(Luận văn thạc sĩ) bài toán motz và một số phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN



ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
------------**------------

NGUYỄN VŨ TRUNG

BÀI TOÁN MOTZ VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
TÌM NGHIỆM XẤP XỈ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60. 46. 01.12

Người hướng dẫn
TS. VŨ VINH QUANG

THÁI NGUYÊN – NĂM 2016


1

MỤC LỤC
Mục lục ..................................................................................................... 1
Lời cam đoan ........................................................................................... 3
Lời cảm ơn ............................................................................................... 4
Các ký hiệu............................................................................................... 5

Mở đầu ..................................................................................................... 6
Chương 1 Các kiến thức cơ bản ............................................................ 7
1.1 Không gian Sobolev ........................................................................ 7
1.1.1 Không gian C
1.1.2 Không gian L

(W)................................................................. 7

k

p

(W).................................................................. 9

1.1.3 Không gian W

1, p

(W)

......................................................... 9

( )

1.1.4 Không gian H 0 W và khái niệm vết của hàm .................... 11
1

1.1.5 Không gian Sobolev với chỉ số âm H

- 1

(W) và H (¶ W) 12
- 1

2

1.2 Phương trình elliptic ..................................................................... 12
1.2.1 Khái niệm nghiệm yếu của phương trình .............................. 13
1.2.2 Phát biểu các bài toán biên .................................................... 14
1.3 Kiến thức về các sơ đồ lặp cơ bản ................................................ 16
1.3.1 Lược đồ lặp hai lớp ................................................................ 16
1.3.2 Lược đồ dừng, các định lý cơ bản về sự hội tụ của phương
pháp lặp ........................................................................................... 17
1.4 Phương pháp sai phân…………………….. ................................. 17
1.5 Giới thiệu thư viện RC2009 .......................................................... 20
1.5.1 Bài toán biên Dirichlet ........................................................... 20
1.5.2 Bài toán biên Neumann.......................................................... 22


2

Chương 2 Bài tốn Motz và các phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ ... 27
2.1 Giới thiệu bài toán Motz ............................................................... 27
2.2 Một số phương pháp khai triển thông qua các hệ hàm riêng ........ 28
2.2.1 Phương pháp BAMs............................................................... 28
2.2.2 Phương pháp GFIFs ............................................................... 30
2.2.3 Kết quả sử dụng các phương pháp BAMs ............................. 32
2.3 Phương pháp lặp tìm nghiệm xấp xỉ ............................................. 32
Chương 3 Một số kết quả thực nghiệm với bài toán Motz ............... 41
3.1 Kết quả đối với các phương pháp khai triển ................................. 41

3.1.1 Phương pháp BAMs............................................................... 41
3.1.2 Kết quả sử dụng phương pháp GFIFs .................................... 42
3.2 Ứng dụng của phương pháp chia miền đối với bài toán Motz ..... 45
3.3 Mở rộng phương pháp chia miền trong trường hợp tổng quát ..... 49
Phần kết luận ......................................................................................... 54
Tài liệu tham khảo ................................................................................ 55
Phần phụ lục .......................................................................................... 56


3

LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung
thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi
sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thơng tin
trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Thái nguyên, Tháng 12 năm 2015
Người viết luận văn

Nguyễn Vũ Trung

Xác nhận
của trưởng khoa chuyên môn

Xác nhận
của người hướng dẫn khoa học

TS. Nguyễn Thị Thu Thủy

TS. Vũ Vinh Quang

4

LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành được luận văn một cách hồn chỉnh, tơi ln nhận được
sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của TS. Vũ Vinh Quang - Trường Đại học
Công Nghệ Thông Tin và Truyền Thông. Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc đến thầy và xin gửi lời tri ân nhất của tôi đối với những điều thầy
đã dành cho tôi.
Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phòng sau đại học, quý thầy cơ
giảng dạy lớp cao học tốn K7C (2014-2016) Trường Đại học Khoa Học –
Đại học Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng
như tạo điều kiện cho tơi hồn thành khóa học.
Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, những
người đã luôn động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho tơi trong suốt q
trình học tập và thực hiện luận văn. Xin trân trọng cảm ơn!
Thái nguyên, tháng 12 năm 2015
Người viết luận văn

Nguyễn Vũ Trung


5

CÁC KÝ HIỆU

W

Miền giới nội trong không gian ¡

¡

Không gian Euclide n chiều.

n

n

.

¶W

Biên trơn Lipschitz.

C k (W)

Khơng gian các hàm có đạo hàm cấp k liên tục.

L2 (W)

Khơng gian các hàm đo được bình phương khả tích.

W 1, p (W)

Khơng gian Sobolev với chỉ số p .

1

H

2

(¶ W)

Khơng gian Sobolev với chỉ số 1/2

H 01 (W)

Khơng gian các hàm có vết bằng khơng trên ¶ W.

H - 1 (W)

Khơng gian i ngu vi H 0 W .

-

H

1

2

(ả W)

ì

V

1

( )

Khụng gian đối ngẫu với.
Chuẩn xác định trên khơng gian V .

()×

Tích vô hướng xác định trên không gian V .

C (W)

Hằng số Poincare.

V


6

MỞ ĐẦU
Một số bài tốn trong cơ học các mơi trường liên tục như các bài toán
nghiên cứu về lý thuyết dao động qua mơ hình hóa đều đưa về các bài tốn
biên cho phương trình elliptic cấp hai. Trong trường hợp khi môi trường là
thuần nhất và điều kiện biên bình thường thì việc tìm nghiệm của bài tốn có
thể được thực hiện thơng qua các phương pháp giải tích như các phương pháp
tách biến, phương pháp hàm Green hoặc các phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ
như các phương pháp sai phân hay phương pháp phần tử hữu hạn. Tuy nhiên
khi điều kiện biên của bài toán là hỗn hợp mạnh tức là trên một đoạn biên
trơn tồn tại 2 loại điều kiện biên dạng hàm (Dirichlet) và dạng đạo hàm
(Neumann) thì trong thực tế điểm giao giữa 2 loại điều kiện này thường xảy

ra các hiện tượng gãy nứt vật liệu. Các điểm giao này người ta thường gọi là
các điểm kỳ dị. Trong trường hợp khi tồn tại các điểm kỳ dị thì các phương
pháp kể trên không thể thực hiện được. Để giải quyết các bài toán này, người
ta thường nghiên cứu theo 2 hướng sau đây:
 Xây dựng các hệ hàm riêng trực giao xung quanh lân cận của điểm
kỳ dị dưới dạng tọa độ cực và từ đó tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán dưới dạng
khai triển tổng hữu hạn của các hệ hàm riêng. Từ đó bài tốn đưa về việc xác
định các hệ số của khai triển thông qua việc giải các hệ đại số tuyến tính.
 Sử dụng các sơ đồ lặp chuyển bài tốn có chứa điểm kỳ dị về các bài
tốn con khơng chứa điểm kỳ dị. Từ đó áp dụng các phương pháp sai phân để
giải quyết các bài tốn con qua đó xây dựng nghiệm của bài tốn gốc ban đầu.
Xuất phát từ phân tích đó, mục tiêu nghiên cứu chính của luận văn là
tìm hiểu về một mơ hình bài tốn Motz, đây là mơ hình bài tốn elliptic cấp
hai có chứa 1 điểm kỳ dị mẫu mực, thường sử dụng để test các phương pháp
xấp xỉ trên thế giới, nghiên cứu cơ sở của phương pháp khai triển tìm nghiệm
xấp xỉ của bài tốn Motz, đồng thời nghiên cứu cơ sở của phương pháp lặp


7

chuyển bài toán Motz về hai bài toán elliptic cấp hai, sử dụng phương pháp
sai phân để xác định nghiệm của bài toán gốc. So sánh kết quả thực nghiệm
của hai phương pháp. Các kết quả thực nghiệm được thực hiện trên máy tính
điện tử.
Nội dung chính của luận văn là tiến hành tìm hiểu nghiên cứu cơ sở lý
thuyết của các phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán biên elliptic cấp
hai trong miền phức tạp hoặc điều kiện biên phức tạp, đặc biệt bằng phương
pháp xác định nghiệm xấp xỉ thông qua các hệ hàm mẫu dạng tọa độ cực xung
quanh các điểm kỳ dị, so sánh với phương pháp chia miền và lập trình tính
tốn thử nghiệm trên nền ngôn ngữ Matlab. Luận văn cấu trúc gồm 3 chương:

Chương 1: Đưa ra một số kiến thức cơ bản về không gian hàm và lý
thuyết về phương trình elliptic, lý thuyết về các sơ đồ lặp. Cơ sở phương pháp
chia miền và lý thuyết sai phân.
Chương 2: Trình bày mơ hình của bài tốn Motz và các phương pháp
tìm nghiệm xấp xỉ.
Chương 3: Một số kết quả thực nghiệm đối với bài toán Motz.
Luận văn này được hồn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của TS Vũ
Vinh Quang, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành của mình đối với thầy.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trường Đại Học Khoa Học - Đại
Học Thái Nguyên, Viện Toán Học đã tham gia giảng dạy, giúp đỡ em trong
suốt quá trình học tập nâng cao trình độ kiến thức. Tuy nhiên vì điều kiện thời
gian và khả năng có hạn nên luận văn khơng thể tránh khỏi những thiếu sót.
Em kính mong các thầy cơ giáo và các bạn đóng góp ý kiền để đề tài được
hoàn thiện hơn.


8

CHƯƠNG 1
CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
Nội dung chương 1 của luận văn trình bày một số kiến thức cơ bản về
các không gian hàm, lý thuyết về các sơ đồ lặp và phương trình eliiptic cấp 2,
lý thuyết về phương pháp sai phân. Đây là các kiến thức nền tảng, là cơ sở
cho viện trình bày các nội dung trong chương 2 và chương 3 của luận văn.
Các kiến thức được tham khảo trong các tài liệu [4, 5, 7, 8].
1.1 Không gian Sobolev
1.1.1 Không gian C

k

(W)

Giả sử W là một miền bị chặn trong không gian Euclid n chiều ¡

n

và

W là bao đóng của W. Ta kí hiệu C k (W), (k = 0,1, 2...) là tập các hàm có
đạo hàm đến cấp k kể cả k trong W, liên tục trong W. Ta đưa vào C

k

(W)

chuẩn

u

(

C

k

(W)

Trong đó a = a 1, a 2 ,..., a n

=

å

a £k

max D a u (x ) .
xỴ W

) được gọi là đa chỉ số vectơ với các tọa độ

nguyên không âm, a = a 1 + a 2 + ... + a n :
a

D u=

¶

a 1 + ...+ a n

u

¶ x ...¶ x
a1
1

an
n

.

Sự hội tụ theo chuẩn đã cho là sự hội tụ đều trong W của các hàm và tất cả
đạo hàm của chúng đến cấp k . Rõ ràng tập C
không gian Banach.

k

(W) với chuẩn đã cho là


9

1.1.2 Không gian L

p

(W)

Giả sử W là một miền trong ¡

n

và p là một số thực dương. Ta kí hiệu

Lp (W) là lớp các hàm đo được f xác định trên W sao cho:

ị f (x )

p

dx < ¥

(*)

W

trong L

p

(W) ta đồng nhất các hàm bằng nhau hầu khắp trên W. Như vậy các

phần tử của L

(W) là các lớp tương đương các hàm đo được thỏa mãn (*) và

p

hai hàm tương đương nếu chúng bằng nhau hầu khắp trên W. Vì :
p

f (x ) + g (x ) £
nên rõ ràng L
Ta đưa vào L

p

p

(

f (x ) + g (x )

p

)

p
pử
ổ
Ê 2p ỗỗ f (x ) + g (x ) ÷
÷
÷,
è
ø

(W) là một khơng gian vectơ.

(W) phiếm hàm

. được xác định bởi:
p

ìï
ü
p
ïï p
ï
= í ị u (x ) dx ý .
ùù W
ùù

ợ
ỵ
1

u
1.1.3 Khụng gian W

1, p

p

(W)

1.1.3.1 nh ngha
Cho W là một miền trong ¡

n

( ) được gọi là khả tích địa

. Hàm u x

phương trong W nếu u x là một hàm trong W và với mỗi x 0 Î W đều tồn

()

()

tại một lân cận w của x 0 để u x khả tích trong w .

10

1.1.3.2 Định nghĩa
Cho W là một miền trong ¡

n

() ()

. Giả sử u x , v x là hai hàm khả tích

địa phương trong W sao cho ta có hệ thức:

ị u ¶x
W

¶ kj
k1
1

k

...¶ x

kn
n

dx = (- 1)

ị ¶x
W

¶ ku
k1
1

...¶ x

kn
n

j dx ,

đối với mọi j x Ỵ C 0 W , k = k1 + ... + kn , ki £ 0 i = 1, 2,..., n .

()

Khi đó

k

¶ ku
¶ x 1 1 ...¶ x nn
k

k

( )

(

)

()

được gọi là đạo hàm suy rộng cấp k của u x .

Kí hiệu:

v (x ) =

¶ ku
¶ x ...¶ x
k1
1

kn
n

.

1.1.3.3 Định nghĩa
Giả sử p là một số thực, 1 £ p < ¥ , W là một miền trong ¡
Không gian Sobolev W

1, p

(W) được định nghĩa như sau:

ïì
ïü
¶u
W 1, p (W) = ïí u | u Ỵ Lp (W),
Ỵ Lp (W), i = 1,..., n ùý,
ùù
ùù
ả xi
ợ
ỵ
trong ú cỏc o hm trên là các đạo hàm suy rộng.
Với p = 2 , ta kí hiệu W

1,2

(W) =

H 1 (W), nghĩa là:

ïìï
ïü
¶u
2
2
H (W) = í u | u Ỵ L (W),
Ỵ L (W), i = 1, 2,..., n ùý.
ả xi
ùợù
ùù
ỵ

1

n

.


11

( )

1.1.4 Không gian H 0 W và khái niệm vết của hàm
1

1.1.4.1 Định nghĩa
Với bất kì 1 £ p < ¥ , khơng gian Sobolev W0

1, p

(W) được định nghĩa

( )

như các bao đóng của D W (khơng gian các hàm khả vi vơ hạn có giá
compact trong W) tương ứng với chuẩn của W

1, p

(W). Không gian H (W)
1

0

được xác định bởi

H 01 (W) = W01,2 (W).
1.1.4.2 Định lý (Định lý vết)
i) Tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính liên tục được gọi là vết

(

)

(

)

g : H 1 R n - 1 ´ R +* a L2 R n - 1 ,

(

sao cho với bất kì u ẻ H R
1

n- 1

)

(

)

R +* ầ C 0 R n - 1 ´ R + , ta có g (u ) = u |R n - 1 .

ii) Giả sử W là một tập mở trong R

n

sao cho ¶ W là liên tục Lipschitz

thì tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính liên tục:

g : H 1 (W) đ L2 (ả W),
sao cho vi bt kỡ u Ỵ H

1

(W) Ç C (W) ta có g (u ) =
0

u |¶ W. Hàm g (u )

được gọi là vết của u trên ¶ W.
1.1.4.3 Định nghĩa
Giả sử biên ¶ W là liên tục Lipschitz, không gian H
miền giá trị của ánh xạ vết g , tức là:

H

1

2

(¶ W) = g (H (W)).
1

1

2

(¶ W) được gọi là


12

1.1.5 Không gian Sobolev với chỉ số âm H

- 1

(W) và H (¶ W)
-

1

2

1.5.1.1 Định nghĩa.
Ta kí hiệu H

(W) là một không gian Banach được xác định bởi:

- 1

'

(

)

H - 1 (W) = H 01 (W) ,
với chuẩn:

F,u
F
Trong đó F , u

H-

1

H-

1

(W)

(W),H 01(W)

=

sup

H-

u

H 01 (W)\ {0}

1

(W),H 01(W)

.

H 01 (W)

là tích năng lượng trên cặp không gian đối ngẫu.

1.1.5.2 Định nghĩa
Giả sử ¶ W liên tục Lipschitz, ta kí hiệu H

-

1

2

(¶ W) là một khơng gian

Banach được xác định như sau:

H

-

1

2

'

(¶ W) = (H (¶ W)) ,
1

2

với chuẩn tương ứng
1.2 Phương trình elliptic
Giả sử WỴ ¡

n

là miền giới nội với biên ¶ W= G . Xét phương trình

đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2m của ẩn hàm u x , x Î W

()

Au =

å

|a |£ 2m

a a (x )D a u = f (x ),

() ()

(1.1)

trong đó a a x , f x là các hàm cho trước, A là một tốn tử vi phân
tuyến tính, ta có:
i)

Với m=1 thì (1.1) là phương trình đạo hàm riêng cấp hai.


13

ii)

Với m=2 thì (1.1) là phương trình đạo hàm riêng cấp bốn.

Bài tốn tìm nghiệm của (1.1) được gọi là bài toán biên nếu trên biên G

()

nghiệm u x thỏa mãn một số điều kiện biên:

B i (u ) = gi , i = 0,1,..., m - 1,

()

trong đó B i u , i = 0,1,..., m - 1 là các toán tử biên.
1.2.1 Khái niệm nghiệm yếu của phương trình
Xét phương trình:

- Vu = f .
Giả sử u Ỵ C

2

(W), f

(1.2)

Ỵ C (W) và phương trình (1.2) thỏa mãn trong

( ) được gọi là nghiệm cổ điển của phương trình (1.2).

miền W. Khi đó, u x

( )

¥

Lấy hàm j bất kì thuộc D W = C 0

(W) nhân với hai vế của (1.2) rồi lấy

tích phân ta được:

ị Vuj dx = ị f j dx .

-

W

(1.3)

W

Áp dụng cơng thức Green vào (1.3) và kết hợp với điền kiện j |¶ W= 0 ta có:
n

ịå

W i= 1

¶j ¶u
dx =
¶ xi ¶ xi

ị f j dx ,

(1.4)

W

hay:

ị Đ u Đ fdx = ò f j dx .
W

W

Như vậy, nếu u là nghiệm của phương trình (1.2) thì có (1.4). Nhưng
nếu f Ỵ C W thì phương trình (1.2) khơng có nghiệm cổ điển. Vậy ta cần

( )

mở rộng khái niệm khi f Ỵ L W .
2

( )


14

1.2.1.1 Định nghĩa
Giả sử u Ỵ H

1

(W), f

Ỵ L2 (W), u được gọi là nghiệm yếu của phương

trình (1.1) nếu (1.3) được thỏa mãn.
1.2.1.2 Mệnh đề
Nếu u là nghiệm yếu của phương trình (1.2) và u Ỵ C

2

(W), f

Ỵ C (W)

thì u là nghiệm cổ điển, tức là - Vu = f .
Chứng minh. Giả sử u là nghiệm yếu của phương trình (1.2), tức là

u Ỵ H 1 (W) và ta có (1.4) với mọi hàm j Ỵ D (W), kết hợp với điều kiện
u Ỵ C 2 (W) ta suy ra:

ò (Vu + f )j dx =

0, " u Ỵ D (W),

W

vì D W trù mật trong L W ,Vu + f trực giao vơi mọi j Ỵ D W nên

( )

2

( )

( )

Vu + f = 0 trong L2 (W). Nhưng vì Vu liên tục nên Vu + f º 0 trong

C (W). Vậy u là nghiệm cổ điển của phương trình (1.2). W
1.2.2 Phát biểu các bài tốn biên
1.2.2.1 Bài tốn Dirichlet
Xét bài tốn:

ìï - Vu = f , x Ỵ W,
ï
í
ïï u = j , x ẻ ả W,
ợ
trong ú f ẻ L W .
2

Hm u Ỵ H

1

( )

(W) được gọi là nghiệm yếu của bài toán (1.5) nếu:

(1.5)


15

u - w Ỵ H 01 (W),
trong đó w là hàm thuộc H

1

(W), có vết bằng j

(1.6)
và:

ị Đ u Đ vdx = ị fvdx , " v Ỵ
W

H 01 (W).

(1.7)

W

1.2.2.2 Nhận xét
+ Nghiệm yếu của bài toán (1.5) là nghiệm yếu của phương trình - Vu = f ,
vì ta đã định nghĩa nghiệm yếu của phương trình này là hm u ẻ H
Ơ

tha món (1.7) vi mi v ẻ C 0

(W) Ì

1

(W)

H 01 (W).

+ Nếu u là nghiệm yếu của bài toán (1.5) và đặt u , f , j đủ trơn thì nghiệm
theo nghĩa cổ điển.
1.2.2.3 Bài tốn Neumann
Xét bài tốn :

ìï - Vf = u , x ẻ W,
ùù
ớ ảu
ùù
= h, x ẻ ả W,
ùợ ả n
trong ú h ẻ C ả W , f ẻ C W , u Ỵ C

( )

( )

2

(1.8)

(W) là nghiệm cổ điển.

Nhân hai vế của phương trình - Vu = f với v Ỵ H

1

(W) rồi lấy tích phân

ta được:

-

ị vVudx = ị vfdx .
W

(1.9)

W

Áp dụng cơng thức Green vào (1.9) ta có:

-

ịv
¶W

¶ Du
dS +
¶n

Kết hợp với (1.8) ta suy ra:

ị Ñ u Ñ vdx = ò vfdx .
W

W


16

ị Đ u Đ vdx = ị fvdx + ị hvdS , " v ẻ
W

W

H 1 (W).

(1.10)

ảW

1.2.2.4 nh ngha
Nu h Ỵ L ¶ W , f Ỵ L W thì nghiệm yếu của bài tốn Neumann (1.7) là
2

hàm u Ỵ H

( )

1

2

( )

(W) thỏa mãn (1.10).

1.3 Kiến thức về các sơ đồ lặp cơ bản
1.3.1 Lược đồ lặp hai lớp

Xét bài tốn:

Ay = f.

(1.11)

Trong đó A : H ® H là tốn tử tuyến tính trong khơng gian Hilbert thực
hữu hạn chiều H . Giả sử A là toán tử đối xứng, xác định dương, f Ỵ H là
vectơ tùy ý. Trong mỗi phương pháp lặp, xuất phát từ y 0 bất kì thuộc H ,
người ta đưa ra cách xác định nghiệm xấp xỉ y 1,y 2,..., y k ,... của phương trình
(1.11). Các xấp xỉ như vậy được biết như là các cặp giá trị lặp với chỉ số lặp

k = 1, 2,... , bản chất của những phương pháp này là giá trị y k + 1 có thể được
tính thơng qua các giá trị lặp trước: y k , y k - 1,...
phương pháp lặp được gọi là phương pháp lặp một bước hoặc hai bước nếu
xấp xỉ y k + 1 có thể được tính thơng qua một hoặc hai giá trị trước đó. Dạng
chính tắc của lược đồ lặp hai lớp là:

Bk

yk + 1 - yk
qk+1

+ A y k = f , k = 0,1, 2,...

(1.12)

lược đồ lặp (1.12) cho ta xấp xỉ các nghiệm y của phương trình (1.11) với bất
kì tốn tử B k và cách chọn tham số qk + 1 . Nếu B k = E thì lược đồ lặp
(1.11) được gọi là lược đồ lặp hiện.

17

yk + 1 - yk
qk + 1

+ Ay = f , k = 0,1, 2,...

(1.13)

k

trong trường hợp qk = q là hằng số thì lược đồ lặp (1.13) cịn gọi là lược đồ
lặp đơn giản. Nếu B k ¹ E thì lược đồ lặp (1.11) được gọi là lược đồ ẩn.
1.3.2 Lược đồ dừng, các định lý cơ bản về sự hội tụ của phương pháp lặp
Lược đồ lặp (1.12) với toán tử B k = B , tham số qk + 1 = q khơng đổi

(k =

0,1, 2,...) cịn được gọi là lược đồ lặp dừng, có dạng:

B

yk + 1 - yk
q

+ Ay = f , k = 0,1, 2...

(1.14)

k

1.3.2.1 Định lý
Nếu A là toán tử đối xứng , xác định dương thì:

B>

1
1
qA hay (Bx , x ) > q (Ax , x ), " x Ỵ H ,
2
2

(1.15)

là điều kiện đủ cho sự hội tụ của lược đồ lặp (1.13) trong không gian H A với

r < 1 tốc độ hội tụ cấp số nhân.

zk + 1

A

£ r zk

A

, k = 0,1, 2,...

(1.16)

1.4 Phương pháp sai phân
Lưới sai phân

ìï - D u = f , x Ỵ W,
ï
í
ïï u = g,
x ẻ ả W,
ợ

Xột bi toỏn

{

(1.17)

}

trong ú W= (x , y ) Ỵ R , a £ x £ b, c £ y £ d , chọn 2 số nguyên
2

N>1và M > 1, đặt h = (b - a)/N gọi là bước lưới theo x, k = (d - c)/M gọi là
bước lưới theo y. Đặt x i = a + ih, y j = c + jk , i = 0...N , j = 0...M .


18

Mỗi điểm (x i , y j ) gọi là một nút lưới ký hiệu là nút (i,j). Tập tất cả các nút

trong ký hiệu là Whk . Nút ở trên biên G gọi là nút biên, tập tất cả các nút biên
kí hiệu là Ghk , tập Whk = Whk È Ghk gọi là một lưới sai phân trên W.
Hàm lưới: Mỗi hàm số xác định tại các nút của lưới gọi là một hàm
lưới, giá trị của hàm lưới u(x,y) tại nút lưới (i,j) viết tắt là u i , j . Mỗi hàm u(i,j)
xác định tại mọi (x , y ) Ỵ W tạo ra hàm lưới u xác định bởi u i , j .
Bài toán sai phân: Kí hiệu Lu = f là các hàm số hai biến x, y có các
đạo hàm riêng đến cấp m liên tục trong W= WÈ G. Giả sử bi toỏn cú
nghim u ẻ C (W) , khi ú:
4

ả 4u
(x , y ) |£ C 1 = const ,
max ( x ,y )ẻ W |
ảx4

ả 4u
max ( x ,y )Ỵ W |
(x , y ) |£ C 2 = const .
¶y4
Do đó theo cơng thức Taylor ta có:

u (x i + 1, y j ) = u (x i ) + h, y j

¶ u h 2 ¶ 2u h 3 ¶ 3u
= u (x i , y j ) - h
+
+ O (h 4 ),
2
3
2! ¶ x

3! ¶ x
¶x
hay

u (x i + 1, y j ) - 2u (x i , y j ) + u (x i - 1, y j )
h2

¶ 2u
2
=
O
(
h
).
+
¶x2

Một cách tương tự:

u (x i , y j + 1 ) = u (x i , y j + k )

¶ u k 2 ¶ 2u k 3 ¶ 3u
+
+
+ O (k 4 ),
= u (x i , y j ) + k
2
3
¶y
2! ¶ y

3! ¶ y


19

u (x i , y j - 1 ) = u (x i , y j - k ) 00.
Do đó:

u (x i , y j + 1 ) - 2u (x i , y j ) + u (x i , y j - 1 )
k2

¶ 2u
2
=
(
).
O
k
+
¶y2

Vậy ta có:

u (x i + 1, y j ) - 2u (x i , y j ) + u (x i - 1, y j )
2

h
u (x i , y j + 1 ) - 2u (x i , y j ) + u (x i , y j - 1 )
2

k
D u + O (h + k ).
2

+
=

2

Ta đặt:

u i + 1, j - 2u i , j + u i - 1, j

D hk u º

h2

+

u i , j + 1 - 2u i , j + u i , j - 1
k2

.

Khi đó chứng tỏ:

D khu = D u + o(h 2 + k 2 ).
Số hạng O (h + k ) là một vô cùng bé bậc hai. Ta nói tốn tử D kh
2

2

xấp xỉ tốn tử D , điều đó cho phép thay phương trình vi phân bằng phương
trình sai phân:

D hk u = fij ,

fij = f (x i , y j ),

(x i , y j ) Ỵ Whk ,

tức là:

u i + 1, j - 2u i , j + u i - 1 j
h2

+

u i , j + 1 - 2u i , j + u i , j - 1
k2

= f (x i , y j ),(x i , y j ) Î Whk , (1.18)

đồng thời thay điều kiện biên bằng điều kiện:

u ij = g(x i , y j ),

(x i , y j ) Ỵ Ghk .

(1.19)

20

Ta được bài tốn sai phân hồn chỉnh, tìm hàm lưới u tại các nút (i, j )
thỏa mãn hệ phương trình sai phân (1.18) với các điều kiện biên (1.19). Như
vậy việc tìm nghiệm xấp xỉ của bài tốn vi phân với độ chính xác cấp hai
được đưa về việc giải bài toán sai phân (1.18) với điều kiện (1.19) bằng các
phương pháp đại số.
1.5 Giới thiệu thư viện RC2009
Thư viện chương trình RC2009 là sự phát triển của thư viện T2004 tìm
nghiệm số của bài tốn biên hỗn hợp trong trường hợp tốn tử của phương
trình phức tạp hơn.
Cho W là hình chữ nhật

{

}

W= x = (x 1, x 2 ) Ỵ R 2 : 0 < x 1 < l1;0 < x 2 < l2 .
Xét bài tốn
2
2
ìï
ïï k (x ) ¶ u + k (x ) ¶ u + c(x )u = f (x ), x Ỵ W,
2
ïí 1 ¶ x 2
¶ x 22
1
ïï

l u = j (x ),
x ẻ ả W,
ùùợ

(1.20)

trong ú f ẻ L (W); j Ỵ L ( G).
2

2

1.5.1 Bài tốn biên Dirichlet
Xét trường hợp khi toán tử lu = u tức là điều kiện biên dạng Dirichlet,

k1, k2 , c là các hằng số, W là hình chữ nhật có kích thước hai cạnh là L1, L2.
Xuất phát từ phương pháp lưới chia miền W thành M ´ N

(

) điểm lưới,

n
trong đó N = 2 , n > 0 . Kí hiệu h1 = L1 / M , h2 = L2 / M là các bước

lưới, j là véc tơ hàm vế phải của phương trình. Từ phương pháp sai phân với


21

(

độ chính xác O h1 + h2
2

2

) chuyển bài tốn đang xét về bài toán sai phân

tương ứng với hệ phương trình véc tơ ba điểm

- Y j - 1 + CY j - Y j + 1 = Fj ;Y 0 = F0,Y N = FN ; j = 1, N - 1.
Trong đó Yj là các véc tơ nghiệm, Fj là các véc tơ cấp (M-1), C là ma trận hệ
số cấp M - 1 ´ M - 1 được xác định như sau:

(

) (

)

Y j = (u 1, j , u 2, j ,..., u M - 1, j ), j = 0, N
F0 = (g1,0 , g2,0 ,..., gM - 1,0 ), FN = (g1,N , g2,N ,..., gM - 1,N ).

Ma trận C có dạng

é
0
0 úù
êd - r 0 ... 0
ê- r d - r ... 0

0
0 úú
ê
ê
0
0 úú
ê 0 - r d ... 0
C = êê M M M M M M Múú,
ê0
0
0 ... d - r 0 úú
ê
ê
ú
0
0 ... - r d - r ú
ê0
ê
ú
0
0 ... 0 - r d ú
êë 0
û

trong đó

r =

k1 h22
k2 h12

,

é h2
ù
ê 2 j + rg ú
ê
1, j
0, j ú
ê k2
ú
2
ê
ú
h2
ê
ú
j 2, j
ê
ú
k2
ê
ú
ú,
Fj = êê
M
ú
ê
ú
2

ê h2
ú
j M - 2, j
ê
ú
ê k2
ú
ê2
ú
êh2
ú
ê j M - 1, j + rgM , j ú
êëk2
úû

d = 2 (r + 1) + c

h22
k2

.


22

Trên cơ sở thuật toán thứ nhất tiến hành cài đặt giải hệ phương trình
trên. Thiết kế các hàm RC0000(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,cc,N,M,n) thực
hiện thuật toán thu gọn.
Hàm v0000(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,cc,M,N,n,p1,p2,q1,q2) trả lại
ma trận nghiệm xấp xỉ của bài toán (1.24) bắt đầu từ tọa độ (p1,q1) đến (p2,q2).

1.5.2 Bài toán biên Neumann
Xét bài toán biên hỗn hợp
2
2
ìï
ïï k (x ) ¶ u + k (x ) ¶ u + c(x ) = f (x ), x ẻ W,
2
ùớ 1 ả x 2
(1.21)
ả x 22
1
ùù
l u = g (x ),
x ẻ ả W.
ùùợ
Trong ú l là toán tử điều kiện biên ( l u = u nếu điều kiện biên là

Dirichlet, l u = ¶ u / ¶ v nếu điều kiện biên là Neumann) và tồn tại ít nhất 1
cạnh là điều kiện biên Neumann.
Trường hợp 1: Điều kiện trên cạnh trên của hình chữ nhật là dạng Neumann.

(

Từ phương pháp sai phân với độ chính xác O h1 + h2
2

2

) chuyển bài tốn vi

phân (1.25) về bài toán sai phân tương ứng với hệ phương trình véc tơ ba
điểm

- Y j - 1 + CY j - Y j + 1 = Fj ;Y 0 = F0, - 2Y N - 1 + CY N = FN ; j = 1, N - 1,

(

)

trong đó Yj là các véc tơ nghiệm, F j là các véc tơ cấp M - 1 ,C là ma trận
hệ số cấp M - 1 ´ M - 1 được xác định như sau:

(

) (

)

Y j = (u 1, j , u 2, j ,..., u M - 1, j ), j = 0, N

(

)

F0 = b3 (1), b3 (2),..., b3 (M - 1) .


23

ổ 2

ửữ
ỗỗ h2
j 1,N + 2h2b4 (1) + rb1 (N ) ữữữ ộd - r 0
ỗỗ
ữữ ờ
ỗỗ k2
ữữ ờ- r d - r
2
ỗỗ
h2
ữ ờ
j 2,N + 2h2b4 (2)
ữữữ ờ 0 - r d
ỗỗỗ
k2
ữữ ờ
ỗỗ
ữữC = ờ M M M
M
FN = çç
÷
÷÷ êê
çç
2
çç h2
÷÷÷ ê 0 0 0
j
+
h
b

M
2
2
) ÷÷ êê 0 0 0
2 4(
ỗỗỗ k M - 2,N
ữữ
2
ỗỗ 2
ữữ ờờ 0 0 0
ỗỗh2
ữ
ỗỗ j M - 1,N + 2h2b4 (M - 1) + rb2 (N )÷÷ ë
è k2
ø÷
j = 1,2,...N - 1,

...
...
...
M
...
...
...

0
0
0
M
d

-r
0

é h2
ù
ê 2 j + rb j ú
ê k 1, j
1( ) ú
0 0 ùú
ê 2
ú
2
ê
ú
0 0 úú
h2
ê
ú
j 2, j
ê
ú
0 0 úú
k2
ê
ú
ú,
M Múú, Fj = êê
M
ú
ê

ú
2
- r 0 úú
ê h2
ú
j M - 2, j ú
ú
ê
d - rú
ê k2
ú
ú
ê2
ú
-r dú
h2
ê
ú
û
ê j M - 1, j + rb2 (j )ú
êëk2
úû

trong đó

r =

k1 h22
k2 h12

,

d = 2 (r + 1) + c

h22
k2

.

Trên cơ sở của thuật toán thứ hai áp dụng trong trường hợp đã biết véc
tơ F0, tiến hành cài đặt giải hệ phương trình véc tơ ba điểm.
Thiết kế hàm RC0001(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,cc,N,M,n) thực hiện
thuật toán thu gọn.
Hàm v0001(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,cc,M,N,n,p1,p2,q1,q2) trả lại
ma trận nghiệm xấp xỉ của bài toán (1.59) từ tọa độ (p1,q1) đến (p2,q2). Trong
trường hợp khi điều kiện biên trên một trong các cạnh còn lại là dạng
Neumann, sử dụng phương pháp biến đổi tọa độ trên cơ sở của hàm chuẩn
RC0001(…) xây dựng các hàm v0010(…),v0100(…),v1000(…) trả lại nghiệm
bằng số của các bài toán tương ứng.


24

Trường hợp 2: Điều kiện biên trên cạnh phải và cạnh trên của hình chữ nhật

(

là dạng Neumann. Với độ chính xác O h1 + h2
2

2

) chuyển bài tốn vi phân

(1.26) về bài toán sai phân tương ứng với hệ phương trình véc tơ ba điểm

- Y j - 1 + CY j - Y j + 1 = Fj ;Y 0 = F0 ; - 2Y N - 1 + CY N = FN ; j = 1, N
trong đó Yj là các véc tơ nghiệm, Fj là các véc tơ cấp (M), C là ma trận hệ số
cấp M ´ M được xác định như sau

( ) ( )

Y j = (u 1, j , u 2, j ,..., u M , j ), j = 0, N

(

)

F0 = b3 (1), b3 (2),..., b3 (M ) ,

ổ 2
ữữử
ỗỗ h2
ỗỗ j 1,N + 2h2b4 (1) + rb1 (N ) ữữ ộd - r 0 ...
ữữ ờ
ỗỗ k2
ữữ ờ- r d - r ...
ỗỗ
h22
ữ ờ

ỗỗ
j 2,N + 2h2b4 (2)
ữữữ ờ 0 - r d ...
ỗỗ
k2
ữữ ờ
ỗỗ
ữữC = ờ M M M M
M
FN = ỗ
ữữ ờ
ỗỗ 2
ữữ ờ 0 0 0 ...
ỗỗ h2
ờ
j M - 1,N + 2h2b4 (M - 1) ữữữ ờ
ỗỗ
ữữ ờ 0 0 0 ...
ỗỗ k2
ữữ ờ
ỗỗh 2
ỗỗ 2 j + 2h b (M ) + 2rh b (N )ữữữ ờở 0 0 0 ...
12
ữữ
ỗốk M ,N 2 4
ø
2
j = 1,2,..., N - 1.

0

0
0
M
d
-r
0

é h2
ù
ê 2 j + rb j ú
0 0 ùú ê k 1, j 1 ( ) ú
ê 2
ú
ú
2
ê
ú
0 0ú ê
h2
ú
j 2, j
ú
ê
ú
0 0ú ê
k2
ú
ú
ê
ú

M MúFj = ê
M
ú
ú
ê
ú
2
- r 0 ú ê h2
ú
j M - 1, j ú
ú ê
d - r ú ê k2
ú
ú ê2
ú
- r d ú êh2
ú
û ê j + 2rh b (j )ú
12
M ,j
êëk2
úû

Trên cơ sở của thuật toán thứ hai áp dụng trong trường hợp đã biết véc tơ F0,
tiến hành cài đặt giải hệ phương trình véc tơ ba điểm.
Thiết kế hàm RC0002(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,cc,N,M,n) thực hiện
thuật toán thu gọn.