LTDHTo hop

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Tìm phép biến đổi trên phần tử đại diện để tìm lời giải</b>
<b>về tính tổng trong bài tốn tổ hợp.</b>

Trong các bài tốn tính các tổng liên quan đến tổ hợp, cái khó là việc định
hớng tìm lời giải sao cho dễ tiếp thu, khơng máy móc tiếp thu thụ động.
Việc tìm ra <i><b>các phép biển đổi trên phần tử đại diện</b></i> mà cụ thể là trên số
hạng tổng quát ở nhị thức Niu-Tơn , từ đó trình bày lời giải một cách tự
nhiên rất có hiệu lực để giải loại tốn này.

Bµi viÕt này nhằm đa ra các ví dụ mà mấu chốt là việc trình bày ý tởng
nói trên .

I. Các ví dụ minh hoạ

<b> </b><i><b> Bài to¸n1.</b></i> <b>TÝnh tỉng </b> <i>S</i>=12<i>_C</i>

<i>n</i>1+2
2<i>_C</i>

<i>n</i>

2_{+. ..+}<i>_n</i>2<i>_C</i>

<i>n</i>
<i>n</i> <b>_.</b>

<i><b>Ph©n tÝch</b>: Ta h·y xt ph¸t tõ khai triĨn:</i>
<i> </i>

<i> </i> (1+<i>x</i>)<i>n</i>=<i>C_n</i>0+<i>C_n</i>1<i>x</i>+<i>C_n</i>2<i>x</i>2+. ..+<i>C_nnxn</i> <i> (*) . </i>

<i>Ta hÃy tìm mối liên quan giữa số hạng tổng quát của tổng S và số hạng tổng </i>
<i>quát của (*). Hay nói cách khác là từ số hạng tổng quát cđa (*) <b>b»ng c¸c </b></i>

<i><b>phép tốn nào</b> để biến thành số hạng tổng qt của S ?</i>

- <i>Sè h¹ng tỉng quát của (*) là </i> <i>uk</i>=<i>xkCnk</i> <i>.</i>

<i>-</i> <i>Số hạng tổng quát của S là </i> <i>vk</i>=<i>k</i>

2

<i>Cn</i>
<i>k</i>

- <i>Tỡm cỏc phộp toỏn biến đổi sao cho từ </i> <i>uk→ vk⇔x</i>
<i>k</i>

<i>→ ? →</i>. . .<i> k</i>2 <i>.ở đây </i>
<i>mỗi mũi tên biểu thị một phép toán cần tìm. Ta bắt đầu.</i>

<i>xk</i>
<i>xk</i>

<i>( ly đạo hàm) </i> <i>→</i>kx

<i>k−</i>1 <i>_{( nh©n víi x)}</i>

<i>→</i>kx<i>k</i> <i>(lấy đạo hàm)</i>

<i>→ k</i>2<i>xk −</i>1 <i>(cho x= 1 ) </i> <i>_{→ k}</i>2

<i>Vì các phép tốn đã tìm đợc ở trên phần tử đại diện . nên phải thực hiện trên</i>
<i>2 vế của tổng S. Theo sơ đồ đó ta có thể ghi lại một cách tự nhiên lời giải nh </i>
<i>sau.</i>

<i><b>Lời giải:</b></i>

+ Xuất phát tõ khai triÓn (1+<i>x</i>)<i>n</i>=<i>C_n</i>0+<i>C_n</i>1<i>x</i>+<i>C_n</i>2<i>x</i>2+. ..+<i>C_nnxn</i> <i>.</i>

+ Lấy đạo hàm cả 2 vế ta có: <i>n</i>(1+<i>x</i>)<i>n−</i>1=<i>C_n</i>1+2 xC2<i>_n</i>+3<i>x</i>2<i>C_n</i>3+. ..+nx<i>nC_nn</i>.

+ Nh©n c¶ 2 vÕ víi x ta cã: 1+<i>x</i>¿

<i>n−</i>1

=xC<i>n</i>1+2<i>x</i>2<i>Cn</i>2+3<i>x</i>3<i>Cn</i>3+. ..+nx<i>nCnn</i>.
nx¿

+ Lấy đạo hàm cả 2 vế ta có:

1+<i>x</i>¿<i>n−</i>2. nx=<i>Cn</i>1+22xCn2+32<i>x</i>2<i>Cn</i>3+.. .+<i>n</i>2<i>xn−</i>1<i>Cnn</i>.
1+<i>x</i>¿<i>n −</i>1+(<i>n−</i>1)¿

<i>n</i>¿

+ Cho x =1 ta cã :

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<i>Nhận xét: rõ ràng việc trình bày lời giải chỉ là một việc ghi lại mà thôi. </i>

<i><b>Bài to¸n 2</b></i>. TÝnh tỉng <i>S</i>=<i>Cn</i>0+2

2<i>₋</i>₁

2 <i>Cn</i>

1

+2

3<i>₋</i>₁

3 <i>Cn</i>

2_{+. ..+}2<i>n</i>+1<i></i>1

<i>n</i>+1 <i>Cn</i>
<i>n</i>_.

<i><b>Phân tích</b></i>:

<i>-</i> <i>Số hạng tổng quát của (*) là </i> <i>xk_C</i>
<i>n</i>
<i>k</i> <i>_.(1)</i>

<i>-</i> <i>Số hạng tổng quát của S lµ </i> 2<i>k</i>+1<i>−</i>1

<i>k</i>+1 <i>.</i> ¿

<i>xk</i>+1

<i>k</i>+1<i>−</i>
1<i>k</i>+1

<i>k</i>+1(2)

- <i>Ta phải tìm các phép biến đổi từ </i> <i>xk→</i>2

<i>k</i>+1<i>₋</i>₁

<i>k</i>+1 <i>.</i>

<i>nhận xét rằng số mũ k ở x</i> _❑<i>k</i> <i>_{nâng lên m (k+1) cú c nh phộp ly}</i>

<i>nguyên hàm của hµm </i> <i>xk</i>

<i>Phép biến đổi 1: </i>

_∫

<i>a</i>
<i>b</i>

<i>xk</i>dx= 1

<i>k</i>+1<i>x</i>
<i>k</i>+1

∨<i>b</i>

<i>a</i>=
<i>bk</i>+1

<i>k</i>+1<i>−</i>

<i>ak</i>+1

<i>k</i>+1. <i>(3)</i>

<i>Phép tính 2: So sánh (3) và (2) ta suy ra : b = 2 và a = 1. vậy tích phân cần </i>
<i>lấy ở phép biến đổi có cận đã xác định.</i>

<i> </i>

<i> <b>Lêi gi¶i</b></i>

Ta cã :

<i> </i> (1+<i>x</i>)<i>n</i>=<i>C_n</i>0+<i>C_n</i>1<i>x</i>+<i>C_n</i>2<i>x</i>2+. ..+<i>C_nnxn</i> <i>⇒</i>
1+<i>x</i>¿<i>n</i>dx=

(

<i>Cn</i>

0

<i>x</i>+<i>x</i>

2

2 <i>Cn</i>

1

+<i>x</i>

3

3 <i>Cn</i>

2

+.. .+ 1

<i>n</i>+1<i>x</i>
<i>n</i>+1<i>_C</i>

<i>n</i>
<i>n</i>

)

¿
¿

∫

1
2

¿

(1+<i>x</i>)<i>n</i>+1

<i>n</i>+1 ∨
2

1=(2<i>Cn</i>

0

+2

2

2 <i>Cn</i>

1

+2

3

2<i>Cn</i>

2_{+. ..+}2<i>n</i>+1

2 <i>Cn</i>
<i>n</i>

)<i>−</i>

(

<i>C_n</i>0+1
2<i>Cn</i>

1

+1
3<i>Cn</i>

2

+.. .+ 1

<i>n</i>+1<i>Cn</i>
<i>n</i>

)

<i>⇒</i>

3<i>n</i>+1<i></i>2<i>n</i>+1

<i>n</i>+1 =<i>S</i> .

<i><b>Bài toán 3</b></i>. XÐt tæng S =

2<i>C</i>₂0<i>_n</i>+2
3<i>c</i>2<i>n</i>

2

+2
5<i>C</i>2<i>n</i>

4

+2
7<i>C</i>2<i>n</i>

6

+. ..+ 2
2<i>n −</i>1<i>C</i>2<i>n</i>

2<i>n−</i>2

+ 2
2<i>n</i>+1<i>C</i>2<i>n</i>

2<i>n</i>

Víi n > 4. TÝnh n biÕt: S
= 8192

13 .

<i><b>Ph©n tÝch</b></i>: - số hạng tổng quát của (*) là: <i>xkC</i>2<i>n</i>
<i>k</i>

.

<i>Để lấp đầy các số hạng trong tổng đầy đủ khi sử dụng (*) ta xét:</i>“ ”

<i>P</i>=2
1<i>C</i>2<i>n</i>

0

+2
2<i>C</i>2<i>n</i>

1

+2
3<i>C</i>2<i>n</i>

2

+2
4<i>C</i>2<i>n</i>

3

+2
5<i>C</i>2<i>n</i>

4

+. ..+ 2
2<i>n</i>+1<i>C</i>2<i>n</i>

2<i>n</i>
.

- <i>Số hạng tổng quát của P là: </i> 2

<i>k</i>+1<i>C</i>2<i>n</i>
<i>k</i> _{.=2 .}

(

<i>k</i>1+1<i>C</i>2<i>n</i>

<i>k</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<i>-</i> <i>Từ đó ta có các phép biến đổi đi từ số hạng tổng quát của (*) đi đến số </i>
<i>hạng tổng quát của P nh sau:</i>

<i>1. </i>

_∫

0
1

<i>xk</i>_dx= 1

<i>k</i>+1<i>x</i>
<i>k</i>+1

∨1
0=

1

<i>k</i>+1.

<i>2. Nh©n víi 2.</i>

<i>3. Tìm Mối liên hệ giữa P và S từ đó suy ra S và tìm đơc n.</i>

<i><b>Lêi gi¶i.</b></i>

Ta cã<b> : </b> (1+<i>x</i>)2<i>n</i>=<i>C</i>₂0<i>_n</i>+<i>C</i>₂1<i>_nx</i>+<i>C</i>₂2<i>_nx</i>2+. ..+<i>C</i>2₂<i>_nnx</i>2<i>n</i>. <i>⇒</i>

∫

0
1

(1+<i>x</i>)2<i>n</i>dx=

(

<i>C</i>₂0<i>_nx</i>+1
2<i>C</i>2<i>n</i>

1

<i>x</i>2+1
3<i>C</i>2<i>n</i>

2

<i>x</i>3+.. .+ 1
2<i>n</i>+1<i>C</i>2<i>n</i>

2<i>n</i>
.

)

∨1

0<i>⇒</i>
1+<i>x</i>¿2<i>n</i>+1

¿
¿
¿

2(22<i>n</i>+1<i>₋</i>₁₎

2<i>n</i>+1 =2<i>C</i>2<i>n</i>

0

+2
2<i>C</i>2<i>n</i>

1

+2
3<i>C</i>2<i>n</i>

2

+. ..+ 2
2<i>n</i>+1<i>C</i>2<i>n</i>

2<i>n</i>

(1) <b> </b>

Mặt khác:

1+<i>x</i>2<i>n</i>

0

<i></i>1

<i></i>2

2<i>n</i>+1=<i></i>2<i>C</i>2<i>n</i>

0

+2
2<i>C</i>2<i>n</i>

1

<i></i>2

3<i>C</i>2<i>n</i>

2

+2
4<i>C</i>2<i>n</i>

3

+. ..+ 2
2<i>n</i>+1<i>C</i>2<i>n</i>

2<i>n</i>
. <b>(2).</b>

Trõ 2 vÕ cđa (1) vµ (2) ta cã :
S = 2

2<i>n</i>+1

2<i>n</i>+1=
8192

13 <i>⇔n</i>=6 . (dễ dàng chứng minh đó là nghiệm duy nhất).
<b>Bài tốn 4</b>. Tính tổng <i>S</i>=2<i>n −</i>1<i>Cn</i>

1

+2. 2<i>n −</i>2<i>Cn</i>

2

+3 . 2<i>n </i>3<i>Cn</i>

3

+. ..+nC<i>n</i>
<i>n</i>
.

<i><b>Phân tích</b></i>: -Số hạng tổng quát của S lµ : <i>k</i>. 2<i>n− kCn</i>
<i>k</i>

. = 2 ❑<i>n</i>.(<i>k</i>.<i>xk</i>) cho x=

2 <i></i>1 _.

- số hạng tổng quát<b> (*) </b>lµ : <i>xkCn</i>
<i>k</i>
.

ta có các phép biến đổi sau:
1.lấy đạo hàm của (x) _❑<i>k</i> _{là kx}

❑<i>k −</i>1

2.nh©n víi 2<i>n</i> _.

3.Cho x= 2 _❑<i>−</i>1 _.
4.Chia cho 2.

<i><b>Lêi gi¶i</b></i>.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

1+<i>x</i><i>n</i>1=<i>Cn</i>

1

+2 xC<i>n</i>

2

+3<i>x</i>2<i>Cn</i>

3

+. ..+nx<i>n </i>1<i>Cn</i>
<i>n</i>
.

<i>n</i> Nhân cả 2vế với 2

<i>n</i> _:
1+<i>x</i>¿<i>n−</i>1=2<i>nCn</i>

1

+2 .2<i>n</i>xC<i>n</i>

2

+3 . 2<i>n</i>.<i>x</i>2<i>Cn</i>

3

+.. .+<i>n</i>.2<i>nxn −</i>1<i>Cn</i>
<i>n</i>

2<i>n</i>.<i>n</i>¿ .Cho x=2 ❑

<i>−</i>1 _{ta cã:}
2 .<i>n</i>. 3<i>n −</i>1=2<i>n</i>.<i>C</i>1<i>n</i>+2<i>n−</i>1<i>Cn</i>2+3 .2<i>n −</i>2<i>Cn</i>3+.. .<i>n</i>. 2<i>Cnn</i> . Chia 2 vÕ cho 2 ta cã:

S = n.3 <i>n</i>1 _.

<b>B i toán 5</b> . Tìm hệ số của x10 _{trong khai triÓn:} ₍₁<i>_{− x}</i>₊<i>_x</i>3<i>_{− x}</i>4₎<i>n</i> _{biÕt r»ng}

<i>C</i>2<i>n</i>+1

<i>n</i>+1

+<i>C</i>₂<i>n</i>+<i>_n</i>₊2₁+. ..+<i>C</i>2₂<i>_nn</i>₊₁=28<i>−</i>1 . (1)

<i><b>Lời giải</b></i>. Trớc hết ta tìm n từ đẳng thức (1).
Xuất phát từ

(1+<i>x</i>)2<i>n</i>+1=<i>C</i>₂0<i>_n</i>₊₁+<i>C</i>1₂<i>_n</i>₊₁<i>x</i>+<i>C</i>₂2<i>_n</i>₊₁<i>x</i>2+.. .+<i>C</i>₂<i>n_n</i>+₊1₁<i>xn</i>+1+<i>Cn</i>₂+<i>_n</i>₊2₁<i>xn</i>+2+. . .+<i>C</i>2₂<i>_nn</i>₊₁<i>x</i>2<i>n</i>+<i>C</i>₂2<i>n_n</i>+₊₁1<i>x</i>2<i>n</i>+1.

(2)

Tõ (2) cho x =1 ta cã:

22<i>n</i>+1

=<i>C</i>₂0<i>_n</i>₊₁+(<i>C</i>1₂<i>_n</i>₊₁+<i>C</i>2₂<i>_n</i>₊₁+..+<i>C</i>₂<i>n_n</i>₊₁).+(<i>C</i>₂<i>n_n</i>+₊1₁+<i>C</i>₂<i>n_n</i>+₊2₁+. ..+<i>C</i>₂2<i>n_n</i>₊₁)+<i>C</i>₂2<i>_nn</i>₊+₁1. Do

<i>C</i>2<i>kn</i>+1=<i>C</i>22<i>nn</i>++11=<i>k⇒C</i>21<i>n</i>+1=<i>C</i>22<i>nn</i>+1:;<i>C</i>22<i>n</i>+1=<i>C</i>22<i>nn −</i>+11.. .<i>;C</i>2<i>nn</i>+1=<i>C</i>2<i>n</i>+<i>n</i>+11<i>⇒</i>

22<i>n</i>+1₌₂₊₂₍₂8<i>₋</i>₁₎<i>_⇒_n</i>_{=4 .}

Ta cã:

<i></i>1<i>k</i>

<i>i</i>=0

4

<i>C</i>₄<i>i</i>
(<i>x</i>3)<i>i</i>
1+<i>x</i>34=

<i>k</i>=0
4

<i>C</i>₄<i>kxk</i>
<i>x </i>14

1+<i>x</i>4=

(1<i> x</i>)(1+<i>x</i>3

)4=(1<i> x</i>)4

(1<i> x</i>+<i>x</i>3<i> x</i>4)<i>n</i>=

Số hạng tổng quát của khai triển là:

<i></i>1<i>k</i>.<i>xk</i>+3<i>iC</i>4<i>k</i>.<i>C</i>4<i>i</i>

với i; k là các số tự nhiên

0<i> k ;i </i>4 . Theo bài ra ta cần tìm: k + 3i = 10.

k 1 4

<i>⇒</i> hƯ sè cđa x10_lµ: <i>_C</i>

4
1

.<i>C</i>43+<i>C</i>44.<i>C</i>42=22.
i 3 2

<b>Bài 6</b>. Tìm n biết <i>S</i>=2<i>Cn</i>0+3<i>Cn</i>1+4<i>Cn</i>2+. ..+(<i>n</i>+2)<i>Cnn</i>=320 .

số hạng tổng quát của S là (<i>k</i>+2)<i>Cn</i>
<i>k</i>

=kC<i>n</i>
<i>k</i>

+2<i>Cn</i>

<i>k</i> _{ta cần tính 2 tổng.}

<i><b> Lời giải.</b></i>

Xuất phát từ:

<i> </i> (1+<i>x</i>)<i>n</i>=<i>C_n</i>0+<i>C_n</i>1<i>x</i>+<i>C_n</i>2<i>x</i>2+. ..+<i>C_nnxn</i> (*)

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

1+<i>x</i>¿

<i>n−</i>1

=xC<i>n</i>

1

+2<i>x</i>2<i>Cn</i>

2

+3<i>x</i>3<i>Cn</i>

3

+. ..+nx<i>nCn</i>
<i>n</i>
.

nx¿ Cho x = 1 ta cã:

<i>n</i>.2<i>n −</i>1

=<i>C</i>1<i>n</i>+2<i>Cn</i>2+3<i>Cn</i>3+. ..+nC<i>nn</i>. (1)

Trong (*) cho x =1. ta có:

2<i>n</i>

=<i>Cn</i>0+<i>C</i>1<i>n</i>+<i>Cn</i>2+.. .+<i>Cnn</i>. Nhân cả 2 vế với 2 thì có:
2<i>n</i>+1

=2<i>Cn</i>0+2<i>Cn</i>1+2<i>Cn</i>2+. ..+2<i>Cnn</i> (2). Céng (1) vµ (2) ta cã:

<i>n</i>2<i>n −</i>1+2<i>n</i>+1

=2<i>Cn</i>0+(1+2)<i>Cn</i>1+(2+2)<i>C</i>2<i>n</i>+(3+2)<i>Cn</i>3+. ..+(<i>n</i>+2)<i>Cnn⇒</i>
<i>⇒</i>2<i>n −</i>1(<i>n</i>+4)+2<i>n</i>=320.

<i>n</i>2<i>n −</i>1₊₂<i>n</i>+1

=<i>S⇒n</i>2<i>n−</i>1+2<i>n</i>+1=320=26.5<i>⇒</i>27<i>− n</i>=<i>n</i>+4

5 . Do n > 4 nªn vÕ phải lớn

hơn 1. nên n < 7 và n > 4. Thö ta thÊy chØ cã n = 6. tho· m·n.
VËy n = 6 .

<b>Bµi 7</b>. Chøng minh r»ng: S = <i>C</i>2<i>n</i>

0

+32<i>C</i>2<i>n</i>

2

+34<i>C</i>2<i>n</i>

4

+.. .+32<i>nC</i>2<i>n</i>

2<i>n</i>

=22<i>n −</i>1(22<i>n</i>+1)

<i><b> Lời giải: </b></i>Ta xét thêm <i>P</i>=3<i>C</i>21<i>n</i>+33<i>C</i>23<i>n</i>+35<i>C</i>25<i>n</i>+.. .32<i>n −</i>1<i>C</i>22<i>nn−</i>1.

Ta cã S + P = <i>C</i>20<i>n</i>+3<i>C</i>21<i>n</i>+32<i>C</i>22<i>n</i>+33<i>C</i>23<i>n</i>+34<i>C</i>24<i>n</i>+. ..+32<i>n −</i>1<i>C</i>22<i>nn −</i>1+32<i>nC</i>22<i>nn</i>.

Tõ : (1+<i>x</i>)2<i>n</i>=<i>C</i>0₂<i>_n</i>+<i>C</i>₂1<i>_nx</i>+<i>C</i>2₂<i>_nx</i>2+. ..+<i>C</i>2₂<i>_nnx</i>2<i>n</i> cho x = 3 ta cã: S +P = 24n.

L¹i cho x = - 3 ta cã: S – P = 22n.
Tõ hÖ trªn ta suy ra <i>S</i>=2

4<i>n</i>₊₂2<i>n</i>
2 =2

2<i>n −</i>1₍₂2<i>n</i>₊₁₎ _.

II. <b>Kết luận</b>. Qua kinh nghiệm phân tích tìm lời giải nhờ việc tìm các phép
biến đổi trên phần tử đại diện trong bài tốn tính tổng trong tổ hợp dựa vào
khai triển Niu-Ton. Ta rút ra lợc đồ cách giải nh sau:

Gi· sö cần tính tổng S =



<i>k</i>=0

<i>n</i>

<i>f</i>(<i>k</i>)<i>C_nk</i> Ta phải trải qua các bớc sau.

1. Xuất phát từ khai triển: (1+<i>x</i>)<i>n</i>=<i>C_n</i>0+<i>C_n</i>1<i>x</i>+<i>C_n</i>2<i>x</i>2+. ..+<i>C_nnxn</i> (*)

số hạng tổng quát của S là <i>uk</i>=<i>f</i>(<i>k</i>)<i>Cn</i>
<i>k</i>

. Số hạng tổng quát của (*) là

<i>xk_C</i>
<i>n</i>
<i>k</i>_.

2. Tìm dãy các phép tốn thực hiện trên số hạng tổng quát của (*) để biến
thành số hạng tổng quát của S . theo sơ đồ:

<i>xk_{→ g}</i>

(<i>k</i>)<i>→</i>. ..<i>→ f</i>(<i>k</i>).

( nhiều lúc phải viêt f(k) = h(n).g(k) + v(n) u(k). Khi đó các phép tốn thực
hiện trên xk_{phải thực hiện theo nhiều bớc ).}

3. Trình bày lại lời giải tờng minh theo các bớc đa cho rồi lấy x một giá trị
đặc biêt đã đợc xác định đã định hớng ở tổng S .

4. Việc làm trên giúp ngời học chủ động tự tìm ra lời giải của loại toán trên ,
tiếp thu chủ động gây hứng thú trong học tâp, đồng thời có khả năng sáng
tạo ra nhiều bài tốn mới và khơng phụ thuộc vào các tài liệu có sẵn.
III. Một số bài tốn tự giải theo cách thức trên.

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

2. TÝnh tæng S = 2<i>n −</i>1<i>Cn</i>

1

+2 .2<i>n−</i>2<i>Cn</i>

2

+3 .2<i>n −</i>3<i>Cn</i>

3

+.. .+nC<i>n</i>
<i>n</i>
.

3. TÝnh tæng S = 2009<i>C</i>20080 <i>−</i>2008<i>C</i>20081 +2007<i>C</i>20082 +.. .<i>−</i>2<i>C</i>20082007+<i>C</i>20082008.
4. Tìm số hạng chúa x5_{trong khai triển:}

(1+<i>x</i>+<i>x</i>2+<i>x</i>3)10.

5. Tính tæng S = <i>C_n</i>0+1
2<i>Cn</i>

1

. 2+1
3.<i>Cn</i>

2

.22+1
4.<i>Cn</i>

3

.23.+.. .+ 1

<i>n</i>+1<i>Cn</i>
<i>n</i>

2<i>n</i>.

6. Cho biÕt <i>Cn</i>0+<i>Cn</i>1+<i>Cn</i>2=211 . TÝnh tæng S =
1 .<i>Cn</i>0

<i>A</i>₁1 +

2 .<i>Cn</i>1

<i>A</i>₂1 +

3 .<i>Cn</i>2

<i>A</i>₃1 +.. .+

(<i>n</i>+1)<i>Cnn</i>

<i>A_n</i>1₊₁

7.Chøng tá tỉng sau kh«ng chia hÕt cho 6 với mọi số nguyên dơng n.
S = 52<i>nC</i>20<i>n</i>+52<i>n −</i>2<i>C</i>22<i>n</i>+52<i>n −</i>4<i>C</i>24<i>n</i>+. . .+52<i>C</i>22<i>nn −</i>2+<i>C</i>22<i>nn</i>.

8.Gọi <i>a</i>₃<i>_{n −}</i>₃ là hệ số của x3n-3_{trong khai triển (x}2₊₁₎n_(x+2)n_{.Tìm n để}

<i>a</i>₃<i>_{n −}</i>₃=26<i>n</i>.

9. Tìm hệ số của x10_{trong khai triển (1+x)}10_(x+1)10_{từ đó suy ra giá trị của}
tổng S =

₍

<i>C</i>₁₀0

)

2+

(

<i>C</i>₁₀1

)

2+

(

<i>C</i>₁₀2

)

2+. . .+

(

<i>C</i>₁₀10

)

2.

10. T×m số hạng không phụ thuộc vào x khi khai triển biểu thức:

[

1<i>x x x</i>

2

]

<i>n</i> với n là số nguyên dơng sao cho: <i>Cn</i>3+2<i>n</i>=<i>An</i>2+1
11. Tìm số tự nhiên n thoà mÃn: 2.<i>C</i>₂0<i>_n</i>

+2
3<i>C</i>2<i>n</i>

2

+2
5<i>C</i>2<i>n</i>

4 _{+. ..+} 2

2<i>n</i>+1<i>C</i>2<i>n</i>

2<i>n</i>

=8192
2<i>n</i>+1

Đs: n =6.

12. Tìm hƯ sè cđa <i>x</i>2 _{trong khai triĨn}

(

√<i>x</i>+ 1

2√x4

)

<i>n</i>

biÕt n tho· m·n:
2C ❑<i>n</i>0 + 2

2

2 <i>Cn</i>

1

+2

3

3 <i>Cn</i>

2

+. ..+ 2
<i>n</i>+1

<i>n</i>+1<i>Cn</i>
<i>n</i>

=6560

<i>n</i>+1

§s: HƯ sè cần tìm bằng 21

4 .

13.Tính tổng S = 2
0

<i>C</i>2010
0

1. 2 <i>−</i>

21<i>C</i>2010
1

2 .3 +

22<i>C</i>2010
2

3 . 4 +. . .

22010<i>C</i>2010
2010

2011. 2012. (có thể biến đổi

trùc tiÕp (<i>−</i>1)<i>k</i> 2
<i>k</i>

<i>C</i>2010<i>k</i>

(<i>k</i>+1)(<i>k</i>+2) .)

§s: 1

2011

14. TÝnh S = 4<i>C</i>1002 +8<i>C</i>4100+12<i>C</i>1006 +. ..+200<i>C</i>100100 .
§s: 100. ₂99

15. TÝnh S = <i>C</i>2009
0

+<i>C</i>2009
4

+<i>C</i>2009
8

+. . .+<i>C</i>2009
2004

+<i>C</i>2009
2008 _.

§s: 2 ❑1003+22007 ( xÐt khai triĨn số phức (1+<i>i</i>)2009 ).

15.Tìm n nguyên dơng: <i>Cn</i>0+2
2<i>Cn</i>

1

+2

2

3 <i>Cn</i>

2

+. ..+ 2
<i>n</i>

<i>n</i>+1<i>Cn</i>
<i>n</i>

=121

<i>n</i>+1 .

</div>

<!--links-->