Giáo trình Cơ kỹ thuật (Nghề: Công nghệ kỹ thuật cơ khí) - CĐ Công nghiệp và Thương mại

BỘ CÔNG THƯƠNG
TRƯỜNG CAO ĐẲNG CÔNG NGHIỆP VÀ THƯƠNG MẠI

GIÁO TRÌNH

Tên mơn học: Cơ kỹ thuật
NGHỀ: CƠNG NGHỆ KỸ THUẬT CƠ KHÍ
TRÌNH ĐỘ CAO ĐẲNG
Ban hành kèm theo Quyết định số:
ngày tháng năm
trưởng Trường Cao đẳng Công nghiệp và Thương mại

Vĩnh Phúc, năm 2018

của Hiệu


1
TÊN MƠN HỌC: CƠ KỸ THUẬT
Mã mơn học : MHTC17011011
Vị trí, tính chất, ý nghĩa và vai trị của mơn học
- Vị trí:
Mơn học cơ lý thuyết là mơn học kỹ thuật cơ sở. Nội dung kiến thức của
nó hỗ trợ cho việc học tập các môn kỹ thuật cơ sở khác và các mơn chun mơn
có liên quan.
Mơn học được xếp ngay vào học kỳ I năm thứ nhất.
- Tính chất:
Cơ lý thuyết có tính chất lý luận tổng qt. Trong chun mơn kỹ thuật
nó được vận dụng để giải nhiều bài toán kỹ thuật.
Cơ lý thuyết sử dụng cơng cụ tốn là chủ yếu. Lý thuyết của các chương
được sử dụng theo phương pháp tiên đề nên rất chặt chẽ.

- Ý nghĩa
Tính tốn về các yếu tố của lực tác dụng lên vật rắn ở trạng thái tĩnh
(trạng thái cân bằng) và các yếu tố động học, động lực học của vật rắn.
- Vai trị
Là cơ sở tính tốn cho mơn Sức bền vật liệu và các mơn chun ngành
khác.
Mục tiêu mơn học:
- Trình bày được các tiên đề, định luật cơ bản về tĩnh học, động học, động lực
học;
- Xác định được các loại liên kết, vẽ được các phản lực liên kết;
- Sử dụng thành thạo các điều kiện cân bằng để tính được giá trị của các phản
lực liên kết;
- Xác định được các yếu tố của các loại chuyển động cơ bản;
- Giải thích được các định luật quan hệ giữa lực và chuyển động;
- Phân tích được các phương pháp giải bài tốn động lực học;
- Giải bài tốn động lực học;
- Có ý thức trách nhiệm, chủ động học tập; rèn luyện tính cẩn thận, chính xác, tư
duy logic.
Nội dung mơn học
Nội dung tổng quát và phân phối thời gian:


2

Số
TT

1

Tên các bài trong môđun

Phần 1. Cơ lý thuyết
Bài 1:Những khái niệm cơ bản và các tiên đề tĩnh
học .
1. Các khái niệm cơ bản
1.1. Vật rắn tuyệt đối
1.2. Lực
1.3. Trạng thái cân bằng của vật rắn
1.4. Một số định nghĩa
2. Hệ tiên đề tĩnh học
2.1. Tiên đề 1: Tiên đề hai lực cân bằng
2.2. Tiên đề 2: Tiên đề thêm bớt hai lực cân bằng
2.3. Tiên đề 3: Tiên đề hình bình hành lực
2.4. Tiên đề 4: Tiên đề lực tác dụng và lực phản
tác dụng
3. Liên kết và phản lực liên kết
3.1. Khái niệm
3.2. Phản lực liên kết
3.3. Các dạng liên kết cơ bản
4. Hình chiếu của một lực lên hai trục tọa độ vng
góc.
5. Mơmen của một lực lấy đối với điểm cố định.
6. Ngẫu lực
6.1. Định nghĩa
6.2. Các yếu tố của ngẫu lực
6.3. Tính chất của ngẫu lực
6.4. Hợp hệ ngẫu lực
6.5. Điều kiện cân bằng của hệ ngẫu lực
Bài tập áp dụng
Bài 2:Hệ lực phẳng

1. Hệ lực phẳng đồng quy
1.1. Định nghĩa
1.2. Khảo sát hệ lực phẳng đồng quy bằng phương
pháp hình học
1.3. Khảo sát hệ lực phẳng đồng quy bằng phương
pháp giải tích
2. Hệ lực phẳng bất kì
2.1. Định nghĩa

Tổng

Thời gian (giờ)
Thực
hành,
thí
Lý
nghiệm
thuyết
, thảo
luận,
bài tập

6

3

3

6

3

3

KT


3
2.2. Thu gọn hệ lực phẳng bất kì
2.3. Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng bất kỳ
2.4. Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng song
song
Bài tập áp dụng
Bài 3:Ma sát
1. Ma sát trượt
1.1. Định nghĩa
1.2. Các định luật ma sát trượt
2. Ma sát lăn
2.1. Định nghĩa
2.2. Các định luật ma sát lăn
Bài tập áp dụng
Bài 4: Động học điểm
1. Phương trình chuyển động của điểm bằng phương
pháp tự nhiên và tọa độ
1.1. Phương trình chuyển động của điểm bằng
phương tự nhiên

3

1

2

7

2

4

4

2

2

1.2. Phương pháp tọa độ
2. Xác định vận tốc và gia tốc trong chuyển động
cong:
2.1. Xác định vận tốc của điểm trong chuyển động
cong
2.2. Gia tốc của điểm trong chuyển động cong
3. Các chuyển động thường gặp
3.1. Chuyển động tròn
3.2. Chuyển động thẳng
3.3. Chuyển động cong
4. Xác định vận tốc và gia tốc theo phương pháp tọa
độ
4.1. Vận tốc
4.2. Gia tốc
Bài tập áp dụng

Bài 5:Các chuyển động cơ bản của vật rắn
1. Chuyển động tịnh tiến của vật rắn
1.1. Định nghĩa
1.2. Tính chất
2.Chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố
định.
2.1. Định nghĩa
2.2. Góc quay
2.3. Vận tốc góc
2.4. Gia tốc góc
2.5. Vật quay đều

1


4
2.3. Vật quay biến đổi
3. Chuyển động của điểm thuộc vật rắn quay quanh
một trục cố định.
3.1. Quĩ đạo
3.2. Vận tốc
3.3. Gia tốc
Bài tập áp dụng
Bài 6:Chuyển động song phẳng của vật rắn
1. Khái niệm
1.1. Định nghĩa
1.2. Phương pháp khảo sát vật rắn chuyển động song
phẳng
2. Khảo sát chuyển động song phẳng bằng phương
pháp tịnh tiến và quay đồng thời

2.1. Phân tích chuyển động bằng phương pháp
tịnh tiến và quay đồng thời
2.2. Vận tốc của điểm thuộc hình phẳng
3. Khảo sát chuyển động song phẳng bằng phép
quay tâm vận tốc tức thời:
3.1. Tâm vận tốc tức thời
3.2. Vận tốc của điểm thuộc hình phẳng
3.3. Phương pháp xác định tâm quay tức thời
Bài tập áp dụng
Bài 7:Hợp chuyển động điểm
1. Khái niệm – Định nghĩa
1.1. Một số khái niệm
1.2. Định nghĩa
2. Định lý hợp vận tốc
2.1. Định lý
2.2. Xác định trị số của vận tốc tuyệt đối
3. Định lý hợp gia tốc(trường hợp chuyển động theo
là chuyển động tịnh tiến)
3.1. Khái niệm
3.2. Định lý
Bài tập áp dụng
Bài 8:Cơ sở động lực học chất điểm
1. Những khái niệm cơ bản
1.1. Chất điểm
1.2. Cơ hệ
1.3. Hệ quy chiếu quán tính
2. Các định luật cơ bản của động lực học
2.1. Định luật quán tính
2.2. Định luật tỷ lệ giữa lực và gia tốc
2.3. Định luật cân bằng giữa lực tác dụng và phản

lực
2.4. Định luật độc lập tác dụng của các lực
3. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểmhai bài toán cơ bản của động lực học.

4

2

2

3

1

2

5

2

2

2

1

1


5

3.1. Phương trình vi phân chuyển động của chất
điểm
3.2. Hai bài toán cơ bản của động lực học
Bài tập áp dụng
Bài 9: Nguyên lý Đa-lăm-be
1. Lực quán tính
2. Nguyên lý Đa-lăm-be
Phần 2: Sức bền vật liệu
Bài 10:Khái niệm cơ bản về vật rắn biến dạng
1. Nhiệm vụ và đối tượng
1.1. Nhiệm vụ
1.2. Đối tượng
2. Các giả thuyết cơ bản về vật liệu
2.1. Giả thuyết 1
2.2. Giả thuyết 2
2.3. Giả thuyết 3
3. Các loại biến dạng và chuyển vị
4. Ngoại lực- Nội lực- Phương pháp mặt cắt- Ứng
suất.
4.1. Ngoại lực
4.2. Nội lực – phương pháp mặt cắt
4.3. Ứng suất
Bài 11: Kéo (nén) đúng tâm.
1. Các khái niệm cơ bản
2. Ứng suất và biến dạng
3. Đặc trưng cơ học của vật liệu
4. Ứng suất nguy hiểm – Hệ số an toàn -Ứng suất
cho phép- Điều kiện bền và cứng khi kéo nén
5 . Bài tập áp dụng
Bài12:Những đặc trưng hình học của hình phẳng

1. Mơmen tĩnh của hình phẳng.
1.1. Mơmen tĩnh
1.2. Trọng tâm của hình phẳng
2. Mơmen qn tính của hình phẳng.
2.1. Mơmen qn tính đối với 1 trục
2.2. Mơmen qn tính độc cực
2.3. Mơmen qn tính ly tâm
2.4. Mơmen qn tính của một số hình đơn giản
Bài 13: Cắt và dập.
1. Cắt
2. Dập
Bài 14: Xoắn thuần túy thanh thẳng.
1. Khái niệm cơ bản
2. Xoắn thuần túy thanh mặt cắt tròn
Bài 15: Uốn phẳng những thanh thẳng.

3

3

1

4

2

2

2

2

2

1

1

4

2

2

7

2

4
1


6
1. Những khái niệm cơ bản
2. Nội lực và biểu đồ nội lực
3. Uốn thuần túy
4. Uốn ngang phẳng
Tổng

60

29

28

3


7
Phần 1. Cơ lí thuyết
Bài 1. Những khái niệm cơ bản và các tiên đề tĩnh học
Mục tiêu.
- Ghi nhớ các khái niệm cơ bản về lực, mômen, ngẫu lực, các tiên đề tĩnh
học và hệ quả của chúng.
- Biết được các khái niệm cơ bản về lực, mômen, ngẫu lực. Biết các hệ tiên
đề tĩnh học và vận dụng chúng vào chứng minh các định lý và bài tập. Biết phản
lực liên kết cho từng loại và xác định được chúng.
Nội dung.
1.Các khái niệm cơ bản:
1.1. Vật rắn tuyệt đối:
Là vật rắn mà khơng thay đổi hình dáng và kích thước khi chịu tác dụng của
ngoại lực.
Khái niệm này chỉ có tính chất gần đúng, bởi vì vật rắn khi chịu tác dụng của
ngoại lực thì đều bị biến dạng nhiều hay ít, tuy nhiên trong những trường hợp
biến dạng nhỏ có thể bỏ qua, hoặc biến dạng khơng ảnh hưởng đến kết quả tính
tốn thì những vật thể đó đều có thể coi là vật rắn tuyệt đối, còn những trường
hợp biến dạng lớn sẽ được nghiên cứu trong Sức bền vật liệu.
1.2. Lực:
Lực là một khái niệm biểu thị sự tác dụng tương hỗ giữa các vật thể.
Thực nghiệm chứng tỏ rằng, lực được đặc trưng bởi ba yếu tố:

- Điểm đặt: là phần tử vật chất thuộc vật mà ở đó lực tác dụng được
truyền lên vật ấy.
- Phương chiều
- Độ lớn của lực
Đối chiếu với các khái niệm toán học đã biết ta thấy về mặt hình học có thể
biểu diễn lực dưới dạng véctơ, trong đó:
- Gốc của véctơ là điểm đặt lực.
- Phương và chiều của véc tơ là phương và chiều của lực.
- Chiều dài của véc tơ là trị số của lực được lấy theo tỉ lệ nhất định.
Đơn vị đo lực là Niutơn, kí hiệu là N và cơng bội của nó là kilơ Niutơn, kí
hiệu là kN (1kN = 103N) và mega Niutơn, kí hiệu là MN (1MN= 106N).
Ví dụ: A là điểm đặt, B là chiều tác dụng,
Δ là phương tác dụng. Độ dài AB chia
theo một tỷ lệ nào đó là trị số của lực (hình 1.1).



F
A

Hình 1.1
1.3. Trạng thái cân bằng.
Là trạng thái đứng yên hay chuyển động tịnh tiến thẳng đều.



BF


8

1.4. Một số định nghĩa.
- Hệ lực: là tập hợp nhiều lực cùng tác dụng vào một
 

vật rắn, kí hiệu ( F1 , F2 ,..., Fn ) (Hình 1.2).
Tùy thuộc đường tác dụng của các lực nằm trong
cùng một mặt phẳng hay khơng cùng một mặt phẳng
chúng ta có hệ lực phẳng hay hệ lực khơng gian.

F1

F2

F4

F3
Hình 1.2

- Hai lực trực đối: là hai lực có cùng trị số, cùng
phương nhưng ngược chiều nhau (Hình 1.3).

0

F2

F1

Hình 1.3
- Hệ lực tương đương: Hai hệ lực gọi là tương đương khi chúng có cùng tác
dụng cơ học lên một vật rắn (hình 1.4)

 

 

Hai hệ lực ( F1 , F2 ,..., Fn ) và (1 ,  2 ,..., n ) tương đương đựơc kí hiệu:
 

 

( F1 , F2 ,..., Fn ) ≡ (1 ,  2 ,...,  n )



F1





F4



F2

F3

Hình 1.4
- Hợp lực:
là

một
lực
duy
nhất
tương
đương với tác dụng


  của cả
 hệ lực, nghĩa là


nếu ( F1 , F2 ,..., Fn ) ~ R thì R là hợp lực của hệ lực ( F1 , F2 ,..., Fn ) (hình 1.5)

F1

F4

F2

F3

R

Hình 1.5
- Hệ lực cân bằng: là hệ lực khi tác dụng vào vật rắn sẽ không thay đổi trạng
thái động học của vật rắn (nếu vật đang đứng yên thì đứng yên, nếu vật đang
chuyển động thì chuyển động tịnh tiến thẳng đều). Nói cách khác, hệ lực cân
bằng tương đương với 0.
 


( F1 , F2 ,..., Fn ) ~ 0


9
Vật chịu tác dụng bởi hệ lực cân bằng được gọi là vật ở trạng thái cân bằng.
Vật ở trạng thái cân bằng nếu nó đứng yên hoặc chuyển động tịnh tiến thẳng
đều.
2. Hệ tiên đề tĩnh học:
2.1. Tiên đề 1 (Tiên đề về hai lực cân bằng):
Điều kiện cần và đủ cho hệ hai lực cân bằng là chúng có cùng đường tác
dụng, hướng ngược chiều nhau và có cùng cường độ.






F'
A



F'

F
B

F
A

Hình 1.6
2.2.Tiên đề 2 (Tiên đề về thêm vào hoặc bớt đi hai
lực cân bằng):
Tác dụng của một hệ lực không thay đổi nếu thêm
vào hoặc bớt hai lực cân bằng.
Hệ quả (Định lý trượt lực)
Tác dụng của lực không thay đổi khi trượt lực trên
đường tác dụng của nó.

B



FB



'
B

F

A

B



FA

Hình 1.7


F1

2.3. Tiên đề 3 (Tiên đề hình bình hành lực):
Hệ hai lực cùng đặt tại một điểm

F
tương đương với một lực đặt tại
2
O
điểm chung và có véc tơ lực bằng
véctơ chéo hình bình hành mà hai
cạnh là hai véctơ biểu diễn hai lực thành phần.
Hình 1.8
2.4.Tiên đề 4 (Tiên đề tác dụng và phản tác dụng):
Lực tác dụng và phản tác dụng giữa hai vật có cùng đường tác dụng, hướng
ngược chiều nhau và có cùng cường độ.




F' F
A

B
Hình 1.9

3. Liên kết và phản lực liên kết:
3.1. Khái niệm:
- Vật tự do: là vật có thể thực hiện chuyển động tự ý theo mọi phương trong
không gian mà không bị cản trở.
- Vật không tự do: khi một hoặc vài phương chuyển động của nó bị cản trở:
Những điều kiện cản trở chuyển động của vật được là liên kết.
Vật không tự do gọi là vật bị liên kết ( còn gọi là vật khảo sát).
Vật cản trở sự chuyển động của vật khảo sát là vật liên kết.
Ví dụ: Cuốn sách đặt trên bàn (Hình 1.10) thì cuốn sách là vật khảo sát, bàn là
vật gây liên kết.
N

P



F


10

Hình 1.10
3.2. Phản lực liên kết:
Do tác dụng tương hỗ, vật khảo sát tác dụng lên vật gây liên kết một lực gọi
là lực tác dụng. Theo tiên đề tương tác, vật gây liên kết tác dụng trở lại vật khảo
sát một lực gọi là phản lực liên kết (gọi tắt là phản lực). 
Ở ví dụ trên, cuốnsách tác dụng lên bàn trọng lượng P , bàn tác dụng trở lại
cuốn sách phản lực N .
Phản lực đặt vào vật khảo sát (ở nơi tiếp xúc giữa hai vật), cùng phương,
ngược chiều với hướng chuyển động của vật khảo sát bị cản trở. Trị số phản lực

phụ thuộc vào lực tác dụng từ vật khảo sát đến vật gây liên kết.
3.3. Các liên kết cơ bản:
a. Liên kết tựa (hình 1.11):
Liên kết tựa cản trở vật khảo sát chuyển động theo phương vng góc với mặt
tiếp xúc chung giữa vật khảo sát và vật gây liên kết.
Vì thế phản lực có phương vng
góc với mặt phẳng tiếp xúc chung, có chiều

đi về phía mặt khảo sát, kí hiệu N .
Ở phản lực này có một yếu tố chưa biết là trị số của N.

N
A


N
N
B
A
B
Hình1.11
b. Liên kết dây mềm (hình 1.12):
Liên kết dây mềm cản trở vật khảo sát chuyển động theo phương của dây.
Phản lực có phương theo dây, kí hiệu T .
Ở phản lực này có một yếu tố chưa biết là trị số của T.


T1

m


T2


T1

O

T2

Hình1.12
c.Liên kết thanh(hình 1.13):
Liên kết thanh cản trở vật khảo sát chuyển động theo phương của thanh (bỏ
qua trọng lượng thanh).


11



Phản lực có phương dọc theo thanh, kí hiệu S . Trị số của S chưa biết.

S


S
A
O

B
O
Hình 1.13

d. Liên kết bản lề(hình 1.14):
- Gối đỡ bản lề di động:
Phản lực của gối đỡ bản lề di động có phương giống như liên kết tựa, đặt ở
tâm bản lề, kí hiệu Y . Trị số của Y chưa biết.
- Gối đỡ bản lề cố định:
Bản lề cố định có thể cản trở vật khảo sát chuyển động theo hai
phương nằm

ngang và thẳng đứng. Vì vậy phản lực có hai thành phần X và Y , phản lực toàn
phần là R . Trị số X và Y chưa biết.


Y0
O


R0

X0


N

O

Hình 1.14

e. Liên kết ngàm(hình 1.15):
Khi vật gây liên kết và vật chịu liên kết được nối cứng với nhau thì được gọi
là liên kết ngàm.
Ví dụ: Một thanh sắt được gắn chặt
xuống
 vào tường, cột điện được chôn

đất…Phản lực liên kết gồm 1 lực R0 và một ngẫu lực có mơmen m0 .

  
Nếu là ngàm khơng gian thì R0 được xác định bởi 3 thành phần X 0 , Y0 , Z 0

theo 3 trục tọa độ và véc tơ mômen m0 cũng được phân thành 3 thành phần m x ,
m y , mz theo 3 trục tọa độ.



Nếu ngàm là ngàm phẳng thì phản lực R0 gồm 2 thành phần X 0 và Y0 vng
góc với nhau và một mômen phản lực m0 nằm trong mặt phẳng ngàm.
z

Y
m
m
m Z

y
Y
O
X

O

m
X
x


12
Hình 1.15
* Xác định hệ lực tác dụng lên vật khảo sát:
Khi khảo sát một vật rắn, ta phải tách vật rắn khỏi các liên kết và xác định hệ
lực tác dụng lên vật rắn đó.
Hệ lực tác dụng lên vật khảo sát bao gồm các tải trọng và các phản lực.
Tải trọng là lực trực tiếp tác động lên vật khảo sát. Việc đặt các tải trọng lên
vật khảo sát thường ít khó khăn, vấn đề quan trọng là đặt các phản lực cho đúng
và đầy đủ.
Muốn thế ta lần lượt thay các liên kết bằng các phản lực tương ứng, cơng việc
đó gọi là giải phóng liên kết.
Sau giải phóng liên kết, vật khảo sát được coi như một vật tự do cân bằng dưới
tác dụng của hệ lực bao gồm các tải trọng và các phản lực.
1.4. Hình chiếu của một
lực lên hai trục tọa độ vng góc:

Giả sử cho một lực F và hệ trục toạ độ vng góc Oxy, hình chiếu của lực F
y
lên các trục toạ độ (hình
1.16) sẽ là:

- Hình chiếu của lực F lên trục Ox:
F

F
Fx = ± F. cosα

- Hình chiếu của lực F lên trục Oy:
x
O
Fy = ± F. sinα
F
y

x

Hình 1.16
Trong hai cơng thức trên α là góc nhọn hợp bởi đường tác dụng của F và trục
x. Dấu của hình chiếu là (+) khi chiếu từ điểm chiếu của gốc đến điểm chiếu của
mút cùng với chiều dương của trục. Dấu của hình chiếu (-) trong trường hợp
ngược lại.

Trường hợp đặc biệt, nếu lực F song song với trục, chẳng hạn với trục x
(hình 1.17a) thì:
Fx = ± F.
F = 0 (vì F vng góc với trục y).
 y
Nếu lực F song song với trục y (hình 1.17b) thì:
Fx = 0
Fy = ± F.
y
y
FY

F
x
O

Fx

a)

F

x
O

b)
Hình 1.17

Chú ý: Khi biết các hình chiếu Fx và Fy của lực F lên các trục x và y ta hoàn
toàn xác định được F.
Về trị số:


13
F  ( Fx ) 2  ( Fy ) 2

Về phương chiều:
tg  

Fy
Fx

5. Mômen của một lực lấy đối với điểm cố định (hình 1.18):

a. Định nghĩa: Giả sử có lực F và điểm 0 cố định, khi đó mơmen của lực F đối

với điểm 0 là một véctơ có kí hiệu và được xác định
như sau, m o( F ) có:

- Phương vng góc với mặt phẳng chứa lực F và điểm
0.

- Chiều sao cho, từ đầu mút nhìn xuống thấy lực F quay quanh 0 theo chiều
dương quy ước ngược chiều kim đồng hồ.

- Trị số mo( F )= F.d,
d gọi là cánh tay đòn của lực F đối với 0, đơn vị
Niutơn mét, (Nm).

 


m0 F

B


F
A


r

O

d

Hình 1.18
b. Ý nghĩa cơ học: 

Mơmen của lực F đối với điểm 0 là số đo tác dụng quay của lực F gây ra đối
với vật quanh 0. Có nghĩa
là vật quay theo chiều nào nhanh hay chậm là tuỳ

thuộc vào đại lượng mo( F ).
6. Ngẫu lực:
6.1. Định nghĩa:
Ngẫu lực là một hệ gồm hai lực song song, ngược chiều, cùng trị số. Kí hiệu
 '
(F , F ) .
B

F

F

F

F

A

B

A

Hình 1.20
6.2. Các yếu tố của ngẫu lực:
Ngẫu lực được đặc trưng bởi ba yếu tố:


14
- Mặt phẳng tác dụng của ngẫu lực: là mặt phẳng chứa các thành phần của ngẫu
lực.
- Chiều quay của ngẫu lực: là chiều quay của vật do ngẫu lực gây nên.
Chiều quay là dương (+) khi vật quay ngược chiều kim đồng hồ và âm (-)
khi ngược lại.
- Trị số mơmen của ngẫu lực: là tích số giữa trị số của lực với cánh tay địn, kí
hiệu m.
m = F.a
Trong đó: - Trị số của lực F (N).
- Cánh tay địn a (m).
- Đơn vị ngẫu lực (Nm).
6.3.Tính chất của ngẫu lực:
- Tính chất 1: tác dụng của một ngẫu lực không thay đổi khi ta di chuyển vị trí
trong mặt phẳng tác dụng của nó.
- Tính chất 2: có thể biến đổi lực và cánh tay địn tuỳ ý, miễn là bảo đảm trị số
và chiều quay của nó. Đặc biệt có thể biến đổi hệ ngẫu lực phẳng về chung một
cánh tay địn.
Từ các tính chất trên có thể rút ra: tác dụng của ngẫu lực trên một mặt phẳng
hoàn toàn được đặc trưng bằng chiều quay và trị số mơmen của nó (hình 1.24).
F

F

F

a

F

F

F

m=Fa

Hình 1.21
6.4. Hợp hệ ngẫu lực phẳng:
Giả sử cho hệ ngẫu phẳng lần lượt
có mơmen là m1, m2,….mn.
Chúng ta biến đổi hệ lực này thành
 
 
 
ngẫu lực ( F1 , F1 ), ( F2 , F2 ),...( Fn , Fn )
có cùng cánh tay địn a (hình 1.25)

Fn
m1

m2

mn
R

F1

F2

a

A

B

F2

F1

R

Fn

Hình 1.22

 


Hợp lực R của các lực F1 , F2 ,..., Fn đặt tại A và B là hai lực song song, ngược
 
chiều có cùng trị số R= RA= RB = F1 + F2 +….+ Fn tạo thành ngẫu lực ( R, R) .

 
Ngẫu lực ( R, R) gọi là ngẫu lực tổng hợp có mơmen.

M= R.a = F1.a + F2.a + ….+ Fn.a= m1 + m2 +…..+ mn
Tổng quát:

M=

n

m
k 1

k


15
˝ Hợp một hệ ngẫu lực phẳng cho ta một ngẫu lực tổng hợp có mơmen bằng
tổng đại số mơmen các ngẫu lực thuộc hệ ".
6.5. Điều kiện cân bằng của hệ ngẫu lực:
Điều kiện cần và đủ để một hệ ngẫu lực phẳng cân bằng là tổng đaị số
mômen của các lực thuộc hệ bằng không.
M=

n

m
k 1

k

=0

Bài 2: Hệ lực phẳng
Mục tiêu.
- Ghi nhớ các khái niệm về hệ lực phẳng, các phương trình cân bằng của hệ
lực phẳng
- Lập được các phương trình cân băng của hệ lực phẳng để xác định các ẩn số
cần tìm và biết cách giải một số bài toán đặc biệt của tĩnh học
Nội dung.
1. Hệ lực phẳng đồng quy:
1.1. Định nghĩa:
Hệ lực phẳng đồng qui là hệ lực gồm các lực có đường tác dụng nằm trong
một mặt phẳng và cắt nhau tại một điểm.
1.2. Khảo sát hệ lực phẳng đồng quy bằng phương pháp hình học:
a. Quy tắc hình bình hành:


Giả sử có hai lực F1 và F2 đồng qui tại O (hình 2.1).

Theo tiên đề hình bình hành, chúng ta có hợp lực R đặt tại O, phương chiều
và trị số được biểu diễn bằng đường chéo của hình bình hành lực.
- Trị số của R:
Áp dụng định lí hàm số cosin cho tam giác OAB, ta có:
R 2  F12  F22  2 F1 F2 cos(180   )

A

Vì cos (180- α) = - cosα
nên R  F12  F22  2 F1 F2 cos 

R  F12  F22  2 F1 F2 cos 


R

(2.1)



- Phương chiều của R:
Áp dụng định lý hàm số sin cho tam giác OBC: O
F1
F2
R


sin  1 sin  2 sin(180   )
F1
F2
R


sin  1 sin  2 sin 

Suy ra:
F1
sin 
R
F
sin  2  2 sin 

R
sin  1 








B

Hình 2.1

Vì sin (180- α) = sin α
nên

C

F1

(2.2)


16
α1, α2 xác định phương chiều của R.
Các trường hợp đặc biệt:
- Hai lực F1 và F2 cùng phương, cùng chiều (hình 2.2a).
α = 0, cosα = 1
R = F1+ F2, cùng phương, cùng chiều với F1 và F2.

F1

O

F2

R

F2

O

a)

R

F1

b)
Hình 2.2

- Hai lực F1 và F2 cùng phương, ngựơc chiều (hình 2.2b).
α = 180 , cosα = -1
R= F1-F2 (F1 > F2), cùng phương, cùng chiều với F1(lực lớn hơn).
- Hai lực F1 và F2 vng góc với nhau (hình 2.3).
F
α = 90 , cosα = 0
1

R

R  F12  F22
O

F2

Hình 2.3

b. Quy tắc tam giác lực:
Từ cách hợp lực hai lực đồng qui theo quy tắc hình bình hành lực, ta có thể


suy ra: từ mút của lực F1 , đặt nối tiếp lực F2' song song, cùng chiều và cùng trị số



với F2 , hợp lực R có gốc là O và có mút trùng với mút của lực F2 (hình 2.4).
F'2
F1
R

O











F2

Hình 2.4


Ta được: R  F1  F2'  F1  F2 . Hợp lực R đóng kín tam giác lực hợp bởi hai


lực F1 và F2 , trị số và phương của R xác định theo công thức (2.1) và (2.2).
1.3. Khảo sát hệ lực phẳng đồng quy bằng phương pháp giải tích:
F'
a. Phương pháp hình học:
   
F'
Giả sử cho hệ lực ( F1 , F2 , F3 , F4 )
đồng qui tạo O (hình 2.5).
F
2

3

2

F1

O
R

F3

F4

F'4


17

Hình 2.5



Muốn tìm hợp lực của hệ, trước hết hợp hai lực F1 và F2 theo quy tắc tam



giác lực (từ mút lực F1 đặt lực F2' song song cùng chiều và cùng trị số F2 ) được:

 
 
R1  F1  F2'  F1  F2


Bằng cách tương tự, hợp hai lực R1 và F3 được:



 


R2  R1  F3  F1  F2  F3 .


Cuối cùng hợp hai lực R2 và F4 ta được hợp lực R của hệ:
 

 


R  R2  F4  F1  F2  F3  F4 .

 

Tổng quát, hợp lực của hệ lực phẳng đồng qui ( F1 , F2 ,..., Fn ) là:
n 
  

R  F1  F2  ....  Fn   Fk .

k 1

Hợp lực R có gốc trùng với gốc lực đầu, có mút trùng với mút của véc tơ
 

đồng đẳng với lực cuối. Đường gãy khúc F1 , F2 ,..., Fn gọi là đa giác lực.

Hợp lực R đóng kín đa giác lực lập bởi các lực đã cho.

b. Phương pháp chiếu lực:

 

Giả sử có hệ lực phẳng đồng qui ( F1 , F2 ,..., Fn ) có hình chiếu tương ứng lên
các trục toạ độ vng góc Oxy là (F1x, F2x,…., Fxn ) và
(F1y, F2y,…., Fyn ) (hình 2.6).
y
F'2
F'3

RY

F2

F1

O

F1X

R

F3

RX

F2X

F3X

x

Hình 2.6
n 
  

Ta có, hợp lực R  F1  F2  ....  Fn   Fk .
 k 1
Hình chiếu của véc tơ hợp lực R lên các trục là Rx và Ry có trị số bằng tổng

đại số hình chiếu các véc tơ lực thành phần:
Rx = F1x + F2x +….+ Fnx =
Ry = F1y + F2y +….+ Fny =

n

F
k 1
n

F
k 1

Hợp lực R có:

kx

ky


18

n

n

k 1

k 1

R  R x2  R y2  ( Fkx ) 2  ( Fky ) 2

- Trị số:

(2.3)

- Phương, chiều xác định bởi:
n

tg  

Ry
Rx



F
k 1
n

ky

(2.4)

F
k 1

kx

* Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng đồng qui:
a. Phương pháp hình học:

Muốn hệ lực phẳng đồng qui cân bằng thì trị số của hợp lực R phải bằng 0, đa
giác lực tự đóng kín (mút của lực cuối trùng với gốc lực đầu).
Kết luận: ˝ Điều kiện cần và đủ để một hệ lực phẳng đồng qui cân bằng là đa
giác lực tự đóng kín ".
b. Phương pháp chiếu lực:
Tương tự như trên, muốn hệ lực phẳng đồng qui cân bằng thì hợp lực R phải
bằng 0.
R~0
Nên:
n

n

R  ( Fkx ) 2  ( Fky ) 2  0
k 1

2

k 1

2

(∑ Fkx) , (∑ Fky) là những số dương nên R chỉ bằng 0 khi
n

F

0

F

0

kx

k 1
n

ky

k 1

(2.5)

Kết luận: ˝ Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng đồng qui cân bằng là tổng
đại số hình chiếu các lực lên hai trục toạ độ vng góc đều bằng 0".
2. Hệ lực phẳng bất kỳ:
2.1. Định nghĩa:
Hệ lực phẳng bất kỳ là hệ lực gồm các lực có đường tác dụng nằm bất kỳ
trong cùng một mặt phẳng.

2.2. Thu hệ lực phẳng bất kỳ:
a. Định lý dời lực song song:
Khi dời song song một lực, để tác dụng cơ học khơng đổi phải them vào một
ngẫu lực phụ có mômen bằng mômen của lực đối với điểm mới dời đến.
Chứng minh:
FA

F'B

FA

A

B

A

F'B
B

m

FB

Hình 2.9


19



Thật vậy, cho lực F đặt tại A (kí hiệu FA ), đặt tại B bất kỳ hai lực cân bằng


FB và FB' thoả mãn các điều kiện sau:

FA = FB = F’B = F
FA // FB // F’B

  
Rõ ràng FA ~ ( FB , FB' , FA )
  
Phân tích hệ lực ( FB , FB' , FA )




FB song song cùng chiều và cùng trị số với FA nên có thể coi FB là FA dời từ
A đến B.




Còn FB' và FA tạo thành ngẫu lực ( FB' , FA ) có mơmen m = F.a. Mặt khác


mB( FA ) = F.a nên m = mB ( FA )



Như vậy: FA ~ FB + mB ( FA )

Định lý đã được chứng minh
Định lý đảo: Một lực và một ngẫu lực cùng nằm trong một mặt phẳng tương
đương với một lực song song cùng chiều, cùng trị số với lực đã cho và có
mơmen đối với điểm đặt của lực đã cho đúng bằng mômen của ngẫu lực.
Từ định lý ta thấy lực tương đương phải có vị trí sao cho lấy mơmen đối với
điểm đặt lực đã cho có cùng chiều quay của ngẫu lực và có cánh tay địn a 

m
.
F

b. Thu hệ lực phẳng bất kỳ về một
 tâm cho trước:
Giả sử có hệ lực phẳng ( F1 , F2 ,..., Fn ) đặt ở A, B,…, N (hình 2.11), cần phải
thu hệ lực phẳng đó về tâm O nằm trong mặt phẳng của hệ lực.

FN
F1

A

F'N

N

O

mn

O

m1

F'1

O
m0

B

m2
F'2
F2

Hình 2.11
Theo định lý dời lực song song, dời các lực đã cho về tâm O (tâm thu gọn).



F1 ~ [ F1' + ngẫu lực có mơmen m1 = mo( F1 ) ]



F2 ~ [ F2' + ngẫu lực có mơmen m2 = mo( F2 ) ]
…………………………………………………



Fn ~ [ Fn' + ngẫu lực có mơmen mn = mo( Fn ) ]
Như vậy, hệ lực phẳng bất kỳ đã cho tương đương với hệ lực phẳng đồng qui

ở O và một hệ ngẫu lực phẳng (hình vẽ).

Thu hệ lực phẳng đồng qui được R ' .

Thu hệ ngẫu
lực
phẳng
được
ngẫu
lực
có
mơmen
M
o = ∑mo( F )
 


Kết quả: ( F1 , F2 ,..., Fn ) ~ ( R ' và ngẫu lực có mơmen Mo).


Ta gọi R là véc tơ chính R ' = ∑ F .

R'


20



Mo là mơmen chính của hệ lực đối với tâm O, Mo = ∑mo( F ).

˝ Hệ lực phẳng bất kỳ tương đương với một hệ lực có véc tơ bằng véc tơ chính
của hệ lực và một ngẫu lực có mơmen bằng mơmen chính của hệ lực đối với tâm
thu gọn".
Áp dụng các công thức (2.3), (2.4) và (2.9) ta có:
n

n

Trị số của véc tơ chính: R '  R x2  R y2  ( Fkx ) 2  ( Fky ) 2
k 1

k 1

n

Phương chiều của véc tơ chính: tg  

Ry


Trị số của mơmen chính Mo = ∑mo( F )

Rx



F

ky

k 1
n

F
k 1

kx

Từ công thức trên ta thấy:
Véc tơ chính khơng phụ thuộc vào tâm thu gọn.
Mơmen chính thay đổi theo tâm thu gọn (vì với mỗi tâm thu gọn khác
nhau lực có cánh tay địn và chiều quay khác nhau).
c. Các dạng tối giản của hệ lực phẳng:
Khi thu gọn hệ lực phẳng về tâm cho trước có thể xảy ra bốn trường hợp sau:
- R’ ≠ 0, Mo ≠ 0
- R’ ≠ 0, Mo = 0
- R’= 0, Mo ≠ 0
- R’ = 0, Mo = 0
Như vậy hệ phẳng có thể tương đương với một trong ba dạng sau:
- Khi thu gọn hệ lực phẳng về một tâm cho trước, nếu kết quả thu được như hai
trường hợp đầu thì hệ lực phẳng có hợp l ực.
Trong trường hợp R’ ≠ 0 và Mo ≠ 0, áp dụng định lý đảo R’ và Mo tương
đương với một lực R (R song song, cùng chiều, cùng trị số với R và đặt cách R
một khoảng cách a = Mo/ R), R là hợp lực của hệ lực phẳng.
Trong trường hợp R’ ≠ 0, Mo = 0, R’ là hợp lực R của hệ lực phẳng.
- Khi thu gọn hệ lực phẳng về một tâm cho trước, nếu kết quả thu được như ở
trường hợp (R’= 0, Mo ≠ 0) hệ lực phẳng tương đương với một ngẫu lực có
mơmen là Mo.
Trong trường hợp này, hệ lực phẳng thu về tâm bất kỳ nào kết quả thu được
của Mo đều hồn tồn như nhau (tính chất ngẫu lực).

- Khi thu gọn hệ lực phẳng về một tâm cho trước, nếu kết quả thu được như ở
trường hợp (R’ = 0, Mo = 0) hệ lực phẳng cân bằng.
2.3. Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng bất kì:
a. Điều kiện cân bằng:
Điều kiện cần và đủ để một hệ lực phẳng bất kì cân bằng là véc tơ chính và
mơmen chính của hệ đối với một tâm bất kì đều phải bằng khơng.
R’ = 0
(2.10)
Mo = 0
b. Các dạng phương trình cân bằng:


21
* Dạng 1: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng bất kì cân bằng là tổng hình
chiếu của các lực lên hai trục tọa độ vng góc và tổng đại số mômen của các
lực đối với một tâm bất kì trên mặt phẳng đều bằng khơng.
∑Fx =0
∑Fy =0
(2.11)
∑mo ( F ) =0
Thật vậy, theo điều kiện cân bằng (2.10)
R’ = 0
Mo = 0
n

n

k 1

k 1

R '  ( Fkx ) 2  ( Fky ) 2

, mà (∑Fkx)2 và (∑Fky)2 là những số dương nên R’

chỉ bằng không
khi ∑Fkx = 0 và ∑Fky = 0.

Mo = ∑mo( F ) nên Mo = 0 khi ∑mo ( F ) =0
Ngược lại, nếu ∑Fkx = 0, ∑Fky = 0, ∑mo (F) = 0 thì R’ = 0 và Mo = 0 tức hệ lực
cân bằng.
* Dạng 2: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng bất kì cân bằng là tổng đại số
mômen của các lực đối với hai điểm bất kì trên mặt phẳng và tổng hình chiếu
các lực lên trục x khơng vng góc với đường thẳng đi qua hai điểm bất kì đó
đều bằng khơng.

∑mA ( Fk ) = 0

∑mB ( Fk ) = 0
(2.12)
∑Fkx =0
(x khơng vng góc với AB)


Thật vậy, hai phương trình ∑mA ( Fk ) = 0 và ∑mB ( Fk ) = 0 thỏa mãn mơmen

chính Mo = 0. Mặt khác, hệ có hợp lực R phải nằm trên phương AB, nhưng trục
x khơng vng góc với AB nên ∑Fkx =0 thì R = 0 hệ lực cân bằng.
* Dạng 3: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng bất kì cân bằng là tổng đại số
mơmen của các lực đối với ba điểm không thẳng hàng trên mặt phẳng đều bằng

0.

∑mA ( Fk ) = 0

∑mB ( Fk ) = 0
(2.13)

∑mC ( Fk ) = 0
A, B, C không thẳng hàng.
Thật vậy, hệ có hợp lực thì hợp lực đều phải đi qua 3 điểm A, B, C không
thẳng hàng, điều đó khơng thể xảy ra. Vậy R = 0, hệ lực cân bằng.
2.4. Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng song song:
Hệ lực phẳng song song là một trường hợp đặc biệt của hệ lực phẳng bất kì
(có các đường tác dụng song và nằm trong một mặt phẳng) nên từ điều kiện cân
bằng của hệ lực phẳng bất kì có thể suy ra điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng
song song.


22

y
F2

...
F1

Fn
x

O

Hình 2.12

 

Giả sử hệ lực phẳng song song ( F1 , F2 ,..., Fn ) (hình 2.12). Chọn hệ trục Oxy có
trục Oy song song với các lực, lúc đó hiển nhiên Fkx = 0 nên các phương trình
cân bằng của hệ lực phẳng song song là:
* Dạng 1: Điều kiện cần và đủ để một hệ lực phẳng song song cân bằng là tổng
hình chiếu của các lực lên trục song song với chúng và tổng đại số mơmen của
các lực đối với một điểm bất kì trên mặt phẳng tác dụng của các lực đều bằng
không.
∑Fky = 0

∑mo( Fk ) = 0
(Dạng này được suy ra từ dạng 1 của hệ lực phẳng bất kì)
* Dạng 2: Điều kiện cần và đủ để một hệ lực phẳng song song cân bằng là tổng
đại số mômen của các lực đối với hai điểm bất kì trên mặt phẳng tác dụng của
các lực đều bằng không (đường thẳng đi qua 2 điểm bất kì khơng song song với
phương các lực).

∑mA( Fk ) = 0

∑mB( Fk ) = 0
Phương AB không song song với các lực (dạng này được suy ra từ dạng 2 của
hệ lực phẳng bất kì).
* Bài tập áp dụng:
   
1. Hệ lực phẳng đồng quy ( F1 , F2 , F3 , F4 ) cho trên hình 2.7.

y

23
Cho biết F1 = F2 = 100N, F3 = 150N, F4 = 200N
Góc giữa các lực cho trên hình vẽ.
Xác định hợp lực của hệ lực.
Bài giải:
Chọn hệ trục Oxy như hình 2.7.

F4
F1

O


80°

x

50°
70°

F2
R
F3

Hình 2.7


Hình chiếu của hợp lực R lên các trục x và y là:

Rx = ∑ Fx = F1 + F2.cos 500 – F3.cos600 – F4.cos 200
= 100 + 100.0,6428 -150.0,5 – 200.0,9397 = - 98,7N.
Ry = ∑ Fy = -F2.sin500 – F3.sin600 + F4.sin200
= -1000,766 -150.0,866 + 200.0,3420 = -138,1N
Trị số của hợp lực R:
R  R x2  R y2  (98,7) 2  (138) 2  170 N

Phương chiều của hợp lực R:
tg 

Ry



 138,1
 1,4    54 o 33 '
 98,7

Rx

R nằm ở góc phần tư thứ ba với α = 54 033’.

2. Một vật nặng P = 100N được treo vào đầu O của thanh OA. Thanh này
được giữ cân bằng trong mặt phẳng thẳng đứng như hình 2.8a bằng bản lề trụ A
và dây nằm ngang tạo với OA một góc bằng 450. Bỏ qua trọng lượng của thanh
OA, tìm lực căng của dây OB và lực nén thanh OA.
Bài giải:
Khảo sát cân bằng của nút O. Nút chịu tác dụng
của ba lực đồng quy, đó là




trọng lực P , lực căng T của dây OB và phản lực S của thanh OA.
  
Vì nút cân bằng nên hệ lực đồng quy ( P, T , S ) cân bằng:
  
( P, T , S ) ~ 0
Chúng ta giải bài tốn này theo hai phương pháp: hình học và hình chiếu.
y
B

S

T
45°

I

x

O
S

45°

P

P
L

A

R

a)

b)

K


24
Hình 2.8
* Phương pháp hình học(hình 2.8b):
  
Vì hệ lực ( P, T , S ) cân bằng nên tam giác lực của hệ tự đóng kín. Chúng ta
dựng tam giác lực đó bằng cách từ một điểm
bất kỳ I vẽ véc tơ IK song song và

tỷ lệ với P , rồi từ gốc I và mút K của lực P kẻ các đường song song với lực S
và lực T , chúng cắt nhau tại
L. tam giác IKL là tam giác cần
dựng. Trên tam


giác lực, đi theo chiều lực P xác định được chiều của lực S và lực T . Độ dài
của mỗi cạnh của tam giác lực biểu diễn trị số của các lực tương ứng.
Vì tam giác IKL vuông cân nên: T = P = 100N.
S

P
100

 141,4 N .
0
0,707
cos 45

Phương pháp này chỉ thuận lợi khi giải bài tốn hệ lực phẳng đồng quy có
nhiều nhất là ba lực.
* Phương pháp hình chiếu:
Chọn hệ trục tọa độ vng góc Oxy như trên hình vẽ, áp dụng cơng thức (2.5)
để lập hệ phương trình cân bằng:
∑Fx = -T + S.cos450 = 0 (1)
∑Fy = -P + S.sin450 = 0 (2)
Giải hệ phương trình này tìm được:
S


P
P

 P. 2  100 2  141,4 N .
0
sin 45
2
2

3. Lực F có trị số 150N cùng nằm trong mặt phẳng với ngẫu lực có m =

450N. Xác định lực tương đương với lực và ngẫu lực trên (hình 2.10)
Bài giải:
F

F'

m
a
A

B

Hình 2.10
Theo định lý ta có lực tương đương F’ song song cùng chiều với lực F, có trị
số:
F’ = F = 150N
Khoảng cách giữa đường tác dụng của hai lực là:
AB  a 

m 450

 3m .
F 150



Điểm B nằm về phía phải của điểm A (hình 2.10) để cho mômen của lực F
lấy đối với điểm A cùng chiều quay với ngẫu lực.