Một số tính chất của dãy số sinh bởi các hàm lượng giác và áp dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ SINH BỞI CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC VÀ ÁP DỤNG

HẠ THỊ NGÂN
CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

THÁI NGUYÊN 2016



i

Mục lục
Mở đầu

1

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

3

1.1

Một số định nghĩa và tính chất của hàm số lượng giác . . .

3

1.2

Một số tính chất của đa thức lượng giác . . . . . . . . . . .

3

1.3

Một số dạng đẳng thức cơ bản giữa các lớp hàm lượng giác
và lượng giác ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4

4

Định nghĩa và một số dạng đẳng thức cơ bản giữa các lớp
hàm hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.5

Một số đồng nhất thức đại số sinh bởi hàm lượng giác . . .

7

1.6

Một số tính chất của dãy số

9

. . . . . . . . . . . . . . . . .

Chương 2. Ước lượng, đánh giá các dãy số sinh bởi hàm lượng
giác

13

2.1

Xác định dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2

Ước lượng, đánh giá các dãy số sinh bởi hàm lượng giác . . 26

2.3

Xác định các tính chất liên quan đến dãy số sinh bởi hàm
lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Chương 3. Một số áp dụng của dãy số sinh bởi hàm lượng
giác

38

3.1

Tính giới hạn của dãy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2

Ước lượng, đánh giá tổng và tích các phần tử . . . . . . . . 49


ii

3.3

Một số dạng toán liên quan đến hàm lượng giác ngược và
hàm hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

KẾT LUẬN

58

Tài liệu tham khảo

59


1

Mở đầu
Các bài toán về dãy số sinh bởi hàm số lượng giác là một trong những
nội dung quan trọng của giải tích. Rất nhiều dạng tốn khác cũng quy về
việc ước lượng, tính tổng, xét tính tuần hồn, tìm số hạng tổng quát và
giới hạn của dãy số sinh bởi hàm lượng giác.
Những bài toán về dãy số là một trong những dạng toán thường gặp
trong các kỳ thi Olympic toán quốc gia và quốc tế, Olympic toán sinh viên
các trường đại học, cao đẳng.

Việc giải các bài toán dạng này đòi hỏi học sinh phải nắm vững các
kiến thức cơ bản về các lớp hàm này đồng thời nắm được các kiến thức
liên quan và phải biết vận dụng một cách sáng tạo, logic và hợp lý.
Chính vì những lý do trên mà tôi chọn đề tài "Một số tính chất của
dãy số sinh bởi các hàm lượng giác và áp dụng" nhằm hệ thống một số áp
dụng của lớp hàm này. Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu
tham khảo luận văn gồm ba chương
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, trình bày về
các tính chất cơ bản của hàm lượng giác, hàm lượng giác ngược và hàm
hyperbolic đồng thời trình bày về một số dạng đẳng thức, các định lý cơ
bản của đại số và giải tích liên quan.
Chương 2. Trình bày các dạng tốn về xác định dãy số, ước lượng dãy
số và các tính chất của dãy số sinh bởi hàm lượng giác.
Chương 3. Trình bày các dạng tốn về tính giới hạn, tính tổng và tích
của dãy số sinh bởi hàm lượng giác, một số dạng toán liên quan đến hàm


2

lượng giác ngược và hàm hyperbolic.
Trong suốt quá trình làm luận văn, tác giả nhận được sự hướng dẫn và
giúp đỡ tận tình của TS. Đào Thị Liên. Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn
sâu sắc đến cơ - Người đã luôn sát cánh bên tác giả từ những ngày đầu
tiên thực hiện luận văn.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn những gợi ý quý báu của GS. TSKH
Nguyễn Văn Mậu trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu thực hiện
đề tài.
Qua đây, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Ban
Giám hiệu, Phịng đào tạo sau đại học, khoa Tốn - Tin của trường Đại
học Khoa hoc - Đại học Thái Nguyên, cùng các thầy cô giáo đã tham gia

giảng dạy đã giúp đỡ tác giả trong thời gian theo học các chun đề và
hồn thành các cơng việc của một học viên cao học.

Thái nguyên, ngày 30 tháng 05 năm 2016
Tác giả
Hạ Thị Ngân


3

Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1

Một số định nghĩa và tính chất của hàm số
lượng giác

Trong mục này ta xét hàm số f (x) : R → R với tập xác định D ⊂ R.
Định nghĩa 1.1. Hàm số f (x) được gọi là hàm số chẵn trên M ⊂ D nếu
∀x ∈ M thì −x ∈ M và f (−x) = f (x).
Hàm số f (x) được gọi là hàm số lẻ trên M ⊂ D nếu ∀x ∈ M thì
−x ∈ M và f (−x) = −f (x).
Ví dụ 1.1. Hàm số y = cos x là hàm số chẵn; các hàm số y = sin x,
y = tan x, y = cot x là những hàm số lẻ trên tập xác định của chúng.
Định nghĩa 1.2. Hàm số f (x) được gọi là hàm số tuần hồn cộng tính
trên M ⊂ D nếu ∀x ∈ M thì x ± a ∈ M, f (x + a) = f (x), ∀x ∈ M. Số
nguyên dương a bé nhất thỏa mãn điều kiện trên được gọi là chu kỳ của
hàm tuần hồn cộng tính f (x).
Ví dụ 1.2. Hàm số y = cos x, hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kỳ
T = 2π ; hàm số y = tan x, y = cot x tuần hồn với chu kỳ T = π.

1.2

Một số tính chất của đa thức lượng giác

Định nghĩa 1.3. Hàm số có dạng

An (x) = a0 + a1 cos x + b1 sin x + · · · + an cos nx + bn sin nx,


4

trong đó an , bn khơng đồng thời bằng 0 (tức là an 2 + bn 2 > 0), ai , bj ∈ R
với i = 0, 1, . . . , n, j = 1, . . . , n, được gọi là đa thức lượng giác bậc n
(n ∈ N∗ ).
Khi tất cả các bj = 0 với j = 1, 2, . . . , n ta có
Định nghĩa 1.4. Hàm số có dạng Cn (x) = a0 + a1 cos x + · · · + an cos nx
( an = 0 ) được gọi là đa thức lượng giác bậc n theo cosin.
Tương tự, khi tất cả các ai = 0 với i = 0, 1, . . . , n ta có
Định nghĩa 1.5. Hàm số có dạng Sn (x) = b0 + b1 sin x + · · · + bn sin nx
( bn = 0 ) được gọi là đa thức lượng giác bậc n theo sin.
Tính chất 1.1. Tổng của hai đa thức lượng giác An (x) và Bm (x) là một
đa thức lượng giác có bậc khơng vượt q max {m, n} .

Tính chất 1.2. Tích của hai đa thức lượng giác An (x) và Bm (x) là một
đa thức lượng giác có bậc bằng n + m.
Tính chất 1.3. Nếu đa thức lượng giác
An (x) = a0 + a1 cos x + b1 sin x + · · · + an cos nx + bn sin nx đồng nhất
bằng 0 với mọi x ∈ R, thì tất cả các hệ số của nó đều bằng 0, tức là
a0 = a1 = b1 = a2 = b2 = · · · = an = bn = 0.

1.3

Một số dạng đẳng thức cơ bản giữa các lớp hàm
lượng giác và lượng giác ngược

Từ các hàm lượng giác cơ bản như y = sin x, y = cos x, y = tan x,
y = cot x ta có các hàm lượng giác ngược tương ứng trong các khoảng
đồng biến hoặc nghịch biến của chúng.
π π
π π
hàm số y = sin x (hay y = tan x)
Trong − ; , (hay trong − ;
2 2
2 2
là hàm đồng biến, liên tục nên khi đó tồn tại hàm ngược y = arcsin x (hay
y = arctan x)) như sau:


y = arcsin x


(arcsin x) ≡ x


 sin
 x = sin y
π
π
≤

arcsin
x
≤
−
⇔
−1 ≤ x ≤ 1


2
 2


−1 ≤ x ≤ 1
 −π ≤ y ≤ π
2
2


5



y = arctan x


(arctan x) ≡ x


 x = tan y
 tan

π
π
≤
arctan
x
≤
−
⇔
−∞ ≤ x ≤ ∞


2

 2

−∞ ≤ x ≤ ∞
 −π ≤ y ≤ π
2
2
Trong [0, π], (hay trong (0, π) hàm số y = cos x (hay y = cot x) là hàm
nghịch biến, liên tục nên khi đó tồn tại hàm ngược y = arccos x (hay
y = arccot x)) như sau:


y = arccos x


 cos (arccos x) ≡ x

x = cos y

0 ≤ arccos x ≤ π
⇔
−1
≤
x
≤
1



−1 ≤ x ≤ 1

0≤y≤π


y = arccot x


 cot (arccot x) ≡ x

x = cot y
0 ≤ arccot x ≤ π
⇔
−∞
≤
x
≤
∞




−∞ ≤ x ≤ ∞

0≤y≤π
1) arcsin(−x) = − arcsin x,
2) arccos(−x) = π − arccos x,
3) arctan (−x) = −arctan x,
4) arccot (−x) = −arccot x,
5) Hàm f (x) = arcsin x có tính chất
√
f (x) + f (y) = f x 1 − y 2 + y 1 − x2 , ∀x, y ∈ [−1, 1],

6) Hàm g(x) = arccos x có tính chất
√
g (x) + g (y) = f xy − 1 − x2 1 − y 2 , ∀x, y ∈ [−1, 1],
7) Hàm h(x) = arctan x có tính chất
x+y
h (x) + h (y) = h
, ∀x, y ∈ R, xy = 1,
1 − xy
8) Hàm p(x) = arccot x có tính chất
xy − 1
, ∀x, y ∈ R, x = −y.
p (x) + p (y) = p
x+y


6

1.4

Định nghĩa và một số dạng đẳng thức cơ bản
giữa các lớp hàm hyperbolic

1.4.1 Định nghĩa
Cho x ∈ R. Kí hiệu

ex + e−x
và gọi cosh x là hàm cosin hyperbolic,
cosh x =
2
ex − e−x
sinh x =
và gọi sinh x là hàm sin hyperbolic,
2
sinh x
và gọi tanh x là hàm tang hyperbolic,
tanh x =
cosh x
cosh x
và gọi coth x là hàm côtang hyperbolic.
coth x =
sinh x
1.4.2. Một số dạng đẳng thức cơ bản giữa các lớp hàm hyperbolic
Các đồng nhất thức cơ bản

cosh2 x − sinh2 x = 1,

1
,

cosh2 x
1
coth2 x − 1 =
.
sinh2 x

1 − tanh2 x =

Công thức nhân đôi

sinh 2x = 2 sinh x cosh x,
cosh 2x = cosh2 x − sinh2 x = 2cosh2 x − 1 = 1 − 2sinh2 x,
2 tanh x
;
tanh 2x =
1 + tanh2 x
Công thức nhân ba

sinh 3x = 4sinh3 x + 3 sinh x,
cosh 3x = 4cosh3 x − 3 cosh x,
3 tanh x + tanh3 x
tanh 3x =
.
1 + 3 tanh3 x


7

Cơng thức biến đổi tổng thành tích

x+y
x−y
cosh
,
2
2
x−y
x+y
sinh
,
cosh x − cosh y = 2 sinh
2
2
x+y
x−y
sinh x + sinh y = 2 sinh
cosh
,
2
2
x+y
x−y
sinh x − sinh y = 2 cosh
sinh
,
2
2
sinh (x + y)
,
tanh x + tanh y =

cosh x cosh y
sinh (x − y)
.
tanh x − tanh y =
cosh x cosh y

cosh x + cosh y = 2 cosh

Công thức biến đổi tích thành tổng.

cosh x cosh y =

1
[cosh (x + y) + cosh (x − y)] ,
2

1
[cosh (x + y) − cosh (x − y)] ,
2
1
sinh x cosh y = [sinh (x + y) + sinh (x − y)] .
2

sinh x sinh y =

1.5

Một số đồng nhất thức đại số sinh bởi hàm
lượng giác

• Hệ thức đại số ứng với cơng thức cos 2t = 2 cos2 t − 1 chính là cơng
thức
1
1
1 2
1 2
a + 2 =2
a+
− 1.
2
a
2
a
• Hệ thức đại số ứng với công thức cos 3t = 4 cos3 t − 3 cos t chính là cơng
thức
1 3
1
1
1 3
1
1
a + 3 =4
a+
a+
,
−3
2
a
2
a

2
a
1
1 3
a + 3
4x3 − 3x =
2
a


8

1
1
a+
, a = 0.
2
a
• Hệ thức đại số ứng với công thức cos 5t = 16cos5 t − 20cos3 t + 5 cos t
chính là cơng thức
với x =

1
1 5
a + 5
2
a

1
1

a+
= 16
2
a

5

3

1
1
a+
− 20
2
a

16x5 − 20x3 + 5x =

+5

1
1
a+
2
a

,

1 5
1

a + 5
2
a

1
1
a+
, a = 0.
2
a
• Từ cơng thức Euler, ta thu được hệ thức

với x =

eit − e−it
i sin t =
.
2
Từ đây, suy ra biểu thức i sin(it) nhận giá trị thực. Điều này gợi ý cho ta
cách chuyển đổi các đồng nhất thức đối với hàm sốsin sang các đồng nhất
thức đại số.
Xét công thức khai triển sin 3t = 3 sin t − 4 sin3 t.
Từ đây ta thu được cơng thức (hình thức)

i sin i(3t) = 3(i sin it) − 4(i sin it)3 .
Hệ thức đại số ứng với cơng thức trên chính là đồng nhất thức

1
1 3
a − 3

2
a

1
1
a−
=4
2
a

3

−3

1
1
a−
2
a

,

Hay

4x3 + 3x =

1
1 3
a − 3
2

a

1
1
a−
, a = 0.
2
a
Ứng với công thức biến đổi sin 5t + sin t = 2 sin 3t 1 − 2sin2 t là đồng
nhất thức

với x =

1 5
1
a − 5
2
a

1
1
a−
+
2
a

1 3
1
=2
a − 3

2
a

1
1
a−
1−2
2
a

2

.


9

1.6

Một số tính chất của dãy số

1.6.1 Cấp số cộng, cấp số nhân
Định nghĩa 1.6. (Cấp số cộng). Dãy số (un ) thỏa mãn: un+1 = un + d
với mọi số tự nhiên n và d là một hằng số cho trước được gọi là một cấp
số cộng, d được gọi là công sai.
* un được gọi là số hạng tổng quát của cấp số cộng (un ). Nếu cho trước
n ta được cấp số cộng hữu hạn.
* Nếu d = 0 ta có dãy số mà u0 = u1 = ... Khi đó dãy (un ) được gọi là
dãy hằng.
* Ký hiệu: Sn = u0 + u1 + ... + un được gọi là tổng của n số hạng đầu

tiên của cấp số cộng.
Nhận xét 1.1. Nếu (un ) là một cấp số cộng cơng sai d thì ta có:
* un = u1 + (n − 1)d,
* 2uk = uk−1 + uk+1 , ∀k ≥ 2,
n(n − 1)d (u1 + un )n
=
.
* Sn = nu1 +
2
2
Định nghĩa 1.7. (Cấp số nhân). Dãy số (un ) thỏa mãn: un = un−1 q với
q là một hằng số cho trước và 1 ≤ n ∈ N, được gọi là một cấp số nhân, q
được gọi là công bội.
* un được gọi là số hạng tổng quát của cấp số nhân. Nếu cho trước n
ta được cấp số nhân hữu hạn.
* Nếu cấp số nhân có q = 0 ta có dãy u0 ; 0; 0; ...; 0; ...
* Nếu cấp số nhân có q = 1 ta có dãy u0 ; u0 ; u0 ; ...; u0 ; ...
* Ta luôn có: un = u1 q n−1 (2 ≤ n ∈ N.
* Ta ln có: u2k = uk−1 .uk+1 , ∀2 ≤ k ∈
N.
 nu1 , nếu q = 1.
1 − qn
* Ta ln có: Sn = u1 + u2 + ... + un =
, nếu q = 1.
 u1
1−q


10

1.6.2 Dãy tuần hồn và phản tuần hồn cộng tính
Định nghĩa 1.8. Dãy số (un ) được gọi là dãy tuần hồn cộng tính nếu
tồn tại số ngun dương l sao cho un+l = un , ∀n ∈ N.
Số nguyên dương l bé nhất thỏa mãn điều kiện trên được gọi là chu kỳ
cơ sở của dãy.
Định nghĩa 1.9. Dãy số (un ) được gọi là phản tuần hoàn cộng tính nếu
tồn tại số nguyên dương l sao cho un+l = −un , ∀n ∈ N.

1.6.3 Dãy tuần hoàn và phản tuần hồn nhân tính
Định nghĩa 1.10. Dãy số (un ) được gọi là dãy tuần hồn nhân tính nếu
tồn tại số nguyên dương s(s > 1) sao cho usn = un , ∀n ∈ N.
Số nguyên dương s bé nhất để dãy (un ) thỏa mãn điều kiện trên được
gọi là chu kỳ cơ sở của dãy.
Định nghĩa 1.11. Dãy số (un ) được gọi là dãy số phản tuần hồn nhân
tính nếu tồn tại số ngun dương s(s > 1) sao cho usn = −un , ∀n ∈ N.

1.6.4 Một số định lý về giới hạn của dãy số
Định nghĩa 1.12. Dãy (un ) được gọi là hội tụ về a, ký hiệu lim un = a,
n→∞

nếu với mọi ε > 0 cho trước tùy ý, tồn tại số n0 ∈ N sao cho với mọi
n ≥ n0 đều có |un − a| < ε, tức là

lim un = a ⇔ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 , |un − a| < ε.

n→∞

Định lý 1.1. (Tính duy nhất của giới hạn) Giới hạn của một dãy hội tụ
là duy nhất.
Định lý 1.2. (Tính thứ tự của dãy hội tụ) Cho lim xn = l và a ∈ R. Khi

đó

n→∞

- Nếu a > l thì ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 ⇒ a > xn ,
- Nếu a < l thì ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 ⇒ a < xn .


11

Định lý 1.3. (Chuyển qua giới hạn bất đẳng thức) Cho lim xn = l và
n→∞
a ∈ R.
- Nếu ∃n0 ∈ N : ∀n > n0 ⇒ xn ≥ a thì l ≥ a,
- Nếu ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 ⇒ xn ≤ a thì l ≤ a.
Định lý 1.4. (Định lý giới hạn dãy kẹp giữa) Cho ba dãy số {xn } , {yn } , {zn }
thỏa mãn:
* ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 ⇒ zn ≤ xn ≤ yn ,
* Các dãy (yn ), (zn ) cùng hội tụ đến l.
Khi đó dãy (xn ) hội tụ và lim xn = l.
n→∞

Định lý 1.5. (Tính chất đại số của dãy hội tụ) Cho hai dãy hội tụ
(xn ), (yn ) và lim yn = b. Khi đó:
n→∞

- Dãy (xn ) hội tụ và lim (−xn ) = −a,
n→∞

- Dãy |(xn )| hội tụ và lim |xn | = |a| ,
n→∞

- Dãy (xn + yn ) hội tụ và lim (xn + yn ) = a + b,
n→∞

- Dãy (xn − yn ) hội tụ và lim (xn − yn ) = a − b,
n→∞

- Dãy (kxn ) hội tụ và lim (kxn ) = ka,
n→∞

- Dãy (xn · yn ) hội tụ và lim (xn · yn ) = a · b,
- Với b = 0 thì dãy
và lim

n→∞

1
yn

=

1
.
b

- Với b = 0 thì dãy
và: lim

n→∞

xn
yn

=

1
yn

xn
yn

n→∞

được xác định từ một chỉ số nào đó là hội tụ

được xác định từ một chỉ số nào đó là hội tụ

a
.
b

Định lý 1.6. Mọi dãy hội tụ đều bị chặn.
Định lý 1.7. Dãy số thực tăng và bị chặn trên thì hội tụ và giới hạn của
nó là cận trên đúng của tập hợp (un ) các phần tử của dãy.
Dãy số thực giảm và bị chặn dưới thì hội tụ và giới hạn của nó là cận
dưới đúng của tập hợp (un ) các phần tử của dãy.
Định lý 1.8. (Định lý Bolzano - Weierstrass) Từ một dãy bị chặn luôn
rút ra được một dãy con hội tụ.

12

Định lý 1.9. (Định lý Cesaro) Nếu dãy (un ) hội tụ đến a thì

lim

u1 + u2 + ... + un
= a.
n

Định lý 1.10. (Tiêu chuẩn Cauchy) Dãy (xn ) hội tụ khi và chỉ khi ∀ε > 0
cho trước tùy ý, tồn tại chỉ số n0 ∈ N sao cho với mọi m, n ≥ n0 đều có
|xn − xm | < ε.
Nhận xét 1.1. Trong thực hành, người ta thường dùng tiêu chuẩn Cauchy
dưới cách phát biểu sau đây: (xn ) hội tụ ⇔ ∀ǫ > 0, ∃n0 ∈ N : ∀n ≥
n0 , ∀p ∈ N∗ ta có |xn+p − xn | < ǫ.


13

Chương 2
Ước lượng, đánh giá các dãy số sinh
bởi hàm lượng giác
Trong chương 2, ta quan tâm đến các dãy số sinh bởi hàm số lượng
giác, các dãy số xác định được bằng phương pháp lượng giác và tính chất
liên quan đến dãy số sinh bởi hàm lượng giác như: tính tuần hồn, tính
đơn điệu.

2.1

Xác định dãy số

2.1.1 Xác định dãy số sử dụng công thức nhân đôi và
nhân ba của hàm sin x, cos x và các hằng đẳng thức
lượng giác
Bài toán 2.1 (xem [1]). Xác định dãy (yn ) thỏa mãn:
y1 ∈ R; yn+1 = 2yn 2 − 1, ∀n = 1, 2, . . .
Lời giải.
• Nếu |y1 | ≤ 1 thì tồn tại α ∈ R sao cho cos α = y1 . Khi đó bằng
phương pháp quy nạp ta chứng minh được

yn = cos 2n−1 α.

(1)

Thật vậy, với n = 1 ta có α ∈ R sao cho cos α = y1 .
Giả sử (1) đúng với n = k tức là ta có yk = cos 2k−1 α. Ta cần chứng
minh (1) đúng với n = k + 1 hay yk+1 = cos 2k α.
2
Ta có: yk+1 = 2yk 2 − 1 = 2(cos 2k−1 α ) − 1 = cos 2k α


14

Do đó (1) đúng với n = k + 1 nên theo nguyên lý quy nạp

yn = cos 2n−1 α.
• Khi |y1 | > 1. Xét số thực β thỏa mãn:

1
1
y1 = (β + ) ⇔ β 2 − 2y1 β + 1 = 0.
2
β
β = y1 + y12 − 1
Từ (1) suy ra:
β = y1 − y12 − 1.
Vậy nếu đặt β = y1 + y12 − 1 thì
1
1
1
= y1 − y12 − 1.
y1 = (β + ),
2
β
β
Ta có

1
1
β+
2
2
β

2

(1)

1
1
− 1 = (β 2 + 2 ).
2
β

Do đó

y1 =

1
1
β+
2
β

yk+1

1
1
k−1
=2
β 2 + 2k−1
2
β

1 0
1
= (β 2 + 20 ),
2

β
1
1 2
1
1 1
2
y2 = 2y1 − 1 = 2
β+
− 1 = (β 2 + 21 ).
2
β
2
β
1
1
k−1
Giả sử yk =
β 2 + 2k−1 . Khi đó
2
β

Theo nguyên lý quy nạp ta có
1
1
n−1
β 2 + 2n−1
yn =
2
β

2

k

− 1 = β2 +

1
β 2k

.

, ∀n = 1, 2, . . .

Bài tốn 2.2 (xem [1]). Tìm dãy số (xn ) biết:

x1 = α, xn+1 = ax2n + b, ∀n ∈ N∗ , |ab| = 2, a, b ∈ R
Lời giải.

ab = 2
. Suy ra ta có 2 trường hợp sau:
ab = −2
a. Trường hợp 1: ab = −2.
Công thức lượng giác cos 2α = 2cos α2 − 1 gợi ý cho ta cố gắng đưa
dãy số đã cho về dãy số (yn ) thỏa mãn
Vì |ab| = 2 ⇔


15

yn+1 = 2yn 2 − 1, ∀ = 1, 2, . . .

(1)

Đặt xn = pyn . Khi đó

pyn+1 = ap2 yn 2 + b.
Suy ra

b
yn+1 = apyn 2 + .
p

(2)

Từ (1) và (2), suy ra ta cần tìm p sao cho

2
 ap = 2
p
=
b
⇒
a (thỏa mãn ab = −2).
 = −1
p = −b
p

Vậy ta sẽ đặt
2
xn = yn ⇔ xn = −byn (do ab = −2) thì bài tốn 2.2a đưa về bài toán

a
2.1 và ta sử dụng bài toán 2.1 để giải bài toán 2.2a.
b. Trường hợp 2: ab = 2
α
Đặt xn = byn . Khi đó y1 = và
b
byn+1 = ab2 yn2 + b ⇒ yn+1 = abyn2 + 1 ⇒ yn+1 = 2yn2 + 1(do ab = 2). Xét
số thực β sao cho

y1 =

1
1
β−
2
β

⇔ β 2 − 2y1 β − 1 = 0 ⇔

Vậy nếu đặt β = y1 +

y1 =
Ta có

β = y1 +
β = y1 −

y12 + 1
y12 + 1.

y12 + 1 thì

1
1
β−
2
β

1
1
2
β−
2
β

,

1
= − y1 −
β
2

+1=

y12 + 1 .

1
1
β2 − 2
2

β

.

Bởi vậy

y1 =
y2 =

2y12

1
1
β−
2
β

=

1
1
β−
+1=2
2
β

1
1
0
β 2 − 20

2
β
2

+1=

,

1
1
1
β 2 − 21
2
β

.


16

Giả sử yn =

yn+1 =

1
1
n−1
β 2 − 2n−1
2
β

2yn2

. Khi đó

1
1
n−1
β 2 − 2n−1
+1=2
2
β

2

+1=

1
1
n
β 2 − 2n
2
β

.

Theo nguyên lý quy nạp toán học suy ra

yn =
Bởi vậy

α
b
+
xn = 
2
b

1
1
n−1
β 2 − 2n−1
2
β

α2
+1
b2

2n−1

−

α
−
b

, ∀n = 1, 2, . . .
α2
+1
b2

2n−1

Bài toán 2.3 (xem [1]). Tìm dãy số (yn ) biết:



 , ∀n = 1, 2, . . .

y1 ∈ R, yn+1 = 4yn 3 − 3yn , a > 0.
Lời giải.
• Nếu |y1 | ≤ 1 thì tồn tại α sao cho cos α = y1 . Khi đó
y2 = 4cos3 α − 3 cos α = cos 3α,
y3 = 4cos3 3α − 3 cos 3α = cos 32 α,
...
yn = cos 3n−1 α.
• Khi |y1 | > 1. Xét số thực β sao cho
1
1
β = y1 + y12 − 1
y1 = (β + ) ⇔ β 2 − 2y1 β + 1 = 0 ⇔
β = y1 − y12 − 1.
2
β
Vậy nếu đặt β = y1 + y12 − 1 thì
1 1
1
y1 = (β + ), = y1 − y12 − 1.
2
β β

Ta có

1
1
β+
2
β

1
1
0
β 3 + 30 ,
2
β
1
1 3
1
1
3
y2 = 4y1 − 3y1 = 4
β+
β+
−3
2
β
2
β

y1 =

Giả sử yn =

yn+1

=

1
1
n−1
β 3 + 3n−1
2
β

1
1
n−1
β 3 + 3n−1
=4
2
β

=

1
1
1
β 3 + 31
2
β

.

. Khi đó
3

−3

1
1
n−1
β 3 + 3n−1
2
β

=

1
1
n
β 3 + 3n
2
β

.


17

Theo nguyên lý quy nạp suy ra

yn =

1
1
n−1
β 3 + 3n−1
2
β

, ∀n = 1, 2, . . .

Bài toán 2.4. Tìm dãy số (xn ) biết:

x1 = α ∈ R, xn+1 = axn 3 − 3xn , a > 0.
Lời giải.
Từ hệ thức truy hồi của dãy (xn ) khiến ta liên tưởng đến công thức
lượng giác
cos 3x = 4 cos3 x − 3 cos x.
Ta cố gắng vận dụng công thức này. Giả sử xn = byn + c, khi đó

byn+1 + c = a(byn + c)3 − 3(byn + c)
⇔ byn+1 + c = a(b3 yn 3 + 3b2 cyn 2 + 3bc2 yn + c3 ) − 3(byn + c)
⇔ yn+1 = ab2 yn 3 + 3abcyn 2 + 3(ac2 − 1)yn + b−1 (ac3 − 4c).

Vậy ta cho



ab2 = 4,




 c = 0,
3abc = 0,
2
⇒
2
√
b
=
.
3
ac
−
1
=
−3,



 −1
a
ac3 − 4c = 0.
b
2
Do đó ta đặt xn = √ yn . Tuy nhiên có thể tìm ra cơng thức biến đổi
a
nhanh bằng cách đặt xn = byn , sau đó tìm b.
Bài tốn 2.5 (xem [1]). Tìm dãy số (xn ) biết: x1 = α, xn+1 = axn 3 +
3xn , a > 0

Lời giải.
√
α a
2
và
Đặt xn = √ yn . Khi đó y1 =
a
2

2
2
√ yn+1 = a. √ yn
a
a

3

2
+ 3 √ yn
a

⇔ yn+1 = 4yn3 + 3yn (∀n ∈ N∗ ) .

Xét số thực α sao cho

1
1
β−
y1 =
2

β

2

⇔ β − 2y1 β − 1 = 0 ⇔

β = y1 +
β = y1 −

y12 + 1
y12 + 1.


18

Vậy nếu đặt β = y1 +
Ta có

1
1
β−
4
2
β

y12 + 1 thì y1 =
3

+3

1
1
β−
2
β

1
1
β−
2
β

=

,

1
= − y1 −
β

1
1
β3 − 3
2
β

y12 + 1 .

.

Do đó

1
1
β−
2
β

1
1
0
β 3 − 30 ,
2
β
1
1 3
1
1
3
y2 = 4y1 + 3y1 = 4
β−
β−
+3
2
β
2
β

y1 =

Giả sử yn =

yn+1

=

1
1
n−1
β 3 − 3n−1
2
β

1
1
n−1
β 3 − 3n−1
=4
2
β

=

1
1
1
β 3 − 31
2
β

.

. Khi đó
3

+3

1
1
n−1
β 3 + 3n−1
2
β

=

1
1
n
β 3 − 3n
2
β

.

1
1
n−1
Theo nguyên lý quy nạp suy ra yn =
β 3 − 3n−1 , ∀n = 1, 2, . . .

2
β


3n−1
3n−1
√
√
α a
α2 a
α2 a
α a
1
.
Vậy xn = √ 
+
+
+1
−
+1
a
2
4
2
4
Bài tốn 2.6 (xem [1]). Tìm dãy số (xn ) sao cho

x1 = α, xn+1 = axn 3 + bxn 2 + cxn + d,

(1)

b3 + 18ab
b2 + 9a
,d =
.
trong đó ∀n ∈ N , a > 0, c =
3a
27a2
Lời giải.
b
Gọi yn = xn + , thay vào (1) ta được yn+1 = ayn3 + 3yn . Như vậy bài
3a
toán 2.6 đưa về bài toán 2.5 và ta sử dụng bài tốn 2.5 để giải bài tốn
2.6.
∗

Bài tốn 2.7. Tìm số hạng tổng quát của hai dãy số dương (xn ), (yn ) xác
√
xn+1 yn+1 − xn = 0,
định bởi x1 = 1, y1 = 3 và
x2n+1 + yn = 2
với mọi n = 1, 2, . . . .
Lời giải.


19

Dùng phương pháp quy nạp ta chứng minh được rằng với mọi n nguyên
dương, công thức xác định hai dãy số đã cho là
π

,
(1)
xn = 2 sin
3.2n
π
.
(2)
yn = 2 cos
3.2n
Thật vậy, với n = 1 mệnh đề (1) đúng.
Giả sử mệnh đề (1) đúng với n = k ≥ 1. Ta đi chứng minh mệnh đề
(1) đúng với n = k + 1.
√
π
π
π
2
4sin
Ta có: xk+1 = 2 − yk = 2 − 2 cos
=
=
2
sin
.
3.2k
3.2k+1
3.2k+1
Vậy (1) đúng với n = k + 1 nên (1) theo nguyên lý quy nạp toán học,
ta có (1) đúng với mọi n nguyên dương. Do đó số hạng tổng quát của dãy
(xn ) là

π
.
xn = 1 = 2 sin
3.2n
π
2
sin
xn
3.2n = 2 cos π . nên số hạng tổng quát
Suy ra yn+1 =
=
π
xn+1
3.2n+1
2 sin
3.2n+1
của dãy (yn ) là
π
.
yn = 2 cos
3.2n

2.1.2 Xác định dãy số sử dụng đa thức lượng giác
Bài tốn 2.8 (xem [1]). Tìm số hạng tổng quát của dãy số (xn ) cho bởi
√
x1 = 2 + 3 và xn+1 = x4n − 4x2n + 2, ∀n = 1, 2, . . .
Lời giải.
Đặt xn = 2yn . Khi đó

2yn+1 = 16yn4 − 16yn2 + 2, ∀n = 1, 2, . . .

⇔ yn+1 = 8yn4 − 8yn2 + 1, ∀n = 1, 2, . . .

Ta có

y1 =

2+
2

√

3

1+
=

√

2

3
2 =

1 + cos
2

π
6 = cos π .
12

20

Do công thức lượng giác cos 4α = 8 cos4 α − 8 cos2 α + 1 nên
π
π
π
y2 = 8cos4 − 8cos2 + 1 = cos 4.
.
12
12
12
π
π
π
− 8cos2 4.
+ 1 = cos 42 .
.
y3 = 8cos4 4.
12
12
12
π
. Khi đó
Giả sử yn = cos 4n−1 .
12
π
π
π
− 8cos2 4n−1 .

+ 1 = cos 4n .
.
yn+1 = 8cos4 4n−1 .
12
12
12
π
, ∀n = 1, 2, . . .
Vậy theo nguyên lí quy nạp suy ra yn = cos 4n−1 .
12
Do đó
π
xn = 2 cos 4n−1 .
, ∀n = 1, 2, . . .
12

√
3 2
Bài tốn 2.9. Tìm số hạng tổng qt của dãy số (xn ) cho bởi x1 =
2
√
√ 2
√ 4
2
và xn+1 = 16 2xn − 8 2xn +
, ∀n = 1, 2, . . .
2
Lời giải.
yn
Đặt xn = √ . Khi đó y1 = 3 và

2
√
√ yn4
√ yn2
2
yn+1
√ = 16 2 − 8 2 +
, ∀n = 1, 2, . . .
4
2
2
2
⇔ yn+1 = 8yn4 − 8yn2 + 1, ∀n = 1, 2, . . .
Xét số thực a sao cho

1
1
3=
a+
2
a

⇔ a2 − 6a + 1 = 0 ⇔

√
a = 3 + 2√ 2
a = 3 − 2 2.

√
√

1
1
1
a+
,
= 3 − 2 2. Ta có
Nếu đặt a = 3 + 2 2 thì 3 =
2
a
a
1
1
8
a+
2
a
1
1
a+
8
2
a

4

4
1
1 4
a + 4a2 + 6 + 2 + 4
2

a
a
1
= 2 a2 + 2 + 2 .
a
=

2

.

Do đó

1
1
8
a+
2
a

4

1
1
a+
−8
2
a

2

+1=

1
1 4
a + 4
2
a

.


21

Bởi vậy

1
1 40
1
1
a+
=
a + 40 .
2
a
2
a
4
1
1

1
1
y2 = 8
a+
a+
−8
2
a
2
a
y1 =

Giả sử yn =

yn+1

2

+1=

1
1 41
a + 41
2
a

.

1
1 4n−1

a
+ 4n−1 . Khi đó
2
a

1 4n−1
1
=8
+ 4n−1
a
2
a

4

1 4n−1
1
−8
+ 4n−1
a
2
a

2

+1 =

1 4n
1
a + 4n

2
a

1 4n−1
1
a
+ 4n−1 , ∀n ∈ N∗ . Do đó
2
a
√ 4n−1
√ 4n−1
3+2 2
, ∀n = 1, 2, . . .
+ 3−2 2

Theo nguyên lí quy nạp, suy ra yn =

1
xn = √
2 2

Bài tốn 2.10 (Đề thi HSG TP. Hồ Chí Minh năm học 2011 - 2012). Tìm
số hạng tổng quát của dãy số (xn ) cho bởi

4
u4n
u1 = và un+1 = 4
, ∀n ∈ N∗ .
5
un − u2n + 8

Lời giải.
1
5
Đặt
= vn . Khi đó v1 = . Từ giả thiết suy ra
un
4

u4n − u2n + 8
1
8
=
=
1
−
+
un+1
u4n
u2n u4n
⇒ vn+1 = 8vn4 − 8vn2 + 1, ∀n = 1, 2, . . .
1

Xét số thực a sao cho

1
5 1
=
a+
4 2
a

⇔ 2a2 − 5a + 2 = 0 ⇔

a=2
1
a=
2

1 1
Vậy nếu đặt a = 2 thì = . Tương tự như lời giải bài toán 2.9, ta chứng
a 2
minh được
1 4n−1
1
1
1 4n−1
a
+ 4n−1 =
2
+ 4n−1 , ∀n ∈ N∗ .
vn =
2
2
a
2
2
Do đó un =
, ∀n = 1, 2, . . .
1
n−1

4
2
+ 4n−1
2

.