Chui ngầm ballistic và shot noisetrong các cấu trúc nano graphene

ðẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ðẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Khoa Vật lý
Sinh viên: Hoàng Mạnh Tiến

CHUI NGẦM BALLISTIC VÀ SHOT NOISE
TRONG CÁC CẤU TRÚC NANO
GRAPHENE
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP HỆ ðẠI HỌC CHÍNH QUY
Ngành: Vật lý lý thuyết
Hà nội ngày 25 tháng 5 năm 2008


ðẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ðẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Khoa Vật lý
Sinh viên: Hoàng Mạnh Tiến

CHUI NGẦM BALLISTIC VÀ SHOT NOISE
TRONG CÁC CẤU TRÚC NANO
GRAPHENE

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP HỆ ðẠI HỌC CHÍNH QUY
Ngành: Vật lý lý thuyết
Hà nội ngày 25 tháng 5 năm 2008
Thầy giáo hướng dẫn: GS.TSKH. Nguyễn Văn Liễn

Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008

- 3 -

Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên



Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008



0
Lời cảm ơn
Trước hết tôi xin ñược bày tỏ lòng biết ơn và kính trọng tới thầy giáo ñã trực
tiếp hướng tôi hoàn thành luận văn này, GS.TSKH Nguyễn Văn Liễn. Thầy ñã tận tình
chỉ bảo tôi trong quá trình học tập cũng như nghiên cứu. Hơn thế nữa, thầy ñã tạo cho
tôi những ñiều kiện tốt nhất ñể làm việc và một môi trường nghiên cứu khoa học hiệu
quả. Do ñó mà tôi ñược hiểu biết thêm về hoạt ñộng nghiên cứu khoa học và mối quan
hệ mọi người với nhau khi làm khoa học.
Tôi xin gửi lời cảm ơn tới bạn Nguyễn Hải Châu, người bạn cùng lớp và cùng
thực tập chung với tôi. Bạn Châu ñã nhiều lần giúp ñỡ tôi trong quá trình họa tập cũng
như làm luận văn.
ðể hoàn thành cuốn luận văn này tôi cũng muốn xin lời cảm ơn tới các thầy cô,
những người ñã trực tiếp giảng dạy và truyền ñạt kiến thức cho tôi trong quá trình học
tập, tới những người bạn ñã giúp ñỡ, ñộng viên tôi trong những lúc khó khăn.
Cuối cùng tôi xin bày tỏ tấm lòng tới bố mẹ và em trai Hoàng Mạnh Hùng,
những người ñã hết sức tạo ñiều kiện và ñộng viên tôi, ñặc biệt trong quá trình làm
luận văn .
Sv. Hoàng Mạnh Tiến

Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên



Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008



1
MỞ ðẦU.................................................................................................................................... 2
Chương 1. Tổng quan về Graphene ........................................................................................ 4
1.1 Giới thiệu ......................................................................................................................... 4
1.2 Cấu tạo mạng Graphene ................................................................................................ 5
1.3. Cấu trúc vùng năng lượng ............................................................................................ 6
Chương 2. Phương trình mô tả electron trong Graphene................................................... 12
và phương pháp T_matrix ..................................................................................................... 12
2.1. Từ phương trình Srodinger tới phương trình ðirac................................................ 12
2.2 Lời giải của phương trình tựa ðirac 2 chiều.............................................................. 13
2.3 Phương pháp T_matrix................................................................................................ 17
Chương 3. Hiện tượng truyền và shot noise trong các hệ Graphene ................................. 22
3.1 Các công thức................................................................................................................ 22
3.2 Hệ Graphene một bờ thế (H8) ..................................................................................... 26
3.4 Quantum dot Graphene ............................................................................................... 33
Kết luận.................................................................................................................................... 40
Tài liệu tham khảo.................................................................................................................. 41

Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên



Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008



2
MỞ ðẦU
Graphene là một vật liệu mới, ñược chế tạo thành công lần ñầu tiên bằng thực
nghiệm vào năm 2004 [4]. Ở Việt Nam, hầu như chưa có ai nghiên cứu về vật liệu mới
này nên mọi người vẫn còn xa lạ khi nhắc tới Graphene. Trên thế giới, trong vòng mấy
năm trở lại ñây có rất nhiều nghiên cứu cả về lý thuyết cũng như thực nghiệm. ðiều ñó
ñược thể hiện bằng số lượng các bài báo trên các tạp chí lớn về Vật Lý như Applied
Physics Letters, Physical Review Letters, Physical Review, Modern Physics…
Tại sao các nhà khoa học trên thế giới lại thích thú trong việc nghiên cứu
Graphene? Thứ nhất, Graphene có rất nhiều tính chất ñặc biệt khác biệt so với các vật
liệu thông thường, trong ñó phải kể tới tính chất các electron tại các ñiểm ðirắc trong
Graphene hành xử như những hạt không khối lượng mặc dù vận tốc của nó chỉ vào cỡ
1/300 vận tốc ánh sáng. Chính ñiều ñặc biệt ñó kéo theo rất nhiều tính chất lý thú của
Graphene và thu hút sự quan tâm của nhiều nhà khoa học trên thế giới. Thứ hai, do khả
năng truyền dẫn rất tốt của Graphene (một phần do nồng ñộ electron trong ñó rất lớn

15 2
e
n 4.10 cm
−
≈
) , ñặc biệt là truyền spin, các nhà khoa học ñang kì vọng rằng sẽ chế tạo
ñược các linh kiện ñiện tử, transitor, quantum dot bằng Graphene thay thế cho các linh
kiện bán dẫn hiện nay và mở kỷ nguyên công nghệ mới: Kỷ nguyên Cacbon thay cho
kỷ nguyên Silic của thế kỷ 20.

ðể mô tả chuyển ñộng của electron trong Graphene (thường gọi là các electron
ðirac), chúng ta không thể dùng phương trình Srodinger mà phải dùng phương trình
tựu ðirắc. Bằng cách giải phương trình tựu ðirắc cho hệ 1 chiều, A. Calageracos và
N.Dombey [5] ñã giải thích ñược nghịch lý Klein (Klei paradox). ðó là: khi tới với
phương vuông góc với bờ thế, electron ðirac có xác suất chui ngầm bằng 1 bất chấp ñộ
cao hay bề dày của bờ thế là bao nhiêu. Cũng trong năm 2006, M.I. Katsnelson [6] ñã
tính hệ số truyền qua cho hệ 1 bờ thế bằng cách giải phương trình ðirắc cho hệ
Graphene. Trong năm 2007, J.Miton Pereira. Js [9] ñã tính ñộ dẫn (conductance) cho
Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên



Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008



3
hệ 1,2 bờ thế và ông còn khảo sát sự giam cầm của electron trong giếng thế tạo bởi
Graphene (Graphehe quantum well) [8]. D.Dragoman [7] ñã vẽ ñược ñường ñặc trưng
Vol-Ampe cho hệ một bờ thế, từ ñó ông suy ra rằng trong Graphen, hệ 1 bờ thế ñã xuất

hiện ñiện trở vi phân âm. Rui Zhu và Yong Guo [10] ñã nghiên cứu một cách kỹ lưỡng
về hệ hai bờ thế ñối xứng (hệ số truyền, conductance, shot noise, hệ số fano). Ngoài ra
Chunxu Bai [11] ñã nghiên cứu hệ số truyền trong trường hợp siêu mạng ñối xứng.
Trong [13] K.B. Efetov ñã áp dụng ñiều kiên biên ñể tính ñộ dẫn (conductance) cho hệ
quantum dot Graphene.
Như trên ta ñã thấy các hệ Graphene ñã ñược nghiên cứu rất nhiều và trong luận
văn này tôi cũng muốn nghiên cứu về các vấn ñề ñó. Bước ñầu tôi ñã nghiên cứu về
tính chất truyền ballistics và shot noise qua các hệ Graphene như hệ 1, 2 bờ thế và
quantum dot Graphene. ðây ñều là những vấn ñề thời sự ñược các nhà vật lý trên thế
giới quan tâm và nghiên cứu. Nghiên cứu tính chất truyền, mà cụ thể là tính chất ñiện
của Graphene sẽ cho chúng ta biết khả năng có thể dùng nó làm transitor hay các linh
kiện ñiện tử ñược không? Và một ñiều nữa là tại sao chúng ta lại nghiên cứu shot
noise, nó có ý nghĩa gì? Noise tức là nhiễu, noise cho ta biết thêm thông tin vào quá
trình truyền của hệ. Có rất nhiều các loại noise khác nhau. Trong hệ lượng tử của ta thì
noise có ảnh hưởng chủ yếu là shot noise. Noise nhiệt (những thăng giáng do chuyển
ñộng nhiệt của các hạt) có thể ñược làm giảm bằng cách hạ thấp nhiệt ñộ. Noise 1/f
(chủ yếu do va chạm của hạt tải với tâm tạp) không làm thay ñổi pha và năng lượng
của hạt tải nên nó không cho nhiều thông tin về quá trình truyền. Trong ñó shot noise
liên quan tới sự lượng tử hóa của các hạt tải nên nó sẽ ñóng một vai trò rất quan trọng
trong các hệ lượng tử của ta. Thông thường chúng ta thường tính hệ số Fano, tức là
chúng ta so sánh shot noise với noise Poisson (Noise Poisson là noise trong trường hợp
hạt tải chuyển ñộng ballistic không có va chạm).


Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên



Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008

4
Chương 1. Tổng quan về Graphene
1.1 Giới thiệu
Cacbon là vật liệu khởi nguồn cho sự sống trên Trái ñất và là thành phần cơ bản
của tất cả các hợp chất hữu cơ. Do tính linh ñộng của các nguyên tử cácbon trong khả
năng tạo thành liên kết, các hợp chất cácbon ña dạng cả về loại và tính chất. Các
nguyên tử cácbon có thể liên kết với các nguyên tử khác như Hidro, Oxi hay cũng có
thể liên kết trực tiếp với nhau tạo thành các mạng nguyên tử Cacbon. Trong các dạng
thù hình ñó phải kể ñến Graphene, một lớp ñơn nguyên tử cácbon 2 chiều có dạng hình
tổ ong (H1), ñóng một vai trò vô cùng quan trọng trong việc tạo thành các dạng thù
hình khác của Cácbon. Tập hợp nhiều lớp Graphene xếp chồng lên nhau sẽ tạo ra vật
liệu Graphite (than chì) 3 chiều. Một tấm Graphene mà cuộn lại sẽ tạo thành một ống
nano cácbon 1 chiều hay tạo thành quả cầu cácbon không chiều (Fullerene) [3].








Hình 1. Một số dạng thù hình của Cacbon:
Graphene, Graphite, nanotube, Fulerence
(Quả cầu C60)
Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên

Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008



5
ðiều ñặc biệt là Graphene có thế dễ dàng ñược tạo ra trong khi viết hay vẽ bằng
bút chì. Khi lấy bút chì vạch lên giấy, chúng ta ñã vô tình tạo ra ñược các lớp
Graphene, và trong số ñó sẽ có những chỗ chỉ là một lớp Graphene riêng biệt. Mặc dù
bút chì ñã ñược khám phá ra vài trăm năm trước (1600) nhưng mà mãi tới tận năm
2004, một nhà vật lý người Anh (University of Manchester) mới tách ra ñược một lớp
cácbon riêng biệt, gọi là Graphene, bằng thực nghiệm ñể quan sát và nghiên cứu.
Nguyên nhân nào mà mãi tới năm 2004 mới phát hiện ra Graphene? Thứ nhất, trước
ñó không một ai có thể ngờ rằng một lớp ñơn nguyên tử có thế tồn tại bền vững ở trạng
thái tự do trên nền ñế của một vật liệu khác. Thứ hai, trước ñó chưa có bất kì máy móc
hay thiết bị nào có thể xác ñịnh sự tồn tại của một lớp ñơn nguyên tử cácbon [3]. Chính
ñiều ñó mà mãi gần ñây người ta mới biết ñược sự tồn tại của Graphene và nghiên cứu
ñược về nó.
1.2 Cấu tạo mạng Graphene
Các bon là nguyên tử ở vị trí thứ 6 trong bảng tuần hoàn, có cấu hình vỏ nguyên
tử là

2 2 2
1 2 2s s p . Tuy nhiên, ở ñây ñã có sự kích thích lên trạng thái
2 1 3
1 2 2s s p ñể lớp vỏ
p ñạt tới trạng thái bán bão hòa. Tiếp ñó có sự lai hóa
2
sp ñể tạo thành 3 liên kết
σ
bền

vững và một liên kết

π
. Trong ñó liên kết
π
kém bền hơn và vuông góc với ba liên kết
kia. Do ñó toàn bộ các electron
π
ñều
tham gia vào dẫn và có ảnh hưởng
quyết ñịnh ñến các tính chất ñặc trưng
của Graphene.

Một vài thông số của mạng
Graphene [4]:
Hình 2. Cấu trúc mạng Graphen
và vùng Bruiluin thứ nhất
Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên



Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008



6
Hằng số mạng :
3 2,46
o
cc

a a A= =

Véc tơ cơ sở:
1
3 1
( ; )
2 2
a a=
;
2
3 1
( ; )
2 2
a a= −

Véc tơ mạng ñảo:
1
2 1
( ;1)
3
b
a
π
= ;
2
2 1
( ; 1)
3
b
a

π
= −
Như ñã nói tới ở trên, Graphene là một lớp ñơn nguyên tử các bon có cấu trúc mạng
hình tổ ong. Ta thấy, mạng bravai này thực chất là hai mang tam giác lồng vào nhau. Do ñó
vector cơ của mạng là
1 2
à aa v
, mỗi ô nguyên tố có 2 nguyên tử là A và B. Từ ñó ta vẽ ñược
vùng Bruiluin thứ nhất như trên hình 2. Ở ñây ta chú ý tới 4 ñiểm ñối xứng là
Γ
, M, K và
'
K

trong ñó hai ñiểm K và
'
K
là không hoàn toàn ñối xứng.(Tuy nhiên trong các bài toán của ta
thi ta có thể coi hai ñiểm này là ñối xứng, chỉ khi xét bài toán có từ trường ngoài, tương tác
spin… thì mới cần phân biệt hai ñiểm này)

1.3. Cấu trúc vùng năng lượng
Khi xem xét một vật liệu mới thì việc ñầu tiên cần làm là ñi tìm cấu trúc vùng
năng lượng của vật liệu ñó. Từ cấu trúc vùng năng lượng chúng ta có thế biết ñược chất
ñó là kim loại, bán dẫn, hay ñiện môi, ngoài ra chúng ta có thể tinh ñoán một số tính
chất của nó và tính ñược một số ñại lượng như khối lượng hiệu dụng chẳng hạn.
ðể tìm cấu trúc vùng năng lượng của một mạng tinh thể người ta thường dùng
hai phương pháp là:
1. Phương pháp chính xác: ab-initio (hay còn gọi là first principle). Nội dung
chủ yếu của phương pháp này là tính chính xác cấu trúc vùng năng lượng cho

Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên



Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008



7
hệ có từ vài tới vài trăm nguyên tử bằng cách mô phỏng thông qua máy tính.
ðặc ñiểm của phương pháp này là sự chính xác tuyệt ñối nhưng mà nhược
ñiểm của nó là không thế thực hiện ñược với hệ có nhiều nguyên tử. Mà trên
thực tế một mạng ma ta nghiên cứu có rất nhiều nguyên tử nên không thể chỉ
dùng phương pháp này ñược.
2. Phương pháp tính gần ñúng: Tight-binding (gần ñúng liên kết mạnh). ðây là
một phương pháp cơ bản trong vật lý chất rắn.
Hiện nay người ta ñã kết hợp ñồng thời cả hai phương pháp này và cho kết quả
rất tốt. Tức là lúc ñầu tính bằng ab-initio cho hệ ít nguyên tử, dùng ñó là ñiều kiện ban
ñầu cho phương pháp Tight-binding.
Trong khuôn khổ nghiên cứu ở ñây, tôi xin trình bày phương pháp Tight-binding
và so sánh kết quả với phương pháp ab-initio.
Hàm sóng của electron trong gần ñúng liên kết mạnh (tight binding) ñược tìm
dưới dạng [4]:

A A B B
C C
ψ ϕ ϕ
= + (1.1)

Trong ñó:

ik R
A
A z
R
0
ik R
B
B z
R
0
1
( k,r ) e p ( r R R )
N
1
( k,r ) e p ( r R R )
N
ϕ
ϕ
= − −
= − −
∑
∑
 

 

    
    
(1.2)

Với
z
p ( r )

là hàm nút nguyên tử trong vật lý chất rắn (orbital
z
p ( r )

của nguyên
tử Carbon),
0
N
là số ô nguyên tố mà trên ñó ta áp dụng ñiều kiện biên tuần hoàn
{Bohr-Openheimer}.
Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên



Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008



8
Dưới dạng ñơn giản nhất, năng lượng của trạng thái electron là trị riêng của
Hamiltonian (Phương pháp LCAO-trực giao):

AA AB
BA BB
H H
H

H H
 
=
 
 
(1.3)

Trong ñó:

ik( R' R ) A,R A,R'
AA 0 z z
R,R'
ik( R' R ) A,R B,R'
AB 0 z z
R,R'
H 1/ N e p p
H 1/ N e p p
Η
Η
−
−
=
=
∑
∑
    
 
    
 
(1.4)

Với
A/ B,R
A/ B
z z
p p ( r R R )= − −

  

Tính toán ñối với các mạng vô hạn (
0
N → ∞
), ta lưu ý rằng trong các biểu thức
trên khi cho một trong hai chỉ số (
R,R'
 
) biến ñổi ta thấy tổng có tính ñối xứng ñối với
tất cả các vị trí khác nhau trên mạng của chỉ số kia, do ñó có thể viết lại tổng dưới
dạng:

ik R' A,0 A,R'
AA z z
R'
ik R' A,0 B,R'
AB z z
R'
H e p p
H e p p
Η
Η

=
=
∑
∑
   

   

(1.5)
Khai triển hệ thức, giữ lại ñến các lân cận gần nhất ta có:

p p
1 1 2 2
6
A,0 A,0 ikR A,0 A,R
AA z z z z
p 1
A,0 B,0 ik.a A,0 B, a ik.a A,0 B, a
AB z z z z z z
H p | H | p e p | H | p
H p H p e p H p e p H p
=
− − − −
= +
= + +
∑
  
     
(1.6)
Trong ñó biểu thức của

AA
H
gồm một số hạng cấp không và sáu số hạng cấp
một tương ứng với năng lượng nút là sự xen phủ với sáu nguyên tử cùng loại lân cận
Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên



Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008



9
gần nhất, biểu thức của
AB
H
gồm ba số hạng cấp một tương ứng với ba số hạng xen
phủ của ba nguyên tử khác loại lân cận gần nhất.
Ngoài ra ta có
BB AA
H H=
,
AB BA
H H
∗
=
.
Như ñã nói với phương pháp LCAO trực giao, ta không cần tính ñến các số
hạng xen phủ của hàm sóng.
ðặt:

A,0 A,0
z z
p | H | p
α
=
,
i
A,0 A,R
z z
p | H | p
β
=


1 2
A,0 B,0 A,0 B, a A,0 A, a
z z z z z z
p | H | p p |H | p p | H | p
γ
− −
= = =
 

Ta có:

i
2
1
6
ik R

AA BB
i 1
ik a
* ik a
AB BA
H H e
H H (1 e e )
α β
γ
=
−
−
= = +
= = + +
∑
 
 
 
(1.7)

Hamiltonian liên kết mạnh như vậy có thể chéo hóa dễ dàng kết quả là ta thu
ñược hệ thức tán sắc dưới dạng:

E ( k ) f (k ) 3 f ( k )
α β γ
±
= + ± +
  
(1.8)

Trong ñó :

1 2 2 1
f (k ) 2cos( k.a ) 2cos( k.a ) 2cos[ k.( a a )]= + + −
       
(1.9)


Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên



Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008



10
Hoặc khai triển theo các tọa ñộ trực giao:

y y
2
x
k a k a
3k a
f (k ) 12(cos cos cos )
2 2 2
= +

(1.10)

Trong ñó
α
là năng lượng ion hóa của electron
π
trong hệ Graphene và trong
các bài toán chúng ta có thể chọn nó làm gốc tính năng lượng, tức là chọn
0
α
=
.Các
giá trị khác ñã ñược tính toán cụ thể trong [4]
0.1meV
β
≈ −
,
2.8meV
γ
≈
. Chúng ta có
thể so sánh kết quả của phương pháp gần ñúng liên kết mạnh với phương pháp ab-
initio (H3)
Ở ñây dấu trừ mô tả vùng hóa trị còn dấu cộng mô tả vùng dẫn. Ở dưới vùng
hóa trị là các trạng thái bị lấp ñầy bởi các electron còn trên vùng dẫn là hoàn toàn bỏ
trống. Hai vùng này tiếp xúc với nhau tại các ñiểm là ñỉnh của hình lục giác của vùng
Brillouin (H4). Một vật liệu khi vùng dẫn và vùng hóa trị tiếp xúc với nhau thì vật liệu
ñó sẽ là kim loại, nhưng ñiều ñặc biệt ở ñây là hai vùng này chỉ tiếp xúc với nhau tại
từng ñiểm rời rạc nên người ta thường gọi nó là semimental (bán kim loại). Một ñiều
ñặc biệt hơn nữa là tại lân cận những ñiểm tiếp xúc này thì gần như E (năng lượng của
electron) tỉ lệ tuyến tính bậc nhất với véc tơ sóng của nó. Hệ thức này giống như là hệ
thức của các hạt tương ñối tính không có khối lượng. Do ñó tại các ñiểm tiếp xúc K,K’

(gọi là các ñiểm ðirac) các electron trong Graphene hành xử như những hạt tương ñối
tính có khối lượng bằng không mặc dù vận tốc của electron trong Graphene chỉ bằng
cỡ 1/300 vận tốc ánh sáng. ðiều ñó giúp các nhà thực nghiệm có thể quan sát ñược một
số hiệu ứng tương ñối tính mà không cần tới các máy gia tốc cực lớn. Cụ thể là nó giúp
chúng ta có thể kiểm tra trực tiếp phương trình ðirắc bằng thực nghiệm, một phương
trình vốn có nhiều ñiểm lạ kì.
Trong phương pháp gần ñúng liên kết mạnh, chúng ta ñã bỏ qua số hạng xen
phủ của hàm sóng và chỉ tính tới số hạng bậc nhất nên vùng dẫn và vùng hóa trị là
hoàn toàn ñối xứng với nhau qua mặt Fermi. Tuy nhiên ñiều ñó là không hoàn toàn
Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên



Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008



11
trùng khớp với phương pháp ab-initio (H3). Mặc dù vậy trong các tính toán thông
thường ta vẫn coi như ñối xứng và phương trình cho electron sẽ có dạng ñơn giản nhất
có thể. Ngoài ra do có các ảnh hưởng nào ñó mà có thể hai vùng năng lượng này không
hoàn toàn tiếp xúc với nhau mà còn có một khe năng lượng nhỏ cỡ vài chục meV mà ta
có thể coi là năng lượng nghỉ của electron trong các phương trình tính toán.





Hình 3. Cấu trúc vùng năng lượng
tính bằng phương pháp ab-initio và

phương pháp gần ñúng liên kết mạnh

Hình 4. Cấu trúc vùng năng lượng
của vẽ dưới dạng không gian
Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên



Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008



12

Chương 2. Phương trình mô tả electron trong Graphene
và phương pháp T_matrix
2.1. Từ phương trình Srodinger tới phương trình ðirac
Như ñã thảo luận ở trên, trong Graphen, tại những ñiểm ðirac electron hành xử
như những hạt tương ñối tính có khối lượng nghỉ bằng không. Do ñó một ñiều hiển
nhiên là chúng ta không thể mô tả nó bằng phương trình Srodinger như trong cơ học
lượng tử ñược. Vậy một câu hỏi ñược ñặt ra là chuyển ñộng của nó tuân theo phương
trình nào? Trên thực tế, khi xem xét electron tại những ñiểm gần bề mặt Fermi thì
người ta thường dùng phương pháp gần ñúng khối lượng hiệu dụng. Kết quả phép gần
ñúng khối lượng hiệu dụng ñối với Grphene chính là phương trình tựa Dirac hai chiều
cho electron trong mạng Graphene.Việc này ñã ñược D.P DiVincenzo và E.J.Mele thực
hiện năm 1984 [14] , trong ñó hai ông ñã sử dụng khai triển
.k p
tại lân cận ñiểm K.
Bằng cách viết phương trình hàm sóng, thay vào phương trình Srodinger, khai triển và
giữ lại số hạng bậc nhất của

k

hai ông ñã thu ñược phương trình tựa ðirac cho electron
trong Graphen như sau:

( )
2
D 0 z 0
H ( x,y ) v . mv U( x,y ) ( x,y ) E ( x,y )
ψ σ σ ψ ψ
 
= − ∇ + + =
 
 
ℏ
(2.1)

Tại vì Graphene là hệ hai chiều nên phương trình của ta ở ñây chỉ viết cho
trường hợp hai chiều. Do ñó,
( , )
x y
σ σ σ
=

và
, ,
x y z
σ σ σ
ở ñây là ba ma trận Pauli,
U(x,y) là thế bên ngoài ñặt vào còn

2
o
mv
là năng lượng nghỉ của electron. Tuy nhiên
khối lượng
m
ở ñây rất nhỏ nên thường ñược bỏ qua trong nhiều bài toán. Phương
trình trên có dạng giống như phương trình ðirac cho hạt tương ñối tính tuy nhiên có
một ñiều khác biệt là trong phương trình ðirac thì vận tốc là c (vận tốc ánh sáng), còn
Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên



Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008



13
trong phương trình này thì vận tốc là vận tốc ở mức Fermi của electron và nó có giá trị
xấp xỉ bằng 1/300 vận tốc ánh sang. ðiều ñó giải thích tại sao chúng ta phải dùng thuật
ngữ “Phương trình tựa ðirac”.
Có một ñiều cần chú ý là ở trên chỉ là khai triển
.k p
tại ñiểm K, hoàn toàn tương
ñương chúng ta có thể khai triển tại ñiểm K’ và thu ñược kết quả hoàn toàn tương tự.
Khi ñó thì Halmiton của ta chỉ là ma trận 2x2 còn hàm sóng có hai thành phần. Tuy
nhiên ñiều này chỉ ñúng trong trường hợp ta coi hai ñiêm K và K’ là hoàn toàn ñộc lập,
không có liên hệ gì với nhau. Trong trường hợp chúng có liên quan bất ñối xứng thì
chúng ta phải viết hàm Halmiton là ma trận 4x4 và hàm sóng sẽ có 4 thành phần (2 ứng
với ñiểm K và 2 ứng với ñiểm K’).

2.2 Lời giải của phương trình tựa ðirac 2 chiều
Trong bài toán của ta chỉ xét trường hợp là electron chỉ chịu tác dụng của thế
tĩnh ñiện và thế này là không ñổi trên từng ñoạn. Khi ñó phương trình ðirac sẽ có lời
giải giải tích chính xác, ñầy ñủ. Ta hãy khảo sát trường hợp này bằng cách áp dụng
phương trình ðirac ở trên (2.1):
( )
2
D 0 z 0
H ( x,y ) v . mv U( x,y ) ( x,y ) E ( x,y )
ψ σ σ ψ ψ
 
= − ∇ + + =
 

ℏ

Trong ñó :
( , )
x y
σ σ σ
=

và
0 1
1 0
x
σ
 
=

 
 
,
0
0
y
i
i
σ
−
 
=
 
 
,
1 0
0 1
z
σ
 
=
 
−
 

Ta viết hàm sóng dưới dạng hai thành phần spinnor
1
2
ψ
ψ

ψ
 
=
 
 
và thay vào
phương trình trên ta thu ñược:
Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên



Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008



14

2
2 2
0 0 1 1
2
1 1
0 0 2 2
v ( i ) [mv U( x,y )] E
x y
v ( i ) [-mv U( x,y )] E
x y
ψ ψ
ψ ψ
ψ ψ

ψ ψ
∂ ∂

− − + + =

∂ ∂


∂ ∂

− + + + =

∂ ∂

ℏ
ℏ
(2.2)


Hay:

2
2 0 0 1
2
1 0 0 2
( i ) [E U( x,y ) mv ]/ v
x y
( i ) [ E U( x,y ) mv ]/ v
x y
ψ ψ

ψ ψ
∂ ∂

− − = − −

∂ ∂


∂ ∂

− + = − +

∂ ∂

ℏ
ℏ
(2.3)
ðặt các ñại lượng không thứ nguyên:
2
0 0 0
mv / v
ε
=
ℏ
,
0
u( x,y ) U( x,y ) / v=
ℏ
,
o

E / v
ε
=
ℏ
, ñồng thời rút thế
2
ψ
từ phương trình dưới vào phương trình trên ta có:

1 0 1
0
2 1
0
1
( i ) ( i ) [ u( x, y ) ]
x y [ u( x,y ) ] x y
1
( i )
[ u( x,y ) ] x y
ψ ε ε ψ
ε ε
ψ ψ
ε ε
∂ ∂ ∂ ∂

− − − + = − −

∂ ∂ − + ∂ ∂



∂ ∂

= − +

− + ∂ ∂

(2.4)
Trong trường hợp riêng của ta: thế
u( x,y )
không ñổi dọc theo trục
Oy
mà chỉ
phụ thuộc vào phương Ox, khi ñó nghiệm có thể tìm dưới dạng hàm riêng của xung
lượng theo trục
Oy
:
y
ik y
( x,y ) e ( x )
ψ χ
= , ta có phương trình cho
1
2
( )
( )
( )
x
x
x
χ

χ
χ
 
=
 
 
:

y y 1 0 1
0
2 y 1
0
1
( i ik ) ( i ik ) [ u( x ) ]
x [ u( x ) ] x
1
( i k )
[ u( x ) ] x
χ ε ε χ
ε ε
χ χ
ε ε
∂ ∂

− − − + = − −

∂ − + ∂


∂


= − +

− + ∂

(2.5)