Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (227.57 KB, 11 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span>ĐẠO HÀM A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm y f x 1.1. Định nghĩa : Cho hàm số. f ' x0 lim. x tại điểm 0 là : 1.2. Chú ý : . x x0. xác định trên khoảng. x0 a ; b . , đạo hàm của hàm số. f x f x0 x x0. .. x x x0 ; y f x0 x f x0 . Nếu kí hiệu. a ; b và. f ' x0 lim. thì :. f x0 x f x0 . x x0. x x0. y x 0 x .. lim. y f x x Nếu hàm số có đạo hàm tại 0 thì nó liên tục tại điểm đó. 2. Ý nghĩa của đạo hàm y f x C 2.1. Ý nghĩa hình học: Cho hàm số. . . f ' x0 . có đồ thị. là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số. C của hàm số y f x tại M 0 x0 , y0 C . y f x M x , y C tại điểm 0 0 0 là : y f ' x0 x x0 y0 .. 2.2. Ý nghĩa vật lí :. . Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình :. v t0 s ' t0 . s s t . t tại thời điểm 0 là. .. Q Q t I t0 Q ' t0 t Cường độ tức thời của điện lượng tại thời điểm 0 là : . 3. Qui tắc tính đạo hàm và công thức tính đạo hàm u u x ; v v x ; C : 3.1. Các quy tắc : Cho là hằng số . u v ' u 'v ' C.u C.u u.v ' u '.v v '.u C.u u u '.v v '.u C , v 0 2 2 v u u v y f u , u u x yx yu .u x Nếu . 3.2. Các công thức :. . C 0. ;. x 1. . x n.x x 2 1 x. . sin x cos x. . sin u u.cos u. . cos x sin x. . cos u u.sin u. . tan u . n. . tan x . n 1. , x 0 . 1. cos 2 x 1 cot x 2 sin x. u n.u .u , n , n 2 u 2uu , u 0 n. n 1. u. cos 2 u u cot u sin 2 u ..
<span class='text_page_counter'>(2)</span> 4. Vi phân 4.1. Định nghĩa :. y f x. Cho hàm số. . y f x x x có đạo hàm tại 0 vi phân của hàm số tại điểm 0 là : df x0 f x0 .x. . Cho hàm số. y f x. y f x. . Kí hiệu : 4.2. Công thức tính gần đúng :. có đạo hàm. f x . thì tích. f x .x. df x f x .x f x .dx. .. được gọi là vi phân của hàm số. hay dy y .dx .. f x0 x f x0 f x0 .x. .. 5. Đạo hàm cấp cao 5.1. Đạo hàm cấp 2 :. . f x f x Định nghĩa :. . Ý nghĩa cơ học: Gia tốc tức thời của chuyển động. s f t. a t0 f t0 t tại thời điểm 0 là .. n n 1 f x f x , n , n 2 5.2. Đạo hàm cấp cao : . B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP : 1. Tìm đạo hàm theo định nghĩa 1.1. Phương pháp : Để tìm đạo hàm theo định nghĩa ta có 2 cách sau : Cách 1 : Theo quy tắc o. Bước 1 : Cho x một số gia x và tìm số gia y tìm. o. y Bước 2 : Tìm giới hạn x 0 x. y f x x f x . y . Lập tỉ số x. lim. f ' x0 lim. f x f x0 x x0. x x0. Cách 2 : Áp dụng công thức: 1.2. Các ví dụ minh họa :. .. Ví dụ 1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa tại các điểm đã chỉ ra:. f x x3 2 x 1. f x . x 2 tại 0. 2x 1 x 2 tại x0 1 .. a) ; b) Ví dụ 2. Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa tại các điểm đã chỉ ra: x 3 2 x khi x 2. f x 3 3x 4. f x 10 x 16 b). x 3 tại 0. a) ; Ví dụ 3. Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa : 3 2 a) y x 2 x 1. ;. b). khi x 2. x 2 . tại 0. y f x x2 3x 2. 1.3. Bài tập áp dụng : Bài 1.. Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa tại các điểm đã chỉ ra : a) c). f x x2 3x 1. f x . x 3 tại 0. x 2 3x 3 x 4 x2 tại 0. ; ;. b). f x 2x x2. d). f x cos 2 x. x 1 ; tại 0. x0 4 tại. ;. ..
<span class='text_page_counter'>(3)</span> Bài 2.. Xét tính liên tục và sự tồn tại đạo hàm và tính đạo hàm của các hàm số sau đây trên .. x2 4 x 3 khi x 1 2 x 2 a khi x 0 f x x 1 f x 3 3 x 5 khi x 1 x bx khi x 0 ; a) ; b) f x x 2 3x 2. Bài 3.. c) ; d) Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa : a). f x x3 3x2 2 x 1. ;. f x 3 x. b). x 1 f x x 1 c) Bài 4.. a). f x x 4x 4. c). Có bao nhiêu tiếp tuyến của. C : y x. 1 sin x ;. ; ;. d). 2. 3. .. sin x cos x khi x 0 f x khi x 0 2 x 1 b) ;. 2. f x x 3x. 5. ;. f x . ; d) Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa : 3. Bài 5.. f x x. f x tan 3 2 x 1. .. 2. 3x 6 x 5. có hệ số góc âm ?. . 1.4. Các ví dụ minh họa : Ví dụ 1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :. y 2 x 4 . 1 3 x 2 x 5 3. y. 2x 1 1 3x. y. 3 2 b) y ( x 2)(1 x ) .. ;. a) Ví dụ 2. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :. x 2 3x 3 x 1. ;. a) ; b) Ví dụ 3. Chứng minh các công thức tổng quát sau. a). ax 2 bx c 2 a1x b1x c1 . 1 x x2 y 1 x x2 . c). a b 2 a c b c x 2 x a1 b1 a1 c1 b1 c1. a x 1. 2. b1x c1. b c a.a1x 2 2a.b1 x ax bx c a1 b1 a1x b1 a1x b1 2 b) . . 2. ;. (. a , b , c , a1 , b1 , c1 là hằng số) .. 2. ;. (. a , b , c , a1 , b1 là hằng số) .. Ví dụ 4. Tìm đạo hàm của các hàm số sau : 2. 4. a) y ( x x 1) ; b) Ví dụ 5. Tìm đạo hàm của các hàm số sau : 2 a) y 2 x 5 x 2 ;. y. ( x 1)2 3. ( x 1). 2 b) y ( x 2) x 3. y ;. c). 1 2. ( x 2 x 5)2 . 3. ; c) y 1 1 2 x .. Ví dụ 6. Tìm đạo hàm của các hàm số sau : a) y 2 sin 3 x cos 5 x. . y ; b). sin x cos x sin x cos x. 2 1 tan 3 x y 2 1 tan 3 x . ; c). Chú ý : Khi gặp các hàm số phức tạp nếu có thể ta hãy rút gọn hàm số rồi hãy đi tính đạo hàm , đặc biệt là đối với các hàm số có chứa các hàm số lượng giác..
<span class='text_page_counter'>(4)</span> Tìm đạo hàm của các hàm số sau :. Ví dụ 7.. a) y (sin x cos x ). 2. ;. b) y tan x cot x. ;. 2 1 y tan 2 x tan3 2 x tan 5 2 x y tan 2 sin cos3 2 x . 3 5 c) ; d) 1 y f x x3 2 x 2 mx 5 3 Ví dụ 8. Cho hàm số : . Tìm m để : f x 0 x f x 0 , x 0; . . a) c). ;. f x 0 , x 0; 2 . f x . Ví dụ 9. Cho hàm số : a). f x 0 , x . ;. d). . ;. b). f x 0 , x ; 2 . .. m 3 m 2 x x 4 m x 5m 1 3 2 . Tìm m để : f x 0 ; b) có hai nghiệm cùng dấu.. . Bài 6.. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :. 1 5 2 4 3 2 3 y x x x x 4x 5 2 3 2 a) ;. x. y. 4. 4. c). x. . 3. 3. x. . 2. 2. x. 5. ;. x b a2 y 2 c x a x 2 e) Bài 7.. 1 1 2 4 y x x 0,5 x 4 3 b) ;. 3. b. 3. d) y x 4 x 2 x 3 x ;. ( a , b , c là hằng số) .. Tìm đạo hàm của các hàm số sau : 5. a) y (2 x 3)( x 2 x). y ;. d). ;. b) y x (2 x 1)(3 x 2) ;. 2x 1 x 1. ;. e). y. 1 x 1 1 x . . . y c). 3 2x 5. ;. 2. y. x x 1 x 1. ;. 2. y. 2x 4x 5. g). 2x 1. y x 1 ;. h). 2 x 1 ; i). y. 5x 3 2. x x 1. ;. k). 2. y Bài 8.. x x 1 x2 x 1. . Tìm đạo hàm của các hàm số sau : 3. 2. a) y (2 x 3 x 6 x 1). c). ;. y ( x 2 x 1)3 ( x 2 x 1) 2 ;. e) y 1 2 x x g). y. 2. 2x 1 y 3 x 3 i). b). ( x x 1) 5. d). 1 y x x . 2. y x x x. 1 2. 2. ;. 2. 1 x2 ;. ;. f) y x 1 . ;. 3 h) y x 3 x 1 ;. 3. 2. ;. k). . y x x2 1. . 5. .. f).
<span class='text_page_counter'>(5)</span> Bài 9.. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :. y. sin x x. a) c). y. . x. y. sin x. sin 2 x cos 2 x 2 sin 2 x cos 2 x. y. b). ;. d) y 4sin x cos 5 x.sin 6 x ;. y. sin 2 x cos 2 x x 1 y tan 2 g) 1 tan 2 x y 1 tan 2 x i) 4. sin x cos x ;. ;. sin 2 x cos 2 x. e). sin 3 x cos3 x. ;. f). sin x x cos x cos x x sin x ; h) y tan 3 x cot 3 x ;. ;. k) y cot. ;. 4. x2 1. ;. l) y cos x sin x. ;. m) y (sin x cos x) ;. 3 3 n) y sin 2 x cos 2 x. ;. o). 3. y sin cos3 x . ;. 2 x 3 2 5 y cot cos y sin 2 cos 2 cos3 x x 2 p) ; q) . cos x π π ;f ' f ( x )= Bài 10. a) Cho hàm số . Tính f ' ( 0 ) ; f ' ( π ) ; f ' . 1+sin x 2 4 2 cos x f 3 f ' 3 y=f ( x ) = 4 2 3 b) Cho hàm số 1+sin x . Chứng minh: . () (). Bài 11.. Tìm đạo hàm của các hàm số sau : a). y 3 sin 4 x cos 4 x 2 sin 6 x cos6 x. . . . ;. y cos x 2cos x 3 sin x 2sin x 3 4. 2. 8. 4. d). y. 6. ;. 6. ;. 4. sin x 3cos x 1 sin x cos6 x 3cos 4 x 1 ; 6. 2 2 y cos 2 x cos 2 x cos 2 x 3 3 e) sin x sin 2 x sin 3 x sin 4 x cos x cos 2 x cos3 x cos 4 x g) ; y x sin x Bài 12. Cho hàm số chứng minh : y. a). b). 2. y 3 sin x cos x 4 cos x 2sin x 6sin 4 x 8. c). 4. xy 2 y ' sin x x 2cos x y 0. x tan . 1 sin x 4 2 y sin x ; f) ; y 2 2 2 2cos x , x 0 ; 2 . h). ;. y' x tan x b) cos x . Bài 13. Cho các hàm số : f ( x )=sin 4 x+cos 4 x , g ( x ) =sin 6 x+ cos6 x . Chứng minh : 3 f ' ( x ) − 2 g ' ( x )=0 . 2 Bài 14. a) Cho hàm số y=√ x + √1+ x 2 . Chứng minh : 2 √1+ x . y '= y . 2. b) Cho hàm số y cot 2 x . Chứng minh : y ' 2 y 2 0 . Bài 15.. Giải phương trình y ' 0 biết : 2. a) y sin 2 x 2 cos x c) y 3sin 2 x 4 cos 2 x 10 x. ; ;. d). b) y cos x sin x ;. y m 1 sin 2 x 2cos x 2mx. ..
<span class='text_page_counter'>(6)</span> 1 y x3 2m 1 x 2 mx 4 3 Bài 16. Cho hàm số . Tìm m để : a) y ' 0 có hai nghiệm phân biệt ; b) y ' có thể viết được thành bình phương của nhị thức ; c) y ' 0 , x ; d). y ' 0 , x 1 ; 2 . ;. e) y ' 0 , x 0 . Bài 17.. Cho hàm số. y . 1 3 mx m 1 x 2 mx 3 3 . Xác định m để :. a) y ' 0 , x . b) y ' 0 có hai nghiệm phân biệt cùng âm ; c) y ' 0 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện :. x12 x22 3. .. 2. mx 6 x 2 1 ; . x2 Bài 18. Cho hàm số . Xác định m để hàm số có y ' 0, x 3 2 Bài 19. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số: y x 3 x mx m y. Bài 20.. có y ' 0 trên một đoạn có độ dài bằng 1 . y mx 4 m 2 9 x 2 10 1 m laø tham soá . . Cho hàm số nghiệm phân biệt .. . . Xác định m để hàm số có y ' 0 có 3. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong 2.1. Phương pháp :. Khi biết tiếp điểm : Tiếp tuyến của đồ thị y f ' x0 . x x0 y0. C : y f x tại. M x0 ; y0 . , có phương trình là :. (1).. Khi biết hệ số góc của tiếp tuyến: Nếu tiếp tuyến của đồ thị M 0 x0 ; y0 f ' x0 k là tiếp điểm. C : y f x. có hệ số góc là k thì ta gọi. (1). x Giải phương trình (1) tìm 0 suy ra. y0 f x0 . Phương trình tiếp tuyến phải tìm có dạng : Chú ý :. y k x x0 y0. M x0 , y0 C k f x0 tan Hệ số góc của tiếp tuyến tại là Trong đó là góc giữa chiều dương của trục hoành và tiếp tuyến . Hai đường thẳng song song với nhau thì hệ số góc của chúng bằng nhau . Hai đường thẳng vuông góc nếu tích hệ số góc của chúng bằng 1 .. Biết tiếp tuyến đi qua điểm. A x1 ; y1 . Viết phương trình tiếp tuyến của Vì tiếp tuyến đi qua. :. y f x. tại. M 0 x0 ; y0 . :. y f ' x0 . x x0 y0. 1. A x1 ; y1 y1 f ' x0 . x1 x0 f x0 *. Giải phương trình(*) tìm. x0 thế vào (1) suy ra phương trình tiếp tuyến .. 2.2. Các ví dụ minh họa : Cho đường cong. Ví dụ 1.. C : y f x x3 3x 2 . Viết phương trình tiếp tuyến của C . sau : a) Tại điểm. M 0 1 ; 2. b) Tại điểm thuộc. ;. C và có hoành độ. x0 1 ;. trong các trường hợp.
<span class='text_page_counter'>(7)</span> C với trục hoành . A 1 ; 4 d) Biết tiếp tuyến đi qua điểm c) Tại giao điểm của. Ví dụ 2.. Cho đường cong. C : y . 3x 1 1 x C. .. d : x 4 y 21 0 ; C biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : 2 x 2 y 9 0 ; b) Viết phương trình tiếp tuyến của C biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng : c) Viết phương trình tiếp tuyến của a) Viết phương trình tiếp tuyến của. biết tiếp tuyến song song với đường thẳng. x 2 y 5 0 một góc 300 . y x3 3 x 2 9 x 5. C . Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị C , hãy tìm tiếp. Ví dụ 3. Cho hàm số tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.. y. x2 2x 3. 1. Ví dụ 4. Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O. (Khối A – 2009) . Ví dụ 5. Cho hàm số. y x 3 3 x 2 2 C . một tiếp tuyến với đồ thị. . Tìm các điểm thuộc đồ thị. C. mà qua đó kẻ được một và chỉ. C . (Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông, 1999). C. 2. Ví dụ 6. Cho là đồ thị của hàm số y 6 x x . Chứng minh tiếp tuyến tại một điểm bất kì của trục tung tại một điểm cách đều gốc tọa độ và tiếp điểm . 2.3.. Bài 21.. C. cắt. Bài tập áp dụng: Cho hàm số. C : y x2 . 2x 3. . Viết phương trình tiếp với. C :. x 2 ; a) Tại điểm có hoành độ 0 b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng : 4 x y 9 0 ; c) Vuông góc với đường thẳng : 2 x 4 y 2011 0 ; d) Biết tiếp tuyến đi qua điểm. 3x 1 y 1 x Bài 22. Cho hàm số :. A 1 ; 0. C. .. .. C tại điểm M 1 ; 1 ; C tại giao điểm của C với trục hoành; b) Vết phương trình tiếp tuyến của C tại giao điểm của C với trục tung ; c) Viết phương trình tiếp tuyến của C bết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : 4 x y 1 0 ; d) Viết phương trình tiếp tuyến của C biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : 4 x y 8 0 . e) Viết phương trình tiếp tuyến của a) Viết phương trình tiếp tuyến của. Bài 23.. Cho hàm số :. y x3 3 x 2. C. a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị. C. tại điểm. b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến khác của đồ thị. I 1 ; 2. .. C không đi qua. I ..
<span class='text_page_counter'>(8)</span> Bài 24.. Cho hàm số. y 1 x x2. a) Tại điểm có hoành độ. C .Tìm phương trình tiếp tuyến với C :. x0 . 1 2 ; d : x 2 y 0. b) Song song với đường thẳng : 3. .. 2. y x 3mx m 1 x 1 1 m Cho hàm số , là tham số thực . Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị của hàm số (1) tại điểm có hoành độ x 1 đi qua A 1 ; 2 điểm . (Dự bị A1 - 2008) 3x 1 y 1 x 1 Bài 26. Cho hàm số . Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến Bài 25.. của đồ thị của hàm số (1) tại điểm. M 2 ; 5. . (Dự bị D1 - 2008). 3. Bài 27.. Cho hàm số thẳng. Bài 28.. d :. y 3x 4 C 3 y x 6 0. y x 3 3 x 2 9 x 5 C . 2x 1 x 1. C. biết tiếp tuyến tạo với đường. 0 góc 30 .. Cho hàm số có hệ số góc lớn nhất.. y. Bài 29.. . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị. C. Cho hàm số . Gọi vuông góc với đường thẳng IM .. . Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị. I 1 ; 2. . Tìm điểm. M C. C , hãy tìm tiếp tuyến. sao cho tiếp tuyến của. C. tại M. (Dự bị B2 - 2003). 2x y C M C C tại M cắt hai trục x 1 Bài 30. (*) Cho hàm số . Tìm điểm , biết tiếp tuyến của 1 tọa độ tại A , B và tam giác OAB có diện tích bằng 2 . (Khối D - 2007) x C của C sao cho và hai x 1 Bài 31. (*) Cho hàm số : . Viết phương trình tiếp tuyến d : x 1 ; d 2 : y 1 cắt nhau tạo thành một tam giác cân. đường 1 (Dự bị D2 - 2007) 1 y x C A 1; 1 C và hai x 1 Bài 32. Cho hàm số . Chứng minh rằng qua điểm kẻ được hai tiếp tuyến với y. tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.. 4 4 1 A ; y x3 2 x 2 3 x C 3 Bài 33. (*) Cho hàm số . Qua điểm 9 3 có thể kẻ được mấy tiếp tuyến đến đồ thị C . Viết phương trình các tiếp tuyến ấy .. Bài 34.. (*) Cho hàm số. của. C. y. x2 2 x 2 (C ) I 1 ; 0 x 1 . Gọi .Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào. đi qua điểm I . (Dự bị B2 - 2005).. Bài 35.. (*) Cho hàm số. y x 4 2 x 2 1 C . thể kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị. C .. . Tìm tất cả các điểm thuộc trục tung sao cho từ đó có.
<span class='text_page_counter'>(9)</span> 3. Tìm vi phân của hàm số và tính gần đúng nhờ vi phân 3.1. Phương pháp : Dựa theo định nghĩa và công thức sau : Cho hàm số. . y f x Kí hiệu :. y f x. có đạo hàm. f x . thì tích. f x .x. được gọi là vi phân của hàm số. .. df x f x .x f x .dx. hay dy y .dx. f x0 x f x0 f x0 .x. . 3.2. Các ví dụ minh họa : Ví dụ 1. Tìm vi phân của các hàm số sau :. y. x 2 3x 5 x 1. a) ; Ví dụ 2. Tìm vi phân của các hàm số sau :. b). y. x. sin x x x sin x. 2. 1 2 x3 3 x . .. 1 2 cot 3 x 2 a) ; b) . Ví dụ 3. Tính gần đúng các giá trị sau (lấy 4 chữ số thập phân trong kết quả) :. y. a). y tan 3 x . 8,99. ;. 0 b) cos 46. 0. c) tan 59 45' .. ;. Bài tập áp dụng:. 3.3.. Tìm vi phân của các hàm số sau : 2x 3 y 2 x 5x 5 a). Bài 36.. b) y ( x x ). ;. 1 cos 2 x y 1 cos 2 x ; d). c). ;. f) y sin(cos x ) cos(sin x ) .. ; 2. 2. y. 2 32. ;. x 1 x. y cot 3 (2 x ) 4 e). sin 3 x cos3 x 1 sin x.cos x . Bài 37. Cho hàm số Chứng minh đẳng thức : y.dy cos 2 x.dx 0 . Bài 38. Tính gần đúng các giá trị sau (lấy 4 chữ số thập phân trong kết quả) : 3 0 a) 4,02 ; b) tan 44 30' ; c) 7,97 . y. 4. Đạo hàm cấp cao 4.1. Phương pháp :. Dựa theo các định nghĩa sau :. Đạo hàm cấp 2 :. f x f x . n n 1 f x f x , n , n 2 Đạo hàm cấp cao : . Chú ý : Để tìm công thức tính đạo hàm cấp n của một hàm số ta tìm đạo hàm cấp 1 , 2 , 3 … sau đó dự đoán công thức tính đạo hàm cấp n và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp .. 4.2. Các ví dụ minh họa :.
<span class='text_page_counter'>(10)</span> Ví dụ 1. Tìm đạo hàm các cấp đã chỉ ra của các hàm số sau :. 1 2 y x 4 x 3 5x 2 4 x 7 4 3 a) . Tìm y , y ; 3. b). y. x 3 4 x 4 . Tìm y , y, y. ; c) y 3 x x . Tìm y . Ví dụ 2. Chứng minh các hệ thức sau với các hàm số được chỉ ra: 3. a) y y 1 0 khi y 2 x x 2. 2. . x y 2 x y. 2. . 2. ;. 1 y 0 khi. y x.tan x. b) .. * Ví dụ 3. Chứng minh bằng quy nạp các công thức sau đúng n :. sin ax . n. a). 1 ax b . n a n sin ax 2 . n. cos ax ;. b). n. n cos ax 2 ; . n. 1 a n n! n 1 ax b . c) . Ví dụ 4. Tìm các đạo hàm cấp n của các hàm số sau :. y. 4 x 1 2x 1. a) Ví dụ 5. Tìm các đạo hàm cấp n của các hàm số sau : 4. 4. a) y sin x cos x. . 4.3.. ; ;. b). y. x 2 3x 5 x 1 .. b) y 8sin x.cos3x.cos 4 x .. Chú ý : Khi tìm đạo hàm cấp n của một hàm số , nếu được ta hãy biến đổi hàm số đã cho 1 ; sin ax ; cos ax thành tổng của các hàm số có một trong các dạng : ax b rồi áp dụng các công thức ở ví dụ trên , dự đoán ra công thức đạo hàm cấp n của hàm số đã cho và chứng minh lại bằng quy nạp (nếu cần) .. Bài tập áp dụng:. Tìm đạo hàm các cấp đã chỉ ra của các hàm số sau : 2 a) y x.cos 3 x tìm y ; b) y sin 2 x tìm y ;. Bài 39.. 2 x 1. 5. 5 tìm y ; Bài 40. Chứng minh các đẳng thức sau : xy 2 y ' sin x xy " 0 a) nếu y=x sin x ; ¿ b) 18 ( 2 y −1 ) + y =0\} \{ nếu y=cos 2 3 x ; ¿ ¿ sin 3 x +cos3 x c) y +y=0\} \{ nếu y= ; 1− sin x cos x ¿. c). y. 2. x2 3x 1 y 4 x 2 d) tìm y .. 4 2 xy 4 y 40 y x2 1 y d) nếu ; ¿ x−3 e) 2 y ' 2=( y − 1 ) y \} \{ nếu y= ; x+ 4 ¿ ¿ 2 f) 4 ( x +1 ) . y +4x . y' - y=0\} \{ nếu y=√ x + √1+ x 2 ; ¿ 2 2 1 x y " xy ' k y 0 nếu y=( x+ √ x 2+ 1 )k , k . g) Bài 41. Tìm đạo hàm cấp n của các hàm số sau :. . . . .
<span class='text_page_counter'>(11)</span> a) b). y y y. 2x 1 x2 3 2. x x 2. ;. x2. x2 2x 1 ; d) y 8sin x.sin 2 x.sin 3 x c). ;. d). y. 4 x2 5x 3 2 x 2 3x 1. ;. 6 6 e) y sin x cos x ; n 2n y 1 32 n y f) Cho y cos3x . Chứng minh .. ;.
<span class='text_page_counter'>(12)</span>