(Luận văn thạc sĩ) một số mở rộng của bất đẳng thức euler và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

HOÀNG MINH AN

MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
EULER VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2018


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

HOÀNG MINH AN

MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
EULER VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8460113

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. Tạ Duy Phượng

THÁI NGUYÊN - 2018

1

Mục lục
Lời cảm ơn

2

Lời nói đầu

3

1 Bất đẳng thức Euler và một số mở rộng

4

1.1. Một số kiến thức bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1. Một số định lý cơ bản trong tam giác . . . . . . . . . .

4

1.1.2. Một số bất đẳng thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.3. Tứ giác nội tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.4. Tứ giác ngoại tiếp

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.5. Tứ giác hai tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2. Bất đẳng thức Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3. Một số mở rộng của bất đẳng thức Euler . . . . . . . . . . . .

11

1.3.1. Mở rộng của bất đẳng thức Euler cho tam giác . . . .

11

1.3.2. Mở rộng của bất đẳng thức Euler cho tứ giác hai tâm .

32

1.3.3. Mở rộng của bất đẳng thức Euler cho đa diện . . . . .

41

2 Một số ứng dụng của bất đẳng thức Euler

51

2.1. Ứng dụng của bất đẳng thức Euler trong chứng minh các bất
đẳng thức trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

2.2. Ứng dụng của bất đẳng thức Euler trong chứng minh các bất
đẳng thức trong tứ giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

Kết luận

65

Tài liệu tham khảo

66


2

Lời cảm ơn

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học, Đại
học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Tạ Duy Phượng. Xin được
gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới Thầy, người đã tận tình hướng dẫn
và chỉ đạo tác giả tập dượt nghiên cứu khoa học trong suốt quá trình tìm
hiểu tài liệu, viết và hồn thiện Luận văn.
Đồng thời tôi xin chân thành cảm ơn các quý thầy cơ trong Bộ mơn tốn,
Khoa Khoa học Tự nhiên, các Thầy Cơ Viện Tốn học đã tận tình giảng dạy,
quan tâm và tạo mọi điều kiện thuận lợi về thủ tục hành chính để em hồn
thành khóa học và bảo vệ luận văn Thạc sĩ.
Tôi cũng chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè và cơ quan, đồn thể nơi tôi
công tác là Trường Trung học Phổ thông Bạch Đằng, Sở Giáo dục và Đào tạo
Hải Phòng, đã tạo mọi điều kiện về vật chất lẫn tinh thần trong quá trình
học tập, nghiên cứu và viết luận văn.
Xin được cảm ơn thầy giáo Hồng Minh Qn đã cho phép tơi tham khảo
và sử dụng bản thảo của thầy.
Thái Nguyên, tháng 05 năm 2018
Tác giả
Hoàng Minh An


3

Lời nói đầu

Năm 1897, tại cuộc thi tốn của Hội Toán học và Vật lý Loránd Eotvos,
Giáo sư L. F. Fejér, vào thời điểm đó vẫn là một sinh viên, đã sử dụng hệ quả
thú vị sau đây của định lý hình học sơ cấp nổi tiếng của Euler: Nếu R là bán
kính đường trịn ngoại tiếp và r là bán kính đường trịn nội tiếp của một tam
giác thì R ≥ 2r. Bất đẳng thức này gọi là bất đẳng thức Euler.

Bất đẳng thức này dễ dàng suy ra từ định lý Euler d2 = R2 − 2Rr với d

là khoảng cách giữa hai tâm đường tròn ngoại tiếp và ��
pr = r(r + 4R2 + r2 ) sin θ ⇔ p = (r + 4R2 + r2 ) sin θ.
Do đó p ≤ r +

√

R
, ta chứng minh
r
√
√
r + 4R2 + r2 ≤ 2R + (4 − 2 2)r,

4R2 + r2 . Đặt x =

tương đương với

√

√
4x2 + 1 ≤ 2x + 4 − 2 2.
√
√
√
√
⇔ 4x2 + 1 ≤ 2x + 3 − 2 2 ⇔ 1 ≤ 4(3 − 2 2)x + (3 − 2 2)2
√
√

⇔ x ≥ 2 ⇔ R ≥ 2r,
1+

bất đẳng thức cuối là đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tứ giác hai tâm
là hình vng.
Ví dụ 2.20 Chứng minh rằng, trong tứ giác hai tâm ta có bất đẳng thức:
√
p2 ≤ 4R2 + 4Rr + (8 − 4 2)r2 .
√
Chứng minh. Ta có p ≤ r + 4R2 + r2 , do đó bất đẳng thức cần chứng minh
tương đương với

(r +

√

√
4R2 + r2 )2 ≤ 4R2 + 4Rr + (8 − 4 2)r2 .


60

Đặt x =

R
, bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
r
√
√
( 4x2 + 1 + 1)2 ≤ 4x2 + 4x + 8 − 4 2,

tương đương với
√
√
4x2 + 2 + 2 4x2 + 1 ≤ 4x2 + 4x + 8 − 4 2
√
√
√
√
⇔ 2 4x2 + 1 ≤ 4x + 6 − 4 2 ⇔ 4x2 + 1 ≤ 2x + 3 − 2 2
√
√
⇔ 4x2 + 1 ≤ 4x2 + (12 − 8 2)x + (3 − 2 2)2
√
√
⇔ x ≥ 2 ⇔ R ≥ 2r,
bất đẳng thức cuối là bất đẳng thức Fejes Tóth. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ
khi tứ giác hai tâm là hình vng.
Ví dụ 2.21 Chứng minh với tứ giác hai tâm ta có
p2 + 8r2 ≤ ab + bc + ca + ad + bd + cd ≤ 3(p2 − 8r2 ).
Chứng minh. Đối với tứ giác hai tâm, ta có đẳng thức
√
ab + bc + ca + ad + bd + cd = p2 + 2r2 + 2r 4R2 + r2 .
√
Theo bất đẳng thức Fejes Tóth R ≥ 2r, suy ra
√
ab + bc + ca + ad + bd + cd = p2 + 2r2 + 2r 4R2 + r2 ≥ p2 + 8r2 .
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta được
a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2
+

+
2
2
2
2
2
2
2
2
a +d
b +d
c + d2
+
+
+
2
2
2
2
2
2
2
3(a + b + c + d )
≤
.
2

ab + bc + ca + ad + bd + cd ≤

Mặt khác thì, đối với tứ giác hai tâm ta có

√
a2 + b2 + c2 + d2 ≤ 2[p2 − 2(r2 + r 4R2 + r2 )],
suy ra
√
ab + bc + ca + ad + bd + cd ≤ 3[p2 − 2(r2 + r 4R2 + r2 )].


61

√

2r lần nữa, ta có
√
3[p2 − 2(r2 + r 4R2 + r2 )] ≤ 3(p2 − 8r2 ).

Áp dụng bất đẳng thức R ≥

Do đó ab + bc + ca + ad + bd + cd ≤ 3(p2 − 8r2 ). Ta có điều phải chứng

minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tứ giác hai tâm là hình vng.
Ví dụ 2.22 Chứng minh bất đẳng thức sau trong tứ giác hai tâm:
p3
8pr ≤ abc + abd + acd + bcd ≤
+ 4pr2 .
24
Chứng minh. Trong tứ giác hai tâm, ta có đẳng thức
√
abc + abd + acd + bcd = 2pr(r + 4R2 + r2 ).
√
Từ bất đẳng thức Fejes Tóth R ≥ 2r, suy ra

2

abc + abd + acd + bcd ≥ 8pr2 .
√
Mặt khác thì p2 ≥ 8r( 4R2 + r2 − r), suy ra
√
abc + abd + acd + bcd = 2pr( 4R2 + r2 − r) + 4pr2
p √
= 8r( 4R2 + r2 − r) + 4pr2
4
p2
≤
+ 4pr2 .
4
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tứ giác hai tâm là hình vng.
Ví dụ 2.23 Chứng minh bất đẳng thức sau trong tứ giác hai tâm
1 1 1 1
p2 + 16r2
8
≤ + + + ≤
.
p
a b c d
4pr2
Chứng minh. Ta có đẳng thức sau trong tứ giác hai tâm
√
1 1 1 1
2( 4R2 + r2 + r)
+ + + =
.

a b c d
pr
√
Mặt khác thì p2 ≥ 8r( 4R2 + r2 − r), suy ra
√
1 1 1 1
8r( 4R2 + r2 + r)
+ + +
=
a b c d
4pr2
√
p2 + 16r2
8r( 4R2 + r2 − r) + 16r2
≤
.
=
4pr2
4pr2
√
Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Fejes Tóth R ≥ 2r, ta được
√
1 1 1 1
2( 4R2 + r2 + r)
8r
1
+ + + =
≥
= .
a b c d

pr
8rp
p


62

Ví dụ 2.24 Chứng minh bất đẳng thức sau trong tứ giác hai tâm:
1
1
1
1
1
1
5p2 + 16r2
p2 + 8r2
≤
+ +
+
+
+
≤
.
p2 r 2
ab bc ca ad bd cd
4p2 r2
Chứng minh. Trong tứ giác hai tâm, ta có
√
1
1

1
1
1
p2 + 2r2 + 2r 4R2 + r2
1
+ +
+
+
+
=
.
ab bc ca ad bd cd
p2 r 2
√
Mặt khác thì p2 ≥ 8r( 4R2 + r2 − r), suy ra
√
1
1
1
1
1
4p2 + 8r(r + 4R2 + r2 )
1
+ +
+
+
+
=
ab bc ca ad bd cd
4p2 r2

√
4p2 + 8r( 4R2 + r2 − r) + 16r2
=
4p2 r2
5p2 + 16r2
.
≤
4p2 r2
√
Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Fejes Tóth R ≥ 2r, ta được
√
1
p2 + 8r2
1
1
1
1
1
p2 + 2r2 + 2r 4R2 + r2
≥
.
+ +
+
+
+
=
ab bc ca ad bd cd
p2 r 2
p2 r 2
Vậy bài toán được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tứ giác

ABCD là hình vng.
Ví dụ 2.25 Chứng minh bất đẳng thức sau trong tứ giác hai tâm:
p2 ≤ a2 + b2 + c2 + d2 ≤ 2 p2 − 8r2 .
Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, chúng ta có
(1 + 1 + 1 + 1) a2 + b2 + c2 + d2 ≥ (a + b + c + d)
tương đương

2

(a + b + c + d)
≤ a2 + b2 + c2 + d2 ,
4
hay
p 2 ≤ a2 + b 2 + c 2 + d 2 .
Mặt khác áp dụng đẳng thức trong tứ giác hai tâm
√
a2 + b2 + c2 + d2 = 2p2 − 4(r2 + r 4R2 + r2 ) ,

2


63

√
và bất đẳng thức Fejes Tóth R ≥ r 2, chúng ta có
√
a2 + b2 + c2 + d2 = 2p2 − 4 r2 + r 4R2 + r2 ≤ 2 p2 − 8r2 .
Vậy bài toán được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tứ giác hai
tâm là hình vng.
Ví dụ 2.26 Chứng minh bất đẳng thức sau trong tứ giác hai tâm:

p2 + 8r2
6

2

≤ a2 b2 +a2 c2 +a2 d2 +b2 c2 +b2 d2 +c2 d2 ≤

25p4 − 320p2 r2 + 256r4
.
16

Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, chúng ta có
(1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1) a2 b2 + a2 c2 + a2 d2 + b2 c2 + b2 d2 + c2 d2
2

≥ (ab + ac + ad + bc + bd + cd) ,

tương đương

2

a2 b2 + a2 c2 + a2 d2 + b2 c2 + b2 d2 + c2 d2 ≥

(ab + ac + ad + bc + bd + cd)
.
6

Theo Ví dụ 2.21, chúng ta có
ab + bc + ca + ad + bd + cd ≥ p2 + 8r2 .
Do đó

2

p2 + 8r2
.
a b +a c +a d +b c +b d +c d ≥
6
Mặt khác, từ các đẳng thức trong tứ giác hai tâm
√
a2 b2 + a2 c2 + a2 d2 + b2 c2 + b2 d2 + c2 d2 = (p2 + 2r2 + 2r 4R2 + r2 )2 −
√
−8p2 r 4R2 + r2 − 6p2 r2
√
√
bất đẳng thức p2 ≥ 8r( 4R2 + r2 − r) và bất đẳng thức Fejes Tóth R ≥ r 2,
2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

ta có

a2 b2 + a2 c2 + a2 d2 + b2 c2 + b2 d2 + c2 d2 =

√
√
2
= p2 + 2r2 + 2r 4R2 + r2 − 8p2 r 4R2 + r2 − 6p2 r2
√
2

√
4p2 + 8r 4R2 + r2 − r + 16r2
 − 8p2 r 4R2 + r 2 − 6p2 r 2
= 
4
2

5p2 + 16r2
25p4 − 320p2 r2 + 256r4
2 2
≤
− 30p r =
.
16
16
Vậy bài toán được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tứ giác hai
tâm là hình vng.


64

Ví dụ 2.27 Chứng minh bất đẳng thức sau trong tứ giác hai tâm:
16r2 ≤ a2 + b2 + c2 + d2 ≤ 8R2 .

Chứng minh. Áp dụng đẳng thức sau trong tứ giác hai tâm
√
a2 + b2 + c2 + d2 = 2p2 − 4(r2 + r 4R2 + r2 ) ,
√
√
bất đẳng thức p2 ≥ 8r( 4R2 + r2 − r) và bất đẳng thức Fejes Tóth R ≥ r 2,
ta có

√
a2 + b2 + c2 + d2 = 2p2 − 4 r2 + r 4R2 + r2 ≥
√
√
≥ 16r( 4R2 + r2 − r) − 4(r2 + r 4R2 + r2 )
√
≥ 12r 4R2 + r2 − 20r2 ≥ 16r2 .
√
Áp dụng đẳng thức a2 + b2 + c2 + d2 = 2p2 − 4(r2 + r 4R2 + r2 ) , bất đẳng
√
√
thức p ≤ r + 4R2 + r2 và bất đẳng thức Fejes Tóth R ≥ r 2, ta có
√
a2 + b2 + c2 + d2 = 2p2 − 4 r2 + r 4R2 + r2
√
√
2
≤ 2 r + 4R2 + r2 − 4 r2 + r 4R2 + r2
√
√
≤ 2 4R2 + 2r2 + 2r 4R2 + r2 − 4 r2 + r 4R2 + r2
≤ 8R2 .

Vậy bài toán được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tứ giác hai
tâm là hình vng.


65

Kết luận
Luận văn đã trình bày một số mở rộng của bất đẳng thức Euler và ứng
dụng. Trong khuôn khổ của luận văn cao học và khả năng có hạn, tác giả
không thể khai thác, bao quát hết được những mở rộng và ứng dụng của bất
đẳng thức Euler. Và đây cũng là hướng mở để cho tác giả cũng như những ai
u thích Tốn học có thể nghiên cứu, đào sâu thêm mở rộng của bất đẳng
tức Euler cho tam giác cầu, tam giác hyperbolic và ứng dụng của nó trong
chứng minh các bất đẳng thức trong tứ diện, đa diện, tam giác cầu, tam giác
hyperbolic.


66

Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Tạ Duy Phượng, Hoàng Minh Quân (2017), Phương trình bậc ba với các
hệ thức hình học và lượng giác trong tam giác, Nhà xuất bản Giáo dục,
Hà Nội.
[2] Hồng Minh Qn (2017), Phương trình bậc bốn và các hệ thức hình học
trong tứ giác hai tâm (Bản thảo).

Tiếng Anh
[3] Albrecht Hess (2013), "Bicentric Quadrilaterals through Inversion", Forum Geometricorum, Volume 13, 11–15.

[4] Dragoslav S. Mitrinovic, J. Pecaric, V. Volenec (1989), Recent Advances
in Geometric Inequalities, Kluwer, Dordrecht, Boston, London.
[5] F. Ardila (1995), "A Generalization of Euler’s R ≥ 2r", Crux Math.,
Volume 21, 1-2.

[6] L. F. Tosth (1948), "An Inequality Concerning Polyhedra", Duke Math.
J., Volume 15, No3, 817-822.
[7] M. Josefsson (2012), "A New Proof of Yun’s Inequality for Bicentric
Quadrilaterals", Forum Geometricorum, Volume 12, 79-82.
[8] Z.-H. Zhang, Q. Song and Z.-S. Wang, (2003), "Some Strengthened Results on Euler’s Inequality", />[9] Shan-He Wu (2004), "Some improved results on the Euler’s inequality",
/>

67

[10] Yu-Dong Wu, Zhi-Hua Zhang (2006), "Tangent Sphere of Edge in Tetrahedron", />[11] Yu-Dong Wu, Zhi-Hua Zhang (2012), "On the Circumradius of a Special
Class of n-Simplices", />