DOWNLOAD PDF

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (564.16 KB, 22 trang )

(1)ĐỀ KHẢO SÁT TN. THPT NĂM 2021 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút. TRƯỜNG THPT QUỐC THÁI TỔ TOÁN MÃ ĐỀ 122. Câu 1. Có bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5? A. A45 . B. P5 . C. C45 . D. P4 . Câu 2. Cho một cấp số cộng có u4 = 2, u2 = 4. Hỏi u1 bằng bao nhiêu? A. u1 = 6. B. u1 = 1. C. u1 = 5.. D. u1 = −1.. Câu 3. Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên khoảng (−∞; +∞), có bảng biến thiên như hình sau −∞. x. −1. f 0 (x). +. 0. +∞. 1 −. 0. + +∞. 2 f (x) −∞. −1. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; +∞). C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 1).. B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −2). D. Hàm số đồng biến trên khoảng (−1; +∞).. Câu 4. Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục trên R có bảng biến thiên như bảng sau −∞. x. 0. f 0 (x). −. 0. +∞. 4 −. +. +∞. 5. f (x) −∞. 4 Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. yCT = 0. B. max y = 5.. C. yCĐ = 5.. R 0. D. min y = 4. R. 2. Câu 5. Cho hàm số f (x) có đạo hàm f (x) = x(x − 1) (2x + 3). Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3. B. 0. C. 2. D. 1. 2x − 1 Câu 6. Cho hàm số y = có đồ thị (C). Tìm tọa độ giao điểm I của hai đường tiệm cận của x+2 đồ thị (C). A. I(−2; 2). B. I(2; 2). C. I(2; −2). D. I(−2; −2). Câu 7. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây? A. y = −x3 + 3x2 + 2. B. y = −x4 + 2x2 − 2. 3 2 C. y = x − 3x + 2. D. y = x3 − 3x + 2.. y 2. 2 O −2. Trang 1. 1. x.

(2) Câu 8. Cho đồ thị hàm số y = f (x). Tìm m để phương trình f (x) + 1 = m có đúng 3 nghiệm. A. 0 < m < 5. B. 1 < m < 5. C. −1 < m < 4. D. 0 < m < 4.. y. f (x). 4. O. Ç Câu 9. Cho số thực a thỏa mãn 0 < a 6= 1. Tính giá trị của biểu thức T = loga. a2 ·. √ 3. a2 · √ 15 a7. 3 √ 5. 9 C. T = . D. T = 2. 5 Å ã 1 Câu 10. Đạo hàm của hàm số y = log2 (2x + 1) trên khoảng − ; +∞ là 2 2 2 2 ln 2 2 A. . B. . C. . D. . (2x + 1) ln x (2x + 1) ln 2 2x + 1 (x + 1) ln 2 A. T = 3.. B. T =. 12 . 5. Câu 11. Cho hai số dương a, b với a 6= 1. Đặt M = log√a b. Tính M theo N = loga b. √ 1 A. M = N . B. M = 2N . C. M = N . D. M = N 2 . 2 Å ã−x 1 Câu 12. Tập nghiệm S của bất phương trình 5x+2 < là 25 A. S = (−∞; 2). B. S = (−∞; 1). C. S = (1; +∞). D. S = (2; +∞). Câu 13. Nghiệm của phương trình log5 (2x) = 2 là. 1 25 . D. x = . 2 5 3 Câu 14. Z Cho hàm số f (x) = 4x − 2. Trong các khẳngZđịnh sau, khẳng định nào đúng? A. f (x) dx = 3x4 − 2x + C. B. f (x) dx = x4 − 2x + C. Z Z 1 4 C. f (x) dx = x − 2x + C. D. f (x) dx = 12x2 + C. 3 A. x = 5.. B. x = 2.. C. x =. Câu 15. Z Cho hàm số f (x) = sin 3x. Trong các khẳng định Z sau, khẳng định nào đúng? 1 1 A. f (x) dx = cos 3x + C. B. f (x) dx = − cos 3x + C. 3 3 Z Z C. f (x) dx = 3 cos 3x + C. D. f (x) dx = −3 cos 3x + C. Z4 3. 4. B. 8. Z3. Câu 17. Tích phân. Z5 f (x) dx = −6 thì. f (x) dx = 2 và. Câu 16. Nếu A. −4.. Z5. f (x) dx. 3. C. −12.. D. −8.. 1 dx bằng x. 2. 2 3 A. ln . B. ln . C. ln 6. 3 2 Câu 18. Số phức liên hợp của số phức z = 2 − 4i là A. z = −2 − 4i. B. z = 2 + 4i. C. z = −2 + 4i. Câu 19. Cho hai số phức z = −3 + 2i và w = 4 − i. Số phức z − w bằng A. 1 + 3i. B. −7 + i. C. −7 + 3i. Trang 2. D. ln 5. D. z = −4 + 2i. D. 1 + i.. x. a4. å ..

(3) √ Câu 20. √ Trên mặt phẳng tọa độ,√điểm biểu diễn số phức√( 3 − 2)i có tọa độ là √ A. ( 3; −2). B. (− 3; 2). C. ( 3 − 2; 0). D. (0; 3 − 2). Câu 21. Một khối chóp có thể tích bẳng 8 và diện tích đáy bẳng 6. Chiều cao của khối chóp đó bẳng 4 4 C. . D. 16. A. 4. B. . 3 9 √ Câu 22. Một hình lập phương có độ dài cạnh bằng a 2. Thể √ tích khối lập phương đó là 3 √ √ 2a 2 B. 2a3 2. C. . D. a3 . A. a3 2. 3 Câu 23. Thể tích V của khối nón có bán kính đáy bằng 3 cm và chiều cao bằng 4 cm là A. V = 36π (cm3 ). B. V = 12π (cm3 ). C. V = 8π (cm3 ). D. V = 12π (cm3 ). Câu 24. Một hình trụ có bán kính đáy bằng a và có thiết diện qua trục là một hình vuông. Tính diện tích xung quanh của hình trụ. A. 2πa2 . B. πa2 . C. 4πa2 . D. 3πa2 . Câu 25. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; −3; −6) và B(0; 5; 2). Trung điểm của đoạn thẳng AB có toa độ là A. I(−2; 8; 8). B. I(1; 1; −2). C. I(−1; 4; 4). D. I(2; 2; −4). Câu 26. Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) : (x − 1)2 + y 2 + (z + 3)2 = 16 có bán kính bằng A. 4. B. 32. C. 16. D. 9. ã Å 5 Câu 27. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng nào dưới đây đi qua điểm M 0; ; −1 ? 2 A. (P1 ) : 4x + 2y − 12z − 17 = 0. B. (P2 ) : 4x − 2y − 12z − 17 = 0. C. (P3 ) : 4x − 2y + 12z + 17 = 0. D. (P4 ) : 4x + 2y + 12z + 17 = 0. Câu 28. Trong không gian Oxyz, vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua gốc toa độ và trung điểm của đoạn thắng AB với A(0; 2; 3), B(2; −2; 1)? A. u~1 = (1; −2; −1). B. u~2 = (1; 0; 2). C. u~3 = (2; 0; 4). D. u~4 = (2; −4; −2). Câu 29. Chọn ngẫu nhiên một số trong 17 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được số lẻ bẳng? 9 8 10 1 A. . B. . C. . D. . 17 17 17 2 Câu 30. Hàm số nào dưới đây đồng biến trên R? x+1 1 A. y = . B. y = x4 + 3. C. y = x3 + x. D. y = 2 . x+3 x +1 2x − 1 Câu 31. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = trên 1−x đoạn [2; 4]. Tính A = 3M − m −20 A. A = 4. B. A = −10. C. A = −4. D. A = . 3 1 2 Câu 32. Tập nghiệm của bất phương trình 72−2x−x ≤ x là 49 √ √ A. [− 2; √ 2]. B. (−∞; −2] ∪ [2; +∞). √ C. (−∞; − 2] ∪ [ 2; +∞). D. [−2; 2]. Z4. Z2 (2x − 3f (x)) dx = 9 thì. Câu 33. Nếu. 1 2. 1. A. 1.. f (2x) dx bằng. B. 4.. C. −1.. Trang 3. D. −4 ..

(4) Câu 34. Số phức z1 là nghiệm có phần ảo dương của phương trình bậc hai z 2 − 2z + 5 = 0. Môđun của số phức (2i − 1)z1 bẳng √ A. −5. B. 5. C. 25. D. 5. Câu là tam giác vuông tại đinh A, cạnh BC = a, AC = √ √ 35. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC a 3 a 6 , các cạnh bên SA = SB = SC = . Tính góc tạo bởi mặt bên (SAB) và mặt phẳng đáy 3 2 (ABC). π π π A. . B. . C. . D. arctan 3. 6 3 4 √ Câu 36. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB = a, BC = a 3, SA vuông góc với đáy. Góc giữa cạnh bên SC và đáy bằng 45◦ . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) tính theo√a bằng √ √ √ 2a 57 2a 5 2a 5 2a 57 . B. . C. . D. . A. 19 3 3 5 Câu 37. Trong không gian với hệ toa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2 + y 2 + z 2 + 2x − 6y + 1 = 0. Tính toa ® độ tâm I, bán kính R®của mặt cầu (S). ® ® I(1; −3; 0) I(−1; 3; 0) I(1; −3; 0) I(−1; 3; 0) √ A. . B. . C. . D. . R=3 R=3 R=9 R = 10 Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; −3; 4), B(−2; −5; −7), C(6; −3;  −1). Phương trình đường  trung tuyến AM củatam giác là  x = 1 + t      x = 1 + t x = 1 + 3t x = 1 − 3t A. y = −3 − t . B. y = −1 − 3t . C. y = −3 + 4t . D. y = −3 − 2t .         z = 4 − 8t z = −8 − 4t z =4−t z = 4 − 11t Câu 39. Cho hàm số ã thức y = f (x) có đạo hàm trên R. Biết rằng f (0) = 0, Å đa 19 3 = − và đồ thị hàm số y = f 0 (x) có dạng như hình vẽ bên. f (−3) = f 2 4 ï ò 3 2 là Hàm số g(x) = |4f (x) + 2x | giá trị lớn nhất của g(x) trên −2; 2 39 29 A. 2. B. . C. 1. D. . 2 2. y f 0 (x) 3. O. 3 2. x. −3 − 32. Ä √ ä Câu 40. Số giá trị nguyên dương của m để bất phương trình 2x+2 − 2 (2x − m) < 0 có tập nghiệm chứa không quá 6 số nguyên là A. 62. B. 33. C. 32. D. 31. ® 2 x + ax + b khi x ≥ 2 Câu 41. Cho hàm số f (x) = . Biết hàm số có đạo hàm tại điểm x = 2. x3 − x2 − 8x + 10 khi x < 2 Z4 Tính I = f (x) dx. 0. A. 3.. B. 0.. C. −2.. Câu 42. Cho hai số phức z, w thỏa mãn |z − i| = 2 và w = |w|. A. 4.. 7 B. a. 3. √ 5 C. . 20 Trang 4. D. 4. z−1+i . Tìm giá trị nhỏ nhất của z−2−i √ a 7 D. . 2.

(5) Câu 43. Cho hình chóp S.ABC có đáy √ ABC là tam giác đều, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA = a 3, góc giữa SA mặt phẳng (SBC) bằng 45◦ (tham khảo hình bên). Thể√tích khối chóp S.ABC √ bẳng 3 3 √ 3a 3 a 3 . C. . D. a3 . A. a3 3. B. 12 12. S. A. C B. Câu 44. Từ một tấm thép phẳng hình chữ nhật, người ta muốn làm một chiếc thùng đựng dầu hình trụ bẳng cách cắt ra hai hình tròn bằng nhau và một hình chữ nhật (phần tô đậm) sau đó hàn kín lại, như trong hình vẽ dưới đây. Hai hình tròn làm hai mặt đáy, hình chữ nhật làm thành mặt xung quanh của thùng đựng dầu (vừa đủ). Biết rẳng đường tròn đáy ngoại tiếp một tam giác có kích thước là 50 cm, 70 cm, 80 cm (các mối ghép nối khi gò hàn chiểm diện tích không đáng kế, lấy π = 3, 14). Diện tích của tấm thép hình chữ nhật ban đầu gần nhất với số liệu nào sau đây?. 3h. A. 6, 8 ( m2 ).. h. B. 24, 6 ( m2 ).. C. 6, 15 ( m2 ).. D. 3, 08 ( m2 ).   x = 1 + 2t Câu 45. Trong không gian với hệ toa độ Oxyz, cho điểm M (0; 2; 0) và hai đường thẳng ∆1 : y = 2 − 2t ,   z = −1 + t   x = 3 + 2s ∆2 : y = −1 − 2s . Gọi (P ) là mặt phẳng đi qua M song song với trục Ox, sao cho (P ) cắt hai   z=s đường thẳng ∆1 , ∆2 lần lượt tại A, B thoả mãn AB = 1. Mặt phẳng (P ) đi qua điểm nào sau đây? A. F (1; −2; 0). B. E(1; 2; −1). C. K(−1; 3, 0). D. G(3; 1; −4). Câu 46. Cho f (x) là hàm bậc bốn thỏa mãn f (0) = 0. Hàm số f 0 (x) đồ thị như hình bên. Hàm số g(x) = |f (x3 ) − x3 − x| có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3. B. 2. C. 1. D. 4.. y −1 O. f 0 (x) 1 x −1. −3 −5. Trang 5.

(6) 2. 2. Câu 47. Cho phương trình m · 2x −4x−1 + m2 · 22x −8x−1 = 7 log2 (x2 − 4x + log2 m) + 3,(m là tham số). Có bao nhiêu số nguyên dương m sao cho phương trình đã cho có nghiệm thực. A. 31. B. 63. C. 32. D. 64. Câu 48. ax + b Cho hàm số y = có đồ thị (C). Gọi giao điểm của cx + d hai đường tiệm cận là I. Điểm M0 (x0 ; y0 ) di động trên (C), tiểp tuyến tại đó cắt hai tiệm cận lần lượt tại A, B S1 + S2 và S∆IAB = 2. Tìm giá trị IM02 sao cho = 1 (với S∆LAB S1 , S2 là 2 hình phẳng như hình bên). 41 169 189 A. 2. B. . C. . D. . 20 60 60. y. B. C S1 M◦ S2. I. A x. O. Câu 49. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + z2 = 3 + 4i và |z1 − z2 | = 5. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức P = |z1 | + |z2 | √ √ A. 10. B. 5 2. C. 5. D. 10 2. √ Câu 50. Một hình nón đỉnh S có bán kính đáy bằng a 3, góc ở đỉnh là 120◦ . Thiết diện qua đỉnh của hình nón là một tam giác. Diện tích lớn nhất Smax của thiết điện đó là bao nhiêu? √ 9a2 A. Smax = 2a2 . B. Smax = a2 2. C. Smax = 4a2 . D. Smax = . 8. Trang 6.

(7) TRƯỜNG THPT QUỐC THÁI TỔ TOÁN MÃ ĐỀ 122. ĐỀ KHẢO SÁT TN. THPT NĂM 2021 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút. Câu 1. Có bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5? A. A45 . B. P5 . C. C45 . D. P4 . Lời giải. Số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4 , 5 là một chỉnh hợp chập 4 của 5 phần tử. Vậy có A45 số cần tìm. Chọn đáp án A Câu 2. Cho một cấp số cộng có u4 = 2, u2 = 4. Hỏi u1 bằng bao nhiêu? A. u1 = 6. B. u1 = 1. C. u1 = 5. Lời giải. ® ® ® u1 = 5 u1 + 3d = 2 u4 = 2 ⇔ ⇔ Ta có d = −1. u1 + d = 4 u2 = 4 Chọn đáp án C. D. u1 = −1.. . Câu 3. Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên khoảng (−∞; +∞), có bảng biến thiên như hình sau −∞. x f 0 (x). −1 +. 0. +∞. 1 −. 0. + +∞. 2 f (x) −∞. −1. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; +∞). B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −2). C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 1). D. Hàm số đồng biến trên khoảng (−1; +∞). Lời giải. Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −1), suy ra hàm số cũng đồng biến trên khoảng (−∞; −2). Chọn đáp án B Câu 4. Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục trên R có bảng biến thiên như bảng sau −∞. x f 0 (x). 0 −. 0. +∞. 4 −. +. +∞. 5. f (x) −∞. 4 Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. yCT = 0. B. max y = 5.. C. yCĐ = 5.. R. D. min y = 4. R. Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 1, yCD = 5, đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = 4, hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Chọn đáp án C Trang 1.

(8) Câu 5. Cho hàm số f (x) có đạo hàm f 0 (x) = x(x − 1)2 (2x + 3). Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3. B. 0. C. 2. D. 1. Lời giải. Ta có bảng xét dấu sau x f 0 (x). −∞. − +. 3 2. 0. 0 −. 0. +∞. 1 +. 0. +. 3 Từ đó f 0 (x) chỉ đổi dấu tại x = − , x = 0 nên hàm số chỉ có 2 cực trị. 2 Chọn đáp án C Câu 6. Cho hàm số y =. . 2x − 1 có đồ thị (C). Tìm tọa độ giao điểm I của hai đường tiệm cận của x+2. đồ thị (C). A. I(−2; 2). B. I(2; 2). C. I(2; −2). Lời giải. Tập xác định D = R \ {−2}. 2x − 1 2x − 1 Tiệm cận đứng x = −2 vì lim − = +∞, lim + = −∞. x→(−2) x→(−2) x+2 x+2 2x − 1 Tiệm cận ngang y = 2 vì lim = 2. x→±∞ x + 2 Vậy I(−2; 2). Chọn đáp án A. D. I(−2; −2).. Câu 7. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây? A. y = −x3 + 3x2 + 2. B. y = −x4 + 2x2 − 2. 3 2 C. y = x − 3x + 2. D. y = x3 − 3x + 2.. y 2. 2 O. x. 1. −2. Lời giải. Từ đồ thị hàm số y = f (x) ta có lim f (x) = +∞. nên loại y = −x3 + 3x2 + 2 và y = −x4 + 2x2 − 2. x→+∞. Đồ thị đi qua điểm có toa độ (2; −2). Suy ra hàm số cần tìm là y = x3 − 3x2 + 2. Chọn đáp án C. . Câu 8. Cho đồ thị hàm số y = f (x). Tìm m để phương trình f (x) + 1 = m có đúng 3 nghiệm. A. 0 < m < 5. B. 1 < m < 5. C. −1 < m < 4. D. 0 < m < 4.. y. f (x). 4. O. Lời giải.. Trang 2. 3. x.

(9) Ta có f (x) + 1 = m ⇔ f (x) = m − 1. f (x) = m − 1 là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị y = f (x) và đường thẳng y = m − 1. Để phương trình f (x) = m − 1 có đúng 3 nghiệm thì 0 < m − 1 < 4 ⇔ 1 < m < 5.. y. f (x). 4. O. Chọn đáp án B Ç Câu 9. Cho số thực a thỏa mãn 0 < a 6= 1. Tính giá trị của biểu thức T = loga A. T = 3.. B. T =. 12 . 5. 9 C. T = . 5. a2 ·. √ 3. a2 · √ 15 a7. 3. x. √ 5. å. a4. .. D. T = 2.. Lời giải. Ta có Ç T = loga. a2 ·. √ 3. a2 · √ 15 a7. å √ 5 a4. Ü = loga. Ö è 2 4ê 2 4 2 4 7 a2+ 3 + 5 a2 · a 3 · a 5 = loga = loga a2+ 3 + 5 − 15 = loga a3 = 3. 7 7 a 15 a 15. Chọn đáp án A. . ã Å 1 Câu 10. Đạo hàm của hàm số y = log2 (2x + 1) trên khoảng − ; +∞ là 2 2 2 2 ln 2 2 A. . B. . C. . D. . (2x + 1) ln x (2x + 1) ln 2 2x + 1 (x + 1) ln 2 Lời giải. Å ã 1 Tập xác định D = − ; +∞ . 2 2 (2x + 1)0 = . Ta có y 0 = (log2 (2x + 1))0 = (2x + 1) ln 2 (2x + 1) ln 2 Chọn đáp án B. . Câu 11. Cho hai số dương a, b với a 6= 1. Đặt M = log√a b. Tính M theo N = loga b. √ 1 A. M = N . B. M = 2N . C. M = N . D. M = N 2 . 2 Lời giải. Ta có M = log√a b = log 1 b = 2 loga b = 2N . a2. Vậy M = 2N . Chọn đáp án B. Å. ã−x. 1 là 25 C. S = (1; +∞).. Câu 12. Tập nghiệm S của bất phương trình 5x+2 < A. S = (−∞; 2). B. S = (−∞; 1). Lời giải. Å ã−x 1 x+2 ⇔ 5x+2 < (5)2x ⇔ 2 < x. Ta có 5 < 25 Tập nghiệm S của bất phương trình là S = (2; +∞). Chọn đáp án D Câu 13. Nghiệm của phương trình log5 (2x) = 2 là A. x = 5.. B. x = 2.. C. x = Trang 3. D. S = (2; +∞).. 25 . 2. 1 D. x = . 5.

(10) Lời giải. Ta có log5 (2x) = 2 ⇔ 2x = 25 ⇔ x =. 25 . 2 . Chọn đáp án C 3 Câu 14. Z Cho hàm số f (x) = 4x − 2. Trong các khẳngZđịnh sau, khẳng định nào đúng? A. f (x) dx = 3x4 − 2x + C. B. f (x) dx = x4 − 2x + C. Z Z 1 4 C. f (x) dx = x − 2x + C. D. f (x) dx = 12x2 + C. 3 Lời giải. Z Z Ta có f (x) dx = (4x3 − 2) dx = x4 − 2x + C.. . Chọn đáp án B Câu 15. Z Cho hàm số f (x) = sin 3x. Trong các khẳng định Z sau, khẳng định nào đúng? 1 1 A. f (x) dx = cos 3x + C. B. f (x) dx = − cos 3x + C. 3 3 Z Z C. f (x) dx = 3 cos 3x + C. D. f (x) dx = −3 cos 3x + C. Lời giải. Z Z 1 Ta có f (x) dx = sin 3x dx = − cos 3x + C. 3 Chọn đáp án B Z4. Z5. 3. Z5 f (x) dx = −6 thì. f (x) dx = 2 và. Câu 16. Nếu. . 4. f (x) dx. 3. A. −4. B. 8. C. −12. Lời giải. Z5 Z4 Z5 Ta có f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx = 2 − 6 = −4. 3. 3. D. −8.. 4. . Chọn đáp án A Z3 Câu 17. Tích phân. 1 dx bằng x. 2. 2 3 A. ln . B. ln . 3 2 Lời giải. Z3 1 3 Ta có dx = ln x|32 = ln 3 − ln 2 = ln . x 2. C. ln 6.. D. ln 5.. 2. . Chọn đáp án B Câu 18. Số phức liên hợp của số phức z = 2 − 4i là A. z = −2 − 4i. B. z = 2 + 4i. C. z = −2 + 4i. Lời giải. Số phức liên hợp của số phức z = 2 − 4i là z = 2 + 4i. Chọn đáp án B Câu 19. Cho hai số phức z = −3 + 2i và w = 4 − i. Số phức z − w bằng A. 1 + 3i. B. −7 + i. C. −7 + 3i. Lời giải.. Trang 4. D. z = −4 + 2i.. D. 1 + i..

(11) Ta có w = 4 + i. Suy ra z − w = −3 + 2i − 4 − i = −7 + i. Chọn đáp án B. √ Câu 20. √ Trên mặt phẳng tọa độ,√điểm biểu diễn số phức√( 3 − 2)i có tọa độ là √ A. ( 3; −2). B. (− 3; 2). C. ( 3 − 2; 0). D. (0; 3 − 2). Lời giải. √ √ Điểm biểu diễn hình học của số phúc z = ( 3 − 2)i là điểm M (0; 3 − 2). Chọn đáp án D. . . Câu 21. Một khối chóp có thể tích bẳng 8 và diện tích đáy bẳng 6. Chiều cao của khối chóp đó bẳng 4 4 A. 4. B. . C. . D. 16. 3 9 Lời giải. 1 3V 3·8 Ta có V = B · h ⇒ h = = = 4. 3 B 6 Chọn đáp án A √ Câu 22. Một hình lập phương có độ dài cạnh bằng a 2. Thể √ tích khối lập phương đó là 3 √ √ 2a 2 A. a3 2. B. 2a3 2. C. . D. a3 . 3 Lời giải. √ √ Thể tích khối lập phương là V = (a 2)3 = 2a3 2. Chọn đáp án B Câu 23. Thể tích V của khối nón có bán kính đáy bằng 3 cm và chiều cao bằng 4 cm là A. V = 36π (cm3 ). B. V = 12π (cm3 ). C. V = 8π (cm3 ). D. V = 12π (cm3 ). Lời giải. 1 1 Thể tích khối nón là V = πr2 h = π · (3)2 · 4 = 12π. 3 3 Chọn đáp án D Câu 24. Một hình trụ có bán kính đáy bằng a và có thiết diện qua trục là một hình vuông. Tính diện tích xung quanh của hình trụ. A. 2πa2 . B. πa2 . C. 4πa2 . D. 3πa2 . Lời giải. Hình trụ có bán kính đáy bằng r = a nên đường kính đáy bằng 2a. Suy ra thiết diện qua trục là hình vuông có cạnh bằng 2a. Do đó chiều cao h = 2a. Diện tích xung quanh của hình trụ là Sxq = 2πrh = 2π · a · 2a = 4πa2 . Chọn đáp án C Câu 25. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; −3; −6) và B(0; 5; 2). Trung điểm của đoạn thẳng AB có toa độ là A. I(−2; 8; 8). B. I(1; 1; −2). C. I(−1; 4; 4). D. I(2; 2; −4). Lời giải. x + x y + y z + z A B A B A B Vì I là trung điểm AB nên I ; ; . 2 2 2 Vậy I(1; 1; −2) Chọn đáp án B Câu 26. Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) : (x − 1)2 + y 2 + (z + 3)2 = 16 có bán kính bằng A. 4. B. 32. C. 16. D. 9. Lời giải. Mặt cầu có phương trình (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 thì bán kính bằng R. Do đó mặt cầu (S) có R2 = 16. Vậy mặt cầu (S) có bán kính R = 4. Trang 5.

(12) Chọn đáp án A. . ã Å 5 Câu 27. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng nào dưới đây đi qua điểm M 0; ; −1 ? 2 A. (P1 ) : 4x + 2y − 12z − 17 = 0. B. (P2 ) : 4x − 2y − 12z − 17 = 0. C. (P3 ) : 4x − 2y + 12z + 17 = 0. D. (P4 ) : 4x + 2y + 12z + 17 = 0. Lời giải. Thay tọa độ của điểm M trực tiếp vào các phương trình để kiểm tra. 5 Thay tọa độ M vào (P3 ) : 4 · 0 − 2 · + 12 · (−1) + 17 = 0. 2 Å ã 5 Vậy mặt phẳng (P3 ) : 4x − 2y + 12z + 17 = 0 đi qua điểm M 0; ; −1 . 2 Chọn đáp án C. . Câu 28. Trong không gian Oxyz, vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua gốc toa độ và trung điểm của đoạn thắng AB với A(0; 2; 3), B(2; −2; 1)? A. u~1 = (1; −2; −1). B. u~2 = (1; 0; 2). C. u~3 = (2; 0; 4). D. u~4 = (2; −4; −2). Lời giải. Gọi là M trung điểm của đoạn thắng AB, ta có M (1; 0; 2). ~ = (1; 0; 2) là một vectơ chi phương của đường thẳng OM . Ta có OM Chọn đáp án B Câu 29. Chọn ngẫu nhiên một số trong 17 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được số lẻ bẳng? 8 10 1 9 . B. . C. . D. . A. 17 17 17 2 Lời giải. Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = C117 = 17. Trong 17 số nguyên dương đầu tiên có 9 số lẻ. Gọi A là biến cố “Chọn được số lẻ ”. ⇒ n(A) = 9. n(A) 9 Vậy xác suất cần tìm là P (A) = = . n(Ω) 17 Chọn đáp án A Câu 30. Hàm số nào dưới đây đồng biến trên R? x+1 1 . . B. y = x4 + 3. C. y = x3 + x. D. y = 2 A. y = x+3 x +1 Lời giải. x+1 Hàm số y = có tập xác định D = R \ {−3} nên bị loại. x+3 Hàm số y = x4 + 3 có khoảng đồng biến và nghịch biến trên R nên bị loại. Hàm số y = x3 + x có tập xác định D = R ⇒ y 0 = 3x2 + 1 > 0, ∀x ∈ R ⇒ hàm số đồng biến trên R. . Chọn đáp án C Câu 31. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) =. 2x − 1 trên 1−x. đoạn [2; 4]. Tính A = 3M − m A. A = 4.. B. A = −10.. C. A = −4.. Lời giải. 1 > 0, ∀x 6= 1. (1 − x)2 Suy ra hàm số xác định và đồng biến trên đoạn [2; 4].. Ta có f 0 (x) =. Trang 6. D. A =. −20 . 3.

(13) −7 Vậy M = f (4) = và m = f (2) = −3. 3 Suy ra A = 3M − m = −4. Chọn đáp án C. . 1 2 Câu 32. Tập nghiệm của bất phương trình 72−2x−x ≤ x là 49 √ √ A. [− 2; √ 2]. B. (−∞; −2] ∪ [2; +∞). √ D. [−2; 2]. C. (−∞; − 2] ∪ [ 2; +∞). Lời giải. Ta có 2−2x−x2. 7. √ ñ 2 x ≥ 1 2 √ ≤ x ⇔ 72−2x−x ≤ 7−2x ⇔ 2 − 2x − x2 ≤ −2x ⇔ 2 − x2 ≤ 0 ⇔ 49 x ≤ − 2.. √ √ Vậy S = (−∞, − 2] ∪ [ 2; +∞). Chọn đáp án C. . Z4. Z2 (2x − 3f (x)) dx = 9 thì. Câu 33. Nếu. f (2x) dx bằng 1 2. 1. A. 1. B. 4. C. −1. Lời giải. Z4 Z4 Z4 4 Ta có (2x − 3f (x)) dx = 9 ⇔ x2 − 3 f (x) dx = 9 ⇒ f (x) dx = 2. 1. 1. 1. D. −4 .. 1. Đặt t = 2x ⇒ dt = 2 dx. 1 Đồi cận : x = ⇒ t = 1, x = 2 ⇒ t = 4. 2 Z2 Z4 1 Suy ra f (2x) dx = f (t) dt = 1. 2 1 2. 1. . Chọn đáp án A. Câu 34. Số phức z1 là nghiệm có phần ảo dương của phương trình bậc hai z 2 − 2z + 5 = 0. Môđun của số phức (2i − 1)z1 bẳng √ A. −5. B. 5. C. 25. D. 5. Lời giải. ñ z1 = 1 + 2i 2 Ta có z − 2z + 5 = 0 ⇔ z2 = 1 − 2i. Suy ra (2i − 1)z1 = (2i − 1)(1 + 2i) = 4i2 − 1 = −5. Vậy |(2i − 1)z1 | = 5. Chọn đáp án B Câu là tam giác vuông tại đinh A, cạnh BC = a, AC = √ 35. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC √ a 6 a 3 , các cạnh bên SA = SB = SC = . Tính góc tạo bởi mặt bên (SAB) và mặt phẳng đáy 3 2 (ABC). π π π A. . B. . C. . D. arctan 3. 6 3 4 Lời giải.. Trang 7.

(14) Gọi I là trung điểm AB, ta có IH ⊥ AB. ‘ ⇒ AB ⊥ (SIH) ⇒ AB ⊥ SI. ((SAB), (ABC)) = SIH. √ BC a a Ta có AH = = , SH = SA2 − AH 2 = √ . 2 2 2 a √ √ √ AC a 6 ‘ = SH = √2 = 3. IH = = · tan SIH 2 6 IH a 6 6 ‘ = π. Vậy ((SAB), (ABC)) = SIH 3. S. A. C H. I B. Chọn đáp án B. √. . Câu 36. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB = a, BC = a 3, SA vuông góc với đáy. Góc giữa cạnh bên SC và đáy bằng 45◦ . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) tính theo√a bằng √ √ √ 2a 57 2a 57 2a 5 2a 5 A. . B. . C. . D. . 19 3 3 5 Lời giải. ’ = 45◦ . Ta có SA ⊥ (ABCD) ⇒ (SC, (ABCD)) = SCA S ⇒ ∆SAC vuông cân√tại A. Khi đó SA = AC = AB 2 + BC 2 = 2a. Kẻ AK ⊥ BD thì BD ⊥ (SAK), (SAK) ⊥ (SBD) và (SAK) ∩ (SBD) = SK. H Trong mặt phắng (SAK), kẻ AH ⊥ SK thì AH ⊥ (SBD). Do đó AH = d(A, (SBD)). A Tam giác SAK vuông tại A có B K 1 1 1 1 1 1 = + = + + . 2 2 2 2 2 D C AH AK SA AB AD SA2 √ 2a 57 ⇒ AH = . 19 √ 2a 57 Vậy d(A, (SBD)) = . 19 Chọn đáp án A Câu 37. Trong không gian với hệ toa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2 + y 2 + z 2 + 2x − 6y + 1 = 0. Tính toa ® độ tâm I, bán kính R®của mặt cầu (S). ® ® I(1; −3; 0) I(−1; 3; 0) I(1; −3; 0) I(−1; 3; 0) √ A. . B. . C. . D. . R=9 R=3 R=3 R = 10 Lời giải. √ Từ phương trình mặt cầu (S) suy ra tâm I(−1; 3; 0) và bán kính R = a2 + b2 + c2 − d = 3. Chọn đáp án A Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; −3; 4), B(−2; −5; −7), C(6; −3;  −1). Phương trình đường  trung tuyến AM củatam giác là  x = 1 + t x = 1 + t x = 1 + 3t        x = 1 − 3t A. y = −3 − t . B. y = −1 − 3t . C. y = −3 + 4t . D. y = −3 − 2t .         z = 4 − 8t z = −8 − 4t z =4−t z = 4 − 11t Lời giải.. Trang 8.

(15) ~ (1; −1; −8). Gọi M là trung điểm của BC ⇒ M (2; −4; −4), khi đó  AM  x = 1 + t Phương trình đường trung tuyến AM của tam giác là y = −3 − t   z = 4 − 8t. Chọn đáp án A. . Câu 39. Cho hàm số Å đa ã thức y = f (x) có đạo hàm trên R. Biết rằng f (0) = 0, 3 19 f (−3) = f = − và đồ thị hàm số y = f 0 (x) có dạng như hình vẽ bên. 2 4 ï ò 3 2 Hàm số g(x) = |4f (x) + 2x | giá trị lớn nhất của g(x) trên −2; là 2 39 29 A. 2. B. . C. 1. D. . 2 2. y f 0 (x) 3. O. 3 2. x. −3 − 32. Lời giải. Xét hàm số h(x) = 4f (x) + 2x2 xác định trên R. Hàm số f (x) là hàm đa thức nên h(x) cũng là hàm đa thức và h(0) = 4f (0) + 2 · 0 = 0. Khi đó h0 (x) = 4f 0 (x) + 4x ⇒ h0 (x) = 0 ⇔ f 0 (x) = −x. y f 0 (x) 3. O. 3 2. x. −3 − 32. y = −x. Dựa vào sự tươngßgiao của™đồ thị hàm số y = f 0 (x) và đường thẳng y = −x, ta có 3 h0 (x) = 0 ⇔ x ∈ −3; 0; . 2 Ta có bảng biến thiên như sau x. −∞. h0 (x). −3 −. 0. 3 2. 0 +. 0. −. 0. +∞. +∞ + +∞. 0. h(x) −1. − Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số g(x) = |h(x)| như sau. Trang 9. 29 2.

(16) x. −∞ +∞. −3. 0. 3 2. +∞ +∞. 29 2. |h(x)|. 1 0. 0. 0. ï. ò 3 29 Vậy giá trị lớn nhất của g(x) trên −2; là . 2 2 Chọn đáp án D. ä √ Câu 40. Số giá trị nguyên dương của m để bất phương trình 2x+2 − 2 (2x − m) < 0 có tập nghiệm chứa không quá 6 số nguyên là A. 62. B. 33. C. 32. D. 31. Lời giải. Ta có Ä √ ä 2x+2 − 2 (2x − m) < 0 ® ® √ √ 2x+2 − 2 > 0 2x+2 > 2  x  x  2 −m<0  2 <m ⇔  ⇔  ® x+2 √  ® x+2 √ − 2<0 < 2  2  2 x x 2 −m>0 2 >m  x + 2 > 1  2   x < log2 m ⇔    x + 2 < 1  2  x > log2 m  x > − 3  2   x < log2 m ⇔    x < − 3  2 (vô nghiệm vì m ≥ 1)  x > log2 m 3 ⇔ − < x < log2 m. 2 Ä. Bất phương trình đã cho có tập nghiệm chứa không quá 6 số nguyên khi và chỉ khi log2 m ≤ 5 ⇔ m ≤ 25 ⇔ m ≤ 32. Mà m nguyên dương nên m ∈ {1; 2; 3; . . . .32}. Vậy có 32 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn đáp án C ® 2 x + ax + b khi x ≥ 2 Câu 41. Cho hàm số f (x) = . Biết hàm số có đạo hàm tại điểm x = 2. x3 − x2 − 8x + 10 khi x < 2 Z4 Tính I = f (x) dx. 0. A. 3.. B. 0.. C. −2. Trang 10. D. 4..

(17) Lời giải. Hàm số có đạo hàm tại x = 2 ⇔ f (2) = lim+ f (x) = lim− f (x) ⇔ 4+2a+b = −2 ⇔ 2a+b = −6 (1) x→2. x→2. Ta có lim−. x→2. f (x) − f (2) x3 − x2 − 8x + 10 − 4 − 2a − b = lim x→2 x−2 x−2 3 2 x − x − 8x + 12 = lim− x→2 x−2 2 (x − 2) (x + 3) = lim x→2 x−2 = lim− [(x − 2)(x + 3)] = 0. x→2. Mặc khác x2 + ax + b − 4 − 2a − b f (x) − f (2) = lim+ lim x→2 x→2+ x−2 x−2 (x − 2)(x + 2 + a) = lim+ x→2 x−2 = lim2 (x + a + 2) = a + 4. x→2. Hàm số có đạo hàm tại x = 2 nên hàm số liên tục tại x = 2. f (x) − f (2) f (x) − f (2) = lim− ⇔ a + 4 = 0 ⇔ a = −4. (2) Suy ra lim+ x→2 x→2 x−2 x−2 Từ (1) và (2), suy ® 2ra a = −4 và b = 2. x − 4x + 2 khi x ≥ 2 Khi đó f (x) = x3 − x2 − 8x + 10 khi x < 2. Ta có Z4 I=. Z2 f (x) dx =. 0. Z4 f (x) dx +. 0. f (x) dx 2. Z2. 3. Z4. 2. (x − x − 8x + 10) dx +. = 0. Å =. (x2 − 4x + 2) dx. 2 4. 3. x x − − 4x2 + 10x 4 3. ã. 2. x3 − 2x2 + 2x + 3 0 Å. Vậy I = 4. Chọn đáp án D. 4. = 4. 2. . Câu 42. Cho hai số phức z, w thỏa mãn |z − i| = 2 và w = |w|. A. 4.. ã. 7 B. a. 3. √ 5 C. . 20. z−1+i . Tìm giá trị nhỏ nhất của z−2−i √ a 7 D. . 2. Lời giải. Ta có w=. z−1+i ⇔ wz − 2w − wi = z − 1 + i z−2−i ⇔ z(w − 1) = 2w + wi − 1 + i 2w + wi − 1 + i ⇔z= w−1 Trang 11.

(18) 2w + wi − 1 + i −i w−1 2w − 1 + 2i ⇔z−i= w−1 |2w − 1 + 2i| ⇔ |z − i| = |w − 1| ⇔ 2|w − 1| = |2w − 1 + 2i|. (1) ⇔z−i=. Đặt w = x + yi với x, y ∈ R. Ta có (1) ⇔ 2|x + yi − 1| = |2x + 2yi − 1 + 2i| » » ⇔ 2 (x − 1)2 + y 2 = (2x − 1)2 + (2y + 2)2 ⇔ 4x2 − 8x + 4 + 4y 2 = 4x2 − 4x + 1 + 4y 2 + 8y + 4 ⇔ 4x + 8y + 1 = 0. Suy ra tập hợp điểm biếu diễn số phức √ w là đường thắng d có phương trình 4x + 8y + 1 = 0. 5 1 = Vậy |w|min = d(O, d) = √ . 20 42 + 82 Chọn đáp án C Câu 43. Cho hình chóp S.ABC có đáy √ ABC là tam giác đều, cạnh bên SA vuông◦ góc với mặt đáy và SA = a 3, góc giữa SA mặt phẳng (SBC) bằng 45 (tham khảo hình bên). Thể√tích khối chóp S.ABC √ bẳng 3 3 √ 3a 3 a 3 . C. . D. a3 . A. a3 3. B. 12 12. . S. A. C B. Lời giải. Gọi M là trung điểm của BC. Do tam giác ABC đều nên AM ⊥ BC . ® AM ⊥ BC Ta có ⇒ BC ⊥ (SAM ). Kẻ AH ⊥ SM . SA ⊥ BC ® BC ⊥ AH Ta có ⇒ AH ⊥ (SBC). SM ⊥ AH ’ = 45◦ . ⇒ (SA, (SBC)) = (SA, SH) = ASH √ Suy ra ∆ASM vuông cân tại A. Ta có SA = AM = a 3. Suy ra AB = BC = AC = 2a. 1 Vây VS.ABC = SABC · SA = a3 . 3 Chọn đáp án D. S. H. A. C M B . Câu 44. Từ một tấm thép phẳng hình chữ nhật, người ta muốn làm một chiếc thùng đựng dầu hình trụ bẳng cách cắt ra hai hình tròn bằng nhau và một hình chữ nhật (phần tô đậm) sau đó hàn kín lại, như trong hình vẽ dưới đây. Hai hình tròn làm hai mặt đáy, hình chữ nhật làm thành mặt xung quanh của thùng đựng dầu (vừa đủ). Biết rẳng đường tròn đáy ngoại tiếp một tam giác có kích thước là 50 cm, 70 cm, 80 cm (các mối ghép nối khi gò hàn chiểm diện tích không đáng kế, lấy π = 3, 14). Diện tích của tấm thép hình chữ nhật ban đầu gần nhất với số liệu nào sau đây?. Trang 12.

(19) 3h. h. A. 6, 8 ( m2 ). B. 24, 6 ( m2 ). C. 6, 15 ( m2 ). D. 3, 08 ( m2 ). Lời giải. Đổi 50 cm = 0, 5 m, 70 cm = 0, 7 m; 80 cm = 0, 8 m. Xét tam giác nội tiếp đường tròn đáy có kích thước lần lượt là 0, 5m; 0, 7m; 0, 8m nên bán kính đường tròn đáy của thùng đựng dầu là √ 7 3 0, 5 · 0, 7.0, 8 . = R= p 30 4 1(1 − 0, 5)(1 − 0, 7)(1 − 0, 8) Ta có h = 2R, diện tích hình chữ nhật ban đầuÇgấp 3ålần diện tích xung quanh của hình trụ. √ 2 7693 7 3 2 Vậy S = 3 · 2πRh = 6.3, 14.2 · R = 6 · 3,14 · 2 = = 6,1544 ( m2 ). 30 1250 Chọn đáp án C   x = 1 + 2t Câu 45. Trong không gian với hệ toa độ Oxyz, cho điểm M (0; 2; 0) và hai đường thẳng ∆1 : y = 2 − 2t ,   z = −1 + t   x = 3 + 2s ∆2 : y = −1 − 2s . Gọi (P ) là mặt phẳng đi qua M song song với trục Ox, sao cho (P ) cắt hai   z=s đường thẳng ∆1 , ∆2 lần lượt tại A, B thoả mãn AB = 1. Mặt phẳng (P ) đi qua điểm nào sau đây? A. F (1; −2; 0). B. E(1; 2; −1). C. K(−1; 3, 0). D. G(3; 1; −4). Lời giải. Ta có: A ∈ ∆1 ⇒ A(1 + 2t; 2 − 2t; −1 + t); B ∈ ∆2 ⇒ B(3 + 2s; −1 − 2s; s). ~ = (2 + 2(s − t); −3 − 2(s − t); 1 + (s − t)). Suy ra AB  s − t = −1 AB 2 = 1 ⇔ 9(s − t)2 + 22(s − t) + 14 = 1 ⇔  13 s−t=− . 9 ~ = (0; −1; 0) ⇒ (P ) có một véc-tơ pháp tuyến n~1 = [AB, ~ ~i] = (0; 0; 1), suy ra Với s − t = −1 ⇒ AB (P ) : z = 0 (loại do (P ) song Å song với trục ã Ox). 13 −8 −1 −4 ~ = ~ ~i] = Với s − t = − ⇒ AB ; ; ,suy ra (P ) có một véc-tơ pháp tuyến n~2 = [AB, 9 9 9 9 Å ã −4 1 ; . Suy ra phương trình (P ) : 4y − z − 8 = 0. 0; 9 9 Tọa độ điểm G(3; 1; −4) thỏa phương trình mặt phẳng (P ) : 4y − z − 8 = 0. Chọn đáp án D Câu 46. Trang 13.

(20) Cho f (x) là hàm bậc bốn thỏa mãn f (0) = 0. Hàm số f 0 (x) đồ thị như hình bên. Hàm số g(x) = |f (x3 ) − x3 − x| có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3. B. 2. C. 1. D. 4.. y −1 O. f 0 (x) 1 x −1. −3 −5. Lời giải. Do f (x) là hàm bậc bốn và từ đồ thị của f 0 (x), ta có f 0 (x) bậc ba có 2 điểm cực trị là −1; 1 nên f 00 (x) = a(x2 − 1). ã Å 3 x 0 − x + b. Suy ra f (x) = a 3  ® b = −3 a=3 0 0 Do f (0) = −3 và f (−1) = −1 nên ⇔ 1 a(− + 1) + b = −1 b = −3. 3 Å 3 ã x Suy ra f 0 (x) = 3 − x − 3. 3 Xét hàm số h(x) = f (x3 ) − x3 − x, có h0 (x) = 3x2 f 0 (x3 ) − 3x2 − 1. 3x2 + 1 h0 (x) = 0 ⇔ f 0 (x3 ) = (1). 3x2 Bảng biến thiên của f 0 (x): −∞. x. −1. 0. 1. +∞ +∞. 1 f 0 (x). −3 −5 −∞. Dựa vào bảng biến thiên ta có 3x2 + 1 > 0 suy ra (1) vô nghiệm trên (−∞; 0). 3x2 Trên (0; +∞) : f 0 (x) ∈ (−3; +∞) ⇒ f 0 (x3 ) ∈ (−3; +∞) đồng biến suy ra f 0 (x3 ) đồng biến mà hàm 3x2 + 1 số y = nghịch biến nên phương trình (1) có không quá 1 nghiệm. 3x2 ï ò 3x2 + 1 3x2 + 1 0 3 0 3 liên tục trên (0; +∞) và lim+ f (x ) − Mặt khác, hàm số y = f (x ) − = −∞, 2 2 x→0 3x 3x ï ò 3x2 + 1 0 3 lim f (x ) − = +∞ nên (1) có đúng 1 nghiệm x = x0 > 0. x→+∞ 3x2 Bảng biến thiên của h(x) Với x ∈ (−∞; 0) : f 0 (x) < 0 ⇒ f 0 (x3 ) < 0, mà. x. −∞. h0 (x). x0. 0 −. |. −. 0. +∞. h(x). +∞ + +∞. 0 h(x0 ). Trang 14.

(21) Từ đó ta có h(x0 ) < 0 nên®phương trình h(x) = 0 có hai nghiệm thực phân biệt. h(x) khi h(x) ≥ 0 . Từ đó hàm số g(x) có 3 điểm cực trị. Mặt khác g(x) = |h(x)| = − h(x) khi h(x) < 0 Chọn đáp án A 2. . 2. Câu 47. Cho phương trình m · 2x −4x−1 + m2 · 22x −8x−1 = 7 log2 (x2 − 4x + log2 m) + 3,(m là tham số). Có bao nhiêu số nguyên dương m sao cho phương trình đã cho có nghiệm thực. A. 31. B. 63. C. 32. D. 64. Lời giải. Điều kiện x2 − 4x + log2 m > 0. Ta có 2. 2. m · 2x −4x−1 + m2 · 22x −8x−1 = 7 log2 (x2 − 4x + log2 m) + 3 2 2 ⇔ 2x −4x+log2 m + 4x −4x+log2 m = 14 log2 (x2 − 4x + log2 m) + 6. Đặt x2 − 4x + log2 m = t, t > 0). Phương trình trở thành 2t + 4t = 14 log2 t + 6. (∗) Xét hàm số f (t) = 2t + 4t − 14 log2 t − 6 trên (0; +∞). 14 Ta có f 0 (t) = 2t ln 2 + 4t ln 4 − . t ln 2 14 Khi đó f 00 (t) = 2t ln2 2 + 4t ln2 4 + 2 > 0, ∀t ∈ (0; +∞). t ln 2 Suy ra hàm số f 0 (t) đồng biến trên (0; +∞). Do đó phương trình f (t) = 0 hay phương trình (*) có nhiều nhất 2 nghiệm. Ta thấy t = 1, t = 2 thỏa mãn ñ (∗). t=1 Do đó phương trình (∗) ⇔ . t = 2. Với t = 1 ⇒ x2 − 4x + log2 m = 1 ⇔ x2 − 4x − 1 + log2 m = 0. Với t = 2 ⇒ x2 − 4x + log2 m = 2 ⇔ x2 − 4x − 2 + log2 m = 0. (2) Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) hoặc (2) có nghiệm. (1) có nghiệm khi và chỉ khi ∆0 ≥ 0 ⇔ 4 − (log2 m − 1) ≥ 0 ⇔ log2 m ≤ 5 ⇔ m ≤ 32. (2) có nghiệm khi và chỉ khi ∆0 ≥ 0 ⇔ 4 − (log2 m − 2) ≥ 0 ⇔ log2 m ≤ 6 ⇔ m ≤ 64. Do đó phương trình đã cho có nghiệm ⇔ m ≤ 64, kết hợp m nguyên dương ⇒ m ∈ {1; 2; 3; . . . ; 64}. Vậy có 64 số thỏa bài yêu cầu bài toán. Chọn đáp án D Câu 48. ax + b Cho hàm số y = có đồ thị (C). Gọi giao điểm của cx + d hai đường tiệm cận là I. Điểm M0 (x0 ; y0 ) di động trên (C), tiểp tuyến tại đó cắt hai tiệm cận lần lượt tại A, B S1 + S2 = 1 (với và S∆IAB = 2. Tìm giá trị IM02 sao cho S∆LAB S1 , S2 là 2 hình phẳng như hình bên). 41 169 189 A. 2. B. . C. . D. . 20 60 60. y. B. C S1 M◦ S2. I. A x. O. Lời giải. ~ Khi đó hai tiệm cận Nhận thấy kết quả bài toán không thay đổi khi ta tịnh tiến đồ thị (C) theo IO. α α của (C) là hai trục toa độ. Và hàm số của đồ thị (C) trở thành: y = (α > 0) ⇒ y 0 = − 2 . x x Trang 15.

(22) α α α 2α Gọi d là tiếp tuyến tại M0 (x0 ; y0 ) ⇒ d : y = − 2 (x − x0 ) + = − 2x + . x0 x0 x0 Å x0 ã 2α Suy ra Ox ∩ d = A(2x0 ; 0) và Oy ∩ d = B 0; x0 1 ⇒ S4OAB = OAOB = 2α ⇒ 2a = 2 ⇒ α = 1. 2 Å ã Å ã 1 2 2 x0 2 1 ,C ; . ⇒ (c)y = , d : y = − 2 x + , B 0; x x0 x0 x0 2 x0 Å ã Zx0 Å ã 1 2 1 1 3 1 2 − − − ⇒ S1 = x0 dx = 2 − . 2 x0 x 0 x0 x x0 2 x0 2. Z2x0Å ã 1 1 1 3 1 S2 = dx − (2x0 − x0 ) = 2 − . x 2 x0 4x0 2 x0. S1 + S2 3 3 5 4 = 1 ⇒ S1 + S2 = S∆LAB ⇒ 2 + 2 − 1 = 2 ⇒ x20 = ⇒ y02 = . S∆LAB x0 4x0 4 5 41 Vậy IM02 = x20 + y02 = . 20 Chọn đáp án B Theo giả thiết. . Câu 49. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + z2 = 3 + 4i và |z1 − z2 | = 5. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức P = |z1 | + |z2 | √ √ A. 10. B. 5 2. C. 5. D. 10 2. Lời giải. ® z1 = a + bi Đặt (a, b, c, d ∈ R). z2 = c + di  ®  a + c = 3 z1 + z2 = 3 + 4i Theo giả thiết ta có ⇔ b+d=4  |z1 − z2 | = 5  (a − c)2 + (b − d)2 = 5. p √ √ Xét P = |z1 | + |z2 | = a2 + b2 + c2 + d2 ≤ (1 + 1) · (a2 + b2 + c2 + d2 ). 32 + 42 + 52 (a + c)2 + (b + d)2 + (a − c)2 + (b − d)2 = = 25. Mà a2 + b2 + c2 + d2 = 2 2 √ Nên P ≤ 5 2. Chọn đáp án B √ Câu 50. Một hình nón đỉnh S có bán kính đáy bằng a 3, góc ở đỉnh là 120◦ . Thiết diện qua đỉnh của hình nón là một tam giác. Diện tích lớn nhất Smax của thiết điện đó là bao nhiêu? √ 9a2 2 2 2 A. Smax = 2a . B. Smax = a 2. C. Smax = 4a . D. Smax = . 8 Lời giải.. Trang 16.

(23)

DOWNLOAD PDF

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về