DOWNLOAD PDF
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1021.3 KB, 25 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span>ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT 2021. TUYỂN TẬP ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT 2021 • ĐỀ SỐ 22. MỖI NGÀY 1 ĐỀ THI-PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA 2021 • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương Câu 1.. Trên mặt phẳng cho 2021 điểm phân biệt. Có bao nhiêu vectơ, khác vectơ – không có điểm đầu và điểm cuối được lấy từ 2021 điểm đã cho? 2 2 A. 22021 . B. 20212 . C. C 2021 . D. A2021 .. Câu 2.. Cho cấp số nhân un với u2 8 và công bội q 3 . Số hạng đầu tiên u1 của cấp số nhân đã cho bằng A. 24 .. Câu 3.. B.. 8 . 3. C. 5 .. D.. 3 . 8. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau:. Hàm số y f x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 0; Câu 4.. B. ; 2 . C. 0;2. D. 2;0. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau. Tìm giá trị cực đại yCĐ và giá trị cực tiểu yCT của hàm số đã cho.. Câu 5.. A. yCĐ 2 và yCT 0. B. yCĐ 3 và yCT 0. C. yCĐ 3 và yCT 2. D. yCĐ 2 và yCT 2. Cho hàm số f x có bảng xét dấu f x như sau:. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 3 . B. 0 . Câu 6.. C. 2 .. D. 1.. Cho hàm số y f x có báng biến thiên như sau:. Facebook Nguyễn Vương Trang 1.
<span class='text_page_counter'>(2)</span> FanPage: Nguyễn Bảo Vương - 0946798489. Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là: A. 2. B. 3. C. 4. D. 1. Câu 7.. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?. A. y x3 3x 1 . Câu 8.. B. y x3 3x 1 .. C. y x 2 2 x 1 .. D. y x 4 2 x 2 .. Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực của phương trình f x 1 là:. A. 3 . Câu 9.. B. 1 .. C. 0 .. D. 2 .. C. 2 log2 a .. D. 2 log 2 a .. C. y log 2 x 1 .. D. y log3 x 1. Với a là số thực dương tùy ý, log 2 2a bằng. A. 1 log 2 a . B. 1 log 2 a . Câu 10. Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình bên?. A. y log 3 x .. B. y log 2 x 1 .. Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(3)</span> ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT 2021 3. Câu 11. Cho biểu thức P x. 4 x3 x , với x 0. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1. 5. 7. A. P x 2 .. B. P x 12 .. Câu 12. Giải phương trình 42 x 3 84 x . 2 6 A. x . B. x . 7 3 Câu 13. Giải phương trình log 4 ( x 1) 3. A. x 65 B. x 80 Câu 14. Hàm số F x . 7. C. P x 8 .. D. P x 24 .. C. x 2 .. D. x . C. x 82. D. x 63. 4 . 5. 1 3 x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây trên ; ? 3. A. f x 3 x 2 .. B. f x x 3 .. C. f x x 2 .. D. f x . 1 4 x . 4. Câu 15. Họ các nguyên hàm của hàm số y cos x x là 1 1 A. sin x x 2 C . B. sin x x 2 C . C. sin x x 2 C . D. sin x x 2 C . 2 2 1. Câu 16. Biết. . f x dx 2 và. 0. 1. 1. g x dx 3 , khi đó. f x g x dx bằng. 0. A. 1 .. B. 1.. 0. C. 5 .. D. 5 .. m. Câu 17. Cho. 3x. 2. 2 x 1dx 6 . Giá trị của tham số m thuộc khoảng nào sau đây?. 0. A. 1; 2 .. B. ;0 .. C. 0; 4 .. D. 3;1 .. Câu 18. Số phức có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 là A. 3 4i B. 4 3i C. 3 4i. D. 4 3i. Câu 19. Cho hai số phức z1 3 2i và z2 2 i . Số phức z1 z2 bằng A. 1 3i . B. 1 3i . C. 1 3i .. D. 1 3i .. Câu 20. Nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z 2 2 z 5 0 là: A. 1 2i . B. 1 2i . C. 1 2i .. D. 1 2i .. Câu 21. Cho hình chóp S . ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABC . Biết SA a , tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A , AB 2a . Tính theo a thể tích V của khối chóp S . ABC . a3 a3 2a 3 3 A. V . B. V . C. V . D. V 2a . 6 2 3 Câu 22. Cho khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao bằng 2a . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng 2 4 A. a3 B. a3 C. 2a3 D. 4a3 3 3 Câu 23. Cho hình nón có bán kính đáy bằng a và độ dài đường sinh bằng 2a . Diện tích xung quanh của hình nón đó bằng A. 4 a 2 . B. 3 a 2 . C. 2 a 2 . D. 2a 2 . Câu 24. Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng 3a . Tính diện tích toàn phần của khối trụ. a 2 3 13a 2 27 a 2 A. Stp . B. Stp a 2 3 . C. Stp . D. Stp . 2 6 2 Câu 25. Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm A 1; 2;5 trên trục Ox có tọa độ là Facebook Nguyễn Vương 3.
<span class='text_page_counter'>(4)</span> FanPage: Nguyễn Bảo Vương - 0946798489. A. 0; 2;0 .. B. 0;0;5 .. C. 1;0;0 .. D. 0; 2;5 .. 2. Câu 26. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 16 . Bán kính của mặt cầu S bằng B. 32 .. A. 4 .. C. 16 .. D. 8 .. Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng cho mặt phẳng P có phương trình. 3x 4 y 2 z 4 0 và điểm A 1; 2;3 . Tính khoảng cách d từ A đến P A. d . 5 29. B. d . 5 29. C. d . 5 3. Câu 28. Trong không gian Oxyz cho điểm A 0; 3;1 và đường thẳng d :. D. d . 5 9. x 1 y 1 z 3 . Phương 3 2 1. trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng d là: A. 3x 2 y z 5 0 . B. 3x 2 y z 7 0 . C. 3x 2 y z 10 0 . D. 3x 2 y z 5 0 . Câu 29. Thầy Bình đặt lên bàn 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30 . Bạn An chọn ngẫu nhiên 10 tấm thẻ. Tính xác suất để trong 10 tấm thẻ lấy ra có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm mang số chẵn trong đó chỉ có một tấm thẻ mang số chia hết cho 10 . 99 8 3 99 A. . B. . C. . D. . 667 11 11 167 Câu 30. Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y 2m 1 x 3 m vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x 3 3 x 2 1 . 3 3 1 A. m B. m C. m 2 4 2. D. m . 1 4. Câu 31. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) x 3 30 x trên đoạn 2;19 bằng A. 20 10.. C. 20 10.. B. 63.. D. 52.. Câu 32. Tập nghiệm của bất phương trình log 1 x 1 log 3 11 2 x 0 là: 3. A. ; 4 .. B. 1; 4 .. C. 1;4 .. 11 D. 4; . 2. 0. Câu 33. Biết I A. 50. 3x 2 5 x 1 2 1 x 2 dx a ln 3 b, a, b . Khi đó giá trị của a 4b bằng B. 60 C. 59 D. 40. Câu 34. Cho số phức z thỏa mãn 1 i z 1 2i 1 2 z 10 7i . Tính môđun của z . A. 3 .. B.. 3.. C. 5 .. D.. 5.. Câu 35. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB 2a . Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng A. 45 B. 60 C. 90 D. 30 Câu 36. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh 3a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng A.. 6a 6. B.. 3a 3. C.. 5a 3. D.. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương 3a 2.
<span class='text_page_counter'>(5)</span> ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT 2021. Câu 37. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1; 2; 4 , B 1; 3;1 , C 2; 2;3 . Tính đường kính l của mặt cầu S đi qua ba điểm trên và có tâm nằm trên mặt phẳng Oxy . A. l 2 13 .. B. l 2 41 .. C. l 2 26 .. D. l 2 11 .. 8 4 8 Câu 38. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(2; 2;1), B ( ; ; ) . Đường thẳng qua tâm đường tròn 3 3 3 nội tiếp tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB) có phương trình là: 2 2 5 x y z x 1 y 8 z 4 9 9 9 A. B. 1 2 2 1 2 2 1 5 11 x y z x 1 y 3 z 1 3 3 6 C. D. 1 2 2 1 2 2. Câu 39. Cho hàm số f x . Hàm số y f x có đồ thị như hình bên dưới.. Hàm số g x f 3 4 x 8 x 2 12 x 2021 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?. 1 3 A. ; . 4 4. 1 1 B. ; . 4 4. 5 C. ; . 4 . 1 5 D. ; . 4 4. Câu 40. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m không vượt quá 2021 để phương trình 4 x 3 m.2 x 2 1 0 có nghiệm? A. 2018 . B. 2017 . C. 2021 . D. 2019 . 9. Câu 41. Cho hàm số y f ( x) liên tục trên thỏa mãn. . f. x dx 4 và. 1. x. 2. f sin x cos xdx 2. Tích 0. 3. phân I f ( x)dx bằng 0. A. I 8 .. B. I 6 .. C. I 4 .. D. I 10 .. Câu 42. Cho số phức z a bi a, b R thỏa mãn z 7 i z 2 i 0 và z 3. Tính P a b. A. 5 .. 1 B. . 2. C. 7 .. D.. 5 . 2. Câu 43. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi, góc BAD bằng 1200 , AB a . Hai mặt phẳng SAB và SAD cùng vuông góc với đáy. Góc giữa SBC và mặt phẳng đáy là 600 . Tính thể tích V của chóp S . ABCD .. Facebook Nguyễn Vương 5.
<span class='text_page_counter'>(6)</span> FanPage: Nguyễn Bảo Vương - 0946798489. A. V . 2a 3 15 . 15. B. V . a3 . 12. C. V . a3 3 . 4. D. V . a 3 13 . 12. Câu 44. Cho khối cầu S tâm I , bán kính R không đổi. Một khối trụ thay đổi có chiều cao h và bán kính đáy r nội tiếp khối cầu. Tính chiều cao h theo R sao cho thể tích khối trụ lớn nhất.. A. h . R 2 . 2. B. h . 2R 3 . 3. C. h R 2 .. D. h . R 3 . 3. Câu 45. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M 3;3; 2 và hai đường thẳng. x 1 y 2 z x 1 y 1 z 2 ; d2 : . Đường thẳng d đi qua M căt d1 , d 2 lần lượt tại 1 3 1 1 2 4 A và B . Độ dài đoạn thẳng AB bằng A. 3 . B. 6 . C. 4 . D. 2 . d1 :. Câu 46. Cho hàm số f x là hàm số đa thức bậc bốn. Biết f 0 0 và đồ thị hàm số y f x có hình vẽ bên dưới.. Tập nghiệm của phương trình f 2 sin x 1 1 m (với m là tham số) trên đoạn 0;3 có tất cả bao nhiêu phần tử? A. 8 .. B. 20 .. Câu 47. Số nghiệm của phương trình e A. 4.. x2 x 2020 2. B. 2 .. C. 12 .. D. 16 .. x2 x 2018 là 2 C. 0 .. D. 3 .. ln x 2 2 . Câu 48. Một biển quảng cáo với 4 đỉnh A, B , C , D như hình vẽ. Biết chi phí để sơn phần tô đậm là 200.000(đ/m 2 ) sơn phần còn lại là 100.000đ/m 2 . Cho AC 8m; BD 10m; MN 4 m Hỏi số tiền sơn gần với số tiền nào sau đây:. Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(7)</span> ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT 2021. A. 12204000đ .. .. B. 14207000đ . .. Câu 49. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn A. 2 2 .. B.. C. 11503000đ . .. z1 i z i 1; 2 2 . Giá trị nhỏ nhất của z1 z2 là z1 2 3i z2 1 i. 2.. C. 1 .. Câu 50. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng. D.. B. MN 1 2 2 .. 2 1 .. P : x 2 y 2 z 3 0 và mặt cầu N S sao cho MN cùng phương. S : x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 2 z 5 0 . Giả sử M P và với vectơ u 1;0;1 và khoảng cách giữa M và N lớn nhất. Tính A. MN 3 .. D. 10894000đ .. C. MN 3 2 .. MN .. D. MN 14 .. Facebook Nguyễn Vương 7.
<span class='text_page_counter'>(8)</span> FanPage: Nguyễn Bảo Vương - 0946798489. 1.D 11.C 21.C 31.C 41.C. 2.B 12.A 22.C 32.D 42.B. 3.D 13.A 23.C 33.C 43.C. 4.B 14.C 24.D 34.D 44.B. BẢNG ĐÁP ÁN 5.D 6.B 7.B 15.A 16.C 17.C 25.C 26.A 27.B 35.B 36.D 37.C 45.A 46.D 47.A. 8.A 18.A 28.B 38.D 48.A. 9.A 19.D 29.A 39.D 49.A. 10.C 20.A 30.B 40.A 50.C. Câu 1.. Trên mặt phẳng cho 2021 điểm phân biệt. Có bao nhiêu vectơ, khác vectơ – không có điểm đầu và điểm cuối được lấy từ 2021 điểm đã cho? 2 2 A. 22021 . B. 20212 . C. C 2021 . D. A2021 . Lời giải Chọn D Để lập véc tơ, ta có 2021 cách chọn điểm đầu, ứng với mỗi cách chọn điểm đầu có 2020 cách chọn điểm cuối. 2 Vậy theo quy tắc nhân, ta có số vectơ thỏa mãn yêu cầu là 2021.2020 A2021 .. Câu 2.. Cho cấp số nhân un với u2 8 và công bội q 3 . Số hạng đầu tiên u1 của cấp số nhân đã cho bằng A. 24 .. B.. 8 . 3. C. 5 .. D.. 3 . 8. Lời giải Chọn B Ta có: u2 u1.q u1 Câu 3.. u2 8 . q 3. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau:. Hàm số y f x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 0; . B. ; 2. C. 0;2. D. 2;0. Lời giải Chọn D Câu 4.. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau. Tìm giá trị cực đại yCĐ và giá trị cực tiểu yCT của hàm số đã cho. A. yCĐ 2 và yCT 0. B. yCĐ 3 và yCT 0. C. yCĐ 3 và yCT 2 D. yCĐ 2 và yCT 2 Lời giải Chọn B Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(9)</span> ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT 2021. Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta có yCĐ 3 và yCT 0 . Câu 5.. Cho hàm số f x có bảng xét dấu f x như sau:. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. 3 . B. 0 .. C. 2 . Lời giải. D. 1.. Chọn D Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy f x đổi dấu từ dương sang âm khi qua nghiệm x 3 , nên hàm số đã cho có 1 điểm cực trị. Câu 6.. Cho hàm số y f x có báng biến thiên như sau:. Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là: A. 2. B. 3. C. 4. D. 1. Lời giải Chọn B Nhìn bảng biến thiên ta thấy x=0 hàm số không xác định nên x=0 là TCĐ của đồ thị hàm số lim f x 3 y 3 là TCN của đồ thị hàm số x . lim f x 1 y 1 là TCN của đồ thị hàm số. x . Vậy hàm số có 3 tiệm cận Câu 7.. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?. A. y x3 3x 1 .. B. y x3 3x 1 .. C. y x 2 2 x 1 . Lời giải. D. y x 4 2 x 2 .. Chọn B Đường cong có dạng của đồ thị hàm số bậc 3 với hệ số a 0 nên chỉ có hàm số y x3 3x 1 thỏa yêu cầu bài toán. Câu 8.. Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực của phương trình f x 1 là:. Facebook Nguyễn Vương 9.
<span class='text_page_counter'>(10)</span> FanPage: Nguyễn Bảo Vương - 0946798489. A. 3 .. B. 1 .. C. 0 . Lời giải. D. 2 .. Chọn A. Số nghiệm thực của phương trình f x 1 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và đường thẳng y 1 .. Từ hình vẽ suy ra 3 nghiệm. Câu 9.. Với a là số thực dương tùy ý, log 2 2a bằng A. 1 log 2 a .. B. 1 log 2 a .. C. 2 log2 a . Lời giải. D. 2 log 2 a .. Chọn A log 2 2a log 2 2 log 2 a 1 log 2 a . Câu 10. Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình bên?. Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(11)</span> ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT 2021. A. y log 3 x .. C. y log 2 x 1 .. B. y log 2 x 1 .. Lời giải Đồ thị hàm số đi qua điểm 0;0 nên loại đáp án A và. D. y log 3 x 1. B.. Đồ thị hàm số đi qua điểm 1;1 nên loại D. Vậy đáp án C thỏa mãn. Câu 11. Cho biểu thức P 3 x. 4 x3 x , với x 0. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1. 5. 7. A. P x 2 .. B. P x 12 .. 7. C. P x 8 . Lời giải. D. P x 24 .. Chọn C 5. Ta có: P 3 x. 4 x3 x x 8 Câu 12. Giải phương trình 42 x 3 84 x . 2 6 A. x . B. x . 3 7. D. x . C. x 2 .. 4 . 5. Lời giải. 6 42 x3 84 x 24 x 6 2123 x 4 x 6 12 3 x x . 7 Câu 13. Giải phương trình log 4 ( x 1) 3. A. x 65 B. x 80. C. x 82 Lời giải. D. x 63. Chọn A ĐK: x 1 0 x 1 Phương trình log 4 x 1 3 x 1 43 x 65 . Câu 14. Hàm số F x . 1 3 x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây trên ; ? 3. A. f x 3 x 2 .. B. f x x 3 .. C. f x x 2 .. D. f x . 1 4 x . 4. Lời giải 1 3 x là một nguyên hàm của hàm số f x . 3 Suy ra F ' x f x f x x 2 .. Gọi F x . Câu 15. Họ các nguyên hàm của hàm số y cos x x là 1 1 A. sin x x 2 C . B. sin x x 2 C . C. sin x x 2 C . D. sin x x 2 C . 2 2 Lời giải 1 2 cos x x dx sin x 2 x C . 1. f x dx 2. Câu 16. Biết 0 A. 1 .. 1. và. 1. g x dx 3 0. , khi đó. f x g x dx 0. C. 5 . Lời giải. B. 1.. bằng D. 5 .. Chọn C 1. 1. 1. f x g x dx f x dx g x dx 2 3 5 . 0. 0. 0. Facebook Nguyễn Vương 11.
<span class='text_page_counter'>(12)</span> FanPage: Nguyễn Bảo Vương - 0946798489 m. Câu 17. Cho. 3x. 2. 2 x 1dx 6 . Giá trị của tham số m thuộc khoảng nào sau đây?. 0. A. 1; 2 .. B. ;0 .. C. 0; 4 .. D. 3;1 .. Lời giải m. Ta có:. 3x. 2. . 3 2 2 x 1dx 6 x x x. 0. . m 0. 6 m3 m 2 m 6 0 m 2 .. Vậy m 0;4 . Câu 18. Số phức có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 là A. 3 4i B. 4 3i C. 3 4i Lời giải Chọn A Số phức có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 là: z 3 4i . Câu 19. Cho hai số phức z1 3 2i và z2 2 i . Số phức z1 z2 bằng A. 1 3i . B. 1 3i . C. 1 3i . Lời giải Chọn D Ta có z1 z2 3 2i 2 i 1 3i. D. 4 3i. D. 1 3i .. Câu 20. Nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z 2 2 z 5 0 là: A. 1 2i . B. 1 2i . C. 1 2i . D. 1 2i . Lời giải Chọn A z 1 2i . Vậy nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình là z 1 2i . z2 2z 5 0 z 1 2i Câu 21. Cho hình chóp S . ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABC . Biết SA a , tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A , AB 2a . Tính theo a thể tích V của khối chóp S . ABC . a3 a3 2a 3 3 A. V . B. V . C. V . D. V 2a . 6 2 3 Lời giải 1 1 Diện tích tam giác ABC vuông cân tại A là: S ABC AB. AC 2a.2a 2a 2 . 2 2 3 1 1 2a Thể tích khối chóp S . ABC là: VS . ABC SA.S ABC .a.2 a 2 . 3 3 3 Câu 22. Cho khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao bằng 2a . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng 2 4 A. a 3 B. a 3 C. 2a3 D. 4a3 3 3 Lời giải Chọn C Ta có: Vlangtru Sday .h a 2 .2a 2a 3 . Câu 23. Cho hình nón có bán kính đáy bằng a và độ dài đường sinh bằng 2a . Diện tích xung quanh của hình nón đó bằng A. 4 a 2 . B. 3 a 2 . C. 2 a 2 . D. 2a 2 . Lời giải. Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(13)</span> ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT 2021 A. 2a. O. a. Ta có: S xq rl .a.2a 2 a 2 . Câu 24. Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng 3a . Tính diện tích toàn phần của khối trụ. a 2 3 13a 2 27 a 2 A. Stp . B. Stp a 2 3 . C. Stp . D. Stp . 2 6 2 Lời giải Thiết diện qua trục là một hình vuông có cạnh bằng 3a nên ta có độ dài đường sinh l 3a và bán 3a kính đường tròn đáy là r . 2 2 3a 27 a 2 3a Từ đó ta tính được Stp 2 rl 2 r 2 2 . .3a 2 . . 2 2 2 Câu 25. Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm A 1; 2;5 trên trục Ox có tọa độ là A. 0; 2;0 .. B. 0;0;5 .. C. 1; 0; 0 .. D. 0; 2;5 .. Lời giải Chọn C Hình chiếu vuông góc của điểm A 1; 2;5 trên trục Ox có tọa độ là 1;0;0 . 2. Câu 26. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S : x2 y 2 z 2 16 . Bán kính của mặt cầu S bằng B. 32 .. A. 4 .. C. 16 . Lời giải. D. 8 .. Chọn A 2. Bán kính của mặt cầu S : x2 y 2 z 2 16 là R 16 4 . Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng cho mặt phẳng P có phương trình. 3x 4 y 2 z 4 0 và điểm A 1; 2;3 . Tính khoảng cách d từ A đến P A. d . 5 29. B. d . 5 29. C. d . 5 3. D. d . 5 9. Lời giải Chọn B Khoảng cách từ điểm A đến P là d . 3.1 4. 2 2.3 4 32 42 22. . 5 29. Câu 28. Trong không gian Oxyz cho điểm A 0; 3;1 và đường thẳng d :. x 1 y 1 z 3 . Phương 3 2 1. trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng d là: A. 3x 2 y z 5 0 . B. 3x 2 y z 7 0 . C. 3x 2 y z 10 0 . D. 3x 2 y z 5 0 . Lời giải Chọn véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm là: n ud 3; 2;1 . Mặt khác mặt phẳng này đi qua A nên có phương trình là: Facebook Nguyễn Vương 13.
<span class='text_page_counter'>(14)</span> FanPage: Nguyễn Bảo Vương - 0946798489. 3 x 0 2 y 3 z 1 0 3x 2 y z 7 0. .. Câu 29. Thầy Bình đặt lên bàn 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30 . Bạn An chọn ngẫu nhiên 10 tấm thẻ. Tính xác suất để trong 10 tấm thẻ lấy ra có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm mang số chẵn trong đó chỉ có một tấm thẻ mang số chia hết cho 10 . 99 8 3 99 A. . B. . C. . D. . 667 11 11 167 Lời giải 10 Số phần tử của không gian mẫu n C30 . Gọi A là biến cố thỏa mãn bài toán. - Lấy 5 tấm thẻ mang số lẻ: có C155 cách. - Lấy 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10 : có C31 cách. - Lấy 4 tấm thẻ mang số chẵn không chia hết cho 10 : có C124 . Vậy P A . C155 .C31.C124 99 . 10 C30 667. Câu 30. Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y 2m 1 x 3 m vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x3 3x 2 1 . 3 3 1 1 A. m B. m C. m D. m 2 4 2 4 Lời giải Chọn B Ta có y 3 x 2 6 x . Từ đó ta có tọa độ hai điểm cực trị A 0;1 , B 2; 3 . Đường thẳng qua hai điểm cực trị có phương trình y 2x 1. Đường thẳng này vuông góc với đường thẳng 3 y 2m 1 x 3 m khi và chỉ khi 2m 1 2 1 m . 4 Câu 31. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) x 3 30 x trên đoạn 2;19 bằng A. 20 10.. C. 20 10. Lời giải. B. 63.. D. 52.. Chọn C x 10 n Ta có f x 3 x 2 30 f x 0 3 x 2 30 0 . x 10 l . 10 20 10 và min f x f 10 20 10 . . Khi đó f 2 52 ; f Vậy. f 19 6289 .. x 2;19. Câu 32. Tập nghiệm của bất phương trình log 1 x 1 log 3 11 2 x 0 là: 3. A. ; 4 .. B. 1; 4 .. C. 1;4 .. 11 D. 4; . 2. Lời giải Chọn D x 1 x 1 0 11 ĐK: 11 x 1; 2 11 2 x 0 x 2 Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(15)</span> ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT 2021. 11 2 x 11 2 x 11 0 0 x 1; Ta có log 1 x 1 log 3 11 2 x 0 log 3 x 1 x 1 2 3. 11 11 11 Kết luận: x 1; . Vì x 4; 1; . Ta chọn đáp án D 2 2 2 0. Câu 33. Biết I A. 50. 3x2 5 x 1 2 1 x 2 dx a ln 3 b, a, b . Khi đó giá trị của a 4b bằng B. 60 C. 59 D. 40 Lời giải. Chọn C 0. 0. 3x 2 5x 1 21 3 2 0 1 x 2 dx 1 3x 11 x 2 dx 2 x 11x 21.ln x 2 1 2 19 19 21.ln . Suy ra a 21, b . Vậy a 4b 59 3 2 2. Ta có I . Câu 34. Cho số phức z thỏa mãn 1 i z 1 2i 1 2 z 10 7i . Tính môđun của z . A. 3 .. B.. 3.. C. 5 . Lời giải. D.. 5.. Giả sử z x yi x, y .. 1 i z 1 2i 1 2 z 10 7i 1 i x yi 1 2i 1 2 x 2 yi 10 7i x y x y i 1 2 x 4 y 2 4 x 2 y i 10 7i 1 x 5 y 10 x 1 z x 2i z 5 . 2 3x 3 y 7 y 2 Câu 35. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB 2a . Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng A. 45 B. 60 C. 90 D. 30 Lời giải Chọn B. . Do SA ABCD nên góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng góc SBA 60 . AB 1 SBA Ta có cos SBA SB 2 Vậy góc giữa đường thẳng SB và và mặt phẳng đáy bằng bằng 60 . Câu 36. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh 3a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng A.. 6a 6. B.. 3a 3. C.. 5a 3. D.. 3a 2. Lời giải Chọn D Facebook Nguyễn Vương 15.
<span class='text_page_counter'>(16)</span> FanPage: Nguyễn Bảo Vương - 0946798489. BC AB Ta có: BC SAB BC SA SAB SBC SAB SBC SB Trong mặt phẳng SAB : Kẻ AH SB AH d A; SBC 1 1 1 1 1 4 2 2 2 2. 2 2 AH SA AB a 3a 3a 3a d A; SBC AH . Chọn D 2. Câu 37. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1; 2; 4 , B 1; 3;1 , C 2; 2;3 . Tính đường kính l của mặt cầu S đi qua ba điểm trên và có tâm nằm trên mặt phẳng Oxy . A. l 2 13 .. B. l 2 41 .. C. l 2 26 . Lời giải. D. l 2 11 .. Gọi tâm mặt cầu là: I x; y; 0 . x 1 2 y 2 2 42 x 12 y 32 12 IA IB IA IC x 1 2 y 2 2 42 x 2 2 y 2 2 32 2 y 2 42 y 32 12 2 2 x 2 x 1 16 x 4 x 4 9 10 y 10 x 2 2 2 l 2 R 2 3 1 42 2 26 . 2 x 4 y 1 8 4 8 Câu 38. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(2; 2;1), B ( ; ; ) . Đường thẳng qua tâm đường tròn 3 3 3 ( OAB ) có phương trình là: nội tiếp tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng 2 2 5 x y z x 1 y 8 z 4 9 9 9 A. B. 1 2 2 1 2 2 1 5 11 x y z x 1 y 3 z 1 3 3 6 C. D. 1 2 2 1 2 2 Lời giải. Chọn D Ta có: OA; OB 4; 8;8 Gọi d là đường thẳng thỏa mãn khi đó d có VTCP u 1; 2; 2 . Ta có OA 3, OB 4, AB 5 . Gọi I ( x; y; z) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(17)</span> ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT 2021 Áp dụng hệ thức OB.IA OA.IB AB.IO 0 1 4.(OA OI ) 3.(OB OI ) 5.IO 0 OI 4OA 3OB I 0;1;1 12 x t Suy ra d : y 1 2t cho t 1 d đi qua điểm M (1;3; 1) z 1 2t . . . . Do đó d đi qua M (1;3; 1) có VTCP u (1; 2;2) nên đường thẳng có phương trình x 1 y 3 z 1 1 2 2 Câu 39. Cho hàm số f x . Hàm số y f x có đồ thị như hình bên dưới.. Hàm số g x f 3 4 x 8 x 2 12 x 2021 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?. 1 3 A. ; . 4 4. 1 1 B. ; . 4 4. 5 C. ; . 4 Lời giải. 1 5 D. ; . 4 4. Chọn D Ta có: g x 4 f 3 4 x 16 x 12 4 f 3 4 x 4 x 3 g x 0 f 3 4 x 4 x 3 0 f 3 4 x 3 4 x *. Đặt t 3 4 x ta có * trở thành: f t t .. Facebook Nguyễn Vương 17.
<span class='text_page_counter'>(18)</span> FanPage: Nguyễn Bảo Vương - 0946798489. 5 1 x 2 t 2 2 3 4 x 2 4. Từ đồ thị trên ta có: f t t 4 t 4 3 4 x 4 x 1 4 1 5 Vậy hàm số g x nghịch biến trên khoảng ; . 4 4 Câu 40. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m không vượt quá 2021 để phương trình 4 x 3 m.2 x 2 1 0 có nghiệm? A. 2018 . B. 2017 . C. 2021 . D. 2019 . Lời giải Chọn A 4 x 3 m.2 x 2 1 0 4.4 x 2 m.2 x 2 1 0 Đặt t 2 x 2 . Phương trình trở thành: 4t 2 1 4t 2 mt 1 0 m 2 t Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi 2 có nghiệm dương. 4t 2 1 trên 0; . t 1 1 Ta có f t 4 2 ; f t 0 t . t 2 Bảng biến thiên: Xét hàm số f t . Từ bảng biến thiên ta có phương trình (2) có nghiệm dương khi m 4 . Vậy có 2018 số nguyên cần tìm. 9. Câu 41. Cho hàm số y f ( x) liên tục trên thỏa mãn. . f. x dx 4 và. 1. x. 2. f sin x cos xdx 2. 0. 3. Tích phân I f ( x)dx bằng 0. A. I 8 .. B. I 6 .. C. I 4 . Lời giải. D. I 10 .. Chọn C Đặt t . x dt 9. Suy ra. 1. f. 1 2 x. x dx 2 x. 3. 1. dx . Khi đó x 1 t 1; x 9 t 3 3. f (t )dt 4 f (t )dt 2. 1. ; dt cos dx . Khi đó. x 0 t 0; x t 1 2 2 2. Đặt t sin x; x . Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(19)</span> ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT 2021 3. Suy ra. 1. 3. f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx 2 2 4. 0. Câu 42. Cho số phức. 0. 1. z a bi a, b R . thỏa mãn. 1 B. . 2. A. 5 .. z 7 i z 2 i 0. C. 7 .. và. z 3.. Tính P a b. 5 D. . 2. Lời giải 2. 2. 2. 2. a 7 b 1 i 2 a b a b i 0. a 7 2 a 2 b 2 1 2 a b 2 b 1 2 a 7 2 b 1 a 2b 5 thế vào (2).. b 1 b 1 2 b4 2b 5 b 2 b 1 2 4b 22b 24 0 b 3 2 TH1: b 4 a 3 z 5 3. (loại). 3 5 a 2 z 3. (nhận). 2 2 1 P ab . 2. TH2: b . Câu 43. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi, góc BAD bằng 1200 , AB a . Hai mặt phẳng SAB và SAD cùng vuông góc với đáy. Góc giữa SBC và mặt phẳng đáy là 600 . Tính thể tích V của chóp S . ABCD . 2a 3 15 a3 A. V B. V . . 15 12. C. V . a3 3 . 4. D. V . a 3 13 . 12. Lời giải Chọn C. Vì hai mặt phẳng SAB và SAD cùng vuông góc với đáy nên SA mp ABCD . Ta có tam giác ABC đều cạnh a , gọi I là trung điểm của BC khi đó: AI . a 3 2. 600 . Và góc giữa SBC và mặt phẳng đáy là SIA Facebook Nguyễn Vương 19.
<span class='text_page_counter'>(20)</span> FanPage: Nguyễn Bảo Vương - 0946798489. SA SA AI tan 600 SA 3a . tan SIA AI 2 a2 3 1 a 3 Ta có diện tích đáy ABCD là: S ABCD 2 S ABC 2 AI .BC . a 2 2 2 . . Xét tam giác SAI ta có:. 1 1 3a a 2 3 a 3 3 Thể tích của chóp S . ABCD là: V SA.S ABCD . . . 3 3 2 2 4. Câu 44. Cho khối cầu S tâm I , bán kính R không đổi. Một khối trụ thay đổi có chiều cao h và bán kính đáy r nội tiếp khối cầu. Tính chiều cao h theo R sao cho thể tích khối trụ lớn nhất.. A. h . R 2 . 2. B. h . 2R 3 . 3. C. h R 2 .. D. h . R 3 . 3. Lời giải Chọn B Ta có: r R 2 . h2 . 4. h2 Thể tích khối trụ là V r 2 h R 2 h , 0 h 2 R 4 3h 2 2R 3 ; Vh 0 h Vh R 2 . 4 3 Bảng biến thiên. 2R 3 . 3 Câu 45. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M 3;3; 2 và hai đường thẳng. Vậy thể tích khối trụ lớn nhất khi h . x 1 y 2 z x 1 y 1 z 2 ; d2 : . Đường thẳng d đi qua M căt d1 , d 2 lần lượt tại 1 3 1 1 2 4 A và B . Độ dài đoạn thẳng AB bằng A. 3 . B. 6 . C. 4 . D. 2 . Lời giải Chọn A Ta có: x 1 t1 phương trình tham số của d1 : y 2 3t1 ; t1 , A d1 A 1 t1 ; 2 3t1 ; t1 ; z t 1 d1 :. Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(21)</span> ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT 2021. x 1 t2 phương trình tham số của d 2 : y 1 2t2 ; t2 , B d 2 B 1 t2 ;1 2t2 ; 2 4 t2 ; z 2 4t 2 MA t1 2;3t1 1; t1 2 ; MB 4 4t2 ; 2 2t2 ;4 4t2 . Vì A, B, M thẳng hàng nên MA k MB, k t1 0 t1 0 t1 2 4k kt2 t1 4k kt2 2 1 1 3t1 1 2k 2kt2 3t1 2k 2kt2 1 k k . 2 2 t 2 4k 4kt t 4k 4kt 2 1 1 2 2 kt2 0 t2 0 Vậy, A 1; 2;0 và B 1;1;2 AB 2; 1;2 . Độ dài đoạn thẳng AB AB 3 . Câu 46. Cho hàm số f x là hàm số đa thức bậc bốn. Biết f 0 0 và đồ thị hàm số y f x có hình vẽ bên dưới.. Tập nghiệm của phương trình f 2 sin x 1 1 m (với m là tham số) trên đoạn 0;3 có tất cả bao nhiêu phần tử? A. 8 .. B. 20 .. C. 12 .. D. 16 .. Lời giải Chọn D Đồ thị đã cho là đồ thị hàm số bậc ba có hai điểm cực trị x 0 và x 2 nên có dạng f x ax 3 bx 2 cx d . d 2 a 1 c 0 b 3 Lần lượt thay thế các dữ kiện từ hình vẽ, ta được . 2 3 a 2 2 b 2 0 c 0 a 3 b d 2 d 2. Suy ra f x x 3 3x 2 2 f x Mà f 0 0 C 0 f x . x4 x3 2 x C . 4. x4 x3 2 x . 4. Facebook Nguyễn Vương 21.
<span class='text_page_counter'>(22)</span> FanPage: Nguyễn Bảo Vương - 0946798489. x 1 Ta có f x 0 x 1 3 . x 1 3 Suy ra bảng biến thiên. Từ đó ta có bảng biến thiên của f x 1. Vì 1 sin x 1, x 0;3 nên 0 2sin x 1 3 . Đặt t 2sin x 1 , t 0;3 Dựa vào bảng biến thiên, suy ra phương trình f t 1 m có tối đa 2 nghiệm t h , t k . h 1 sin x 2sin x 1 h 2 . Do đó 2sin x 1 k sin x k 1 2. Trên 0;3 , mỗi phương trình có nhiều nhất 4 nghiệm, do đó phương trình đã cho có nhiều nhất 16 nghiệm. Câu 47. Số nghiệm của phương trình e. x2 x 2020 2. B. 2 .. A. 4.. x2 ln x 2 x 2018 là 2 C. 0 . Lời giải 2. D. 3 .. Chọn A. e. x2 x 2020 2. 2. x x 2020 x2 x2 ln x 2 x 2018 (1) e 2 x 2020 ln x 2 2 x 2 2 2 2. x2 x 2020 2. 2. ln x2 2 x2 x 2020 e ln x 2 2 2 Xét hàm số: f t et t , t . e. . 2. Ta có f ' t et 1 0, t . Do đó f t đồng biến trên . Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(23)</span> ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT 2021. x2 x2 2 f x 2020 f ln x 2 2 x 2020 ln x 2 2 2 2 x2 x 2020 ln x 2 2 0 (3) 2 Xét hàm số: x 2 x2 2x x3 x 2 4 x 2 g ( x) x 2020 ln x 2 2 , g '( x) x 1 2 2 x 2 x2 2 x 2 Xét h( x) x3 x 2 4 x 2 liên tục trên và có:. . . h(3) 8; h(2) 2; h(1) 2; h(0) 2; h( 3) 1 3; h 2 2 x a 3; 2 h(3).h(2) 0 h(1).h(0) 0 h x 0 x b 1; 0 x c 3; 2 h ( 3). h 2 0 . . . lim g x ; lim g x ; lim g x ; lim g x x x x 2 2 Bảng biến thiên hàm số g ( x ) x. Từ bảng biến thiên ta có:. 9 3 2020 ln 7 0 2 3 Với c 3; 2 suy ra g (c) g 3 3 2020 0 2 Do đó phương trình (3) có 4 nghiệm phân biệt. Với a 3; 2 suy ra g (a) g 3 . . . . Câu 48. Một biển quảng cáo với 4 đỉnh A, B, C , D như hình vẽ. Biết chi phí để sơn phần tô đậm là 200.000(đ/m 2 ) sơn phần còn lại là 100.000đ/m 2 . Cho AC 8m; BD 10 m; MN 4m Hỏi số tiền sơn gần với số tiền nào sau đây:. Facebook Nguyễn Vương 23.
<span class='text_page_counter'>(24)</span> FanPage: Nguyễn Bảo Vương - 0946798489. .. A. 12204000đ .. B. 14207000đ . .. C. 11503000đ . .. D. 10894000đ .. Lời giải 5 3 yN x y 2 elip có phương trình là: 1 . Vì MN 4 xN 2 16 25 5 3 yN 2 2. 2. 5 3 2. Diện tích phần tô đậm là S1 2. 5 2. 4 25 y 2 dy 59, 21 (m 2 ) 5 3. Diện tích elip là S .4.5 20 (m 2 ) Diện tích phần trắng là S2 S S1 3,622 (m2 ) Tổng chi phí trang chí là: T 59, 21.200000 3, 622.100000 12204200đ . z1 i z i 1; 2 2 . Giá trị nhỏ nhất của z1 z2 là z1 2 3i z2 1 i. Câu 49. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn A. 2 2 .. B.. 2.. C. 1 .. D.. 2 1.. Lời giải Giả sử z1 x1 y1i với x1; y1 . Khi đó: z1 i 1 z1 i z1 2 3i x1 y1 1 i x1 2 y1 3 i z1 2 3i 2. x12 y1 1 . 2. x1 2 y1 3. 2. x1 y2 3 0 .. Quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z1 là đường thẳng : x y 3 0 . Giả sử z2 x2 y2i với x2 ; y2 . Ta có: z2 i 2 z2 i 2 z2 1 i x2 y2 1 i 2 x2 1 y2 1 i z2 1 i 2. x22 y2 1 2. 2. x2 1 y2 1. 2. x22 y22 4 x2 2 y2 3 0 .. Quỹ tích điểm N biểu diễn số phức z2 là đường tròn C : x 2 y 2 4 x 2 y 3 0 có tâm 2. I 2; 1 và bán kính R 22 1 3 2 .. Khoảng cách từ I đến là: d I ; . 2 1 3 12 1. 2. 3 2 R đường thẳng và đường tròn. C không có điểm chung. Quỹ tích các điểm biểu diễn số phức z1 z2 là đoạn thẳng MN . z1 z2 nhỏ nhất khi và chỉ. khi MN nhỏ nhất. I N' N. M. M'. Dễ thấy MN min 3 2 2 2 2 . Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương
<span class='text_page_counter'>(25)</span> ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT 2021. Câu 50. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng. P : x 2 y 2 z 3 0 và mặt cầu N S sao cho MN cùng phương. S : x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 2 z 5 0 . Giả sử M P và với vectơ u 1;0;1 và khoảng cách giữa M và N lớn nhất. Tính. MN .. B. MN 1 2 2 .. A. MN 3 .. C. MN 3 2 . D. MN 14 . Lời giải. 1 2.2 2.1 3 2 R. S có tâm I 1;2;1 và bán kính R 1 . Ta có: d I , P 12 22 22. Gọi H là hình chiếu vuông góc của N trên mặt phẳng P và là góc giữa MN và NH . . Vì MN cùng phương với u nên góc có số đo không đổi, HNM 1 Có HN MN .cos MN .HN nên MN lớn nhất HN lớn nhất cos HN d I , P R 3 . 1 1 Có cos cos u , nP nên MN HN 3 2 . cos 2. . . Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương Hoặc Facebook: Nguyễn Vương Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN) Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương Tải nhiều tài liệu hơn tại: ĐỂ NHẬN TÀI LIỆU SỚM NHẤT NHÉ!. Facebook Nguyễn Vương 25.
<span class='text_page_counter'>(26)</span>
