de thi HSG tinh Ninh Binh 20112012

<span class='text_page_counter'>(1)</span>SỞ GD&ĐT TỈNH NINH BÌNH. ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC: 2011 – 2012. Môn: Toán (Thời gian làm bài 150’) Ngày thi 16 tháng 3 năm 2012.. a2  a 3a  2 a a 4 P   a  a 1 a a 2 Bài 1. (5đ) Cho biểu thức: a) Rút gọn P b) Tìm GTNN của P Bài 2. (5đ) Giải các pt sau:. 3 3 2 3 2 a) 2x  x  2x  3x  1 3x  1  x  2. b) x4 – 2y4 – x2y2 – 4x2 – 7y2 – 5 = 0 Bài 3. (4đ) Cho (O; R). Đường thẳng d không đi qua O cắt (O) tại hai điểm A và B. từ một điểm tùy ý trên d và ở ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến MN và MP với (O), (M, N là hai tiếp điểm). a) Dựng vị trí điểm M trên d sao cho tứ giác MNOP là hình vuông. b) Chứng minh rằng tâm của đường tròn đi qua ba điểm M, N, P luôn chạy trên một đường thẳng cố định khi M di động trên d. Bài 4. (4đ) a) Tìm GTLN của. y  x 9  x2. 2 2 2 3 3 3 b) Cho 3 số a, b, c thỏa mãn: a  b  c 1;a  b  c 1;a  b  c 1 . 2009  b 2009  c2009 1 Chứng minh: a. Bài 5. (2đ) Cho ABC thay đổi, có AB = 6 và CA = 2CB. Tìm GTLN của diện tích ABC . ----------------------------- HẾT -----------------------------. Họ và tên:……………………………. SBD……………………………. Chữ kí GT 1:………………… ST: Phạm Văn Vượng – NBS – HH – Thanh Hóa.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG TỈNH NINH BÌNH 2012 Bài 1: a) ĐK a > 0 và a 2 P. a2  a 3a  2 a a 4   a  a 1 a a 2. P. a ( a  1)(a  a  1)  a  a 1. a (3 a  2) ( a  2)( a  2)  a a 2. P a  3 a  4. b) Ta có. P a  3 a  4 ( a . 3 2 7 7 )   4 4 4 với mọi a TMĐK. 7 9 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4 khi a= 4 Bài 2: 2 2 Coi PT là bậc hai với ẩn t = x2 ta tính được PT có  9( y  2) từ đó ta có. x2 = 2 y2 + 5(1) và x2 = - y2 – 1(vô nghiệm) Với (1) ta thấy x phải lẻ nên đặt x = 2k+1 suy ra 2k2 + 2k - y2 = 2 do đó y phải chẵn nên đặt y = 2z suy ra k(k+1) – 2z = 1 (vô nghiệm do VT chia hết cho 2 còn vế phải không chia hết cho 2 Bài 3: a)Để MONP là hình vuông thì đường chéo OM=ON 2 =R 2 Dựng điểm M: ta dựng hình vuông OACD, dựng đường tròn tâm O đi qua điểm D, cắt (d) 2 2 tại M. Chứng minh: Từ M vẽ 2 tiếp tuyến MN và MP. Ta có MN = MO  ON R nên ta giác ONM vuông cân tại N. Tương tự, tam giác ta giác OPM cũng vuông cân tại P.. ST: Phạm Văn Vượng – NBS – HH – Thanh Hóa.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> N. E. A. M. L. B. H F O. I Q. P. do đó MNOP là hình vuông. Bài toán luôn có hai nghiệm hình vì OM = R 2 >R b)Ta có: MN và MP là 2 tiếp tuyến của (O) nên MNOP là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính OM. tâm là trung điểm H của OM, suy ra tam giác cân MPQ nội tiếp trong đường tròn đường kính OM tâm H +) Kẻ OE vuông góc AB thì E là trung điểm của AB ( cố định). Kẻ HL  (d) thì HL//OE nên HL là đường trung bình của tam giác OEM, suy ra HL=1/2 OE(không đổi) +) Do đó khi M di động trên (d) thì H luôn cách đều (d) một đoạn không đổi nên H chạy trên đường thẳng (d’)//(d) và (d’) đi qua trung điểm của đoạn OE.  +) Ta có : Om là phân giác trong góc NMP kẻ tia phân giác trong PNM cắt đường tròn   (O) tại điểm F, khi đó NF FP => F trên OM, do đó F là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP. Vậy khi M di động trên (d) thì tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP chạy trên đường tròn (O) Chú ý: do hình vẽ phức tạp nên dựng hình vuông OACD không vẽ trên trên hình vẽ Bài 4: a 2  b2  2 a) áp dụng BĐT ab ĐK 9 –x2 0 ta có. y  x 9  x2 . 9 2. ST: Phạm Văn Vượng – NBS – HH – Thanh Hóa.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Vậy giá trị lớn nhất của y là 9/2 khi x=. . 9 2. b) ta có a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca) => 1-3abc=1-ab-bc-ca =>ab+bc+ca=3abc mà 12=(a+b+c)2= a2+b2+c2+2(ab+bc+ca) => ab+bc+ca=0 => abc=0 => a=0 hoặc b=0 hoặc c=0 b  c 1  2 2 b  c 1 b3  c 3 1 Nếu a = 0 =>  =>b2+c2+2bc=1 => 2bc=0 =>(a,b,c) =(0,0,1) hoặc (a,b,c) =(0,1,0) Nếu b = 0 làm tương tự =>(a,b,c) =(0,0,1) hoặc (a,b,c) =(1,0,0) Nếu c = 0 làm tương tự =>(a,b,c) =(0,1,0) hoặc (a,b,c) =(1,0,0) Vậy mội trường hợp ta có P = 1 Bài 5: Đặt BC =x > 0 theo công thức He rông ta có S=. p ( p  a)( p  b)( p  c). với. p. 6x 2. 6  3x 6  x 6  x 3x  6 . . . 2 2 2 2 => S2= 9 9 9 (36  x 2 )( x 2  4)    ( x 2  20) 2  256   .256 144 16 16 => S2= 16 Vậy giá trị điện tích lơn nhất là 12(đvđt) khi x= 20 (đvđd) ST: Phạm Văn Vượng – NBS – HH – Thanh Hóa.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>