Tài liệu Môn học điều khiển bền vững-(phần 2) pptx

Chương 3 : Điều khiển bền vững
Hình 3.15: Biểu đồ Bode Biên Độ hệ thống SISO
Mặc khác, hình 3.14 là các giá trị trị suy biến của hệ đa biến. Chú ý rằng,
theo đồ thị này không thể dễ dàng bằng trực quan tức thời nhận thấy cách
liên kết hệ SISO .Những đường bao bảo đảm sự bền vững đựơc đưa ra trong
hệ thống hệ MIMO dưới dạng giá trị trị suy biến cực tiểu là lớn tại tần số
thấp ( cho chất lượng bền vững) và giá trị trị suy biến cực đại là nhỏ tại tần
số cao (cho ổn định bền vững )..
Hình 3.16:Các giá trị trị suy biến của hệ thống
3.3.2 Hàm nhạy và hàm bù nhạy
Trang 174
Chương 3 : Điều khiển bền vững
Khảo sát đặc tính của hệ thống hồi tiếp điển hình, từ đó đưa ra ý tưởng thiết
kế thỏa hiệp giữa mục tiêu chất lượng và điều khiển bền vững nhằm thỏa mãn
các yêu cầu thiết kế.
Xét hệ thống hồi tiếp âm như hình 3.17, trong đó
i
d
là nhiễu đầu vào, d là
nhiễu đầu ra, n là nhiễu đo.
Hình 3.17: Sơ đồ hệ thống hồi tiếp âm
Lưu ý: Để liên hệ với phần lý thuyết điều khiển kinh điển, trong mục này ta
phân tích sơ đồ điều khiển hồi tiếp âm, với bộ điều khiển là
K
ˆ
(
K
ˆ
= -K ở
mô hình hồi tiếp dương)
Các quan hệ truyền đạt của hệ thống vòng kín được thể hiện qua các biểu

thức sau:
y =
d
KG
d
KG
G
n
KG
KG
r
KG
KG
i
ˆ
1
1
ˆ
1
ˆ
1
ˆ
ˆ
1
ˆ
+
+
+
+
+

−
+
u =
d
KG
K
d
KG
KG
n
KG
K
r
KG
K
i
ˆ
1
ˆ
ˆ
1
ˆ
ˆ
1
ˆ
ˆ
1
ˆ
+
−

+
−
+
−
+
G
u
=
d
KG
K
d
KG
n
KG
K
r
KG
K
i
ˆ
1
ˆ
ˆ
1
1
ˆ
1
ˆ
ˆ

1
ˆ
+
−
+
+
+
−
+
e =
d
KG
d
KG
G
n
KG
r
KG
i
ˆ
1
1
ˆ
1
ˆ
1
1
ˆ
1

1
+
−
+
−
+
−
+
Định nghĩa các hàm nhạy, hàm bù nhạy và độ lợi vòng như sau:
Trang 175
n
y
G
u
ue
r
-
+ +
+
G
d
i
d
Chương 3 : Điều khiển bền vững
- Hàm nhạy :
KG
S
ˆ
1
1

+
=
- Hàm bù nhạy :
KG
KG
T
ˆ
1
ˆ
+
=
- Độ lợi vòng:
KGL
ˆ
=
Các đẳng thức trên được viết gọn lại:

SdGSdTnTry
i
++−=
(3.156)

SdKTdSnKSrKu
i
ˆˆˆ
−−−=
(3.157)

ˆ ˆ ˆ
G i

u KSr KSn Sd KSd= − + −
(3.158)

SdGSdSnSre
i
−−−=
(3.159)
Từ (3.156) – (3.159), ta có thể rút ra các mục tiêu chất lượng của hệ thống
vòng kín.Từ phương trình (3.156) ta thấy rằng:
- Để giảm ảnh hưởng của nhiễu đầu ra d lên đầu ra y, hàm nhạy S cần phải
nhỏ.
- Để giảm ảnh hưởng của nhiễu đo n lên đầu ra y, hàm bù nhạy T cần phải
nhỏ. Tương tự, từ phương trình (3.158), để làm giảm ảnh hưởng của nhiễu
đầu vào d
i
, hàm nhạy S cần phải nhỏ.
Nhưng từ định nghĩa ,hàm nhạy và hàm bù nhạy có quan hệ ràng buộc như
sau:
S + T = 1 (3.160)
Do đó, S và T không thể đồng thời nhỏ. Để giải quyết mâu thuẫn này, người
ta dựa vào đặc tính tần số của các tín hiệu nhiễu. Nhiễu tải d, d
i
tập trung
chủ yếu ở vùng tần số thấp, còn nhiễu đo n tập trung chủ yếu ở vùng tần số
cao.
Như vậy, để hệ ít bị ảnh hưởng bởi d, thì
S
và
GS
cần phải nhỏ trong

vùng tần số mà d tập trung, cụ thể là vùng tần số thấp. Tương tự, điều kiện
để hệ ít nhạy đối với nhiễu d
i
là |S| và
|
ˆ
| SK
nhỏ trong vùng tần số mà d
i
tập
trung, cụ thể là vùng tần số thấp.
Trang 176
Chương 3 : Điều khiển bền vững
Ta có:

1|
ˆ
||
ˆ
1|1|
ˆ
|
+≤+≤−
KGKGKG
Suy ra:
1|
ˆ
|
1
ˆ

1
1
1|
ˆ
|
1
−
≤
+
≤
+
KGKGKG
, nếu |
KG
ˆ
|>1
hay:
1
1
1
1
−
≤≤
+
L
S
L
,nếu
L
>1

Từ đó, ta thấy:
S
<<1
⇔
L
>>1
Hơn nữa, nếu
L
>> 1, thì:
GS
|
ˆ
|
1
ˆ
1 KKG
G
≈
+
=
|
ˆ
| SK
G
KG
K 1
ˆ
1
ˆ
≈

+
=
Như vậy, đối với đầu ra y:
- Để giảm thiểu ảnh hưởng của d, độ lợi vòng L phải lớn (nghĩa là |L|>> 1)
trong vùng tần số mà d tập trung;
- Để giảm thiểu ảnh hưởng của d
i
, biên độ bộ điều khiển phải đủ lớn
K
ˆ
1
>>

trong vùng tần số mà d
i
tập trung.
Tương tự, đối với đầu vào (u
G
)

- Để giảm thiểu ảnh hưởng của d
i
, L phải lớn (nghĩa là |L|>> 1) trong vùng
tần số mà d
i
tập trung.
- Để giảm thiểu ảnh hưởng của d, biên độ đối tượng (không thay đổi được
trong thiết kế điều khiển) phải đủ lớn (|G|>> 1) trong vùng tần số mà d tập
trung.
Tóm lại, một trong những mục tiêu thiết kế là độ lợi vòng (và cả độ lợi của

bộ điều khiển, nếu được) phải lớn trong vùng tần số mà d và d
i
tập trung, cụ
thể là vùng tần số thấp.
Trang 177
Chương 3 : Điều khiển bền vững
Sau đây, ta xét ảnh hưởng của sai lệch mô hình lên hệ thống hồi tiếp. Giả sử
mô hình đối tượng có sai số nhân là (I +
∆
)G, với
∆
ổn định, và hệ thống
kín ổn định danh định (ổn định khi
∆
=0). Hệ thống kín có sai số mô hình sẽ
ổn định nếu:
det
( )
KG
ˆ
1(1
∆++
)=det

















+
∆
++
KG
KG
KG
ˆ
1
ˆ
1)
ˆ
1(
=det(1+
KG
ˆ
)det(1+
)T
∆
không có nghiệm ở nửa phải mặt phẳng phức. Ta thấy rằng, điều này sẽ được
thỏa nếu như
T

∆
đủ nhỏ, hay |T| phải nhỏ ở vùng tần số mà
∆
tập
trung, cụ thể là vùng tần số cao.
Để ý rằng, nếu |L| rất lớn thì |T|
≈
1 và |S|
≈
0. Do đó, từ (3.156) ta thấy nếu
như
( )L j
ω
lớn ở trong một dải tần số rộng, thì nhiễu đo n cũng sẽ truyền
qua hệ thống trong vùng tần số đó, nghĩa là:
y=
SdGSdTnTr
i
++−

≈
(r - n)
vì rằng nhiễu đo n tập trung chủ yếu ở vùng tần số cao. Hơn nữa, nếu độ lợi
vòng lớn ở ngoài vùng băng thông của G, nghĩa là
( )L j
ω
>>1 trong khi
( )G j
ω
<<1, thì có thể làm cho tín hiệu điều khiển quá lớn, gây bão hòa ở cơ

cấu chấp hành. Điều này có thể được lý giải từ (3.157) như sau:
u=
≈−−−
i
TddnrSK )(
ˆ

i
ddnr
G
−−−
)(
||
1

Phương trình trên cho thấy nhiễu tải và nhiễu đo sẽ được khuyếch đại lên khi
mà vùng tần số mà nó tập trung vượt ra ngoài phạm vi băng thông của G, vì
đối với dải tần số mà
( )G j
ω
<<1 thì
( )
ω
jG
1
>>1.
Tương tự, biên độ của bộ điều khiển, |
K
ˆ
|, không được quá lớn trong vùng

tần số mà độ lợi vòng nhỏ nhằm tránh làm bão hòa cơ cấu chấp hành. Vì lẽ
khi độ lợi vòng nhỏ (
( )L j
ω
<<1), thì
u=
ii
dTdnrSK
−−−
)(
ˆ
=
ˆ
( )K r n d− −
Do đó, một điều cần lưu ý khi thiết kế là |
K
ˆ
| không được lớn quá khi độ lợi
vòng nhỏ.
Trang 178
Chương 3 : Điều khiển bền vững
Từ những điều trình bày ở trên, ta tổng kết lại các ý tưởng thiết kế sau đây:
- Để đảm bảo mục tiêu chất lượng trong một vùng tần số nào đó, cụ thể là
vùng tần số thấp (0,
l
ω
), hệ thống cần phải có:

1|
ˆ

|
>>
KG
,
|
ˆ
| K
>>1
- Để đảm bảo tính bền vững và có khả năng triệt nhiễu đo tốt trong một vùng
tần số nào đó, cụ thể là vùng tần số cao (
∞
,
h
ω
),hệ thống cần phải có :

1|
ˆ
|
<<
KG
,
≤
|
ˆ
| K
M
trong đó M có trị số không quá lớn.
Những ý tưởng thiết kế này được minh họa trong hình 3.18. Những tần số
hl

ωω
,
được xác định tùy thuộc vào từng ứng dụng cụ thể, và những thông
tin về đặc tính của nhiễu tải, nhiễu đo, sai lệch mô hình.
Hình 3.18: Độ lợi vòng và các ràng buộc tần số thấp và tần số cao.
Những điều phân tích trên đây là cơ sở cho một kỹ thuật thiết kế điều khiển:
đó là nắn dạng vòng (loop shaping). Mục tiêu nắn dạng vòng là tìm ra một
bộ điều khiển sao cho độ lợi vòng |L| tránh được các vùng giới hạn (xem hình
3.18) chỉ định bởi các điều kiện về chất lượng và bền vững.
3.3.3 Thiết kế bền vững H
∞

Trang 179
l
ω
h
ω
c
ω

log
Chương 3 : Điều khiển bền vững
3.3.3.1 Mô tả không gian H
∞
và RH
∞
Không gian vector Hardy có chuẩn vô cùng, ký hiệu là H
∞
, là không gian các
hàm phức G(s) của biến phức s (s ∈C) mà trong nửa hở mặt phẳng phức bên

phải (miền có phần thực của biến s lớn hơn 0) thỏa mãn:
- là hàm giải tích (phân tích được thành chuỗi lũy thừa), và
- bị chặn, tức tồn tại giá trị M dương nào đó để
( )s M≤G
có phần thực
dương.
Tập con đặc biệt của H
∞
mà trong điều khiển bền vững rất được quan tâm là
tập hợp gồm các hàm G(s) thực - hữu tỷ (real-rational) thuộc H
∞
, tức là các
hàm hữu tỷ phức G(s)∈ H
∞
với các hệ số là những số thực dạng

0 1
1
( )
1
m
m
n
n
b b s b s
s
a s a s
+ + +
=
+ + +

G
L
L
trong đó a
i
,b
j
∈ R, ký hiệu là RH
∞
.
Trong lý thuyết hàm phức, người ta chỉ ra được rằng: một hàm thực – hữu tỷ
G(s) bất kỳ sẽ thuộc RH
∞
khi và chỉ khi
-
lim ( )
s
s
→∞
< ∞G
, hay
( )∞G
bị chặn (khi m≤n),được gọi là hàm hợp thức và
- G(s) không có cực trên nửa kín mặt phẳng phức bên phải. Nói cách khác
G(s) không có điểm cực với Re(s) ≥ 0.Một hàm G(s) có tính chất như vậy gọi
là hàm bền.
Nếu hàm truyền hợp thức G(s) không những ở nửa hở bên phải mặt phẳng
phức bị chặn khi s
∞→
mà còn thỏa mãn (khi m<n)

0|)(|lim
=
∞→
sG
s
Chuẩn H
∞
của một hệ thống SISO G(s) ∈ RH
∞
được định nghĩa như sau:

{ }
sup ( )G j
ω
ω
∞
= G
(3.161)
Như vậy, chuẩn vô cùng
G
∞
chính là khoảng cách lớn nhất từ tâm tọa độ
mặt phẳng phức tới một điểm trên đường đặc tính tần biên – pha của G(j
ω
).
Trang 180
Chương 3 : Điều khiển bền vững
3.3.3.2 Sai số mô hình phân tích coprime
Phần này trình bày một số kết quả về phân tích coprime bên trái LCF (Left
Coprime Factorization). Ta cũng có thể suy ra kết quả tương tự đối với phân

tích coprime bên phải nhờ vào tính đối ngẫu.
Định nghĩa 1:
Các ma trận hàm truyền đạt
N
%
,
M
%
∈ RH
∞
tạo thành một phân tích coprime
bên trái của G nếu và chỉ nếu:
a.
M
%
vuông, và
det( ) 0≠M
%
(3.162)
b.
1−
=G M N
% %
(3.163)
c.∃ V, U ∈ RH
∞
sao cho:
+ =MV NU I
% %
(3.164)

Định nghĩa 2:
Nếu
N
%
,
M
%
là phân tích coprime bên trái của G đồng thời thỏa:

∗ ∗
+ =NN MM I
% %
(3.165)
thì được gọi là phân tích coprime bên trái chuẩn.
Một đối tượng G có thể có vô số phân tích coprime bên trái, nhưng chỉ có
một phân tích coprime bên trái chuẩn
Xác định phân tích coprime bên trái chuẩn
Phân tích coprime bên trái chuẩn có thể được xác định từ mô hình trạng thái
của G và nghiệm của phương trình Riccati. Giả sử A, B, C, D là mô hình
trạng thái của G, ký hiệu là:






=
DC
BA
G

(3.166)
trong đó:
1
( ) ( )s sI
−
= − +G C A B D
. Để xác định phân tích coprime bên trái,
trước tiên ta cần phải tìm nghiệm của phương trình Riccati sau:
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) 0
∗ − ∗ − ∗ ∗ − ∗ − ∗
− + − − + − =A BD R C Z Z A BD R C ZC S CZ B I D R D B
(3.167)
trong đó
*
DDIR
+≡
. Phương trình này có tên là Phương trình Riccati lọc
tổng quát (GFARE – Generalized Filter Algebraic Riccati Equation). Sau đó
áp dụng định lí 3.3 để tính
N
%
,
M
%
.
Trang 181
Chương 3 : Điều khiển bền vững
Định lý 3.3:
Cho

 
=
 
 
A B
G
C D
. Phân tích coprime bên trái chuẩn của G được xác định
như sau:
1 2 1 2− −
+ +
 
=
 
 
A HC B HD
N
R C R D
%
;
1 2 1 2− −
+
 
=
 
 
A HC H
M
R C R
%

(3.168)
trong đó Z là nghiệm xác định dương duy nhất của GFARE,
∗
= +R I DD
,
và
1
( )
∗ ∗ −
= − +H ZC BD R
.
Sai số mô hình phân tích coprime bên trái
Sau đây, ta định nghĩa sai số mô hình phân tích coprime bên trái. Giả sử G là
mô hình đối tượng, (
N
%
,
M
%
) là một phân tích coprime bên trái của G. Hệ có
sai số mô hình phân tích coprime bên trái chuẩn được định nghĩa như sau:
1
( ) ( )
M N
−
∆
= + ∆ + ∆G M N
% %
(3.169)
trong đó ∆

N
, ∆
M
∈ RH
∞
là các hàm truyền chưa biết thể hiện phần sai số trong
mô hình danh định. Họ mô hình có sai số là một tập
ε
G
định nghĩa như sau:
[ ]
{ }
1
( ) ( ) : ,
M N M N
ε
ε
−
∞
= + ∆ + ∆ ∆ ∆ <M N
% %
G
(3.170)
Hình 3.19: Biểu diễn sai số mô hình phân tích coprime bên trái
Mục tiêu của điều khiển bền vững là tìm bộ điều khiển K ổn định hóa không
chỉ mô hình danh định G, mà cả họ mô hình
ε
G
.
Trang 182

N
%
∆
N
+
-
1
−
M
%
+
∆
M
+
+
Chương 3 : Điều khiển bền vững
Ưu điểm của cách biểu diễn sai số mô hình trên đây so với biểu diễn sai số
cộng và sai số nhân là số cực không ổn định có thể thay đổi do tác động của
sai số mô hình
3.3.3.3 Bài toán ổn định bền vững H
∞
:
Xét hệ hồi tiếp hình 3.20
Hình 3.20: Sơ đồ phân tích ổn định bền vững với mô hình có sai số LCF
Định lý 3.4:
1−
=G M N
% %
là mô hình danh định;
1

( ) ( )
M N
−
∆
= + ∆ + ∆G M N
% %
là mô hình có
sai số; (
M
%
,
N
%
) là phân tích coprime bên trái của G;
M
%
,
N
%
,
M
∆
,
N
∆
∈
RH
∞
. Hệ ổn định bền vững với mọi
[ ]

M N
∆ ∆Δ @
thỏa
[ ]
1
M N
γ
∞
∆ ∆ <
nếu và chỉ nếu:
a.Hệ (G, K) ổn định nội, và
b.
1 1
( )
γ
− −
∞
 
− ≤
 
 
K
I GK M
I
%
(3.171)
Định lý 3.4 có thể phát biểu một cách tương đương dưới dạng một bài toán
tối ưu như sau:
Định lý 3.5:
Trang 183

N
%
K
w
u
y
d
+
+
+
1
−
M
%
N
∆
M
∆
+
+
+
Chương 3 : Điều khiển bền vững
Đối tượng
1
( ) ( )
M N
−
∆
= + ∆ + ∆G M N
% %

, với
[ ]
1
M N
γ
∞
∆ ∆ <
, ổn định
hóa bền vững được nếu và chỉ nếu:
1 1
inf ( )
γ
− −
∞
 
− ≤
 
 
K
K
I GK M
I
%
(3.172)
trong đó infimum được thực hiện trong tất cả các bộ điều khiển K ổn định
hóa G.
Bài toán ổn định bền vững
Cho trước giá trị γ, tìm bộ điều khiển K (nếu tồn tại) ổn định hóa đối tượng
danh định G, và thỏa:
1 1

( )
γ
− −
∞
 
− ≤
 
 
K
I GK M
I
%
(3.173)
trong đó (
N
%
,
M
%
) là phân tích coprime bên trái của G. Và theo định lý 3.4,
nếu tìm được bộ điều khiển K, thì K sẽ ổn định hóa đối tượng có sai số G
∆
,
với
[ ]
1
M N
γ
∞
∆ = ∆ ∆ <

.
Nếu phát biểu dưới dạng một bài toán tối ưu H
∞
(đối với hệ thống hình 3.20)
thì ta có bài toán tối ưu H
∞
như sau:
Bài toán tối ưu H
∞
Tìm bộ điều khiển K (nếu tồn tại) ổn định hóa đối tượng danh định G và cực
tiểu hóa chuẩn H
∞
sau đây:
1 1
( )
− −
∞
 
−
 
 
K
I GK M
I
%
(3.174)
trong đó (
N
%
,

M
%
) là phân tích coprime bên trái của G.
Bài toán tối ưu H
∞
phức tạp ở chỗ phải thực hiện cực tiểu hóa chuẩn (3.174)
trong điều kiện tồn tại bộ điều khiển K ổn định hóa hệ thống. Để giải quyết
vấn đề này, thông thường người ta giải bài toán ổn định bền vững với một giá
trị γ cho trước, rồi sau đó thực hiện quá trình lặp γ để tìm giá trị γ
min
.
Glover và McFarlane đã sử dụng bài toán mở rộng Nehari (Nehari extension
problem), và dạng phân tích coprime chuẩn của mô hình đối tượng để tìm ra
Trang 184
Chương 3 : Điều khiển bền vững
lời giải không gian trạng thái cho bài toán tối ưu H
∞
mà không cần phải thực
hiện quá trình lặp γ để tìm γ
min
. Hơn nữa, từ cách tiếp cận này, tác giả có thể
tính được độ dự trữ ổn định cực đại ε
max
( =
min
1
γ
) một cách chính xác.
Phần sau đây chỉ trình bày một số kết quả chính mà Glover và McFarlane đã
thực hiện.

Định lý 3.6: Bộ điều khiển K ổn định hóa hệ thống và thỏa
1 1
( )
γ
− −
∞
 
− ≤
 
 
K
I GK M
I
%
(3.175)
nếu và chỉ nếu K có một phân tích coprime bên phải:
1−
=K UV
với U, V ∈
RH
∞
thỏa
( )
1 2
2
1
γ
∗
−
∗

∞
 
−
 
+ ≤ −
 
 
 
 
U
N
V
M
%
%
(3.176)
Định lý 3.7:
a. Lời giải tối ưu của bài toán ổn định bền vững đối với mô hình phân tích
coprime bên trái chuẩn cho kết quả:
{ }
1 2
2
1 1
inf ( ) 1
H
−
− −
∞
 
 

− = −
 
 
 
K
K
I GK M N M
I
% % %
(3.177)
trong đó infimum được thực hiện trong tất cả các bộ điều khiển ổn định hóa
hệ thống.
b. Độ dự trữ ổn định cực đại là
{ }
1 2
2
max
1 0
H
ε
−
 
= − >
 
N M
% %
(3.178)
c. Các bộ điều khiển tối ưu đều có dạng:
1−
=K UV

, với U, V ∈ RH
∞
thỏa
H
∗
∗
∞
 
−
 
 
+ =
 
 
 
 
 
U
N
N M
V
M
%
% %
%
(3.179)
Các định lý trên cho ta những nhận xét sau:
Trang 185
Chương 3 : Điều khiển bền vững
- Độ dự trữ ổn định cực đại có thể được tính trực tiếp từ công thức (3.178)

- Việc xác định bộ điều khiển tối ưu H
∞
có thể được thực hiện thông qua bài
toán mở rộng Nehari (Nehari extension).
Bài toán tối ưu con
Độ dự trữ ổn định cực đại cho ta một cận dưới của
γ
, đó là
γ
min
= 1/
ε
max
. Việc
giải bài toán tối ưu H
∞
với
γ
>
γ
min
cho kết quả là một tập các bộ điều khiển ổn
định hóa K sao cho
1 1
( )
γ
− −
∞
 
− ≤

 
 
K
I GK M
I
%
(3.180)
Đây chính là bài toán tối ưu con (suboptimal problem). Lời giải dạng không
gian trạng thái của bài toán này được xác định theo các bước như sau :
Bước 1: Giải hai phương trình Riccati GCARE và GFARE.
Phương trình GCARE (Generalized Control Algebraic Riccati Equation)
có dạng:
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) 0
− ∗ ∗ − ∗ − ∗ ∗ − ∗
− + − − + − =A BS D C X X A BS D C XBS B X C I DS D C
(3.181)
trong đó:
DDIS
∗
+=
.
Phương trình GFARE là phương trình trình bày ở trên.
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) 0
∗ − ∗ − ∗ ∗ − ∗ − ∗
− + − − + − =A BD R C Z Z A BD R C ZC S CZ B I D R D B
trong đó
∗
+=

DDIR
.
Bước 2: Tính giá trị γ nhỏ nhất có thể đạt được.
1 2
min max
(1 ( ))
γ λ
= + ZX
trong đó
( )
max
λ
•
là trị riêng lớn nhất, X và Z lần lượt là nghiệm của GCARE
và GFARE.
Bước 3: Chọn
min
γ γ
>
. Thông thường, chọn γ lớn hơn γ
min
một chút; chẳng
hạn,
min
1.05
γ γ
=
.
Bước 4: Bộ điều khiển trung tâm có biểu diễn trạng thái được xác định như
sau

Trang 186
Chương 3 : Điều khiển bền vững
2 1 2 1
1 1
0
( )
γ γ
∗− ∗ ∗− ∗
∗ ∗
 
+ + +
=
 
−
 
 
A BF W ZC C DF W ZC
K
B X D
(3.182)
trong đó X và Z là lần lượt là nghiệm của các phương trình GCARE và
GFARE,
1
( )
− ∗ ∗
= − +F S D C B X
, và
2
1
( )

γ
= + −W I XZ I
.
Công thức tính
min
γ
ở bước 2 được dẫn ra từ công thức (3.177) trong định lý
3.7. Nếu (
N
%
,
M
%
) coprime bên trái chuẩn thì
H
 
 
N M
% %
có thể được xác
định từ nghiệm của hai phương trình Riccati GCARE và GFARE như sau:
( )
2
1
max
( )
H
λ
−
 

= +
 
N M XZ I ZX
% %
(3.183)
Từ đó ta suy ra giá trị
γ
min
:
1 1 2
min max max
(1 ( ))
γ ε λ
−
= = + ZX
Đây chính là công thức tính
min
γ
ở bước 2.
Ta thấy rằng đối với bài toán ổn định bền vững cho mô hình phân tích
coprime bên trái chuẩn, ta chỉ cần tìm nghiệm của các phương trình GFARE
và GCARE là đủ để tính được giá trị
min
γ
mà không cần phải thực hiện thủ
tục lặp
γ
.
Trong bước 3, ta chọn
min

γ γ
>
nhằm để bảo đảm sự tồn tại của bộ điều khiển
có khả năng ổn định hóa hệ thống.
Trong trường hợp bài toán tối ưu,
min
γ γ
=
, thì ma trận W
1
trong (3.182) suy
biến. Và do đó, (3.182) sẽ không áp dụng được. Tuy nhiên nếu ta chọn
γ
gần
min
γ
(ví dụ
min
1.05
γ γ
=
) thì kết quả bài toán tối ưu con và bài toán tối ưu sẽ
khác nhau không đáng kể.
3.3.4 Nắn dạng vòng H
∞

3.3.4.1 Thủ tục thiết kế nắn dạng vòng
∞
H
:

(LSDP – Loop Shaping Design Procedure)
Trang 187
Chương 3 : Điều khiển bền vững
Nắn dạng vòng
∞
H
(
∞
H
loop shaping) là một kỹ thuật thiết kế do
McFarlane và Glover đề xuất năm 1988. Kỹ thuật thiết kế này kết hợp ý
tưởng nắn dạng vòng (phần hàm nhạy và hàm bù nhạy) và bài toán ổn
định bền vững
∞
H
. Nắn dạng vòng thực hiện sự thỏa hiệp giữa mục
tiêu chất lượng và mục tiêu ổn định bền vững, trong khi bài toán tối ưu
∞
H
đảm bảo tính ổn định nội cho hệ vòng kín.
Kỹ thuật thiết kế gồm hai phần chính:
a. Nắn dạng vòng: chỉ định dạng hàm truyền hở của đối tượng danh định.
b. Ổn định bền vững
∞
H
: giải bài toán ổn định bền vững
∞
H
dạng phân
tích coprime cho đối tượng đã được nắn dạng ở trên.

Thủ tục thiết kế nắn dạng vòng (LSDP)
Giả sử mô hình danh định của đối tượng G, bộ điều khiển cần tìm là K
Bước 1: Chọn các hàm nắn dạng W
1
,W
2
. Tính G
s
: G
s
= W
2
GW
1.
(Lưu ý là chọn W
1
,W
2
sao cho

G
S
không chứa các chế độ ẩn (zero – cực
không ổn định khử nhau))
Bước 2: Tìm nghiệm X
s
,Z
s
của GCARE và GFARE ứng với G
S

.
Tính
( )( )
2/1
maxmin
1
SS
XZ
λγ
+=
, trong đó
max
λ
(.) là trị riêng lớn nhất
Nếu
min
γ
quá lớn thì trở về bước 1. (Thông thường 1<
min
γ
<5 thì chấp nhận
được)
Bước 3: Chọn
γ
>
min
γ
, tổng hợp bộ điều khiển
∞
K

sao cho
(Việc xác định
∞
K
đã được trình bày ở phần 3.3)
Bước 4: Bộ điều khiển K cần tìm được tính theo công thức:
K = W
1
∞
K
W
2
Trang 188
γ
≤−






∞
−−
∞
∞
~
11
)(
ss
MKGI

I
K