Tóm tắt kiến thức Hình học 12

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Hình học 12 1 TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. AB  ( x B  x A , y B  y A , z B  z A ) 2. AB  AB .  x B  x A 2   y B  y A 2   z B  z A 2. 3. a  b  a1  b1 , a 2  b2 , a3  b3 . CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Chứng minh A,B,C là ba đỉnh tam giác     A,B,C laø ba ñænh tam giaùc  [ AB, AC ] ≠ 0  1   SABC = [AB, AC] 2. 2.S ABC BC. 4. k.a  ka1 , ka 2 , ka3 . . Đường cao AH =. 5. a  a12  a 22  a32. . Shbh = [AB, AC]. . .  a1  b1  6. a  b  a 2  b2 a  b 3  3. Daïng 2: Tìm D sao cho ABCD laø hình bình haønh  Chứng minh A,B,C không thẳng hàng. 7. a.b  a1 .b1  a 2 .b2  a3 .b3. Dạng 3: Chứng minh ABCD là một tứ diện:. . a a a 8. a // b  a  k .b  a  b  0  1  2  3 b1 b2 b3.  . 9. a  b  a.b  0  a1 .b1  a 2 .b2  a3 .b3  0 a 10. a  b   2  b2. a3 a3 , b3 b3. a1 a1 , b1 b1. . . a2 b2. . . . 12. a , b, c không đồng phẳng  a  b .c  0 13. M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1  x kx B y A ky B z A kz B  M A , ,  1 k 1 k   1 k 14. M là trung điểm AB  x  xB y A  yB z A  z B  M A , ,  2 2   2 15. G là trọng tâm tam giác ABC  x  x B  xC y A  y B  y C z A  z B  z C  G A , , , 3 3 3  . . . . [ AB, AC ]. AD ≠ 0   1  Vtd = [AB, AC] . AD 6 Đường cao AH của tứ diện ABCD 1 3V V  S BCD . AH  AH  3 S BCD.    . 11. a , b, c đồng phẳng  a  b .c  0. ABCD laø hbh  AB  DC. Theå tích hình hoäp :. . . V ABCD. A/ B / C / D /  AB; AD . AA /. Daïng4: Hình chieáu cuûa ñieåm M 1. H laø hình chieáu cuûa M treân mp  Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và vuoâng goùc mp : ta coù a d  n   Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và () 2. H là hình chiếu của M trên đường thẳng (d)  Vieát phöông trình mp qua M vaø vuoâng goùc với (d): ta có n  a d. 16. Véctơ đơn vị : e1  (1,0,0); e2  (0,1,0); e3  (0,0,1) 17. M ( x,0,0)  Ox; N (0, y,0)  Oy; K (0,0, z )  Oz 18. M ( x, y,0)  Oxy; N (0, y, z )  Oyz; K ( x,0, z )  Oxz 1 1 a12  a 22  a32 19. S ABC  AB  AC  2 2 1 20. V ABCD  ( AB  AC ). AD 6. . Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và (). Dạng 5 : Điểm đối xứng 1.Điểm M/ đối xứng với M qua mp  Tìm hình chieáu H cuûa M treân mp (daïng 4.1)  H laø trung ñieåm cuûa MM/ 2.Điểm M/ đối xứng với M qua đường thẳng d:  Tìm hình chieáu H cuûa M treân (d) ( daïng 4.2)  H laø trung ñieåm cuûa MM/. 21. V ABCD. A/ B / C / D /  ( AB  AD). AA /. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------GV:NBQ DLĐK Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Hình học 12 2 MẶT PHẲNG ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. CÁC DẠNG TOÁN. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Vectô phaùp tuyeán cuûa mp :    n ≠ 0 laø veùctô phaùp tuyeán cuûa   n   2. Caëp veù ctô chæ phöông cuûa mp :    a // b laø caëp vtcp cuûa   a , b cuøng //        3 Quan hệ giữa vtpt n và cặp vtcp a , b : n = [ a , b ]  4. Pt mp qua M(xo ; yo ; zo) coù vtpt n = (A;B;C) A(x – xo) + B(y – yo ) + C(z – zo ) = 0. Daïng 1: Maët phaúng qua 3 ñieåm A,B,C : . qua A ( hay B hay C ). °. . ° Caëp vtcp: AB , AC.    vtpt n  [ AB , AC ]. Dạng 2: Mặt phẳng trung trực đoạn AB : ° . qua M trung ñieåm AB. . vtpt n. .  AB. Dạng 3: Mặt phẳng  qua M và  d (hoặc AB) qua M.  () : Ax + By + Cz + D = 0 ta coù n = (A; B; C) 5.Phöông trình maët phaúng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ;. ° . C(0,0,c) :. Daïng 4: Mp qua M vaø // : Ax + By + Cz + D = 0. x y z   1 a b c. ° . Chuù yù : Muoán vieát phöông trình maët phaúng caàn: 1 ñieåm vaø 1 veùctô phaùp tuyeán 6.Phương trình các mặt phẳng tọa độ (Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0 7. Chùm mặt phẳng : giả sử 1  2 = d trong đó (1): A1x + B1y + C1z + D1 = 0 (2): A2x + B2y + C2z + D2 = 0 Pt mp chứa (d) có dạng sau với m2+ n2 ≠ 0 : m(A1x + B1y + C1z + D1) + n(A2x + B2y + C2z + D2) = 0. 8. Vị trí tương đối của hai mp (1) và (2) : °  caét   A1 : B1 : C1  A 2 : B2 : C2 A B C D °  //   1  1  1  1 A2 B2 C 2 D2 A B C D °    1  1  1  1 A2 B2 C2 D2 ª.     A1 A2  B1 B2  C1C 2  0 9.KC từ M(x0,y0,z0) đến () : Ax + By + Cz + D = 0 d(M, ) . Ax o  By o  Cz o  D A 2  B2  C2. 10.Goùc giữa hai maët phaúng :.   n1 . n 2 cos( ,  )    n1 . n 2.   Vì   (d) neân vtpt n  a ....( AB ) d qua M  Vì  //  neân vtpt n. .  n. . Dạng 5: Mp chứa (d) và song song (d/)  Ñieåm M ( choïn ñieåm M treân (d))  Mp chứa (d) nên a d  a Mp song song (d/) neân a d /  b ■. . Vtpt n  a d , a d /. . Daïng 6 Mp qua M,N vaø   : ■. Mp qua M,N neân MN  a. ■. Mp  mp neân. n   b. qua M (hay N). °.    vtpt n  [ MN , n ]. . Dạng 7 Mp chứa (d) và đi qua ■. Mp chứa d nên a d  a. ■. Mp ñi qua M  (d ) vaø A neân AM  b qua A. °.  (Cách 2: sử dụng chùm mp)  vtpt n  [ a , AM] d. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------GV:NBQ DLĐK Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Hình học 12 3 ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. CÁC DẠNG TOÁN. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.Phương trình tham số của đường thẳng (d) qua  M(xo ;yo ;zo) coù vtcp a = (a1;a2;a3)  x  x o  a 1t  (d) : y  y o  a 2 t ; t  R z  z  a t o 3 . Dạng 1: : Đường thẳng (d) đi qua A,B ( hayB) quaA (d ) a d  AB  Vtcp Dạng 2: Đường thẳng (d) qua A và song song (). 2.Phöông trình chính taéc cuûa (d) (d) :. x  xo a. . y  yo. 1. a2. . z-z. 0. a3. (d ). Qui ước: Maãu = 0 thì Tö û= 0.  B1. C1 C1 , C2 C2. A1 A1 , A2 A2. (d ). B1 B2. .  d chéo d’  [ a d , a d / ]. MN ≠ 0 (không đồng phẳng) .  d,d’ đồng phẳng  [ a d , a d / ]. MN = 0. . . 5.Khoảng cách :. . Cho (d) qua M coù vtcp a d ; (d’) qua N coù vtcp a d / Kc từ điểm đến đường thẳng: d ( A, d ) . Kc giữa 2 đường thẳng :. . d (d ; d / ) .  Vì (d)  ( ) neân vtcp a. (d ). qua A   vtcp a  [ a. . ad. ª (d. /. ( ) ) (  ). d1.  ,a. d2. ]. Daïng 6: PT d vuoâng goùc chung cuûa d1 vaø d2 :   + Tìm a d = [ a d1, a d2] + Mp chứa d1 , (d). [a d ; AM ].  n d . Dạng 5: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc (d1),(d2).  d,d’ caét nhau  [ a d , a d / ]  0 vaø [ a d , a d / ]. MN =0.  /  d,d’ song song nhau  { a d // a d / vaø M  (d ) }   d,d’ truøng nhau  { a d // a d / vaø M  (d / ) }. qua A. quaM  (d )  (  )  (d )  a  a d           n  b   n   [a d ; n ] . . . .  Viết pt mp chứa (d) và vuông góc mp.    . (d) qua M coù vtcp a d ; (d’) qua N coù vtcp a d /. . d.  a. Daïng4: PT d’ hình chieáu cuûa d leân  : d/ =   . 4.Vị trí tương đối của 2 đường thẳng :. .  Vì (d) // ( ) neân vtcp a. Dạng 3: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc mp. 3.PT toång quaùt cuûa (d) laø giao tuyeán cuûa 2 mp 1 vaø 2 A x  B1 y  C1z  D1  0 (d) :  1 A 2 x  B 2 y  C 2 z  D 2  0 Veùctô chæ phöông a    B2. qua A. ; mp chứa d2 , (d). d=. Daïng 7: PT qua A vaø d caét d1,d2 : d =   . [a d ; a d / ].MN [a d ; a d / ]. . 6.Goùc : (d) coù vtcp a d ; ’ coù vtcp a d / ; ( ) coù vtpt n  a d .a d / Góc giữa 2 đường thẳng : cos(d, d' )   ad . ad /   ad . n Goùc giữa ñường vaø mặt : sin(d, )    ad . n. với mp = (A,d1) ; mp = (A,d2) Daïng 8: PT d //  vaø caét d1,d2 : d = 1  2 với mp1 chứa d1 //  ; mp2 chứa d2 //  Daïng 9: PT d qua A vaø  d1, caét d2 : d = AB với mp qua A,  d1 ; B = d2   Daïng 10: PT d  (P) caét d1, d2 : d =    với mp chứa d1 ,(P) ; mp chứa d2 ,  (P). MẶT CẦ. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------GV:NBQ DLĐK Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Hình học 12 4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Daïng 1: Maët caàu taâm I ñi qua A 1.Phương trình maët caàu taâm I(a ; b ; c),baùn kính R 2 2 2 2 ª S(I,R) : x  a   y  b   z  c   R (1) 2 2 2 2 S(I,R) : x  a   y  b  z  c   R (1)  Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R2 S(I,R) : x 2  y 2  z2  2ax  2by  2cz  d  0 (2) Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB  Taâm I laø trung ñieåm AB  Vieát phöông trình maët caàu taâm I (1)  Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R2. ( với a2  b2  c2  d  0 ) . 2 2 2 Taâm I(a ; b ; c) vaø R  a  b  c  d. 2.Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu Cho (S) : x  a2  y  b2  z  c2  R2 vaø  : Ax + By + Cz + D = 0 Gọi d = d(I,) : khỏang cách từ tâm mc(S) đến mp :  d > R : (S)   =   d = R :  tieáp xuùc (S) taïi H (H: tieáp ñieåm, : tieáp dieän) *Tìm tieáp ñieåm H (laø hchieáu cuûa taâm I treân mp)  Viết phương trình đường thẳng (d) qua I vaø vuoâng goùc mp : ta coù a d  n   Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và ()  d < R :  cắt (S) theo đường tròn có pt (S) : x  a2  y  b2  z  c2  R2   : Ax  By  Cz  D  0. *Tìm bán kính r và tâm H của đường tròn: + baùn kính r  R2  d2 ( I ,  ) + Tìm taâm H ( laø hchieáu cuûa taâm I treân mp)  Viết phương trình đường thẳng (d) qua I vaø vuoâng goùc mp : ta coù a d  n   Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và () 3.Giao điểm của đường thẳng và mặt cầu x  x o  a1t  d : y  y o  a 2 t z  z o  a 3 t . Pt maët caàu taâm I. (S ). 2. 2. + Thay ptts (1) vaøo pt mc (2), giaûi tìm t, + Thay t vào (1) được tọa độ giao điểm. R  d(I, ) . A.x  B. y  C . z  D I I I A2  B 2  C 2. Daïng 4: Maët caàu taâm I vaø tieáp xuùc (). (S ). taâm I R  d(I,  ). Dạng 5: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Duøng (2) S(I,R) : x 2  y 2  z2  2ax  2by  2cz  d  0 A,B,C,D  mc(S)  heä pt, giaûi tìm a, b, c, d Daïng 6:Maët caàu ñi qua A,B,C vaø taâm I € (α) S(I,R) : x 2  y 2  z2  2ax  2by  2cz  d  0 (2). A,B,C  mc(S): theá toïa toïa A,B,C vaøo (2) I(a,b,c) (α): theá a,b,c vaøo pt (α) Giaûi heä phöông trình treân tìm a, b, c, d Daïng 7: Maët phaúng tieáp xuùc maët caàu taïi A . . Tieáp dieän  cuûa mc(S) taïi A :  qua A, vtpt n  IA Daïng 8: Maët phaúng  tieáp xuùc (S) vaø   + Vieát pt mp vuoâng goùc  : n  a   ( A, B, C ) + Mp : Ax + By + Cz + D = 0 + Tìm D từ pt d(I ,  ) = R Daïng 9: Maët phaúng  tieáp xuùc (S) vaø // 2 ñt a,b :    n  [ a ,b ]. (1) vaø. (S) : x  a  y  b  z  c  R2 (2) 2. Daïng 3: Maët caàu taâm I tieáp xuùc mp. . pt : Ax  By  Cz  D  0 từ d(I,  )  R  D. Dạng 10: Mp chứa  và tiếp xúc mc(S) :. . thuộc chùm mp chứa  R  d(I,  )  m, n. CÁC DẠNG TOÁN ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------GV:NBQ DLĐK Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Hình học 12 5 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------GV:NBQ DLĐK Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>