De thi HSG

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Båi dìng HSG th¸ng 9 Chủ đề:căn bậc hai –căn bậc ba DẠNG 1: RÚT GỌN TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC.. Bài 1: Cho biểu thức P=. 1 1 a2+ 2 + − 2 ( 1+ √ a ) 2 ( 1 − √a ) 1− a3. a) Rút gọn P. b) Tìm Min P. Bài 2: Cho x, y là hai số khác nhau thỏa mãn: x2 + y = y2 + x x 2 + y 2 +xy xy - 1 x-y Bài 3: Tính giá trị biểu thức Q = x + y. Tính giá trị biểu thức : P =. Biết x2 -2y2 = xy và x ≠ 0; x + y ≠ 0 Bài 4: Cho biểu thức 15 √ x −11 3 √ x −2 2 √ x +3 + − P= x +2 √ x −3 1- √ x √ x+3 1. a) Tìm các giá trị của x sao cho P = 2 2. b) Chứng minh P ≤ 3 Bài 5: Cho biểu thức 3a+ √ 9a −3 √ a+1 √ a− 2 − + P= a+ √ a − 2 √ a+2 1− √ a a) Rút gọn P. b) Tìm các giá trị nguyên của a để P nguyên. Bài 6: Cho biểu thức √a+ 4 √a-4+ √ a − 4 √ a-4 P= 8 16. √. 1- + 2 a a. a) Rút gọn P. b) Tìm các giá trị nguyên của a (a >8) để P nguyên. Bài 7: Cho biểu thức √a − 1 : 1 − 2 P= √ a− 1 a − √a √ a+1 a − 1 a) Rút gọn P. b) Tính giá trị P khi a = 3 + 2 √ 2 c) T ìm các giá trị của a sao cho P < 0.. (. )(. Bài 8: Cho biểu thức 4 √ x 8x x−1 2 − : √ − P= 2+ √ x 4 − x x − 2 √ x √ x. (. )(. ). ).

<span class='text_page_counter'>(2)</span> a) Rút gọn P. b) Tính x để P = -1 c) T ìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có m( √ x - 3)P > x + 1. Bài 9: Cho biểu thức y - √ xy x y x+ y : + − P = √ x− √ x + √ y √ xy + y √ xy − x √ xy a) Tìm x, y để P có nghĩa. b) Rút gọn P. c) Tìm giá trị của P với x = 3, y = 4 + 2 √ 3 Bài 10: Cho biểu thức. (. P=. )(. ). x +1 x-1 x 2 − 4x − 1 x +2007 − + x −1 x +1 x x 2 −1. (. ). a) Tìm x để P xác định. b) Rút gọn P. c) Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên. Bài 11: Rút gọn P. P=. (. a+ √ a2 − b2 a − √ a2 −b 2 4 √ a4 − a2 b 2 − : b2 a − √ a2 −b 2 a+ √ a2 − b2. ). Với | a | >| b | > 0 Bài 12: Cho biểu thức √ x −2 − √ x+2 . 1− x 2 P= x −1 x +2 √ x +1 √2 a) Rút gọn P. b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì P > 0. c) Tìm GTLN của P. Bài 13: Chứng minh giá trị của biểu thức 2x 5 x+1 x +10 + √ + √ P= x +3 √ x+2 x+ 4 √ x+3 x+ 5 √ x +6 Không phụ thuộc vào biến số x. Bài 13: Chứng minh giá trị của biểu thức 3 6 2 − √ 3 . √ 7+4 √ 3− x √ P = √ x+ 4 √ 9 −4 √5 . √ 2+ √5+ √ x Không phụ thuộc vào biến số x.. (. )( ). Bài 15: Cho biểu thức x2 − √ x x 2+ √ x − + x +1 P= x + √ x+1 x − √ x+ 1 Rút gọn P với 0 ≤ x ≤ 1 . Bài 16: Cho biểu thức x 2 − √ x 2x + √ x 2( x −1) − + P= x + √ x+ 1 √x √ x −1 a) Rút gọn P. b) Tìm GTNN của P. √.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 2√x P. c) Tìm x để biểu thức Q =. nhận giá trị là số nguyên.. Bài 17:. Cho biểu thức 2x √ x + x − √ x x+ √ x x−1 x − ⋅ + √ P= x −1 2x+ √ x − 1 2 √ x − 1 x √ x −1 a) Tìm x để P có nghĩa b) Rút gọn P. c) Với giá trị nào của x thì biểu thức P đạt GTNN và tìm GTNN đó.. (. ). Bài 18:. Rút gọn biểu thức 3+ √ 5 3− √ 5 − P= √ 10+ √3+ √ 5 √10+ √ 3 − √ 5 Bài 19: Rút gọn biểu thức a) A = √ 4+ √ 7 − √ 4 − √ 7 b) B = √ 4+ √ 10+ 2 √ 5+ √ 4 − √ 10+ 2 √5 c) C = √ 4+ √ 15+ √ 4 − √ 15 −2 √ 3− √5 Bài 20: Tính giá trị biểu thức P = √ x+24 +7 √ 2 x −1+ √ x+ 4 −3 √ 2 x −1 1. Với 2 ≤ x ≤ 5. Bài 21: Chứng minh rằng: P = 2 √ 3+ √ 5− √ 13+ √ 48 √ 6+ √ 2 là một số nguyên. Bài 22: Chứng minh đẳng thức: 3 3 1+ √ 1− √ 2. 2. +. √3 1 − 1 − √3 1+ 1+. √. √. 2. =1. 2. Bài 23: Cho x = √3 5 √2+7 − √3 5 √ 2− 7 Tính giá trị của biểu thức f(x) = x3 + 3x Bài 24:. Cho E =. 1+ xy 1− xy − x+ y x− y. Tính giá trị của E biết: x = √ 4+ √ 8. √ 2+ √2+ √2 . √ 2 − √ 2+ √ 2 3 √ 8 − 2 √ 12+ √ 20 y= 3 √ 18 −2 √ 27+ √ 45 2. 2+¿. 2007 2 2008. Bài 25:. Tính P = 1+2007. Bài 26:. Rút gọn biểu thức sau:. P= Bài 27:. +. 2007 2008. √¿. 1 1+ √ 5. +. 1 + ... + √ 5+ √9. Tính giá rẹi của biểu thức:. 1 √ 2001+ √ 2005.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> P = x3 + y3 - 3(x + y) + 2004 biết rằng x = √3 3+2 √2+ √3 3 −2 √ 2 y = √3 17+12 √2+ √3 17 −12 √ 2 √ a+1 − √ a −1 + 4 √a √ a− 1 Bài 28: Cho biểu thức A = √ a− 1 √a+ 1 √a a) Rút gọn A. b) Tính A với a = (4 + √ 15 )( √ 10 - √ 6 ) √ 4 − √ 15 Bài 29: Cho biểu thức. (. A=. )(. √ x − √ 4 ( x −1 ) +√ x+ √ 4 ( x − 1 ) ⋅ 1 − √x. 2. (. −4 ( x −1 ). 1 x−1. ). ). a) x = ? thì A có nghĩa. b) Rút gọn A. Bài 30: Cho biểu thức 1+ √ 1 − x 1 − √ 1+ x 1 + + P= 1 − x + √ 1− x 1+ x+ √1+ x √ 1+ x a) Rút gọn P. 2 b) So sánh P với √ . 2. Bài 31:. Cho biểu thức P=. 1 3 2 − + √ x +1 x √ x +1 x − √ x +1. a) Rút gọn P. b) Chứng minh: 0 ≤ P ≤ 1. Bài 32:. Cho biểu thức 2 √ a −9 a+3 2 √ a+1 −√ − P= a− 5 √ a+6 √ a− 2 3 − √ a a) Rút gọn P. b) a = ? thì P < 1 c) Với giá trị nguyên nào của a thì P nguyên. Bài 33: Cho biểu thức x 2√ x 1− x − − P= √ xy −2 y x +√ x −2 √ xy −2 √ y 1− √ x a) Rút gọn P. b) Tính P biết 2x2 + y2 - 4x - 2xy + 4 = 0. Bài 34: Cho biểu thức x 2√ x 1− x − − P= √ xy −2 y x +√ x −2 √ xy −2 √ y 1− √ x a) Rút gọn P. b) Tính P biết 2x2 + y2 - 4x - 2xy + 4 = 0. Bài 35: Cho biểu thức 3 3 1 1 2 1 1 √ x + y √ x+ x √ y+ √ y + + + : P= √ x √ y √ x +√ y x y √ xy 3+ √ x 3 y a) Rút gọn P. b) Cho xy = 16. Tìm Min P.. [(. ). ].

<span class='text_page_counter'>(5)</span> DẠNG 2: BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT. Bài 1: Cho a > b > 0 thỏa mãn: 3a2 +3b2 = 10ab. Tính giá trị của biểu thức:. P=. a− b a+ b. Bài 2: Cho x > y > 0 và 2x2 +2y2 = 5xy Tính giá trị biểu thức E =. x−y x+ y. Bài 3: 1) Cho a + b + c = 0 CMR: a3 + b3 + c3 = 3abc 2) Cho xy + yz + zx = 0 và xyz ≠ 0 Tính giá trị biểu thức: yz xz xy + 2+ 2 2 x y z. M=. Bài 4: Cho a3 + b3 + c3 = 3abc. Tính giá trị của biểu thức: P=. (1+ ab )(1+ bc )(1+ ca ). Bài 5: a) Phân tích thành nhân tử: (x + y + z)3 - x3 - y 3 -z3 b) Cho các số x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1 và x3 + y3 + z3 = 1 . Tính giá trị của biểu thức: A = x2007 + y2007 + z2007 Bài 6: Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14. Tính giá trị của biểu thức: P = a 4 + b4 + c4 Bài 7: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn: a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 Tính giá trị của biểu thức P = a2007 + b2007 Bài 8: Cho. x y + =1 a b. và. xy =−2 . Tính ab. x3 y3 + a3 b3. Bài 9: Cho a + b + c = 0 . Tính giá trị của biểu thức. 1 1 1 + + 2 2 2 2 2 b +c − a a+c − b a+b − c x4 y4 1 + = Bài 10: Cho ; x2 + y2 = 1. Chứng minh rằng: a b a+b. P=. 2. a) bx2 = ay2; b). a+b ¿1004 ¿ x 2008 y 2008 2 + = a1004 b 1004 ¿. Bài 11: Chứng minh rằng nếu xyz = 1 thì: 1 1 1 + + 1+x + xy 1+ y+yz 1+ z+ xz. =1. Bài 12: Cho a + b + c = 0. Tính giá trị biểu thức: A = (a – b)c3 + (c – a)b3 + (b – c)a3 Bài 13: Cho a, b, c đôi một khác nhau. Tính giá trị của biểu thức:.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> P=. 2. 2. 2. a b c + + (a − b)(a −c ) ( b− c )(b −a) (c − b)(c −a). Bài 14: Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác. Cho biết (a + b)(b + c)(c + a) = 8abc Chứng minh: Tam giác đã cho là tam giác đều. Bài 15: Chứng minh rằng: Nếu a,b,c khác nhau thì: b−c c −b a− b 2 2 2 + + = + + (a − b)(a −c ) (b− c )(b −a) (c − a)(c −b) a −b b − c c − a. Bài 16: Cho biết a + b + c = 2p Chứng minh rằng:. 1 1 1 1 abc + + − = p − a p −b p − c p p (p − a)( p −b)( p −c ). Bài 17: Cho a, b khác 0 thỏa mãn a + b = 1. Chứng minh : 2(ab −2) a b + 3 = 2 2 b − 1 a −1 a b +3 x y z a b c Bài 18: Cho a + b + c =1 và x + y + z =0 x2 y2 z2 Tính giá trị biểu thức A = 2 + 2 + 2 a b c 3. a. b. c. Bài 19: Cho a, b, c đôi một khác nhau và b− c + c −a + a −b =0. Tính giá trị của P =. b − c ¿2 ¿ c − a ¿2 ¿ a − c ¿2 ¿ ¿ ¿ a ¿. Bài 20: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) b) x(y + z)2 + y(z + x)2 + z(x + y)2 – 4xyz Bài 21: Cho ba số phân biệt a, b,c. Chứng minh rằng biểu thức A = a4(b – c) + b4(c – a) + c4(a – b) luôn khác 0. Bài 22: Cho bốn số nguyên thỏa mãn điều kiện: a + b = c + d và ab + 1 = cd Chứng minh: c = d. Bài 23: Cho x , y là các số dương thỏa mãn điều kiện: 9y(y – x) = 4x2. Tính giá trị biểu thức: A =. x−y x+ y. Bài 24: Cho x, y là các số khác khác 0 sao cho 3x2 – y2 = 2xy. Tính giá trị của phân thức A =. 2 xy 2 2 − 6 x + xy+ y. Bài 25: Cho x, y, z khác 0 và a, b, c dương thoả mãn ax + by + cz = 0 và a + b +c = 2007. 2. Tính giá trị của biểu thức:. P=. x−y¿ 2 x − z ¿ +ab ¿ 2 y − z ¿ +ac ¿ bc ¿ ax 2+ by 2 +cz 2 ¿.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Bài 26: Cho x, y, z khác 0 và x + y + z = 2008. Tính giá trị biểu thức: P=. Bài 27:. 3. 3. 3. x y z + + ( x − y)(x − z ) ( y − x )( y − z) (z − y)(z − x) ¿ x + y + z=1 2 2 2 x + y + z =1 Cho 3 3 3 x + y + z =1 ¿ {{ ¿. Tính giá trị của biểu thức: P = x2007 + y2007 + z2007 . Bài 28: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác. Tính giá trị của biểu thức: b+ c ¿2 a −¿ (a+b − c) ¿ a −c ¿2 −b2 ¿ (a+b+ c)¿ ¿ ¿ 2. P=. Bài 29: Cho biểu thức P = (b2 + c2 – a2)2 – 4b2c2. Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì P < 0. Bài 30: Cho các số dương x, y ,z thỏa mãn: ¿ xy + y + z=3 yz + y + z=8 zx + x+ z=15 ¿{{ ¿. Tính giá trị biểu thức: P = x + y + z. Bài 31: Cho các số x, y, z thỏa mãn hệ phương trình: ¿ x 2+ y 2+ z 2=1 x 3+ y3 + z 3=1 ¿{ ¿. Tính giá trị biểu thức P = xyz. (Đề thi HSG tỉnh 2003) √ 2+ √ 3+ √ 6+ √ 8+ 4 Bài 32: a) Thu gọn biểu thức: P = √ 2+ √3+ √ 4 b) Tính giá trị biểu thức: Q =. x−y x+ y. Biết x2 – 2y2 = xy và y ≠ 0 , x + y ≠ 0. (Đề thi HSG tỉnh 2004-2005) Bài 33: Chứng minh rằng nếu: x + y + z = 0 thì: 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (Đề thi HSG tỉnh 2005-2006) Bài 34: Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện: a2 = b2 + c2. a) So sánh a và b + c. b) So sánh a3 và b3 + c3. (Đề thi HSG tỉnh 2006-2007) Bài 35: 1) Giải phương trình: x3 -6x – 40 = 0 2) Tính A = √3 20+14 √ 2+ √3 20 − 14 √ 2 (Đề thi HSG tỉnh 2006-2007).

<span class='text_page_counter'>(8)</span> DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI. Bài 1: Cho phương trình ẩn số x: x2 – 2(m – 1)x – 3 – m = 0 (1) a) Giải phương trình khi m = 2. b) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm số với mọi m. c) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thỏa mãn điều kiện x 21 + x 22 10. Bài 2: Cho các số a, b, c thỏa điều kiện:. ¿ c>0 2 ( c +a ) <ab+ bc − 2 ac ¿{ ¿. Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 luôn luôn có nghiệm. Bài 3: Cho a, b, c là các số thực thỏa điều kiện: a2 + ab + ac < 0. Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt. Bài 4: Cho phương trình x2 + px + q = 0. Tìm p, q biết rằng phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:. ¿ x 1 − x 2=5 3 3 x 1 − x 2=35 ¿{ ¿. Bài 5: CMR với mọi giá trị thực a, b, c thì phương trình (x – a)(x – b) + (x – c)(x – b) + (x – c)(x – a) = 0 luôn có nghiệm. Bài 6: CMR phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a 0) có nghiệm biết rằng 5a + 2c = b Bài 7: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác. CMR phương trình sau có nghiệm: (a2 + b2 – c2)x2 - 4abx + (a2 + b2 – c2) = 0 Bài 8: CMR phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a. 0) có nghiệm nếu. 2b c ≥ +4 a a. Bài 9: Cho phương trình : 3x2 - 5x + m = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa 5. mãn: x 21 - x 22 = 9 Bài 10: Cho phương trình: x2 – 2(m + 4)x +m2 – 8 = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: a) A = x1 + x2 -3x1x2 đạt GTLN b) B = x12 + x22 - đạt GTNN. c) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m. Bài 11: Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình bậc 2: 3x2 - cx + 2c - 1 = 0. Tính theo c giá trị của biểu thức: 1. 1. S = x3 + x3 1 2 Bài 12: Cho phương trình : x2 - 2 √ 3 x + 1 = 0. Có hai nghiệm là x1, x2. Không giải phương trình trên hãy tính giá trị của biểu thức: 2. A=. 2. 3 x 1 +5 x1 x 2+3 x 2 3 3 4 x1 x 2+ 4 x 1 x 2.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Bài 13: Cho phương trình: x2 – 2(a - 1)x + 2a – 5 = 0 (1) 1) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của a. 2) Tìm giá trị của a để pt (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: x12 + x22 = 6. 3. Tìm giá trị của a để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: x1 < 1 < x2. Bài 14: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x + m – 3 = 0 (1) a) CMR phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m. b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) . Tìm GTNN của M = x12 + x22 Bài 15: Cho a, b là hai số thực thỏa mãn điều kiện: 1 1 1 + = a b 2. CMR ít nhất một trong hai phương trình sau phải có nghiệm: x2 + ax + b = 0 và x2 + bx + a = 0. Bài 16: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m +10 = 0 (1) a) Giải và biện luận số nghiệm của phương trình (1) theo m. b) Tìm m sao cho 10x1 x2 + x12 + x22 đạt GTNN. Tìm GTNN đó. Bài 17: Chứng minh rằng với mọi số a, b, c khác 0, tồn tại một trong các phương trình sau phải có nghiệm: ax2 + 2bx + c = 0 (1) bx2 + 2cx + a = 0 (2) cx2 + 2ax + b = 0 (2) Bài 18: Cho phương trình: x2 – (m - 1)x + m2 + m – 2 = 0 (1) a) CMR phương trình (1) luôn luôn có nghiệm trái dấu với mọi giá trị của m. b) Với giá trị nào của m, biểu thức P = x12 + x22 đạt GTNN. Bài 19: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x – 3 - m = 0 (1) 1) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m. 2) Tìm giá trị của m để pt (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: x12 + x22 10. 3) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: E = x12 + x22 đạt GTNN. Bài 20: Giả sử phương trình bậc 2: x2 + ax + b + 1 = 0 có hai nghiệm nguyên dương. CMR: a2 + b2 là một hợp số.. DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO. Giải phương trình: Bài 1: x3 + 2x2 + 2 √ 2 x + 2 √ 2 . Bài 2: (x + 1)4 = 2(x4 + 1) Bài 3: 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) = 3x2 Bài 4: 3(x + 5)(x + 6)(x + 7) = 8x Bài 5: (x + 2)(x + 3)(x - 7)(x - 8) = 144 Bài 6: (x + 2)4 + (x + 8)4 = 272 Bài 7: a) (x + √ 2 )4 + (x + 1)4 = 33 + 12 √ 2.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Bài 8: Bài 9: Bài 10: Bài 11: Bài 12: Bài 13: Bài 14:. Bài 15:. Bài 16:. Bài 17: Bài 18: Bài 19: Bài 20: Bài 21: Bài 22: Bài 23: Bài 24: Bài 25: Bài 26:. b) (x - 2)6 + (x - 4)6 = 64 a) x4 - 10x3 + 26x2 - 10x + 1 = 0 b) x4 + 3x3 - 14x2 - 6x + 4 = 0 c) x4 - 3x3 + 3x + 1 = 0 a) x4 = 24x + 32 b) x3 + 3x2 - 3x + 1 = 0 5 3 |x − 8| +|x −9| =1 2x 7x − 2 =1 3 x − x+ 2 3 x +5 x+ 2 4 x2 2 =12 x + ( x +2 )2 2 2 2 x −2 x+ 2 x −4 −5 + 48 =0 20 x +1 2 x −1 x −1 3x 7x + 2 =− 4 a) 2 x −3 x+1 x + x +1 x 2 −10 x+15 4x = 2 b) 2 x − 6 x+ 15 x − 12 x +15 2 2 x −3 x +5 x −5 x +5 1 − 2 =− c) 2 4 x −4 x+5 x −6 x +5 2 81 x =40 a) x2 + ( x +9 )2 2 x =15 b) x2 + ( x +1 )2 x −1 2 x −1 2 40 + = a) x x −2 9 2 2 x+2 x −2 5 x2 − 4 b) x+1 + x −1 − 2 2 =0 x −1 8− x 8−x c) x. x −1 x − x − 1 =15 x −1 2 x2 + = 8( Đề thi HSG V1 2004) x √ x −1 − √ 5 x −1=√ 3 x −2 √3 x+1+ √3 7 − x=2 √ x+2 √ x −1+ √ x − 2 √ x −1=2 3x2 + 21x + 18 + 2 √ x+7 x +7=2 2. ( ) ( ). ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ). a) (x - 2)4 + (x - 3)4 = 1 b) x4 + 2x3 - 6x2 + 2x + 1 = 0 c) x4 + 10x3 + 26x2 + 1 = 0 (x + 2)2 + (x + 3)3 + (x + 4)4 = 2 ( Đề thi HSG V1 2003) a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3 b) (x2 + 3x - 4)(x2 + x - 6) = 24 a) x3 - 6x + 4 = 0 b) x4 - 4x3 + 3x2 + 2x - 1 = 0 a) x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - 12 = 0 b) x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = 0.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> 2. Bài 27: Bài 28:. Bài 29: Bài 30: Bài 31: Bài 32: Bài 33: Bài 34:. x 48 x 4 + −10 − =0 3 x2 3 x. (. ). a) Phân tích thành nhân tử: 2(a2 + b2) -5ab b) Giải phương trình: 2(x2 + 2) = 5 √ x3 +1 ( Đề thi HSG 1998) x −14 =3 √ x −5 − 3+ √ x − 5 x4 - 4 √ 3 x -5 = 0 ( Đề thi HSG 2000) x4+ 4 − 5 x=0 x 2 −2. ( Đề thi HSG V2 2003). a) x4 - 4x3 - 19x2 + 106x - 120 = 0 b) (x2 - x + 1)4 - 10(x2 - x + 1)2 +9x4 = 0 (x + 3 √ x + 2)(x + 9 √ x +18) = 168x (Đề thi HSG 2005) a) x2 + 4x + 5 = 2 √ 2 x +3 b) 3 √ x3 +8 = 2x2 - 6x + 4 4 =2 √ 2− x+3 √3 x+1+ √3 x +2+√3 x +3=0. c) √ 2− x+ Bài 35: Bài 36:. Cho phương trình: x4 -4x3 +8x = m a) Giải phương trình khi m = 5. b) Định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt. Bài 37: Cho phương trình (x + a)4 + (x + b)4 = c. Tìm điều kiện của a, b, c để phương trình có nghiệm. Bài 38: Giải phương trình: x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - 5 = 0 Bài 39: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 4x4 + 8x2y + 3y2 - 4y - 15 = 0. Bài 40: x2 + 9x + 20 = 2 √ 3 x +10 Bài 41: x2 + 3x + 1 = (x + 3) √ x+1 Bài 42: x2 + √ x+2006 =2006. DẠNG 5: BẤT ĐẲNG THỨC Bài 1) Với a, b > 0 thì. a+b ≥ √ ab . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? 2. Bài 2) CMR với 4 số a, b, x, y bất kỳ ta có: (a2 +b 2)(x 2 + y 2)≥ (ax + by)2.Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Bài 3) Cho a, b, c, d > 0. Cm: √ ab+ √ cd ≤ √ ( a+c ) ( b+d ) Bài 4) CM bất đẳng thức:. √ a2 +b2 + √ c 2 +d 2 ≥ √ ( a+ c )2 + ( b+ d )2. Bài 5) Cho a, b, c là các số dương cm bất đẳng thức: a2 b2 c2 a+ b+c + + ≥ b+c c +a a+b 2. Bài 6) CM với mọi n nguyên dương thì: 1 1 1 1 + +.. .+ > n+1 n+2 2n 2. Bài 7) Cho a3 + b3 = 2. Cmr: a + b 2. Bài 8) Cho a, b, c thỏa mãn: a + b + c = -2 (1).

<span class='text_page_counter'>(12)</span> a2 + b2 + c2 = 2 (2). [. CMR mỗi số a, b, c đều thuộc đoạn. −4 ;0 3. ] khi biễu diễn trên trục số.. Bài 9) Cho a, b, c thỏa mãn hệ thức 2a + 3b = 5. CMR: 2a2 + 3b2 5. Bài 10) Cho a, b là hai số thỏa mãn điều kiện: a + 4b = 1.. 1 . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? (Đề thi HSG 2003). 5. CM: a2 + 4b2. √. 2 − 2+ √ 2+ √ 2+ √2 1 < 3 2− √ 2+ √2+ √ 2. Bài 11) Chứng minh:. Bài 12) Chứng minh: a) (a2 +b 2)( x 2 + y 2) ≥ (ax + by)2 b) 0< √ x − 2+ √ 4 − x ≤2 a. b. (Đề thi HSG 2001).. c. 3. Bài 13) Cho a, b, c > 0. Cm: b+c + c +a + a+b ≥ 2 1 1 1 Bài 14) Cho S=1+ + +. ..+ . √2 √3 √ 100 CMR: S không là số tự nhiên.. 1 1. 4. Bài 15) a) Cho x, y dương. CMR: x + y ≥ x+ y . Dấu bằng xảy ra khi nào? a+b +c b) Tam giác ABC có chu vi P= 2 .. Cm:. 1 1 1 1 1 1 + + ≥2 + + p − a p −b p − c a b c. (. ). Dấu bằng xảy ra khi tam giác ABC có đặc điểm gì? Bài 16) a) CM x > 1 ta có:. x ≥2 √x− 1. b) Cho a > 1, b > 1. Tìm GTNN của:. 2. P=. 2. a b + b −1 a− 1. Bài 17) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. CM: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) Bài 18) CMR nếu a, b, c > 0 và a + b + c = 1 thì. ( 1a + b1 + 1c ) ≥ 9. .. Bài 19) CMR nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì: ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) Bài 20) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c và có chu vi là 2. CMR: a2 + b2 + c2 + 2abc < 2.( Đề thi HSG 2004-2005). Bài 21) Cho a, b là 2 số thực thỏa mãn điều kiện: (a - 1)2 + ( b - 2)2 = 5. Cm: a + 2b Bài 22) Cho a, b là các số thực thỏa mãn điều kiện a2 + b2 = 4 + ab. 8. 2. 2. CMR: 3 ≤ a +b ≤ 8 . Dấu bằng xảy ra khi nào?. 10..

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Bài 23) CMR với mọi a, b > 0 thỏa mãn ab = 1. Ta có BĐT:. 1 1 2 + + ≥3 a b a+b. Bài 24) CMR nếu: a) 1≤ a ≤ 5 thì 3 √ a− 1+4 √5 − a ≤10 b) a + b 0 ; b+1 ≥ 0; a+b=2 thì √ a+1+ √ b+1 ≤2 √ 2 Bài 25) Cho biểu thức P= CMR:. 0< P<. 32 9. 3 1 4 − 4 3 − 5 4 3 2 3 x − x + x −1 x + x − x − 1 x − x + x − x + x − 1 4. với ∀ x ≠ ±1 . a. a a+ k. Bài 26) a) Cho a, b, k là các số dương và b <1 . Cmr : b < b+ k b) Cmr nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì: a b c + + < 2. b+c c +a a+b. Bài 27) Cho các số dương a, b thỏa mãn điều kiện a + b = 1. Chứng minh rằng:. (1+ 1a )(1+ 1b )≥ 9. (Đề thi HSG V2 2003 - 2004) Bài 28) Chứng minh bất đẳng thức sau đây đúng với mọi x, y là các số thực bất kỳ khác 0: x 2 y2 x y + 2 +4 ≥3 + 2 y x y x. (. ). ( Đề thi HSG V2 2006 - 2007). DẠNG 6: CỰC TRỊ Bài 1) Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = 1. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức A = x + y. 1  1   1  2  1  2  Bài 2) Cho x, y > 0, x + y = 1. Tìm GTNN của P =  x   y  2  x 2  x  1 2. x 1 Bài 3) Cho P = . Tìm GTNN, GTLN của P và các giá trị tương ứng của x. Bài 4) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức A = (x4 + 1)(y4 + 1) biết x,y  0, x + y = 10 Bài 5) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức B = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 5. Bài 6) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P = x2 + y2. Biết x2(x2 +2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = 1 x2  x 1 2 Bài 7) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P = x  x  1 Bài 8) Tìm GTLN của A = x + 2  x x y z   y z x với x, y, z > 0. Bài 9) Tìm GTLN của P = 2 2 Bài 10) Tìm GTLN của P = ( x  1990)  ( x  1991). Bài 11) Cho M = a  3  4 a  1  a  15  8 a  1 a) Tìm điều kiện của a để M được xác định. b) Tìm GTNN của M và giá trị của A tương ứng. Bài 12) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn:.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> 1 1 1   2 1 x 1 y 1 z . Tìm GTNN của P = x.y.z. 2 1  Bài 13) Tìm GTNN của P = 1  x x. Bài 14) Cho x, y thỏa mãn x2 + 4y2 = 25. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P = x + 2y. Bài 15) Cho x, y là hai số thỏa mãn: x + 2y = 3. Tìm GTNN của E = x2 + 2y2. Bài 16) Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn: x + y  1. Tìm GTNN của biểu thức 1 2 2 P = x  y + xy + 4xy 2. x2  x 1 2 Bài 17) Tìm GTLN và GTNN của: P = x  1 với x bất kỳ. Bài 18) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x + y  1. Tìm GTNN của biểu thức 1 2  2 2 A = x  y xy 2. 1  1   x    y   y Bài 19) Cho x,y > 0; x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức P =  x   1 Bài 20) Cho x,y > 0; x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức P = 2(x4 + y4) + 4xy. 2.  1  1  1  1  Bài 21) Cho x,y > 0; x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức P =  x   y . Bài 22) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x2 + y2 = 4. 2.  1  1  x    y   y  x Tìm GTNN của biểu thức P = . 2. Bài 23) Cho ba số dương a, b, c có a + b + c = 1. Tìm GTNN của biểu thức: 2. 2. 1  1  1   a   b    c   E =  a  b  c. 2. Bài 24) Cho a, b là hai số thực bất kỳ có tổng bằng 1. Tìm GTNN của: P = a 3 + b3 Bài 25) Cho a, b là hai số dương thỏa a + b = 1. 1 1  Tìm GTNN của P = a  1 b  1 x2  y 2 Bài 26) Cho hai số x, y thỏa mãn xy = 2. Tìm GTNN của P = x  y. Bài 27) Cho hai số dương x, y có x + y = 1. Tìm GTNN của 1 P = 8(x4 + y4) + xy. Bài 28) Cho x, y liên hệ với nhau bởi hệ thức: x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 +10 = 0.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Tìm GTNN, GTLN của biểu thức S = x + y + 1 Bài 29) Tìm GTNN, GTLN của biểu thức S = x x + y y biết x + 2. x  2 x  2000 x2 Bài 30) Tìm GTNN của biểu thức P =. y. =1.

<span class='text_page_counter'>(16)</span>