Tập 1 bài tập sức bền vật liệu: Phần 2

CHƯƠNG 4: ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT
I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1. Các định nghĩa

y

Giả sử trong mặt phẳng tọa độ Oxy
có mặt cắt ngang với diện tích F, A (x,y)
là một điểm bất kỳ trên mặt cắt F, xung
quanh A ta lấy 1 phân tố diện tích là dF
(Hình 4.1)

y

A
dF



F

O

x

x

1.1 Mơ men tĩnh của mặt cắt đối với
một trục

Hình 4.1

Mơmen tĩnh của diện tích F đối với trục x hay đối với trục y là các
biểu thức tích phân sau đây:

Sx   ydF
F

Sy   xdF
F

Nếu mô men tĩnh của mặt cắt F đối với 1 trục nào đó bằng khơng
thì trục đó gọi là trục trung tâm của mặt cắt.
Giao điểm của 2 trục trung tâm gọi là trọng tâm của mặt cắt C(x C,
yC)
Tọa độ trọng tâm:

S
Sx
xC  y
F
F
Nếu diện tích F bao gồm tổng đại số của nhiều diện tích đơn giản
F = Fi thì tọa độ trọng tâm của nó được xác định theo công thức.
yC 

n

yC 

 Fi xi
i 1

F

n

xC 

 Fy
i 1

i

i

F

1.2 Mơ men qn tính của mặt cắt ngang
Ta gọi mơmen qn tính của diện tích F đối với trục x hay y là các
biểu thức tích phân sau đây:

104


J x   y 2 dF

J y   x 2 dF

F

F

Mơ men qn tính độc cực của diện tích F đối với gốc tọa độ O
được xác định bởi tích phân sau đây:

J p    2 dF  J x  J y
F

Ở đây:  - Là khoảng cách từ gốc O tới điểm A(x,y).
Mô men quán tính ly tâm của diện tích F đối với hệ trục tọa độ
vng góc Oxy là biểu thức tích phân:

J xy   xydF
F

Một hệ trục có Jxy = 0 thì được gọi là hệ trục qn tính chính. Như
vậy khi đó Jx và Jy gọi là mơ men qn tính chính
Hệ trục qn tính chính Oxy có gốc tọa độ O trùng với trọng tâm
của mặt cắt (Jxy = 0, Sx = Sy = 0) thì được gọi là hệ trục quán tính chính
trung tâm. Tương ứng ta có mơ men qn tính chính trung tâm.
Nếu mặt cắt mà có 1 trục là trục đối xứng thì trục đối xứng là 1
trục của hệ trục quán tính chính trung tâm. Trục qn tính chính trung
tâm cịn lại sẽ vng góc với trục đối xứng và đi qua trọng tâm C của
mặt cắt.
2. Cơng thức tính mơ men qn tính của một số mặt cắt ngang
a) Hình chữ nhật

b) Hình bình hành

y

O

x

x

Jx 

3

bh ;
12

Jy 

3

hb
12

bh3
Jx 
3

105


c) Hình tam giác

d) Hình trịn

y

y

x

O

bh3 ;
Jx 
12

x

O

xC

C

bh3
J xC 
36

e) Hình trịn rỗng

 D4 ;
Jx  Jy 
64

Jp 

 D4
32

f) Hình bán nguyệt

y

y

O

C

x

xC
x

O

64  ;
1 

128  9 
 D4
Jx  Jy 
128

J xC 

 D4

1   4  ;
64
 D4
Jp 
1  4 

32

Jx  Jy 

 D4 

3. Công thức chuyển trục song song của mô men quán tính
A(x,y) trong hệ trục Oxy. A(X,Y), O(a,b) trong hệ trục O1XY song
song với hệ trục Oxy (Hình 4.2) khi đó ta có:

106


J X  J x  2bSx  b2 F

JY  J y  2aSy  a2 F

y

Y

J XY  J xy  aSx  bSy  abF
Nếu Oxy là hệ trục quán tính
trung tâm (Sx = Sy = 0)

JX  Jx  b F

A

y

Y

dF

2

JY  J y  a F
2

F

O

b

x

x
O1

J XY  J xy  abF

X
a

Nếu Oxy là hệ trục quán tính
chính trung tâm (Jxy = 0, Sx = Sy = 0)

JX  Jx  b F

X

Hình 4.2

JY  J y  a 2 F

2

J XY  abF
4. Công thức xoay trục của mơ men v
qn tính
Ouv là vị trí sau khi hệ trục Oxy
đã xoay đi 1 góc  (Hình 4.3)

Ju 

Jx  Jy
2



Jx  Jy
2

y
A

y

dF

F
u

cos2  J xy sin 2

O


x

x

Hình 4.3

Ju 

Jx  Jy
2



Jx  Jy
2

cos2  J xy sin 2

Jx  Jy

sin 2  J xy cos2
2
Giá trị của các mơ men qn tính chính và phương của các trục
chính:
Juv 

Jmax 

Jx  Jy
2



1
2

J

 J y   4 J xy2
2

x

107


Jmin 

Jx  Jy
2



1
2

t g1/2 

J

 J y   4 J xy2
2

x

J xy
J x  Jmax
min

II. CÁC BÀI TẬP GIẢI MẪU

Bài 4.1. Tìm tọa độ trọng tâm của mặt cắt
như hình vẽ:
Chọn hệ trục tọa độ gốc ban đầu Oxy.
Chia mặt cắt hình thang làm 2 hình là
hình I (Hình chữ nhật) và II (Hình tam
giác).
Gọi tọa độ trọng tâm của mặt cắt là
C(xC, yC)
Hình 4.1
Tọa độ trọng tâm C của hình được tính theo cơng thức sau:

xC 

Sy
F



SyI  SyII
F I  F II



F I xCI  F II xCII
F I  F II

1
4a 

4a.6a.2a  4 a.6 a.  4 a  

2
3  28

xC 
 a  3,111a
1
9
y
4a.6a  4a.6a
2
Sx SxI  SxII F I yCI  F II yCII
yC   I

F F  F II
F I  F II
1
4a.6a.3a  4a.6a.2a
8
2
yC 
 a  2,666a
1
3
4a.6a  4a.6a
2
Vậy tọa độ trọng tâm C(3,111a, 2,666a)

108

I

II
z

O


Bài 4.2. Tìm tọa độ trọng tâm của mặt cắt
như hình vẽ:
Chọn hệ trục tọa độ gốc Oxy.
Chia mặt cắt làm 2 hình là hình I
(Hình chữ nhật to) và II (Hình chữ nhật bị
khoét).
Gọi tọa độ trong tâm của mặt cắt là
C(xC, yC).
Tọa độ trọng tâm C của hình được tính
theo cơng thức sau:

xC 

Sy
F



SyI  SyII
F I  F II



Hình 4.2

F I xCI  F II xCII
F I  F II

y

3a 

4 a.6 a.2 a  3a.4a.  a  
2 

xC 
 1,5a
4 a.6 a  3a.4a

yC 

I

Sx SxI  SxII F I yCI  F II yCII


F F I  F II
F I  F II

4a.6a.3a  3a.4a.2a
 4a
4a.6a  3a.4a
Vậy tọa độ trọng tâm C(1,5a, 4a)

yC 

II
x
O

Bài 4.3. Xác định vị trí trọng tâm
và tính mơ men qn tính đối với
trục trung tâm song song với cạnh
đáy của hình thang cân trên Hình
4.3a

X
x

Hình 4.3
Chọn hệ trục tọa độ gốc Oxy như hình vẽ

109


Chia mặt cắt làm 3 hình là hình I (Hình chữ nhật giữa), II (Hình
tam giác bên trái) và III (Hình tam giác bên phải).
Gọi tọa độ trong tâm của mặt cắt là C(xC, yC)
Do Oy là trục đối xứng nên
 xC = 0

y

Tung độ trọng tâm C của

hình được tính theo cơng thức
sau:

I
III

II
C1

X

C
C2
S
S I  SxII  SxIII
x
yC  x  Ix
O
F F  F II  F III
F I yCI  F II yCII  F III yCIII
yC 
F I  F II  F III
1
1b b 1b b
b.b. b 
.b. 
.b.
4
2
2 2 3 2 2 3  4 b Vậy tọa độ trọng tâm C(0, b )

yC 
9
1b
1b
9
b.b 
.b 
.b
22
22
Tính mơ men qn tính chính trung tâm JX:

J X  J XI  J XII  J XIII  J XI  2 J XII
Sử dụng công thức chuyển trục song song để tính các mơ men
qn tính J XI và J XII
2

b.b3  b 4b 
7
J X  J x1  b1 F 
    b.b  b 4
12  2 9 
81
b 3
2
.b
11 4
 4b b  1 b
II
II

2
II
2
J X  J x 2  b2 F 
  
.b 
b
36  9 3  2 2
648
I

I

2

I

J X  J XI  2 J XII 

7 4
11 4 13 4
b  2.
b 
b
81
648
108

Bài 4.4. Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm và tính mơ men
qn tính chính trung tâm của mặt cắt.

110


Chọn hệ trục tọa độ gốc Oxy như
hình vẽ.

Chia mặt cắt làm 2 hình là hình I
(Hình chữ nhật dưới), II (Hình chữ nhật
trên).
Gọi tọa độ trong tâm của mặt cắt là
C(xC, yC)
Do Oy là trục đối xứng nên  xC = 0
Hình 4.4
Oy là 1 trục qn tính chính trung tâm.
Tung độ trọng tâm C của hình được tính theo công thức sau:

yC 

Sx SxI  SxII F I . yCI  F II . yCII


F F I  F II
F I  F II

0  b.8b.(b  4b)
 2b
6b.2b  b.8b
Như vậy ta tìm được tọa độ trọng tâm của mặt cắt C(0,2b).
yC 

 Từ đó xác định được hệ trục qn tính chính trung tâm XCY.
Tính mơ men quán tính chính trung tâm: JX, JY

JY  JYI  JYII 

2b.(6b)3 8b.b3 110 4


b
12
12
3

J X  J XI  J XII
Áp dụng công thức chuyển trục song song:

6b.(2 b)3
J X  J x 1  b1 F 
 (2b)2 .6b.2b  52b 4
12
I

I

2

I

111

b.(8b)3
344 4
J X  J x 2  b2 F 
 (3b)2 .b.8b 
b
12
3
II

II

2

II

344 4 500 4
b 
b
3
3
Bài 4.5. Tìm hệ trục qn tính chính trung tâm và tính mơ men quán tính
chính trung tâm của mặt cắt.
J X  J XI  J XII  52b 4 

Chọn hệ trục tọa độ gốc Oxy như
hình vẽ
Chia mặt cắt làm 3 hình là hình I
(Hình chữ nhật trên), II (Hình chữ nhật

dưới bên trái) và III (Hình chữ nhật dưới
bên phải)
Gọi tọa độ trong tâm của mặt cắt là
C(xC, yC)
Do Oy là trục đối xứng nên  xC
=0
Oy là 1 trục qn tính chính trung
tâm

Hình 4.5
Tung độ trọng tâm C của hình được tính theo cơng thức sau:

Sx
F
Mơ men tĩnh của mặt cắt đối với
trục x.
yC 

y2

y=Y

x

Sx  SxI  SxII  SxIII  F I yCI  F II yCII  F III yCIII
I

O

Sx  0  a.10a.(6a)  a.10a.(6a)  120a3

C

X
x2

Diện tích của mặt cắt ngang:

C2

II
F  F I  F II  F III  6a.2a  a.10a  a.10a

112

III


F  32a2

120a3
 3,75a
32a2
Ta tìm được tọa độ trọng tâm của mặt cắt C(0,-3,75a)
yC 

 Xác định được hệ trục qn tính chính trung tâm là XCY
Tính mơ men qn tính chính trung tâm JX, JY

JY  JYI  JYII  JYIII  JYI  2 JYII

JYI 

2a.(6a)3
 36a 4
12
2

10a.a3  3 
70
JY  J y 2  a2 F 
  a  .a.10a  a 4
12
3
2 
II

II

2

II

JY  JYI  2 JYII  36a 4  2.

70 4 248 4
a 
a
3
3

J X  J XI  J XII  J XIII  J XI  2 J XII
Áp dụng cơng thức chuyển trục song song để tính J XI và J XII
2
6a.(2a)3
J X  J x 1  b1 F 
  3,75a  6a.2a  172,75a 4
12
I

I

2

I

J XII  J xII2  b22 F II 

a.(10b)3
3215 4
 (2,25a)2 .a.10a 
a
12
24

J X  J XI  2 J XII  172,75a 4  2.
JX 

3215 4
a
24

1322 4
a  440,666a 4
3

Bài 4.6. Cho mặt cắt gồm 2 thép chữ I
No24, hãy xác đinh khoảng cách c giữa 2
mặt cắt để có Jx = Jy (Mặt cắt hợp lý).
Do mặt cắt có 2 trục Ox và Oy đều
là các trục đối xứng của mặt cắt.

y

yo

x

I

O

II

Hình 4.6

 Hệ trục Oxy là hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt.
113


Ta chia mặt cắt làm 2 phần là I và II.

Mơ men qn tính chính trung tâm Jx và Jy:

J x  J xI  J xII  2 J xI
4
J x  2.3460  6920 cm

J y  J yI  J yII  2 J yI (Do 2 phần đối xứng nhau qua trục y)
Sử dụng công thức chuyển trục song song ta có
2

c
J y  J y 0  a F  198    .34,8
2
I

I

2

I

2


4
c
J y  2.  198    .34,8  cm
2



Do mặt cắp hợp lý ta có Jx = Jy
2


c
2.  198    .34,8   6920
2


Giải phương trình ta tìm được c = 19,36 cm.
Bài 4.7. Xác định hệ trục quán tính chính trung
tâm và tính các mơ men qn tính chính trung tâm
của mặt cắt như hình.

Chọn hệ trục tọa độ ban đầu Oxy
Chia mặt cắt làm 2 hình là hình I (Hình chữ
nhật dưới) và II ( Nửa hình trịn phía trên)
Gọi tọa độ trong tâm của mặt cắt là C(xC, yC)
Do Oy là trục đối xứng nên  xC = 0
Hình 4.7
Oy là 1 trục quán tính chính trung tâm
Tung độ trọng tâm C của hình được tính theo cơng thức sau:

Sx
F
Mơ men tĩnh của mặt cắt đối với trục x.
yC 

114

Sx  SxI  SxII  F I yCI  F II yCII

1
 4r

Sx  0   .r 2   20   9315 cm
2
 3

Diện tích của mặt cắt ngang:

1
1
F  F I  F II  12.40   .r 2  12.40   .152
2
2
2
F  833,25 cm
yC 

Sx
9315

 11,179 cm
F 833,25

Ta tìm được tọa độ trọng tâm của mặt cắt C(0;11,179)

 Xác định được hệ trục qn tính

y

chính trung tâm là XCY
Tính mơ men quán tính chính trung
tâm JX, JY

JY  JYI  JYII 

II

40.123 1  d 4

12
2 64

X
C

x

40.123 1  (2.15)4
JY 
 .
12
2
64
4
JY  25630,3125 cm

O

I

J X  J XI  J XII
Áp dụng cơng thức chuyển trục song song để tính J XI và J XII
2
12.(40)3
J X  J x 1  b1 F 
 11,179  .12.40
12
4
J XI  123985,62 cm
I

I

2

I

J XII  J xII2  b22 F II

1  d 4  4r   r 2 1  (2r )4  4r   r 2
Jx 2 
 

 
2 64  3  2
2 64
 3  2

2

2

II

2
1  (2r )4  4r   r 2  4r
 r
 

 20  11,179 
2 64
 3  2  3
 2
2

J xII 

2

115


2
1  (2.15)4  4.15   152  4.15
  .15
Jx 




20

11,179



2 64
 3  2
 3
 2
2

2

II

J xII  87051,21 cm

4

4
J X  J XI  J XII  123985,62  87051,21  211036,83 cm

Bài 4.8. Xác định hệ trục qn tính chính trung tâm và tính mơmen quán
tính chính trung tâm của mặt cắt ghép sau đây
Tra bảng thép hình ta được:

Y

y=y1

y2

o

Đối với mặt cắt [N 22a

II
100x100x10

F  28,6 cm , xO1  2,47
I

2

cm

O2
4
J xI1  2320 cm , J yI1  186

x2
X

C

cm4
Đối với mặt cắt 100x100x10

x=x1

O=O1

F II  19,2 cm2, yO 2  2,83
cm

No24a

4
JmIIax  J xII0  284 cm
II
Jmin
 J yII0  74,1 cm

4

I

4
J xII2  J yII2  179 cm

Hình 4.8

Tìm tọa độ trọng tâm của mặt cắt
Chia mặt cắt làm 2 phần là I (Thép chữ [No22a) và II (Thép góc
đều 100x100x10)
Chọn hệ trục x1O1y1 làm gốc ban đầu, đối với hệ trục này

Sx1  SyI1  0

I

SxII1  F II . yCII  19,2. 11  2,83  157 cm

3

3
SyII1  F II . xCII  19,2.  2,46  2,83  102 cm

Vậy trong hệ trục tọa độ gốc ban đầu tọa độ trọng tâm C

116


Sx1 SxI1  SxII1
0  157
yC 
 I

 3,28 cm
II
F F F
28,6  19,2

xC 

Sy1
F



SyI1  SyII1
F F
I



II

0  102
 2,13 cm
28,6  19,2

Tọa độ trọng tâm C(2,13;3,28)
Từ đó ta xác định được hệ trục trung tâm XCY của mặt cắt như
trên hình vẽ.
Trong hệ trục tọa độ này trọng tâm O1 của hình I là:
a1 = XO1 = -2,13 cm
b1 = YO1 = -3,28 cm
Trọng tâm O2 của hình II là:
a2 = XO2 = 3,17 cm
b2 = YO2 = 4,89 cm
Xác định mơ men qn tính JX, JY của mặt cắt đối với hệ trục trung
tâm.

J X  J XI  J XII
4
J XI  J xI1  b12 F I  2320  3,282.28,6  2627,69 cm
4
J XII  J xII2  b22 F II  179  4,892.19,2  638,11 cm

4
 J X  J XI  J XII  2627,69  638,11  3265,8 cm

JY  JYI  JYII
4
JYI  J yI1  a12 F I  186  2,132.28,6  315,75 cm
4
JYII  J yII2  a22 F II  179  3,172.19,2  317,93 cm
4
JY  JYI  JYII  315,75  317,93  633,68 cm

J XY  J XYI  J XYII  J xI y  a1b1 F I  J xII y 2  a2 b2 F II
1 1

2

J XY  0  a1b1 F  J x y 2  a2 b2 F  602,5 cm
I

II

II

4

2

Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm
Hệ trục quán tính chính trung tâm là hệ trục nhận được khi quay hệ
trục trung tâm đi một góc o:

117


tg 2 0 

2 J XY
2.602,5

 0,4578
JY  J X 633,68  3265,8

o1 = -12030'; o2 = -102030'
Xác định mô men quán tính chính trung tâm:

J1,2 

J X  JY 1

2
2

 J X  JY 

2

2
 4 J XY

J1  Jmax 

J X  JY 1

2
2

 J X  JY 

J2  Jmin 

J X  JY 1

2
2

 J X  JY 

2

2

4
2
 4 J XY
 3407 cm
4
2
 4 J XY
 547,5 cm

III. BÀI TẬP TỰ GIẢI

Bài 4.1. Tìm tọa độ trọng tâm của mặt cắt như trên hình vẽ:

(a)

(b)

Hướng dẫn:
a) Chia mặt cắt làm 3 hình I, II và III
Sử dụng cơng thức tính tọa độ trong tâm:

1
1
2
F  F I  F II  F III  6.3  6.6  6.9  72 cm
2
2
Sx  SxI  SxII  SxIII  F I yCI  F II yCII  F III yCIII

118


3
1
1
Sx  6.3.7  6.6.3  6.9.6  333 cm
2
2

 yC 

Sx 333

 4,625 cm
F 72

3
1
1
Sy  6.3.4  6.6.3  6.9.8  360 cm
2
2

Sy



yC  xC 

Sx
F

360
 5 cm
F 72
b) Chia mặt cắt làm 2 hình I (Hình vng) và II (1/4 hình trịn)
Do mặt cắt đối xứng:
 xC 

FF F
I

II

 6a 
 6a.6a  
4

Sx  Sx  Sx   6a 
I

yC  xC 

II

2

2

36 a

 6a 
3a 
3

3

 6a 
6 a.6 a  

2

3

 36a3

 4,651a

4

Bài 4.2. Xác định vị trí trọng tâm của các mặt cắt cho trên hình vẽ:

119


(a)
(b)
Hướng dẫn:
a) Chia mặt cắt làm 2 hình I (Hình chữ nhật) và II (Hình tam giác)
Do mặt cắt đối xứng:  xC  0

1
F  F I  F II  4a.8a  2a.3a  29a 2
2
1
Sx  SxI  SxII  4a.8a.4a  2a.3a.5a  113a 3
2
Sx 113a3
yC  
 3,896 a
F 29a 2

b) Chia mặt cắt làm 3 hình I (Hình chữ nhật), II (Hình tam giác)
và III (Nửa hình trịn)
Do mặt cắt đối xứng:  xC  0

1
1


F  F I  F II  F III  4a.8a  2a.4a   a 2   28   a 2
2
2
2

1
2
4a

 1
Sx  SxI  SxII  4a.8a.4a  2a.4a.  6a  .2a    a 2 .
 98a 3
2
3  2
3


120


Sx
98a3

yC  
 3,708a
 2
F 
 28   a
2

Bài 4.3. Xác định mơ men qn tính chính trung tâm của các hình dưới
đây:

(b)

(a)
Hướng dẫn:
a) Mặt cắt có 2 trục đối xứng là Ox và Oy

Hệ trục Oxy là hệ trục quán tính chính trung tâm.

2a.  3a  2a.a3 13 4
4
Jx  Jx  Jx 

 a  526,5 cm
12
12
2
3

I

II

3a.  2a  a.  2a  4 4
4
Jy  Jy  Jy 

 a  108 cm
12
12
3
3

I

3

II

a) Mặt cắt có 2 trục đối xứng là Ox và Oy
Hệ trục Oxy là hệ trục quán tính chính trung tâm.

Jx  Jx  Jx 
I

II

Jy  Jy  Jy 
I

II

  4a 

4

64

  4a 
64

4

2a.a3
4

 12,226a 4  990,36 cm
12
a.  2a 
4

 11,893a 4  963,36 cm
12
3

121


Bài 4.4. Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm và tính mơ men
qn tính chính trung tâm của mặt cắt như trên hình.

(a)
(b)
Hướng dẫn:
a) Tung độ trọng tâm C của hình được tính theo cơng thức sau:

yC 

Sx SxI  SxII

F F I  F II

0  6.14.2
 1,272 cm
12.18  6.14
Trọng tâm C(0,-1,272)
yC 

 Từ đó xác định được hệ trục quán tính chính trung tâm XCY
JY  JYI  JYII 

18.123 14.63
4

 2340 cm
12
12

J X  J XI  J XII
J XI  J xI1  b12 F I 

12.183
 1,2722.12.18  6181,484
12

6.143
J X  J x 2  b2 F 
 3,2722.6.14  2271,302
12
4
I
II
J X  J X  J X  3910,182 cm
II

122

II

2

II


b) Tung độ trọng tâm C của hình được tính theo công thức sau:

yC 

Sx SxI  SxII

F F I  F II

0  10.30.25
 9,615 cm
12.40  10.30
Trọng tâm mặt cắt C(0,9,615)
yC 

Hệ trục quán tính chính trung tâm XCY

JY  JYI  JYII 

4
40.123 10.303

 28260 cm
12
12

J X  J XI  J XII
J XI  J xI1  b12 F I 

12.403
 9,6152.12.40  108375,148
12

J XII  J xII2  b22 F II 

30.103
 15,3852.30.10  73509,467
12

J X  J XI  J XII  108375,148  73509,467  181884,615 cm

4

Bài 4.5. Tính trọng tâm và tính mơ men qn tính chính trung tâm của
mặt cắt như trên hình.

Hướng dẫn:
Trọng tâm C của mặt cắt:

xC  0
yC 

Sx SxI  SxII

F F I  F II
123


0   5 . r 2 1570,8
yC 

 1,67 cm
2
2
 R r
942,5
Trọng tâm C(0,1,67)
Xác định được hệ trục quán tính chính trung tâm XCY

JY  JYI  JYII 

 .R4
4



 .r 4
4

4
 117810 cm

JX  JX  JX
I

II

J XI  J xI1  b12 F I 

 .R4

J XII  J xII2  b22 F II 

4

 r4
4

 1,672. . R 2
 1,67  5 . r 2
2

4
J X  J X  J X  107400 cm
I

II

Bài 4.6. Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm và tính mơ men
qn tính chính trung tâm của mặt cắt như trên hình.

(a)
(b)
Hướng dẫn:
Tọa độ trọng tâm C của mặt cắt:

yC  0
xC 

124

Sy
F



SyI  SyII
F I  F II

0  6.10.6
 0,967 cm
18.24  6.10
Trọng tâm C(-0,967;0)
yC 

Xác định được hệ trục quán tính chính trung tâm XCY

J X  J XI  J XII 

4
24.184 6.104

 204952 cm
12
12

JY  JYI  JYII
JYI  J yI1  a12 F I 

2
18.24 4
  0,967  .18.24  498067,96
12

2
10.6 4
  0,967  6  .10.6  3992,34

12
4
I
II
JY  JY  JY  494075,62 cm

JYII  J yII2  a22 F II 

b) Trọng tâm của mặt cắt

xC  0
yC 

Sx
F

F  F I  F II  F III  6.1  0,6.6  1.3  12,6 cm2

Sx  6.1.  3,5  0  3.1.3,5  10,5
yC 

Sx 10,5
5

  cm
F 12,6
6

Trọng tâm mặt cắt C(0;  5 )
6

Hệ trục quán tính chính trung tâm XCY

1.63 6.0,63 1.33
4
JY  JY  JY  JY 


 20,358 cm
12
12
12
I

II

III

J X  J XI  J XII  J XIII
2

6.13 
5
259
JX 
  3,5   .6.1 
12 
6
6
I

125


2

0,6.63  5 
JX 
   .0,6.6  13,3
12
6
II

2

3.13 
5
679
JX 
  3,5   .3.1 
12 
6
12
III

4
J X  J XI  J XII  J XIII  113,05 cm

Bài 4.7. Tính khoảng cách c của 2 mặt cắt gồm 2 thép chữ [số hiệu 30
được bố trí như ở hình vẽ để có Jx = Jy.

(a)

(b)

Hướng dẫn:
a) Oxy là hệ trục quán tính chính trung tâm
4
J x  2. J xI  2.5810 cm
2


c

J y  2. J y  2  J y1  a1 F   2  327    2,52  40,5 
2



J x  J y  c  18,23 cm
I

I

2

I

b) Ox và Oy là hai trục đối xứng  Oxy là hệ trục quán tính
chính trung tâm
4

J x  2. J xI  2.5810 cm
2


c

J y  2. J y  2  J y1  a1 F   2  327    2,52  40,5 
2



I

126

I

2

I


J x  J y  c  28,31 cm
Bài 4.8. Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm và tính mơ men
qn tính chính trung tâm của mặt cắt ghép bởi 2 thép chữ I N o24 bố trí
như hình vẽ.

H.1

H.2

Hướng dẫn:
a) Oxy là hệ trục qn tính chính trung tâm
4
J x  2. J xI  2.3460  6920 cm

J y  2. J yI  2  J yI1  a12 F I   2 198  12 2.34,8 
4
J y  10418,4 cm

b) Ox và Oy là hai trục đối xứng  Oxy là hệ trục quán tính
chính trung tâm của mặt cắt
4
J y  2 J yI  2.198  396 cm

 I  h c 2 I 
J x  2. J x  2  J x1  a1 F   2  J x1     F 
2 2


I

I

2

I

127

4
J x  22580 cm

Bài 4.9. Xác định hệ trục qn tính chính trung tâm và tính mơ men
qn tính chính trung tâm của mặt cắt ghép như hình vẽ.
a) : Thép I số hiệu 24
b) : Thép [ số hiệu 24

(a)

(b)

Hướng dẫn:
a) Tọa độ trọng tâm của mặt cắt:

xC  0
2
F  F I  F II  F III  34,8.2  5.23  184,6 cm
3
 24

Sx  SxI  SxII  SxIII  2.0  5.23.   2,5   1667,5 cm
 2


yC 

Sx 1667,5

 9,033 cm

F
184,6

Trọng tâm C(0;-9,033)
Xác định được hệ trục quán tính chính trung tâm XCY

 I  b 2 I  5.  2b 
JY  2. JY  JY  2  J y1    .F  
12
2


4
JY  7766,73 cm
I

128

III

3