Một số định lý thác triển hội tụ trong lý thuyết hàm hình học

ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
----------------------------------

TƠ HẢI BÌNH

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN HỘI TỤ
TRONG LÝ THUYẾT HÀM HÌNH HỌC

LUẬ N VĂ N T HẠC S Ĩ K HOA HỌ C TO Á N HỌC

THÁI NGUYÊN - 2008


ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
----------------------------------

Tơ Hải Bình

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN HỘI TỤ
TRONG LÝ THUYẾT HÀM HÌNH HỌC
Chuyờn ngành : GIẢI TÍCH
Mó số : 60.46.01

LUẬN V ĂN TH ẠC S Ĩ K H OA H ỌC TO ÁN H ỌC

Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. PHẠM VIỆT ĐỨC

THÁI NGUYÊN - 2008

MỤC LỤC

Trang
Lời nói đầu................................................................................................ 1
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.................................................................. 3
1.1. Không gian phức hyperbolic ............................................................. 3
1.2. Không gian phức nhúng hyperbolic ................................................... 7
1.3. Một số định lý thác triển ánh xạ chỉnh hình ..................................... 11
Chương 2: Một số định lý thác triển hội tụ ............................................ 19
2.1. Định lý thác triển hội tụ Noguchi .................................................... 19
2.2. Một số định lý thác triển hội tụ qua các siêu mặt .............................. 25
Kết luận .................................................................................................. 46
Tài liệu tham khảo .................................................................................. 47


1

LỜI NĨI ĐẦU
Việc thác triển các ánh xạ chỉnh hình là một trong những bài tốn quan
trọng của giải tích phức. Nhiều tác giả đã nghiên cứu bài toán này từ quan
điểm của giải tích phức hyperbolic kể từ khi S. Kobayashi đưa ra khái niệm
giả khoảng cách Kobayashi và dùng nó để nghiên cứu lý thuyết hàm hình học.
Theo hướng nghiên cứu này, J. Noguchi (xem [7] hoặc [10]) đã chứng minh
được định lý thác triển hội tụ sau:
“Cho X là không gian phức compact tương đối nhúng hyperbolic trong
không gian phức Y. Giả sử M là đa tạp phức và A là siêu mặt phức của M với
giao chuẩn tắc. Nếu {f j : M \ A

X }j

1

là dãy các ánh xạ chỉnh hình hội tụ

đều trên các tập con compact của M \ A tới ánh xạ chỉnh hình
f :M \ A

X , thì {f j } j

trong đó f j : M

1

hội tụ đều trên các tập con compact của M tới f ,

Y và f : M

Y là các thác triển chỉnh hình duy nhất của

f j và f trên M ”.

Định lý trên của Noguchi đã mở ra một hướng nghiên cứu bài toán thác
triển các ánh xạ chỉnh hình. Đó là nghiên cứu các định lý thác triển hội tụ kiểu
Noguchi. “Định lý thác triển kiểu Noguchi” là định lý về các ánh xạ tương tự
như định lý của Noguchi về thác triển ánh xạ chỉnh hình mà giữ ngun tính
hội tụ đều địa phương. Gần đây, nhiều định lý thác triển hội tụ kiểu Noguchi
đối với các siêu mặt giải tích của các đa tạp phức đã được nhiều nhà toán học
quan tâm nghiên cứu (xem [4], [5], [7]). Mục đích chính của luận văn là trình

bày một số định lý thác triển hội tụ kiểu Noguchi đối với các siêu mặt giải
tích.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




2

Luận văn được chia làm hai chương.
Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị, bao gồm các khái niệm không
gian hyperbolic, không gian nhúng hyperbolic và một số định lý thác triển các
ánh xạ chỉnh hình như định lý của M. Kwack, K3-định lý.
Chương 2 là nội dung chính của luận văn. Trong chương này chúng tôi
chứng minh một số định lý thác triển hội tụ qua các siêu mặt giải tích (khơng
nhất thiết có giao chuẩn tắc).
Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của PGS. TS. Phạm
Việt Đức. Nhân dịp này, em xin bày tỏ lịng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới
Thầy, người đã chỉ bảo và giúp đỡ em rất nhiều trong suốt quá trình học tập,
nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Em xin trân trọng bày tỏ lịng biết ơn đến các thầy cơ giáo trong Trường
Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, trường Đại học Sư phạm Hà Nội,
Viện Toán học Việt Nam đã giảng dạy và giúp đỡ em hồn thành khố học.
Đồng thời tôi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Quảng
Ninh, trường THPT Hoành Bồ tỉnh Quảng Ninh, gia đình và các bạn đồng
nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ về mọi mặt trong suốt q trình tơi học tập và
nghiên cứu đề tài này.
Thái Nguyên, tháng 10 năm 2008

Tác giả

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




3

Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Nội dung của chương này trình bày một số kiến thức chuẩn bị về không
gian phức hyperbolic, không gian phức nhúng hyperbolic và một số định lý
thác triển các ánh xạ chỉnh hình.
1.1. Khơng gian phức hyperbolic
1.1.1. Định nghĩa. Không gian phức X được gọi là không gian hyperbolic
(theo nghĩa Kobayashi) nếu giả khoảng cách Kobayashi d X là khoảng cách
trên X, tức là
d X ( p, q) 0

p q

p, q

X.

1.1.2. Một số tính chất của không gian phức hyperbolic
1.1.2.1. Nếu X, Y là các không gian phức, thì X Y là khơng gian hyperbolic
nếu và chỉ nếu cả X và Y đều là không gian hyperbolic.
Chứng minh. Vì phép chiếu

:X Y

X là ánh xạ chỉnh hình nên

là

giảm khoảng cách đối với các giả khoảng cách Kobayashi trên X Y và trên
X. Tức là ta có:
d X Y (( x, y),( x , y )) d X ( x, x ).

Lý luận tương tự với phép chiếu

:X Y

Y ta có

d X Y (( x, y),( x , y )) dY ( y, y ).

Do đó d X Y (( x, y),( x , y )) max{d X ( x, x ), dY ( y, y )}.
Như vậy ta suy ra điều phải chứng minh.

,

1.1.2.2. Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y. Nếu Y là
hyperbolic thì X cũng là hyperbolic. Hay nói cách khác, khơng gian con của
một khơng gian hyperbolic là hyperbolic.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

4

Chứng minh. Vì phép nhúng chính tắc i : X

Y là ánh xạ chỉnh hình, nên

theo tính chất giảm khoảng cách của giả khoảng cách Kobayashi ta có ngay
điều phải chứng minh.
1.1.2.3. Ví dụ
+ Đĩa

r

và đa đĩa

m
r

là hyperbolic.

+ Một miền bị chặn trong  m là hyperbolic, vì nó là tập con mở của tích
các đa đĩa.
+  m khơng là hyperbolic, vì d m

0.

1.1.3 Định nghĩa. Giả sử X là không gian phức với hàm khoảng cách d. Một

cặp ( X , d ) được gọi là tight nếu họ Hol( M , X ) là đồng liên tục đối với d, và
với mọi đa tạp phức M.
1.1.4. Định lý. Giả sử X là không gian phức và H là hàm độ dài trên X. Khi
đó X là hyperbolic nếu và chỉ nếu với mỗi p

X , có các lân cận

U của p và hằng số C 0 sao cho FX ( x ) CH ( x ) với mọi

x

Tx X với

x U.

Chứng minh.
(

) Giả sử D là một đa đĩa quanh điểm p. Vì X là hyperbolic, ( X , d X ) là

tight (xem [2]) và do đó họ Hol( , X ) là họ đồng đều. Từ đó có đĩa
0 và một lân cận U của p sao cho nếu

(0)

ánh xạ

(

R

vào X với

(0)

x U , thì

x U thì
R

)

(

)

quanh

D . Nếu

D . Vì vậy với x U , ta có

FD ( x ) FX ( x ).

Ta có thể giả sử U là tập con compact của D. Khi đó với x U ,
ta có FX ( x )
(

x

Tx X ,

FD ( x ) CH ( x ) với hằng số dương C nào đó.

) Gọi dCH là khoảng cách trên X sinh bởi CH.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




5

Theo giả thiết, f * (CH ) ds 2 với mọi f
metric Bergman-Poincaré trên

Hol( , X ) , trong đó ds 2 là

.

Từ đó ta có
dCH ( x, y) d X ( x, y) với x, y

X.

Điều này kéo theo X là hyperbolic.

,

1.1.5. k-metric Kobayashi trong không gian phức

Giả sử X là không gian phức, điểm x

X và vectơ k-mật tiếp

Jk ( X )x .

Ta định nghĩa
k
K X ( x, ) inf{1/ r tồn tại ánh xạ chỉnh hình f :

thỏa mãn f (0)
k
Hàm K X : J k ( X )

x và jk ( f ) x

X

r }.

[0, ) được xác định như trên được gọi là k-metric

Kobayashi trong khơng gian phức X. Đối với k-metric Kobayashi ta có các kết
quả sau ([16]):
k
(M1) K X (0x ) 0,
k
(M2) K X ( x,

)

(M3) Nếu F : J k ( X )

x X.
k
K X ( x, ),

k
thì F ( x, ) K X ( x, ),

f

Jk ( X )x.

[0, ) là hàm tùy ý thỏa mãn

F ( f (0), f0* ( )) K k (0, ) với mọi f

(M4)

,

Hol( , X ) và mọi

x X,

J k ( )0 ,

Jk ( X )x.

Cho trước hai không gian phức X và Y, ánh xạ chỉnh hình

Hol( X , Y ) , khi đó
k
k
KY ( f ( x), f x* ( )) K X ( x, ),

x X,

J k ( X ) x.

(M5) Với mỗi k  , k-metric Kobayashi
k
KX : Jk ( X )

[0, )

là hàm Borel.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




6

Giả sử

:[a, b]

 , là đường cong giải tích thực. Với mỗi

X , [a, b]

t [a, b] tồn tại một và chỉ một mầm hàm chỉnh hình
t

(0)

(t ) và

(t

s)

t

(s) với

t

Hol( , X ) sao cho

0 đủ nhỏ, và mỗi s (

, ) . Từ đó,

với mỗi k  ,
jk (t )

jk ( t )

Jk ( X )

(t )

(t )

ta định nghĩa
b

LkX ( )

a

k
K X ( (t ), jk (t ))dt .

Tất cả các định nghĩa trên đều mở rộng được với các đường cong liên tục,
giải tích thực từng khúc.
Nếu

X là đường cong giải tích thực từng khúc trong khơng

:[a, b]

gian phức X thì {LkX ( )}k 1 là dãy tăng và bị chặn các số thực không âm.
Hơn nữa ta có
1

k
inf {sup K X ( (t ), jk (t ))dt;
X ( p, q)
k

với mỗi p, q

X , trong đó

p ,q

0

p ,q

}

ký hiệu tập tất cả các đường cong liên tục

giải tích thực từng khúc nối p với q.
Giả sử X là không gian phức và {J k ( X )}k 1 là họ các phân thớ các jet trên
X. Khi đó có các ánh xạ J k 1 ( X )

J k ( X ) mà các thớ là các khơng gian afin

tuyến tính.

Ta đặt J ( X ) limproj J k ( X ), và
J(X ) {

(

k

J k ( X ) x )k

1


J ( X );

sao cho (0) x, jk ( ) x

Định nghĩa giả metric vi phân K X : J ( X )
k

K X ( ) sup K X ( k ) với mọi

Hol( r , X )
k

với mọi k 1} .

[0, ) xác định bởi
( k ) J ( X ).

k

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

7

1.2. Không gian phức nhúng hyperbolic
1.2.1. Định nghĩa. Giả sử X là tập con compact của một không gian metric,
và Y là một không gian metric đầy. C ( X , Y ) là tập các ánh xạ liên tục từ X
vào Y với chuẩn sup. Họ F
x0

X nếu với mỗi

C ( X , Y ) được gọi là đồng liên tục tại một điểm

0, tồn tại

0 sao cho với mọi x

X , d ( x, x0 )

,

thì
d ( f ( x), f ( x0 ))

với mọi f

F .

Họ F được gọi là đồng liên tục trên X nếu F là đồng liên tục tại mọi
điểm x

X.

1.2.2. Định lý. (Định lý Ascoli đối với họ đồng liên tục)
Giả sử X là tập con compact của một không gian metric, và Y là một không
gian metric đầy. Giả sử F là tập con của tập các ánh xạ liên tục C ( X , Y ) .
Khi đó F là compact tương đối trong C ( X , Y ) nếu và chỉ nếu hai điều kiện
sau được thỏa mãn
i) F là họ đồng liên tục trên X.
ii) Với mỗi x

X , tập hợp F x { f ( x) f

F } là compact tương đối trong Y.

1.2.3. Định nghĩa. Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y. X
được gọi là nhúng hyperbolic trong Y nếu với mọi x, y

X,x

y luôn tồn tại

các lân cận mở U của x và V của y trong Y sao cho
dX ( X

U, X

V) 0.

1.2.4. Định lý. Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y. Khi
đó các điều kiện sau là tương đương
HI1. X là nhúng hyperbolic trong Y.
HI2. X là hyperbolic và nếu {xn },{ yn } là các dãy trong X thỏa mãn
xn

x

X , yn

y

X , d X ( xn , yn )

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

0 thì x

y.




8

HI3. Giả sử {xn },{ yn } là các dãy trong X thỏa mãn
xn

Khi đó, nếu d X ( xn , yn )

x

X , yn

0 khi n

X.

y

thì x

y.

HI4. Cho hàm độ dài H trên Y, tồn tại hàm liên tục, dương
với mọi f

trên Y sao cho

Hol ( , X ) ta có

f *( H ) H ,

trong đó H là chuẩn hyperbolic trên đĩa đơn vị

.

HI5. Tồn tại hàm độ dài H trên Y sao cho với mọi f
f *H

Hol ( , X ) ta có

H .

Chứng minh.
HI2. Với mọi x, y

HI1

X,x

y , từ HI1 ta suy ra

d X ( x, y) 0.

Do đó X là hyperbolic.
Với x, y
d X ( xn , yn )

X , nếu x

0, n

y thì theo HI1 ta suy ra mâu thuẫn với giả thiết

. Vậy HI2 được chứng minh.

HI3. Giả sử HI2 được thỏa mãn. Nếu x, y

HI2

X , do tính liên tục của giả

khoảng cách Kobayashi d X ta có d X ( x, y) 0 . Mà X là hyperbolic nên suy ra
y.

x

Nếu x
Do yn
xn

X,y

y nên yn

X . Vì y

X nên tồn tại d X -cầu B( x, s ) mà y B( x, s ).

B( x, s) với n đủ lớn. Mặt khác, d X ( xn , x)

B( x, s / 2) . Điều này mâu thuẫn với giả thiết d X ( xn , yn )

0 suy ra

0 . Vậy trường

hợp này khơng xảy ra. Do đó HI3 được chứng minh.

HI3

HI4. Giả sử K là tập con compact của Y. Trước hết ta chứng minh tồn

tại hằng số C 0 sao cho với mỗi f

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Hol ( , X ) ta có




9

f * (CH ) H tại mỗi điểm của f 1 ( K ).

Giả sử ngược lại, suy ra tồn tại dãy {f n }
sao cho dfn ( zn )
giả thiết zn

. Vì

Hol ( , X ) , tồn tại zn

fn 1(K )

là thuần nhất đối với nhóm Aut( ), nên ta có thể

0 , tức là

dfn (0)

khi n

.

Do K compact, ta có thể giả sử
f n (0)

y K.

Lấy U là lân cận mở của y trong Y, có thể đồng nhất U với một khơng gian
con đóng của

m
r

. Khi đó, với mỗi k  , có zk
zk

và nk

1
và f nk ( zk ) U .
k

(*)

Thật vậy, giả sử ngược lại, tồn tại r 1 sao cho f n (

n n0 (r ). Theo định lý Ascoli, do f n (0)

tụ đều trên mỗi tập con compact của
df n (0)

 sao cho

r

)

U với mọi

y , tồn tại dãy con của { f n
r

r

} hội

. Điều này mâu thuẫn với

. Vậy (*) được chứng minh.

Đặt
yk

f nk (0), xk

f nk ( zk ).

Ta có thể lấy zk sao cho xk nằm trong một tập con compact chứa U. Từ đó,
bằng cách lấy dãy con nếu cần ta có thể giả thiết xk
dX ( xk , yk ) d (0, zk )

0 khi k

x, x

y. Khi đó

.

Điều này mâu thuẫn với HI3.
Bây giờ giả sử K1

K2

... là dãy các tập con compact của Y thỏa mãn

K

i

Y và K i

Ui ,

i 1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




10

trong đó U i mở và U i
số Ci

U i 1. Theo chứng minh trên, với mỗi Ki , tồn tại hằng

0 thỏa mãn

f * (Ci H ) H .

Do đó, có hàm liên tục, dương

trên Y thỏa mãn

Ci trên Ki .

Vậy, f * ( H ) H với mọi hàm độ dài H trên Y.
HI4

HI5. Hiển nhiên khi ta lấy hàm độ dài chính là

HI5

HI1. Giả sử x, y

X và x
U

H.

y . Lấy

BH ( x, s),V

BH ( y, s)

là các hình cầu bán kính s ứng với khoảng cách sinh bởi hàm độ dài H.
Do H là hàm độ dài và x
BH ( x,2s)

BH ( y,2s)

y , nên ta có thể lấy s 0 đủ nhỏ sao cho

. Lấy x

U

X và y

V

Y ta có

d X ( x , y ) d H ( x , y ) s 0.

Thật vậy, từ HI5 suy ra d H có tính chất giảm khoảng cách với mọi
f

dX

Hol ( , X ) , theo tính chất lớn nhất của giả khoảng cách Kobayashi ta có

d H . Từ đó suy ra X là nhúng hyperbolic trong Y.

Vậy định lý được chứng minh hoàn tồn.

,

1.2.5. Nhận xét
i) Khơng gian phức X là hyperbolic khi và chỉ khi X là nhúng hyperbolic
trong chính nó.
ii) Nếu các không gian con phức X1 là nhúng hyperbolic trong Y1 và X 2 là
nhúng hyperbolic trong Y2 thì X1 X 2 là nhúng hyperbolic trong Y1 Y2 .
iii) Nếu có hàm khoảng cách
d X ( p, q)

trên X thỏa mãn
( p, q)

p, q

X

thì X là nhúng hyperbolic trong Y.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




11

1.3. Một số định lý thác triển ánh xạ chỉnh hình
1.3.1. Định lý. Giả sử X là khơng gian con phức compact tương đối trong
khơng gian phức Y. Khi đó, nếu X là nhúng hyperbolic trong Y thì mọi ánh xạ
chỉnh hình f : *
F:

X đều thác triển được thành ánh xạ chỉnh hình

Y.

Để chứng minh định lý, trước hết ta xét các điều kiện sau, với f : *

X

là ánh xạ chỉnh hình,
KW1. X là nhúng hyperbolic trong Y, và tồn tại một dãy {zk } trong Δ* thỏa
0 và { f ( zk )} hội tụ tới một điểm y

mãn zk

X.

Chú ý. Điều kiện về sự tồn tại của dãy {zk } ở trên luôn thỏa mãn nếu X là
compact tương đối trong Y.
KW2. X là nhúng hyperbolic trong Y, và tồn tại một dãy các số dương
{rk }  0 thỏa mãn
f ( S (rk ))

y

X,

trong đó S (rk ) S (0, rk ) là đường tròn bán kính rk .
KW3. Ánh xạ chỉnh hình f : *
F:

X thác triển được thành ánh xạ chỉnh hình

Y.

Khi đó, định lý 1.3.1 là trường hợp riêng của định lý sau.
1.3.2. Định lý. Ta có
KW1

KW2

KW3.

Chứng minh.
KW1

KW2. Đặt rk

zk , và lấy U là một lân cận hyperbolic, compact

tương đối của y (một lân cận U như vậy ln có thể lấy được, vì về mặt địa
phương Y là một khơng gian con đóng của một đa đĩa trong  N ). Để chứng
minh KW2, ta chỉ cần chứng minh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




12

f (S (rk ))

U

với k đủ lớn.
Giả sử ngược lại, với k lớn tùy ý, tồn tại điểm zk

S (rk ) sao cho

f ( zk ) U . Vì tính liên tục của khoảng cách dY xác định tô pô trên Y, ta có

thể giả thiết f ( zk )

U . Mà U là tập compact, bỏ qua việc lấy dãy con, ta

có thể giả sử rằng f ( zk ) hội tụ tới một điểm y
y

X . Khi đó ta có

y vì f ( zk ) U .

Mặt khác ta có
d X ( f ( zk ), f ( zk )) d * ( zk , zk )

0 khi k

.

Mà X nhúng hyperbolic trong Y, theo định lý 1.2.4. HI3, ta nhận được
y

y . Điều này mâu thuẫn với trên.

KW2

KW3. Giả sử U là một lân cận của y, mà ta đồng nhất với một

không gian con của một đa đĩa trong  N , sao cho bao đóng U của U trong Y
là compact và được chứa trong đa đĩa.
Theo định lý thác triển Riemann, ta chỉ cần chứng minh tồn tại số c 0
sao cho
f(

*

c

)

U,

vì từ đó ta suy ra các hàm tọa độ của f là bị chặn gần 0 do đó f thác triển
chỉnh hình được qua điểm thủng 0. Giả sử không tồn tại số c như vậy, tức là
với rk  0 ,
f(

*
rk

)

U.

Theo KW2, sau khi đánh số lại dãy, ta có thể giả thiết
f (S (rk ))

Gọi ak , bk là các số dương, ak
Ak

rk

{z

U với mọi k.
bk , sao cho

* ak

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

z

bk }




13

là vành khuyên lớn nhất có ảnh f ( Ak ) nằm hoàn toàn trong U. Ta đặt
k

(t ) ak e2

it

và

(t ) bk e2 it , 0 t 1

k

là hai đường tròn biên của vành khuyên mở Ak . Khi đó ta có
f(

k

) và f (

k

) nằm trong U .

Nhưng do tính lớn nhất của vành khuyên Ak nên f (
nằm trong U, vì vậy f (

k

) và f (

k

k

) nằm trong

) và f (

k

) khơng

U . Vì các độ dài

hyperbolic của các đường trịn bán kính ak và bk dần đến 0 khi k

là giảm khoảng cách từ d
f(

k

*

và f

tới d X , nên ta có d X -đường kính của f (

) dần tới 0. Theo định lý 1.2.4. HI5, ta có f * H
d H ( f ( p), f (q)) d ( p, q)

k

) và f (

k

.

p, q

U . Khi đó ta có y

S (rk ) , thì f ( zk )

Ta viết f

k

)

y,f(

k

y với

)

y . Nếu lấy zk là một điểm trên

y và y

y khi k

d X . Vì

) cũng dần tới 0. Vì U là compact,

bằng cách lấy dãy con ta có thể giả thiết rằng f (
y,y

) và

H nên

Từ đó do tính lớn nhất của giả khoảng cách Kobayashi ta có d H

vậy d H -đường kính của f (

k

.
 N . Khơng mất tính chất tổng qt ta có thể

( f1,..., f N ) : U

giả thiết
lim f1 (

k

)

y1

0,

lim f1 (

k

)

y1

0,

lim f1 ( zk )

y1

0.

k
k
k

Từ đó, với mọi k

k0 ta có
f1 ( zk )

f1 (

k

)

f1 (

k

).

Nói cách khác, f1 ( zk ) khơng nằm trong ảnh của hai đường trịn

k

,

k

qua

các ánh xạ f.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




14

Vì vậy ta có thể tìm được một lân cận đơn liên của f1 (

k

)

f1 (

k

) mà

không giao với một đĩa tâm 0, bán kính đủ nhỏ trong  .
Giả sử ( 1,...,

N

) là các hàm tọa độ trong  N , khi đó f1

1

 f . Với

cách chọn các lân cận ở trên, với k đủ lớn ta có
f1 (

k

)

f1 (

k

)

d log(

d log(

1

f

f1 ( zk )) ,

d log(

f1 ( zk )) 0

1

1

f

f1 ( zk )) .

k

d log(

f1 ( zk )) 0

1

k

Do đó,
d log(
k

1

f

f1 ( zk )) 0 .

(*)

k

Mặt khác, theo định lý Rouche [11], ta có
1
2 i

d log(
k

1

f

f1 ( zk ))

N

P,

k

trong đó N là số các khơng điểm và P là số các cực điểm của

1

f

f1 ( zk )

trong vành khuyên Ak . Rõ ràng P 0 , và N 1 vì có ít nhất một khơng điểm
tại zk . Do đó, N

P 1. Điều này mâu thuẫn với (*). Vậy định lý được

chứng minh.

,

Với các kết quả của Kwack và Kobayashi, năm 1972 Kiernan ([6]) đã mở
rộng được định lý Picard lớn lên trường hợp nhiều chiều bởi K 3 -định lý. Để
trình bày K 3 -định lý ta cần một số khái niệm và kết quả sau.
1.3.3. Bổ đề. Giả sử X là không gian con phức compact tương đối, nhúng
hyperbolic trong không gian phức Y. Giả sử { f k : *

X } là dãy các ánh xạ

chỉnh hình và {zk },{zk } là các dãy trong Δ* hội tụ tới 0 trong
f k ( zk )

thỏa mãn

y Y.

Khi đó

(i) f k ( zk )

y khi k

;

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




15

(ii) f k (0)

y khi k

.

Chứng minh. Theo tính chất của giả khoảng cách Kobayashi, ta có mỗi ánh xạ
chỉnh hình f k : *

X đều có thác triển chỉnh hình qua điểm 0. Do đó f k (0)

cũng xác định.
Như vậy ta suy ra điều phải chứng minh.

,

1.3.4. Định nghĩa. Giả sử M là một đa tạp phức và A là một divisor. Ta nói A

có giao chuẩn tắc nếu tại mỗi điểm, tồn tại một hệ tọa độ phức z1,..., zm trong
M sao cho về địa phương
M\A

*r

s

với r

m.

s

Từ đó, về địa phương A được xác định bởi phương trình z1...zr

0.

Ta nói rằng A có giao chuẩn tắc đơn nếu sau khi biểu diễn A

Aj như

là tổng các thành phần bất khả quy, tất cả các Aj khơng có kỳ dị và A có giao
chuẩn tắc.
1.3.5. Định lý ( K 3 -định lý). Giả sử A là divisor có giao chuẩn tắc trong đa
tạp phức M. Giả sử X là không gian con phức compact tương đối, nhúng
hyperbolic trong khơng gian phức Y. Khi đó mỗi ánh xạ chỉnh hình
f :M \ A

X


thác triển được thành ánh xạ chỉnh hình f : M

Y.

Chứng minh. Theo giả thiết ta có thể giả sử
M

m

và M \ A

*r

s

với r

s

m.

Ta chứng minh quy nạp theo m dim M . Ta chia thành 3 bước
1. Nếu M \ A

* thì kết quả là định lý 1.3.2.

2. Giả sử ta có thể thác triển f với M \ A
minh f có thác triển với M \ A

*n

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

s

*n

với n nào đó. Ta sẽ chứng

với mọi s.




16

Ta viết
( , t ) ( 1,...,

là các biến trong

n

n

, t1,..., ts )

. Giả sử

s

*n

f:

s

X

là ánh xạ chỉnh hình.
Với mỗi t ta đặt ft ( )

f ( , t ) . Theo giả thiết quy nạp, ta có thể thác triển

f t thành ánh xạ chỉnh hình trên

n

với mỗi t. Theo hệ quả của định lý thác

triển Riemann, ta chỉ cần chứng minh ánh xạ
( ,t)  f ( ,t)

là liên tục.
Giả sử ngược lại, f không liên tục tại một điểm nào đó, giả sử là ( ,0) .
Khi đó, tồn tại dãy các điểm
{(

k

*n

, tk )}

s

hội tụ về ( ,0) mà
f(

k

, tk )

f ( ,0) .

y

Ta chỉ cần chỉ ra mâu thuẫn trong trường hợp s 1 . Định nghĩa ánh xạ
fk : *

Vì tk

0 và f k (tk )

f(

k

X ; fk ( z)

f(

k

, z) .

y , theo bổ đề 1.3.3, ta có

, tk )
f k (0)

f(

k

y.

,0)

Nhưng f t liên tục với mỗi t, nên f k (0)

f(

k

,0)

f ( ,0)

y . Điều này

là vô lý. Vậy f liên tục.
3. Giả sử f có thác triển nếu M \ A
thác triển được nếu M \ A

*n 1

*n

s

.

Theo giả thiết quy nạp, f thác triển được trên
xạ g : *

với mọi s. Ta chứng minh f

n 1

\ {(0,...,0)} . Do đó ánh

X , xác định bởi

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

17

g ( z)

thác triển được lên toàn bộ

f ( z ,...,z)

. Ta định nghĩa
g (0) .

f (0,...,0)

Theo định lý thác triển Riemann ta chỉ cần chứng minh f liên tục trên

n 1

.

Giả sử f khơng liên tục. Khi đó tồn tại dãy
(

k

1
k

, tk ) (

,...,

n
k

*n 1

, tk )

thỏa mãn
(

k

, tk )

(0,0) và f (

k

, tk )

y

f (0,...,0) .

Áp dụng bổ đề 1.3.3 cho dãy hàm số
fk ( z)

f(

z

k

, tk ) và dãy điểm zk

k

k

ta có
f k ( zk )

, tk )

y khi k

.

f (0, tk )

y khi k

.

f(

k

Do đó
f k (0)

(*)

Mặt khác, lại áp dụng bổ đề 1.3.3 cho dãy
fk ( z)

f(

ztk
zt
,..., k , tk ) và dãy điểm zk
tk
tk

tk

ta có
f k ( zk )

f (tk ,..., tk )

f (0,...,0) khi k

.

y khi k

.

Do đó
f k (0)

f (0, tk )

f (0,...,0)

Điều này mâu thuẫn với (*). Vậy f liên tục.

,

Chú ý. Định lý được chứng minh đầu tiên bởi Kwack khi X

Y là

compact và A là tùy ý (khơng có điều kiện gì về kỳ dị). Sau khi đưa ra khái
niệm nhúng hyperbolic, Kobayashi đã chứng minh trong trường hợp X là

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




18

nhúng hyperbolic trong Y và A khơng có kỳ dị. Kết quả trên của Kiernan
chứng minh trong trường hợp A có giao chuẩn tắc. Ví dụ sau là của Kiernan
chứng tỏ rằng nếu X khơng là compact thì các điều kiện về kỳ dị là cần thiết.
1.3.6. Ví dụ

Xét
X

Vì

( \ {1, 1})

P1 ( ) P1 ( ) .

và  \ {1, 1} đều là nhúng hyperbolic trong P1 ( ) , nên X là nhúng

hyperbolic trong P1 ( ) P1 ( ) . Đặt

M

và A {( z, ) z 0 hoặc z

}.

Ta có A khơng phải là có giao chuẩn tắc. Xét ánh xạ
f :M \ A

X bởi f ( z , ) ( z , / z ) .

Khi đó f khơng thác triển được lên tồn bộ M vì f (0,0) khơng xác định.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

19

Chương 2
MỘT SỐ ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN HỘI TỤ
Trong chương này trước tiên chúng tơi trình bày chứng minh định lý thác
triển hội tụ của Noguchi bằng ngôn ngữ họ chuẩn tắc đều. Tiếp theo là một số
kết quả gần đây của Đỗ Đức Thái về việc chứng minh định lý thác triển hội tụ
kiểu Noguchi đối với các siêu mặt khơng nhất thiết có giao chuẩn tắc.
2.1. Định lý thác triển hội tụ Noguchi
2.1.1. Định lý (Noguchi [9]). Giả sử A là divisor có giao chuẩn tắc trong đa
tạp phức m chiều M. X là không gian con compact tương đối, nhúng
hyperbolic trong không gian phức Y. Giả sử
fn : M \ A

X

là dãy các ánh xạ chỉnh hình, hội tụ đều trên các tập con compact của M \ A
tới ánh xạ chỉnh hình
f :M \ A

X.


Giả sử f n , f là các thác triển chỉnh hình của f n , f tương ứng, từ M vào Y.

Khi đó

fn


f

Hol (M ,Y ) trong Hol ( M , Y ) .

Để chứng minh trước hết ta cần một số khái niệm và kết quả sau
2.1.2. Định nghĩa. Giả sử X, Y là các không gian phức. Họ F

Hol( X , Y )

được gọi là họ chuẩn tắc đều nếu F  Hol( M , X ) là compact tương đối trong
C(M ,Y ) với mỗi đa tạp phức M, trong đó Y

Y

{ } là compact hóa một

điểm của Y.
Nếu X 0 , Y0 là các không gian con của các không gian tô pô X, Y tương ứng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




20

và F

C ( X 0 ,Y0 ) . Ta ký hiệu C[ X ,Y , F ] là tập các ánh xạ g C ( X , Y ) mà

là thác triển của các phần tử của F .
2.1.3. Định lý. Nếu X, Y là các khơng gian phức thì họ F

Hol ( X , Y ) là

chuẩn tắc đều nếu và chỉ nếu F  Hol ( , X ) là compact tương đối trong
C ( ,Y ) .

Chứng minh.
(

) Hiển nhiên, do

(

) Nếu F

là đa tạp phức.

không là chuẩn tắc đều thì có đa tạp phức M sao cho

F  Hol( M , X ) không là compact tương đối trong C (M ,Y ) . Theo định lý

Ascoli, do Y

là không gian compact nên F  Hol( M , X ) khơng là liên tục

đồng đều. Vì tính liên tục đồng đều là tính chất địa phương, ta có thể giả thiết
M

1} với m nào đó,

{ p  m; p

và F  Hol( M , X ) không liên tục đồng đều từ 0 M tới q Y .
Chọn các dãy { f n }

0; f n 

pn

Ta định nghĩa hàm

n

M \ {0} và { n }

F ;{ pn }
n

q và f n 

(0)

Hol( , X ) ,

n

Hol(M , X ) sao cho

n

( pn ) ½ q .

n

( z)

zpn
.
pn

(0)

q

Khi đó
fn 

và fn 

n

n

(0)

fn 

( pn )

n

fn 

n

( pn ) ½ q .

Suy ra F  Hol( , X ) khơng liên tục đồng đều, do đó khơng là compact tương
đối trong C ( ,Y ) . Điều này trái giả thiết.

,

2.1.4. Định lý ([5]). Giả sử X là không gian con phức compact tương đối
trong không gian phức Y. Khi đó các điều kiện sau là tương đương

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




21

i) X là nhúng hyperbolic trong Y;
ii) Hol ( , X ) là compact tương đối trong C ( ,Y ) ;
iii) Hol ( , X ) là họ con chuẩn tắc đều của Hol ( , Y ) .
2.1.5. Bổ đề. Giả sử F

m

F sao cho

{ fn}

Hol ( *m ,Y ) là họ chuẩn tắc đều. Nếu { n }

n

và fn (

0

của p, tồn tại lân cận W của

0

n

m

trong

p Y thì với mỗi lân cận U

)

sao cho

*m )

fn (W

*m ,

U.

Chứng minh. Ta chứng minh quy nạp theo m.
+ m 1 chính là định lý 2.1. [5].
+ Ta giả sử khẳng định trên đúng với k nhưng không đúng với k 1 . Lấy
Hol( *k 1,Y )

F

là họ chuẩn tắc đều. Chọn các dãy
{

n

},{

n

*k+1;

}

n

0

k 1

,

n

0

;{ fn}

F

sao cho
fn (

n

p và f n (

)

n

)½ p.

Giả sử U, V là các lân cận compact tương đối của p sao cho V

U và giả

sử rằng
fn (

Đặt

n

(sn , tn ),

n

n

) V , fn (

(sn , tn ) và

0

n

) Y \U .

(s0 , t0 )

(*)

*k Δ* . Gọi

F1 {

t

Hol( *k , *k 1 ); t

*, t (s) (s, t )} ,

F2 {

s

Hol( *, *k 1 ); s

*k ,

s

(t ) (s, t )} .

Khi đó
F  F1

Hol( *k ,Y ) và F  F 2

Hol( *,Y )

đều là các họ chuẩn tắc đều.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

22

Khi đó ta có:
{f n 

tn

}

F  F1 , sn

s0 và fn 

tn

(sn )

fn (sn , tn )

fn (

n

)

p.

Theo giả thiết quy nạp, tồn tại lân cận N1 của s0 sao cho
fn 

tn

*k )

( N1

V và f n 

Từ đó, tồn tại dãy con của {f n 

tn

tn

(sn ) V .

(sn )} mà cũng ký hiệu là {f n 

tn

(sn )}

sao cho
fn 

tn

( sn )

q V.

Ta có
fn 

tn

(sn )

fn 

fn (sn , tn )

sn

Do đó, tồn tại lân cận N 2 của t0 trong
fn 

Vậy với n đủ lớn, tn

sn

( N2

(tn )

1 , với tn

t0 .

sao cho
*)

U.

* , ta có

N2

fn 

sn

(tn ) U .

Tức là
f n (sn , tn )

fn (

n

) U.

Điều này mâu thuẫn với (*). Vậy định lý được chứng minh.

,

Sử dụng các kết quả trên ta có thể mở rộng K 3 -định lý và định lý thác
triển hội tụ Noguchi như sau
2.1.6. Định lý. Giả sử M là đa tạp phức và A là divisor có giao chuẩn tắc
trong M. Giả sử F

Hol ( M \ A, Y ) là họ chuẩn tắc đều và F là bao đóng

của F trong C (M \ A,Y ) . Khi đó
i) Mỗi f


F đều thác triển được thành f C ( M ,Y ) .

ii) C[M , Y , F ] là compact trong C(M ,Y ) .
iii) Nếu { f n }

F và f n


f thì f n

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


f.