Tài liệu HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN 3 CHIỀU pdf

Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Tài liệu LTĐH
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN 3 CHIỀU
Bài 1) ĐHCĐ 2002 K.A
Trong khơng gian với hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxyz cho hai đường thẳng:
∈
1
:
2 0
2 2 4 0
x y z
x y z
− + =


+ − + =

và ∈
2
:
1
2
1 2
x t
y t
z t
= +


= +



= +

a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∈
1
và song song với đường thằng ∈
2
b) cho điểm M(2 ; 1,4). Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng ∈
2
sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất.
Bài 2) ĐHCĐ 2002 K.B
1.Trong mặt phẳng tọa độ Đêcac vng góc Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm
1
;0
2
 
 ÷
 
, phương trình
đường thẳng AB là x – 2y + 2 = 0 và AB = 2AD. Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C,D biết rằng A có hồnh độ âm.
2.Cho hình lập phương ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
có cạnh bằng a.
a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A
1

B và B
1
D.
b) Gọi M,N,P lần lượt là các trung điểm của các cạn h BB
1
, CD, A
1
D
1
. Tính góc giữa hai đường thẳng
MP, C
1
N.
Bài 3) ĐHCĐ 2002 K.D
1.Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc với mặt phẳng (ABC) ; AC = AD = 4cm; AB = 3cm; BC =
5cm. Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD).
2.Trong khơng gian với hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxyz cho mặt phẳng (P) : 2x – y + 2 = 0
Và đường thẳng d
m
:
(2 1) (1 ) 1 0
(2 1) 4 2 0
m x m y m
mx m z m
+ + − + − =


+ + + + =

( m là tham số ).

Xác định m để đường thẳng d
m
song song với mặt phẳng (P).
Bài 4) ĐHCĐ 2003 K.A
1) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính số đo của góc phẳng nhị diện [B,A’C,D].
2) Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Đêcac vng góc Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’
có A trùnh với gốc của hệ tọa độ, B(a; 0; 0) , D(0; a; 0), A’(0; 0; b) (a>0, b>0). Gọi M là trung điểm
cạnh CC’.
a) tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a và b.
b) Xác định tỷ số
a
b
để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vng góc với nhau.
Bài 5) ĐHCĐ 2003 K.B
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxyz cho tam giác ABC có AB = AC ,
·
BAD =
90
0
.
Biết M(1; -1) là trung điểm cạnh BC và G
2
;0
3
 
 ÷
 
là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh A,
B, C.
2) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a, góc

·
BAD
= 60
0
. Gọi
M là trung điểm cạnh AA’ và N là trung điểm cạnh CC’. Chứng minh rằng bốn điểm B’, M, D, N cùng
thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài canh AA’ theo a để tứ giác B’MDN là hình vng.
3) Trong khơng gian với hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxyz cho hai điểm A(2; 0; 0), B(0;0;8) và điểm C
sao cho
AC
uuur
=(0; 6; 0). Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA.
Bài 6) ĐHCĐ 2003 K.D
- 1 -
Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Tài liệu LTĐH
1) Trong mặt phẳng tọa độ Đêcac vng góc Oxyz cho đường tròn
(C) : (x – 1)
2
+ (y – 2)
2
= 4 và đường thẳng d : x – y – 1 = 0
Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng d.
Tìm tọa độ các giao điểm của (C) và (C’).
2) Trong khơng gian với hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxyz cho đường thẳng :
d
k
:
3 2 0
1 0
x ky z

kx y z
+ − + =


− + + =

tìm k để đường thẳng d
k
vng góc với mặt phẳng (P) : x – y – 2z +5 = 0.
3) Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vng góc với nhau, có giao tuyến là đường thẳng ♠. Trên ♠ lấy hai
điểm A, B với AB = a . trong mặt phẳng (P) điểm C , trong mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC,
BD vng góc với ♠ và AC = BD = AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính
khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a.
Bài 7) ĐHCĐ 2004 K.A
1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A (0; 2) và B(
3−
;
1−
). Tìm tọa độ trực tâm và tọa độ tâm
đường tròn ngoại tiếp của tam giác OAB.
2) Trong khơng gian với hệ tọa độ Đêcac Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC
cắt BD tạo gốc tọa độ O. Biết A(2; 0; 0), B (0; 1; 0), S(0; 0;
2 2
). Gọi M là trung điểm cạnh SC.
a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đưởng thẳng SA, BM.
b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại điểm N. Tính thể tích khối hình chóp A.ABMN
Bài 8) ĐHCĐ 2004 K.B
1) trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; 1), B(4; -3). Tìm điểm C thuộc đường thằng x – 2y – 1 = 0
sao cho khoảng cách từ C đến AB bằng 6.
2) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

ϕ
(0
0
<
ϕ
<
90
0
). Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) theo
ϕ
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
và
ϕ
.
3) Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(-4; -2; 4) và đường thẳng d :
3 2
1
1 4
x t
y t
z t
= − +


= −


= − +

Viết phương

trình đường thẳng ♠ đi qua điểm A, cắt và vng góc với đường thẳng d.
Bài 9) ĐHCĐ 2004 K.D
1) trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có các đỉnh A(-1; 0); B (4; 0); C(0;m) với m
≠
0. tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m. xác định m để tam giác GAB vng tại G.
2) Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
. Biết A(a; 0; 0), B(-a; 0; 0),
C(0; 1; 0), B
1
(-a; 0; b), a > 0, b > 0.
a) Tình khoảng cách giữa hai đường thẳng B
1
C và AC
1
theo a, b.
b) Cho a, b thay đổi nhưng ln thoả mãn a + b = 4. Tìm a,b để khoảng cách giữa hai đường thẳng B
1
C và
AC
1
lớn nhất.
3) Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz cho ba điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) và mặt phẳng (P) : x +
y + z – 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P).
Bài 10)ĐHCĐ 2005 K.A
1) trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho 2 đường thẳng

d
1
: x – y = 0 và d
2
: 2x + y – 1 = 0
tìm toạ độ các đỉnh hình vng ABCD biết rằng đỉng A thuộc d
1
, C thuộc d
2
và các đỉnh B, D thuộc
trục hồnh.
- 2 -
Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Tài liệu LTĐH
2) Trong khơng gian với hệ trục Oxyz cho đường thẳng d :
1 3 3
1 2 1
x y z− + −
= =
−
và mặt phẳng (P) : 2x +
y – 2z + 9 = 0.
a) tìm toạ độ điểm I sao cho khoảng cánh từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2.
b) Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình tham số của đường
thẳng ♠ nằm trong mặt phẳng (P), biết ♠ đi qua A và vng góc góc với d.
Bài 11)ĐHCĐ 2005 B
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(2;0) và B(6;4). Viết phương trình đường tròn (C)
tiếp xúc với trục hồnh tại điểm A và khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5.
2) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A
1
B

1
C
1
với A(0;-3;0), B(4;0;0),
C(0;3;0), B
1
(4;0;4).
a) Tìm tọa độ các đỉnh A
1
, C
1
. Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCC
1
B
1
).
b) Gọi M là trung điểm của A
1
B
1
. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, M và song song với
BC. Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A
1
C
1
tại điểm N. Tính độ dài MN.
Bài 12)ĐHCĐ 2005 D
1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm C(2;0) và elíp (E) :
2 2
1

4 4
x y
+ =
. Tìm tọa độ các điểm A, B
thuộc (E), biết rằng hai điểm A,B đối xứng với nhau qua trục hồnh và tam giác ABC là tam giá đều.
2) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng
d
1
:
1 2 1
3 1 2
x y z− + +
= =
−
và d
2
:
2 0
3 12 0
x y z
x y
+ − − =


+ − =

a) chứng minh rằng d
1
, d
2

song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả hai
đường thẳng d
1
và d
2
.
b) Mặt phẳng tọa độ Oxz cắt hai đường thẳng d
1
, d
2
lần lượt tại các điểm A,B. Tính diện tích tam
giác OAB ( O là gốc tọa độ).
Bài 13) ĐHCĐ 2006 A
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0)
, A’(0;0;1). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN.
2. Viết phương trìng mặt phẳng A’C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc
α
biết cos
α
=
1
6
.
Bài 14)ĐHCĐ 2006 A
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;2) và hai đường thẳng :
d
1 :
1 1
2 1 1

x y z− +
= =
−
, d
2
:
1
1 2
2
x t
y t
z t
= +


= − −


= +

1) Viết phương trình đường thẳng (P) qua A, đồng thời song song với d
1
và d
2
.
2) Tìm tọa độ các điểm M thuộc d
1
, N thuộc d
2
sao cho ba điểm A, M, N thẳng hàng.

Bài 15)ĐHCĐ 2006 D
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng:
d
1 :
2 2 3
2 1 1
x y z− + −
= =
−
, d
2
:
1 1 1
1 2 1
x y z− − +
= =
−
1) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d
1
.
2) Viết phương trình đường thẳng ♠ đi qua A, vng góc với d
1
và cắt d
2.
- 3 -
Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Tài liệu LTĐH
Bài 16)ĐHCĐ 2007 A
Trong khơng gian với hệ toạ độ Oyxz, cho hai đường thẳng
d
1

:
1 2
2 1 1
x y z− +
= =
−
và d
2
:
1 2
1
3
x t
y t
z
= − +


= +


=

1. Chứng minh rằng d
1
và d
2
chéo nhau.
2. Viết phương trình đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P): 7x + y – 4z = 0 và cắt hai đường thẳng
d

1
, d
2
.
Bài 17)ĐHCĐ 2007 B
Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
– 2x + 4y + 2z – 3 = 0 và mặt phẳng (P):
2x – y + 2z – 14 = 0.
1. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3.
2. Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn nhất.
Bài 18)ĐHCĐ 2007 D
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A( 1;4;2) , B(-1;2;4) và đường thẳng
d :
1 2
1 1 2
x y z− +
= =
−
.
1) Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vng góc với mặt phẳng
(OAB).
2) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho MA
2
+ MB
2

nhỏ nhất.
Bài 19)ĐHCĐ 2008 A
Trong khơng gian với hê tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng
d :
1 2
2 1 2
x y z− −
= =
.
1) Tìm tọa độ hình chiều vng góc của điểm A trên đường thẳng d.
2) Viết phương trình mặt phẳng (
α
) lớn nhất.
Bài 20)ĐHCĐ 2008 B
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1),
C(-2;0;1)
1) Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C.
2) Tìm tọa độ của điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho MA = MB = MC
Bài 21)ĐHCĐ 2008 D
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3)
1) Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A,B,C,D
2) Tìm tọa độ tâm đường trón ngoại tiếp tam giác ABC.
- 4 -
Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Tài liệu LTĐH
Bài 22)TNTHPT 2002-2003
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A, B, C, D có tọa độ xác định bởi các hệ thức :
A = (2; 4.; -1) ,
OB 4i j k= + −
uuur r r r
, C = ( 2; 4; 3),

OD 2 2i j k= + −
uuur r r r
.
1) Chứng minh rằng AB
⊥
AC, AC
⊥
AD, AD
⊥
AB. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
2) Viết phương trình tham số của đường vng góc chung
∆
của hai đường thẳng AB và CD. Tính góc giữa
đường thẳng
∆
và mặt phẳng (ABD).
3) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D. Viết phương trình tiếp diện
( )
α
của mặt cầu (S)
song song với mặt phẳng (ABD).
Bài 23)TNTHPT 2003-2004
Câu 4 (2,5 điểm) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(1;-1;2), B(1;3;2), C(4;3;2) , D(4;-
1;2).
1) Chứng minh A, B, C, D là bốn điểm đồng phẳng
2) Gọi A’ là hình chiếu vng góc của điểm A trên mặt phẳng Oxy hay viết phương trình mặt cầu (S) đi
qua bốn điểm A’, B, C, D.
3) Viết phương trình tiếp diện
( )
α

của mặt cầu (S) tại A’.
Bài 24)TNTHPT 2005
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S) : x
2
+ y
2
+ z
2
– 2x + 2y + 4z – 3 = 0 và hai đường thẳng
(
1
∆
) :
2 2 0
2 0
x y
x z
+ − =


− =


2
( )∆
:
1
1 1 1
x y z−
= =

− −
1. Chứng minh (
1
∆
) và
2
( )∆
chéo nhau.
2. viết phương trình tiếp diện cua mặt phẳng (S) , biết tiếp đó song song với hai đường thẳng (
1
∆
) và
2
( )∆
.
Bài 25)TNTHPT 2006
Câu 4 (2 điểm)
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1;0;-1), B(1;2;1), C (0;2;0). Gọi G là trọng tâm tam giác
ABC.
1. Viết phương trình đườnt thẳng OG.
2. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm O, A, B, C.
3. Viết phương trình các mặt phẳng vng góc với đường thẳng OG và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Bài 26)TNTHPT 2007
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxyz ,cho đường thẳng (d) có phương trình
2 1 1
1 2 3
x y z− + −
= =
và mặt phẳng
(P) có phương trình x – y + 3z + 2 = 0.

1. Tìm tọa độ giao điểm M của đường thẳng (d) với mặt phẳng (P).
2. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) và vng góc với mặt phẳng (P).
Bài 27)TNTHPT 2007 lần 2
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thằng (d) và (d’) lần lượt có phương trình
- 5 -