MOT SO BAI TOAN KHOHAY CO HUONG DAN GIAI 2

<span class='text_page_counter'>(1)</span> Hướng dẫn giải một số câu trong ñề thi GVG huyện Bá Thước – 2011 - 2012 Bài 1 (câu 5 ñề 5); Cho a, b, c là các số dương và abc =1. CMR a3 b3 c3 3 + + ≥ (1 + b)(1 + c) (1 + a )(1 + c) (1 + a )(1 + b) 4. HOANG TIEN QUY - THCS THANH SON. HD: Ta có:. a3 1+ b 1+ c a3 3 + + ≥ 33 = a (1 + b)(1 + c) 8 8 64 4 b3 1+ a 1+ c b3 3 + + ≥ 33 = b (1 + a )(1 + c) 8 8 64 4. c3 1+ a 1+ b c3 3 + + ≥ 33 = c (1 + a )(1 + b) 8 8 64 4 3 1+ a 1+ b 1+ c 1 3 3 3 3 Vậy: VT ≥ (a + b + c) − − − = (a + b + c) − ≥ 3 abc − = (ñpcm) 4 4 4 4 2 4 2 4 4. Bài 2(câu 5 ñề 7)Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a +b +c =1. Chứng minh rằng: 11b3 − a 3 11c 3 − b3 11a 3 − c 3 + + ≤2 ab + 4b 2 cb + 4c3 ac + 4c 2. HD: 11b3 − a 3 ≤ 3b − a . Từ ñó suy ra ñiều phải chứng minh. ab + 4b 2. Bài 3:(câu 5.2 ñề 11); Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2 x 2 + 9 y 2 − 6 xy − 6 x − 12 y + 2041. HD: A = 2 x 2 + 9 y 2 − 6 xy − 6 x − 12 y + 2041 = ( x 2 − 10 x + 25) + ( x 2 + 9 y 2 + 4 − 6 xy + 4 x − 12 y ) + 2012 = ( x − 5) 2 + ( x − 3 y + 2) 2 + 2012 ≥ 2012. Bài 4:(câu 5 ñề 14); Gọi a, b, c là ñộ dài ba cạnh của một tam giác có 3 góc nhọn. Cmr với mọi số thực x, y, z ta luôn có: x2 y2 z 2 2x2 + 2 y 2 + 2 z 2 + + > a2 b2 c2 a 2 + b2 + c2. HD: Biến ñổi: 2 x2 y 2 z 2 2 x2 + 2 y 2 + 2 z 2 y2 z2  2 2 2  x + + > ⇔ + + + + 2  > 2x2 + 2 y2 + 2 z 2 ( a b c )  2 2 2 2 2 2 2 2 a b c a +b +c b c  a 2 2 2 2 2 2  b2 + c 2 − a 2  2  a +c −b  2  a +b −c  y z ⇔ x2  + +     >0 2 2 2 a b c      . Ta thấy ñẳng thức cuối cùng hiển nhiên ñúng vì: b + c − a > 0; a + b − c > 0; a + c − b > 0 Bài 5;(câu 5 ñề 15); Cho a, b, c ∈ [ 0;1] . Chứng minh rằng:.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> a b c + + + (1 − a )(1 − b)(1 − c) ≤ 1 (1) b + c +1 a + c +1 a + b +1. HD: Giả sử. a≥b≥c. a a b a c c ≤ ; ≤ ; ≤ b + c +1 b + c +1 a + c +1 c + b +1 a + b +1 c + b +1 a+b+c 1− a ⇒ (1 − a )(1 − b)1 − c) ≤ 1 − = (*) c + b +1 b + c +1. HOANG TIEN QUY - THCS THANH SON. Khi ñó:. -) Với a =1: (*) ñúng 3.  b + c +1+1− b +1− c  -) Với a ≠ 1 : Ta có: (b + c + 1)(1 − b)(1 − c) ≤   =1 3  . ⇒ (b + c + 1)(1 − a )(1 − b)(1 − c ) ≤ 1 − a Vậy (1) ñã ñược chứng minh. Bài 6: (câu 5 ñề 2); Chứng minh rằng;. 4 x2 y 2 x2 y 2 + + ≥3 ( x2 + y 2 )2 y 2 x2. HD: 4 x2 y 2 x2 y 2 4x2 y2 x 4 + y 4 2 x2 y2 x4 + y4 2 x2 y 2 x4 + y 4 x4 + y 4 + + = + ≥ 4 + 2 2 ≥ 4 + + ( x 2 + y 2 )2 y 2 x 2 x 4 + y 4 + 2 x 2 y 2 2 x2 y 2 x2 y 2 x + y4 x y x + y 4 2 x2 y 2 2 x2 y 2 x4 + y 4 x4 + y 4 x4 + y 4 3 . . 3 ≥ 33 4 = ≥3 2x2 y2 x + y 4 2 x2 y 2 2 x2 y 2. Bài 7:(câu 5.2 ñề 4); Cho các số x, y, z dương thoả mãn Chứng ming rằng:. Bài. 1 1 1 + + =4 x y z. 1 1 1 + + ≤1 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z. HD: Sử dụng công thức:. 1 11 1 ≤  +  x+ y 4 x y. Từ ñó ta có: 1 1 1 1 1 1  1 1 1  1 1 1  + + ≤  + + + +  +  2 x + y + z x + 2 y + z x + y + 2 z 4  x + y x + z  4  y + z z + x  4  z + x z + y  1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 11 1 1 4 ≤  + +  +  + +  +  + +  =  + +  = =1 16  x y z  16  x y z  16  x y z  4  x y z  4. Bài 8 (câu 5 ñề 6) Cho các số thực x, y, z thoả mãn ñiều kiện: x 2 + y 2 + z 2 ≤ 3. Tìm GTLN của. x2 y2 z2 M= + + 4 4 1 + x 1 + y 1 + z4 HD:.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> a2 a2 1 3 ≤ = Sử dụng công thức: . Từ ñó ta có GTLN của M = 4 2 1+ a 2a 2 2. Bài 9: (câu 2b ñề 9) Cho x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + 4 = 0 và xy > 0 . 1 x. HOANG TIEN QUY - THCS THANH SON. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : M = +. 1 . y. HD: Ta có : x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + 4 = 0 3 2 3 2 3 3 ⇔ x + 3x + 3x +1 + y + 3y + 3y + 1 + x + y + 2 = 0 ⇔ (x + 1) + (y + 1) + (x + y + 2) = 0 2 2 ⇔ (x + y + 2)[(x + 1) – (x + 1)(y + 1) + (y + 1) + 1] = 0 (*) 2. 1 3 2   Vì ( x + 1) – ( x + 1)( y + 1) + ( y + 1) + 1= ( x + 1) − ( y + 1)  + ( y + 1) + 1 > 0 2 4   Nên (*) ⇔ x + y + 2 = 0 ⇔ x + y = - 2 1 1 x + y −2 1 −2 2 Ta có : M = + = = vì ( x + y) ≥ 4xy ⇒ 4 ≥ 4xy ⇒ ≥ 1 ⇒ ≤ −2 .Vậy MaxM = -2 ⇔ x x y xy xy xy xy 2. 2. = y = -1.. Anh em tham khảo góp ý!
Hẹn lần sau gửi tiếp☺ ☺ 2012 x 4 + x 4 . x 2 + 2012 + x 2 = 2012 Bài 10 (câu III.1 ñề 15) Giải phương trình 2011. HD: a) ⇔ (2012 + x 2 + 2012) x 4 − (2011.2012 − x 2 ) = 0 ⇔ (2012 + x 2 + 2012) x 4 − (2012 − x 2 + 2012)(2012 + x 2 + 2012) = 0 ⇔ (2012 + x 2 + 2012)( x 4 + x 2 + 2012 − 2012) = 0. ⇔ x 4 + x 2 + 2012 − 2012 = 0 (do 2012 + x 2 + 2012 > 2012 > 0 ∀x ) ⇔ x 4 = 2012 − x 2 + 2012 ⇔ x4 + x2 +. 1 = x 2 + 2012 − 4. x 2 + 2012 +. 2 1 1    ⇔  x2 + =   4 2   . x2 + 2012 −. 1   2 . 2. 1 1 1 1 ( vì x 2 + 2012 − >0; x 2 + >0) ⇔ x 2 + 1 = x 2 + 2012 = x 2 + 2012 − 2 2 2 2 4 2 2 4 2 ⇔ x + 2 x + 1 = x + 2012 ⇔ x + x − 2011 = 0. ⇔ x2 +. ⇔ t 2 + t − 2011 = 0 (ñặt t = x 2 , t ≥ 0 ) ⇔. t =. −1 +. Vậy phương trình ñã cho có tập nghiệm:. 8044. (do t ≥ 0 ) ⇔. 2.  S = − . −1 +. 8044 2. ;. −1 +. x=±. − 1 + 8044 2. 8 0 4 4   2 . Bài 11: (câu V.2 ñề 4) Với x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñẳng thức xy + yz + zx = 5 , tìm giá. trị nhỏ nhất của biểu thức P =. 3x + 3 y + 2 z . 6( x + 5) + 6( y 2 + 5) + z 2 + 5 2.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> HD:. Ta. có:. 3x + 3 y + 2 z 3x + 3 y + 2 z P= = 2 2 2 2 6( x + xy + yz + xz ) + 6( y 2 + xy + yz + xz ) + 6( z 2 + xy + yz + xz ) 6( x + 5) + 6( y + 5) + z + 5. HOANG TIEN QUY - THCS THANH SON. =. 3x + 3 y + 2 z . 6( x + y)( x + z ) + 6( y + x)( y + z ) + ( z + x)( z + y). Ta lại có: 3x + 3 y + 2 x + 2 z 2 y + 2 z + 3x + 3 y y+z+x+z ; 6( y + z )( y + x) ≤ ; ( z + x)( z + y ) ≤ 2 2 2 3x + 3 y + 2 z 3x + 3 y + 2 z 2 Vậy: p ≥ = = 5x + 3 y + 2 z 5 y + 3x + 2 z 2 z + x + y 9 x + 9 y + 6 z 3 + + 2 2 2 2 6( x + y )( x + z ) ≤. Dấu “=” khi x = y = 1/2z=1. Bài 12: (câu II.1 ñề 15) Cho x, y, z ∈ R thỏa mãn : Hãy tính giá trị của biểu thức : M =. 1 1 1 1 + + = x y z x+ y+z. 2011 + (x8 – y8)(y9 + z9)(z10 – x10) . 2012. HD : Từ :. x+ y x+ y+z−z 1 1 1 1 1 1 1 1 => + + − + + = = 0 => + =0 x y z x+ y+z x y z x+ y+z xy z (x + y + z ).  1   zx + zy + z 2 + xy  1 ⇒ ( x + y) + = 0 ⇒ ( x + y)  = 0 ⇒ ( x + y )( y + z ) ( z + x) = 0  xy z ( x + y + z )   xyz ( x + y + z )   . Ta có : x8 – y8 = (x + y)(x-y)(x2+y2)(x4 + y4).= y9 + z9 = (y + z)(y8 – y7z + y6z2 - .......... + z8) z10- x10 = (z + x)(z4 – z3x + z2x2 – zx3 + x4)(z5 - x5) Vậy M =. Bài 13:. 2011 2011 + (x + y) (y + z) (z + x).A = 2012 2012.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>