HSG toan 9

<span class='text_page_counter'>(1)</span>ĐỀ luyÖn THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 Thời gian: 120 phút. ĐỀ SỐ 01 Bài 1: (3 điểm) Rút gọn các biểu thức sau: 3 5 2  3 5. a) A = b) B =. . . 3 2. 5 3. 14  2 13  12  2 11. 5. . 44  52. . b) C = 10  24  40  60  7  40 Bài 2: (2 điểm) a) Tìm các giá trị của x để biểu thức sau có nghĩa: 1. D = x  2x  1 b) Giải bất phương trình: 3x  2  5 c) Giải phương trình: 16 x 17 8 x  23 Bài 3: (1,5 điểm) a4 a 4. . 4 a. a 2 2  a ( Với a  0 ; a  4 ) Cho biểu thức : P = a) Rút gọn biểu thức P. b) Tính P tại a thoả mãn điều kiện a2 – 7a + 12 = 0. TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 Thời gian: 120 phút. ĐỀ SỐ 06.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Bài 1: (3 điểm) 1. Rút gọn các biểu thức sau: a) A =. 32 5. 29  12 5. 3 2 2. b) B = 17  12 2. . 32 2 17  12 2. 2. Không xử dụng máy tính , So sánh hai số a và b với: a = 2011  2010 và b = 2010  2009 Bài 2: (2 điểm) 1. Chứng minh bất đẳng thức Côsi: a b  ab Với hai số a và b không âm, chứng minh rằng: 2 2 2. Giải phương trình sau: 2 x  3  5  2 x 3x  12 x  14 3. Cho A = x  3  5  x . Chứng minh rằng: A  4. Bài 3: (3 điểm) 1. Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Biết AB : AC = 20 : 21 và AH = 420. Tính chu vi tam giác ABC. 2. Cho góc nhọn  . a) Biết rằng cos  – sin  = 0,2. Tính cotg  . b) Tính sin210 + sin220 + sin230 + ……….+ sin2870 + sin2880 + sin2890 Bài 4: (2 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, Gọi H là trực tâm của tam giác. Gọi D và E lần lượt là các 0   điểm trên các đoạn thẳng BH và CH sao cho ADC  AEB 90 . Chứng minh tam giác ADE cân.. ĐỀ SỐ 07.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Bài 1: (3 điểm) 1. Rút gọn các biểu thức sau: A = 13  160  53  4 90 b2  b b2  b  2. Cho biểu thức P = b  b  1 b  b  1. a) Rút gọn biểu thức P. 3 2 2 4 b) Tính giá trị của P khi b =. Bài 2: (2 điểm) 1. Giải phương trình : 1  x  4  x 3 2. a) Với a, b tùy ý, chứng minh rằng:. a  b a b.  x  2009  b)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M =. 2. .  x  2010 . 2. Bài 3: (3 điểm) 1. Tìm x, biết sinx.cosx = 0,5 và sin2x +cos2x = 1 2. Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB và C là điểm bên ngoài nửa đường tròn. CA, CB lần lượt cắt nửa đường tròn tại N và M. Gọi H là giao điểm của AM và BN. a) Chứng min CH  AB  b) Giả sử CH = 2R. Tính tang ACB . Bài 4: (2 điểm) Tử điểm A ở ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn ( B và C là hai tiếp điểm. Gọi E là hình chiếu của C trên đường kính BD của đường tròn (O). AD cắt CE ở K. Chứng minh K là trung điểm CE.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 Thời gian: 150 phút. ĐỀ SỐ 04 Bài 1: (2 điểm)   2 3 2 3     2  2  3 2  2  3  1. Thực hiện phép tính: 1 1 1 1    ....   10 3 100 2. Chứng minh rằng: 1 2. 2. Bài 2: (2 điểm) 1. Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: x  y 1 z 2 . 2Giải phương trình: Bài 3: (2 điểm). 1  x  y  z 2. x 2  x 1 . x 2  x 1 . 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =. 1 2 x2  4x  3.  x  2  6  x . 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = Bài 4: (2 điểm) Cho đường tròn (O), đường kính AB và tiếp tuyến d tại B. Trên d lấy hai điểm C và D. (B nằm giữa C và D). CA và DA cắt đường tròn (O) lần lượt tại M và N. Chứng minh AM. AC = AN. AD Bài 5: (2 điểm) Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến PA và PB tới đường tròn (A,B là hai tiếp điểm) . Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến đường kính BC của đường tròn. Chứng minh PC cắt AH tại trung điểm I của AH. === HẾT===.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> ĐỀ luyÖn THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 Thời gian: 150 phút ĐỀ SỐ 09. Bài 1: (3 điểm) 1. Tính giá trị biểu thức: a) A = 4 80 7  2 45 7  5 20 7 3 3 b) B = 5  2 13  5  2 13. 2. Rút gọn biểu thức P = x  2  2 x  3  x  1  4 x  3 , với 3  x 4 Bài 2: (3 điểm) 1. Giải phương trình: 2 a) x  4 x  4 2  x 2 2 2 b) x  4 x  5  x  4 x  8  x  4 x  9 3  5. 9x 2  2. Cho 0 < x < 2, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2  x x. Bài 4: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC, trực tâm H là trung điểm của đường cao AD. Chứng minh rằng tgB. tgC = 2 ==== HẾT=====.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 Thời gian: 150 phút. ĐỀ SỐ 06 Bài 1: (1,5 điểm) 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: ab(a + b) – bc(b + c) + ac(a – c) 2. Chứng minh x4 + x3 + 2x2 + x + 1 luôn nhận giá trị dương với mọi x Bài 2: (1,5 điểm) Rút gọn biểu thức: 1. A =. . 2010  2011. . 2011 2010  2010 2011 2011 2010  2010 2011. x  1  x  2 x  1 1 2. x  4( x  1) 2. B = Bài 3: (2 điểm) 1. Giải phương trình sau:. với x  1 và x  2. 3x 2  2 x 2 x 2  x  1  x. 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x  2 y  6 x  10 y  2 xy  2023 với x, y là các số thực không âm. Bài 4: (2,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, H là trực tâm, các đường thẳng BH và CH lần lượt cắt 0  AC và AB tại M và N, NHM 120 . MN   1. Chứng minh AMN  ABC , tính BC . AH 2. Tính BC. Bài 5: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 13cm; BC = 10cm. Tính cos A Bài 6: (1 điểm) 3. 2. 2n  1   2n   2n  1. Cho biểu thức M =  Chứng minh M  16. với n  N. ====HẾT====.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 Thời gian: 150 phút. ĐỀ SỐ 07 Bài 1: (1,5 điểm) 1.Cho x và y là hai số khác nhau sao cho x2 – y = y2 – x . Tính giá trị của biểu thức A = x2 + 2xy + y2 – 3x – 3y 2.Tìm 3 chữ số tận cùng của tổng 9994 + 999. Bài 2: (1,5 điểm) Không xử dụng máy tính, rút gọn các biểu thức sau: 1.. . 32 2 . 3 2 2. . 3 2 2  32 2. . 14  6 5 2 2  5 3 1,5  2. 2. Bài 3: (1,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: 1. A = x  2 x  3.  x  2011 2. B =. 2. .  x  1. 2. 2 2 2 2 3. C = x  2 y  6 x  4 y  11  x  3 y  2 x  6 y  4 Bài 4: (1,5 điểm). 1. Chứng minh bất đẳng thức x y  1  y x  1  xy (với x  1; y  1) x2 x 1  x 2 x 1 . x 3 2. 2. Giải phương trình: Bài 5: (2,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 6; BC = 4. Vẽ AH  BD. Gọi M là trung điểm của HB; N là trung điểm của CD. Tính MA2 + MN2. Bài 6: (2,0 điểm) Qua một điểm M ở ngoài đường tròn (O; R) kẻ đường thẳng qua O cắt đường tròn ở A và B, kẻ qua M một đường thẳng khác cắt đường tròn ở C và D 1. So sánh các tích MA. MB và MC. MD. MDT 2. Kẻ tiếp tuyến MT với đường tròn (T là tiếp điểm) . Chứng minh MTC ===HẾT====.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 Thời gian: 150 phút. ĐỀ SỐ 08 Bài 1: (1,5 điểm) Cho biểu thức : A = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1 1. Chứng tỏ rằng với mọi số nguyên x, giá trị của A là số chính phương. 2. Tìm số nguyên x sao cho A = 25 Bài 2: (1,5 điểm) 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1    ......   9 1  2 2  3 3  4 98  99 99  100 a) 1 1 1 1    .......   28 2 3 4 225 b) 2 2 2. Cho biểu thức x  6 x 19  x  6 x  10 3 .. Tính giá trị của biểu thức : M = Bài 3: (2,0 điểm). x 2  6 x  19  x 2  6 x  10.  2  a 2  b2    1. Với a 0, b 0 , chứng minh rằng a + b x 3 y 4. 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = , biết x + y = 8 2 3. Giải phương trình sau: x  2  10  x x  12 x  40 Bài 4: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm (O; r), cạnh AB tiếp xúc với đường tròn tại D. Gọi S là diện tích tam giác ABC . Chứng minh : S = r (AD + BC) Bài 5: (2,5 điểm) Cho hình thang ABCD (AB // CD), giao điểm hai đường chéo là O. Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N. MO MO 1. Chứng minh: CD + AB =1 . 1. 1. 2. 2. Chứng minh: AB + CD =MN . 3. Biết S AOB =m2 ; SCOD =n 2 . Tính S ABCD theo m và n (với. S AOB , SCOD ,. S ABCD lần. lượt là diện tích tam giác AOB, diện tích tam giác COD, diện tích tứ giác ABCD). Bài 6: (1,0 điểm) Chứng minh rằng a3b – ab3 chia hết cho 6 với mọi số nguyên a và b. === HẾT====.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 Thời gian: 150 phút. ĐỀ SỐ 09 Bài 1: (1,5 điểm) Cho biểu thức A = n3 – 4n2 + 4n – 1. 1. Phân tích A thành nhân tử. 2. Tìm số tự nhiên n để giá trị của A là số nguyên tố. Bài 2: (3 điểm). . 2. . 3 2. . 3 2  3 2 3 2. 1. Rút gọn biểu thức: 2. So sánh hai số: 3 5. 3. . 3. 5. 4 7. a = 2 2  3 5 2 2  3 5 ; b = 3 2  4 7 3. Tính giá trị của biểu thức : P = ( x3 + 12x – 9)2010 tại x = Bài 3: (2,0 điểm). 3. 4.  7  x . 1. Giải phương trình sau:. . . 5 1 . 3. 4. . 4 3 2. 7 4. 7. . 51. 7  x   x  5 . x  5 7 x  x 5. . 2. a b   a b b a 2. Chứng minh rằng: nếu a > 0; b > 0 thì. Bài 4: (2,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD, M là trung điểm AD, N là trung điểm BC. Trên tia đối của tia DC lấy điểm P. Tia PM cắt đoạn thẳng AC ở Q. . . Chứng minh : QNM MNP Bài 5: (1,5 điểm) Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp của một tam giác mà độ dài các đường cao là 1 1 1 1    h1 ; h2 ; h3 . Chứng minh hệ thức: r h1 h2 h3. ====HẾT====.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 Thời gian: 150 phút. ĐỀ SỐ 10 Bài 1: (2,0 điểm) Cho biết a3 + b3 + c3 = 3abc . Tính giá trị biểu thức :  a  b  c  1  1  1  A =  b  c  a . Bài 2: ( 4,5 điểm) Không xử dụng máy tính, hãy: 1. So sánh hai số: a = 2009  2011 và b = 2 2010 . 2. Rút gọn các biểu thức sau: 3 2 2  17  12 2. 32 2 17  12 2. A= 3. Tính giá trị của biểu thức:. x2  x x2  x  B = x  x 1 x  x 1. 3 2 2 4 với x =. Bài 3: ( 4,0điểm) Giải các phương trình sau: 3 1. 7  x  1  x 2 2. Cho hàm số: y = x  1  2 x  2  x  7  6 x  2 a) Tìm các giá trị của x để y có nghĩa ? b) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho. Bài 4: (4 điểm) Cho tứ giác ABCD có AD = BC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Đường thẳng MN cắt các đường thẳng AD và BC theo thứ tự tại E và F.  F  Chứng minh rằng E Bài 5: (4 điểm) Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC (B, và C là hai tiếp điểm). Gọi E, F lần lượt là trung điểm AB, AC. Từ điểm T bất kì trên cung nhỏ BC vẽ tiếp tuyến thứ ba cắt đoạn thẳng EF tại M. Chứng minh MA = MT Bài 6: (1,5 điểm) Chứng minh rằng: 10 1. a = 21  1200 20 13 2. b = 39  39 40 2007 2005 3. c = 2005  2007 2006 ======HẾT=====.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 Thời gian: 150 phút. ĐỀ SỐ 11 Bài 1: (5,0điểm) 3. 3. 3.  b  c   c  a   a  b 2 2 2 1. Rút gọn biểu thức: A = a  b  c   b  c  a   c  a  b  Không xử dụng máy tính, rút gọn các biểu thức sau: 2.. P = 4  7  4  7 + 2 1. 3. Q = Bài 2: (3,0điểm). 1 1 1 1 1 1  2  1  2  2  ...  1   2 2 2 3 3 4 2005 20062. 3 3 1. Chứng minh a  b ab(a  b) với mọi a, b 0 . 2. Áp dụng kết quả trên, chứng minh bất đẳng thức : 1 1 1   1 a 3  b3  1 b3  c 3  1 c 3  a 3  1 với mọi a, b, c là các số dương thỏa mãn abc 1 . Bài 3: (2 điểm). Giải phương trình: Bài 4: (3 điểm).  x  3  x  1  4  x  3. x 1  3 0 x 3. tan. ABC AC  2 AB  BC. Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh rằng Bài 5: (4 điểm) Cho đoạn thẳng AB. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tia Ax và By cùng vuông góc với AB. Gọi O là trung điểm AB. Trên tia Ax lấy điểm C, trên tia By lấy điểm D sao 0  cho COD 90 . 1. Chứng minh AC + BD = CD. 2. Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB. Bài 6: (3 điểm) 1. Chứng minh rằng 16n – 1 chia hết cho 15 nhưng không chia hết cho 17 với n lẻ 2. Chứng minh rằng:. x. 3m2.  x 3n 1  1  x 2  x  1. . . với mọi số tự nhiên m và n. ======HẾT=====.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 Thời gian: 150 phút. ĐỀ SỐ 12 Câu 1 (3,0 điểm) 1. Phân tích x5 + x – 1 thành nhân tử. 2. Phân tích số 10 000 000 099 thành tích của hai số tự nhiên khác 1. Câu 2 (3,0 điểm) 11  6 2  3  5  7  3 5 . 2. 2  3  14  5 3 Rút gọn biểu thức: A = Câu 3: (4 điểm) 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M  x  2007  x  2008  x  2009  x  2010. 2. Giải phương trình: 1 1 x  x   x  2 2 4. Câu 4: (4 điểm) 2n n n1 1. Chứng minh rằng 6 19  2 chia hết cho 17 với mọi số tự nhiên n. 2. Chứng minh rằng : M. 4n 2 1  2 3n  2 n  1 n  1. Với mọi số nguyên dương n, giá trị biểu thức không thể là một số tự nhiên. Câu 5: (6 điểm) 0   Cho hình thang vuông ABCD ( A B 90 ), tia phân giác của góc C đi qua trung điểm O của AB. 1. Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn (O; OA) 2. Gọi H là tiếp điểm của CD với đường tròn (O; OA). Gọi K là giao điểm của AC Và BD. Chứng minh rằng KH song song với AD. 3. Cho biết AB = 2a. Tính tích của hai đoạn thẳng AD và BC theo a ==== HẾT======.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 Thời gian: 150 phút. ĐỀ SỐ 13 Câu 1 ( 3điểm ): 1. Rút gọn các biểu thức sau: 3 √ 10+ √ 20 −3 √ 6 − √ 12 a) A = . √5 − √3 b) B = a  b  c  2 ac  bc  a  b  c  2 ac  bc (a >0, b > 0, c > 0 , a + b  c) Câu 2: (3điểm) 1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có: 2n n A(n) = 7.5  12.6 chia hết cho 19 2. Tìm các số nguyên x và y sao cho xy – x – y = 6 Câu 3: (3điểm).  1. Chứng minh bất đẳng thức:  2. Giải phương trình: 3 x2 +3 x − 2 √ x 2 + x=1 Câu 4: (3 điểm) x 3. . x  5 2 0. với x 0. a 0; b 0    a  2b  4c  2 0 2a  b  7c  11 0 . Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn: . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức Q = 6a + 7b + 2006c. Câu 5: (4 điểm) Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Gọi d là tiếp tuyến của đường tròn, C là tiếp điểm. D và E lần lượt là các hình chiếu của A và B trên đường thẳng d. 1. Chứng minh hai điểm D và E ở ngoài đường tròn (O) 2. Kẻ CH  AB (H  AB). Chứng minh AD. BE = CH2. Câu 6: (4 điểm) Cho hình thang cân ABCD ( BC // AD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai đáy BC và AD. Trên tia đối của tia AB lấy điểm P bất kì, PN cắt BD tại Q. ·. Chứng minh MN là tia phân giác của góc PMQ . &&&&&&& HẾT&&&&&&&.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 Thời gian: 150 phút. ĐỀ SỐ 14 Bài 1: (3 điểm). a M. 2. 2.  b 2  c 2   a  b  c    ab  bc  ca . 2. 2.  a  b  c    ab  bc  ca  Cho phân thức a) Tìm các giá trị của a, b, c để M có nghĩa ? b) Rút gọn phân thức M. Bài 2: (4 điểm) Rút gọn các biểu thức sau: a). A. 2 4. B. 5  21  80 10 . 2. x2 x 1  x 2 x 1. x  2 x  1  x  2 x  1 với x 2 b) Bài 3: (3 điểm) n2 2 n 1 a) Chứng minh rằng 11  12 chia hết cho 133 với mọi số tự nhiên n. b) Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình xy – 4x = 35 – 5y Bài 4: (3 điểm). a) Giải phương trình. √. 1 2 x + x+1− √ 6 − 2 √5=0 4. b) Cho a, b, c  0. Chứng minh rằng a + b + c  ab  bc  ca Bài 5: (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn (O; R) , đường kính AB, M là điểm di chuyển trên nửa đường tròn. Vẽ tiếp tuyến tại M cắt các tiếp tuyến với nửa đường tròn tại A và tại B theo thứ tự ở C và D . Điểm M ở vị trí nào trên nửa đường tròn thì tứ giác ACDB có diện tích nhỏ nhất ? Tính theo R diện tích nhỏ nhất đó . Bài 6: (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn (O; R) , đường kính AB. AC và BD là hai dây cung của nửa đường tròn cắt nhau tại điểm M ở bên trong nửa đường tròn (O). Chứng minh AM. AC + BM. BD = AB2 . ********************** HẾT***************************.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 Thời gian: 150 phút. ĐỀ SỐ 15 Bài 1: (3 điểm) a) Tìm số dư của phép chia S : 101 trong đó: S = 1n + 2n + 3n + ……………..+ 97n + 98n + 99n với n là số tự nhiên lẻ 2 n 3 4 n 1 b) Chứng minh rằng : Nếu n là số tự nhiên lẻ thì 3  2 chia hết cho 25 Bài 2: (4 điểm) Không xử dụng máy tính, rút gọn các biểu thức sau: a)A =. 2 12  140 2 12  140    7 5 12  140 32  5 28 12  140. b) B = x  4 x  4  x  4 x  4 Bài 3: (3 điểm) Giải phương trình : a) 2 x  3  x x 3. 10  x 2 x 2  x  12.  b)  Bài 4: (4 điểm) Cho đường tròn tâm O, đường kính AB, kẻ dây CD tùy ý không vuông góc với AB và cắt AB tại I. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của A và B trên CD. Chứng minh CM = DN. Bài 5: (4 điểm) Cho hình bình hành ABCD có AC > BD. Kẻ CE  AB, CF  AD. Chứng minh : AB. AE + AD. AF = AC2 Bài 6: (2 điểm) Chứng minh bất đẳng thức: ( với a, b, c > 0). 1 1 1 3    a b b c c a a b c. *******HẾT******.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 Thời gian: 150 phút. ĐỀ SỐ 16 Bài 1: (3 điểm) a) Tìm các chữ số x, y để 1234 xy72 b) Với n là số tự nhiên, chứng minh rằng 9.10n + 18 chia hết cho 27 Bài 2: (4 điểm) Không xử dụng máy tính, rút gọn các biểu thức sau: a) A = 6  3 3  6  3 3 4 7. . 4. 7. b) B = 3 2  4  7 3 2  4  7 Bài 3: (4 điểm) a) Giải phương trình: x  1  4 x  4  9 x  9  .....  100 x  100 165. b) Giải phương trình nghiệm nguyên: 5 x  3 y 2 xy  11. Bài 4: (2 điểm) Chứng minh bất đẳng thức: 1. a b c d    2 a b  d a b c b c  d a c d (với a, b, c, d > 0). Bài 5: (3 điểm) Cho hình thang ABCD đáy AB = 3 cm, đáy CD = 9 cm, AD = 4 cm , BC = 6 cm Tính diện tích hình thang. Bài 6: (4 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R và E là một điểm di chuyển trên nửa đường tròn ( E khác A và B). Tiếp tuyến tại E của nửa đường tròn cắt hai tiếp tuyến kẻ từ A và B của nửa đường tròn lần lượt ở C và D. Gọi H là hình chiếu của E trên AB.  a) Chứng minh HE là phân giác của CHD . b) Chứng minh CD. EH không đổi khi E di chuyển trên nửa đường tròn. ---- HẾT ----. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 Thời gian: 150 phút.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> ĐỀ SỐ 17 Câu 1: (4 điểm) a) Rút gọn biểu thức: A. 12  18. 2 2 3  6 2. 52 6. b) Chứng minh bất đẳng thức: 2010 2011   2010  2011 2011 2010. Câu 2: (3 điểm) 1 2. a) Tìm giá trị của x để biểu thức x  2 2 x  5 có giá trị lớn nhất . b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :.  x  1995 P=. 2. .  x  1996 . 2. Câu 3: (3 điểm) Giải phương trình sau: x 2  9 x  20 2 3 x  10. Câu 4: (4 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R, CD là dây cung song song với AB và khoảng cách từ O tới CD cũng dài bằng CD. a) Tính CD theo R. b) Gọi H là hình chiếu của C đến AB và I là giao điểm của AB với tiếp tuyến vẽ từ C Với nửa đường tròn O. Chứng minh HI = 4 HO, từ đó tính HI và CI theo R. Câu 5: (4 điểm) Trên cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC lấy các điểm C1, A1, B1 tương ứng sao cho AA1 , BB1 , CC1 đồng qui tại O. Đường thẳng qua O song song với AC cắt A1B1 và C1B1 tại K và M. Chứng minh OK = OM Câu 6: (2 điểm) Chứng minh rằng: Nếu n là số tự nhiên chia hết cho 4 thì 2n – 1 chia hết cho 15. === HẾT===. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 Thời gian: 150 phút.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> ĐỀ SỐ 18 Câu 1: (3 điểm) a) Rút gọn biểu thức sau: x 3  y 3  z 3  3 xyz. A =  x  y. 2. 2.   y  z   z  x. 2. x 2  yz y 2  xz  b) Chứng minh rằng: Nếu x(1  yz ) y (1  xz ) với x  y ; yz 1 ; xz 1 ; 1 1 1 x yz    x y z x 0 ; y 0 ; z 0 thì. Câu 2: (4 điểm) 2. 2.  9  2 14   9  2 14      7  2   7  2   a)  14  7 15  5  1    : 1 3  7  5  1 2. b) Câu 3: (3 điểm) Giải các phương trình sau: a). . . x  3 4. 1  x  b)  x . 5 2 5 2. . x 9  x. 1   4 x    6 0 x . Câu 4: (3 điểm) a) Tìm số dư khi chia 31993 cho 7 b) Giải phương trình nghiệm nguyên xy + 3x – 2y – 9 = 0 Câu 5: (3 điểm) 0  Cho hình thoi ABCD có A 120 . Tia Ax tạo với tia AB góc BAx bằng 150 và cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng DC tại N. 1 1 4   2 2 2 Chứng minh AM AN 3 AB. Câu 6: (4 điểm) Cho nửa đường tròn đường kính AB. Hai dây cung AC và BD cắt nhau tại H. Chứng minh AH. AC + BH. BD có giá trị không đổi. ---- HẾT ----. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 Thời gian: 150 phút. ĐỀ SỐ 19 Câu 1: (3 điểm).

<span class='text_page_counter'>(19)</span> a) Tìm số dư khi chia 31998 + 51998 cho 13. b) Tìm tất cả các số tự nhiên n để n4 + 4 là số nguyên tố. Câu 2: (4 điểm) Không xử dụng máy tính, rút gọn các biểu thức sau: a) A =. 14  6 5 2 2  5 3 1,5  2.  b) B =. 8  2 15 . . 8  2 15 : 3 . 1 . . 2. 2007 . 2008  2 2007. Câu 3: (3 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x  x  2010 . b) Giải phương trình: Câu 4: (3 điểm). 2x  5 3. 2x  5 1 3 1. a) Chứng minh đẳng thức:  n 1 b) Chứng minh bất đẳng thức:. 1 1   n  n n 1 n. 1 n 1. với n nguyên dương. 1 1 1 1    .....  1 2 1 1 2 3 2  2 3 4 3  3 4 100 99  99 100. Câu 5: (4 điểm) Cho nửa đường tròn (O) có đường kính AB và một dây cung CD. Vẽ AP và BS cùng vuông góc với CD (P  CD, S  CD). Chứng minh: a) P và S ở bên ngoài đường tròn (O). b) SAPSB S ACB  S ADB Câu 6: (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE, CF. S DEF 1  cos 2 A  cos 2 B  cos 2C Chứng minh rằng: SABC. ----------------------------------------------HẾT----------------------------------------------------. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 Thời gian: 150 phút. ĐỀ SỐ 20 Bài 1: (5 điểm).

<span class='text_page_counter'>(20)</span> a 1 1 : 2 a) Cho biểu thức P = a a  a  a a  a (với 0 < a  1) 1 2 6  2 3 5 Rút gọn P và tính giá trị của P khi a = 3  2. b) Chứng minh rằng biểu thức A = a2 + b2 – 2ab + a – b + 1 luôn dương với mọi a và b. Bài 2: (4 điểm) a) Giải phương trình sau: 1 1 1   1 x 3  x 2 x  2  x 1 x 1  x 2. b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = 1 + 2 x  x  1 Bài 3: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a, hai đường trung tuyến AM và BN vuông góc với nhau. Tính hai cạnh AC, BC theo a. Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC có trực tâm H. Một đường thẳng đi qua H cắt AB, AC lần lượt tại P và Q sao cho HP = HQ. Qua điểm H vẽ một đường thẳng vuông góc với PQ cắt BC tại M. Chứng minh rằng: M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Bài 5: (4 điểm) a) Giải phương trình nghiệm nguyên: xy – 2y – 3 = 3x – x2 b) Tìm số dư trong phép chia A = 38 + 36 + 32004 cho 91 --------------------------------------------hết---------------------------------------------. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 Thời gian: 150 phút. ĐỀ SỐ 21 Bài 1: (4 điểm) Rút gọn các biểu thức sau.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> 14  6 5  14  6 5 2 5 a) A = a c  b) Cho a, b, c, d là các số dương và b d . 1 a b c d. Trục căn thức ở mẫu của biểu thức Bài 2: (4 điểm) a) Với a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng: Nếu a  b  c  ab  bc  ca thì a = b = c b) Cho A = Bài 3: (2 điểm). x 1 x  3 . Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên 2. 2. Giải phương trình: 3x  5 3x  5 x  12 48  5 x Bài 4: (3 điểm)   Cho tam giác ABC. Gọi P là điểm nằm trong tam giác sao cho PAC PBC . L và M theo thứ tự là chân đường vuông góc vẽ từ P đến BC và AC. Chứng minh rằng nếu D là trung điểm của AB thì DL = DM. Bài 5: (4 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Vẽ tiếp tuyến Ax, By cùng phía với nửa đường tròn. Gọi M là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D. a) Chứng minh rằng đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB. b) Tìm vị trí của C để hình thang để tứ giác ABCD có chu vi bằng 14 cm. Biết AB = 4 cm Bài 6: (3điểm) Chứng minh rằng với n là số tự nhiên thì: n2 n 2 n 1 a) 5  26.5  8 59 2n n b) 7.5  12.6 19 ---------------------------------------- HẾT----------------------------------------------. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 Thời gian: 150 phút. ĐỀ SỐ 22 Bài 1: (3,0điểm) Rút gọn biểu thức sau:.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> bc  b  c   ac  c  a   ab  a  b  2. 2. 2. a  b  c   b  c  a   c  a  b   4abc. P= Bài 2: (4,0 điểm) a) Rút gọn các biểu thức sau:. 45  27 2  45  27 2. A=. 53 2 . 5 3 2. a). 3 2  3. 2. 3 2 . 2. a b. b) a > 0; b > 0. Chứng minh Bài 3: (4,0 điểm) Giải các phương trình: 4 x  20  3. . 3. a b  b a. x 5 1  9 x  45 4 9 3. 2 x 2  2 x. . 2 2. x 2. x.  2. b) Bài 4: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC. Gọi M, N , P là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC sao cho các đường thẳng AM, BN, CP đồng qui tại O. AP BM CN . . 1 Chứng minh : PB MC NA. Bài 5: (3,,5 điểm) Từ một điểm A ở ngoài đường tròn tâm O, kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với B, C là các tiếp điểm. Trên đoạn OB lấy điểm N sao cho BN = 2ON. Đường AM trung trực của đoạn thẳng CN cắt OA tại M. Hãy tính tỉ số AO .. Bài 6: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 2(x + y) + 16 = 3xy --------------HẾT-----------. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 Thời gian: 150 phút. ĐỀ SỐ 23 Bài 1: (4điểm) Rút gọn các biểu thức sau:.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> a). 21 2 2 1   2 2 2 2 2 2 5. . 2. 5. 2  3 5 b) 2  3  5 Bài 2: (6điểm) a) Giải phương trình: 1 x 2  5 1 25 x 2 125 16 x 2  80  3  9 12 16 4 9 y x y x   b) Chứng minh 1  x 1  y 1  x  y 9 x 2  45 . 2. c)Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức: Q =  x  4 x  5 Bài 3: (3điểm) Cho một điểm P nằm trong đường tròn (O; R). Hai dây cung di động AB và CD cùng đi qua P và vuông góc với nhau tại P. Chứng minh AB2 + CD2 có giá trị không đổi. Bài 4: (4điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2BC. Trên cạnh BC lấy điểm E . Tia AE cắt 1 1 1 = 2 2 AE 4AF 2 đường thẳng CD tại F. Chứng minh AB. Bài 5: (3điểm) Giải phương trình nghiệm nguyên: x2y + 2x2 – y2 + 1 = 0 -----------------HẾT-----------------------. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 Thời gian: 150 phút. ĐỀ SỐ 24 Bài 1: (2 điểm) Biết a + b + c = 0 và abc  0. Chứng minh rằng:.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> 1 1 1  2  2 0 2 2 2 2 b  c  a c  a  b a  b2  c 2 2. Bài 2: (4 điểm) a) Không xử dụng máy tính, hãy rút gọn các biểu thức sau: A=. . . 2 1. . 3 1. . 6 1 5  2 2 . x b) Cho x, y thỏa mãn:. x 2  2010.  y . 3. . . y 2  2010 2010. Tính giá trị biểu thức B = x + y Bài 3: (4 điểm) a) Giải phương trình sau: 5 x. x2  5. . 5 x  x2  5. 4. b) Với x, y không âm . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x  2 xy  3 y  2 x  2011, 5 Bài 4: (3 điểm) Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Đường trung trực của AB cắt nửa đường tròn tại I. Trên tia đối của tia IO lấy điểm C sao cho IO = IC. Từ C vẽ hai tiếp tuyến CD và CE với nửa đường tròn (D và E là hai tiếp điểm). Trên cung DE lấy điểm S (S khác I) , tiếp tuyến tại S của nửa đường tròn cắt CD và CE lần lượt tại H và K. Tính số đo góc HOK. Bài 5 :(3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác trong AD. 1 1 2   Chứng minh rằng: AB AC AD. Bài 6: (4 điểm) a) chứng minh rằng : 2 n 1 2 n 1 Với mọi số tự nhiên n ta có: 21  17  15 không chia hết cho 19. b) Giải phương trình nghiệm nguyên: 5x + 25 = – 3xy + 8y2. ---------------------hết------------------------. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đề). ĐỀ SỐ 25 Bài 1: (3 điểm).

<span class='text_page_counter'>(25)</span> x a) Rút gọn phân thức sau:. x. 2. 2. 2.  x  4 x 2  x  12. . . . . 2. .  x  1 x  x  2  12. x 2  2 yz P 2 x  y2 b) Tính giá trị của biểu thức: biết x 0; y 0 và 3x – y = 3z ; 2x + y = 7z. Bài 2: (6 điểm) a) Rút gọn biểu thức: Q = b) Giải phương trình:. 3 4 5 6  8  10  27  36  45. x 2  2 x  x  1  5 0. c) Ba số dương a, b, c thỏa mãn b  c ; a  b  c và.  b . a. a b.  c c. . a b . a b. c. . 2 2. . a b. c c. Chứng minh đẳng thức: Bài 3: (3 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Một đường tròn có tâm O trên BC và tiếp xúc với AB và AC. Kẻ tiếp tuyến d của đường tròn (O) cắt hai cạnh AB và AC lần lượt tại P và Q. Chứng minh : BC2 = 4BP. CQ Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC . Kẻ đường thẳng bất kì đi qua trọng tâm G của tam giác cắt các cạnh AB và AC lần lượt ở P và Q. AB AC  3 AP AQ Chứng minh rằng:. Bài 5: (4 điểm) 3 5 7 19  2 2  2 2  .......  2 2  1 2 9 .10 a) Chứng minh rằng: 1 .2 2 .3 3 .4 2  x  y   x  1  y  1 2. b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: ======= HẾT =======. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đề). ĐỀ SỐ 26 Bài 1 : (4 điểm) Không xử dụng máy tính, rút gọn các biểu thức sau: a) A = 4  15  4  15  2 3  5. 2.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> 1  23 22  22 23 66  22  22  23  22.23 4 2 3 b) B =. Bài 2: (4 điểm) 6  2x a) Với giá trị nào của x thì phân thức x  2 x  15 nhận giá trị dương ? 4x  3 2 b) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức P = x  1 2. Bài 3: (4 điểm) 2. . 1 1  a 1 b 1. a) Chứng minh bất đẳng thức: 1  ab 2 b) Giải phương trình: x  4 x  5 2 2 x  3 Bài 4: (3điểm) Cho tam giác ABC vuông cân ở A. Trên cạnh AC lấy điểm D, trên cạnh AB lấy điểm E sao cho AD = AE. Các đường thẳng vuông góc với EC vẽ từ A và D lần lượt cắt cạnh BC ở K và L. Chứng minh BK = KL. Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, Gọi H là trực tâm của tam giác. Gọi D và E lần lượt là các 0   điểm trên các đoạn thẳng BH và CH sao cho ADC  AEB 90 . Chứng minh tam giác ADE cân. Bài 6: (2 điểm) Tìm số dư của phép chia 23232299 cho 23 = === HẾT=====. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đề). ĐỀ SỐ 27 Câu 1: (4 điểm) a)Rút gọn biểu thức: A. 2 2 3  6 2. 12  18 52 6. ;. B=. 14  6 5  14  6 5 2 5.

<span class='text_page_counter'>(27)</span> b) Ba số dương a, b, c thỏa mãn b  c ; a  b  c và.  b . a. Chứng minh đẳng thức: Câu 2: (4 điểm). a b.  7  x ..  c c. a b. c. . 2. 2 2. . a b. c c. 7  x   x  5 . x  5 7 x  x 5. a)Giải phương trình sau:. . a b . 2. a b   a b b a b)Chứng minh rằng: nếu a > 0; b > 0 thì. Câu 3: (4 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD, M là trung điểm AD, N là trung điểm BC. Trên tia đối của tia DC lấy điểm P. Tia PM cắt đoạn thẳng AC ở Q. . . Chứng minh : QNM MNP Câu 4: (4 điểm) Từ một điểm A ở ngoài đường tròn tâm O, kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với B, C là các tiếp điểm. Trên đoạn OB lấy điểm N sao cho BN = 2ON. Đường AM trung trực của đoạn thẳng CN cắt OA tại M. Hãy tính tỉ số AO .. Câu 5: (4 điểm) n2 n 2 n 1 a) Chứng minh rằng với n là số tự nhiên thì: 5  26.5  8 59 b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  3: 1 1 1 1 1  3  3  ...........  3  3 n 12 B= 3 4 5. ======== hết ==========. UBND HUYỆN THĂNG BÌNH PHÒNG GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO Câu 1: (4 điểm) Tính: 3 3  1) A = 3  1. 1 3 . 2. . ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2010-2011 MÔN TOÁN 9 – (Thời gian 150 phút) 3 3 2  31 5 3. (1,5 điểm). 2) B = 4  2 3  4  2 3  2 20. (1,5 điểm). 3) C = 3  5  3  5  3 40. (1 điểm).

<span class='text_page_counter'>(28)</span> Câu 2: (3 điểm) Giải phương trình: 1). 4x  4  2 . 1 9x  9  4 2. (1,5 điểm). 2. 2) x  4 x  4  2 x 10 Câu 3: (1 điểm) Cho 2x2 + 2y2 = 5xy. (1,5 điểm). x y Tính D = x  y. Câu 4: (4 điểm) 1)_Tìm số dư phép chia 2 888 885100 chia cho 13 (1,5 điểm) 2) Giải phương trình nghiệm nguyên: a) xy + 2y = 3x + 11 (1,5 điểm) 3 2 b) x – x y + 3x – 2y = 5 (1 điểm) 0 Câu 5:Cho tam giác ABC có góc B = 76 và AB < AC < BC. Trên cạnh BC lấy E sao cho AB = CE. Gọi M là trung điểm AC, I là trung điểm BE. MI cắt AB tại H.Tính số đo góc BHI (3 điểm) Câu 6: Cho hai đường tròn (O; R) và (O1; R1) tiếp xúc ngoài tại A. Tiếp tuyến chung ngoài CD ( C thuộc (O); D thuộc (O1)). Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO1 (5 điểm) ======== hết=====. UBND HUYỆN THĂNG BÌNH PHÒNG GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO Câu 1: (4điểm) Thực hiện phép tính: a). ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2009-2010 MÔN TOÁN 9 – (Thời gian 150 phút). 5 5 5 5 1 2 2  6  3 5 1 5 1 21. b) 6  2 5  6  2 5  8  2 15. (1điểm) (1điểm).

<span class='text_page_counter'>(29)</span> c). 2 6 5 5 3 3   3 2 5 51 3 1 2 3  2. 3. (1điểm). 2 3. d) Câu 2: ( 3điểm) Giải phương trình: a) x  5  1  4 x  20  1. (1điểm). (1,5điểm). 2. b) x  2 x  1  2 x 8 Câu 3: (1điểm) Rút gọn biểu thức: P. (1,5điểm). 1 1 1  2  2 2 2 2 2 b  c  a c  a  b a  b2  c2 2. biết a +b + c = 0. (1điểm). Câu 4: (4điểm) a) Tìm số dư của phép chia 3444444444028 chia cho 31 (1,5điểm) b) Giải phương trình nghiệm nguyên: 3x – 2y = 11 – xy (1,5điểm) 5 5 c) Chứng minh rằng : x y – xy chia hết cho 30 ; với x ; y  Z ( 1điểm) Câu 5: (4điểm) Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ AH vuông góc với BD tại H. Gọi E; K lần lượt là trung điểm của DH và BC. Chứng minh AE  EK Câu 6: (4điểm) Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O) (A; B là hai tiếp điểm). Trên cung nhỏ AB lấy điểm N, tiếp tuyến tại điểm N của đường tròn (O) cắt MA tại E, MB tại K; đường vuông góc với MO tại O cắt tia MA tại C, tia MB tại D. Chứng minh : Tam giác CEO và tam giác DOK đồng dạng. *** HẾT***. PGD  ĐT THĂNG BÌNH SỞ GD QUẢNG NAM ĐỀ CHÍNH THỨC. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC : 2008-2009 Môn : TOÁN Thời gian : 150 phút. Câu 1: ( 4 điểm ) a) Tìm số dư phép chia (20082008 -1 ) : 7 b) Chứng minh rằng : 42n+2 -1 chia hết cho 15 (  n  N ) Câu 2: ( 5 điểm ) Tính. (2điểm) (2điểm).

<span class='text_page_counter'>(30)</span> 2 3 2  2 3. a) A = B. 5 7 2. . 2. . 2. 3 2. 2 10 5 2 7. 3.  20. (2 điểm). b) (2 điểm) c) Chứng minh rằng a, b, c là các số không âm và b là số trung bình cộng của a và c thì ta có : 1 1 2   a b b c c a. (1 điểm) Câu 3: ( 3 điểm ) a) Chứng minh rằng : nếu a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 = 3abc b) Cho a  0 ; b  0 ; c  0 ; d  0 Chứng minh rằng : E. a b c d    1 b c  d a c  d a b  d a b c. Câu 4: ( 4 điểm ) Cho tam giác ABC vuông cân tại A . Trên cạnh BC lấy điểm M . Chứng minh rằng: BM2 + CM2 =2AM2 Câu 5 :(4 điểm ) Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC của hình chữ nhật ABCD. Trên tia đối của tia DC lấy điểm P bất kì . Giao điểm của AC và đường thẳng PM là Q.   Chứng minh rằng : QNM MNP Hết.

<span class='text_page_counter'>(31)</span>