CHƯƠNG 4: CHUỖI SỖ - CHUỖI LŨY THỪA

Chương 4: Chuỗi số Chuỗi luỹ thừa
4.1. Chuỗi số:
4.1.1. Đại cương về chuỗi số:
a) Các khái niệm

ĐN:

Chuỗi hội tụ:

Phần dư:
n
n n k
n 1 k 1
u ; S u
+
= =
=

n n
n 1
S S khi n ; S u
+
=
=

n k
k n 1
R u
+

= +
=




Chó ý:

VÝ dô 1:
n
n 1
n
n
n
n
u ht :
* Limu 0
* Lim R 0
+∞
=
→+∞
→+∞
=
=
∑
n
n 1
aq
* ht khi q 1
* pk khi q 1

+∞
=
≤
>
∑


b) Điều kiện để chuỗi hội tụ

Điều kiện cần:
Ví dụ 2: chuỗi
Nhưng chuỗi phân kỳ.

Điều kiện cần và đủ:
n n
n
n 1
u ht Limu 0
+
+
=
=

n
n
n 1
1
;Lim u 0;
n
+

+
=
=

{ }
n
p
o n
n=q+1
ội tụ S à dãy Cauchy
>0; n ì u
n
n
n 1
o
u h l
0 : p q n th
+
=

> > <




c) TÝnh chÊt cña chuçi héi tô

TC1:

TC2:

n n n n n n
n 1 n 1 n 1 n 1
u ; v ht (u v ); ku (u 0)
+∞ +∞ +∞ +∞
= = = =
⇒ + ≠
∑ ∑ ∑ ∑


4.1.2. Chuỗi số dương
a) Định nghĩa:
b) Các dấu hiệu hội tụ:

Dấu hiệu so sánh: Cho 2 chuỗi (+)
n n
n 1
u ch( ) khi u 0 n
+
=
+ >

*
n n n n o
n 1 n 1
n n
n 1 n 1
n n
n 1 n 1
u ; v .Gs u v n n N
* ch v ht ch v ht

* ch v pk ch v pk
+ +
= =
+ +
= =
+ +
= =








VÝ dô :
Chuçi cã
Mµ chuçi héi tô nªn chuçi
héi tô theo tiªu chuÈn so s¸nh.
∑
∞+
=
π
1
2
n
n
sin
2
22

>∀
π
<
π
n
nn
sin
ht
n
n
∑
∞+
=
π
1
2
∑
∞+
=
π
1
2
n
n
sin


HÖ qu¶:
Cho 2 chuçi (+):
Th× 2 chuçi ®ã cïng tÝnh chÊt.

+
+∞→
+∞
=
+∞
=
∈=
∑∑
Rk
v
u
Lim
v;u
n
n
n
n
n
n
n
11



DÊu hiÖu D’Alembert
:k*
pkch:k*
htch:k*
k
u

u
Lim).n(u;u
n
n
n
n
nn
1
1
1
0
1
1
=
>
<
=∀>
+
+∞→
∞+
=
∑