(Luận văn thạc sĩ) một số kết quả về hình lồi, đường kính của hình và vận dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

VŨ VĂN NINH

MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ HÌNH LỒI,
ĐƯỜNG KÍNH CỦA HÌNH VÀ VẬN DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

VŨ VĂN NINH

MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ HÌNH LỒI,
ĐƯỜNG KÍNH CỦA HÌNH VÀ VẬN DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. Trần Xuân Quý

THÁI NGUYÊN - 2017

1

Mục lục
Lời mở đầu

2

1 Một số kiến thức chuẩn bị
1.1. Khái niệm về hình lồi [3] . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Giao của các hình lồi [7] . . . . . . . . . . . . . . . .

2
2
6

2 Về hình lồi và đường kính của hình
2.1. Định nghĩa đường kính của hình [3]
2.2. Đặt vấn đề [3] . . . . . . . . . . . .
2.3. Chia hình phẳng . . . . . . . . . .
2.4. Chia hình cầu . . . . . . . . . . .

.
.
.
.

.
.
.

.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

.

.
.
.
.

.
.
.
.

18
18
28
29
33

3 Một số dạng tốn vận dụng
38
3.1. Về hình lồi [2], [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2. Một bài thi học sinh giỏi các nước [2], [7] . . . . . . . 49
Kết luận
Tài liệu tham khảo

66
67


2

Lời mở đầu
Tốn học rời rạc và hình học tổ hợp là một chủ đề thú vị, được phát
triển mạnh mẽ trên thế giới trong những năm gần đây. Các kết quả liên
quan khơng chỉ hấp dẫn các nhà tốn học ứng dụng mà còn hấp dẫn các
em học sinh phổ thông, bởi các kết quả lập luận tư duy hấp dẫn. Đây
cũng là chủ đề khai thác cho các bài toán thử tài và phải triển tư duy
cho học sinh trung học. Đó là lý do, tơi lựa chọn chủ đề này đề thực hiện
đề tài luận văn Thạc sĩ Toán học, chuyên ngành Phương pháp toán sơ
cấp, với đề tài: "Một số kết quả về hình lồi, đường kính của hình và vận
dụng". Luận văn sẽ trình bày một số kết quả về hình lồi, đường kính
của hình: giao khác rỗng của các hình lồi, bài tốn chia hình, một số
dạng tốn vận dụng. Ngồi phần mở đầu, danh mục tài liệu tham khảo,
luận án gồm ba chương.
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị.
Trong chương này chúng ta đề cập đến khái niệm hình lồi và các kết
quả về giao khác rỗng của các hình lồi.
Chương 2. Về hình lồi và đường kính của hình.
Trong chương này chúng ta đề cập đến khái niệm đường kính của hình,
bài tốn chia hình phẳng thành nhỏ nhất các hình có đường kính nhỏ
hơn, bài tốn chia hình cầu thành bốn phần có đường kính nhỏ hơn mà
khơng thể chia thành số phần nhỏ hơn.
Chương 3. Một số dạng toán và vận dụng.
Trong chương này trình bày các bài tốn vận dụng các kết quả được
trình bày trong chương 1, 2 và một số bài toán được lấy từ các kỳ thi
học sinh giỏi Quốc gia và Quốc tế.


1

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và chỉ bảo
của thầy giáo TS. Trần Xuân Q. Tơi xin bày tỏ lịng kính trọng và
biết ơn sâu sắc đến thầy. Tôi xin trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo Khoa
Toán Trường Đại học Khoa học, các thầy các cô đã trang bị kiến thức,
tạo điều kiện cho tôi trong thời gian học tập tại trường.
Thái Nguyên, ngày 25 tháng 9 năm 2017
Tác giả luận văn

Vũ Văn Ninh


2

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
1.1.

Khái niệm về hình lồi [3]

Khi học hình học phẳng chúng ta đã làm quen với các hình lồi, chẳng
hạn các hình tam giác, các hình bình hành, các hình thang và các đa
giác đều là các hình lồi.

Hình 1
Trong sách giáo khoa các đa giác lồi được đề cập tới và được định nghĩa
như sau: một đa giác là đa giác lồi khi nó nằm về một phía của đường
thẳng đi qua một cạnh bất kì.
Nhưng định nghĩa này rất hạn chế khơng thể áp dụng cho hình có
ít nhất một cạnh khơng phải là đoạn thẳng (chẳng hạn hình trịn, các

hình e-lip), hoặc là hình khơng có giới hạn trong mặt phẳng (một góc
chẳng hạn).
Để mở rộng khái niệm hình lồi người ta đưa ra định nghĩa sau đây
mở rộng cho các hình khơng phải là các đa giác.


3

Định nghĩa 1.1 Một hình F được gọi là lồi khi và chỉ khi mọi điểm A,
B thuộc F thì đoạn AB thuộc F.

Hình 2
Dễ thấy rằng các đa giác lồi cũng lồi theo khái niệm này. Và ngoài các
đa giác lồi thì các hình trịn, hình elip, hình viên phân hình khơng có
giới hạn trong mặt phẳng cũng là hình lồi.

Hình 3
Trong hình trên ta có thể tìm thấy các ví dụ về hình khơng phải là hình
lồi. Các hình lồi đóng (hiểu theo nghĩa giải tích là nó chứa tất cả các
điểm giới hạn của nó) và bị chặn (có thể phủ nó bằng một hình trịn đủ
lớn) được gọi là các oval. Ngồi ra cịn có các hình lồi khơng bị chặn:
nửa mặt phẳng, một góc nhỏ hơn 180 độ, một dải, phần mặt phẳng giới
hạn bởi một đường thẳng parabol.
Các điểm của một hình lồi được chia thành hai loại điểm trong và
điểm biên.
Định nghĩa 1.2 Một điểm gọi là điểm trong của hình lồi F nếu tồn tại
một hình trịn nhận nó làm tâm và nằm hoàn toàn trong F.


4

Hình 4
Định nghĩa 1.3 Một điểm gọi là điểm biên của hình lồi F nếu mỗi

hình trịn nhận nó làm tâm chứa ít nhất một điểm khơng thuộc hình lồi
F.

Hình 5
Định nghĩa 1.4 Nếu F hình lồi đóng thì tập hợp các điểm biên là

những đường liên tục được gọi là biên của F. Các oval có biên là một

đường khép kín.

Các hình trong luận văn này đều được hiểu là các hình đóng có tính cả
biên, trừ trường hợp ngoại lệ mà ta nói rõ.
Định lý 1.1 Một đường thẳng qua điểm trong hình lồi F cắt biên tại

đúng 2 điểm. Khi đó đoạn nối hai điểm này nằm trong F.

Bây giờ xét B là một điểm biên tùy ý của một hình lồi F. Từ B ta kẻ
những nửa đường thẳng xuất phát từ B và chạy qua ít nhất một điểm
bên trong của F.


5

Hình 6
Các tia này sẽ tạo nên một nửa mặt phẳng hoặc là tạo nên một góc lồi.
Định nghĩa 1.5 Đường thẳng d đi qua ít nhất một điểm biên và khơng

đi qua điểm trong nào của hình lồi F gọi là đường thẳng tựa của F.
Trong trường hợp thứ nhất đường thẳng tạo nên nửa mặt phẳng là
đường thẳng tựa duy nhất của F.

Hình 7
Cịn trong trường hợp thứ hai, hình F nằm trong miền trong của góc
ABC nhỏ hơn 180 độ và qua B sẽ có vơ hạn đường thẳng tựa của hình
lồi F: bất kỳ đường thẳng nào khơng đi qua điểm trong của góc ABC
đều sẽ là đường thẳng tựa của F.
Các tia tạo nên bởi BA+ và BC + được gọi là nửa tiếp tuyến của F tại
B. Tóm lại là đi qua một điểm biên tùy ý của F có ít nhất một đường
thẳng tựa.
Định lý 1.2 Qua một điểm biên B của hình lồi F có ít nhất một đường
thẳng tựa. Trong trường hợp có duy nhất một đường thẳng tựa thì B gọi
là điểm chính quy của F.


6

Định nghĩa 1.6 Nếu qua điểm biên B của hình F có vơ hạn đường

thẳng tựa thì điểm B gọi là khơng chính quy hoặc là đỉnh của F.

1.2.

Giao của các hình lồi [7]

Trong phần này chúng ta làm quen với một định lý rất quan trọng
của hình học tổ hợp. Nếu cho trước một họ các hình lồi, chúng ta quan
tâm đến câu hỏi khi nào họ hình lồi này có giao khác rỗng. Những câu

hỏi đó được đặt ra khi xem xét một hệ điểm có thể phủ được bởi một
hình trịn có bán kính cho trước hay khơng (ta có thể thấy ngay điều
đó tương đương với câu hỏi: liệu họ các hình trịn có tâm tại các điểm
đã cho và bán kính cho trước có giao với nhau khác rỗng hay không?).
Những câu hỏi tương tự như vậy có thể đặt ra mặc dù có thể khó nhận
biết hơn. Chẳng hạn ta có thể hỏi khi nào trong đa giác cho trước tồn
tại một điểm, có thể từ đó quan sát được hết tất cả các cạnh của đa
giác...
Nhưng hình lồi trong khơng gian một chiều (đường thẳng) có thể
nhận biết và chia lớp khá đơn giản. Chúng chỉ có thể là một đoạn, một
khoảng, một tia hoặc là cả đường thẳng mà thôi. Trong không gian 2chiều, tức là trên mặt phẳng thì hình lồi đa dạng hơn và đặc biệt khó là
vấn đề nhận biết khi nào giao của chúng khác rỗng. Chẳng hạn nếu cho
trước một hình (hoặc hệ một điểm) thì rất khó trả lời khi nào có thể
phủ nó bằng một hình trịn bán kính R. Ta có thể dễ dàng nhận thấy
rằng câu hỏi đó tương đương với câu hỏi liệu hệ các hình trịn bán kính
R có tâm tại các điểm thuộc hình (hoặc hệ điểm cho trước) có giao khác
rỗng hay khơng?
Trước hết ta có thể dễ dàng chứng minh mệnh đề sau cho không gian
một chiều:
Định lý 1.3 Một họ I các đoạn thẳng [ai , bi ] trên đường thẳng cho trước
có giao khác rỗng khi và chỉ khi giao của hai đoạn bất kì trong chúng
khác rỗng.
Chứng minh:


7

Điều kiện cần: Nếu giao các đoạn của họ I khác rỗng
⇒ ∃c ∈ ∩I ⇒ c ∈ [ai , bi ] ∩ [aj , bj ] , ∀i, j.

Điều kiện đủ: Nếu giao của hai đoạn thẳng bất kì trong một họ các

đoạn thẳng khác rỗng thì giao của họ các đoạn thẳng này sẽ khác rỗng.
Lưu ý rằng [ai , bi ] ∩ [aj , bj ] tương đương với điều kiện

min{bi , bj } ≥ max{ai , aj }. Thậy vậy, nếu:

[ai , bi ] ∩ [aj , bj ] = ⊘
thì tồn tại: c ∈ [ai , bi ] ∩ [aj , bj ] . Khi đó ta có bi , bj ≥ c và c = ai , aj . Do

đó ta có:

min{bi , bj } ≥ c ≥ max{ai , aj }
Ngược lại, nếu min{bi , bj } ≥max{ai , aj }, thì chọn c thỏa mãn:
min{bi , bj } ≥ c ≥ max{ai , aj }
Khi đó c ∈ [ai , bi ] và c ∈ [aj , bj ] cho nên:
c ∈ [ai , bi ] ∩ [aj , bj ] .
Vậy ta có điều kiện: [ai , bi ] ∩ [aj , bj ] = ⊘ tương đương với điều kiện

min{bi , bj } ≥ max{ai , aj }.

Với lưu ý trên, nếu có một họ I các đoạn thẳng [ai , bi ] sao cho giao

của hai đoạn thẳng trong chúng khác rỗng thì ta có:
inf{bi : i ∈ I } ≥ sup{ai : i ∈ I }
Khi đó điểm c thỏa mãn:
inf{bi : i ∈ I } ≥ c ≥ sup{ai : i ∈ I }
sẽ thuộc giao chung của tất cả các đoạn thẳng thuộc họ I. ♦
Chú ý: Ta phải dùng inf và sup vì nếu I là họ vơ hạn các đoạn thì
min{bi , bj }; max{ai , aj } có thể khơng tồn tại. Ví dụ

I=
I=

1
1
1 − ;1 +
, n ∈ N∗
n
n
1
1
;1 +
, n ∈ N∗
n
n


8

I=

1
1
1 − ;2 −
, n ∈ N∗
n
n

Trên mặt phẳng, mệnh đề tương tự cũng đúng. Tuy nhiên chứng minh
cho trường hợp họ vơ hạn các hình lồi sẽ khó hơn rất nhiều. Ở đây ta

chứng minh mệnh đề tương tự cho hữu hạn các hình lồi.
Định lý 1.4 Giao của một họ hữu hạn các hình lồi trên mặt phẳng khác
rỗng nếu giao của ba hình bất kì trong chúng khác rỗng.
Chứng minh: Định lý hiển nhiên đúng cho 3 hình.
Ta chứng minh quy nạp theo số n các hình lồi (n ≥ 4).

∗ Ta chứng minh cho n = 4.

Gọi F1 , F2 , F3 , F4 là 4 hình lồi sao cho 3 hình bất kỳ trong chúng có giao
khác rỗng.
A1 ∈ F 2 ∩ F 3 ∩ F 4
A2 ∈ F 1 ∩ F 3 ∩ F 4
A3 ∈ F 1 ∩ F 2 ∩ F 4
A4 ∈ F 1 ∩ F 2 ∩ F 3
Trường hợp 1. Nếu 2 điểm trong số 4 điểm A1 , A2 , A3 , A4 trùng nhau.
Giả sử A1 ≡ A2 ⇒ A1 ∈ F1 ∩ F2 ∩ F3 ∩ F4 .

Vậy ta chỉ xét 4 điểm A1 , A2 , A3 , A4 phân biệt.
Trường hợp 2. A1 , A2 , A3 , A4 thẳng hàng.
Giả sử A2 A3 ⊂ A1 A4 .

⇒ A2 ∈ A1 A4 ⇒ A2 ∈ F2 ⇒ A2 ∈ F1 ∩ F2 ∩ F3 ∩ F4 .

Trường hợp 3. Bao lồi của A1 , A2 , A3 , A4 là tứ giác A1 A2 A3 A4 .
Xét O là giao điểm của 2 đường chéo A1 A3 và A2 A4 . Suy ra
O ∈ A1 A3 ⇒ O ∈ F 2 ∩ F 4
O ∈ A2 A4 ⇒ O ∈ F 1 ∩ F 3

⇒ O ∈ F1 ∩ F2 ∩ F3 ∩ F4 .

Trường hợp 4. Bao lồi của A1 A2 A3 A4 là tam giác.
Giả sử A4 nằm trong hoặc trên △A1 A2 A3 mà A1 , A2 , A4 ∈ F4 .


9

⇒ △A1 A2 A4 ⊂ F4 ⇒ A4 ∈ F4 .

⇒ A4 ∈ F 1 ∩ F 2 ∩ F 3 ∩ F 4 .

Vậy định lý đúng cho trường hợp n = 4.

Giả sử định lý đúng cho trường hợp n ≥ 4. Ta chứng minh nó đúng với
n + 1. Thật vậy, xét n + 1 hình lồi F1 , F2 , ..., Fn , Fn+1 thỏa mãn giao của

3 hình bất kỳ khác rỗng.
Xét n hình lồi sau: F1 , F2 , ..., Fn−1 , Fn ∩ Fn+1 , n hình này thỏa mãn điều

kiện của định lý vì nếu 3 hình bất kỳ trong chúng khơng chứa Fn ∩ Fn+1

có giao khác rỗng. Nếu có một trong ba hình là Fn ∩ Fn+1 thì ta quy về
bốn hình Fn , Fn−1 và 2 hình kia, nên có giao khác rỗng. Vậy n hình trên
thỏa mãn điều kiện của định lý.
Theo giả thiết quy nạp F1 ∩ F2 ∩ ... ∩ Fn−1 ∩ Fn ∩ Fn+1 = ∅.

Tức là n + 1 hình lồi đã cho có giao khác rỗng. ♦

Định lý 1.5 Cho ba hình bình hành F1 , F2 , F3 , các cạnh của chúng song
song với hai đường thẳng cố định. Khi đó, nếu mọi cặp hai hình trong
chúng có điểm chung, thì cả ba hình bình hành cũng có điểm chung.

Chứng minh:

Hình 8
Ta chọn trong mặt phẳng hệ tọa độ với các trục nằm trên hai đường
thẳng đã cho. Kí hiệu A1 là điểm chung của F2 và F3 , A2 là điểm chung
của F1 và F3 , A3 là điểm chung của F1 và F2 .
Kí hiệu (xi , yi ) là tọa độ của điểm Ai đối với hệ tọa độ đã chọn (i = 1,
2, 3).


10

Khơng mất tính tổng qt, ta có thể giả thiết những hình bình hành
F1 , F2 , F3 , được gán nhãn sao cho với các tọa độ tương ứng x1 , x2 , x3 ,
thỏa mãn bất đẳng thức x1 ≤ x2 ≤ x3 .

Hình bình hành F1 sẽ chứa các điểm A2 và A3 . Khi đó, nó chứa tất cả
những điểm P với tọa độ (x, y) sao cho x2 ≤ x ≤ x3 , y2 ≤ y ≤ y3 với
y2 ≤ y3 hoặc là y3 ≤ y ≤ y2 với y3 ≤ y2 .

Tương tự, F2 sẽ chứa tất cả những điểm Q với tọa độ (x, y) sao cho
x1 ≤ x ≤ x3 , y1 ≤ y ≤ y3 với y1 ≤ y3 hoặc là y3 ≤ y ≤ y1 với y3 ≤ y1 .

Ta lặp lại lập luận trên với hình bình hành F3 , ta sẽ nhận được sự tồn

tại điểm P với tọa độ (x2 , z), mà nó nằm trên cả ba hình bình hành.
Thật vậy, cho các chỉ số i, j, k nhận những giá trị 1, 2, 3 và giả sử rằng
bất đẳng thức sau đúng yi ≤ yj ≤ yk . Khi đó bằng cách đặt yi = z, sẽ
nhận được kết quả cần thiết.♦

Kết hợp với Định lý 1.4 ta được kết quả
Định lý 1.6 Trong mặt phẳng cho hữu hạn các hình bình hành có các
cạnh song song với hai đường thẳng cố định. Nếu mọi cặp hai hình trong
chúng có điểm chung, thì tất cả các hình bình hành cũng có điểm chung.
Bài tốn 1.1 Chứng minh rằng một họ các đa giác đôi một cắt nhau
sẽ có một cát tuyến chung.
Lời giải:

Cho họ đa giác F mà Fi ∩ Fj = ∅ với mọi Fi , Fj ∈ F .
Gọi d là đường thẳng bất kỳ.


11

Gọi [ai , bi ] là hình chiếu của Fi lên d.
Ta thấy Fi ∩ Fj = ∅ ⇒ [ai , bi ] ∩ [aj , bj ] = ∅

Do đó các đoạn [ai , bi ] có điểm chung A.

Đường thẳng đi qua A và vng góc với d là cát tuyến chung cần tìm.
Bài tốn 1.2 Trên mặt phẳng có một số điểm mà khoảng cách giữa hai
điểm bất kỳ trong chúng không vượt quá 1. Chứng minh rằng có thể
1
phủ chúng bởi một hình trịn bán kính √ .
3
Lời giải: Lấy họ các điểm Mi (i = 1, 2, ..., n) sao cho Mi Mj ≤ 1. Gọi Fi
1
là các đường trịn tâm Mi , bán kính √ .
3
Ta sẽ chứng minh giao của 3 đường tròn trong họ Fi khác rỗng.

Thật vậy, xét 3 điểm bất kỳ của họ Mi giả sử là M1 , M2 , M3 .
Trường hợp 1. △M1 M2 M3 có một góc lớn hơn hoặc bằng 90o .

Giả sử M1 > 90o . Khi đó đường trịn đường kính M2 M3 chứa △M1 M2 M3 .
1
1
M2 M3
≤ <√ .
Suy ra bán kính đường trịn này R <
2
2
3
Trường hợp 2. △M1 M2 M3 nhọn.

Suy ra một trong ba góc của tam giác này có một góc lớn hơn hoặc bằng
60o . Giả sử M1 ≥ 60o .


12

Gọi (O; R) là đường tròn ngoại tiếp △M1 M2 M3 . Theo định lý hàm sin:
R=

M2 M3
1
M 1 M2
√
<
≤
.

2 sin M1
2 sin 60o
3

⇒ △M1 M2 M3 chứa trong hình trịn tâm

⇒ F1 , F2 , F3 có điểm chung.

1
O; √ .
3

Vậy trong họ Fi có giao khác rồng, A là một điểm thuộc phần chung

này.
Đường tròn

1
A; √
3

là đường tròn cần tìm.

Bài tốn 1.3 Trên mặt phẳng có một số các hình trịn. Biết rằng có
một đĩa trịn có tính chất là với ba hình trịn tùy ý trong chúng ln có
thể tìm vị trí để đặt đĩa cắt cả ba hình trịn này. Chứng minh rằng tồn
tại một vị trí để đặt đĩa cắt tất cả các hình trịn đã cho.
Lời giải:

Gọi Fi là các hình trịn tâm I, bán kính Ri . Đĩa trịn có tâm I, bán kính

R.
Xét các hình trịn Ci tâm Ii , bán kính Ri + R > IIi . Ta thấy nếu đĩa
tròn cắt Fi thì I ∈ Ci .

Theo giả thiết 3 hình trịn Ci có giao khác rỗng là I. Do đó họ Ci có
giao khác rỗng. Ta chỉ cần đặt tâm I của đĩa vào vị trí này.


13

Bài tốn 1.4 Trên mặt phẳng có một số hình trịn. Biết rằng có một
đĩa trịn có tính chất là với ba hình trịn tùy ý trong chúng ln có thể
tìm vị trí để đặt đĩa phủ cả ba hình trịn này. Chứng minh rằng tồn tại
một vị trí để đặt đĩa phủ tất cả các hình trịn.
Lời giải:

Xét các hình trịn Fi tâm Ii , bán kính Ri và đĩa có tâm I bán kính R.
Xét các hình trịn (Ci ) tâm Ii , bán kính R − Ri .

Ta thấy rằng đĩa tròn phủ Fi khi và chỉ khi IIi < R+Ri . Do đó I ∈ (Ci ).

Theo giả thiết cứ ba hình trịn tùy ý ln tìm được vị trí để đĩa phủ 3
hình trịn này có nghĩa là cứ ba hình trịn (Ci ) tùy ý có giao khác rỗng

là điểm I.
Do đó họ (Ci ) có giao khác rỗng. Ta đặt đĩa sao cho tâm của đĩa vào vị
trí giao khác rỗng này.
Bài tốn 1.5 Trên mặt phẳng có một số hình trịn. Biết rằng có một
đĩa trịn có tính chất là với ba hình trịn tùy ý trong chúng ln có thể
tìm vị trí để đặt đĩa nằm trong cả ba hình trịn này. Chứng minh rằng

tồn tại một vị trí để đặt đĩa nằm trong tất cả các hình trịn đã cho.
Lời giải:
Xét các hình trịn Fi tâm Ii , bán kính Ri và đĩa có tâm I bán kính R.
Xét các hình trịn (Ci ) tâm Ii , bán kính Ri − R.

Ta thấy rằng đĩa tròn phủ Fi khi và chỉ khi IIi < R+Ri . Do đó I ∈ (Ci ).


14

Theo giả thiết cứ ba hình trịn tùy ý ln tìm được vị trí để đĩa nằm
trong ba hình trịn này có nghĩa là cứ ba hình trịn (Ci ) tùy ý có giao
khác rỗng là điểm I.
Do đó họ (Ci ) có giao khác rỗng. Ta đặt đĩa sao cho tâm của đĩa vào vị
trí giao khác rỗng này.
Bài tốn 1.6 Trên mặt phẳng có một số các đường thẳng. Biết rằng
có một đĩa trịn có tính chất là với ba đường thẳng tùy ý trong chúng
ln có thể tìm vị trí đặt đĩa cắt cả ba đường thẳng này. Chứng minh
rằng tồn tại một vị trí cắt tất cả các đường thẳng đã cho.
Lời giải:
Xét các họ đường thẳng di của đề bài và đĩa có tâm I, bán kính R.

Gọi Fi là dải song song, ở đó di nằm giữa Fi và khoảng cách từ di đến
biên của Fi là R.
Ta thấy rằng, nếu di cắt đĩa thì I ∈ Fi . Theo giả thiết để bài ta có ba


15

dải bất kỳ trong họ Fi có giao khác rỗng là I. Do đó họ Fi có giao khác

rỗng ta đặt đĩa sao cho tâm I của đĩa nằm ở vị trí này.
Bài tốn 1.7 Trên một đường trịn đơn vị có một hệ các cung nhỏ hơn
π có tính chất là giao của ba hình bất kỳ trong chúng khác rỗng. Chứng
minh rằng giao của cả hệ khác rỗng.
Lời giải:

Mỗi cung ứng với một hình viên phân.
Hình viên phân lồi do cung nhỏ hơn π.
Ba cung bất kỳ có giao khác rỗng khi và chi khi ba hình viên phân tương
ứng có giao khác rỗng.
Do đó họ các hình viên phân có giao khác rỗng.
Lấy một điểm bất kỳ thuộc giao này, kéo dài đường thẳng nối điểm O
với điểm này cắt đường tròn tại hai điểm. Một trong hai điểm này là
điểm cần tìm.
Bài tốn 1.8 Trên một đường trịn đơn vị có một hệ cung có độ dài
2π
nhỏ hơn
có tính chất là giao của hai cung bất kỳ trong chúng khác
3
rỗng. Chứng minh rằng giao của cả hệ khác rỗng.
Lời giải:
Lấy một cung bất kỳ trong chúng. Giả sử là cung AB.


16

Theo giả thiết suy ra N không nằm trên bất cứ cung nào cắt đường
tròn tại điểm N và trải thẳng ra ta sẽ có bài tốn:
2π
có giao khác rỗng, ta có giao của họ các

Hai đoạn bất kỳ nhỏ hơn
3
đoạn khác rỗng.
Từ đó, ta có giao của họ các cung khác rỗng.
Bài toán 1.9 Trong một khu triển lãm tranh có hình đa giác có các
cạnh khơng tự cắt. Chứng minh rằng nếu cứ ba bức tường tùy ý ln
tìm được một điểm nhìn thấy tất cả chúng thì ta tìm được một điểm
nhìn thấy tất cả các bức tường.
Lời giải:

Gọi di là họ các đường thẳng chứa cạnh của đa giác. Gọi Mi là nửa mặt
phẳng có bờ là di chứa một phần của đa giác liền với cạnh tương ứng.
Một điểm trong đa giác nhìn thấy cạnh thì phải thuộc nửa mặt phẳng
tương ứng.
Vậy cứ ba bức tường tùy ý ln tìm được một điểm nhìn thấy tất cả


17

chúng ứng với cứ ba nửa mặt phẳng trong họ Mi ln có một điểm
chung. Do đó tất cả các nửa mặt phẳng có điểm chung. Điểm chung này
là điểm cần tìm.


18

Chương 2

Về hình lồi và đường kính của hình
2.1.

Định nghĩa đường kính của hình [3]

Trước tiên chúng ta hãy quan sát một hình trịn. Nếu bán kính của
nó là R thì đường kính d của nó sẽ là 2R. Với P là một điểm tùy ý
của hình trịn, nếu kí hiệu R(P ) và r(P ) là khoảng cách lớn nhất và
nhỏ nhất từ P tới các điểm ở trên biên của hình trịn (các điểm trên
đường trịn) thì R(P ) là khoảng cách từ P tới điểm trên đường trịn và
xun tâm đối với nó (nằm khác phía với nó so với tâm của đường trịn),
cịn r(P ) là khoảng cách từ P tới điểm cũng thẳng hàng với P và tâm
đường trịn nhưng lại cũng phía với P. Chúng ta dễ dàng nhận thấy rằng
R(P ) + r(P ) = d, và R = min R(P ) : P thuộc đường trịn .
Nếu chúng ta chọn một hình F là một hình tùy ý và cũng định nghĩa
tương tự R(P) và r(P) là khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất từ điểm P
cho trước trong F tới biên của F và R(F ) = max {R(P ) : P ∈ F } thì

nói chung R(F ) = r(F ). Chẳng hạn nếu F là hình tam giác tùy ý thì
R(F) là bán kính đường trịn ngoại tiếp nó và r(F) là bán kính đường
trịn nội tiếp nó. Như vậy ý tưởng sử dụng tính chất bán kính để định
nghĩa đường kính của hình trịn khơng đưa đến định nghĩa đường kính
của hình bất kỳ được.
Nhưng chúng ta có thể định nghĩa đường kính của hình trịn bằng một
con đường khác khơng phụ thuộc vào bán kính của nó.
Trước hết ta nhận xét rằng khoảng cách giữa hai điểm tùy ý M và N
trong hình trịn khơng lớn hơn đường kính của nó.


19

Hình 9

Và ta có thể tìm được hai điểm của hình trịn sao cho khoảng cách
giữa chúng là đường kính của hình trịn. Như vậy đường kính của hình
trịn là khoảng cách lớn nhất của hai điểm thuộc nó.
Định nghĩa 2.1 Khoảng cách d được gọi là đường kính của hình F nếu:
1. Khoảng cách giữa hai điểm bất kì M và N của hình F khơng lớn hơn
d.

2. Người ta có thể tìm được hai điểm A và B trong F sao cho AB = d.

Hình 10
Với định nghĩa này chúng ta có thể định nghĩa cho mọi hình đường kính
của nó và đường kính được định nghĩa theo cách này cho ta hình ảnh
"chiều dài" của nó.

Hình 11
Chẳng hạn nếu F là nửa hình trịn được tạo bởi một đường kính AB
chia đơi một hình trịn cho trước thì rõ ràng đường kính của F chính là
AB.
Nếu như F là một hình đa giác thì có thể thấy rằng đường kính của
F là khoảng cách lớn nhất giữa hai đỉnh nào đó của đa giác.


20

Hình 12
Trong trường hợp đặc biệt nếu hình F là một tam giác thì cạnh lớn nhất
của tam giác sẽ là đường kính của hình.

Hình 13
Trong trường hợp tổng qt nếu F là một cung tròn giới hạn bởi một

dây cung a thì a là đường kính của hình nếu cung trịn đó khơng lớn
hơn nửa đường trịn và trong trường hợp cung trịn lớn hơn nửa đường
trịn thì đường kính của nó cũng đúng là đường kính của hình trịn đã
cho.

Hình 14
Nếu đường kính của một hình F bằng d thì trong F có thể tồn tại nhiều
cặp điểm mà khoảng cách giữa chúng là d.
Trong hình elip chỉ có một cặp điểm như vậy, trong một tam giác đều
có ba cặp điểm, trong hình vng có hai cặp điểm như thế và trong hình
trịn có vơ hạn cặp điểm đường kính như vậy.


21

Hình 15
Hình F được tạo bởi từ hình tam giác đều cạnh d bằng cách từ mỗi đỉnh
dựng thêm cung trịn bán kính d và giới hạn bởi hai cạnh bên cũng có
vơ số cặp điểm có khoảng cách bằng đường kính.
Bài tốn 2.1 Cho một hình F tùy ý. Với mỗi điểm P trong F ký hiệu
R(P ) và r(P ) là khoảng cách lớn nhất và khoảng cách nhỏ nhất từ P đến
biên của F . Đặt R = min{R(P ) : P ∈ F } và r = max{r(P ) : P ∈ F }.

Gọi d là đường kính của F . Chứng minh bất đẳng thức R ≥ r. Trong

trường hợp nào thì ta có đẳng thức.
Lời giải:
Lấy một điểm P bất kỳ của F .

• Do R(P ) là khoảng cách lớn nhất từ P tới các điểm biên của F . Do

đó đường trịn tâm P , bán kính R(P ) phủ F .

• Do r(P ) là khoảng cách nhỏ nhất từ P tới các điểm biên của F . Do
đó F phủ đường trịn tâm P , bán kính r(P ). Vì vậy lấy 2 điểm P, Q bất

kỳ của F thì đường trịn tâm P , bán kính R(P ) phủ đường trịn tâm Q,
bán kính r(Q) ⇒ R(P ) ≥ r(Q), ∀P, Q ∈ F ⇒ R ≥ r.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi F là hình trịn.