Bai toan xac dinh mot da thuc

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (152.6 KB, 11 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Phòng giáo dục Quận
Trờng thCS ngô gia tự

Bài toán

xỏc nh mt a thc

Ngời thực hiện

:

Ngô Đức Minh.

Giáo viên :

Trờng ThCS Ngô gia tự - Quận Hồng Bàng.

Năm học 2000 - 2001.

A / Lý do chọn đề tài:

Những năm gần đây, trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp quận , huyện,
thành phố hay có dạng bài tốn xác định một đa thức . Khi gặp loại tốn này
các em thờng nhanh chóng giải bằng phơng pháp chia đa thức hay dùng hệ số
bất định ... để đa đến việc tìm các hệ số của đa thức vào việc giải hệ phơng
trình. Việc giải hệ phơng trình này cũng khá khó khăn khi gặp hệ phơng trình
3 , 4 ẩn nhất là đối học sinh lớp 8 .

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

- Hệ số bất định .

- Phơng pháp néi suy NEWTON .

Các bài tập minh hoạ cho vấn đề này là các bài toán thi học sinh giỏi quận,
thành phố .

B / Nội dung chuyên đề :

Phần 1 : Định lý Bơ - zu và ứng dụng

1) Định lý Bơ-zu :

PhÇn d cđa phÐp chia đa thức f(x) cho nhị thức bậc nhất x - a 
 b»ng gi¸ trị của đa thức tại điểm a tức là f(a) .

Chøng minh :

Gäi phÇn d của phép chia đa thức f(x) cho nhị thức bËc nhÊt x - a lµ r(x) .
Do bËc của đa thức d nhỏ hơn bậc của đa thức chia nên r(x) là một hằng số r
và ta có :

f(x) = (x - a ) q(x) + r

Thay x = a ta đợc : f(a) = ( a - a ) q(a) + r

 f(a) = r ( đpcm ).

*/ Hệ quả :

Nếu a là nghiệm của f(x) thì f(x) ( x -a ).
2 ) ứng dụng :

Bài toán 1 :

Tỡm a , b để đa thức 2x3+ax+b chia cho x+1 d -6 và chia cho x-2 d

21 .

(Đề thi học sinh giỏi vòng 1-Quận Hồng bàng- năm häc 1998-1999).
Lêi gi¶i :

Đặt f(x) = 2x3+ax+b . Theo định lý Bơ-zu ta có :

f(x):(x+1) d -6 <-> f(-1) =-6 <-> 2(-1)3 + a(-1)+b = -6 <-> -a+b = -4
f(x): (x-2) d 21 <-> f(2) = 21 <-> 2.23 + a.2 + b = 21 <-> 2a +b = 5

− a+b=−4

2a+b=5

⇔

¿− a+b=−4

−3a=−9

⇔

¿− a+b=−4

a=3 ¿ ⇔ a=3 b=1 {

Để tìm a , b ta giải hệ phơng trình sau :

Vậy đa thức cần tìm là f(x) = 2x3+3x-1

Bài toán 2:

§a thøc f(x) khi chia cho x + 1 d 4 , khi chia cho x2 + 1 d 2x + 3 . T×m sè
d khi chia f(x) cho (x + 1)(x2 + 1) .

( Đề thi BDTX giáo viên THCS - Năm học 1999 - 2000 )
Lời giải:

Theo định lý Bơ - zu , ta có : f(x) : (x+1) d 4 <-> f(-1) = 4

Do bậc của đa thức chia là 3 nên bậc của đa thức d là bậc 2 .Vì thế ,đa thức d
có dạng ax2 + bx + c . Theo định nghĩa phép chia cịn d ta có :

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

= (x + 1)(x2 + 1).q(x) + ax2 + a - a + bx + c
= (x + 1)(x2 + 1).q(x) + a(x2 + 1) + bx + c - a
= [(x + 1).q(x) + a].(x2 + 1) + bx + c - a

b=2

¿
c −a=3

a −b+c=4

⇔

¿b=2

c −a=3

a+c=6

⇔

¿b=2

c=9

a=3

2
¿
¿{ {
¿
¿ ¿
¿

Mµ f(x) : (x2 + 1) d 2x + 3 . Vậy ta phải có :

3
2x

+2x+9

2 Vậy đa thức d cần tìm là :

Bài to¸n 3 :

Cho ®a thøc A = x4 + ax2 + b

a/ Hãy xác định hệ số a , b của đa thức A biết A chia hết cho đa thức
B = x2 - 3x + 2

b/ Xác định thơng trong phép chia trờn .

( Đề thi học sinh giỏi thành phố - Bảng A- Lớp8 - năm học 1997-1998 )

Lời giải :

AB

A(1)=0

A(2)=0

14+a. 12+b=0

24+a.22+b=0

⇔

¿a+b=−1

4a+b=−16

⇔

¿a=−5

b=4

¿{

a) Ta có : B = x2 - 3x +2 = (x -1)(x-2) .Theo định lý Bơ-zu ,

ta cã :

VËy ®a thøc A = x4 - 5x2 + 4.

b) Để tìm thơng trong phép chia trên, ta đặt :
x4 - 5x2 + 4 x2-3x+2

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

3x3 - 9 x2 + 6x
2x2 - 6x + 4

2x2 - 6x + 4
0

Th¬ng cđa phÐp chia A cho B lµ x2 + 3x + 2.

@ Nhận xét : Qua 3 bài tốn ta có thể rút ra một lời nhận xét : khi
sử dụng định lý Bơ-zu giúp ta giải quyết nhanh việc tìm hệ số của đa thức cần
tìm .Thơng thờng, nhờ định lý Bơ-zu đa việc tìm hệ số của đa thức về việc giải
hệ phơng trình 2 , 3 ẩn. Đối với hệ phơng trình 3 ẩn trở lên cần trang bị thêm
cho học sinh cách giải hệ bằng phơng pháp Gau-xơ. Thông qua việc giải dạy
trực tiếp của mình, tơi nhận thấy học sinh dễ dàng nắm bắt tốt và giải quyết
tốt một số bài toán nh xác định hệ số của đa thức biết số d khi chia cho một đa
thức khác hay tìm số d trong phép chia đa thức cho đa thức ...

Phần 2 : Phơng pháp hệ số bất định

*)

NhËn xÐt chung:

Theo định nghĩa hai đa thức f(x) và g(x) bằng nhau nếu chúng nhận
giá trị bằng nhau tại mọi giá trị của biến x . Rõ ràng nếu f(x) và g(x) có
cùng bậc và với mỗi i các hệ số của xi tơng ứng bằng nhau thì f(x) bằng
g(x) . Ngời ta đã chứng minh điều ngợc lại cũng đúng.

Cơ thĨ : f(x) = anxn + an-1xn-1 + ...+ a1x1 + a0
g(x) = bnxn + bn-1xn-1 + ...+ b1x1 + b0
f(x) = g(x) <-> ai = bi víi i = o,n

Sau đây là một số bài tốn xác định một đa thức có sử dụng định nghĩa
hai đa thức bằng nhau còn đợc gọi là phơng phỏp dựng h s bt nh .

Bài toán 4 :

Xác định a , b để đa thức ax3 + 12x2 + bx + 1 là luỹ thừa bậc 3 của
một đa thức khác .

( §Ị thi häc sinh giỏi thành phố - Bảng B-Lớp 8-Năm học 1998-1999)
Lời giải:

Vì đa thức ax3 + 12x2 + bx + 1 lµ luü thõa bËc 3 của một đa thức khác ,
nên bậc của đa thức cần tìm phải là bậc nhất . Hay đa thức cần tìm có
dạng: mx + n

Theo bµi ra ta cã :

ax3 + 12x2 + bx + 1 = ( mx + n )3

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

a=m3

3m2n

=12

3 mn2=b

n3

⇔

¿a=m3

m2=4

3m=b

n=1

⇔

m=2 thi a=8 ; b=6

m=−2 thi a=−8 ;b=−6

¿
¿{ { {

¿
¿
¿ ¿

VËy cã hai ®a thøc thoả mÃn điều điện bài toán

ú l :

8x3 + 12x2 + 6x2 + 1 = (2x + 1)3
hc - 8x3 + 12x2 - 6x2 + 1 = (-2x + 1)3

Bài toán 5 :

Tìm các số a , b ,c để x3 - ax2 + bx - c = (x - a)(x - b)(x - c)

(§Ị thi häc sinh giỏi thành phố -Bảng A-Lớp 8-Năm học 1999-2000)
Lời giải:

Theo bµi ra ta cã :

x3 - ax2 + bx - c = (x - a)(x - b)(x - c)
= (x2 - bx - ax + ab)(x - c)

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

¿
a=a+b+c

b=ab+bc+ca

c=abc

⇔

¿b+c=0

b=a(b+c)+bc

c=abc

⇔

¿b+c=0

b=bc

c=abc

¿{ {

Dùng phơng pháp hệ số bất định, ta phải có :

Do b = bc nªn b(1 - c) = 0 vËy cã hai trêng hỵp xÈy ra :
*) Nếu b =0 thì c = 0 và a là tuỳ ý

**) Nếu b 0 thì c = 1 và a = -1 ; b = -1

Bài toán 6 :

Cho ®a thøc A = ax3 + 6x2 + bx - 10

a/ Hãy xác định hệ số a , b của đa thức A biết A chia hết cho đa thức
B = x2 - 3x + 2

b/ Xác định thơng trong phép chia trên .

( Đề thi học sinh giỏi thành phố - Bảng B- Lớp8 - năm học 1997-1998 )
Lời giải :

*) Do bậc của đa thức A là 3 và bậc của đa thức B là 2 nên bậc của đa thức

thơng phải là bậc nhất và có d¹ng : mx + n

Theo bµi ra ta cã :

AB <-> ax3 + 6x + bx - 10 = (x2 - 3x + 2)(mx + n)

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

¿
a=m

6=− n −3m

b=2m−3n

−10=−2n

⇔

¿a=m

6=−5−3m

b=2m−15

n=5

⇔

¿a=−11

m=−11

b=2

(

−11

)

−15

n=5

⇔

¿a=−11

m=−11

b=−67

n=5

¿{ { {

Dùng phơng pháp hệ số bất định,ta phải có :

A=−11

3 x

+6x2−67

3 x −10 VËy đa thức cần tìm là :

11

3 x+5 **) Đa thức thơng trong phép chia A cho B là :

@Nhận xét: Đây là phơng pháp khá “chủ lực” của học sinh lới 8 khi
giải quyết bài toán xác định một đa thức .Cần lu ý về sự “cân bằng” bậc
của đa thức v gii h phng trỡnh .

Phần 3 : Phơng ph¸p néi suy NEWTON

*) NhËn xÐt chung :

Trong bộ mơn phơng pháp tính - Tốn cao cấp - có một phơng pháp
xác định nhanh các hệ số của một đa thức đó là phơng pháp nội suy
NEWTON

Nội dung chính của phơng pháp nội suy NEWTON đó là :

§Ĩ tìm đa thức P(x) bậc không quá n khi biết giá trị của đa thức tại n+1
điểm : C1 ,C2 , ... , Cn+1 ta cã thÓ biÓu diƠn P(x) díi d¹ng:

P(x)= b0 + b1(x - C1)+ b2(x - C1)(x - C2) +...+ bn(x -C1)(x -C2)...(x - Cn)
 Bằng cách thế x lần lợt các giá trị C1 , C2 , ... , Cn+1vào biểu thức
P(x) ta lần lợt tính đợc các hệ số b0 , b1 , ... , bn .

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Bài toán 7 :

Tìm một ®a thøc bËc 3 , P(x) biÕt :

P(0) = 10 ; P(1) = 12 ; P(2) = 4 ; P(3) = 1

( §Ị thi häc sinh giỏi CHDC Đức - 1979 )
Lời giải :

Đặt : P(x) = d + cx + bx(x - 1) + ax(x-1)(x-2)
Cho x = 0 , P(0) = d , suy ra d = 10 .

P(x) = 10 + cx + bx(x-1) + ax(x-1)(x-2)
Cho x = 1 , P(1) = 10 + c , suy ra c = 2 .

P(x) = 10 + 2x + bx(x-1) + ax(x-1)(x-2)
Cho x = 2 , P(2) = 10 + 4 + 2b , suy ra b = -5 .
P(x) = 10 + 2x - 5x(x-1) + ax(x-1)(x-2)
Cho x = 3 , P(3) = 10 + 6 - 30 + 6a , suy ra a = 5/2 .
P(x) = 10 + 2x - 5x(x-1) + 5/2 .x(x-1)(x-2)

P(x)=5

2 x

3−25

2 x

+12x+10 Rút gọn ta c a thc cn tỡm l :

Bài toán 8 :

Cho đa thức P(x) bậc 4 thoả m·n :

P(-1) = 0 vµ P(x) - P(x-1) = x(x+1)(2x+1)

1. Xác định P(x).

2. Suy ra giá trị của tổng sau đây (n là số nguyên dơng).
S = 1.2.3 + 2.3.4 + ... +n(n+1)(2n+1)

(§Ị thi häc sinh giái TP Hå ChÝ Minh - 1992)
Lêi gi¶i :

Cho x = 0 ,Suy ra P(0) - P(1) = 0 mà P(-1) =0 , vậy P(0) = 0
Cho x lần lợt các giá trị x = -1 ; x = 1 ; x = 2 , ta nhận đợc
P(-2) = 0 ;P(1) = 6 ; P(2) = 36

ĐặtP(x) = e + d(x+2) + c(x+2)(x+1) + b(x+2)(x+1)x + a(x+2)(x+1)x(x-1)
Cho x = 2 , P(-2) = e , suy ra e = 0

Cho x = -1 , P(-2) = d , suy ra d = 0
Cho x = 0 , P(0) = 2c , suy ra c = 0
VËy P(x) = b(x+2)(x+1)x + a(x+2)(x+1)x(x-1)
Cho x = 1 , P(1) = 6b , vËy b = 1

P(x)=1

2x(x+1)

(x+2) Cho x = 2 , P(2) = 24 + 24a = 36 vậy a = 1/2
Đa thức cần tìm là :

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

...

P(n) - P(n-1) = n(n+1)(2n+1)

Do do S=P(n)=1

2n(n+1)(2n+1) Cộng vế với vế ta đợc : P(n) - P(0) = 1.2.3

+ 2.3.4 +....+ n(n+1)(2n+1)

Bài toán 9 :

Xỏc định đa thức bậc 3 , f(x) thoả mãn f(x) - f(x-1) = x2
Từ đó suy ra cơng thức tính tổng S = 12 + 22 + ... + n2

(§Ị thi học sinh giỏi thành phố - Bảng A-Lớp 8 - Năm học 1998-1999)
Lời giải :

*) Đặt f(x) = d + cx + bx(x-1) + ax(x-1)(x-2)
Cho x = 0 , suy ra f(0) = d

Cho x = 1 , suy ra f(1) = d+c vì f(1) - f(0) = 1 nên (d+c)-d = 1c = 1
Khi đó f(x) = d+x+bx(x-1) + ax(x-1)(x-2)

Cho x = 2 , suy ra f(2) = d+2+2b vì f(2) - f(1) = 4 nên
(d+2+2b)-(d+1) = 4b = 3/2

Khi đó f(x) = d+x+3/2 .x(x-1) + ax(x-1)(x-2)

Cho x = 3 , suy ra f(3) = d +3+9+6a = d + 12 + 6a v× f(3) - f(2) = 9 nªn
Khi do P(x)=d+x+32x(x −1)+31x(x −1)(x −2)

Vay
¿
d R
¿
¿
¿
¿
¿ ¿P(x)=1

3x

3
+1
2x
2
+1

6x+d¿

(d+12+6a)-(d+5) = 9

a = 1/3

**) Theo bài ra ta có :f(x) - f(x-1) = n2
Cho x = 1 , 2 , ... , n ta đợc f(1) - f(0) = 12
f(2) - f(1) = 22
...

f(n) - f(n-1) = n2

Suy ra S=

(

3n
3
+1
2n
2
+1

6n+d

)

−d=

2n3+3n2+n

S=n(n+1) (2n+1)

Cộng vế với vế ta sẽ đợc :
f(n) - f(0) = 12 + 22 +....+n2

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

tởng vào phơng pháp nội suy NewTon . Chỉ có khá băn khoăn đó là có đợc áp
dụng khi giảng dạy cho học sinh lớp 8 không ? trong khi sách giáo khoa mặc
nhiên không đề cập và một số sách tham khảo nh để học tốt, chuyên đề , tốn
chọn lọc ... cũng khơng đề cập phơng pháp này .

C - Lêi kÕt :

Trên đây là những suy nghĩ ban đầu về một vấn đề lớn : bài toán xác
định một đa thức mà đối tợng là học sinh lớp 8. Hy vọng chuyên đề này đợc
phát triển và hoàn thiện ở những năm học tới .Rất mong các bạn đồng nghiệp
quan tâm và góp ý kin .

Xin chân thành cám ơn !