Luận văn thạc sĩ nghiên cứu tìm hiểu hệ mã hóa đồng cấu và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THƠNG

TRƯƠNG HÀ DIỆP

NGHIÊN CỨU TÌM HIỂU
HỆ MÃ HĨA ĐỒNG CẤU VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

THÁI NGUYÊN - 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THƠNG

TRƯƠNG HÀ DIỆP

NGHIÊN CỨU TÌM HIỂU
HỆ MÃ HĨA ĐỒNG CẤU VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Khoa học máy tính
Mã số: 60 48 01 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

Người hướng dẫn khoa học: TS HỒ VĂN CANH

THÁI NGUYÊN - 2016


i

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn “Nghiên cứu tìm hiểu hệ mã hóa đồng cấu và
ứng dụng” là cơng trình nghiên cứu của cá nhân tơi tìm hiểu, nghiên cứu dưới sự
hướng dẫn của TS Hồ Văn Canh. Các kết quả là hoàn toàn trung thực, toàn bộ nội
dung nghiên cứu của luận văn, các vấn đề được trình bày đều là những tìm hiểu và
nghiên cứu của chính cá nhân tơi hoặc là được trích dẫn từ các nguồn tài liệu được
trích dẫn và chú thích đầy đủ.
TÁC GIẢ LUẬN VĂN

Trương Hà Diệp


ii

LỜI CẢM ƠN
Học viên xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới tập thể các thầy cô giáo Viện
công nghệ thông tin, các thầy cô giáo Trường Đại học Công nghệ thông tin và
truyền thông - Đại học Thái Nguyên đã mang lại cho học viên kiến thức vô cùng
q giá và bổ ích trong suốt q trình học tập chương trình cao học tại trường. Đặc
biệt học viên xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Hồ Văn Canh đã định
hướng khoa học và đưa ra những góp ý, gợi ý, chỉnh sửa quý báu, quan tâm, tạo
điều kiện thuận lợi trong quá trình nghiên cứu hoàn thành luận văn này.
Cuối cùng, học viên xin chân thành cảm ơn các bạn bè đồng nghiệp, gia đình
và người thân đã quan tâm, giúp đỡ và chia sẻ với học viên trong suốt quá trình học
tập.
Do thời gian và kiến thức có hạn nên luận văn chắc khơng tránh khỏi những
thiếu sót nhất định. Học viên rất mong nhận được những sự góp ý quý báu của thầy
cô và các bạn.
Thái Nguyên, ngày 28 tháng 12 năm 2016

HỌC VIÊN

Trương Hà Diệp


iii

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN..................................................................................... i
LỜI CẢM ƠN......................................................................................... ii
MỤC LỤC............................................................................................. iii
MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ.............................................................vi
MỞ ĐẦU................................................................................................. 1
CHƯƠNG 1............................................................................................. 3
MẬT MÃ CỔ ĐIỂN VÀ HỆ MẬT MÃ ĐỒNG CẤU............................ 3
1.1 Khái quát hệ mật mã.......................................................................... 3
1.1.1 Khái niệm....................................................................................... 3
1.1.2 Định nghĩa...................................................................................... 3
1.1.3 Những yêu cầu đối với hệ mật mã.................................................. 4
1.2 Một số hệ mật mã đơn giản............................................................... 5
1.2.1 Mã dịch vòng ( shift cipher)........................................................... 5
1.2.1.1 Định nghĩa (modulo): Định nghĩa về đồng dư............................. 5
1.2.1.2 Định nghĩa mã dịch vòng:............................................................ 6
1.2.2 Mã thay thế (MTT)......................................................................... 7
1.2.3 Mã Anffine...................................................................................... 8
1.2.3.1 Định lý (đồng dư thức)................................................................ 9
1.2.3.2 Định nghĩa (hàm Euler)............................................................... 9
1.2.3.3 Định nghĩa (phần tử nghich đảo trong phép nhân).....................10
1.2.4 Mã Vigenere................................................................................. 13

1.2.5 Mật mã Hill.................................................................................. 14
1.2.5.1 Khái niệm.................................................................................. 14


iv

1.2.5.2 Định nghĩa (ma trận đơn vị)......................................................14
1.2.5.3 Định nghĩa (Định thức của ma trận)..........................................15
1.2.5.4 Định lý (ma trận ngịch đảo).......................................................15
1.2.5.5 Định nghĩa mật mã Hill.............................................................15
1.2.6 Mã hóa hốn vị............................................................................. 15
1.2.7 Thám mã....................................................................................... 17
1.3 Các phương pháp mã hóa đối xứng.................................................17
1.3.1 Hệ mã hóa DES............................................................................17
1.3.2 Hệ mã hóa AES............................................................................19
1.3.3 Hệ mã hóa IDEA..........................................................................19
1.4 Hệ mã hóa đồng cấu........................................................................21
1.4.1 Định nghĩa.................................................................................... 21
1.4.1.1 Định nghĩa đồng cấu trong toán học..........................................21
1.4.1.2 Định nghĩa hệ mã hoá đồng cấu.................................................21
1.4.2 Hệ mã hoá đồng cấu cộng.............................................................21
1.4.3 Hệ mã hoá đồng cấu nhân.............................................................22
CHƯƠNG 2. HỆ MẬT MÃ DES VÀ HỆ MẬT MÃ IDEA.................23
2.1 Hệ mật mã DES............................................................................... 23
2.1.1 Mơ tả hệ mật................................................................................. 23
2.1.2 Q trình mã hóa..........................................................................24
2.1.2.1 Giai đoạn 1: Cách tính biến x0...................................................24
2.1.2.2 Giai đoạn 2................................................................................ 25
2.1.2.3 Giai đoạn 3................................................................................ 32
2.1.2.4 Ví dụ.......................................................................................... 32

2.1.3 Quátriǹ h giải mã........................................................................... 36
2.1.3.1 Thuật toán.................................................................................. 37


v

2.1.3.2 Chứng minh thuật toán..............................................................37
2.1.4 Ưu nhược điểm của hệ mật DES..................................................39
2.1.4.1 Ưu điểm..................................................................................... 39
2.1.4.2 Nhược điểm của DES................................................................39
2.1.5 Độ an toàn của DES.....................................................................41
2.1.5.1 Các đặc trưng an toàn cơ bản của một hệ mã khối....................41
2.1.5.2 Độ an toàn của DES trước một vài phương pháp tấn công phá mã42
2.2 Hệ mật IDEA................................................................................... 43
2.2.1 Mô tả hệ mật IDEA....................................................................... 43
2.2.2 Các phép toán sử dụng trong IDEA..............................................43
2.2.3 Mã hoá và giải mã trong IDEA.....................................................45
2.2.3.1 Mã hố....................................................................................... 45
2.2.4 Q trình làm việc của một Modul...............................................51
CHƯƠNG 3 NGHIÊN CỨU PHƯƠNG PHÁP MÃ HĨA TỰ ĐỒNG
CẤU MỞ RỘNG KHƠNG GIAN KHĨA CHO CÁC MÃ CỔ ĐIỂN . 55
3.1 Mở đầu............................................................................................ 55
3.2 Nội dung phương pháp............................................................................... 55

3.2.1 Khái niệm, định nghĩa..................................................................55
3.2.2 Thuật toán mã hóa........................................................................55
3.2.3. Ví dụ............................................................................................ 55
3.2.4 Thuật tốn giải mã........................................................................59
3.3 Đánh giá độ an tồn của thuật tốn..................................................61
3.4 Đề xuất hướng ứng dụng trong thực tế............................................62

4. KẾT LUẬN HƯỚNG NGHIÊN CỨU..............................................63
TÀI LIỆU THAM KHẢO.....................................................................64


vi

MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ

Hình 1.1. Kênh liên lạc............................................................................ 4
Hình 1.2 Mã dịch vịng............................................................................ 6
Hình 1.3 Mã thay thế............................................................................... 7
Hình 1.4. Mã hóa Anffine......................................................................12
Hình 1.5. Phương pháp mã hóa Vigenere..............................................13
Hình 1.6. Mật mã Hill...........................................................................15
Hình 1.7 Mã hốn vị.............................................................................. 16
Hình 2.1 Biểu diễn dãy 64 bit x thành 2 thành phần L và R..................23
Hình 2.2 Quy trình phát sinh dãy Li Ri từ dãy Li-1 Ri-1 và khóa Ki........24
Hiǹ h 2.3 Sơ đồcủa hàm mởrơngg............................................................25
Hình 2.4 Sơ đồ tạo khóa con.................................................................26
Hình 2.5 Hàm f...................................................................................... 28
Hình 2.6 Q trình mã hóa DES............................................................32
Hình 2.7 Sơ đồ giải mã.......................................................................... 38
Hình 2.8 Cấu trúc Multiplication/Additio (MA)....................................44
Hình 2.9 Cấu trúc IDEA........................................................................45
Hình 2.10 Cấu trúc một modul (Modul 1).............................................46
Hình 2.11 Hàm biến đổi của IDEA........................................................47
Hình 2.12 Mã hố và giải mã trong IDEA.............................................49
Hình 2.13 Cấu trúc một modul (Modul 1).............................................51
Hình 3.1: Mã hóa thơng điệp.................................................................59
Hình 3.2: Giải mã thông điệp................................................................61

vii

DANH MỤC BẢNG BIỂU

Bảng 2.2 Bảng chọn E bít......................................................................26
Bảng 2.3 Hoán vi IPg-1............................................................................ 27
Bảng 2.5 Hoán vi PCg - 2........................................................................ 27
Bảng 2.7 8 hơpg S-Box...........................................................................31
Bảng 2.8 Phép hốn vị P........................................................................31
Bảng2.9 16 vịng lặp mã........................................................................36
Bảng 2.10 Các khóa yếu của DES.........................................................40
Bảng 2.11 Các khóa nửa yếu của DES..................................................40


1

MỞ ĐẦU
1.

Đặt vấn đề
Để đảm bảo các thông tin quan trọng liên quan đến Quốc phòng, An ninh và

Thương mại, người ta sử dụng cơng nghệ mật mã. Có hai loại hệ mật mã được dùng
là mật mã khóa đối xứng và mật mã khóa bất đối xứng (Asymmetric key). Hệ thống
mật mã bất đối xứng chủ yếu được sử dụng trong môi trường chữ ký số (digital
signatures), trong xác thực và trong việc trao đổi các khóa mã đối xứng (symmetric
keys). Mật mã đối xứng đóng vai trị quan trọng trong lĩnh vực bảo mật dữ liệu. Mật
mã đối xứng có hai loại chính là mật mã hiện đại như mật mã DES (Data

Enecryption Standard), mật mã AES (Advanced Encryption Standard), mật mã
IDEA (International Data Encryption Algorithm)… và mật mã truyền thống. Mật
mã truyền thống rất đơn giản và thuận lợi mà thế giới đã sử dụng hàng thế kỷ trước.
một nhược điểm cơ bản của mật mã truyền thống là độ bảo mật khơng cao vì khơng
gian khóa thường quá nhỏ.
Mục đích của đề tài luận văn là nghiên cứu thuật tốn mã hóa trên cơ sở kết
hợp các mật mã truyền thống thành một hệ mật mã có độ bảo mật cao hơn nhiều
trên cơ sở đánh giá tính ngẫu nhiên của nó bằng kỹ thuật của lý thuyết thống kê toán
học.
2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đề tài luận văn sẽ nghiên cứu và trình bày phương pháp tạo ra một thuật tốn
mã hóa từ các thuật tốn mật mã truyền thống nhưng có độ bảo mật cao hơn.
3. Hướng nghiên cứu của đề tài
Đề tài luận văn tập trung tìm hiểu hệ mật mã đồng cấu, trên cơ sở đó xây
dựng một hệ mật mã đồng cấu sử dụng các hệ mật mã truyền thống, đưa ra một
phương pháp khắc phục được những lỗ hổng về độ an toàn của các hệ mật mã này.
4.

Những nội dung

nghiên cứu chính Luận văn
gồm 3 chương.
Chương 1: Mật mã cổ điển và hệ mật mã đồng cấu
Chương 2: Hệ mật mã DES và hệ mật IDEA
Chương 3: Phương pháp mã hóa tự đồng cấu mở rộng khơng gian khóa cho các mã
cổ điển


2

5.

Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp tổng hợp, so sánh để tìm ra vấn đề cịn tồn tại để
nghiên cứu
-

6.

Phương pháp lập trình để thử nghiệm thuật tốn mới.

Ý nghĩa khoa học của đề tài
Luận văn nghiên cứu phương pháp trao đổi khóa mã đối xứng nói chung

khơng sử dụng mật mã khóa cơng khai [8]. Thuật tốn đơn giản đễ sử dụng và có độ
an tồn cao.


3

CHƯƠNG 1
MẬT MÃ CỔ ĐIỂN VÀ HỆ MẬT MÃ ĐỒNG CẤU
1.1 Khái quát hệ mật mã
1.1.1 Khái niệm
Chức năng cơ bản của mật mã là tạo ra khả năng liên lạc trên một kênh
không mật cho hai người sử dụng (tạm gọi là A và B) sao cho đối phương (C) không
thể hiểu được thông tin được truyền đi.
- Kênh liên lạc có thể là một đường dây điện thoại hoặc một mạng máy tính.
-

Thơng tin mà A muốn gửi cho B bản rõ có thể là một văn bản tiếng Anh, các

dữ liệu bằng số hoặc bất cứ tài liệu nào có cấu trúc tuỳ ý.
-

A sẽ mã hố bản rõ bằng một khóa đã được xác định trước và gửi bản mã kết

quả trên kênh. C có bản mã thu trộm được trên kênh song không thể xác định nội
dung của bản rõ, nhưng B (người đã biết khố mã) có thể giải mã và thu được bản
rõ.
1.1.2 Định nghĩa
Một hệ mật là một bộ 5 (P,C, K, E, D) thoả mãn các điều kiện sau:
1. P là một tập hữu hạn các bản rõ có thể.
2. C là một tập hữu hạn các bản mã có thể.
3. K (khơng gian khố) là tập hữu hạn các khố có thể.
4.

Đối với mỗi k  K có một quy tắc mã ek: P  C và một quy tắc v

giải
mã tương ứng dk D. Mỗi ek: P  C và dk: C  P là những hàm sao
cho: dk(ek (x)) = x với mọi bản rõ x  P.
Trong đó, chúng ta cần lưu ý tính chất 4: Nội dung của nó là nếu một bản rõ x
được mã hố bằng ek và bản mã nhận được sau đó được giải mã bằng dk thì ta phải
thu được bản rõ ban đầu x.
Giả sử A gửi cho B một thơng báo trên một kênh mật, ta có bản rõ cần truyền
đi là: x = x1, x2,. . ., xn. Với số nguyên n  1 nào đó. Ở đây mỗi ký hiệu của mỗi

bản rõ xi P, 1  i  n. Mỗi xi sẽ được mã hoá bằng quy tắc mã e k với khoá K
xác định trước đó. A tính yi = ek(xi), 1  i  n và bản mã thu được là:

4

y = y1, y2,. . .,yn
Khi B nhận đươc y1, y2, . . ., yn anh ta sẽ giải mã bằng hàm giải mã dk và thu

được bản rõ gốc x1, x2, . . ., xn.

x
A

Bộ mã hố

k
k

k

Kênh an tồn

k
Nguồn khố

Hình 1.1. Kênh liên lạc
Rõ ràng là trong trường hợp này hàm mã hoá phải là hàm đơn ánh (tức là ánh xạ

1-1), nếu không việc giải mã sẽ không thực hiện được một cách tường minh.

Ví dụ: y = ek(x1) = ek(x2), trong đó x1 

x2, thì B sẽ khơng có cách nào để biết

liệu bản rõ là x1 hay x2 .
1.1.3 Những yêu cầu đối với hệ mật mã
Cung cấp một mức cao về tính bảo mật, tính tồn vẹn, tính chống chối bỏ và
tính xác thực:


Tính bảo mật: Bảo đảm bí mật cho các thơng báo và dữ liệu bằng việc che

dấu thông tin nhờ các kỹ thuật mã hóa.


Tính tồn vẹn (integrity): Bảo đảm với các bên rằng bản tin không bị thay

đổi trên đường truyền tin.


Tính khơng thể chối bỏ (Non-repudiation): Có thể xác nhận rằng tài liệu đã

đến từ ai đó, ngay cả khi họ cố gắng từ chối nó.

o

Tính xác thực (Authentication): Cung cấp hai dịch vụ:
Nhận dạng nguồn gốc của một thông báo và cung cấp một vài bảo

đảm rằng nó là đúng sự thực.

5

Kiểm tra định danh của người đang đăng nhập một hệ thống, tiếp tục

o

kiểm tra đặc điểm của họ trong trường hợp ai đó cố gắng kết nối và giả danh là
người sử dụng hợp pháp.
1.2 Một số hệ mật mã đơn giản
1.2.1 Mã dịch vòng ( shift cipher)
1.2.1.1 Định nghĩa (modulo): Định nghĩa về đồng dư
Giả sử a và b là các số nguyên và m là một số nguyên dương. Khi đó ta viết a
b (mod m) nếu a-b chia hết cho m. Mệnh đề a  b (mod m) được gọi là " a đồng dư
với b theo modulo m". Số nguyên m được gọi là mudulus.
Bây giờ ta có thể định nghĩa số học modulo m: Z m được coi là tập hợp
{0,1,. . .,m-1} có trang bị hai phép toán cộng và nhân. Việc cộng và nhân trong Z m
được thực hiện giống như cộng và nhân các số thực ngoài trừ một điểm là các kết
quả được rút gọn theo modulo m.
Ví dụ tính 11x 13 trong Z16 . Tương tự như với các số nguyên ta có 11 x 13 =
143. Để rút gọn 143 theo modulo 16, ta thực hiện phép chia bình thường: 143 = 8 x
16 + 15, bởi vậy 143 mod 16 = 15 trong Z16.
Các định nghĩa trên phép cộng và phép nhân Z m thỏa mãn hầu hết các quy tắc
quen thuộc trong số học. Sau đây ta sẽ liệt kê mà khơng chứng minh các tính chất
này:
1.

Phép cộng là đóng, tức với bất kì a, b  Zm, a +b  Zm

2.

Phép cộng là giao hoán, tức là với a, b bất kì  Zm, a + b = b+ a

3.
Phép cộng là kết hợp, tức là với bất kì a, b, c  Zm, (a+b)+c = a+
(b+c)
4.
0 là phần tử đơn vị của phép cộng, có nghĩa là  a bất kì Zm, a+0 =
0+a = a
5.

Phép nhân là đóng, tức là với a, b bất kì  Zm, ab  Zm.

6.

Phép nhân là giao hốn, nghĩa là với a, b bất kì  Zm, ab = ba

7.

Phép nhân là kết hợp, nghĩa là với a, b, c  Zm, (ab)c = a(cb)

8.

1 là phần tử đơn vị của phép nhân, tức là với bất kỳ a  Zm

9.

Phần tử nghịch đảo của phép cộng của phần tử bất kì (a  Zm) là m-

a, nghĩa là a + (m-a) = (m-a) + a = 0 với bất kì a Zm.

10.
b, c

Phép nhân có tính chất phân phối đối với phép cộng, tức là đối với a,


6


Zm, (a+b)c = (ac)+(bc) và a(b+c) = (ab) + (ac)

Vì phần tử ngược của phép cộng tồn tại trong Z m nên cũng có thể trừ các phần
tử trong Zm. Ta định nghĩa a-b trong Zm là a+m-b mod m. Một cách tương tự có thể
tính số ngun a-b rồi rút gọn theo modulo m.
Ví dụ: Để tính 11-18 trong Z31, ta tính 11+13 mod 31 = 24. Ngược lại, có thể
lấy 11-18 được -7 rồi sau đó tính -7 mod 31 = 24.
1.2.1.2 Định nghĩa mã dịch vòng:
Mã dịch vịng được xác định trên Z 26 (do có 26 chữ cái trên bảng chữ cái tiếng
Anh) mặc dù có thể xác định nó trên Zm với modulus m tuỳ ý. Dễ dàng thấy rằng,
mã dịch vọng (MDV) sẽ tạo nên một hệ mật như đã xác định ở trên, tức là d K
(eK(x)) = x với mọi xZ26.
Cho P = C = K = Zn
Với mỗi khóa k  K, định nghĩa:
ek (x)= (x + k) mod n và
dk (y)= (y - k) mod n với x, y  Zn
E={ ek , k  K} và D={ dk, k  K}
Hình 1.2 Mã dịch vịng
Ta sẽ sử dụng MDV (với modulo 26) để mã hoá một văn bản tiếng Anh thông

thường bằng cách thiết lập sự tương ứng giữa các kí tự và các thặng dư theo modulo
26 như sau: A  0, B  1, . . ., Z  25. Vì phép tương ứng này cịn dùng trong một
vài ví dụ nên ta sẽ ghi lại để còn tiện dùng sau này:

A B

C D E

F

G H I

J

K L M

0

1

N

O

13

14

Ví dụ: Dùng khố k = 9 để mã hố dịng thư: “toinaydichoi” dịng thư đó tương ứng

với dịng số
T

o

19

14


7

Qua phép mã hoá e9: cộng 9 vào mỗi giá trị rồi rút gọn theo tổng modulo 26 ta có:

2

23

c

x
Bản mã sẽ là: “qnwcxrcqdkjh”
Để giải được bản mã này, trước tiên người nhận biến đổi bản mã này thành

dãy các số nguyên rồi trừ đi 9 (rút gọn theo modulo 26) và cuối cùng biến đổi lại
dãy này thành các ký tự.
Cách đây 2000 năm mã dịch chuyển đã được Julius Ceasar sử dụng Với khố k
=

3 mã dịch vịng được gọi là mã Ceasar.

Tập khoá phụ thuộc vào Zm với m là số khố có thể. Trong tiếng anh tập khóa

chỉ có 26 khóa có thể, việc thám mã có thể được thực hiện bằng cách duyệt tuần tự
26 khóa đó, vì vậy độ an tồn của mã dịch chuyển rất thấp.
1.2.2 Mã thay thế (MTT)
Trên thực tế mã thay thế có thể lấy cả P và C đều là bộ chữ cái tiếng anh, gồm 26

chữ cái. Ta dùng Z26 trong MDV vì các phép mã và giải mã đều là các phép toán đại số.
Tuy nhiên, trong MTT, thích hợp hơn là xem phép mã và giải mã như các hốn vị của
các kí tự.

Cho P = C = Zn. K là tập hợp tất cả các hoán vị của n phần tử 0, 1, ..., n-1. Như
vậy, mỗi khóa  K là một hốn vị của n phần tử 0, 1, ..., n-1.
Với mỗi khóa  K, định nghĩa :
e (x)= (x) và
-1

d(y)= (y) với x,y  Zn
E={e,  K} và D={D, K}
Hình 1.3 Mã thay thế

Sau đây là một ví dụ về phép hốn vị ngẫu nhiên  tạo nên một hàm mã hoá (cũng
như trước, các kí hiệu của bản rõ được viết bằng chữ thường cịn các kí hiệu của
bản mã là chữ in hoa).
a

X
n
S

b
N
o
F


8

Như vậy, e  (a) = X, e  (b) = N,. . . . Hàm giải mã là phép hoán vị ngược.
Điều này được thực hiện bằng cách viết hàng thứ hai lên trước rồi sắp xếp theo thứ
tự chữ cái. Ta nhận được:
A

B

d

l

N

O

b

g
Mỗi khoá của MTT là một phép hốn vị của 26 kí tự. Số các hốn vị này là 26!,

lớn hơn 4 x10

26

là một số rất lớn. Bởi vậy, phép tìm khố vét cạn khơng thể thực hiện

được, thậm chí bằng máy tính. Tuy nhiên, sau này sẽ thấy rằng MTT có thể dễ dàng bị
thám bằng các phương pháp khác.

Ví dụ: bản rõ: “toinaydichoi” sẽ được mã hoá thành bản mã (với khoá π):
“mfzsxdazygfz”
Dễ xác định được π-1, và do đó từ bản mã ta tìm được bản rõ.
Mã thay thế có tập hợp khố khá lớn bằng số các hoán vị trên bảng chữ cái,
tức số các hoán vị trên Z26, hay là 26! > 4 x 1026. Việc duyệt tồn bộ các hốn vị để
thám mã là rất khó, ngay cả đối với máy tính. Tuy nhiên, bằng phương pháp thống
kê, ta có thể dễ dàng thám được các bản mã loại này, và do đó mã thay thế cũng
khơng dễ dàng thám được các bản mã loại này, và do đó mã thay thế cũng khơng thể
được xem là an tồn.
1.2.3 Mã Anffine
MDV là một trường hợp đặc biệt của MTT chỉ gồm 26 trong số 26! các hốn
vị có thể của 26 phần tử. Một trường hợp đặc biệt khác của MTT là mã Affine được
mô tả dưới đây. Trong mã Affine, ta giới hạn chỉ xét các hàm mã có dạng:
e(x) = ax + b mod 26,
a, b  Z26. Các hàm này được gọi là các hàm Affine (chú ý rằng khi a = 1, ta có MDV).

Để việc giải mã có thể thực hiện được, yêu cầu cần thiết là hàm Affine phải là

đơn ánh. Nói cách khác, với bất kỳ y Z26, ta muốn có đồng nhất thức sau:
ax + b  y (mod 26)
phải có nghiệm x duy nhất. Đồng dư thức này tương đương với:

9

ax  y-b (mod 26)
Vì y thay đổi trên Z26 nên y-b cũng thay đổi trên Z 26. Bởi vậy, ta chỉ cần
nghiên cứu phương trình đồng dư:
ax  y (mod 26)

(y  Z26 ).

1.2.3.1 Định lý (đồng dư thức)
Đồng dư thức ax  b mod m chỉ có một nghiệm duy nhất x Zm với mọi b Zm khi

và chỉ khi UCLN(a,m) = 1.
Vì 26 = 2 x 13 nên các giá trị a Z26 thoả mãn UCLN(a, 26) = 1 là a = 1, 3, 5, 7, 9,
11, 13, 15, 17, 19, 21, 23 và 25. Tham số b có thể là một phần tử bất kỳ trong Z26. Như vậy,
mã Affine có 13 x 25 = 325 (vì k = 0 bị loại) khố có thể (dĩ nhiên con số này quá

nhỏ để bảo đảm an toàn).
Bây giờ ta sẽ xét bài toán chung với modulo m. Ta cần một định nghĩa khác
trong lý thuyết số.
1.2.3.2 Định nghĩa (hàm Euler)
Giả sử a  1 và m  2 là các số nguyên. UCLN(a,m) = 1 thì ta nói rằng a và m là
nguyên tố cùng nhau. Số các số nguyên trong Z m nguyên tố cùng nhau với m thường
được ký hiệu là  (m) ( hàm này được gọi là hàm Euler).
Một kết quả quan trọng trong lý thuyết số cho ta giá trị của  (m) theo các thừa số trong
phép phân tích theo luỹ thừa các số nguyên tố của m. (Một số nguyên p  1 là số ngun tố

nếu nó khơng có ước dương nào khác ngoài 1 và p. Mọi số ngun m >1 có thể phân
tích được thành tích của các luỹ thừa các số nguyên tố theo cách duy nhất. Ví dụ 60 =
3

2

2 x 3 x 5 và 98 = 2 x 7 ).

Ta sẽ ghi lại công thức cho (m) trong định lí sau:
n

Định lý: Giả sử m   pie

i

i1

Trong đó các số nguyên tố pi khác nhau và ei >0, 1  i n. Khi đó
 (m)  ( piei  piei1 )
i1


10

Định lý này cho thấy rằng, số khoá trong mã Affine trên Z m bằng m x  (m), trong
đó (m) được cho theo công thức trên. (Số các phép chọn của b là m và số các phép
chọn của a là  (m) với hàm mã hoá là e(x) = ax + b).
2

1

1

2

1

1

0

1

0

Ví dụ, khi m = 60, m=2×2×3×5=2 ×3 ×5 =>  (60) = (2 -2 )( 3 -3 )(5 -5 ) = 16 và

số các khoá trong mã Affine là: 16 x 60=960.
Một vài tính chất đáng lưu ý của hàm Euler( ).
(a) Nếu p là số nguyên tố thì  (p) = p-1.
(b) Nếu p, q là hai số nguyên tố khác nhau. Khi đó,


(c)

(p.q)=  (p).  (q) = (p-1)(q-1)

Giả sử m, n là hai số nguyên dương tùy ý sao cho UCLN(m, n)=1 (tức m,

n

nguyên tố cùng nhau). Khi đó, (m,n) =  (m). (n)
Ví dụ m = 15, n = 16 Khi đó  (m,n) =  (15,16) =  (15). (16) = 8.8 = 64.

(d)Nếu m = pk với p là số nguyên tố, thì  (m) =  (pk) = pk1

(p-1). Từ đó suy ra rằng  (2) =1,  (1) = 0

1.2.3.3 Định nghĩa (phần tử nghich đảo trong phép nhân)
Giả sử a  Zm. Phần tử nghịch đảo (theo phép nhân) của a là phần tử a -1Zm sao cho

aa-1  a-1a  1 (mod m).
Bằng các lý luận tương tự như trên, có thể chứng tỏ rằng a có nghịch đảo theo modulo m
khi và chỉ khi UCLN(a, m) =1, và nếu nghịch đảo này tồn tại thì nó phải là duy nhất. Ta cũng
thấy rằng, nếu b = a-1 thì a = b-1.

đó mọi phần tử khác 0 đều có nghịch đảo được gọi là

Nếu p là số ngun tố thì mọi phần tử khác khơng của Z P đều
có nghịch đảo. Một vành trong

một trường.
Bằng phương pháp thử và sai ta có thể tìm được các nghịch đảo của các phần tử nguyên
-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

tố cùng nhau với 26: 1 = 1, 3 = 9, 5 = 21, 7 = 15, 11 = 19, 17 =23, 25 = 25. (Có
-1

thể dễ dàng kiểm chứng lại điều này, ví dụ: 7 x 15 = 105  1 mod 26, bởi vậy 7 = 15).
Xét phương trình đồng dư y  ax+b (mod 26).


Phương trình này tương đương với:
ax  y - b ( mod 26).


11

Vì UCLN(a, 26) =1 nên a có nghịch đảo theo modulo 26. Nhân cả hai vế của
đồng dư thức với a-1 ta có:
a-1(ax)  a-1(y-b) (mod 26)
Áp dụng tính kết hợp của phép nhân modulo:
a-1(ax)  (a-1a)x  1x  x.
Kết quả là x  a-1(y-b) (mod 26). Đây là một công thức tường minh cho x. Như
vậy hàm giải mã là:
d(y) = a-1(y-b) mod 26
Thuật toán Euclide mở rộng :
Bổ đề : Nếu UCLN(m,n) = k thì tồn tại 2 số nguyên x, y sao cho mx + ny = k.

Thuật tốn Euclide mở rộng cho phép tìm được cả 3 số x, y, k khi điều kiện
của bồ đề được thỏa mãn.
Sau đây là nội dung của thuật toán Euclide mở rộng:

Cho m, n là hai số nguyên dương
Ta hãy tìm x, y, k sao cho mx + ny = k.
Đầu vào (input): m, n (giả sử m>n).
Đầu ra: x, y, k.
Cho (a1, a2, a3), (b1, b2, b3), (c1, c2, c3) là 3 vectơ
Bước 1: (a1, a2, a3) ←(1, 0, m), (b1, b2, b3)←(0, 1, n)

Bước 2: Nếu b3 = 0 thì thuật tốn dừng và a1, a2, a3 là đáp số của bài toán
(tức là x = a1, y = a2, k = a3).
Bước 3: Đặt q=[a3/b3]; (là phần nguyên của a 3/b3, tức q là số nguyên lớn
nhất nhưng không vượt quá a3/b3) và (c1,c2,c3)← (a1,a2,a3) - q(b1,b2,b3);
(a1,a2,a3)← ( b1,b2,b3); ( b1,b2,b3)← (c1,c2,c3) và trở về bước 2.
Thuật toán dừng sẽ cho: a1 = x, a2 = y, a3 = k
Ví dụ1: Cho m = 42, n = 4
Ta có bảng q trình tính tốn sau đây:
q

a1

10

1

2

0
1


12

Vậy x = 1, y = -10 và k = 2.
Ví dụ 2: Cho m = 95, n = 8.
Quá trình tính tốn được cho trong bảng sau:
q
11
1
7
Vậy x = -1, y =12, k =1.

a1
1
0
1

Chú ý : số trong ô a2 chính là nghịch đảo của 8 mod 95 (tức số y là nghịch đảo
của n theo module m) (Trong trường hợp k=1).
Thật vậy ta có 12 x 8 ≡ 1 mod 95 Do đó từ định nghĩa đồng dư là nghịch đảo của 8
theo module 95 (vì UCLN(8, 95) =1 nên tồn tại nghịch đảo của 8 theo mod 95).

Mã Anffine: (P, C, K, E, D), trong đó P = C = Z26,
K

= { (a,b) ∈ Z26 x Z26: gcd(a, 26) = 1} ,

V ớ i K = ( a , b ) ∈ K, ta định nghĩa:

ek (x) = ax + b mod 26
dk (y) = a

-1

(y – b) mod 26

Trong đó x, y є Z26.
Hình 1.4. Mã hóa Anffine

Ví dụ: Giả sử K = (7, 3). Như đã nêu ở trên, 7-1 mod 26 = 15. Hàm mã hoá là
eK(x) = 7x+3
Và hàm giải mã tương ứng là:
dK(x) = 15(y-3) = 15y -19
Ở
=
x

đây, tất cả các phép toán đều thực hiện trên Z 26. Ta sẽ kiểm tra liệu dK(eK(x))

với mọi xZ26 khơng? Dùng các tính tốn trên Z 26, ta có:

dK(eK(x)) = dK(7x+3)
=15(7x+3)-19
= x +45 -19
= x.
Để minh hoạ, ta hãy mã hoá bản rõ "hot". Trước tiên biến đổi các chữ h, o, t
thành các thặng dư theo modulo 26. Ta được các số tương ứng là 7, 14 và 19. Bây
giờ sẽ mã hoá:


13

7 x 7 +3 mod 26 = 52 mod 26 = 0
7 x 14 + 3 mod 26 = 101 mod 26 =23
7 x 19 +3 mod 26 = 136 mod 26 = 6
Bởi vậy 3 ký hiệu của bản mã là 0, 23 và 6 tương ứng với xâu ký tự AXG.

Việc thử tất cả các khoá để thám mã trong trường hợp này tuy khá mất thì giờ
nếu tính bằng tay nhưng khơng khó khăn gì nếu dùng máy tính.
Do vậy, mã Apphin cũng khơng phải là mã an tồn.
Chú ý: khi a = 1 ta có mã dịch vòng.
1.2.4 Mã Vigenere
Mã Vigenere: (P, C, K, E, D) Cho m là số nguyên dương. P = C = K =
m

Z26 với mỗi khoá k = (k1, k2, …, km) є K có:
eK(x1, ..., xm ) = ( x1+k1, ...., xm+ km ) mod 26
dK(y1, ..., ym ) = ( y1 - k1 , ..., ym - km )

mod 26

với mỗi x = (x1, ..., xm ) ∈ P , y = (y1, ..., ym ) ∈ C , K = (k1, ..., km)∈
K . các phép cộng phép trừ đều lấy theo modulo 26
Hình 1.5. Phương pháp mã hóa Vigenere

Ví dụ: Giả sử m = 6 và khố k là từ CIPHER - tức k = (2, 8, 15, 7, 4, 17).
Bản rõ: “toinaydichoi”
t
x

19

k

2

y

21
v

Bản mã:

“vwxuepfqrosz”

Từ bản mã đó, dùng phép giải mã dk tương ứng, ta lại thu được bản rõ. Chú ý:
Mã Vigenere với m = 1 sẽ trở thành mã Dịch chuyển.
m

Tập hợp các khoá trong mã Vigenere mới m ≥ 1 có tất cả là 26 khố có thể có.
Với m = 6, số khố đó là 308.915.776, duyệt tồn bộ chừng ấy khóa để thám

mã bằng tính thì khó, nhưng với máy tính thì vẫn là điều dễ dàng.


14

1.2.5 Mật mã Hill
1.2.5.1 Khái niệm
m

Giả sử m là một số nguyên dương, đặt P = C = (Z26) . Ý tưởng ở đây là lấy

m tổ hợp tuyến tính của m ký tự trong một phần tử của bản rõ để tạo ra m ký tự ở
một phần tử của bản mã.
Ví dụ nếu m = 2 ta có thể viết một phần tử của bản rõ là x = (x 1, x2) và một phần tử
của bản mã là y = (y 1, y2). Ở đây, y1cũng như y2 đều là một tổ hợp tuyến tính của
x1và x2. Chẳng hạn, có thể lấy
y1 = 11x1+ 3x2
y2 = 8x1+ 7x2
Tất nhiên có thể viết gọn hơn theo ký hiệu ma trận như sau:
11

8

3

7

(y1 y2) = (x1 x2) 



Nói chung, có thể lấy một ma trận K kích thước m x m làm khoá. Nếu một phần tử ở hàng
i và cột j của K là ki,j thì có thể viết K = (ki,j), với x = (x1, x2, . . . ,xm) P và K K , ta tính

y = eK(x) = (y1, y2, . . . ,ym) như sau:

(y , . . ., y ) = (x , …., x )
1

m



 K 2,1

1

m

K

1,1

K
K

1,2

2,2

...



...


K

K
m ,1

m ,2

Nói một cách khác y = xK.
1.2.5.2 Định nghĩa (ma trận đơn vị)
Ma trận đơn vị m x m (ký hiệu là Im) là ma trận cấp m x m có các số 1 nằm ở

đường chéo chính và các số 0 ở vị trí cịn lại. Như vậy ma trận đơn vị 2 x 2 là:

I

2

Im được gọi là ma trận đơn vị vì AIm = A với mọi ma trận đơn vị là ma trận
vuông cấp m m tập ma trận vuông cấp m × m nghịch đảo dùng ma trận T m × m làm
thành 1 nhóm nhân. Ma trận nghịch đảo của ma trận A cấp m x m (nếu tồn tại) là ma
trận A-1 sao cho AA-1 = A-1A = Im. Khơng phải mọi ma trận đều có nghịch đảo, nhưng
nếu tồn tại thì nó duy nhất.