SKKN hướng dẫn học sinh giải bài toán tìm điểm cố định trong hình học 9

MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
1.2. Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.3. Các biện pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Tìm hiểu phương pháp tìm điểm cớ định .
2.3.2. Dạng 1: Chứng minh điểm cố định dựa vào tỉ số của bằng

Trang
2
2
2
2
3
3
3
3
4
4
5

nhau của các đoạn thẳng
2.3.3.Dạng 2: Chứng minh điểm cố định là điểm đối xứng với

9

một điểm cố định qua một tâm cố định.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo
dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHI
3.1. Kết luận
3.2. Kiến nghị
TÀI LIỆU THAM KHẢO

13
14
14
15
16

1. Mở đầu.
1.1. Lí do chọn đề
Việc đổi mới phương pháp dạy học trong nhà trường phổ thơng theo tinh
thần Nghị qút TW4 ( khóa VII) và Nghị quyết TW2 ( Khóa VIII) dã được
1


pháp chế hóa trong luật giáo dục: “ Phương pháp giáo dục phổ thơng phải đảm
phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; Phù hợp
với đặc điểm của từng lớp học, môn học; Bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn
luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem
lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” ( Điều 24.2).
Theo Raja Roy Sing: Để đáp ứng được những đòi hỏi mới được đặt ra
chi sự bùng nổ kiến thức và sáng tạo kiến thức mới, cần phát triển năng lực
tư duy, năng lực giải quyết vấn đề và tính sáng tạo… các năng lực này có thể
thu gọn về năng lực giải quyết vấn đề.

Hướng đổi mới phương pháp dạy học toán hiện nay (ở trường THCS) là
tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh, khơi dậy và phát triển năng lực tự
học, nhằm hình thành cho học sinh tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao
năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức
toán học vào hoạt động thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng
thú học tập cho học sinh.
Trong một sớ năm gần đây, các bài toán hình học thi vào lớp 10 THPT câu
C bài hình đã có dạng tìm, chứng minh điểm cớ định. Đây là dạng toán khó, nếu
giáo viên khơng hướng dẫn học sinh cách xác định các yếu tố cố định đã biết để
từ đó dự đoán và chứng minh điểm cớ định thì học sinh sẽ lúng túng và bế
tắc.Với mong ḿn sẽ giúp học sinh từ khá trở lên có thể tiếp cận và phân tích
giải được bài toán "tìm điểm cố định" lớp 9 tôi xin đưa ra kinh nghiệm
"
Hướng dẫn học sinh giải bài tốn tìm điểm cố định trong hình học 9".
1.2. Mục đích nghiên cứu.
- Hướng dẫn học sinh có kĩ năng nhất định trong việc tìm tịi phương pháp
giải tìm điểm cớ định trong một sớ bài toán hình thường gặp tron các kỳ thi, đặc
biệt là kỳ thi vào lớp 10 THPT.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Trong đề tài này,tôi xin đưa ra một số dạng bài toán chứng minh điểm cố
định thường gặp, hướng dẫn học sinh tìm tịi lời giải, rút ra kết ḷn cụ thể. Xây
dựng hệ thống bài tập giúp học sinh độc lập suy nghĩ và sáng tạo trong cách giải
khi sử dụng kiến thức đã học.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
- Phương pháp tiếp cận vấn đề: Thông qua việc giảng dạy thực tế, tiếp
xúc, trao đổi với nhiều học sinh, từ đó tơi đưa ra được lượng kiến thức để học
sinh dễ tiếp cận nhất.
2

- Phương pháp phân tích, tổng hợp: Trước khi đi vào cách giải cụ thể, tôi
thường đưa ra những phân tích về loại bài tập đó.
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Tôi sử dụng nhiều nguồn tài liệu của
các tác giả có uy tín cũng như sử dụng đề thi vào trung học phổ thông ở những
năm học trước.
- Phương pháp thống kê, xử lí số liệu: Tôi thường xuyên khảo sát mức độ
tiếp thu kiến thức của học sinh thông qua các bài tập nhanh. Kết quả thu nhận
được giúp tôi điều chỉnh lượng kiến thức cũng như phương pháp truyền đạt tới
các em sao cho hiệu quả cao nhất.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Trong hoạt động giáo dục hiện nay, đòi hỏi học sinh cần phải tự học, tự
nghiên cứu rất cao. Mục đích cần đạt phải biến quá trình giáo dục thành quá
trình tự giáo dục. Như vậy, học sinh có thể phát huy được năng lực sáng tạo, tư
duy khoa học, từ đó xử lý linh hoạt các vấn đề của đời sống xã hội.[1]
Một trong những phương pháp để học sinh đạt được điều đó đới với mơn
toán là khích lệ các em sau mỗi đơn vị kiến thức cần khắc sâu, tìm tịi những bài
toán liên quan. Làm được như vậy nghĩa là các em sẽ say mê học tập, tự nghiên
cứu đào sâu kiến thức.[1]
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Dạng toán tìm điểm cớ định liên quan đến yếu tố "động" nên là dạng
toán khá phức tạp với các em.Trong thực tế khi gặp các bài toán về tìm điểm cớ
định học sinh thường bó tay, bỏ cuộc. Với học sinh khá, giỏi thì các em lại
thích tìm tịi, khám phá,có ham ḿn giải qút bài toán này. Vấn đề đặt ra là
các em không biết bắt đầu từ đâu và bài giải như thế nào cho phù hợp. Đã có
nhiều giáo viên nghiên cứu các đề tài về chứng minh điểm cố định, nhưng đề tài
chủ yếu giành cho HS giỏi cấp tỉnh nên nghiên cứu các bài quá khó. Cịn học
sinh thi vào lớp 10 THPT hầu như giáo viên không để ý đến dạng toán tìm và
chứng minh đường thẳng và đường trịn ln đi qua một điểm cớ định. Tuy
nhiên trong những năm gần đây, đề thi vào lớp 10 của nhiều tỉnh thường ra câu

C bài hình là vào bài toán tìm điểm cớ định học sinh khá giỏi ḿn đạt điểm 9
thường phải làm được câu C bài hình này.
Kết quả khảo sát:
Khi nhắc đến bài toán " tìm điểm cớ định" thì nhiều em học sinh mơ hờ,
khi áp dụng thì càng lúng túng. Học sinh hầu như bỏ trắng phần này.
Ra đề khảo sát cho lớp 9D1,9D2:
3


Sĩ sớ
9D1
9D2

30
30

Giỏi
SL
1
0

Khá
%
3%
0

SL
12
6

%
40%
20%

Trung bình
SL
%
17
57%
12
40%

́u
SL
0
12

%
40%

Qua trao đổi kinh nghiệm, dự giờ, khảo sát cho thấy: Học sinh gặp khó
khăn trong dạng toán này.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
2.3.1. Tìm hiểu phương pháp tìm điểm cố định .
Khơng có phương pháp cụ thể nào cho bài toán tìm điểm cớ định, tuy
nhiên khi tìm hiểu một sớ dạng bài tìm điểm cớ định ở kỳ thi vào lớp 10 THPT
tôi thấy rằng đa số các bài toán tìm điểm cớ định trong các đề thi vào lớp 10
THPT chủ yếu sử dụng cách xét vị trí các điểm đặc biệt.
Vì có các ́u tớ (điểm, đường thẳng, đường trịn…) cớ định và các ́u tớ
thay đổi, với mỗi vị trí của điểm thay đổi, ta xác định một đường thẳng. Ta có

thể dự đoán điểm cớ định bằng cách vẽ các đường thẳng có tính chất như đề bài
ở nhiều vị trí khác nhau . Ta phải chứng minh các đường thẳng này đi qua một
điểm cố định. Để xác định điểm cố định, ta thường chọn hai cách sau:
Cách 1: Lấy hai đường thẳng cùng thỏa mãn điều kiện đề bài ở các vị trí khác
nhau (thường chọn vị trí đặc biệt) và tìm giao điểm của chúng. Sau đó chứng
minh một đường thẳng bất kỳ ( thỏa mãn yêu cầu đề bài) luôn đi qua .
Hoặc lấy một đường thẳng có vị trí đặc biệt cắt một đường nào đó đã có hoặc
xuất hiện khi giải toán chứng minh đường thẳng bất kỳ (thỏa mãn yêu cầu đề
bài) đi qua điểm đó.
Cách 2: Chọn một vị trí đặc biệt để có một đường thẳng . Đường thẳng bất kỳ
có tính chất thỏa mãn yêu cầu bài toán cắt đường thẳng này tại điểm. Ta chứng
minh điểm đó cớ định.
Khi làm dạng toán tìm điểm cớ định ta cần chú ý: Tìm hiểu bài toán, dự
đoán điểm cớ định, tìm tịi hướng giải và trình bày lời giải
Hướng dẫn học sinh phân tích giải một số dạng toán cụ thể.
2.3.2.Dạng 1: Chứng minh điểm cố định dựa vào tỉ số của bằng nhau của các
đoạn thẳng
Cần xác định rõ yếu tố cố định, không đổi, các quan hệ khơng đổi và các
́u tớ thay đổi, tìm mới quan hệ giữa các ́u tớ đó.
4


Ví dụ 1: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O, R), AB < AC . Tia AO
cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là I (I khác A). Gọi E, D lần lượt là hình
chiếu vng góc của B và C lên AI. Kẻ AH vng góc với BC tại H.
a/ Chứng minh: Tứ giác ABHE nội tiếp.
b/ Chứng minh: HE song song với CI
c/ Giả sử BC cố định và A di chuyển trên cung lớn BC sao cho tam giác
ABC luôn là tam giác nhọn. Chứng minh: tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
EHD là một điểm cố định.

Hướng dẫn học sinh chứng minh điểm cớ định ở câu C.

N

Phân tích bài tốn:
́u tớ cố định : đoạn BC
Yếu tổ chuyển động: điểm A
Dự đốn điểm cố định:
Vì BC khơng đổi,nên trung điểm M của BC khơng đổi. M là điểm cớ định.
Tìm hướng chứng minh:
- Chứng minh M thuộc đường trung trực của HE
- Chứng minh tam giác EMD cân.
Hướng dẫn học sinh trình bày:
c/ Gọi M là trung điểm BC => OM  BC
C1: Gọi N là trung điểm AB => MN // AC => MN  CI mà CI // HE (câu b) =>
MN  HE Lại có N là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABHE nên MN là
đường trung trực của HE.
=> MH = ME (1)
�  OBC
�
+ / Chứng minh: tứ giác BEOM nội tiếp => OEM
�  OCB
�
+/ Chứng minh: Tứ giác MOCD nội tiếp => ODM
5


�  OBC
� � OEM
�  ODM

�
Mà OCB
=> ME = MD (2)
Từ (1) và (2) => MH = ME = MD => E, H, D cùng thuộc một đường tròn tâm M
mà M cố định => đpcm
C2: Sử dụng trực tiếp 3 tứ giác nội tiếp ABHE; BEOM và CEOD.

Ví dụ 2. Cho đoạn thẳng AC cố định, điểm B cớ định nằm giữa A và C. Đường
trịn (O) thay đổi luôn đi qua A và B. Gọi PQ là đường kính của đường trịn (O),
PQ vng góc AB, (P thuộc cung lớn AB). Gọi CP cắt đường tròn (O) tại điểm
thứ hai I. Chứng minh QI luôn đi qua một điểm cớ định khi đường trịn (O) thay
đổi.[3]

Phân tích bài tốn:
́u tớ cớ định : điểm A, B, C cớ định
́u tớ chủn động : đường trịn (O) ( tâm O thay đổi)
Dự đoán điểm cố định:
+ Do điểm A, B, C cố định, dự đoán đường thẳng IQ cắt AB tại điểm cố định
Hướng chứng minh:
+ Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp. Dựa vào tứ giác nội tiếp, tam giác đồng
dạng ta chứng minh đường thẳng đã cho đi qua 1 điểm cớ định.
Trình bày lời giải:
Giải: Gọi IQ cắt AB tại K. Ta có tứ giác PDKI nội tiếp
Tam giác CIK đồng dạng tam giác CDP
CI
CK
=
� CI.CP = CD.CK (1)
Suy ra
CD CP

Có hai tam giác CIB và CAP đồng dạng
CI CA
=
� CI.CP = CA.CB (2)
Suy ra
CB CP
Từ (1) và (2) suy ra
6


CA.CB
CD
Do A, B, C cố định nên CA, CB, CD khơng đổi (D là trung điểm AB)
Khi đó độ dài CK không đổi; nên K cố định. Suy ra IQ ln đi qua điểm K cớ
định.
Ví dụ 3: Cho 3 điểm thẳng hàng A, B, C theo thứ tự đó.Một đường trịn (O) thay
đổi nhưng ln đi qua B và C. Từ A kẻ 2 tiếp tuyến AM và AN đến đường tròn
(O). Đường thẳng MN cắt hai đoạn AO, AC lần lượt tại H và K. Chứng minh
đường tròn ngoại tiếp tam giác OHK luôn đi qua 2 điểm cớ định.
CK.CD = CA.CB � CK =

Phân tích bài tốn:
́u tố cố định: 3 điểm A, B, C
Yếu tố thay đổi: Đường trịn (O)
Dự đốn điểm cố định :
+ Trung điểm của BC và giao điểm của MN với BC.
Hướng chứng minh:
+ Chứng minh tứ giác OHKI nội tiếp
+ Chứng minh tam giác đồng dạng suy ra: AK.AI = AB.AC.
Hướng dẫn trình bày lời giải:

Gọi I là trung điểm của BC.
Xét đường trịn (O) ta có OI  BC ( Quan hệ giữa đường kính và dây cung)
Vì AN và AM là tiếp tuyến của đường tròn (O) => AN = AM => tam giác ANM
�  900
cân tại A=> AH là trung trực của MN. => OHK
�  OIK
�  1800
Xét tứ giác OHKI có: OHK
=> tứ giác OHKI nội tiếp.
Tam giác AOI đồng dạng tam giác AKH
AK AO
=
� AK.AI = AO.AH (1)
Suy ra
AH AI
Có tam giác ONA vng, đường cao NH=> AO.AH = AN2
Mà AN2 = AB.AC
7


AB.AC
AI
Do A, B, C cố định nên AB, AC, AI khơng đổi (I là trung điểm CB )
Khi đó độ dài AK không đổi; nên K cố định. Suy ra đường trịn ngoại tiếp tam
giác OHK ln đi qua 2 điểm cớ định.
Ví dụ 4: Cho đường trịn tâm (O). Từ điểm A cố định ở ngoài (O) kẻ tiếp tuyến
AB, AC tới (O) (B, C tiếp điểm). Lấyđiểm M trên cung nhỏ BC. Gọi D, E, F thứ
tự là hình chiếu từ M đến BC, AC, AB. Gọi MB cắt DF tại P, MC cắt DE tại Q.
Chứng minh đường thẳng nới giao điểm của hai đường trịn ngoại tiếp tam giác
MPF và MQE luôn đi qua một điểm cớ định.[2]

=> AK.AI = AB.AC � AK =

Phân tích bài tốn:
́u tớ cớ định:+ điểm A cớ định
+ BC khơng đổi.
́u tớ thay đổi: M thay đổi.
Dự đốn điểm cố định:
- Do BC không đổi MN đi qua điểm cố định thuộc cạnh BC
Hướng chứng minh:
+ Chứng minh tứ giác MPDQ nội tiếp, từ đó suy ra MN đi qua trung điểm PQ.
+ Vận dụng định lí Talét để suy ra MN đi qua trung điểm BC.
Trình bày lời giải:
Gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác MPF và MQE cắt nhau tại M, N.
Đường thẳng MN cắt PQ, BC thứ tự tại K và I. Ta có các tứ giác MDCE, MDBF
nội tiếp. Từ các tứ giác nội tiếp và góc tạo bởi giữa tiếp tuyến và dây cung.
� = MDE
� = MBC
� .
Suy ra MCE
8


� = MDF
� = MCB
�
MBF
Suy ra
� + PDQ
� = PMQ
� + PDM

� + QDM
�
PMQ
� + MCB
� + MBC
� = 1800
= > PMQ
Do đó MPDQ là tứ giác nội tiếp
� = MDP
� = MCB
�
Suy ra MQP
Do đó PQ//BC
� = MCB
� = MEQ
�
Từ MQP
.
Suy ra KQ là tiếp tuyến của đường tròn (MQE)
Chứng minh tương tự KP là tiếp tuyến của đường trịn (MPF)
Ta có KM. KN = KQ2, KM. KN = KP2. Suy ra KP = KQ.
Xét tam giác MBC, PQ//BC, KP = KQ.
Theo định lí Ta lét, suy ra I là trung điểm BC.
Vậy MN đi qua điểm cố định I là trung điểm BC.
2.3.2. Dạng 2: Chứng minh điểm cố định là điểm đối xứng với một điểm cố
định qua một tâm cố định.
Ví dụ 1: Cho nửa đường trịn (O), đường kính BC. Gọi D là điểm cớ định thuộc
đoạn thẳng OC (D khác O và C). Dựng đường thẳng d vng góc với BC tại
điểm D, cắt nửa đường tròn (O) tại điểm A. Trên cung AC lấy điểm M bất kỳ (M
khác A và C), tia BM cắt đường thẳng d tại điểm K, tia CM cắt đường thẳng d

tại điểm E. Đường thẳng BE cắt nửa đường tròn (O) tại điểm N (N khác B).
1. Chứng minh tứ giác CDNE nội tiếp.
2.Chứng minh ba điểm C, K và N thẳng hàng.
3. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BKE. Chứng minh rằng
điểm I luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi điểm M thay đổi.[3]

9


Hướng dẫn HS giải câu C

E

N
K

M

O
B

H

D

C

Phân tích bài tốn:
u tớ cố đinh: B,O, C, D cố định
+ đường thẳng d cố định

Yếu tố thay đổi: điểm M thay đổi trên (O), E thay đổi trên d
Dự đoán điểm cố định:Vẽ đường tròn đường ngoại tiếp tam giác BKE cắt BC
tại điểm H . Thấy H đối xứng với C qua D.
+ Tâm I thuộc đường trung trực của HB cố định
Hướng chứng minh:
+ Lấy H đối xứng với C qua D, Do C,D cố định nên H cố định
+ Chứng minh tứ giác BEKH nội tiếp
+ Suy ra tâm đường trịn thuộc đường trung trực của HB cớ định
Hướng dẫn trình bày lời giải:
Lấy H đới xứng với C qua D, Do C,D cố định nên H cố định.
�  KCH
�
tam giác HKC cân tại K nên KHC
�  KCH
�
�  BED
�
Mà BED
(cùng phụ góc EBC) Vậy KHC
nên tứ giác BEKH nội
tiếp nên I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BKE đi qua B và H cố định nên I
thuộc đường trung trực của BH
Ví dụ 2: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB. Đường thẳng vng góc
với AB tại C ( C là điểm nằm giữa A và O) cắt nửa đường tròn ở I. Lấy điểm K
10


bất kỳ thuộc đoạn thẳng CI ( K không trùng với C và I ). Tia AK cắt nửa đường
tròn (O) tại M, tia BM cắt tia CI tại D. Chứng minh:
a) Tứ giác ACMD nội tiếp được trong một đường tròn.

b) AB.MC = AD.MB
c) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD nằm trên một đường
thẳng cố định khi K di động trên đoạn thẳng CI
Hướng dẫn giải câu C
D
M
I

K

E

A

C

O

B

Phân tích bài tốn:
́u tớ cớ định: điểm O, A, B, C, D
Yếu tố thay đổi: điểm K thay đổi.
Dự đốn điểm cố định:
- Vẽ đường trịn đường ngoại tiếp tam giác AKD cắt AB tại điểm E . Thấy E
đối xứng với B qua C.
+ Tâm O1 thuộc đường trung trực của AB cố định.
Hướng chứng minh:
+ Trên tia BA lấy điểm E đối xứng với B qua C. Vì A,B,C cớ định nên E cớ
định.

+ Chứng minh tứ giác AKDE nội tiếp.
+ O1 thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB cớ định.
Trình bày lời giải:
Trên tia BA lấy điểm E đới xứng với B qua C. Vì A,B,C cố định nên E cố
�  BDC
� .
định. Từ đó ta có EDC
�  MAC
�
Lại có MDC
( 2 góc nội tiếp chắn cung MC của tứ giác ACMD nội tiếp ).
�
� (1)
Từ đó suy ra: EDC  MAC
�  MAE
�  1800 ( 2góc kề bù) (2)
Mặt khác: MAC
�  MAE
�  1800
Từ (1) và (2) � EDC
�  KAE
�  1800 ( Vì EDC
�  MAE
�  1800 )
Xét tứ giác AKDE có EDK
Vậy tứ giác AKDE nội tiếp. Đường tròn này đi qua 3 điểm A,D,K nên cũng là
đường tròn ngoại tiếp ADK
11

Gọi O1 là tâm đường tròn ngoại tiếp ADK cũng là tâm tâm đường tròn ngoại
tiếp tứ giác AKDE. Nên ta có O1E  O1 A . Vậy O1 thuộc đường trung trực của đoạn
thẳng AB cớ định.
Ví dụ 3: Cho hai đường tròn (O; R ) và (O ' ; R ' ) cắt nhau tại hai điểm A và B.
Trên tia đối của tia AB lấy điểm M. Kẻ qua M các tiếp tuyến MC, MD tới đường
tròn (O ' ; R ' ) ( với C, D là các tiếp điểm và điểm D nằm trong đường tròn (O; R ) ).
Các đường thẳng AD, AC lần lượt cắt (O; R ) tại P và Q ( P, Q khác A). Gọi N là
giao điểm của CD với đường trung trực của đoạn thẳng AB, F là giao điểm của
OO’ với AB, E là trung điểm của CD. CMR :
1) O ' EN : O ' FM và NA, NB là các tiếp tuyến của đường tròn (O ' ; R ' )
2) Chứng minh : DBC : PBQ
3) Đường thẳng PQ luôn đi qua 1 điểm cố định khi M thay đổi trên tia đối
của tiaAB.
Hướng dẫn câu 3
M

C
A

Q
D

O

O'
F

B
P
N

Gọi K là giao điểm của PQ với tiếp tuyến tại B của đường tròn (O).
�  NCB
� ( PAB
� )
- Chứng minh : KQB
�  CNB
� ( QPB
�  PBK
�  BAC
�  KQB
�  BDC
�  DBN
� )
- Chứng minh : QKB
� KQB : NCB ( g .g )

- Chứng minh : BK 

BQ
.BN
BC

(1)

� BQ BK �
do

�
�

� BC BN �

12


Kết hợp với : DBC : PBQ ( g .g ) và do hai tam giác này lần lượt nội tiếp
đường tròn (O; R) và (O’; R’) nên :
BQ R

(2)
BC R '
R
Từ (1) và (2) suy ra : BK  ' .BN
R
Vì hai điểm A, B cớ định nên NA, NB cố định. Suy ra điểm N cố định, BN
không đổi, BK không đổi.
Vậy điểm K cố định.

Bài hoc kinh nghiệm rút ra:
Bài toán " Tìm điểm cớ định trong hình học 9" địi hỏi học sinh phải có kĩ
năng: Tìm hiểu bài toán, dự đoán điểm cớ định, tìm tịi hướng giải và trình bày
lời giải.
Tìm hiểu bài toán: Yếu tố cố định ( điểm, đường thẳng...), yếu tố chuyển động
( điểm, đường..), yếu tố không đổi ( độ dài đoạn thẳng, độ lớn góc...) Quan hệ
khơng đổi ( song song, vng góc, thẳng hàng...). Khâu tìm hiểu nội dung bài
toán rất quan trọng. Nó định hướng cho các thao tác tiếp theo. Trong khâu này
đòi hỏi học sinh phải có trình độ phân tích bài toán, khả năng phán đoán tốt. Tùy
thei khả năng của học sinh mà giáo viên có thể đưa ra hệ thớng câu hỏi phù
hợp.Cần xác định rõ yếu tố cố định, không đổi, các quan hệ không đổi và các
yếu tố thay đổi, tìm mới quan hệ giữa các ́u tớ đó.

Dự đoán điểm cố định: Dựa vào những vị trí đặc biệt của yếu tố chuyển động để
dự đoán điểm cố định. Thơng thường ta tìm một hoặc hai vị trí đặc biệt cộng
thêm với các đặc điểm bất biến khác như tính chất đối xứng, song song, thẳng
hàng... để dự đoán điểm cớ định.
Tìm tịi hướng giải: Từ việc dự đoán điểm cớ định tìm mới quan hệ giữa các
điểm đó với các yếu tố chuyển động,yếu tố cố định và yếu tố không đổi. Thôn
thường để chứng minh một điểm là điểm cớ định ta thường chỉ ra điểm đó thuộc
2 đường thẳng cớ định, thuộc một đường trịn cớ định và thỏa mãn một điều kiện
nào đó...
Trình bày lời giải: Khi trình bày lời giải cần thỏa mãn tính ngắn gọn, đầy đủ, thể
hiện được tư duy lô gic của HS.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Sau khi ý tưởng của đề tài này được thực hiện, tôi thấy thu được nhiều kết
quả khả quan:

13


Đối với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường: Tôi cảm thấy mình có thể
hướng dẫn học sinh từ khá trở lên biết định hướng để tìm chứng minh điểm cố
định.. Với lượng bài tập không quá lớn, nhưng học sinh đủ suy ngẫm để tìm ra
cách làm của riêng mình, khơng sinh khơng bị choáng ngợp bởi câu hỏi vì sao.
ta đã giúp học sinh tự tin làm được những điều mà bản thân học sinh có thể tự
làm được. Thấy được lợi ích của nó khi cho học sinh áp dụng vào giải bài tập và
làm bài kiểm tra, bài thi. Bản thân cũng đã tạo cho mình một giáo án riêng để có
thể giảng dạy học sinh. Bên cạnh đó, đờng nghiệp cũng có thể sử dụng để tham
khảo kiến thức, phương pháp một cách có hiệu quả.
Đối với hoạt động giáo dục:
- Hướng dẫn học sinh hai dạng toán tìm điểm cớ định đơn giản, học sinh

hứng thú học,đam mê tìm tịi trong khả năng của mình , kích thích khả năng
khám phá của các em, từ đó giúp các em tìm tịi, mở rộng ra những dạng toán
khó hơn tạo ra mới quan hệ giữa các mạch kiến thức trong việc dạy toán theo
hướng đổi mới phương pháp giảng dạy .
Kết quả:Sau khi đã áp dụng chuyên đề:
So với lúc ban đầu đã có sự tiến bộ rõ rệt, bản thân thấy học sinh yêu thích mơn
học hơn, thích khám phá các dạng toán khó hơn.
Sĩ sớ
9D1
9D2

30
30

Giỏi
SL
27
12

%
90%
40%

Khá
SL
3
15

%
10%

50%

Trung bình
SL
%
0
3
10%

́u
SL
0

%

3. Kết luận, kiến nghị.
3.1. Kết luận.
Trong các phương pháp học thì cớt lõi là phương pháp tự học. Nếu rèn
luyện cho người học có được phương pháp, kĩ năng, thói quen, ý chí tự học sẽ
tạo cho họ lịng ham học, khơi dậy nội lực vớn có trong mỗi con người, kết quả
học tập sẽ được nhân lên gấp bội.
Với lượng bài tập không quá nhiều đối với học sinh, trong một thời gian
ngắn giáo viên đã hướng dẫn học sinh học sinh phương pháp suy luận, dự đoán,
chứng minh một sớ dạng toán tìm điểm cớ định. HS có thể phân tích tìm đoán,
phát triển tư duy hình học. Học sinh tìm được niềm vui trong toán học. Dạy
cho HS phương pháp phân tích, suy luận, vận dụng các kiến thức đã học vào
giải toán, giúp người học phát huy được năng khiếu, lúc đó người học sẽ có tính
sáng tạo, có tư duy tớt và kỹ năng vận dụng lý thuyết một cách linh hoạt. Chính
14

vì lẽ đó, trong quá trình giảng dạy, người giáo viên cần chuẩn bị chu đáo, tỉ mỉ,
rõ ràng từng thể loại bài tập cụ thể để học sinh hiểu sâu bản chất và cách vận
dụng. Xây dựng cho các em niềm đam mê, hứng thú trong học tập, tôn trọng
những suy nghĩ, ý kiến và sáng tạo của các em. Cần thường xuyên kiểm tra,
đánh giá kết quả học tập, bổ sung thiếu sót kịp thời, dạy sâu, dạy chắc và kết
hợp nhuần nhuyễn, lôgic giữa các bài khác nhau.
3.2. Kiến nghị.
- Đối với GV: Cần cung cấp kiến thức một cách hệ thống cho học sinh, đưa
ra hệ thống bài tập rõ ràng, mạch lạc, lôgic và tăng dần khả năng tư duy sáng tạo
cho HS.
-Đối với tổ chuyên môn: Tổ chức chuyên đề khai thác " Hướng dẫn học
sinh giải bài toán tìm điểm cớ định trong hình học 9". để cùng nhau góp ý xây
dựng tạo hiệu quả cao trong giảng dạy ôn thi vào lớp 10 THPT đạt hiệu quả cao.
Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ của bản thân tơi trong quá trình dạy học
khai thác tổ chức :Hướng dẫn học sinh giải bài tốn tìm điểm cố định trong
hình học 9".
Rất mong nhận được sự trao đổi và góp ý của đồng nghiệp.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Quảng Xương, ngày 16 tháng 04 năm 2021
ĐƠN VI
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, khơng sao chép nội dung của người
khác.
Người thực hiện

Nguyễn Quỳnh Lê

15

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Những vấn đề chung đổi mới giáo dục trung học cơ sở
( Nguyễn Hải Châu, Phạm Đức Quang, Nguyễn Thế Thạch- Nhà xuất bản Giáo
dục)
[2]. Tuyển chọn đề thi TS vào 10 chun mơn Tốn
(Hoàng Văn Minh - Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia)
[3]. Chiến thắng kì thi 9 vào 10 tốn học
( Nguyễn Đức Tấn- Nguyễn văn Toàn - Nhà xuất bản thanh niên)

16