SKKN khai thác bài tập số 4 trang 25, sách giáo khoa hình học 12 chương trình cơ bản để có thêm phương pháp giải toán nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KHAI THÁC BÀI TẬP SỐ 4, TRANG 25, SÁCH GIÁO
KHOA HÌNH HỌC 12 CHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN ĐỂ
CĨ THÊM PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN NHẰM TẠO
HỨNG THÚ HỌC TỐN CHO HỌC SINH

Người thực hiện: Vi Thanh Hồng
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc mơn: Tốn

THANH HĨA, NĂM 2021

MỤC LỤC


Nội dung

Trang

1.Mở đầu................................................................................................................1
1.1. Lý do chọn đề tài............................................................................................1
1.2. Mục đích nghiên cứu......................................................................................1
1.3. Đối tượng nghiên cứu.....................................................................................2
1.4. Phương pháp nghiên cứu................................................................................2
2. Nội dung nghiên cứu.........................................................................................2
2.1. Cơ sở lý luận..................................................................................................2

2.1.1. Một số cơng thức thường gặp trong hình phẳng..........................................3
2.1.2. Kiến thức cơ bản về thể tích khối đa diện...................................................4
2.1.2.1. Khái niệm về thể tích khối đa diện...........................................................4
2.1.2.2. Một số cơng thức tính thể tích khối đa diện.............................................4
2.2. Thực trạng của đề tài......................................................................................4
2.3. Các biện pháp giải quyết vấn đề.....................................................................5
2.3.1. Bài toán mở đầu ..........................................................................................5
2.3.2. Tính tỉ số thể tích các khối đa diện .............................................................7
2.3.2.1. Tỉ số thể tích khối
chóp ...........................................................................7
2.3.2.2. Tỉ số thể tích khối lăng trụ......................................................................10
2.3.3.Tính thể tích các khối đa diện ....................................................................11
2.3.4. Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng..................................13
2.3.5. Tính diện tích đa giác ...............................................................................16
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm............................................................17
3. Kết luận, kiến nghị..........................................................................................18
3.1. Kết luận........................................................................................................18
3.2. Kiến nghị......................................................................................................18
Tài liệu tham khảo…………………………………………………………….. 19


1. Mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài
Khai thác tài liệu để phục vụ công việc giảng dạy là một việc làm thường
xuyên của giáo viên góp phần nâng cao chất lượng trong mỗi bài giảng. Trong
các học liệu phục vụ giảng dạy và học tập thì sách giáo khoa là một trong những
học liệu quan trọng nhất. Các bài tập trong sách giáo nói chung và sách giáo
khoa mơn tốn nói riêng thường được chọn lọc rất cơ đọng ở mỗi dạng tốn và
ẩn chứa trong đó nhiều nội dung quan trọng mà càng suy ngẫm càng thấy hay,
càng khám phá cho ta thêm nhiều vấn đề mới, từ đó thêm được cơng cụ để giải

quyết các dạng tốn liên quan khác một cách gọn gàng hơn, tinh tế hơn. Bài tập
4 ở trang 25, sách giáo khoa hình học 10 chương 1 là một ví dụ điển hình cho
việc khai thác một bài toán trong sách giáo khoa để có thêm phương pháp giải
tốn hình học 12 đó là “Phương pháp tỉ số thể tích”.
Trong thực tế giảng dạy mơn Hình học lớp 12 ta thấy: Có nhiều bài tốn
tính thể tích tưởng như rất khó rất phức tạp, vì cần tính độ dài đường cao và diện
tích đáy nhưng chỉ vài kỹ thuật áp dụng phương pháp tỉ số thể tích thì ta nhanh
chóng giải quyết bài toán rất “đẹp” một cách bất ngờ. Sử dụng thành thạo
“Phương pháp tỉ số thể tích” ấy nhiều khi biến những bài phức tạp thành những
bài rất quen thuộc với cách giải ngắn gọn và dễ hiểu. Đặc biệt các kỹ thuật đó rất
phù hợp với cách làm những dạng toán thi trắc nghiệm trong kỳ thi THPT Quốc
gia những năm 2017, 2018, 2019 hay kì thi Tốt nghiệp THPT năm 2020 và 2021
này.
Chính vì vậy tơi xin được trao đổi với quý đồng nghiệp đề tài: “Khai thác
bài tập số 4 trang 25, Sách giáo khoa Hình học 12 chương trình cơ bản để có
thêm phương pháp giải tốn nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh”, với
mục đích giúp học sinh lớp 12 nắm vững cách vận dụng một bài tốn trong sách
giáo khoa làm cơng cụ để giải các dạng tốn như: Tính thể tích và tỉ số thể tích
các khối đa diện; tính khoảng cách; tính diện tích đa giác. Đặc biệt có thể giúp
học sinh lớp 12 chuẩn bị ôn luyện tốt kiến thức cho kỳ thi Trung học phổ thông
Quốc gia trước đây hay kỳ thi Tốt nghiệp Trung học phổ thông hiện nay.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài là khai thác bài tập số 4 trang 25, Sách
giáo khoa Hình học 12 chương trình cơ bản để giải các dạng tốn như: Tính
thể tích và tỉ số thể tích các khối đa diện; tính khoảng cách; tính diện tích đa giác
Biết vận dụng “ Phương pháp tỉ số thể tích” vào giải các bài tập hình học
liên quan đến tính thể tích khối đa diện, tính khoảng cách từ một điểm đến một
mặt phẳng và các dạng tốn khác liên quan như tính diện tích đa giác. Từ đó rèn
luyện cách nhìn đa chiều của học sinh về một bài tốn, một cơng thức hay một
tính chất của tốn học, góp phần nâng cao nhãn quan tốn học cho học sinh.

1


Từ đó góp phần cải thiện, nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn ở
trường Trung học phổ thơng. Đồng thời cũng giúp học sinh ôn luyện tốt kiến
thức chuẩn bị cho các kỳ thi như thi tốt nghiệp Trung học phổ thông cũng như
kỳ thi đánh giá năng lực của một số trường Đại học của nước ta.
1.3. Đối tượng nghiên cứu

Với mục đích nghiên cứu đã nêu ở trên, đối tượng nghiên cứu của đề tài
là:
- Nghiên cứu cách khai thác một bài tập trong sách giáo khoa
- Các bài tập về tính thể tích khối đa diện; tỉ số thể tích khối đa diện; các
bài tập tính khoảng cách; các bài tập tính diện tích đa giác trong chương
trình tốn Trung học phổ thơng.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Sử dụng các phương pháp nghiên cứu chuyên ngành lí luận và phương
pháp giảng dạy mơn tốn đã học được tập trung vào các phương pháp sau:
-Đọc các tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục .... có liên quan đến nội dung
đề tài.
-Đọc SGK, sách giáo viên, các loại sách tham khảo. Dự giờ, trao đổi ý kiến
với đồng nghiệp về nội dung Thể tích khối đa diện.
-Tổng kết rút kinh nghiệm trong quá trình dạy học.
-Tổ chức và tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án đã thơng qua
các tiết dạy) để kiểm tra tính khả thi của đề tài.
2. Nội dung nghiên cứu
2.1. Cơ sở lý luận
Theo nghị quyết số 29-NQ/TW, ngày 4 tháng 11 năm 2013- nghị quyết
hội nghị trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo
nêu rõ: nhiệm vụ trung tâm trong trường học là hoạt động dạy của thầy và hoạt

động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân
lực, bồi dưỡng nhân tài”. Trong các văn kiện trình Đại hội XII, Đảng ta nhấn
mạnh sự quan tâm đặc biệt và làm rõ hơn lập trường, quan điểm, tính nhất quán
về sự cần thiết phải đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục, đào tạo, phát triển
nguồn nhân lực.

Vai trị của tốn học ngày càng quan trọng và tăng lên không ngừng thể
hiện ở sự tiến bộ trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ,
sản xuất và đời sống xã hội, đặc biệt là với máy tính điện tử, tốn học thúc
2


đẩy mạnh mẽ các q trình tự động hố trong sản xuất, mở rộng nhanh phạm
vi ứng dụng và trở thành công cụ thiết yếu của mọi khoa học.
Muốn học tốt mơn tốn các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở
mơn tốn một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng
bài tập. Điều đó thể hiện ở việc học đi đơi với hành, địi hỏi học sinh phải có tư
duy logic và cách biến đổi. Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và
nghiên cứu mơn tốn học một cách có hệ thống trong chương trình học phổ
thơng, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp
các cách giải.
Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính
giúp cho học sinh lớp 12 biết khai thác một bài tốn trong sách giáo khoa từ đó
học sinh có thể tự mình “khám phá” ra một “cơng cụ” mới đó là “Phương pháp
tỉ số thể tích” để áp dụng tính thể tích khối đa diện và các dạng tốn khác như:
Tính tỉ số thể thích khối đa diện, tính khoảng cách, tính diện tích đa giác nhằm
tạo hứng thú học tốn cho học sinh. Đặc biệt có thể giúp học sinh lớp 12 chuẩn
bị ôn luyện tốt kiến thức cho kỳ thi Trung học phổ thông Quốc gia trước đây hay
kỳ thi Tốt nghiệp Trung học phổ thông hiện nay.
Để khai thác bài tập số 4 trang 25, Sách giáo khoa Hình học 12 chương

trình cơ bản học sinh cần nắm vững kiến thức như “Các hệ thức lượng trong
tam giác” học ở cấp 2 và ở mơn Hình học lớp 10; kiến thức ở chương I trong
sách giáo khoa Hình học 12 cơ bản nhà xuất bản giáo dục Việt Nam năm 2009
như sau:

2.1.1. Một số công thức thường gặp trong hình phẳng
Hệ thức lượng trong tam giác vng
Cho ABC vuông tại A, đường cao AH:
AB 2  AC 2  BC 2

AH .BC  AB. AC

AC 2  CH .BC

AB 2  BH .BC

AH  BH .HC

1
1
1


2
2
AH
AB
AC 2

2

AB  BC.sin C�  BC.cos B�  AC.tan C�  AC .cot B�
Hệ thức lượng trong tam giác bất kì
Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c

d1; d 2 ; d 3

 AB  c, BC  a, CA  b 

lần lượt là độ dài các đường trung tuyến tương ứng với
kính đường trịn ngoại tiếp R, nội tiếp r, nửa chu vi p.

BC ; CA; AB ;

bán

3


2
2
2
�
+ Định lý hàm cosin: a  b  c  2bc cos A ;

b 2  c 2  a 2  2ac.cos B� ;
c 2  a 2  b 2  2ab cos C� ;
a
b
c



 2R
sin A sin B sin C
.

+ Định lý hàm sin:

b2  c 2 a 2 2 c2  a 2 b2 2 a 2  b2 c 2
d 
 ; d2 
 ; d3 

4
4
2
4
2
4 .
+ Độ dài trung tuyến:
2
1

Các công thức tính diện tích
Diện tích tam giác:
S

1
1
1

a.ha  b.hb  c.hc
2
2
2
;

S

1
1
�  1 ab.sin C
�
bc sin �
A  ac.sin B
2
2
2
;

S

abc
4R

;

S  pr ;

S

p  p  a  p  b  p  c 

Diện tích hình vng:

S  a2

(Cơng thức Hê-rơng). [1]
với a là độ dài cạnh hình vng.

Diện tích hình chữ nhật S  ab với a, b là độ dài hai cạnh của hình chữ nhật.
Diện tích hình thang có độ dài đáy lớn và đáy nhỏ lần lượt là m, n và độ dài
đường cao là h:

S

1
 m  n h
2
.

2.1.2. Kiến thức cơ bản về thể tích khối đa diện
2.1.2.1. Khái niệm về thể tích khối đa diện
Thể tích mỗi khối đa diện (H) là số dương xác định V(H) sao cho các tính chất
sau đây thỏa mãn
a) Nếu (H) là khối lập phương có cạnh bằng 1 thì V(H) = 1.
V V
b) Nếu hai khối đa diện (H1) và (H2) bằng nhau thì ( H1 ) ( H 2 ) .
c) Nếu khối đa diện (H) được phân chia thành hai khối đa diện (H1) và (H2)
thì:
V( H1 )  V( H1 )  V( H 2 )

. [2]
4


2.1.2.2. Một số cơng thức tính thể tích khối đa diện
Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước lần lượt là a, b, c là V  abc .
Thể tích khối lăng trụ H có diện tích đáy bằng B và chiều cao h là V  B.h
Thể tích của khối chóp có diện tích đáy bằng B và chiều cao h là

1
V  Bh
3 .

[2]

2.2. Thực trạng của đề tài
Hình học khơng gian nói chung cũng như bộ mơn Hình học lớp 12 đa số
học sinh thường gặp khó khăn trong nhiều vấn đề, đặc biệt là vấn đề tính thể tích
khối đa diện. Theo các cơng thức tính thể tích các khối đa diện thì để tính được
thể tích khối đa diện ta phải tình được đường cao và diện tích đáy của khối đa
diện đó. Tuy nhiên trong nhiều bài tập việc xác định đường cao của đa diện
không phải là việc dễ dàng đối với học sinh. Trong quá trình giảng dạy và
nghiên cứu, tơi đã thử giải các bài tốn tính thể tích khối đa diện bằng phương
pháp tỉ số thể tích thấy rất có hiệu quả và cho được lời giải ngắn gọn rất nhiều;
hơn nữa học sinh chỉ cần những kiến thức cơ bản về hình học khơng gian ở lớp
11 cùng các kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác là học sinh có thể làm
được. Nhằm giúp các em tìm tịi, phát hiện và tạo hứng thú trong q trình học
bộ mơn Tốn và hơn nữa là góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy, nay tôi
nghiên cứu và viết đề tài: “Khai thác bài tập số 4 trang 25, Sách giáo khoa
Hình học 12 chương trình cơ bản để có thêm phương pháp giải tốn nhằm tạo

hứng thú học toán cho học sinh”.

“Khai thác bài tập số 4 trang 25, Sách giáo khoa Hình học 12 chương
trình cơ bản để có thêm phương pháp giải tốn nhằm tạo hứng thú học toán
cho học sinh” cho ta phương pháp tỉ số thể tích để giải các bài tốn tính thể tích
khối đa diện một cách dễ hiểu hơn, ngồi ra có thể áp dụng tính khoảng cách,
tính diện tích đa giác, phù hợp với các đối tượng học sinh có học lực trung bình
trở lên.
“Khai thác bài tập số 4 trang 25, Sách giáo khoa Hình học 12 chương
trình cơ bản để có thêm phương pháp giải tốn nhằm tạo hứng thú học tốn
cho học sinh” kích thích sự sáng tạo tính ham học hỏi, ham khám phá của học
sinh.
“Khai thác bài tập số 4 trang 25, Sách giáo khoa Hình học 12 chương
trình cơ bản để có thêm phương pháp giải toán nhằm tạo hứng thú học tốn
cho học sinh” giúp học sinh u thích học tập mơn tốn hơn, thấy được “vẻ
đẹp’’ tiềm ẩn của tốn học.
“Khai thác bài tập số 4 trang 25, Sách giáo khoa Hình học 12 chương
trình cơ bản để có thêm phương pháp giải toán nhằm tạo hứng thú học toán
5


cho học sinh” có thể giúp học sinh phát huy tối đa sự tự học, tự bồi dưỡng tri
thức – một con đường tiết kiệm, kinh tế nhất để học tập tốt.
2.3. Các biện pháp giải quyết vấn đề
2.3.1. Bài toán mở đầu
Ta xét bài toán sau:
Bài toán 1: (Bài 4, Sách giáo khoa Hình học 12 chương trình cơ bản, trang25)
Cho hình chóp S.ABC. Trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy các
VS . A ' B 'C ' SA ' SB ' SC '


.
.
V
SA
SB
SC
điểm A’, B’, C’ khác điểm S. Chứng minh rằng S . ABC

(1)

[2]

Lời giải
Gọi H và H’ lần lượt là hình chiếu vng góc của A và A’ lên (SBC)
Ta có AH//A’H’. Ba điểm S, H, H’ cùng thuộc hai mp (AA’H’H) và (SBC)
nên chúng thẳng hàng. Xét  SAH ta có

SA ' A ' H '

SA
AH

(*)

Do đó:

VS . A ' B 'C '
VS . ABC



1
A ' H '.S SB 'C '
3

1
AH .SSBC
3

�' SC '
A ' H ' SB '.SC '.sin B
.
�
AH
SB.SC.sin BSC
(**)
Từ (*) và (**) ta được đpcm .

Trong công thức (1), đặc biệt hoá, cho B’ �B và C’ �C ta được

VS . A ' B 'C ' SA '

VS . ABC
SA
VS . A ' BC SA '

V
SA
Hay: S . ABC

(1’)

Ta lại có
6


VS . ABC  VS . A ' BC  VA '. ABC
(1') � VS . ABC 
�

SA '
.VS . ABC  VA '. ABC
SA

VA '. ABC
SA ' A ' A
 1

VS . ABC
SA
SA

VA '. ABC A ' A

V
SA
Vậy: S . ABC

(2)

Tổng qt hố cơng thức (2) ta có bài tốn sau đây:
Bài tốn 2: Cho khối chóp đỉnh S, đáy là 1 đa giác lồi A1A2…An ( n �3) , trên đoạn
thẳng SA1 lấy điểm A1’ không trùng với A1. Khi đó ta có:

VA1 '. A1 A2 ... An
VS . A1 A2 ... An



A1 ' A1
SA1

(2’)

[3]

Với mạch kiến thức ở Bài tốn 1 ta có thể chứng minh được các bài tốn
sau từ đó thu được một số cơng thức về tỉ số thể tích các khối đa diện phục vụ
việc giải nhanh bài toán trắc nghiệm:
Bài toán 3: Cắt khối chóp

S . A1 A2 ... An

Bởi một mặt phẳng  song song với đáy

SM
k
SA1
SA
1

và cắt cạnh
tại điểm M thỏa mãn
. Khi đó

 chia khối chóp ban đầu

thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh S có thể tích V ' và
V'
 k3
V
( V là thể tích khối đa diện ban đầu) (3)
[3]
Bài tốn 4: Cho khối lăng trụ tam giác ABC. A ' B ' C ' . Mặt phẳng  cắt các
AM
CN
BP
 m,
 n,
p
CC '
BB '
cạnh AA’, BB’, CC’ lần lượt tại M, N, P sao cho AA '
. Khi
đó:
VABC .MNP m  n  p

V
3
(4)
( V là thể tích lăng trụ ABC. A ' B ' C ' ). [3]

7


Bài toán 5: Xét mặt phẳng  cắt các cạnh AA’, BB’, CC’, DD’ của khối hộp
chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ lần lượt tại Q, P, N, M sao cho
đó:

VABCCD.QPNM
VABCCD . A ' B 'C ' D '



x y
2 (5)

DM
BP
 x,
y
DD '
BB '
.

Khi

[3]

Sau đây ta sẽ xét một số ứng dụng của Bài tốn 1:
2.3.2. Tính tỉ số thể tích các khối đa diện

2.3.2.1. Tỉ số thể tích khối chóp
Ví dụ 1. Trên ba cạnh OA, OB, OC của khối chóp O. ABC lần lượt lấy các điểm
A�
, B�
, C �sao cho 2OA�
 OA, 4OB�
 OB và 3OC �
 OC . Tỉ số thể tích giữa hai
B C và O. ABC là
khối chóp O. A���
A.

1
12 .

B.

1
24

.

C.

1
32 .

D.

1

16 .

Lời giải
VO . A ' B��
OA�OB�OC � 1 1 1 1
C

.
.
 . . 
VO. ABC
OA OB OC 2 4 3 24 .

Từ đó ta chọn đáp án B.

8


Ví dụ 2. Cho hình chóp S . ABCD , có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi A�
, B�
,
C�
, D�theo thứ tự là trung điểm của SA , SB , SC , SD . Tính tỉ số thể tích của
B C D và S . ABCD .
hai khối chóp S . A����
A.

1
16

B.

1
4

C.

1
8

D.

1
2

[4]
Lời giải

VS . A���
SA�SB�SD� 1
BD

.
.

V
SA
SB
SD
8

Ta có S . ABD
�

VS . A���
1
BD

VS . ABCD 16 .

VS . B���
SB�SD�SC � 1
DC

.
.

V
SB
SD
SC
8
S
.
BDC
Và
�

VS . B���
1
DC


VS . ABCD 16 .

VS . A���
V DC
V BCD 1
1 1 1
BD
   S . B���
   � S . A����

V
V
16
16
8
V
8 . Do đó ta chọn đáp án C.
S
.
ABCD
S
.
ABCD
S
.
ABCD
Suy ra

Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD và M, N, P lần lượt thuộc BC, BD, AC sao cho BC

= 4BM, BD = 2BN, AC = 3AP. Mặt phẳng (MNP) cắt AD tại Q. Tính tỉ số thể
tích hai phần khối tứ diện ABCD bị chia bởi mặt phẳng (MNP) .
A.

2
3

B.

7
13

C.

5
13

D.

1
3

[9]
Lời giải
9


Gọi I  MN �CD, Q  PI �AD .
Kẻ DH // BC ( H �IM )
và DK // AC ( K �IP) .

NMB  NDH �

ID DH BM 1


 .
IC CM CM 3

IK DK ID 1
DK 1


 �

IP CP IC 3
2 AP 3
DK 2

� AP 3
APQ  DKQ �

AQ AP 3
AQ 3

 �

DQ DK 2
AD 5 .

Đặt V  VABCD .

VANPQ

Ta có: VANCD



AP AQ 1 VANCD VDACN DN 1
1
.



 �V
 V.
ANPQ
AC AD 5 ; VABCD VDABC DB 2
10

VCDMP CM CP 1
1

.
 � VCDMP  V � VN . ABMP  1 VDABMP  1 V  VCDMP  1 V
VCDBA CB CA 2
2
2
2
4
� VABMNQP  VANPQ  VN . ABMP 

V
7
7
V � ABMNQP 
20
VCDMNQP 13

.

7
Vậy mặt phẳng (MNP) chia khối chóp thành 2 phần với tỉ lệ thể tích là 13 .

Do đó ta chọn đáp án B.

2.3.2.2. Tỉ số thể tích khối lăng trụ
B C có thể tích bằng V . Tính thể tích khối
Ví dụ 4. Cho khối lăng trụ ABC. A���
CC.
đa diện BAA��
10


A.

3V
4

.

B.

2V
3

.

C.

V
2

.

D.

V
4

.
[5]

Lời giải
Mặt phẳng

C
 BA��
chia khối lăng trụ

ABC. A���
B C thành hai khối: B.AA��

CC

BC
và B. A���
� VB. AA��
C C  VABC . A���
B C  VB . A���
BC .
B C và khối lăng trụ
Khối chóp B. A���
có chung đáy và chung chiều cao
1
� VB . A���
V
BC 
3
1
2V
� VBAA��
V 
CC V 
3
3

. Do đó ta chọ đáp án B.

B C , M là trung điểm CC �
Ví dụ 5. Cho lăng trụ đứng ABC. A���
. Mặt phẳng
 ABM  chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện. Gọi V1 là thể tích khối lăng

V1
V
trụ chứa đỉnh C và 2 là thể tích khối đa diện cịn lại. Tính tỉ số V2 .

A.

1
5

.

B.

1
6.

C.

1
2

.

D.

2
5

[6]

Lời giải
V1 là thể tích khối lăng trụ chứa đỉnh C tức là
1
V1  VM . ABC  S ABC .MC
3
V2
là thể tích của khối đa diện cịn lại

1
� S ABC .CC �
� V2  VABC . A���
B C  V1  S ABC .CC 
6
5
 S ABC .CC �
6

Khi đó ta có tỉ số:
11


1
S MC
V1 3 ABC


V2 5 S .CC �
6 ABC

1

S ABC .CC �
1
6

5
S ABC .CC � 5
6
. Từ đó ta chọn đáp án A.

2.3.3. Tính thể tích các khối đa diện
3

Ví dụ 6. Cho khối chóp S.ABC có thể tích bằng 5a . Trên các cạnh SB , SC
lần lượt lấy các điểm M và N sao cho SM  3MB , SN  4 NC (tham khảo hình
vẽ). Tính thể tích V của khối chóp A.MNCB .
A.

V 

3 3
a
5 .

B.

V 

3 3
a
4 .

3
C. V  a .

D.

V  2a 3 .

[7]
Lời giải
Gọi V1 là thể tích khối chóp S . AMN
và Vo là thể tích khối chóp S . ABC .
Theo cơng thức tỷ lệ thể tích ta có:
V1
SM SN 3 4 3

.
 . 
Vo
SB SC 4 5 5 .

V là thể tích khối chóp A.MNCB

ta có V  V1  V0 .
Vậy

V 

2
2

V0  .5a 3  2 a 3
5
5
.

Do đó ta chọn đáp án D.

12


Ví dụ 7: Cho khối chóp S.ABC với tam giác ABC vuông cân tại B, AC  2a ,
SA   ABC 

và SA  a . Giả sử I là điểm thuộc cạnh SB sao cho
tích khối tứ diện SAIC bằng
a3
A. 9

a3
B. 3

2a 3
C. 3

SI 

1
SB
3
.

Thể

a3
D. 6

[3]
Lời giải
Tam giác ABC vng cân tại B có

AC  2a � AB  BC  a 2 .
Áp dụng công thức tỉ số thể tích ta có:
1
a3
VS . ABC  .S ABC .SA 
3
3

VS . AIC SA SI SC 1
a3
 . .
 � VSAIC 
VSABC SA SB SC 3
9 .
Do đó ta chọn đáp án A.

Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật. AB  2a; BC  a ;
SA  SB  SC  SD  a 2 . Giả sử E là điểm thuộc cạnh SC sao cho SE  2 EC

, F là điểm thuộc cạnh SD sao cho

SABEF bằng:
2a 3
A. 9 3

5a 3 3
B. 36

SF 

1
FD
3
. Thể tích của khối đa diện

2a 3
C. 27 3

5a 3 3
D. 12

[3]

Lời giải

13


Ta có BD  AB  AD  a
2

2

5 .Gọi  O  AC �BD thì

BO 

DB a 5

2
2

Tam giác SBD cân tại S suy ra SO là đường cao của tam giác SBD hay SO  BD .
SO   ABCD 
Tương tự ta có SO  AC . Suy ra

Ta có
Vậy

SO  SB 2  OB 2 

VSABCD

a 3
2 .

1 a 3
a3
2
 .
.2a 

3 2
3.

VS . ABE SA SB SE 2
 . .

V
SA
SB
SC
3
Ta có S . ABC
� VS . ABE

2
1
a3
 VS . ABC  VS . ABCD 
3
3
3 3 (1)

VS . AEF SA SE SF 2 1 1
 . .
 . 
VS . ACD SA SC SD 3 4 6
1
1
a3
� VS . AEF  .VS . ACD  VS . ABCD 

6
12
12 3 (2)

Từ (1), (2) ta có:
VSABEF  VSABE  VSAEF

a3
a3
5a 3 3



36 . Do đó ta chọn đáp án B.
3 3 12 3

Chú ý: Ở đây nhiều học sinh sẽ mắc sai lầm khi áp dụng cơng thức tỉ số thể tích
cho hình chóp tứ giác, dẫn đến chọn A là sai.

2.3.4. Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Chúng ta biết rằng các bài tốn tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt
phẳng thì khó khăn nhất là xác định được chân đường cao. Tuy nhiên khó khăn
này có thể được khắc phục nếu ta tính khoảng cách thơng qua thể tích của khối
đa diện, mà khoảng cách đó chính là độ dài đường cao của khối đa diện. Sau đây
ta sẽ xét một số ví dụ minh hoạ:

14


Ví dụ 9: Cho tứ diện ABCD có AD vng góc mặt phẳng (ABC), AD = AC =

4cm,
AB = 3cm, BC = 5cm. Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD).
34
(cm)
A. 17

6 34
(cm)
B. 17

C.

4
(cm)
34

5 34
(cm)
D. 17

[3]
Lời giải
Ta có AB2 + AC2 = BC2 � AB  AC
Do đó

VABCD 

1
AB. AC. AD  8(cm3 )
6

Mặt khác CD =

4 2,

BD = BC = 5

Nên BCD cân tại B,
gọi I là trung điểm của CD
1
2 2
� SBCD  DC.BI 
5  (2 2)2  2 34
2
2

Vậy

d ( A, ( BCD)) 

3VABCD
3.8
6 34


(cm)
S BCD
17
2 34
. Do đó ta chọn đáp án B.

0
�
�
Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang, ABC  BAD  90 ,

AD = 2a, BA = BC = a, cạnh bên SA vng góc với đáy và SA = a 2 . Gọi H là
hình chiếu vng góc của A lên SB. Chứng minh rằng tam giác SCD vng và
tính theo a khoảng cách từ H đến mp(SCD)
A. a

B.

a
2

C.

a
4

D.

a
3

[8]
Lời giải
15

VS .HCD SH

V
SB
S
.
BCD
Ta có
SAB vng tại A

và AH là đường cao nên
SH SA2 2a 2

 2 2
2
HB
AB
a
Ta có
�

SH 2

SB 3

Vậy

Mà

VS .HCD

2
2 1
a 2 a3 2
= VS .BCD = . a 2. =
3
3 3
2
9

VS . HCD 

1
d ( H , ( SCD)).S SCD
3
.

SCD vuông tại C ( do AC2 + CD2 = AD2),

do đó

S SCD

1
1
 CD.SC  .a 2.2a  a 2 2
2
2
.

Vậy

d ( H , ( SCD)) 

3a 3 2 a

9a 2 2 3

Do đó ta chọn đáp án D.
Ví dụ 11: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC là tam
giác vuông tại A, AB = a, AC  a 3 và hình chiếu vng góc của A’ lên mặt
phẳng (ABC) trùng với trung điểm của BC. Tính khoảng cách Từ A đến
mp(BCC’B’)

A.

14
a
2

3 14
a
B. 14

a
C. 14

2a
D. 14

[3]
Lời giải:
Theo giả thiết ta có A’H  (ABC).
Tam giác ABC vuông tại A
và AH là trung tuyến

16


nên

AH 

1
BC  a
2
.

A ' AH vuông tại H

� A ' H  A ' A2  AH 2  a 3

1
a.a 3 a 3
VA '. ABC  a 3.

3
2
2.

Do đó
VA'. ABC
1
2
2 a3

VA '. BCC ' B '  VABC . A' B ' C '  .3.  a 3
3
3 2
Mặt khác VABC . A ' B 'C ' 3 . Suy ra
. Ta có :

d ( A ', ( BCC ' B ')) 

3VA '. BCC ' B '
S BCC ' B ' . Vì AB  A ' H � A ' B '  A ' H � A ' B ' H vuông tại A’

2
2
Suy ra B’H = a  3a  2a  BB ' . � BB ' H cân tại B’. Gọi K là trung điểm
của BH, ta có B ' K  BH .

Do đó

B ' K  BB '2  BK 2 

a 14
a 14
S BCC ' B '  B ' C '.BK  2 a.
 a 2 14

2 . Suy ra
2

3a 3
3 14a
d ( A ', ( BCC ' B '))  2

14 . Do đó ta chon đáp án B.
a 14
Vậy

2.3.5. Tính diện tích đa giác
Thơng thường để tính diện tích đa giác phẳng, chúng ta có thể quy về việc
S

1
ah
2 , trong đó h là chiều cao và a là

tính diện tích tam giác theo cơng thức
độ dài cạnh đáy. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp ở hình học khơng gian, việc
tính diện tích của các đa giác phẳng nếu như chúng ta tính trực tiếp theo cơng
thức thì sẽ gặp nhiều khó khăn. Để giảm bớt độ phức tạp trong tình huống này,
chúng ta có thể tính diện tính đa giác thơng qua thể tích của các khối đa diện. Ta
xét ví dụ sau:
Ví dụ 12. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng
1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SC. Tính diện tích tam giác AMN
, biết ( AMN )  ( SBC ) .
10
A. 16

15
B. 6

13
C. 6

16
D. 16
17


[8]

Lời giải
Gọi K là trung điểm của BC và I là trung điểm của MN, O là trọng tâm
ABC .
Ta có AMN cân tại A nên AI  MN
và theo giả thiết
nên suy ra

( AMN )  ( SBC )

AI  ( SBC ) � AI  SI

Hơn nữa MN  SI do đó

SI  ( AMN )

VS . AMN SM SN 1


.

V
SB
SC
4
Lại có S . ABC
�

SI .SAMN 1
1 SO
 � S AMN 
.SABC
SO.S ABC 4
4 SI

Ta thấy ASK cân tại A (vì AI vừa là đường cao vừa là trung tuyến) nên
3
15
� SO  SA2  OA2 
6 .
AK = AS = 2
1
2
SK 
4
SI = 2

1 15 3

10
� SAMN  .
.

4 6 2 4
16
4
(đvdt) . Do đó ta chọ đáp án A.

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Sáng kiến này tôi thực hiện từ năm học 2017-2018 và tiếp tục bổ sung,
hoàn thiện vào năm học 2020- 2021. Kết quả thu được là rất khả quan. Sau đây
là kết quả kiểm nghiệm:
- Năm học 2018 -2019 (kiểm nghiệm ở lớp 12A3):
Kết quả
Kết quả

Tổng số
học sinh

Giỏi
SL

%

Khá
SL

%

Trung bình
SL

%

Yếu, kém
SL

%
18


Trước khi áp
dụng SK

41

2

4.9

8

19.5

21

51.2

10

24.4

Sau khi áp
dụng SK

41

13

31.7 23

56.1

3

7.3

2

4.9

- Năm học 2020-2021 (kiểm nghiệm ở lớp 12C2):

Kết quả
Kết quả

Tổng số
học sinh

Giỏi

Khá

Trung bình

Yếu, kém

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

Trước khi áp
dụng SK

44

01

2.2

07

15.9

17

38.6

19

43.3

Sau khi áp
dụng SK

44

09

20.5 20

45.5

9

25.5

6

13.5

Qua hai bảng thống kê trên, tôi nhận thấy ở các lớp có vận dụng những
kinh nghiệm nêu trong bản sáng kiến, số học sinh đạt điểm khá, giỏi cao hơn, số
học sinh điểm trung bình, yếu ít hơn so với các lớp chưa vận dụng những kinh
nghiệm trên. Điều đó chứng tỏ sáng kiến : “Khai thác bài tập số 4 trang 25,
Sách giáo khoa Hình học 12 chương trình cơ bản để có thêm phương pháp
giải tốn nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh” đã nâng cao hiệu quả học
tập mơn tốn cho học sinh.
Khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm tôi thấy rằng đa số học sinh rất hào
hứng với các bài tốn mà tơi đã trình bày ở trên. Các em cảm thấy tự tin hơn khi
giải các bài tốn hình học khơng gian liên quan đến tính thể tích, tỉ số thể tích
khối đa diện, các bài toán khoảng cách trong các đề thi khảo sát của trường
Trung học phổ thông cũng như của Sở giáo dục và Đào tạo.
Sáng kiến kinh nghiệm này của tôi đã được giáo viên trong tổ đánh giá
cao và các đồng nghiệp hưởng ứng cùng áp dụng trong phạm vi tổ. Qua đó đã
đóng góp một phần nho nhỏ vào công tác nâng cao hiệu quả giáo dục của trường
THPT Tĩnh Gia 3.
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận
19


Việc khai thác một số bài tập trong sách giáo khoa để đúc rút ra một
phương phải giải nhanh các dạng toán là một việc làm cần thiết đối với người
học toán và đặc biệt quan trọng đối với giáo viên dạy toán. Qua việc khai thác
một bài toán tưởng chừng như rất đơn giản trong sách giáo khoa ta thấy rằng
khả năng sáng tạo của tốn học là vơ hạn, từ một công cụ dường như “thô sơ”

ấy thế mà ta vận dụng nó để giải nhanh và “rất đẹp” nhiều bài tốn phức tạp,
hơn nữa ta cũng có thể mở rộng nó, khái qt bài tốn để giải các dạng toán
tương tự nhưng cho ở đối tượng khác. Nó cũng mang ý nghĩa triết học “Dĩ bất
biến ứng vạn biến”, áp dụng kiến thức nền tảng cơ bản từ đó có thể sáng tạo
giải quyết nhiều bài tốn liên quan. Qua đó tập dượt cho học sinh cách tư duy
sáng tạo trong tốn học, từ đó có thể khơi nguồn cảm hứng bất tận trong sáng
tạo ở mọi lĩnh vực của cuộc sống.
3.2. Kiến nghị
Qua nghiên cứu và áp dụng: “Khai thác bài tập số 4 trang 25, Sách giáo
khoa Hình học 12 chương trình cơ bản để có thêm phương pháp giải tốn
nhằm tạo hứng thú học tốn cho học sinh” tơi đã thu được hiệu quả nhất định.
Tuy đã cố gắng hết sức tuy nhiên tác giả cũng khơng thể tránh khỏi những thiếu
sót và hạn chế. Để việc học tập mơn tốn của các em có kết quả cao hơn và kiến
thức vững hơn. Tơi kính mong đồng nghiệp và hội đồng khoa học của trường
THPT Tĩnh Gia 3 cũng như hội đồng khoa học của Sở Giáo Dục và Đào Tạo
tỉnh Thanh Hóa góp ý kiến thêm để đề tài của tơi hồn thiện hơn, có ứng dụng
rộng rãi trong q trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh.
Trong khi chờ sự xem xét, nghiên cứu đánh giá của Hội đồng khoa học các
cấp tôi xin chân thành cảm ơn các quý thầy cô đã đọc bản báo cáo của tác giả.
Chúc hội đồng khoa học các cấp sức khỏe, hạnh phúc, thành đạt.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

20


[1]. Trần Văn Hạo. Hình học 10. Hà Nội: Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam,
2009.
[2]. Trần Văn Hạo. Hình học 12. Hà Nội: Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam,
2009.

[3]. Ngọc Huyền LB. Cơng phá Tốn 3. Hà Nội: Nhà xuất bản Đại học Quốc
gia Hà Nội, 2018.
[4]. Đề thi thử THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019
[5]. Đề thi thử của Sở Giáo dục và Đào tạo Nam Định năm 2019.
[6]. Đề thi thử THPT chuyên Lê Thánh Tông 2019 năm 2019.
[7]. Đề thi thử THPT chuyên Gia Lai năm 2019.
[8]. Nguyễn Phú Khánh. Trọng tâm kiến thức & Phương pháp giải tốn Hình
học khơng gian.TPHCM: Nhà Xuất Bản Đại Học Sư Phạm, 2013.
[9]. Nguyễn Xuân Nam. Siêu luyện đề thi 9+ THPT Quốc gia 2021 Toán học.
Hà Nội: Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, 2020.

21


XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 30 tháng 04 năm
2021
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung
của người khác.

Vi Thanh Hồng

22