Đề thi giữa Kỳ Giải Tích 2 Đại học Bách Khoa Hà Nội

BÁCH KHOA-ĐẠI CƯƠNG MƠN PHÁI

BÀI GIẢI THAM KHẢO

GIẢI TÍCH II
______________________________________________
Đề thi giữa kì 20163-20193
Người biên soạn: Phạm Thanh Tùng
(Tự Động Hóa – ĐHBKHN)
Hà Nội, Tháng 5 năm 2021


TÀI LIỆU THAM KHẢO:
− Bài giảng mơn Giải tích II, thầy Bùi Xuân Diệu.
− Bài tập giải sẵn Giải tích 2 (Tóm tắt lý thuyết và chọn lọc), thầy Trần Bình.
− Bài tập Tốn học cao cấp, tập hai: Giải tích, GS.TS Nguyễn Đình Trí (chủ
biên), PGS.TS. Trần Việt Dũng, PGS.TS. Trần Xuân Hiền, PGS.TS Nguyễn
Xuân Thảo.
− Bộ đề cương Giải tích II, Viện Tốn ứng dụng và Tin học.
− Bộ đề thi Giữa kì và Cuối kì mơn Giải tích II Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội.

Tài liệu được biên soạn dựa trên kinh nghiệm cá nhân, dù đã rất cố gắng
nhưng với những hạn chế nhất định về kiến thức, kĩ năng chắc chắn vẫn sẽ
tồn tại các lỗi sai tính tốn, lỗi đánh máy, … chưa được kiểm tra hết, mọi ý
kiến góp ý bạn đọc vui lịng gửi qua link fb “fb.com/tungg810” để mình có thể
kiểm tra, hoàn thiện bộ tài liệu. Xin chân thành cảm ơn!


PHẦN I:
ĐỀ THI

VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC

ĐỀ 1

ĐỀ THI GIỮA KỲ MƠN GIẢI TÍCH 2 – Học kì 20163
Thời gian: 60 phút

Chú ý: Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu và Giám thị phải kí xác nhận số đề vào bài thi
của sinh viên.

Câu 1: (1đ). Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của mặt cong 𝑥 2 + 3𝑦 + 2𝑧 3 = 3 tại
𝑀(2; −1; 1)
Câu 2: (1đ). Tìm hình bao của họ đường thẳng 𝑦 = 2𝑐𝑥 − 𝑐 2 với 𝑐 là tham số.
Câu 3: (1đ). Tìm điểm có độ cong lớn nhất của đường cong 𝑦 = ln 𝑥
Câu 4: (1đ). Đổi thứ tự lấy tích phân:
1

1

∫ 𝑑𝑥
0

∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦
√2𝑥−𝑥 2

Câu 5: (2đ). Tính các tích phân kép sau:
𝑎) ∬(3𝑥 + 2𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 , 𝐷 là miền giới hạn bởi các đường 𝑦 = 𝑥 2 và 𝑦 = 1
𝐷

𝑏) ∬
𝐷

𝑥2

𝑥𝑦
𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 2 : 1 ≤ 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 2𝑥, 𝑦 ≥ 0}
+ 𝑦2

Câu 6: (1đ). Tính thể tích của vật thể 𝑉 giới hạn bởi các mặt
𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 và 𝑧 = 2𝑥 + 4𝑦
Câu 7: (2đ). Tính tích phân bội ba ∭𝑉 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 trong đó:
a) 𝑉 giới hạn bởi các mặt
𝑧 = 0, 𝑧 = 𝑥 2 , 𝑦 = 2𝑥 2 và 𝑦 = 4 + 𝑥 2
b) 𝑉 là hình cầu 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ≤ 2𝑦
Câu 8: (1đ). Tính tích phân
+∞

∫
0

2

𝑒 −𝛼𝑥 − 1
𝑥2𝑒𝑥

2

𝑑𝑥 với 𝛼 ≥ 0

VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC

ĐỀ 2

ĐỀ THI GIỮA KỲ MƠN GIẢI TÍCH 2 – Học kì 20172
Thời gian: 60 phút

Chú ý: Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu và Giám thị phải kí xác nhận số đề vào bài thi
của sinh viên.

Câu 1: (1đ). Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của mặt cong ln(𝑥 2 + 3𝑦) − 3𝑧 3 = 2 tại
điểm 𝑀(1,0, −1).
Câu 2: (1đ). Tìm hình bao của họ đường cong 𝑐𝑥 2 − 2𝑦 − 𝑐 3 + 1 = 0 với 𝑐 là tham số.
Câu 3: (1đ). Tính độ cong của đường 𝑦 = ln(sin 𝑥) tại điểm ứng với 𝑥 = 𝜋/4.
Câu 4: (2đ). Tính các tích phân sau:
𝑎) ∬(𝑥 2 − 4𝑦 2 )𝑑𝑥𝑑𝑦 , 𝐷 là miền giới hạn bởi 𝑦 = 𝑥, 𝑥 = 1 và 𝑦 = 0
𝐷

𝑏) ∬(𝑥 2 − 𝑥𝑦 + 𝑦 2 )𝑑𝑥𝑑𝑦 , 𝐷 là miền giới hạn bởi 𝑦 = −3𝑥 + 1, 𝑦 = −3𝑥 + 2, 𝑦 = 𝑥
𝐷

và 𝑦 = 𝑥 + 2
Câu 5: (1đ). Tính tích phân sau:
1

1

∫ 𝑑𝑥 ∫
0

4

𝑦5

1
𝑑𝑦
+1

√𝑥

Câu 6: (1đ). Tính thể tích của vật thể 𝑉 giới hạn bởi các mặt
𝑧 = 𝑥 2 + 2𝑦 2 và 𝑧 = 3 − 2𝑥 2 − 𝑦 2
Câu 7: (1đ). Tính tích phân bội ba ∭𝑉 (3𝑥𝑦 2 − 4𝑥𝑦𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 trong đó 𝑉 là miền xác định bởi
1 ≤ 𝑦 ≤ 2, 0 ≤ 𝑥𝑦 ≤ 2,0 ≤ 𝑧 ≤ 2
Câu 8: (1đ). Tính tích phân bội ba ∭𝑉 (𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 )𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 trong đó 𝑉 là miền giới hạn bởi
các mặt 𝑦 = √𝑥 2 + 4𝑧 2 , 𝑦 = 2.
Câu 9: (1đ). Tính tích phân
+∞

2

2

𝑒 −𝑎𝑥 − 𝑒 −𝑏𝑥
∫
𝑑𝑥 với 𝑎, 𝑏 > 0
𝑥
0

VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC

ĐỀ 4

ĐỀ THI GIỮA KỲ MƠN GIẢI TÍCH 2 – Học kì 20172
Thời gian: 60 phút

Chú ý: Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu và Giám thị phải kí xác nhận số đề vào bài thi
của sinh viên.

Câu 1: (1đ). Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong 𝑥 = 4 sin2 𝑡 , 𝑦 =
4 cos 𝑡 , 𝑧 = 2 sin 𝑡 + 1 tại điểm 𝑀(1; −2√3; 2)
Câu 2: (1đ). Tìm hình bao của họ đường thẳng 3𝑐𝑥 − 𝑦 − 𝑐 3 = 0, với 𝑐 là tham số.
Câu 3: (1đ). Tính độ cong của đường cong 𝑥 = sin 𝑡 + 𝑡 cos 𝑡 , 𝑦 = cos 𝑡 + 𝑡 sin 𝑡 tại điểm ứng
với 𝑡 = 𝜋
Câu 4: (2đ). Tính các tích phân kép sau:
a) ∬ 2𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 , 𝐷 là miền giới hạn bởi 𝑦 = 𝑥 2 và 𝑦 = 2 − 𝑥
𝐷

b) ∬ 𝑦√𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑦 , vớ𝑖 𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 2 : 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 𝑦}
𝐷

Câu 5: (1đ). Tính thể tích vật thể 𝑉 giới hạn bởi các mặt
𝑥 = 9𝑦 2 + 𝑧 2 và 𝑥 = 9
Câu 6: (1đ). Tính tích phân sau:
1

1

1
2

∫ 𝑑𝑦 ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑥𝑦𝑒 𝑦𝑧 𝑑𝑧
0

0

𝑥2

Câu 7: (1đ). Tính ∬𝐷 (4𝑥𝑦 + 3𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷: 1 ≤ 𝑥𝑦 ≤ 4, 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 9𝑥.
Câu 8: (1đ). : Tính tích phân bội ba ∭𝑉 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 trong đó 𝑉 là miền xác định bởi
𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ≤ 𝑧, 𝑧 ≤ √𝑥 2 + 𝑦 2
Câu 9: (1đ). Tính tích phân
+∞

3

3

𝑒 −𝑎𝑥 − 𝑒 −𝑏𝑥
∫
𝑑𝑥 với 𝑎, 𝑏 > 0
𝑥
0


VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC

ĐỀ 1

ĐỀ THI GIỮA KỲ MƠN GIẢI TÍCH 2 – Học kì 20173
Thời gian: 60 phút

Chú ý: Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu và Giám thị phải kí xác nhận số đề vào bài thi
của sinh viên.

Câu 1: (1đ). Tính độ cong tại 𝑡 = 0 của đường {

𝑥 = 𝑒 −𝑡 − sin 𝑡
𝑦 = 𝑒 −𝑡 − cos 𝑡

Câu 2: (1đ). Lập phương trình pháp tuyến và tiếp diện tại 𝐴(1,1,0) của mặt 𝑧 = ln(3𝑥 − 2𝑦)
Câu 3: (1đ). Cho hàm vecto 𝑝⃗(𝑡) = (sin 2𝑡 , cos 2𝑡 , 𝑒 −𝑡 ) và 𝑟⃗(𝑡) = (𝑡 2 + 1)𝑝⃗(𝑡). Tính ⃗⃗⃗⃗
𝑟 ′ (0)
2

2−𝑥2

Câu 4: (1đ). Đổi thứ tự lấy tích phân 𝐼 = ∫−1 𝑑𝑥 ∫−𝑥

𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦

Câu 5: (1đ). Tính ∬𝐷 (3𝑥 + 2𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 , 𝐷 giới hạn bởi:
𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑥 + 𝑦 = 1
Câu 6: (1đ). Tính ∬𝐷 (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 2𝑦 − 1)2 𝑑𝑥𝑑𝑦 , 𝐷 giới hạn bởi 𝑥 + 𝑦 = 0, 𝑥 + 𝑦 = 3, 𝑥 −
2𝑦 = 1, 𝑥 − 2𝑦 = 2
Câu 7: (1đ). Tính ∭𝑉 𝑧√𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , 𝑉 giới hạn bởi 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1, 𝑧 = 0, 𝑧 = 2

Câu 8: (1đ). Tính thể tích vật thể 𝑉 giới hạn bởi

𝑥 = √𝑦 2 + 𝑧 2 ,

𝑥 = √1 − 𝑥 2 − 𝑦 2

Câu 9: (1đ). Tính
∭
𝑉

3𝑥 2 − 𝑦 2 + 𝑧 2 + 1
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 + 1

Với 𝑉 là nửa khối cầu 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ≤ 1, 𝑧 ≥ 0
Câu 10: (1đ) Tìm giới hạn
cos 𝑦

lim ∫

𝑦→0

sin 𝑦

arctan(𝑥 + 𝑦)
𝑑𝑥
1 + 𝑥2 + 𝑦2


VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC

ĐỀ 2

ĐỀ THI GIỮA KỲ MƠN GIẢI TÍCH 2 – Học kì 20182
Thời gian: 60 phút

Chú ý: Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu và Giám thị phải kí xác nhận số đề vào bài thi
của sinh viên.

Câu 1: (1đ). Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của mặt cong 𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑒 𝑧 − 2𝑦𝑥𝑧 = 0
tại điểm 𝑀(1,0,0).

Câu 2: (1đ). Tìm hình bao của họ đường cong sau: (𝑥 + 𝐶)2 + (𝑦 − 2𝐶)2 = 5.
Câu 3: (1đ). Tính tích phân kép ∬𝐷 (𝑥 − 4𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷 giới hạn bởi parabol 𝑦 = 𝑥 2 − 1 và
trục 𝑂𝑥.
Câu 4: (1đ). Tính tích phân lặp:
2

1

∫ 𝑑𝑥 ∫
1

1 − cos 𝜋𝑦
𝑑𝑦
𝑦2

√𝑥−1

Câu 5: (1đ). Tính diện tích phần hình trịn 𝑥 2 + 𝑦 2 = 2𝑦 nằm ngồi đường trịn 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1
Câu 6: (3đ). Tính các tích phân bội ba sau:
𝑎) ∭(3𝑥 2 + 2𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , trong đó miền 𝑉 xác định bởi 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥, 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑥 2

𝑉

𝑏) ∭(𝑥 − 𝑦 + 2𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , trong đó 𝑉 được giới hạn bởi các mặt
𝑉

𝑥 − 𝑦 = 0, 𝑥 − 𝑦 = 2, 𝑥 + 𝑦 = 0, 𝑥 + 𝑦 = 1, 𝑧 = 0, 𝑧 = 1
𝑐) ∭
𝑉

𝑦2
√4𝑧 −

𝑥2

−

𝑧2

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , trong đó V là miền xác định bởi 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ≤ 4𝑧, 𝑦 ≥ 0

Câu 7: (1đ). Tính độ cong tại điểm 𝑀(−1,0, −1) của đường cong là giao của mặt trụ 4𝑥 2 +
𝑦 2 = 4 và mặt phẳng 𝑥 − 3𝑧 = 2.
+∞ −𝑥 1−cos(𝑥𝑦)
𝑒
𝑑𝑥
𝑥

Câu 8: (1đ). Chứng minh rằng hàm số 𝐼(𝑦) = ∫0

khả vi trên 𝑅.

VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC

ĐỀ 3

ĐỀ THI GIỮA KỲ MƠN GIẢI TÍCH 2 – Học kì 20182
Thời gian: 60 phút

Chú ý: Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu và Giám thị phải kí xác nhận số đề vào bài thi
của sinh viên.

Câu 1: (1đ). Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong 𝑥 = sin 𝑡 , 𝑦 =
cos 𝑡 , 𝑧 = 𝑒 2𝑡 tại điểm 𝑀(0,1,1).
Câu 2: (1đ). Tính độ cong của đường 𝑥 = 𝑡 2 , 𝑦 = 𝑡 ln 𝑡 , 𝑡 > 0 tại điểm ứng với 𝑡 = 𝑒
Câu 3: (1đ). Đổi thứ tự lấy tích phân
1

1

∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦
𝑥3

0

Câu 4: (2đ). Tính các tích phân sau:
𝑎) ∬ √𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑦 , trong đó 𝐷: 1 ≤ 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 4, 𝑥 + 𝑦 ≥ 0
𝐷

𝜋

𝜋
𝑏) ∬|cos(𝑥 + 𝑦)|𝑑𝑥𝑑𝑦 , trong đó 𝐷 = [0; ] × [0; ]
2
2
𝐷

Câu 5: (1đ). Tính tích phân:
1

1−𝑥

2

∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑧 ∫(𝑦 + 𝑧)𝑑𝑦
0

0

0

Câu 6: (1đ). Tính thể tích của miền giới hạn bởi hai parabol 𝑥 = 1 + 𝑦 2 + 𝑧 2 và 𝑥 = 2(𝑦 2 + 𝑧 2 )
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗: 𝑅 → 𝑅 3 \{0
⃗⃗}. Ký hiệu |𝑟⃗(𝑡)| là độ dài của 𝑟⃗(𝑡). Chứng
Câu 7: (1đ). Cho hàm vecto khả vi 𝑟(𝑡)
minh:
𝑑(|𝑟⃗(𝑡)|)
1
=
𝑟⃗(𝑡). ⃗⃗⃗⃗
𝑟 ′ (𝑡).

|𝑟⃗(𝑡)|
𝑑𝑡
Câu 8: (1đ). Tính tích phân ∭𝑉 (2𝑦 − 𝑧)2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 trong đó 𝑉 là hình cầu 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ≤ 1
+∞ −𝑥 sin(𝑥𝑦)
𝑒
𝑑𝑥
𝑥

Câu 9: (1đ). Chứng minh rằng hàm số 𝐼(𝑦) = ∫0

khả vi trên 𝑅.


VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC

ĐỀ 1

ĐỀ THI GIỮA KỲ MƠN GIẢI TÍCH 2 – Học kì 20183
Thời gian: 60 phút

Chú ý: Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu và Giám thị phải kí xác nhận số đề vào bài thi
của sinh viên.

Câu 1: (1đ). Tìm hình bao của họ đường thẳng 𝑥 − 𝑐𝑦 + 𝑐 3 = 0
Câu 2: (1đ). Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của tại điểm 𝐴(1; 0; 1) của mặt 𝑧 = 𝑥𝑒 sin 2𝑦
Câu 3: (1đ). Đổi thứ tự lấy tích phân:
𝑥2

1

∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦
0

−𝑥

Câu 4: (1đ). Tính ∬𝐷 sin(𝑥 2 + 2𝑦 2 ) 𝑑𝑥𝑑𝑦, với 𝐷 là miền:
𝑥 2 + 2𝑦 2 ≤

𝜋
,
2

𝑦≥0

Câu 5: (1đ). Tính
∭
𝑉

𝑥+𝑦+2
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
(𝑥 + 1)(𝑦 + 1)𝑧

Với 𝑉 xác định bởi 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 1 ≤ 𝑦 ≤ 2, 1 ≤ 𝑧 ≤ 𝑒
Câu 6: (1đ). Tính thể tích miền 𝑉 giới hạn bởi các mặt 𝑥 = −(𝑦 2 + 𝑧 2 ) và 𝑥 = −1
cos 𝑦

Câu 7: (1đ). Tìm giới hạn lim ∫sin 𝑦 arctan(𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥
𝑦→0

Câu 8: (1đ). Tìm điểm có độ cong nhỏ nhất của đường 𝑥 2 + 4𝑦 2 = 4𝑥

Câu 9: (1đ). Tính
∭

(𝑦 + 1)2
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 + 3

Với 𝑉 xác định bởi 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ≤ 1
𝑦 ln(1+𝑥𝑦)

Câu 10: (1đ). Cho hàm số 𝐼(𝑦) = ∫0

1+𝑥 2

𝑑𝑥. Tính 𝐼 ′ (1)


VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC

ĐỀ 2

ĐỀ THI GIỮA KỲ MƠN GIẢI TÍCH 2 – Học kì 20192
Thời gian: 60 phút

Chú ý: Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu và Giám thị phải kí xác nhận số đề vào bài thi
của sinh viên.

Câu 1: (1đ). Viết phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong 𝑥 3 + 𝑦 3 = 9𝑥𝑦 tại
điểm (4,2)
Câu 2: (1đ). Tính độ cong của đường {

𝑥 = 2(𝑡 − sin 𝑡)
tại điểm ứng với 𝑡 = 𝜋/2
𝑦 = 2(1 − cos 𝑡)

Câu 3: (1đ). Tìm hình bao của họ đường cong
2𝑥 2 − 4𝑥𝑐 + 2𝑦 2 + 𝑐 2 = 0, 𝑐 là tham số, 𝑐 ≠ 0
Câu 4: (1đ). Tìm giới hạn
𝜋
2

lim ∫ cos(𝑥 2 𝑦 + 3𝑥 + 𝑦 2 )𝑑𝑥

𝑦→0

0

Câu 5: (1đ). Đổi thứ tự lấy tích phân:
1

√2−𝑥 2

∫ 𝑑𝑥 ∫

𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦

𝑥2

0

Với 𝑉 xác định bởi 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 1 ≤ 𝑦 ≤ 2, 1 ≤ 𝑧 ≤ 𝑒
Câu 6: (1đ). Tính diện tích phần mặt 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2 nằm trong mặt 𝑥 2 + 𝑦 2 = 9
Câu 7: (1đ). Tính thể tích của miền giới hạn bởi các mặt cong 𝑦 = 𝑥 2 , 𝑥 = 𝑦 2 , 𝑧 = 𝑥 2 và mặt
𝑂𝑥𝑦.
Câu 8: (1đ). Tính ∬𝐷 (2𝑦 2 + 3)𝑑𝑥𝑑𝑦, với 𝐷 là miền xác định bởi
𝑥 2 + (𝑦 − 1)2 ≤ 1
Câu 9: (1đ). Tính ∭𝑉 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 với 𝑉 xác định bởi
𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 1,

𝑦 2 + 𝑧 2 ≤ 4,

𝑧≥0

Câu 10: (1đ). Tính tích phân bội ba ∭𝑉 𝑦 2 𝑒 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, trong đó
𝑉: 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 1, ≤ 𝑧 ≤ 𝑥𝑦 + 2


VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC

ĐỀ 3

ĐỀ THI GIỮA KỲ MƠN GIẢI TÍCH 2 – Học kì 20192
Thời gian: 60 phút

Chú ý: Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu và Giám thị phải kí xác nhận số đề vào bài thi
của sinh viên.

𝑥 = 2(𝑡 − sin 𝑡)
Câu 1: (1đ). Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của đường cong {
tại

𝑦 = 2(1 − cos 𝑡)
𝑡 = 𝜋/2
Câu 2: (1đ). Tính độ cong của đường cong 𝑦 = 𝑒 2𝑥 tại 𝐴(0,1)
Câu 3: (1đ). Tìm hình bao của họ đường cong
𝑦 = 4𝑐𝑥 3 + 𝑐 4 , với 𝑐 là tham số
Câu 4: (1đ). Đổi thứ tự lấy tích phân
√2−𝑦 2

1

∫ 𝑑𝑦 ∫
0

𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥

√𝑦

Câu 5: (1đ). Tính ∬𝐷 4𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦, với 𝐷 là miền xác định bởi:
𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 1,

𝑥+𝑦 ≥1

Câu 6: (1đ). Tính thể tích miền 𝑉 giới hạn bởi mặt 𝑂𝑥𝑦 và mặt 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4
Câu 7: (1đ). Tính
∭ √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
𝑉

Với 𝑉 xác định bởi 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ≤ 1, √3(𝑥 2 + 𝑦 2 ) ≤ 𝑧
Câu 8: (1đ). Tính ∭𝑉 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, với 𝑉 xác định bởi 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ≤ 6, 𝑧 ≥ 𝑥 2 + 𝑦 2
Câu 9: (1đ). Tính diện tích của miền giới hạn bởi

(𝑥 2 + 𝑦 2 )2 = 4𝑥𝑦
1

Câu 10: (1đ). Cho hàm số 𝐼(𝑦) = ∫𝑦 sin(𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 )𝑑𝑥. Tính 𝐼 ′ (0)


VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC

ĐỀ 1

ĐỀ THI GIỮA KỲ MƠN GIẢI TÍCH 2 – Học kì 20193
Thời gian: 60 phút

Chú ý: Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu và Giám thị phải kí xác nhận số đề vào bài thi
của sinh viên.

Câu 1: (1đ). Xác định độ cong tại đường cong 𝑥 = √4𝑦 + 1 tại điểm (3,1)
Câu 2: (1đ). Viết phương trình pháp tuyến và tiếp diện của mặt cong 𝑦 2 = 3(𝑥 2 + 𝑧 2 ) tại điểm
(√2, 3,1)
Câu 3: (1đ). Tìm hình bao của họ đường cong: 𝑦 = (2𝑥 + 3𝑐)4
Câu 4: (1đ). Tính ∬𝐷 √𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑦 , với D là miền phía trên parabol 𝑦 = 𝑥 2 và nằm phía
trong đường trịn 𝑥 2 + 𝑦 2 = 2
Câu 5: (1đ). Tính ∭𝑉 √6𝑦 − 𝑥 2 − 𝑦 2 − 𝑧 2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 với 𝑉: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ≤ 6𝑦
Câu 6: (1đ). Tính diện tích miền giới hạn bởi hai đường cong 𝑦 = 𝑥 2 và 𝑥 = 𝑦 2
Câu 7: (1đ). Tính thể tích miền giới hạn bởi các mặt cong 𝑥 = 𝑦 2 + 𝑧 2 và 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 2
nằm trong phần khơng gian có 𝑥 khơng âm.
Câu 8: (1đ). Tính diện tích mặt cong 𝑧 = 2𝑥 2 − 2𝑦 2 nằm trong hình trụ 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1
1

Câu 9: (1đ). Tính lim ∫0 (𝑥 + 3𝑦)√𝑥 2 + 𝑦 3 + 1𝑑𝑥

𝑦→0

Câu 10: (1đ). Khảo sát tính liên tục và khả vi của hàm số:
1

𝑔(𝑦) = ∫
0

𝑑𝑥
𝑥2 + 𝑦2


PHẦN II:
LỜI GIẢI
THAM
KHẢO


LỜI GIẢI THAM KHẢO ĐỀ THI GIỮA KÌ 20163 (ĐỀ 1)
Câu 1: Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của mặt cong 𝑥 2 + 3𝑦 + 2𝑧 3 = 3 tại
𝑀(2; −1; 1)
Giải:
Đặt 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 2 + 3𝑦 + 2𝑧 3 − 3 ⇒ 𝐹𝑥′ = 2𝑥, 𝐹𝑦′ = 3, 𝐹𝑧′ = 6𝑧 2
Tại 𝑀(2, −1,1), ta có 𝐹𝑥′ (𝑀) = 4, 𝐹𝑦′ (𝑀) = 3, 𝐹𝑧′ (𝑀) = 6
Phương trình pháp tuyến của đường cong tại 𝑀(2, −1,1) là:
𝑥−2 𝑦+1 𝑧−1
=
=
4
3

6
Phương trình tiếp diện của đường cong tại 𝑀(2, −1,1) là:
4(𝑥 − 2) + 3(𝑦 + 1) + 6(𝑧 − 1) = 0 ⇔ 4𝑥 + 3𝑦 + 6𝑧 − 11 = 0

Câu 2: Tìm hình bao của họ đường thẳng 𝑦 = 2𝑐𝑥 − 𝑐 2 với 𝑐 là tham số.
Giải:
Đặt 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑐) = 𝑦 − 2𝑐𝑥 + 𝑐 2
𝐹𝑥′ = 0
−2𝑐 = 0
Xét: { ′
⇔{
⇒ Vô nghiệm ⇒ Họ đường thẳng khơng có điểm kì dị.
𝐹𝑦 = 0
1=0
Xét {

𝐹=0
𝑦 − 2𝑐𝑥 + 𝑐 2 = 0 ⇔ {𝑦 − 2𝑐𝑥 + 𝑐 2 = 0 (1)
⇔
{
𝐹𝑐′ = 0
𝑥 = 𝑐 (2)
−2𝑥 + 2𝑐 = 0

Thế (2) vào (1) ta có: 𝑦 − 2𝑥 2 + 𝑥 2 = 0 ⇔ 𝑦 = 𝑥 2
Vậy hình bao của họ đường thẳng là: 𝑦 = 𝑥 2

Câu 3: Tìm điểm có độ cong lớn nhất của đường cong 𝑦 = ln 𝑥
Giải:
𝑦 = ln 𝑥 (𝑥 > 0) ⇒ 𝑦 ′ =

1 ′′ −1
,𝑦 = 2
𝑥
𝑥

Độ cong của đường 𝑦 = ln 𝑥 tại điểm 𝑀(𝑥, 𝑦) bất kì là:

PHAM THANH TUNG


|𝑦 ′′ |

𝐶(𝑀) =

3

=

(1 + 𝑦 ′ 2 )2

(1 +

3

3 1
𝑥 2 )2 .

𝑥

=

𝑥

(1 +

1
𝑥2

=

1 2
(1 + 2 )
𝑥

1

=

−1
| 2|
𝑥

3
𝑥 2 )2

3

1
𝑥2

=

1 + 𝑥2 2
( 2 )
𝑥

(1 +

3
𝑥 2 )2 . (

3

1

=

1 2
)
𝑥2

(1 +

3
𝑥 2 )2 . (

1

1 2

)
𝑥2

= 𝑓(𝑥)

3
1
3
1
3
(1 + 𝑥 2 )2 − . 2𝑥. (1 + 𝑥 2 )2 . 𝑥 (1 + 𝑥 2 )2 − 3𝑥 2 . (1 + 𝑥 2 )2
2
⇒ 𝑓 ′ (𝑥) =
=
(1 + 𝑥 2 )3
(1 + 𝑥 2 )3
1

1

(1 + 𝑥 2 )2 . (1 + 𝑥 2 − 3𝑥 2 ) (1 + 𝑥 2 )2 . (1 − 2𝑥 2 )
=
=
(1 + 𝑥 2 )3
(1 + 𝑥 2 )3
Ta có: 𝑓 ′ (𝑥) = 0 ⇔ 𝑥 =

1
√2

Bảng biến thiên:
𝑥
𝑓 ′ (𝑥)

1

0

+∞

√2

+

0

−

1

𝑓(𝑥)

𝑓( )
√2

Vậy độ cong của đường 𝑦 = ln 𝑥 lớn nhất tại điểm 𝑀 (

1

√2

, ln

1

)

√2

Câu 4: Đổi thứ tự lấy tích phân:
1

∫ 𝑑𝑥
0

1

∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦
√2𝑥−𝑥 2

Giải:
Miền 𝐷: {

0≤𝑥≤1
√2𝑥 − 𝑥 2 ≤ 𝑦 ≤ 1

(𝑥 − 1)2 + 𝑦 2 ≥ 1
(√2𝑥 − 𝑥 2 ≤ 𝑦 ⇔ 2𝑥 − 𝑥 2 ≤ 𝑦 2 ⇔ {
)
𝑦≥0

PHAM THANH TUNG


0 ≤ 𝑥 ≤ 1 − √1 − 𝑦 2
Đổi thứ tự lấy tích phân 𝐷: {
0≤𝑦≤1
1

1

⇒ ∫ 𝑑𝑥
0

1

1−√1−𝑦 2

∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = ∫ 𝑑𝑦
√2𝑥−𝑥 2

0

∫

𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥

0

Câu 5: Tính các tích phân kép sau:

𝑎) ∬(3𝑥 + 2𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 , 𝐷 là miền giới hạn bởi các đường 𝑦 = 𝑥 2 và 𝑦 = 1
𝐷

𝑏) ∬
𝐷

𝑥2

𝑥𝑦
𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 2 : 1 ≤ 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 2𝑥, 𝑦 ≥ 0}
+ 𝑦2

Giải:
𝑎) ∬(3𝑥 + 2𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 , 𝐷 là miền giới hạn bởi các đường 𝑦 = 𝑥 2 và 𝑦 = 1
𝐷

Miền (𝐷): {

−1 ≤ 𝑥 ≤ 1
𝑥2 ≤ 𝑦 ≤ 1

PHAM THANH TUNG


1

1

1

−1

𝑥2

−1

𝑥𝑦
8
3
4
∬ 2
𝑑𝑥𝑑𝑦
=
∫
𝑑𝑥
∫(3𝑥
+
2𝑦)𝑑𝑦
=
∫(3𝑥
+
1
−
3𝑥
−
𝑥
)𝑑𝑥
=
𝑥 + 𝑦2
5

𝐷

Hình minh họa câu 𝑎
𝑏) ∬
𝐷

𝑥2

𝑥𝑦
𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 2 : 1 ≤ 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 2𝑥, 𝑦 ≥ 0}
+ 𝑦2

𝑥 = 𝑟 cos 𝜑
Đặt { 𝑦 = 𝑟 sin 𝜑 |𝐽| = 𝑟
Miền (𝐷): {

1 ≤ 𝑟 ≤ 2 cos 𝜑
0 ≤ 𝜑 ≤ 𝜋/3

PHAM THANH TUNG


𝜋
3

𝑥𝑦
∬ 2
𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ 𝑑𝜑 ∫
𝑥 + 𝑦2
𝐷

𝜋
3

2 cos 𝜑

0

1

0

𝜋
3

=

2 cos 𝜑

𝑟 cos 𝜑. 𝑟 sin 𝜑
𝑟𝑑𝑟 = ∫ 𝑑𝜑 ∫
𝑟2

𝑟 cos 𝜑 sin 𝜑 𝑑𝑟

1

𝜋
3

1
−1
∫[4(cos 𝜑)2 − 1] cos 𝜑 sin 𝜑 𝑑𝜑 =
∫[4(cos 𝜑)2 − 1] cos 𝜑 𝑑(cos 𝜑)
2
2
0

0

1
2

=

−1
9
∫(4𝑡 2 − 1)𝑡𝑑𝑡 =
2
32
1

Câu 6: Tính thể tích của vật thể 𝑉 giới hạn bởi các mặt
𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 và 𝑧 = 2𝑥 + 4𝑦
Giải:
Xét giao tuyến của {

𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2
⇒ 𝑥 2 + 𝑦 2 = 2𝑥 + 4𝑦 ⇔ (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 = 5
𝑧 = 2𝑥 + 4𝑦

Hình chiếu của (𝑉) lên 𝑂𝑥𝑦 là: (𝐷): (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 ≤ 5
Thể tích miền (𝑉) là:
2𝑥+4𝑦

𝑉(𝑉) = ∭ 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∬ 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑉

𝐷

∫

𝑑𝑧 = ∬(2𝑥 + 4𝑦 − 𝑥 2 − 𝑦 2 )𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑥 2 +𝑦 2

𝐷

= ∬{5 − [(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 ]} 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷

Đặt {

𝑥 = 1 + 𝑟 cos 𝜑
|𝐽| = 𝑟. Miền (𝐷): { 0 ≤ 𝑟 ≤ √5
𝑦 = 2 + 𝑟 sin 𝜑
0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋
2𝜋

√5

⇒ 𝑉(𝑉) = ∬(5 − 𝑟 2 )𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜑 = ∫ 𝑑𝜑 ∫ (5 − 𝑟 2 )𝑟𝑑𝑟 = 2𝜋.
𝐷

0

0

25 25𝜋
(đvtt)
=
4
2

PHAM THANH TUNG


Câu 7: Tính tích phân bội ba ∭𝑉 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 trong đó:
a) 𝑉 giới hạn bởi các mặt
𝑧 = 0, 𝑧 = 𝑥 2 , 𝑦 = 2𝑥 2 và 𝑦 = 4 + 𝑥 2
b) 𝑉 là hình cầu 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ≤ 2𝑦
Giải:
a) 𝑉 giới hạn bởi các mặt
𝑧 = 0, 𝑧 = 𝑥 2 , 𝑦 = 2𝑥 2 và 𝑦 = 4 + 𝑥 2
Hình chiếu 𝐷 của 𝑉 lên 𝑂𝑥𝑦 giới hạn bởi {
2

4+𝑥 2

𝑥2

2𝑥 2

0

𝑦 = 2𝑥 2
−2 ≤ 𝑥 ≤ 2
(𝐷) { 2
2 ⇒
2𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 4 + 𝑥 2
𝑦 = 4+𝑥
4+𝑥 2

2

2

1
4096
∭ 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑦 ∫ 𝑦𝑑𝑧 = ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑦𝑥 2 𝑑𝑦 = ∫ 𝑥 2 [(4 + 𝑥 2 )2 − 4𝑥 4 ]𝑑𝑥 =
2
105
𝑉

−2

2𝑥 2

−2

−2

b) 𝑉 là hình cầu 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ≤ 2𝑦
Miền 𝑉: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ≤ 2𝑦 ⇔ 𝑥 2 + (𝑦 − 1)2 + 𝑧 2 ≤ 1
0≤𝑟≤1
𝑥 = 𝑟 sin 𝜃 cos 𝜑
2
Đặt {𝑦 = 1 + 𝑟 sin 𝜃 sin 𝜑 |𝐽| = 𝑟 sin 𝜃 . Miền (𝑉): { 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋
0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋
𝑧 = 𝑟 cos 𝜃
2𝜋

𝜋

1

∭ 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ 𝑑𝜑 ∫ 𝑑𝜃 ∫(1 + 𝑟 sin 𝜃 sin 𝜑)𝑟 2 sin 𝜃 𝑑𝑟
𝑉

0

0

2𝜋

0

𝜋

2𝜋

1
1
2 𝜋
4𝜋
= ∫ 𝑑𝜑 ∫ ( sin 𝜃 + (sin 𝜃)2 sin 𝜑) 𝑑𝜃 = ∫ ( + sin 𝜑) 𝑑𝜑 =
3
4
3 8
3
0

0

0

Câu 8: Tính tích phân
+∞

∫

2

𝑒 −𝛼𝑥 − 1
𝑥2𝑒𝑥

0

2

𝑑𝑥 với 𝛼 ≥ 0

Giải:
+∞

∫
0

2

𝑒 −𝛼𝑥 − 1
𝑥2𝑒𝑥

2

+∞

𝑑𝑥 = ∫
0

2

𝑒 −𝛼𝑥 − 𝑒 −0.𝑥
𝑥2𝑒𝑥

2

2

𝑑𝑥

PHAM THANH TUNG


Đặt 𝐹(𝑥, 𝑦) =
2

𝑒 −𝑎𝑥 − 𝑒 −0.𝑥
𝑥2𝑒
+∞

∫

𝑒 −𝑦𝑥

2

𝑥2𝑒𝑥

2

𝑎

2

𝑥2

0

= 𝐹(𝑥, 𝑎) − 𝐹(𝑥, 0) = ∫ 𝐹𝑦′ (𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = ∫ −𝑒

0

2

𝑒 −𝛼𝑥 − 𝑒 −0.𝑥

+∞

2

2
𝑥2𝑒𝑥

0

𝑎

0

𝑑𝑥 = ∫ (∫ 𝑒
0

2

𝑑𝑦 = ∫ 𝑒 −(𝑦+1)𝑥 𝑑𝑦

0

0
−(𝑦+1)𝑥 2

−(𝑦+1)𝑥 2

𝑎
+∞
2

𝑑𝑦) 𝑑𝑥 = ∫ (∫ 𝑒 −(𝑦+1)𝑥 𝑑𝑥 ) 𝑑𝑦

𝑎

𝑎

0

+∞
2

Xét ∫ 𝑒 −(𝑦+1)𝑥 𝑑𝑥
0

Đặt (𝑦 + 1)𝑥 2 = 𝑡 ⇒ 𝑥 =
+∞
−(𝑦+1)𝑥2

𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 .
0

=

2√1 + 𝑦

2√1 + 𝑦

−1
. 𝑡 2 𝑑𝑡

.𝑡

−1
2 𝑑𝑡

1

=

2√1 + 𝑦

+∞

1

∫ 𝑒 −𝑡 . 𝑡 2−1 𝑑𝑡 =
0

1

1
.Γ( )
2

2√1 + 𝑦

2√1 + 𝑦
0

⇒ ∫ (∫ 𝑒

1

√𝜋

+∞
−(𝑦+1)𝑥 2

⇒ 𝑑𝑥 =

1

−𝑡

0

𝑎

√1 + 𝑦

+∞

⇒∫ 𝑒

0

√𝑡

𝑑𝑥) 𝑑𝑦 = ∫

0

𝑎

√𝜋
2√1 + 𝑦

𝑑𝑦 =

√𝜋
. 2(√𝑎 + 1 − 1) = √𝜋(√𝑎 + 1 − 1)
2

*Kiểm tra điều kiện khả tích:
Đặt 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 −(𝑦+1)𝑥

2

− Hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) liên tục trên miền [0; +∞) × [0; 𝑎]
2
+∞
− Tích phân 𝐼(𝑦) = ∫0 𝑒 −(𝑦+1)𝑥 𝑑𝑥 hội tụ đều trên [0, 𝑎]
2

2

𝑒 −(𝑦+1)𝑥 ≤ 𝑒 −(𝑦0+1)𝑥 với 𝑦0 ≥ 0
Do

+∞

∫ 𝑒
{0

−(𝑦0 +1)𝑥2

𝑑𝑥 =

√𝜋
2√1 + 𝑦0

+∞
2

hội tụ

⇒ ∫ 𝑒 −(𝑦+1)𝑥 𝑑𝑥 hội tụ đều trên [0; 𝑎]
0

Vậy điều kiện đổi thứ tự lấy tích phân thỏa mãn.

PHAM THANH TUNG

❖ Mẹo:
Trong các bài tập sử dụng phương pháp đổi thứ tự lấy tích phân và phương pháp đạo hàm đạo
hàm qua dấu tích phân, chúng ta sẽ “tiền trảm hậu tấu”, tức là cứ áp dụng hai phương pháp trên
để tính tích phân, khi ra kết quả rồi mới kiểm tra điều kiện khả vi, khả tích, giống lời giải tham
khảo trên. Khi làm như vậy, nếu không đủ thời gian chứng minh điều kiện khả vi, khả tích,
chúng ta vẫn được 0.5đ nếu tính tốn đúng tích phân.

PHAM THANH TUNG


LỜI GIẢI THAM KHẢO ĐỀ THI GIỮA KÌ 20172 (ĐỀ 2)
Câu 1: Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của mặt cong ln(𝑥 2 + 3𝑦) − 3𝑧 3 = 2 tại điểm
𝑀(1,0, −1).
Giải:
2𝑥
𝑥 2 + 3𝑦
3
Đặt 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ln(𝑥 2 + 3𝑦) − 3𝑧 3 − 2 ⇒
𝐹𝑦′ = 2
𝑥 + 3𝑦
′
{ 𝐹𝑧 = −9𝑧 2
𝐹𝑥′ =

𝐹𝑥′ (𝑀) = 2
Tại 𝑀(1,0, −1), ta có: { 𝐹𝑦′ (𝑀) = 3
𝐹𝑧′ (𝑀) = −9
Phương trình tiếp diện của mặt cong tại 𝑀(1,0, −1) là:
2(𝑥 − 1) + 3(𝑦 − 0) − 9(𝑧 + 1) = 0 ⇔ 2𝑥 + 3𝑦 − 9𝑧 − 11 = 0
Phương trình pháp tuyến của mặt cong tại 𝑀(1,0, −1) là:

𝑥−1 𝑦 𝑧+1
= =
2
3
−9

Câu 2: Tìm hình bao của họ đường cong 𝑐𝑥 2 − 2𝑦 − 𝑐 3 + 1 = 0 với 𝑐 là tham số.
Giải:
Đặt 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑐) = 𝑐𝑥 2 − 2𝑦 − 𝑐 3 + 1
Xét {

𝐹𝑥′ (𝑥, 𝑦, 𝑐) = 0
2𝑐𝑥 = 0
⇔{
⇒ Vô nghiệm ⇒ Họ đường cong khơng có điểm kì dị.
′ (𝑥,
𝐹𝑦 𝑦, 𝑐) = 0
−2 = 0

Xét {

𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑐) = 0
𝑐𝑥 2 − 2𝑦 − 𝑐 3 + 1 = 0
𝑐. 3𝑐 2 − 2𝑦 − 𝑐 3 + 1 = 0
⇔{
⇔
{
′ (𝑥,
𝐹𝑐
𝑦, 𝑐) = 0

𝑥 2 − 3𝑐 2 = 0
𝑥 2 = 3𝑐 2
2𝑦 − 1
3
2𝑐 3 = 2𝑦 − 1
𝑐3 =
𝑥2
2𝑦 − 1 2
2
2
) =0
⇔{
⇔{
⇒( ) −(
𝑥
𝑥2
3
2
𝑐2 =
2
𝑐 =
3
3

Vậy hình bao của họ đường cong là đường

𝑥 6 (2𝑦 − 1)2
=
27
4

PHAM THANH TUNG


Câu 3: Tính độ cong của đường 𝑦 = ln(sin 𝑥) tại điểm ứng với 𝑥 = 𝜋/4.
Giải:
cos 𝑥
−1
= cot 𝑥 , 𝑦 ′′ (𝑥) =
sin 𝑥
sin2 𝑥
𝜋
𝜋
𝜋
Tại 𝑥 = , ta có: 𝑦 ′ ( ) = 1, 𝑦 ′′ ( ) = −2
4
4
4
𝑦 = ln(sin 𝑥) ⇒ 𝑦 ′ (𝑥) =

Độ cong của đường 𝑦 = ln(sin 𝑥) tại 𝑥 = 𝜋/4
𝜋
𝐶 (𝑥 = ) =
4

|−2|
3

(1 + 1)2

=

2
2√2

=

1
√2

Câu 4: Tính các tích phân sau:
𝑎) ∬(𝑥 2 − 4𝑦 2 )𝑑𝑥𝑑𝑦 , 𝐷 là miền giới hạn bởi 𝑦 = 𝑥, 𝑥 = 1 và 𝑦 = 0
𝐷

𝑏) ∬(𝑥 2 − 𝑥𝑦 + 𝑦 2 )𝑑𝑥𝑑𝑦 , 𝐷 là miền giới hạn bởi 𝑦 = −3𝑥 + 1, 𝑦 = −3𝑥 + 2, 𝑦 = 𝑥
𝐷

và 𝑦 = 𝑥 + 2
Giải:
𝑎) ∬(𝑥 2 − 4𝑦 2 )𝑑𝑥𝑑𝑦 , 𝐷 là miền giới hạn bởi 𝑦 = 𝑥, 𝑥 = 1 và 𝑦 = 0
𝐷

Miền 𝐷: {

0≤𝑥≤1
0≤𝑦≤𝑥
𝑥

1
2

∬(𝑥 − 4𝑦
𝐷

2 )𝑑𝑥𝑑𝑦

= ∫ 𝑑𝑥 ∫(𝑥 2 − 4𝑦 2 )𝑑𝑦
0

0

1

4
−1
= ∫ (𝑥 2 . 𝑥 − 𝑥 3 ) 𝑑𝑥 =
3
12
0

PHAM THANH TUNG


𝑏) ∬(𝑥 2 − 𝑥𝑦 + 𝑦 2 )𝑑𝑥𝑑𝑦 , 𝐷 là miền giới hạn bởi 𝑦 = −3𝑥 + 1, 𝑦 = −3𝑥 + 2, 𝑦 = 𝑥
𝐷

và 𝑦 = 𝑥 + 2
𝑦 + 3𝑥 = 1
𝑦 = −3𝑥 + 1
𝑦 + 3𝑥 = 2

𝑦 = −3𝑥 + 2
Miền 𝐷 giới hạn bởi {
⇔{
𝑦=𝑥
𝑦−𝑥 =0
𝑦 =𝑥+2
𝑦−𝑥 =2
Đặt {

𝑢 = 𝑦 + 3𝑥
3 1
⇒ 𝐽−1 = |
| = 4 ⇒ 𝐽 = 1/4
𝑣 = 𝑦−𝑥
−1 1

𝑢=1
1≤𝑢≤2
𝑢=2
Miền 𝐷𝑢𝑣 trong tọa độ mới 𝑂𝑢𝑣 giới hạn bởi {
⇒ 𝐷𝑢𝑣 : {
0≤𝑣≤2
𝑣=0
𝑣=2
𝑢−𝑣
𝑥=
𝑢 = 𝑦 + 3𝑥
4
{
⇒{

𝑢 + 3𝑣
𝑣 =𝑦−𝑥
𝑦=
4
2

⇒ ∬(𝑥 − 𝑥𝑦 + 𝑦

2 )𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐷

1
𝑢 − 𝑣 2 𝑢 − 𝑣 𝑢 + 3𝑣
𝑢 + 3𝑣 2
) ] 𝑑𝑢𝑑𝑣
= ∬ [(
) −
.
+(
4
4
4
4
4
𝐷𝑢𝑣

2

2

1
1
=
∬(𝑢2 + 2𝑢𝑣 + 13𝑣 2 )𝑑𝑢𝑑𝑣 =
∫ 𝑑𝑢 ∫(𝑢2 + 2𝑢𝑣 + 13𝑣 2 )𝑑𝑣
64
64
𝐷𝑢𝑣

1

0

2

1
104
17
) 𝑑𝑢 =
=
∫ (2𝑢2 + 4𝑢 +
64
3
24
1

Câu 5: Tính tích phân sau:
1

1

∫ 𝑑𝑥 ∫
0

4

1
𝑑𝑦
𝑦5 + 1

√𝑥

Giải:
0≤𝑥≤1
Miền 𝐷: { 4
√𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 1

PHAM THANH TUNG