De thi HSG Huyen quy hop vong 1 mon Toan

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN QUỲ HỢP. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN VÒNG I. Năm học 2011-2012 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề). Đề chính thức. Câu 1: Rút gọn biểu thức A =. (. 2 ( √ a −3 ) √ a+ 3 a+ 8 a √ a −3 − + : a −2 √ a −3 √ a+1 3 − √ a a −1. ). Câu 2: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho 28+211+2n là số chính phương Câu 3: Cho z y. y. x > 0. Chứng minh rằng:. ( 1x + 1z )+ 1y ( x + z ) ≤ ( x + z ) ( 1x + 1z ). Câu 4: a) Giải phương trình 2 √ x −1=√ x −2 . √ x − 1 b) Cho ba số x, y, z thỏa mãn x 2 + y2 + z2 = 1 x3 + y3 + z3 = 1 Tính tổng x + y + z Câu 5: Cho đường thẳng y = (m-1)x + 2 Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng đó là lớn nhất? Câu 6: Cho (O;R) và một đường thẳng d cố định không cắt (O). Hạ OH vuông góc với d (H d). M là điểm thay đổi trên d, từ M kẻ MQ và MP là tiếp tuyến của (O), (P,Q là tiếp điểm). Dây cungPQ cắt OH tại I, cắt OM tại K. a) Chứng minh 5 điểm O, Q, H, M, P cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh tích IO.OH không đổi. c) Giả sử góc PMQ = 600. Tính tỉ số diện tích hai tam giác MPQ và OPQ. ------- Hết ------Lưu ý: - Học sinh không được sử dụng máy tính - Học sinh bảng A làm hết tất cả các câu - Học sinh bảng B không phải làm câu 6c Họ tên thí sinh:………………………………..; SBD:……...

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN Nội dung đáp án. Câu 1 4đ. A= = = =. Bảng A. 0.75 0.75. 2( √ a− 3) √a+ 3 a+ 8 a √ a −3 − − : ( √ a −3 ) ( √ a+1 ) √a+ 1 √ a −3 a −1 a √ a− 3 −2( √ a −3)( √a − 3)−( √ a+3)( √ a+1) a+ 8 : a −1 ( √ a −3)( √ a+1) a √ a+8 √ a −3 a −24 a+ 8 : a −1 ( √ a− 3)( √ a+1) ( √ a− 3)(a+8) (√ a+1)(√ a −1) . = √ a− 1 (a+ 8) ( √ a −3)( √ a+1). (. ). 1.0. 3 3đ. 1.5. 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25. y 1 1 ( x + z)+ (x+ z )≤( x + z )(x+ z ). xz y xz. a 2đ. 0.5. 0.5. vì x+z > 0, y > 0, xz > 0 nên nhân hai vế với x + z ta được bất đẳng thức mới tương đương y2 + xz xy + yz 2 <=> y - xy + xz - yz 0 <=> - (y - x)(z - y) 0 đúng vì y - x 0 và z - y 0 dấu " = " xẩy ra khi và chỉ khi x = y hoặc y = z Điều kiện x 1 2 √ x −1=√ x −2 . √ x − 1 <=> 2 √ x −1=√ (x − 1) −2 √ x −1+1 √ x −1 −1 ¿2 ¿ <=> 2 hay 2 √ x −1 = | √ x −1 −1 | (1) √ x − 1=√ ¿ + Khi √ x −1 −1 ≥ 0 hay x 2 thì phương trình (1) trở thành 2. √ x −1=√ x −1 −1 <=> √ x −1 = -1 (vô nghiệm) + Khi √ x −1 −1 < 0 hay 1 x < 2 thì phương trình (1) trở thành 1 10 2. √ x −1=1− √ x −1 <=> √ x −1= ⇔ x= (thỏa mãn đk: 1 x <. 0.75 0.75. 2). 3. Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = b 1đ. 1.5. 0.25 0.25. xyz. 4 3đ. 1.0. 0.75 0.75. Giả sử 28+211+2n = a2 => 2n = a2 - (28+211) hay 2n = a2 - 482 = (a - 48)(a + 48) lúc đó ta có: 2p = a + 48 2q = a - 48 , với p, q N và p + q = n, p > q => 2p - 2q = 96 <=> 2q.(2p-q - 1) = 25.3 => q = 5 và p - q = 2 => p = 7 => n = 7+5 = 12 thử lại 28+211+212 = 802 Bất đẳng thức đã cho viết lại dưới dạng:. 2 1đ. Bảng B. Từ điều kiện bài toán ta có nhận xét: |x| nên x3 x2 , y3 y2 , z3 z2 => x3 + y3 + z3 x2 + y2 + z2. 9. 0.75 0.75 0.5 0.5. 0.5 0.5. 0.5. 0.5. 0.5. 0.5. 0.5. 0.5. 0.5. 0.5. 10 9. 1, |y|. 1, |z|. 1. 0.25 0.25 0.25 0.25.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> dấu " = " xẩy ra khi và chỉ khi x3 = x2 x = 0 hoặc x = 1 3 2 y = y <=> y = 0 hoặc y = 1 3 2 x =z z = 0 hoặc z = 1 2 => x + y + z = x + y2 + z2 = 1 Gọi A,B là hai giao điểm của đường thẳng y= (m-1)x +2 (d)với trục Ox và trục Oy. Ta dễ dàng tìm được toạ độ của hai điểm là. 5 3đ. −2. A( m−1 ;0) và B(0;2) tam giác AOB vuông tại O(O là gốc toạ độ),gọi OH là đường cao thì OH chính là khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng y = (m-1)x + 2 ta có:. 1 1 1 = + 2= 2 2 OH OA OB. 2. (. 1 1 ( m−1 ) +1 + 2= 2 4 −2 2 m −1. 0.5. 0.5. 1.0. 1.0. 0.5. 0.5. 0.5. 0.5. 0.5 0.5 0.5. 0.5 0.5. ). 2. √( m −1 ) +1 OHMAX <=> √ ( m−1 ) +1 2. <=> m- 1= 0 <=> m = 1 Vậy khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng(d) lớn nhất <=> m = 1 Min. a. HS vẽ hình đúng Học sinh chỉ ra được Δ OPM, Δ. 3đ. OQM. P. là các tam giác vuông - Gọi J là trung điểm của OM => JQ, JP, JH là ba trung tuyến của ba tam giác vuông => JQ = JP = JH = JO = JM => năm điểm O, Q, H, M, P. O K. I. J. Q d. cùng. 0.25 0.25. 2. OH =. 6 6đ. 0.25 0.25. 0.75. 0.75 0.75 0.75 0.75. 0.5. 0.75. M. H. nằm trên đường tròn tâm J, bán kính bằng OM/2 b 2đ. Xét Δ IOK và Δ MOH: có IOK = MOH có OM PQ (t/c đường kính và dây cung) => IKO = 90. 0.25 0.5. => IKO = MHO = 900 => Δ IOK ~ Δ MOH. 0.25 0.5. =>. IO OK = MO OH. => IO.OH = OK.OM. Δ OPM vuông tại O => OP2 = OK.OM (hệ thức lượng trong. tam giác vuông). => IO.OH = OK.OM = OP2 = R2 không đổi.. 0.5. 0.5. 0.5. 0.5. 0.5. 0.5.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> c 1đ. PMQ = 600 => OMQ = OMP = 300 ta có OM PQ, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: MP = OP : tg 300 = R : 1/ √ 3 = R √ 3 MO = √ OP2 +MP 2 = √ R 2+ 3 R 2 = 2R 2 2 MK = MP :MO = 3R : 2R = 3R/2 OK = OM - MK = 2R - 3R/2 = R/2 PK = √ PM2 −KM2 = R √ 3 /2 => SOPQ = 1/2OK.PQ = 1/2.R/2.2.(R √ 3 /2) = R2 √ 3 /4 SMPQ = 1/2 PQ.KM = 1/2.(2.R √ 3 /2).3R/2 = 3R2 √ 3 /4 => SMPQ /SOPQ = 3R2 √ 3 /4 : R2 √ 3 /4 = 3. 0.25. 0.25 0.25 0.25.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>