Tài liệu Bài toán rời rạc : Cây pptx

BÀI TẬP TOÁN RỜI RẠC
---&0&---
CHƯƠNG 5:
CÂY
CÂY
Giảng viên : Nguyễn Mậu Hân
Sinh viên thực hiện : Nguyễn Thị Diệu Hằng
Lớp : TinK30D
* Bài 1:
Vẽ tất cả các cây ( không đẳng cấu ) có:
a) 4 đỉnh b) 5 đỉnh c) 6 đỉnh
Lời giải:
a)
b)
c)
* Bài 2:
Một cây có n
2
đỉnh bậc 2, n
3
đỉnh bậc 3, ..., n
k
đỉnh bậc k. Hỏi có bao
nhiêu đỉnh bậc 1?
Lời giải:
Gọi n
1
: số đỉnh bậc 1 của cây.
Ta có:
- Số đỉnh của cây: n
1

+n
2
+n
3
+...+n
k
- Số cạnh của cây: n
1
+n
2
+n
3
+...+n
k
-1
- Số bậc của cây: n
1
+2.n
2
+3.n
3
+...+k.n
k
Cây là một đồ đơn đồ thị, do vậy, nó sẽ có tổng bậc bằng 2 lần số
cạnh. Tức là:
n
1
+2.n
2
+3.n

3
+...+k.n
k
=2(n
1
+n
2
+n
3
+...+n
k
-1)
n
1
= n
3
+2n
4
+...+(k-2)n
k
+2
* Bài 3:
Tìm số tối đa các đỉnh của một cây m-phân có chiều cao h.
Lời giải:
Cây m-phân có chiều cao h. Vậy trong cây này, các đỉnh sẽ được xếp
vào h+1mức(từ mức 0đến mức h).Số đỉnh của cây chính là tổng các đỉnh
trong các mức này .
Ta có: Giá trị max của:
- Số đỉnh thuộc mức 0: 1 =m
0

(do chỉ có 1 đỉnh gốc)
- Số đỉnh thuộc mức 1: m = m
1

- Số đỉnh thuộc mức 2: m.m= m
2
- Số đỉnh thuộc mức 3: m.m.m= m
3
- ...
- Số đỉnh thuộc mức h: m
h
Suy ra:
Số đỉnh tối đa của cây m-phân có chiều cao h là:

h
1+m
1
+m
2
+m
3
+...+m
h
= ∑m
i


i=0
* Bài 4:
Có thể tìm được một cây có 8 đỉnh và thỏa điều kiện dưới đây hay

không? Nếu có, vẽ ra, nếu không, giải thích tại sao:
a) Mọi đỉnh đều có bậc 1.
b) Mọi đỉnh đều có bậc 2.
c) Có 6 đỉnh bậc 2 và 2 đỉnh bậc 1.
d) Có đỉnh bậc 7 và 7 đỉnh bậc 1.
Lời giải:
a) Không có.
Giải thích: Cây là một đơn đồ thị liên thông, không chứa chu trình
và có ít nhất 2 đỉnh. Trong đơn đồ thị liên thông, giữa 2 đỉnh bất kì luôn tồn
tại đường đi giữa chúng nên trong cây sẽ chứa một số đỉnh có bậc khác 1.
b) Không có.
Giải thích: Ta có: Nếu T là một cây có n đỉnh thì T có ít nhất 2
đỉnh treo( có bậc 1). Vậy, không thể tìm ra một cây có mọi đỉnh đều có bậc
2.
c) Có.
Ví dụ:
d) Có. Ví dụ:
* Bài 5:
Chứng minh hoặc bác bỏ các mệnh đề sau:
a) Trong một cây, đỉnh nào cũng là đỉnh cắt
b) Một cây có số đỉnh không nhỏ hơn 3 thì có nhiều đỉnh cắt hơn là
cầu.
Lời giải:
a) Trong một cây, đỉnh nào cũng là đỉnh cắt.
Mệnh đề trên sai.
Trong một cây luôn có ít nhất 2 đỉnh treo và đỉnh treo không phải là
đỉnh cắt(do khi xóa nó và cạnh liền kề với nó thì không tạo ra nhiều thành
phần lên thông hơn).
b) Một cây có số đỉnh không nhỏ hơn 3 thì có nhiều đỉnh cắt hơn là
cầu.

Mệnh đề trên sai.
Cho một cây T có n đỉnh. Trong một cây, mỗi cạnh đều là cầu. Như
vậy, số cầu của T là n-1( do trong T có n-1 cạnh).
Mặt khác, trong một cây, ngoài các đỉnh treo thì tất cả các đỉnh còn lại
đều là đỉnh cắt.Một cây chứa ít nhất 2 đỉnh treo, do đó số đỉnh cắt lớn nhất
có thể có là n-2
Số cầu = n-1
Số đỉnh cắt ≤ n-2
Vậy, trong một cây, cầu có nhiều hơn đỉnh cắt.
* Bài 6:
Có 4 đội bóng đá A, B, C, D lọt vào vòng bán kết giải đội mạnh khu
vực. Có mấy dự đoán xếp hạng như sau:
- Đội B vô địch, đội D nhì.
- Đội B nhì, đội C ba.
- Đội A nhì, đội C tư.
Biết rằng mỗi dự đoán trên đúng về một đội. Hãy cho biết kết quả xếp
hạng của các đội.
Lời giải:
Theo đề ra thì mỗi dự đoán đúng về một đội.
Giả sử ở dự đoán đầu tiên: B vô địch, D nhì thì dự đoán về D
đúng.Vậy D nhì.
Ở dự đoán 2: B nhì, C ba.Do D nhì nên dự đoán B nhì không
đúng → C ba đúng.
Ở dự đoán 3: A nhì, C tư.Do C đứng thứ ba nên dự đoán C tư
sai → A nhì( vô lý, do dự đoán D nhì là đúng)
Vậy ở dự đoán đầu tiên, dự đoán B vô địch đúng.B vô địch nên ở dự
đoán 2, dự đoán đội C ba đúng, và ở dự đoán thứ 3 đội A nhì đúng, và cuối
cùng, đội D đứng thứ tư.
Xếp hạng các đội là:
Vô địch : B

Nhì : A
Ba : C
Tư : D
* Bài 7:
Cây Fibonacci có gốc T
n
được định nghĩa bằng hồi quy như sau: T
1

và T
2
đều là cây có gốc chỉ gồm 1 đỉnh; với n=2, 3, 4... thì cây có gốc T
n

được xây dựng từ gốc với T
n-1
như là cây con bên trái và T
n-2
như cây con
bên phải.
a) Hãy vẽ 7 cây Fibonacci có gốc đầu tiên
b) Cây Fibonacci T
n
có bao nhiêu đỉnh, lá và bao nhiêu đỉnh trong.
Chiều cao của nó bằng bao nhiêu?
Lời giải:
a) 7 cây Fibonacci có gốc đầu tiên:
Dự đoán
B vô địch
D nhì

C ba
C ba
A nhì
A nhì
Vô lí
T
1
T
2
T
3
T
4
T
5
T
6
b)
Gọi l
i
, n
i
và t
i
lần lượt là số lá, đỉnh và đỉnh trong của cây Fibonacci
T
i
(i≥3), h
i
là chiều cao.

Ta có:
l
i
= l
i-1
+ l
i-2
n
i
= n
i-1
+ n
i-2
+ 1
t
i
= n
i
- l
i
h
i
= h
i-1
+ 1
Trường hợp riêng:
l
1
= l
2

= 1
n
1
= n
2
= 1
h
1
= h
2
= 0
* Bài 8:
Hãy tìm cây khung của đồ thị sau bằng cách xóa đi các cạnh trong
các chu trình đơn:
a)
T
7
d
h i j
e f g
a b c
Lời giải:
Có nhiều cây khung có thể được tạo ra bằng cách xóa đi các cạnh
trong các chu trình đơn. Sau đây là một số ví dụ:
a)
a b
c d
f
g
h

h
e
h
f
k
i j
g
l
d
h i j
e f g
a b c
d
h i j
e f g
a b c