và số 243 ,sáu số để được một cấp sốp nhân có tám số hạng .
6) Xen vào giữa số -2 và số 256 ,sáu số để được một cấp số nhân có tám số hạng .

Dạng 2 : Tìm số hạng đầu và công bội của csn ,biết :

{

u

=

4 u

=

16 {

u

− u

=

72 u

+

u

=

144 {

u

+

u

−u

=

−

22 u

+

u

−u

=

−

44 {

u

− u

=

24 u

+

u

=

12 {

u

−u

+

u

=

65 u

+

u

=

325 {

u

− u

=

15 u

− u

=

6

Dạng 3 : Chứng minh dãy số (un) là cấp số nhân ,tìm n .

1) Cho cấp số nhân biết

{

u

+

u

=

51 u

+

u

=

102

a)Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân

b)Hỏi tổng của bao nhiêu số hạng đầu tiên sẽ bằng 3069 ?
c)Số 12288 là số hạng thứ mấy ?

2) Cho cấp số nhân (un) có

{

u

1

−u

3

=

1

3 u

2

+

u

3

=

−

1

2

a) Tìm số hạng thứ 15 b) số

−

6561

8

là số hạng thứ mấy ?
3) Cho dãy số (un) biết un= 2n.

a) Chứng minh dãy số (un) là một cấp số nhân .Tìm u1 và q .

b) Số 1024 là số hạng thứ bao nhiêu ?
c) Số 2046 là tổng của bao nhiêu số hạng ?
4) Tìm số các số hạng ( tìm n ) của cấp số nhân ( un) biết :

a) q = 2 , un = 96 , Sn = 189

b) q = 2 , un =

1

8

, Sn =

31

8

Giải : a) Ta có :

u

n

=

u

.

q

n −1

=

96 ⇔

u

. 2

n −1

=

96 ⇔

u

.

2

n

2 =

96 ⇔

2

n

=

192 u

S

n

=

u

1 − q

n

1 −q

=

189 ⇔

u

1 −

2

n

1 −

2 =

189 ⇔

u

−u

. 2

n

=

−

189 ⇔u

1

−u

1

.

192 u

1

=

−

189 ⇔

u

=

3

Với u1 = 3 thế vào pt (1) ta được :

2

n

=

192

3 =

64 =

2

 n = 6

Vậy cấp số nhân trên có 6 số hạng

Dạng 4 : Xác định các góc trong một tam giác ,tứ giác .

1) Tìm 4 góc trong 1 tứ giác lập thành một cấp số nhân có cơng bội q = 2 .
2) Tìm 4 góc trong 1 tứ giác lập thành một cấp số nhân có góc nhỏ nhất là 90 .

3) Tìm 4 góc trong 1 tứ giác lập thành 1 cấp số nhân biết góc lớn nhất gấp 9 lần góc nhỏ nhất .

Dạng 5 : Tính tổng của cấp số nhân lùi vơ hạn

1) Tính tổng :
a)

S

=

1

2 +

1

3 +

2

9 +

4

27 +

. ..

S

=

1 −

1

2 +

1

2 −

1

2 +

1

2 +

. ..

S

=

1 −

1

2 +

1

3 −

1

4 +

1

9 −

1

16 +

1

27 +

.. .

S

=

3 +

1

2 +

1

4 +

.. .

+

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM
e)

S

=

1 1. 2

+

1 2 . 3

+

1 3 . 4

+

.. .

+

1 n

(

n

+

1 )

( HD :

1 1 . 2

=

1 −

1

2

1 2 . 3

=

1

2 −

1

3

,..,

1 n

(

n

+

1 )

=

1 n

−

1 n

+

1

)

2) Viêt số a = 5,121212…dưới dạng phân số . ( HD : a = 5+0,12+0,0012+..=5+

12

100 +

12 10000

+

. .. .

)

SỞ GD VÀ ĐT TIỀN GIANG ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ 1 NĂM HỌC 2011 -2012

TRƯƠNG THPT HUỲNH VĂN SÂM Mơn tốn – khối 11 , Thời gian 120 phút

Bài 1 : ( 3 điểm ) Giải các phương trình :
1) cos22x + cos2x = 1

2) 2 + cos2x + sin2x = 3sin2x

3) sinx + cos2x +sin3x + cos4x = 0
Bài 2 : ( 2 điểm )

1) Cho 10 điểm trên đường tròn ( C )

a) Có bao nhiêu tam giác được tạo nên từ 10 điểm đã cho ?

b) Có bao nhiêu đường chéo từ đa giác lồi được tạo từ 10 điểm trên .

2) Giải phương trình :

A

x

+

C

x
x −2

=

14 x

3) Tìm số hạng thứ tư trong khai triển

(

x −

2 x

)

Bài 3 : ( 1 điểm)

Cho cấp số cộng (un) sao cho :

{

3 u

1

+

2 u

3

=

−

4 u

+

5 u

=

18

. Tìm u1 và d

Bài 4 : ( 2 điểm )

Trong mpOxy cho đường thẳng (d) :2x – y + 3 = 0 và đường tròn ( C ) : x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0

1) Tìm ảnh của d qua phép tịnh tiến véc tơ

u

→

=(

−

2

;

1

)

2) Tìm ảnh của ( C ) qua phép vị tự tâm I(2;3) ,tỉ số k = 2 .

Bài 5 : ( 2 điểm ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành ,tâm O .
1)Tìm giao tuyến của hao mặt phẳng :

a)(SAC) và (SBD)
b)(SAB) và (SCD)

2) Gọi M là trung điểm của SD . Tìm giao điểm của :
a) SA với mp(MBC)

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19></div>

de cuong on tap ds 11 hk1

<b>Chương I : HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC</b>

<i>π</i>

6

<i>π</i>

4

<i>π</i>

3

<i>π</i>

2

2

<i>π</i>

3

3

<i>π</i>

4

5

<i>π</i>

6

<i>π</i>

3

<i>π</i>

2

2

<i>π</i>

1

2

√

<sub>2</sub>

2

√

<sub>2</sub>

3

√

<sub>2</sub>

3

√

<sub>2</sub>

2

1

2

<i>−</i>

1

√

<sub>2</sub>

3

√

<sub>2</sub>

2

1

2

<i>−</i>

1

2

<i>−</i>

√

<sub>2</sub>

3

√

<sub>3</sub>

3

<sub>√</sub>

<sub>3</sub>

<i><sub>−</sub></i>

<sub>√</sub>

<sub>3</sub>

<i>−</i>

√

<sub>3</sub>

3

<sub>√</sub>

<sub>3</sub>

√

<sub>3</sub>

3

<i>−</i>

√

<sub>3</sub>

3

<i><sub>−</sub></i>