DOWNLOAD PDF

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

TRƯỜNG THPT QUỐC THÁI
TỔ TOÁN

MÃ ĐỀ 121

ĐỀ KHẢO SÁT TN. THPT NĂM 2021
MƠN TỐN

Thời gian làm bài: 90 phút

Câu 1. Cần chọn3 người đi công tác từ một tổ có 30người, khi đó số cách chọn là
A. A3₃₀. B. 330. C. 10. D. C3₃₀.
Câu 2. Cho cấp số cộng(un), biết u2 = 3 và u4 = 7. Giá trị của u15 bằng

A. 27. B. 31. C. 35. D. 29.

Câu 3. Cho hàm số y=f(x)xác định và liên tục trên khoảng (−∞; +∞) có bảng biến thiên như
hình sau

x
y0
y

−∞ −1 1 +∞

+ 0 − 0 +

−∞
−∞

2

2

−1
−1

+∞
+∞

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; +∞). B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;−2).
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 1). D. Hàm số đồng biến trên khoảng (−1; +∞).
Câu 4.

Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên[−2; 2] và có đồ thị là đường
cong trong hình vẽ bên. Hàm sốf(x) đạt cực tiểu tại điểm

A. x= 1. B. x=−2. C. x= 2. D. x=−1.

x
y

O

−2 −1 1 2
2

4

Câu 5. Cho hàm sốy=f(x) liên tục trên _Rvà có bảng xét dấu đạo hàm dưới đây

x

y0

−∞ −3 0 3 +∞

+ 0 − 0 + 0 −

Số điểm cực trị của hàm số là

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Câu 6. Tìm đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm sốy= 2x−1
x+ 1 .
A. x= 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình
bên?

A. y=−x4_{+ 4x}2_. _B. _y₌_x4₋_4x2₋_3.

C. y=x3−3x2+ 3. D. y=−x3_{+ 3x}2₋_3. x
y

O

Câu 8. Đồ thị của hàm số y=−x4_{+ 2x}2 _{cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?}

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Câu 9. Với a là số thực dương tùy ý, log₅

Å

25
a

ã

bằng
A. 2−log₅a. B. 2 log₅a. C. 2

log₅a. D. 2 + log5a.
Câu 10. Đạo hàm của hàm sốy= 2021x _là

A. y0 = 2021x·ln 2021. B. y0 = 2021x.
C. y0 = 2021

x

ln 2021. D. y

0 ₌_x_·₂₀₂₁x−1_.
Câu 11. Với a là số thực dương tùy ý, a·√3

a2 _bằng

A. a7_. _B. _a5₃_. _C. _a3₅_. _D. _a1₇_.
Câu 12. Nghiệm của phương trình

Å₁

4

ã3x−4

= 1
16 là

A. x= 3. B. x= 2. C. x= 1. D. x=−1.
Câu 13. Tích các nghiệm của phương trình2x2−2x = 8 bằng

A. 2. B. 0. C. −3. D. 3.

Câu 14. Hàm số F(x) = x3₋_2x2_{+ 3} _{là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau?}
A. f(x) = x

4
4 −

2
3x

3_{+ 3x}_{+ 1.} _B. _{f(x) = 3x}2₋_4x.
C. f(x) = x

4
4 −

2

3x

3_{+ 3x.} _D. _{f(x) = 3x}2₋_4x_{+ 3.}

Câu 15. Biết F(x) là một nguyên hàm của của hàm số f(x) = cos 2x thỏa mãn F

π

2

= 1. Tính
F π

4

.
A. 3

2. B. −

3

2. C.

1

2. D. −

1
2.
Câu 16. Cho

3

Z

2

f(x) dx=−2. Tính I =
−1

Z

−3₂

f(−2x) dx.

A. −1. B. 1. C. 4. D. −4.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Cho đồ thị hàm số y =f(x) như hình vẽ bên. Diện tích S của hình
phẳng (tơ đậm) trong hình là

A. S =
0

Z

a

f(x) dx+

b

Z

0

f(x) dx. B. S =
0

Z

a

f(x) dx−
0

Z

b

f(x) dx.

C. S =

a

Z

0

f(x) dx+

b

Z

0

f(x) dx. D. S =
0

Z

a

f(x) dx+
0

Z

b

f(x) dx. x

y

O

a _b

y=f(x)

Câu 18. Cho hai số phứcz1 = 3 + 2i và z2 = 4i. Phần thực của số phứcz1 ·z2 là

A. −8. B. 8. C. 0. D. 3.

Câu 19. Cho hai số phứcz và w thỏa mãn z =−i+ 2 và w=−3−2i. Số phức z·w bằng
A. −8−i. B. −4−7i. C. −4 + 7i. D. −8 +i.

Câu 20. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm đối xứng với điểm biểu diễn số phức z = −2i+ 4 qua trục
Oy có tọa độ là

A. (4; 2). B. (−4; 2). C. (4;−2). D. (−4;−2).

Câu 21. Khối chópS.ABCDcó đáy là hình bình hành, biết diện tích hình bình hànhABCD bằng
8 và chiều cao khối chóp bằng 3. Tính thể tích khối chópS.ABC.

A. 8. B. 4. C. 24. D. 6.

Câu 22. Đường chéo của hình hộp chữ nhật có ba kích thước 3, 4, 12có độ dài là

A. 13. B. 30. C. 15. D. 6.

Câu 23. Cơng thức thể tích của khối nón có bán kính đáy là r

2 và chiều cao h là
A. V = πr

2_h

4 . B. V =

πr2_h

12 . C. V =

πr2_h

24 . D. V =

πr2_h
6 .

Câu 24. Hình trụ có đường cao h = 2 cm và đường kính đáy là 10 cm. Diện tích tồn phần của
hình trụ đó bằng

A. 240πcm2_. _B. _120πcm2_. _C. _70πcm2_. _D. _140πcm2_.

Câu 25. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 1; 3) và B(4; 2; 1). Độ dài đoạn thẳng AB
bằng

A. √2. B. 2√3. C. 5√2. D. √14.
Câu 26. Trong không gianOxyz, mặt cầu (S) :x2+ (y−1)2+ (z+ 3)2 = 25 có tâm là

A. I1(0;−1; 3). B. I2(0; 1;−3). C. I3(0;−1;−3). D. I4(0; 1; 3).

Câu 27. Trong không gianOxyz, vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng vng
góc với trục Oy?

A.~i(1; 0; 0). B. ~j(0; 1; 0). C. ~k(0; 0; 1). D. ~h(1; 1; 1).
Câu 28. Trong không gianOxyz, đường thẳng nào dưới đây đi qua điểm I(2; 1; 1)?

A.







x= 1 +t
y=t
z = 1−t

. B.







x= 1 +t
y= 1−t
z =t

. C.







x= 1 +t
y =t
z =t

. D.







x=t
y= 1 +t
z = 1−t
.

Câu 29. Chọn ngẫu nhiên một số trong 10 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được số
nguyên tố bằng

A. 3

10. B.

2

5. C.

1

2. D.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Câu 30. Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên khoảng(1; 5)?
A. y= 2x+ 1

x−2 . B. y=

x−3

x−4. C. y=

3x−1

x+ 1 . D. y=

x+ 1
3x+ 2.
Câu 31. GọiM,mlần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốf(x) = x3₋3

2x

2₋_6x_{+ 1}
trên đoạn [0; 3]. Khi đó 2M −m có giá trị bằng

A. 0. B. 18. C. 10. D. 11.

Câu 32. Tập nghiệm của bất phương trìnhlog₃(25−x2)≤2 là

A. (−5;−4]∪[4; 5). B. (−∞;−4]∪[4; +∞).

C. (4; 5). D. [4; +∞).

Câu 33. Nếu

π

2

Z

0

[2020f(x) + sin 2x] dx= 2021thì

π

2

Z

0

f(x) dxbằng
A. 1011

1010. B. 1. C.

2021

2020. D. −1.

Câu 34. Cho số phức z = 2 − 3i. Gọi a, b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức
w= (1−2i)z. Khi đó giá trị của biểu thức P =a+b+ 2021 bằng

A. 2010. B. 2014. C. 2028. D. 2032.

Câu 35. Cho hình lăng trụ đứngABC.A0B0C0 có đáyABC là tam giác vng cân tại B cóAB=a,
AA0 =a√2. Góc giữa đường thẳng A0C với mặt phẳng (AA0B0B) bằng

A. 30◦. B. 60◦. C. 45◦. D. 90◦.

Câu 36. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD = a√3,
SA⊥(ABCD) vàSA= 2a. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) bằng

A. 2
√

57a

19 . B.

√
57a

19 . C.

2√5a

5 . D.

√
5a
5 .

Câu 37. Trong khơng gian Oxyz, mặt cầu có tâm I(3;−1; 2) và tiếp xúc với trục Ox có phương
trình là

A. (x−3)2+ (y+ 1)2+ (z−2)2 = 9. B. (x−3)2+ (y+ 1)2+ (z−2)2 = 5.
C. (x+ 3)2_{+ (y}₋₁₎2_{+ (z}_{+ 2)}2 _{= 1.} _D. _(x_{+ 3)}2_{+ (y}₋₁₎2_{+ (z}_{+ 2)}2 _{= 4.}

Câu 38. Trong không gianOxyz, cho hình bình hànhABCDcóA(0; 1;−2),B(3;−2; 1)vàC(1; 5;−1).
Phương trình tham số của đường thẳngCD là

A.







x= 1 +t
y= 5−t
z =−1 +t

. B.







x= 1−t
y= 5−t
z =−1 +t

. C.







x= 1 + 3t
y = 5 + 3t
z =−1 + 3t

. D.







x=−1 +t
y=−5−t
z = 1 +t

.

Câu 39. Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên _R. Bảng biến thiên của hàm số y=f0(x) được
cho như hình vẽ bên dưới

x −1 0 1 2 3

3

−1

4
f0(x)

1 2

Trên[−4; 2] hàm số y=f

1−x
2

+x có giá trị lớn nhất bằng
A. f(2)−2. B. f

Å₁

2

ã

+ 2. C. f(2) + 2. D. f

Å₃

2

ã

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Câu 40. Có bao nhiêu số nguyên dương ysao cho ứng với mỗi y có khơng q10số nguyên xthỏa
mnÄ3x+1−√3ä(3x−y)<0?

A. 59149. B. 59050. C. 59049. D. 59048.

Câu 41. Cho hàm số f(x) =






2x−4 khix≥4
1

4x
3₋

x2+x khi x <4. Tích phân
π
2

Z

0

f 2 sin2x+ 3sin 2xdx

bằng
A. 28

3 . B. 8. C.

341

48. D.

341
96 .

Câu 42. Có bao nhiêu số phứcz thỏa mãn |z|=√5và (z−3i)(z+ 2) là số thực?

A. 1. B. 0. C. 3. D. 2.

Câu 43. Cho hình chópS.ABC có đáy ABC là tam giác vng cân tạiB, SA⊥(ABC), AB =a.
Biết góc giữa đường thẳngAC và mặt phẳng(SBC)bằng30◦. Thể tích khối chópS.ABC bằng

A. a
3

6. B.

a3

3 . C. a

3_. _D. a

3√₃
6 .
Câu 44.

Cổ động viên bóng đá của đội tuyển Indonesia muốn làm
một chiếc mũ có dạng hình nón sơn hai màu Trẳng và Đỏ
như trên quốc kỳ. Biết thiết diện qua trục của hình nón là
tam giác vng cân. Cổ động viên muốn sơn màu Đỏ ở bề
mặt phần hình nón có đáy là cung nhỏ M BN÷, phần cịn

là của hình nón sơn màu Trắng. Tính tỉ số phần diện tích
hình nón được sơn màu Đỏ với phần diện tích sơn màu

Trắng.

A. 2

7. B.

2

5. C.

1

4. D.

1
3.

B
S

O

M
N

I
A

Câu 45. Trong không gian với hệ toa độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d1) :







x=t

y=−1 + 2t và
z =t

(d2) :
x
1 =

y−1
−2 =

z−1

3 . Đường thẳng ∆ cắt cả hai đường thẳng d1, d2 và song song với đường
thẳng d: x−4

1 =

y−7

4 =

z−3

−2 đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây?

A. M(1; 1;−4). B. N(0;−5; 6). C. P(0; 5;−6). D. Q(−2;−3;−2).
Câu 46.

Cho hàm số f(x) và có y = f0(x) là hàm số bậc bốn và có đồ
thị là đường cong trong hình bên. Số điểm cực đại của hàm số
g(x) =f(|x|3₎_{− |x|} _là

A. 0. B. 3. C. 1. D. 2.

x
y

O

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Câu 47. Có bao nhiêu sơ ngun m∈[−2021; 2021]để phương trình 6x−2m= log√3

6(18(x+ 1) +
12m)có nghiệm?

A. 211. B. 2020. C. 2023. D. 212.

Câu 48.

Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị là đường cong (C) trong
hình bên. Hàm sốf(x)đạt cực trị tại hai điểmx1,x2 thỏa f(x1) +
f(x2) = 0. Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị (C),M, N, K
là giao điềm của(C)với trục hoành,S là diện tích của hình phẳng

được gạch trong hình,S2 là diện tích tam giác N BK. Biết tứ giác
M AKB nội tiếp đường trịn, khi đó tỉ số S1

S2
bằng
A. 2

√
6

3 . B.

√
6

2 . C.

5√3

6 . D.

3√3
4 .

x
y

O x1

x2

S2
S1

A

B
M

N _K

Câu 49. Trong mặt phẳng với hệ trục toa độ Oxy, cho hai số phức z1 có điểm biểu diễn M, số
phức z2 có điểm biều diễn là N thỏa mãn |z1| = 1, |z2| = 3 và M ON÷ = 120◦. Giá trị lớn nhất của

|3z1+2z2−3i|làM0, giá trị nhỏ nhất của|3z1−2z2+1−2i|làm0. BiếtM0+m0 =a
√

7+b√5+c√3+d,
với a, b, c,d ∈_Z. Tính a+b+c+d.

A. 9. B. 8. C. 7. D. 6.

Câu 50. Trong không gianOxyz, chod: x−4

2 =

y−5
−1 =

z−3

2 và hai điểmA(3; 1; 2),B(−1; 3;−2)
Mặt cầu tâm I bán kính R đi qua hai điểm hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng d. Khi R
đạt giá trị nhỏ nhất thì mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, I là (P) : 2x+by +cz+d = 0. Tính
d+b−c.

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

TRƯỜNG THPT QUỐC THÁI

TỔ TỐN
MÃ ĐỀ 121

ĐỀ KHẢO SÁT TN. THPT NĂM 2021
MƠN TỐN

Thời gian làm bài: 90 phút

Câu 1. Cần chọn3 người đi công tác từ một tổ có 30người, khi đó số cách chọn là

A. A3₃₀. B. 330. C. 10. D. C3₃₀.

Lời giải.

Chọn 3 người đi cơng tác từ một tổ có 30 người là một tổ hợp chập 3 của 30 phần tử, nên có C3
30

cách.

Chọn đáp án D 

Câu 2. Cho cấp số cộng(un), biết u2 = 3 và u4 = 7. Giá trị của u15 bằng

A. 27. B. 31. C. 35. D. 29.

Lời giải.

Ta có u2 = 3 và u4 = 7 suy ra ta có hệ phương trình

®

u1+d= 3

u1+ 3d= 7
⇔

®

u1 = 1

d= 2.
Vậy u15=u1+ 14d= 29.

Chọn đáp án D 

Câu 3. Cho hàm số y=f(x)xác định và liên tục trên khoảng (−∞; +∞) có bảng biến thiên như
hình sau

x
y0

y

−∞ −1 1 +∞

+ 0 − 0 +

−∞
−∞

2
2

−1
−1

+∞
+∞

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; +∞). B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;−2).

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 1). D. Hàm số đồng biến trên khoảng (−1; +∞).
Lời giải.

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng(−∞;−1), suy ra hàm số cũng đồng biến
trên khoảng (−∞;−2).

Chọn đáp án B 

Câu 4.

Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên[−2; 2] và có đồ thị là đường
cong trong hình vẽ bên. Hàm sốf(x) đạt cực tiểu tại điểm

A. x= 1. B. x=−2. C. x= 2. D. x=−1.

x
y

O

−2 −1 1 2

2
4

Lời giải.

Dựa vào đồ thị ta có:

f0(x)<0,∀x∈(−2;−1)và f0(x)>0,∀x∈(−1; 0) suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x=−1.
f0(x)>0,∀x∈(0; 1) và f0(x)<0,∀x∈(1; 2) suy ra hàm số đạt cực đại tạix= 1.

Hàm số khơng đạt cực tiểu tại hai điểm x=±2vì f0(x)không đổi dấu khi x đi qua x=±2.

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Câu 5. Cho hàm sốy=f(x) liên tục trên _Rvà có bảng xét dấu đạo hàm dưới đây
x

y0

−∞ −3 0 3 +∞

+ 0 − 0 + 0 −

Số điểm cực trị của hàm số là

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải.

Dựa vào bảng xét dấu y0, hàm số đạt cực đại tại x=±3 và đạt cực tiểu tại x= 0.
Vậy hàm số có ba điểm cực trị.

Chọn đáp án C 

Câu 6. Tìm đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm sốy= 2x−1

x+ 1 .
A. x= 1

2, y =−1. B. x= 1, y =−2. C. x=−1, y = 2. D. x=−1, y =
1
2.

Lời giải.
Ta có

lim

x→±∞

2x−1

x+ 1 = limx→±∞

2− 1

x

1 + 1

x

= 2 nên đường thẳng y= 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

lim

x→−1+

2x−1

x+ 1 = −∞,x→−lim1−

2x−1

x+ 1 = +∞ nên đường thẳng x = −1 là tiệm cân đứng của đồ thị

hàm số

Chọn đáp án C 

Câu 7.

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình
bên?

A. y=−x4_{+ 4}_x2_. _B. _y₌_x4₋₄_x2₋₃_.

C. y=x3−3x2+ 3. D. y=−x3+ 3x2−3. x

y

O

Lời giải.

Dựa vào hình dạng đồ thị, ta thấy đây là dạng đồ thị của hàm số bậc ba, hệ số a <0.

Chọn đáp án D

Câu 8. Đồ thị của hàm số y=−x4_{+ 2}_x2 _{cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?}

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Lời giải.

Phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị của hàm số y=−x4_{+ 2}_x2 _{và trục hoành}

−x4+ 2x2 = 0 ⇔x2(−x2+ 2) = 0⇔





x= 0

x=√2

x=−√2.

Phương trình có 3nghiệm nên đồ thị của hàm số y =−x4+ 2x2 cắt trục hoành tại 3 điểm.

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Câu 9. Với a là số thực dương tùy ý, log₅

Å₂₅

a

ã

bằng

A. 2−log₅a. B. 2 log₅a. C. 2

log₅a. D. 2 + log5a.
Lời giải.

Ta có log₅

Å₂₅

a

ã

= log₅25−log₅a= 2−log₅a.

Chọn đáp án A 

Câu 10. Đạo hàm của hàm sốy= 2021x là

A. y0 = 2021x_·_{ln 2021}_. _B. _y0 _{= 2021}x_.

C. y0 = 2021

x

ln 2021. D. y

0 ₌_x_·₂₀₂₁x−1_.

Lời giải.

Ta có y= 2021x _⇒_y0 _{= 2021}x_·_{ln 2021}_.

Chọn đáp án A 

Câu 11. Với a là số thực dương tùy ý, a·√3

a2 _bằng

A. a7_. _B. _a5₃_. _C. _a3₅_. _D. _a1₇_.

Lời giải.
Ta có a·√3

a2 ₌_a_·_a23 =a1+

2
3 ₌_a

5
3_.

Chọn đáp án B 

Câu 12. Nghiệm của phương trình

Å₁

4

ã3x−4

= 1
16 là

A. x= 3. B. x= 2. C. x= 1. D. x=−1.

Lời giải.
Ta có

Å₁

4

ã3x−4

= 1
16 ⇔

Å₁

4

ã3x−4

=

Å₁

4

ã2

⇔3x−4 = 2⇔x= 2.
Vậy x= 2 là nghiệm của phương trình đã cho.

Chọn đáp án B 

Câu 13. Tích các nghiệm của phương trình2x2−2x = 8 bằng

A. 2. B. 0. C. −3. D. 3.

Lời giải.

Ta có 2x2−2x = 8 ⇔2x2−2x = 23 ⇔x2−2x−3 = 0⇔

đ

x=−1

x= 3.
Vậy tích các nghiệm của phương trình là−3.

Chọn đáp án C 

Câu 14. Hàm số F(x) = x3−2x2+ 3 là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau?

A. f(x) = x
4

4 −
2
3x

3_{+ 3}_x_{+ 1}_. _B. _f₍_x_{) = 3}_x2₋₄_x.

C. f(x) = x
4

4 −
2
3x

3_{+ 3}_x. _D. _f₍_x_{) = 3}_x2₋₄_x_{+ 3}_.

Lời giải.

Ta có [F(x)]0 = (x3₋₂_x2_{+ 3)}0 _{= 3}_x2₋₄_x_⇒_f₍_x_{) = 3}_x2₋₄_x.

Chọn đáp án B 

Câu 15. Biết F(x) là một nguyên hàm của của hàm số f(x) = cos 2x thỏa mãn F π

2

= 1. Tính
F π

4

.

A. 3

2. B. −

3

2. C.

1

2. D. −

1
2.

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Ta có F(x) =
Z

cos 2xdx= 1
2

Z

cos 2x d(2x) = 1

2sin 2x+C.

MàF

π
2

= 1⇒ 1

2sin

2·π

2

+C = 1⇒C = 1.
Suy ra F(x) = 1

2sin 2x+ 1⇒F
π

4

= 1
2sin

2· π

4

+ 1 = 3
2.

Chọn đáp án A 

Câu 16. Cho

3
Z

2

f(x) dx=−2. Tính I =

−1
Z

−3

2

f(−2x) dx.

A. −1. B. 1. C. 4. D. −4.

Lời giải.
Ta có I =

−1
Z

−3

2

f(−2x) dx=−1
2

−1
Z

−3

2

f(−2x) d(−2x) = −1
2

2
Z

3

f(x) dx=−1.

Chọn đáp án A 

Câu 17.

Cho đồ thị hàm số y =f(x) như hình vẽ bên. Diện tích S của hình
phẳng (tơ đậm) trong hình là

A. S =
0

Z

a

f(x) dx+

b

Z

0

f(x) dx. B. S =
0
Z

a

f(x) dx−
0
Z

b

f(x) dx.

C. S =

a

Z

0

f(x) dx+

b

Z

0

f(x) dx. D. S =
0
Z

a

f(x) dx+
0
Z

b

f(x) dx. x

y

O

a _b

y=f(x)

Lời giải.

Diện tích S của hình phẳng (tơ đậm) trong hình là

S =
0
Z

a

f(x) dx−

b

Z

0

f(x) dx=
0
Z

a

f(x) dx+
0

Z

b

f(x) dx

Chọn đáp án D 

Câu 18. Cho hai số phứcz1 = 3 + 2i và z2 = 4i. Phần thực của số phứcz1 ·z2 là

A. −8. B. 8. C. 0. D. 3.

Lời giải.

Ta có z1·z2 = (3 + 2i)·4i=−8 + 12i.

Vậy phần thực của số phứcz1·z2 là−8.

Chọn đáp án A 

Câu 19. Cho hai số phứcz và w thỏa mãn z =−i+ 2 và w=−3−2i. Số phức z·w bằng

A. −8−i. B. −4−7i. C. −4 + 7i. D. −8 +i.
Lời giải.

Ta có z =−i+ 2⇒z = 2 +i, w=−3−2i⇒w=−3 + 2i.
Do đóz·w= (2 +i)(−3 + 2i) =−8 +i.

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Câu 20. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm đối xứng với điểm biểu diễn số phức z = −2i+ 4 qua trục
Oy có tọa độ là

A. (4; 2). B. (−4; 2). C. (4;−2). D. (−4;−2).
Lời giải.

Số phức z =−2i+ 4 có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là M(4;−2).
Điểm đối xứng vớiM qua Oy làM0(−4;−2).

Chọn đáp án D 

Câu 21. Khối chópS.ABCDcó đáy là hình bình hành, biết diện tích hình bình hànhABCD bằng
8 và chiều cao khối chóp bằng 3. Tính thể tích khối chópS.ABC.

A. 8. B. 4. C. 24. D. 6.

Lời giải.

Vì ABCD là hình bình hành nênSABC =

1

2SABCD =
1

2·8 = 4.

Vậy thể tích khối chóp S.ABC làVSABC =

1

3SABC·h=

1

3·4·3 = 4.

Chọn đáp án B 

Câu 22. Đường chéo của hình hộp chữ nhật có ba kích thước 3, 4, 12có độ dài là

A. 13. B. 30. C. 15. D. 6.

Lời giải.

Hình hộp chữ nhật có ba kích thước là a, b, cthì có độ dài đường chéo là √a2₊_b2₊_c2_.

Do đó độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật đã cho là√32_{+ 4}2_{+ 12}2 _{= 13}_.

Chọn đáp án A 

Câu 23. Cơng thức thể tích của khối nón có bán kính đáy là r

2 và chiều cao h là
A. V = πr

2_h

4 . B. V =

πr2_h

12 . C. V =

πr2_h

24 . D. V =

πr2_h
6 .

Lời giải.

Thể tích khối nón có bán kính đáy là r

2 và chiều cao h làV =
1
3·π

r
2

2

·h= πr
2_h
12 .

Chọn đáp án B 

Câu 24. Hình trụ có đường cao h = 2 cm và đường kính đáy là 10 cm. Diện tích tồn phần của
hình trụ đó bằng

A. 240πcm2. B. 120πcm2. C. 70πcm2. D. 140πcm2.
Lời giải.

Đường kính đáy hình trụ là 10 cm⇒ bán kính đáy là r = 5 cm.

Diện tích tồn phần của hình trụ là S = 2πr(r+h) = 2πr(r+h) = 2π·5·(5 + 2) = 70π.

Chọn đáp án C 

Câu 25. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 1; 3) và B(4; 2; 1). Độ dài đoạn thẳng AB
bằng

A. √2. B. 2√3. C. 5√2. D. √14.

Lời giải.

Ta có AB=p(4−1)2_{+ (2}₋₁₎2_{+ (1}₋₃₎2 ₌√₁₄_.

Chọn đáp án D 

Câu 26. Trong không gianOxyz, mặt cầu (S) :x2+ (y−1)2+ (z+ 3)2 = 25 có tâm là

A. I1(0;−1; 3). B. I2(0; 1;−3). C. I3(0;−1;−3). D. I4(0; 1; 3).

Lời giải.

Mặt cầu đã cho có tâm là điểm I2(0; 1;−3).

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

Câu 27. Trong không gianOxyz, vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng vng
góc với trục Oy?

A.~i(1; 0; 0). B. ~j(0; 1; 0). C. ~k(0; 0; 1). D. ~h(1; 1; 1).
Lời giải.

Vectơ~j = (0; 1; 0)là một vectơ chỉ phương của trục Oy. Do đó nó là một vectơ pháp tuyến của mặt
phẳng vng góc với trục Oy.

Chọn đáp án B 

Câu 28. Trong không gianOxyz, đường thẳng nào dưới đây đi qua điểm I(2; 1; 1)?

A.







x= 1 +t
y=t
z = 1−t

. B.









x= 1 +t
y= 1−t
z =t

. C.








x= 1 +t
y =t
z =t

. D.








x=t
y= 1 +t

z = 1−t
.

Lời giải.

Tọa độ I(2; 1; 1) thỏa hệ








x= 1 +t
y=t
z =t.

Chọn đáp án C 

Câu 29. Chọn ngẫu nhiên một số trong 10 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được số
nguyên tố bằng

A. 3

10. B.

2

5. C.

1

2. D.

1
5.

Lời giải.

Trong 10số nguyên dương đầu tiên có 4số nguyên tố là 2, 3,5, 7.
Do đó xác suất đề chọn được số nguyên tố bẳng 4

10 hay là
2
5.

Chọn đáp án B 

Câu 30. Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên khoảng(1; 5)?

A. y= 2x+ 1

x−2 . B. y=

x−3

x−4. C. y=

3x−1

x+ 1 . D. y=

x+ 1
3x+ 2.

Lời giải.

Xét hàm số y= x+ 1

3x+ 2 có tập xác định

D =

Å

−∞;−2
3

ã

∪

Å

−2
3; +∞

ã

và y0 = −1

(3x+ 2)2 <0 với mọi x6=−
2
3.

Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 5).

Chọn đáp án D

Câu 31. GọiM,mlần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốf(x) = x3−3
2x

2₋₆_x_{+ 1}

trên đoạn [0; 3]. Khi đó 2M −m có giá trị bằng

A. 0. B. 18. C. 10. D. 11.

Lời giải.

Xét hàm số f(x) = x3₋ 3
2x

2₋₆_x_{+ 1} _{trên đoạn} _{[0; 3]}_, _f0₍_x_{) = 3}_x2₋₃_x₋₆_.

f0(x) = 0 ⇔

ñ

x=−1

x= 2 . Dox∈[0; 3] nên x= 2.

Ta có f(0) = 1, f(2) =−9,f(3) =−7
2.

Do đóM =f(0) = 1, m=f(2) =−9.
Vậy 2M −m = 2 + 9 = 11.

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

Câu 32. Tập nghiệm của bất phương trìnhlog₃(25−x2)≤2 là

A. (−5;−4]∪[4; 5). B. (−∞;−4]∪[4; +∞).

C. (4; 5). D. [4; +∞).
Lời giải.

Ta có

log₃(25−x2)≤2⇔

®

25−x2 >0
25−x2 ≤9 ⇔

®

x2 <25

x2 ≥16 ⇔

đ

−5< x≤ −4
4≤x <5.
Do tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = (−5;−4]∪[4; 5).

Chọn đáp án A 

Câu 33. Nếu

π

2
Z

0

[2020f(x) + sin 2x] dx= 2021thì

π

2
Z

0

f(x) dxbằng

A. 1011

1010. B. 1. C.

2021

2020. D. −1.

Lời giải.
Ta có

π

2
Z

0

[2020f(x) + sin 2x] dx= 2021⇔2020

π

2
Z

0

f(x) dx+

π

2
Z

0

sin 2xdx= 2021.

Khi đó2020

π

2
Z

0

f(x) dx− 1

2(cos 2x)

π

2

0

= 2021⇔2020

π

2
Z

0

f(x) dx+ 1 = 2021.

Do đó
π

2
Z

0

f(x) dx= 1.

Chọn đáp án B

Câu 34. Cho số phức z = 2 − 3i. Gọi a, b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức
w= (1−2i)z. Khi đó giá trị của biểu thức P =a+b+ 2021 bằng

A. 2010. B. 2014. C. 2028. D. 2032.

Lời giải.

Ta có w= (1−2i)z = (1−2i)·(2 + 3i) = 8−i.
Do đóa= 8, b=−1.

Vậy P =a+b+ 2021 = 8−1 + 2021 = 2028.

Chọn đáp án C 

Câu 35. Cho hình lăng trụ đứngABC.A0B0C0 có đáyABC là tam giác vng cân tại B cóAB=a,
AA0 =a√2. Góc giữa đường thẳng A0C với mặt phẳng (AA0B0B) bằng

A. 30◦. B. 60◦. C. 45◦. D. 90◦.

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

Ta có








CB ⊥AB

CB ⊥AA0 ⇒CB ⊥(ABB0A0)

AA0∩AB =A

.

Do đó(A0C,(AA0B0B)) = (A0C, A0B) =BA’0C.

Xét∆A0AB vng tạiA, ta có A0B =√A0_A2₊_AB2 ₌_a√₃_.

Xét∆A0BC vng tại B, ta có tanBA’0C =

BC
A0_B =

a
a√3 =

1
√

3.
⇒BA’0C = 30◦.

Vậy (A0C,(AA0B0B)) = 30◦.

A

B

C
A0

B0

C0

Chọn đáp án A 

Câu 36. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD = a√3,
SA⊥(ABCD) vàSA= 2a. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) bằng

A. 2
√

57a

19 . B.

√
57a

19 . C.

2√5a

5 . D.

√
5a

5 .

Lời giải.

Trong (ABCD) kẻAH ⊥BD (H ∈DB).

Ta có

®

BD⊥AH

BD⊥SA ⇒BD⊥(SAH).
Trong (SAH)kẻ AK ⊥SH.

MàBD ⊥(SAH) và AK ⊂(SAH) ⇒AK ⊥BD.
Do đóAK ⊥(SBD)⇒d(A,(SBD)) =AK.
Xét∆ABD có 1

AH2 =
1

AB2 +
1

AD2 ⇒AH =

a√3
2 .

Xét∆SAH có 1
AK2 =

1

SA2 +

1

AH2 ⇒AK =

2√57a

19 .

Vậy d(A,(SBD)) = 2
√

57a

19 .

A

B C

D
S

H
K

Chọn đáp án A 

Câu 37. Trong khơng gian Oxyz, mặt cầu có tâm I(3;−1; 2) và tiếp xúc với trục Ox có phương
trình là

A. (x−3)2_{+ (}_y_{+ 1)}2_{+ (}_z₋₂₎2 _{= 9}_. _B. ₍_x₋₃₎2_{+ (}_y_{+ 1)}2_{+ (}_z₋₂₎2 _{= 5}_.
C. (x+ 3)2_{+ (}_y₋₁₎2_{+ (}_z_{+ 2)}2 _{= 1}_. _D. ₍_x_{+ 3)}2_{+ (}_y₋₁₎2_{+ (}_z_{+ 2)}2 _{= 4}_.

Lời giải.

Gọi M là hình chiếu của I lên trục Ox, suy ra M(3; 0; 0).
Khi đó mặt cầu tiếp xúc với Oxtại M.

Do đóR =IM =√5.

Vậy phương trình mặt cầu là (x−3)2_{+ (}_y_{+ 1)}2_{+ (}_z₋₂₎2 _{= 5}_.

Chọn đáp án B 

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

A.







x= 1 +t
y= 5−t
z =−1 +t

. B.









x= 1−t
y= 5−t
z =−1 +t

. C.








x= 1 + 3t
y = 5 + 3t
z =−1 + 3t

. D.








x=−1 +t
y=−5−t
z = 1 +t

.

Lời giải.

Ta có AB~ = (3;−3; 3).

Đường thẳng CD qua C và song song với AB nên nhận vectơ ~u = 1
3

~

AB làm vectơ chi phương. Ta
có−→u = (1;−1; 1).

Do đó phương trình tham số của CD là








x= 1 +t
y= 5−t

z =−1 +t.

Chọn đáp án A 

Câu 39. Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên _R. Bảng biến thiên của hàm số y=f0(x) được
cho như hình vẽ bên dưới

x −1 0 1 2 3

3

−1

4

f0(x)

1 2

Trên[−4; 2] hàm số y=f

1−x

2

+x có giá trị lớn nhất bằng

A. f(2)−2. B. f

Å₁

2

ã

+ 2. C. f(2) + 2. D. f

Å₃

2

ã

−1.
Lời giải.

Đặt g(x) =f1− x
2

+x⇒g0(x) =−1
2f

0₁₋x

2

+ 1.
Khi đóg0(x) = 0 ⇔f01−x

2

= 2.
Đặt t= 1− x

2 ⇒t∈[0; 3].

Vẽ đường thẳng y= 2 lên cùng một bảng biến thiên ta được

x −1 0 1 2 3

3

−1

4

f0₍_x₎

1 2

Ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại t= 2⇒x=−2⇒ max

[−4 : 2]g(x) = g(−2) = f(2)−2.

Chọn đáp án A 

Câu 40. Có bao nhiêu số nguyên dương ysao cho ứng với mỗi y có khơng q10số ngun xthỏa

mnÄ3x+1−√3ä(3x−y)<0?

A. 59149. B. 59050. C. 59049. D. 59048.
Lời giải.

Đặt t= 3x >0 thì ta có bất phương trình(3t−√3)(t−y)<0 hay

Ç

t−
√

3
3

å

(t−y)<0 (∗).

Vì y∈_Z+ _nên _{y >}
√

3

3 , do đó(∗)⇔
√

3

3 < t < y ⇔
√

3
3 <3

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

Do y∈_N∗ _{⇔ −}1

2 < x <log3y.

Do mỗi giá trị y∈_N∗ _{có khơng q} ₁₀_{giá trị nguyên của} _x_∈
Å

−1

2; log3y

ã

nên 0≤log₃y≤10 .
Suy ra 1≤y≤310 _{= 59049}_{, từ đó có} _y _{∈ {1}_,₂_{, . . . ,}_59049}_.

Vậy có59049 giá trị nguyên dương của y.

Chọn đáp án C 

Câu 41. Cho hàm số f(x) =






2x−4 khix≥4
1

4x
3₋

x2+x khi x <4. Tích phân

π

2
Z

0

f 2 sin2x+ 3sin 2xdx

bằng

A. 28

3 . B. 8. C.

341

48. D.

341
96 .

Lời giải.
Ta có

lim

x→4+f(x) = lim_x_→₄+(2x−4) = 4; _xlim_→₄−f(x) = lim_x_→₄−
Å

1
4x

3₋_x2₊_x

ã

= 4; f(4) = 4.
Suy ra lim

x→4+f(x) = lim_x_→₄−f(x) =f(4).

Nên hàm số đã cho liên tục tại x= 4.

XétI =

π

2
Z

0

f 2 sin2x+ 3sin 2xdx.

Đặt 2 sin2x+ 3 =t⇒sin 2xdx= 1
2dt.

Với x= 0⇒t = 3, x= π

2 ⇒t = 5.
⇒I =

5
Z

3

f(t)1
2dt=

1
2

5
Z

3

f(t) dt= 1
2
4
Z
3
Å
1
4t

3₋_t2₊_t

ã

dt+1
2

5
Z

4

(2t−4) dt= 341
96 .

Chọn đáp án D 

Câu 42. Có bao nhiêu số phứcz thỏa mãn |z|=√5và (z−3i)(z+ 2) là số thực?

A. 1. B. 0. C. 3. D. 2.

Lời giải.

Gọi z =a+bi. Ta có (z−3i)(z+ 2) = (a+bi−3i)(a+ 2−bi) = (a2_{+ 2}_a₊_b2₋₃_b_{) + (2}_b₋₃_a₋₆₎_i.

Theo đề ta có hệ phương trình

®

a2 +b2 = 5

2b−3a−6 = 0 ⇔






















a= −18 + 2
√

29
13

b= 12 + 3
√
29
13








a= −18−2
√

29
13

b= 12−3
√

29
13 .

Hệ phương trình trên có2 nghiệm, suy ra có 2 số phức thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn đáp án D 

Câu 43. Cho hình chópS.ABC có đáy ABC là tam giác vng cân tạiB, SA⊥(ABC), AB =a.
Biết góc giữa đường thẳngAC và mặt phẳng(SBC)bằng30◦. Thể tích khối chópS.ABC bằng

A. a
3

6. B.

a3

3 . C. a

3_. _D. a

3√₃
6 .

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

Từ A kẻ AH ⊥SB tại B. Ta có

®

BC ⊥AB

BC ⊥SA.

⇒BC ⊥(SAB)⇒BC ⊥AH.
Lại có

®

AH ⊥SB

AH ⊥BC ⇒AH ⊥(SBC).

Từ đó suy ra (AC,(SBC)) = (AC, HC) =ACH’ = 30◦.

Tam giácABC vuông cân tại B nên AC =AB√2 = a√2.
Xét∆AHCvuông tạiH: AH =AC·sinACH’ =a

√

2·sin 30◦ ₌

a√2
2 .

Xét∆SAB vng tạiA: 1

AH2 =
1

SA2 +
1

AB2 ⇒
1

SA2 =
1

a2 ⇒

SA=a.

Diện tích tam giácABC là SASC =

1
2AB

2 ₌ a
2

2.

Thể tích khối chópS.ABC là VS.ABC =

1

3SABCSA=

a3
6.

A

B

C
S

H

Chọn đáp án A 

Câu 44.

Cổ động viên bóng đá của đội tuyển Indonesia muốn làm
một chiếc mũ có dạng hình nón sơn hai màu Trẳng và Đỏ
như trên quốc kỳ. Biết thiết diện qua trục của hình nón là
tam giác vng cân. Cổ động viên muốn sơn màu Đỏ ở bề
mặt phần hình nón có đáy là cung nhỏ M BN÷, phần cịn

là của hình nón sơn màu Trắng. Tính tỉ số phần diện tích
hình nón được sơn màu Đỏ với phần diện tích sơn màu
Trắng.

A. 2

7. B.
2

5. C.
1

4. D.
1
3.

B
S

O

M
N

I
A

Lời giải.

Ta có SO =OA=OB =r⇒SM =r√2 =M N.
Do dó tam giácOM N vng cân tại O.

Gọi S là diện tích xung quanh của hình nón, Sd là diện tích xung quanh của phần hình nón được

sơn màu đỏ, ứng với gócM ON÷ = 90◦ nên

S1

S =

90◦

360◦ =

1
4 ⇒

Sd

St

= 1
3.

Chọn đáp án D 

Câu 45. Trong không gian với hệ toa độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d1) :







x=t

y=−1 + 2t và
z =t

(d2) :

x

1 =

y−1
−2 =

z−1

3 . Đường thẳng ∆ cắt cả hai đường thẳng d1, d2 và song song với đường

thẳng d: x−4
1 =

y−7
4 =

z−3

−2 đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây?

A. M(1; 1;−4). B. N(0;−5; 6). C. P(0; 5;−6). D. Q(−2;−3;−2).
Lời giải.

Gọi

®

A= ∆∩d1 ⇒A(a;−1 + 2a;a)

B = ∆∩d2 ⇒B(b; 1−2b; 1 + 3b)

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

Ta có AB~ cùng phương với ~ud⇒

−a+b

1 =

−2a−2b+ 2

4 =

−a+ 3b+ 1
−2 .
⇒

®

−2a+ 6b= 2
3a−5b= 1 ⇒

®

a= 2

b= 1 ⇒A(2; 3; 2), B(1;−1; 4).
⇒∆qua B(1;−1; 4) và có vectơ chi phương là~u= (1; 4;−2).

⇒∆ :








x= 1 +t

y=−1 + 4t đi qua điểm N(0;−5; 6).
z = 4−2t

Chọn đáp án B 

Câu 46.

Cho hàm số f(x) và có y = f0(x) là hàm số bậc bốn và có đồ
thị là đường cong trong hình bên. Số điểm cực đại của hàm số
g(x) =f(|x|3₎_{− |}_x_| _là

A. 0. B. 3. C. 1. D. 2.

x
y

O

f0(x)

Lời giải.

Xét hàm số h(x) =f(x3)−x.

Ta có h0(x) = 3x2_f0₍_x3₎₋₁_.

h0(x) = 0⇔f0(x3_{) =} 1

3x2 (x6= 0). (1)

Đặt x3 =t ⇒x=√3

t⇒x2 =√3t2_.

Khi đó (1) trở thành f0(t) = 1
3√3

t2
. (2)

Vẽ đồ thị hàm sốy = 1

3√3x2, y=f

0₍_x₎ _{trên cùng hệ trục toa độ} _{Oxy, ta được}

x
y

O

f0(x)

Từ đồ thị suy ra phương trình (2) có hai nghiệm t1 =a >0và t2 =b <0.

⇒(1) có hai nghiệm x=√3_{a >}₀ _và _x₌ √3 _{b <}₀_.

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

x −∞ √3

b 0 √3_a _−∞

h0(x) + 0 + 0 +

h(x)

−∞

hÄ√3bä

h(√3_a₎

+∞

h(|x|)

+∞

h(√3_a₎

h(0)

h(√3_a₎

+∞

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số g(x) =h(|x|) = f(|x|3₎_{− |}_x_|_{có 1 điểm cực đại.}

Chọn đáp án C 

Câu 47. Có bao nhiêu sơ ngun m∈[−2021; 2021]để phương trình 6x−2m= log√3

6(18(x+ 1) +
12m)có nghiệm?

A. 211. B. 2020. C. 2023. D. 212.

Lời giải.
Phương trình

6x−2m= log√3

6[18(x+ 1) + 12m]
⇔ 6x = 2m+ 3 log₆[6(3x+ 2m+ 3)]
⇔ 6∗ = 2m+ 3 [1 + log₆(3x+ 2m+ 3)]
⇔ 6x = 3 log₆(3x+ 2m+ 3) + 2m+ 3. (∗)

Đặt y= log₆(3x+ 2m+ 3)⇔6y _{= 3}_x_{+ 2}_m_{+ 3}_. ₍₁₎

Khi đó(∗) trở thành 6∗ = 3y+ 2m+ 3. (2)

Lấy(1) trừ vế với vế cho (2), ta được 6y −6x= 3x−3y ⇔6x+ 3x= 6y+ 3y. (3)

Xét hàm số f(t) = 6t_{+ 3}_{t, t}_∈

R.

Ta có f0(t) = 6t_{ln 6 + 3}_>₀_,_∀_t_∈

R. Suy ra hàm sốf(t) đồng biến trên R.
Mà(3) ⇔f(x) = f(y)⇔x=y.

Thay y=x vào PT(1), ta được 6x _{= 3}_x_{+ 2}_m_{+ 3} _⇔₆x₋₃_x_{= 2}_m_{+ 3}_.

Xét hàm số g(x) = 6∗−3x, với x∈_R. Ta có g0(x) = 6∗ln 6−3⇒g0(x) = 0⇔x= log₆

Å ₃

ln 6

ã

.
Bảng biến thiên

x

g0(x)

g(x)

−∞ log₆

Å ₃

ln 6

ã

+∞

− 0 +

+∞
+∞

0,81
0,81

+∞
+∞

Từ đó suy ra phương trình đã cho có nghiệm ⇔2m+ 3≥g

Å

log₆ 3
ln 6

ã

≈0,81⇒m≥ −1,095.
Vậy có2023 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu.

Chọn đáp án C

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị là đường cong (C) trong

hình bên. Hàm sốf(x)đạt cực trị tại hai điểmx1,x2 thỏa f(x1) +

f(x2) = 0. Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị (C),M, N, K

là giao điềm của(C)với trục hồnh,S là diện tích của hình phẳng
được gạch trong hình,S2 là diện tích tam giác N BK. Biết tứ giác

M AKB nội tiếp đường trịn, khi đó tỉ số S1
S2

bằng

A. 2
√

6

3 . B.
√

6

2 . C.
5√3

6 . D.
3√3

4 .
x

y
O x1
x2
S2
S1
A
B
M
N _K
Lời giải.

Kết quả bài tốn khơng thay đổi khi ta tịnh tiến đồ thị đồ thị(C)sang
trái sao cho điểm uốn trùng với gốc tọa độO.

Do f(x) là hàm số bậc ba, nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng (O ≡N).
Đặt x1 =−a,x2 =a, với a >0⇒f0(x) = k(x2−a2)với k >0.
⇒f(x) = k

Å₁

3x

3₋_a2_x

ã

⇒xM =−a

√

3, xK =a

√
3.

Có M AKB nội tiếp đường trịn tâm O⇒OA=OM =a√3.
Có f(x1) =

p

OA2₋_x2

1 ⇔f(−a) =a
√

2⇔k

Å

−1
3a

3₊_a3

ã

=a√2⇔

k= 3
√

2
2a2 .
⇒f(x) = 3

√
2
2α2

Å

1
3x

3₋_a2_x

ã

.

S1 =
0
Z

−a√3

f(x) dx= 3
√

2

2a2

Å ₁

12x
4₋a2

2x
2
ã



0

−a√3
= 9

√
2
8 a

2_.

S2 =S4AM O =

1

2f(−a)·M O =
1

2a

√

2·a√3 =
√

6
2 a

2_.

Vậy S1
S2
= 3
√
3
4 .
x
y
O
x1
x2
S2
S1
A
B
M
N _K

Chọn đáp án D 

Câu 49. Trong mặt phẳng với hệ trục toa độ Oxy, cho hai số phức z1 có điểm biểu diễn M, số

phức z2 có điểm biều diễn là N thỏa mãn |z1| = 1, |z2| = 3 và M ON÷ = 120◦. Giá trị lớn nhất của

|3z1+2z2−3i|làM0, giá trị nhỏ nhất của|3z1−2z2+1−2i|làm0. BiếtM0+m0 =a
√

7+b√5+c√3+d,
với a, b, c,d ∈_Z. Tính a+b+c+d.

A. 9. B. 8. C. 7. D. 6.

Lời giải.
x
y
O 1
N1
P
M1
M
N
120
◦

Gọi M1 là điểm biều diễn của số phức 3z1, suy ra OM1 = 3.

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

Gọi P là điểm sao choOM~ 1+ON~ 1 =OP~ . Suy ra tứ giác OM1P N1 là hình bình hành.

Do M ON÷ = 120◦, suy ra M◊₁ON₁ = 120◦.

Dùng định lí cosin trong tam giác OM1N1 ta tính đượcM1N1 =

 

9 + 36−2.3.6·

Å

−1
2

ã

= 3√7và

định lí cosin trong tam giácOM1P ta có OP =

…

9 + 36−2.3·6· 1
2 = 3

√
3.
Ta có M1N1 =|3z1−2z2|= 3

√

7;OP =|3z1+ 2z2|= 3
√

3.

• Tìm giá trị lớn nhất của |3z1+ 2z2−3i|.

Đặt 3z1+ 2z2 =w1 ⇒ |w1|= 3
√

3, suy ra điểm biểu diễn w1 làA thuộc đường trịn (C1) tâm

O(0; 0) bán kínhR1 = 3
√

3.

Gọi điểm Q1 là biểu diễn số phức 3i. Khi đó |3z1 + 2z2−3i| =AQ1, bài tốn trở thành tìm
(AQ1)max biết điểm A trên đường trịn (C1). Dễ thấy (AQ1)max =OQ1+R1 = 3 + 3

√
3.

• Tìm giá trị nhỏ nhất của |3z1−2z2+ 1−2i|=|3z1−2z2−(−1 + 2i)|.

Đặt 3z1−2z2 =w2 ⇒ |w2|= 3
√

7, suy ra điềm biểu diễnw2 là B thuộc đường trịn (C2) tâm

O(0; 0) bán kínhR1 = 3
√

7.

Gọi điểm Q2 là biểu diễn số phức −1 + 2i.

Khi đó |3z1−2z2−(−1 + 2i)| = BQ2, bài tốn trở thành tìm (BQ2)min biết điểm B trên

đường tròn(C2).

Dễ thấy điểm Q2 nằm trong đường tròn (C2)nên (BQ2)min =R2−OQ2 = 3
√

7−√5.
Suy ra M0+m0 = 3

√

7 + 3√3−√5 + 3⇒a= 3, b= 3,c=−1, c= 3.
Vậy a+b+c+d= 8.

Chọn đáp án B 

Câu 50. Trong không gianOxyz, chod: x−4
2 =

y−5
−1 =

z−3

2 và hai điểmA(3; 1; 2),B(−1; 3;−2)

Mặt cầu tâm I bán kính R đi qua hai điểm hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng d. Khi R
đạt giá trị nhỏ nhất thì mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, I là (P) : 2x+by +cz+d = 0. Tính
d+b−c.

A. 0. B. 1. C. −1. D. 2.

Lời giải.

Gọi E là trung điểm củaAB ⇒E(1; 2; 0)và IE =√R2 ₋₉_.

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là(α) : 2x−y+ 2z= 0.
Gọi H là hình chiếu vng góc của I lên d.

Gọi M là hình chiếu vng góc của E lên d⇒EM = d(E, d) = 9.

Xét hệ













x= 2t+ 4

y=−t+ 5

z = 2t+ 3
2x−y+ 2z = 0

⇒t=−1⇒M(2; 6; 1)⇒M E = 3√2.

Vì(α)⊥d và IH+IE ≥EM ⇒R nhỏ nhất ⇔I, H, E thẳng hàng.

⇒R+√R2₋_{9 = 3}√₂_⇒_R ₌ 9
√

2
4 .

Vậy EI~ = 1
4

~
EH ⇒I

Å

5
4; 3;

1
4

ã

⇒IA~ =

Å

7
4;−2;

7
4

ã

.

⇒~n= [AB, ~~ IA] = (−18; 0; 18).

Chọn~v = (2; 0;−2) làm véc-tơ pháp tuyến của (P).

Suy ra(P) : 2x−2z−2 = 0⇒b = 0,c=−2, d=−2⇒d+b−c= 0.

I B

A
H

M

E

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

Giả sửO là tâm đáy và AB là một đường kính của đường trịn đáy
hình nón. Thiết diện qua đỉnh của hình nón là tam giác cân SAM.
Theo gia thiết hình nón có bán kính đáyR=OA=a√3 cm,’ASB =

120◦ nên ASO’= 60◦.

Xét tam giác SOA vng tại O, ta có sin 60◦ = OA

SA ⇒ SA =

OA

sin 60◦ = 2a.

Diện tích thiết diện là S∆SAM =

1

2SASM ·sinASM’ =
1

22a·2a ·
sinASM’ = 2a2sinASM’.

Do0<sinASM’ ≤1nênS4SAM lớn nhất khi và chỉ khisinASM’ =

1 hay khi tam giác ASM vuông cân tại đỉnh S (vì ’ASB = 120◦ >

90◦ nên tồn tại tam giác ASM thỏa mãn).
Vậy diện tích thiết diện lớn nhất làSmax= 2a2.

B

M

A
S

O

</div>

<!--links-->