Tài liệu Đẳng thức lượng giác pdf

Đẳng thức lượng giác
Trong toán học, các đẳng thức lượng giác là các phương trình chứa các hàm lượng giác,
đúng với một dải lớn các giá trị của biến số.
Các đẳng thức này hữu ích cho việc rút gọn các biểu thức chứa hàm lượng giác. Ví dụ
trong việc tính tích phân với các hàm không phải là lượng giác: có thể thay chúng bằng
các hàm lượng giác và dùng các đẳng thức lượng giác để đơn giản hóa phép tính.
Định nghĩa


Tuần hoàn, đối xứng và tịnh tiến
Các đẳng thức sau có thể dễ thấy trên vòng tròn đơn vị:
Tuần hoàn (k
nguyên) Đối xứng Tịnh tiến









Đẳng thức sau cũng đôi khi hữu ích:

với

Đẳng thức Pytago
Các đẳng thức sau dựa vào định lý Pytago.

Đẳng thức thứ 2 và 3 có thể suy ra từ đẳng thức đầu bởi chia nó cho cos²(x) và sin²(x).
Tổng và hiệu của góc
Cách chứng minh nhanh các công thức này là dùng công thức Euler.





với

và

Công thức góc bội
Bội hai
Các công thức sau có thể suy ra từ các công thức trên. Cũng có thể dùng công thức de
Moivre
với n = 2.



Công thức góc kép có thể dùng để tìm
bộ ba Pytago. Nếu (a, b, c) là bộ ba Pytago thì
(a
2
− b
2
, 2ab, c
2
) cũng vậy.
Tổng quát

Nếu T
n
là đa thức Chebyshev bậc n thì

công thức de Moivre:

Hàm hạt nhân Dirichlet D
n
(x) sẽ xuất hiện trong các công thức sau:


Hay theo công thức hồi quy:
sin(nx) = 2sin((n − 1)x)cos(x) − sin((n − 2)x)
cos(nx) = 2cos((n − 1)x)cos(x) − cos((n − 2)x)
Bội ba
Ví dụ của trường hợp n = 3:
sin(3x) = 3sin(x) − 4sin (x)
3
cos(3x) = 4cos (x) − 3cos(x)
3
dinh van phu
Công thức hạ bậc
Giải các phương trình ở công thức bội cho cos
2
(x) và sin
2
(x), thu được:

Công thức góc chia đôi
Thay x/2 cho x trong công thức trên, rồi giải phương trình cho cos(x/2) và sin(x/2) để thu
được: