De thi thu DH 2012 Tinh Gia Thanh Hoa

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Đề Kiểm tra chất l−ợng Đại học, cao đẳng Lần 2. N¨m häc: 2011 201111- 2012 2012 M«n: To¸n – Khèi A-B Thêi gian: 180 phót (kh«ng kể thời gian ph¸t đề) ------------------------------------------------------. * PhÇn chung cho tÊt c¶ thÝ sinh (7 điểm) x−2 C©u I: (2 điểm) Cho hµm sè y = (1) x −1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( H ) của hàm số (1). b) Chøng minh r»ng ®−êng th¼ng d m : y = − x + m lu«n c¾t ( H ) t¹i hai ®iÓm A, B ph©n biÖt víi mäi m . Tìm m để các tiếp tuyến của ( H ) tại A và B tạo với nhau một góc α thỏa mãn cos α = 8. 17. .. C©u II: (2 điểm). 1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: sin 3 x + 2sin 4 x = tan x + 2 3 cos 2 x . cos x. 1 + 2 x − 2 x 2 1 + y = 4 x3 y + 7 x 2 (với x, y ∈ ℝ ). 2. Giải hệ phương tr×nh:  2 2 2 x xy + 1 + x + 1 = x y + 5 x ) ( )  ( 4. C©u III: (1 điểm) TÝnh tÝch ph©n: I = ∫. x. dx . 2 x + x + 9 0 Câu IV: (1 điểm) Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B . AB = SD = 3a , AD = SB = 4 a (víi a > 0 ). §−êng chÐo AC vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng ( SBD ) . TÝnh thÓ tÝch khèi chãp S . ABCD vµ kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®−êng th¼ng SA vµ BD . C©u V: (1 điểm) Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc d−¬ng tháa m·n x 2 + y 2 + z 2 = 1 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x y z biÓu thøc: P = + + . 2 2 ( y + z ) ( z + x ) ( x + y )2. * PhÇn riªng (3 điểm): - ThÝ sinh chỉ được lµm một trong hai phần (phÇn A hoặc phÇn B) Phần A. Theo chương tr×nh chuẩn. C©u VI.A: (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có tâm I (1;1) ; hai đ−ờng thẳng AB và CD lần l−ợt. đi qua các điểm M ( −2;2) và N ( 2; −2) . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD , biết C có tung độ âm. 2. Trong kh«ng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mÆt cÇu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y + 6 z + 5 = 0 , ®−êng th¼ng x −1 y + 1 z vµ ®iÓm M ( 0; −2;0 ) . ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ( P ) ®i qua M , song song víi d d: = = 2 1 −2 vµ tiÕp xóc víi ( S ) . C©u VII.A: (1 điểm) T×m sè phøc z tháa m·n Phần B. Theo chương tr×nh n©ng cao. C©u VI.B: (2 điểm). ( z + 1)2 + z − 1 2 − 10i = z + 3 .. 3 9 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam gi¸c ABC cã M ( −1; 2 ) , N  ;  lÇn l−ît lµ trung ®iÓm cña AB 2 2 và CA . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC , biết H ( 2;1) là trực tâm của tam giác ABC .. 2. Trong kh«ng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mÆt ph¼ng ( P ) : x − 2 y + 2 z − 1 = 0 vµ c¸c ®−êng th¼ng x −1 y − 3 z x −5 y z +5 . ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ∆ c¾t c¶ hai ®−êng th¼ng d1 : = = , d2 : = = 2 −3 2 6 4 −5 d1, d 2 ; song song víi ( P ) vµ c¸ch mÆt ph¼ng ( P ) mét kho¶ng b»ng 2. C©u VII.B: (1 điểm) T×m m« ®un cña sè phøc z , biÕt r»ng z + ( 4 − 3i ) z = 26 + 6i 2−i. www.MATHVN.com --------------------Hết-------------------- www.MATHVN.com.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> đáp án Bài kiểm tra chất l−ợng Đại học, cao đẳng – Lần 2 www.MATHVN.com - N¨m häc 2011-2012 - www.MATHVN.com. M«n thi : To¸n – Khèi A C©u. Néi dung. §iÓm. PhÇn chung cho tÊt c¶ thÝ sinh TX§: ℝ \ {1} . x −2 = −∞ , lim− y = +∞ . Tiệm cận đứng: x = 1 . x→1 x →1 x →1 x − 1 x −2 lim y = lim = 1 . TiÖm cËn ngang: y = 1 . x →±∞ x →±∞ x − 1 Ta có y ' = 1 > 0 ∀x ≠ 1 . Hàm số đồng biến trên (−∞;1) và (1; +∞) . ( x − 1)2. Ta cã lim y = lim +. 0,25. +. Hµm sè kh«ng cã cùc trÞ.. −∞. x. C©u I.1 (1 ®). y'. 1. +. y. +∞. +. +∞. 0,25. 0,25. 1 −∞. 1. 3) §å thÞ: +) §å thÞ c¾t trôc tung t¹i ®iÓm (0;2), c¾t trôc hoµnh t¹i (2;0). Đồ thị nhận giao điểm I(1;1) của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.. y 4 3 2. 0,25. 1. −2 −1 O. 1. 2. 3. 4 x. −1 −2 2 Ta cã x − 2 = − x + m ⇔  x − mx + m − 2 = 0 (2). x −1. 0,25.  x ≠ 1. Ta cã ∆ = m2 − 4m + 8 = ( m − 2 )2 + 4 > 0∀m vµ x = 1 kh«ng tháa m·n (2) nªn d m lu«n c¾t ( H ) t¹i hai ®iÓm A, B ph©n biÖt víi mäi m .. 0,25.  x −1 + x −1 = m − 2 Khi đó theo Viete ta có  x A + xB = m ⇔ ( A ) ( B ) x .x = m − 2 . A. ( x A − 1)( xB − 1) = −1. B. TiÕp tuyÕn cña ( H ) t¹i A vµ B cã hÖ sè gãc lÇn l−ît lµ k A = y ' ( x A ) = C©u I.2 (1 ®). vµ kB = y ' ( xB ) =. 1. ( xB − 1). 2. . Suy ra. k A .k B =. 1. . 2. 1. ( x A − 1)2 2. 1. 0,25.   1 =  =1  ( x A − 1)( xB − 1) . ( x A − 1) ( xB − 1)   Ta cã vect¬ ph¸p tuyÕn cña c¸c tiÕp tuyÕn lÇn l−ît lµ nA = ( k A ; −1) vµ nB = ( k B ; −1) . §Ó gãc gi÷a hai tiÕp tuyÕn lµ α tháa m·n cos α = 8 th× 17. ⇔. (. )(. ). k A2 + 1 kB2 + 1 =. 2. k A .k B + 1 k A2. + 1.. k B2. +1. =. 8 17.  x − 1 2 + x −1 2  17 17 ⇔ kA + kB = ⇔  1 + 1  = 17 ⇔ ( A ) ( B )  = 17 2 2 4 4 4  ( xA −1) ( xB −1)  4 ( xA −1)2 ( xB −1)2. 17 3 2 ( xA −1) + ( xB −1)  − 2 ( xA −1)( xB −1) 17 ⇔ [ m − 2] + 2 = ⇔ m − 2 = ± ⇔ m = 7 ∨ m = 1 ⇔ = 4 2 2 2 4 ( xA −1)2 ( xB −1)2 2. π Câu II.1 Điều kiện cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ 2 + mπ ( m ∈ℤ ) (*). Khi đó (1 ®) (1) ⇔ sin3x + 2sin4x = sin x + 2 3cos x cos2x ⇔ ( sin3x − sin x) − 2 3cos x cos2x + 2sin4x = 0. (. ). ⇔ 2cos2x sin x − 2 3cos x cos2x + 4sin2x cos2x = 0 ⇔ 2cos2x sin x − 3cos x + 2sin2x = 0. 0,25. 0,25. 0,25.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> cos 2 x = 0 ⇔ sin x − 3 cos x + 2sin 2 x = 0. www.MATHVN.com. TH1: cos 2 x = 0 ⇔ x = π + k π ( k ∈ℤ ) (tháa m·n (*)) 4. 0,25. 2. TH2: sin x − 3 cos x + 2sin 2 x = 0 ⇔ sin 2 x = 3 cos x − 1 sin x ⇔ sin 2 x = sin  π − x    2 2 3 . . π π 2π   (tháa m·n (*))  2 x = 3 − x + k 2π x = 9 + k 3 ⇔ ⇔ (k ∈ ℤ)  2 x = π − π + x + k 2π  x = 2π + k 2π  3 3  VËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1) lµ x = π + k π , x = π + k 2π , x = 2π + k 2π ( k ∈ℤ ) 4 2 9 3 3. 0,25. Tõ pt (2) ta cã x 2 ( xy + 1) + ( x − 1)2 − x ( xy + 1) = 0 ⇔ x ( xy + 1)( x − 1) + ( x − 1) = 0 2. 0,25. x = 1 ⇔ ( x − 1)  x 2 + 2 x − 1 = 0 ⇔  2  x y + 2x −1 = 0. Víi x = 1 thay vµo (1) ta ®−îc 3 − 2 1 + y = 4 y + 7 ⇔ 2 1 + y  2 1 + y + 1 = 0 ⇔ y = −1. 0,25. Do đó ( x; y ) = (1; −1) . C©u II.2 (1 ®). Víi x 2 y + 2 x − 1 = 0 ⇔ y = 1 − 22 x (Do x = 0 kh«ng tháa m·n hÖ pt) x. thay vµo (1) ta ®−îc 1 + 2 x − 2 x 2 1 + 1 − 2 x = 4 x3  1 − 2 x  + 7 x 2 2 2  x. x. ⇔ 1 + 2 x − 2 x2 ⇔. 0,25. . 2 x −1 x −1 x −1  x −1  = 4 x (1 − 2 x ) + 7 x2 ⇔ ( x −1)2 − 2x2 =0⇔ −2 =0  x x x  x . 1− x 1− x 1 x −1  x −1   = 0 hoÆc = ±2 ⇔ x ∈ 1; −1;  . − 2 = 0 ⇔  x x 3 x  x  . Do đó ( x; y ) ∈ (1; −1) ; ( −1;3) ;  1 ;3   . Vậy hệ pt có 3 nghiệm  3   4. I =∫ 0. 4. x x + x2 + 9. dx =. 1 x 9 ∫0. (. ). 4 4  1 x 2 + 9 − x dx =  ∫ x x 2 + 9dx − ∫ x 2dx  9  0 0 . 4. C©u III (1 ®).  1  ( x; y ) ∈ (1; −1) ; ( −1;3) ;  ;3    3  . TÝnh I = x x2 + 9dx . §Æt t = x2 + 9 ⇒dt = 1 ∫ 0. x x +9 2. 0,25. 0,25. (. dx . ⇒ x x2 + 9dx = x2 + 9. ). x x +9 2. dx = t 2dt. 0,25. 5. Đổi cận: Ta có x = 0 ⇒ t = 3; x = 4 ⇒ t = 5 . Do đó I = t 2 dt = 1 t 3 5 = 98 1 ∫ 3. 3. 3. 0,25. 3. 4. TÝnh I = x 2dx = 1 x3 4 = 64 . VËy I = 1 [ I − I ] = 1  98 − 64  = 34 1 2 2 ∫   0. 3. 0. 9 3. 9. 3. 3. V× AC ⊥ ( SBD ) nªn ( SBD ) ⊥ ( ABCD ) . Trong. S. mp ( SBD ) kẻ SH ⊥ BD tại H . Khi đó C©u IV (1 ®).  SH ⊥ BD ⇒   SH ⊥ AC. 0,25. 27. SH ⊥ ( ABCD ) nªn SH lµ ®−êng cao cña. 4a 3a. C. h×nh chãp S . ABCD . V× ∆ABD vu«ng t¹i A nªn BD = AB 2 + AD 2 = 5a . V× SB 2 + SD 2 = ( 4a )2 + 3a 2 = ( 5a )2 = BD 2 nªn. ( ). 5a. 0,25. 3a. H. D. A. 4a. E. ∆SBD vuông tại S . Do đó SH = SB.SD = 4a.3a = 12a . BD. B. K. F. 5. V× AC ⊥( SBD) nªn AC ⊥ BD. Gäi K = AC ∩BD. Trong ∆ABD ta cã AK = AB.AD = 12a . BD. Trong ∆ABC vu«ng t¹i B ta cã AK . AC = AB 2 ⇒ AC = AB = 15a . 2. AK. 4. 5. 0,25.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 1 1 15a 75a Suy ra diện tích đáy ABCD là S .5a = ABCD = AC .BD = . 2. 2 4. 2. www.MATHVN.com. 8. 2 3 VËy thÓ tÝch khèi chãp S . ABCD lµ VS . ABCD = 1 .S ABCD .SH = 1 . 75a .12a = 15a .. 3. 3. 8. 5. 2. * Qua A kÎ ®−êng th¼ng d song song víi BD , qua H kÎ ®−êng th¼ng song song víi AC cắt d tại E . Vì AC ⊥ BD nên hình bình hành HKAE là hình chữ nhật. Do đó AE ⊥ HE . MÆt kh¸c AE ⊥ SH nªn AE ⊥ ( SHE ) . Trong ( SHE ) kÎ HF ⊥ SE t¹i F . Suy ra. 0,25. HF ⊥ ( SAE ) và do đó d ( H , ( SAE ) ) = HF. V× BD // ( SAE ) nªn d( BD, SA) = d( BD,(SAE)) = d( H,(SAE)) = HF . Trong ∆SHE vu«ng t¹i H 0,25. 2 ta cã 1 = 1 + 1 = 1 + 1 = 2 5  ⇒ HF = 6a 2 . VËy d ( H ,( SAE ) ) = 6a 2   2 2 2 2 2 5 12a 5. HF. SH. HE. SH. . AK. . (. )(. ) (. Theo bất đẳng thức Bunhiacopxky ta có ( y + z )2 ≤ 12 + 12 y 2 + z 2 = 2 1 − x 2 (Đẳng thức xảy ra khi y = z ). Do đó. x. ( y + z). 2. ≥. (. x. 2 1− x. 2. ). 0,25. (1). ). Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số d−ơng 2 x 2 , 1 − x 2 , 1 − x 2 ta đ−ợc. (. ) (. ). 2 2 2 2 2x + 1 − x + 1 − x = ≥ 3 2 x 2 1 − x2 3 3. C©u V (1 ®). (. ). 2. (. ). ⇔ x 1 − x2 ≤. (§¼ng thøc x¶y ra khi 2 x 2 = 1 − x 2 ⇔ x = 3 ). 3 x 3 3 2 Tõ (1) ,(2) suy ra T−¬ng tù ≥ x (3). ( y + z). 2. Tõ (3), (4), (5) suy ra P =. 4. x. ( y + z). 2. +. y. ( z + x). 2. +. 2 3 3. ⇔. y. ( z + x) z. ( x + y). 2. 2. ≥. 1. (. x 1− x. ≥. 2. ). ≥. 3 3 x 3 3 2 ⇔ ≥ x 2 2 4 2 1− x. (. 3 3 2 vµ y (4) 4. (. ). z. ( x + y). 2. ≥. (2). 3 3 2 z (5) 4. ). 3 3 2 3 3 x + y2 + z2 = 4 4. 0,25. 0,25. 0,25. §¼ng thøc x¶y ra khi x = y = z = 3 . VËy min P = 3 3 khi x = y = z = 3 . 4 3 3 PhÇn A. Theo ch−¬ng tr×nh chuÈn Gọi M ' đối xứng với M qua I . Ta có M ' ( 4;0 ) thuộc đt. A. B. x = 4+t CD . §t CD ®i qua N , M ' nªn nã cã pt lµ  .. 0,25. Gäi H lµ h×nh chiÕu cña I trªn CD, suy ra H ( 4 + h; h ) ,  IH = ( h + 3; h − 1) . V× IH ⊥ CD nªn   IH .NM ' = 0 ⇔ h = −1 . VËy H ( 3; −1) vµ IH = 2 2 .. 0,25. V× C thuéc CD nªn C ( 4 + c; c ) . Tõ HC = IH = 2 2 suy ra c = 1 ( lo¹i ) vµ c = −3 (tm). 0,25. Víi c = −3 suy ra C (1; −3) , D ( 5;1) , A (1;5 ) , B ( −3;1)  d ®i qua A(1; −1;0) vµ cã vt chØ ph−¬ng u = ( 2;1; −2) . ( S ) cã t©m I (1;2; −3) vµ b¸n kÝnh R = 3 .  Gäi vect¬ ph¸p tuyÕn cña ( P ) lµ n = ( a; b; c ) víi a 2 + b 2 + c 2 ≠ 0  V× ( P ) // d nªn n.u = 0 ⇔ 2a + b − 2c = 0 ⇔ b = 2c − 2a (*). 0,25. y = t. I. C©u VI.A.1 (1 ®). C©u VI.A.2 (1 ®). M. M'. D. H. N. C. 0,25. V× ( P ) ®i qua M ( 0; −2;0 ) nªn ph−¬ng tr×nh cña ( P ) lµ ax + b ( y + 2 ) + cz = 0 V× ( P ) tiÕp xóc víi ( S ) nªn d ( I ; ( P ) ) = R ⇔ a + 4b − 3c = 3 (**) a +b +c 2. 2. 0,25. 2.  a − 2c = 0 .  2a + 5c = 0. Thay (*) vµo (**) ta ®−îc 4a 2 + 2ac − 20c 2 = 0 ⇔ 2 ( a − 2c )( 2a + 5c ) = 0 ⇔  TH1: a − 2c = 0 vµ b = 2 ( c − a ) ta chän c = 1 suy ra a = 2, b = −2 .. 0,25.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Pt cña ( P ) lµ 2 x − 2 y + z − 4 = 0 . V× ( P ) ®i qua A nªn d ⊂ ( P ) (kh«ng tháa m·n). TH2: 2a + 5c = 0 vµ b = 2 ( c − a ) ta chän a = 5; c = −2 suy ra b = −14 .. Pt cña ( P ) lµ 5 x − 14 y − 2 z − 28 = 0 . V× A ∉ ( P ) nªn d // ( P ) (tháa m·n). 0,25. VËy ph−¬ng tr×nh cña ( P ) lµ 5 x − 14 y − 2 z − 28 = 0 . Gäi z = a + bi. ( a, b ∈ ℝ ) .. Ta cã ( z + 1)2 + z − 1 2 + 10i = z + 3. 0,25. ⇔ ( a + 1) + 2 ( a + 1) bi − b2 + ( a − 1) + b2 + 10i = a − bi + 3 2. VII.A (1 ®). 2. (. ). ⇔ 2a 2 − a − 1 + ( 2ab + 3b + 10 ) i = 0. 0,25.  2a 2 − a − 1 = 0 ⇔  2ab + 3b + 10 = 0. www.MATHVN.com.  1  1 ⇔ ( a; b ) = (1, − 2 ) hoÆc ( a; b ) =  − , − 5  . VËy z = 1 − 2i hoÆc z = − − 5i . 2 2  . A N. M. C©u VI.B.1 (1 ®). H. PhÇn B. Theo ch−¬ng tr×nh n©ng cao   5 5 Ta cã MN =  ;  , suy ra vect¬ chØ ph−¬ng cña AH lµ u = (1; −1) . 2 2 x = 2 + t . Pt tham sè cña AH lµ   y = 1− t. V× A ∈ AH nªn A ( 2 + a;1 − a ) . Suy ra B ( −4 − a;3 + a ) ,   C (1 − a;8 + a ) . HB = ( −6 − a; 2 + a ) , AC = ( −1 − 2a;7 + 2a ) .   V× BH ⊥ AC nªn HB. AC = 0 ⇔ ( −6 − a )( −1 − 2a ) + ( 2 + a )( 7 + 2a ) = 0 B. C. ⇔ a 2 + 6a + 5 = 0 ⇔ a = −1 hoÆc a = −5 Víi a = −1 ta ®−îc A(1;2) , B ( −3;2) , C ( 2;7) . Víi a = −5 ta ®−îc A( −3;6) , B (1; −2) , C ( 6;3) .  Mp(P) cã vect¬ ph¸p tuyÕn n = (1; −2; 2 ) . Gäi giao ®iÓm cña ∆ víi d1 , d 2 lÇn l−ît lµ A vµ B. . C©u VI.B.2 (1 ®). Ta cã A(1+ 2a;3 − 3a;2a) , B ( 5 + 6b;4b; −5 − 5b) . ⇒ AB = ( 4 − 2a + 6b; −3 + 3a + 4b; −5 − 2a − 5b ) .   V× ∆ // ( P ) nªn AB.n = 0 ⇔ a + b = 0 (1) V× 2 = d ( ∆;( P) ) = d ( A;( P) ) nªn −6 + 12a = 2 ⇔ 2a − 1 = 1 ⇔  a = 0 3 a = 1  Víi a = 0 ta ®−îc b = 0 ⇒ AB = ( 4; −3; −5 ) . Pt ∆ lµ: x − 1 = y − 3 = z 4 −3 −5  x − 3 y z − 2 Víi a = 1 th× b = −1 ⇒ AB = ( −4; −4; −2 ) . Pt ∆ lµ: . = = Gäi z = a +bi ( a,b∈ℝ) . Ta cã. C©u VII.B (1 ®). 2. z + ( 4 − 3i) z = 26 + 6i 2 −i. 2. 0,25 0,25. 0,25. 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25. 0,25. 1. ⇔( 2 +i)( a +bi) + 5( 4 −3i)( a −bi) = 5( 26 + 6i). 0,25. ⇔ ( 22a −16b) + ( −14a −18b) i = 130 + 30i. 0,25.  22a − 16b = 130 a = 3 . ⇔ ⇔  −14a − 18b = 30 b = −4. 0,25. VËy z = 3 − 4i ⇒ z = 5. 0,25. Chú ý: Nếu thí sinh giải cách khác, đúng thì vẫn cho điểm tối đa ! TÜnh Gia, ngµy 28 th¸ng 02 n¨m 2012 Lª Thanh B×nh www.MATHVN.com.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>