cac bai toan ve hpt dai so

<span class='text_page_counter'>(1)</span>1. DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI – HƯNG YÊN. CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH I.Hệ phƣơng trình đối xứng loại 1:  x  y  xy  3  x 2 / y  y 2 / x  18 5( x  y )  2 xy  19  x  y  xy  49 1/  ;2 /  2 ;3 /  ;4 /  2  x  y  3xy  35  xy ( x  y )  180  x  y  xy  1  x  y  12  x 4  y 4  17 ( x 2  y 2 ) xy  78  x2  4 y 2  5  x  y  x2  y 2  5 5/  ;6 /  2 ;7 /  ;8 /  4 2 4  x  y  xy  7  x  y  97  x  2 y  4 xy  7  xy ( x  y  xy  1)  6 x  y  x y  y x  4  x( x  1)  (1  1 y ) y  4 ( x  y)(1  1 xy)  4 9/ ;10 / ;11/   2 2 3 2 3  xy  1 xy  x y  y x  4 x  y  x y  y x  4 ( xy )  ( xy )  xy  1  4 y. II.Hệ phƣơng trình đối xứng loại 2:  xyz  x  y  z 2 2 2 2    xy  z  2 x  y  z  1 x  2 yz  x   x 2  13x  4 y   2  2  yzt  y  z  t 2 2 1/  2 ;2 /  yz  x  2;3/  y  z  x  1;4 /  y  2 zx  y ;5 /  y  13 y  4 x   zx  y 2  2  z 2  x 2  y  1  z 2  2 xy  z  ztx  z  t  x    txy  t  x  y 3 3 2 2 2 2    x  2x  y 3x  x  2 y 3x y  y  2 6/ 3 ;7 /  3 ;8 /  2 2 2 2 y  2y  x 3 y  y  2 x 3 y x  x  2   . III.Hệ phƣơng trình đẳng cấp:  x 2  2 xy  3 y 2  9  3x 2  2 xy  y 2  11   x3  y 3  1 2 x3  9 y 3  ( x  y)(2 xy  3)   x3  y 3  1    2  2  2  2  5 2 2 2 3 2 5 2 2    x  4 xy  5 y  5   x  2 xy  3 y  17   x y  2 xy  y  2   x  xy  y  3 x  y  x  y  x2  y 2  5 7( x5  y 5 )  31( x3  y 3 )  x2  y 2  2 2 x 3  x  y     6/ 5 ;7 /  2 ;8 /  3 ;9 /  2 5 2 3 2 2  x  y  11( x  y )  x  y  xy  3  x  y  xy  x  2 y  x  y  xy  1     2 2 2 4 3 3 3 3      x  y  xy  3  x  y  2 xy  0 y  x 1 2 xy  x  y 10 /  3 ;11/ ;12 / ;13 /  2  5  3 3 2 5 3 3 3     x  2 y  2x  y  x  2 y  2 xy  1  x  y  xy  0 2 x  y  3x y. IV.Hệ phƣơng trình vô tỉ:.  x 2  y 2  2 xy  8 2   S 2  2P  2P  8 2  x2  y 2  8  x   x y  x y 4  x y  y x  30        2  2   2 2 x  y  128 x x  y y  35 x  y  128 x  y  4        S  2 P  16   2 2   x  y  x  y  2(1)  x  2 y  2   x5  y2  7  2( x  y )  3( 3 x y  3 xy )  ; ; ; ( bp (1) ) 3    2 2 2 2 3    y  2 x  2   y5  x2  7   x y 6  x y  x y 4.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 2. DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI – HƯNG YÊN.  x  y  3x  2 y  1  20 y / x  x  y  x  y   x  y  2x  y  2  7   x  y  x  y  20  ; ; ; ()  2   2 3 x  2 y  23 x  y  136 x  y  x  y  0 16 x / 5 y  x  y  x  y          1  x y  2  11/  ;12 /  2 2   1  x  y  2 xy  2.  x3  y  1  x  4 y 1  1  ;13 /  ;14 /  6 3 4 y  2 1 x  2 y  x  1  1    5 x  8 x y  2 y  2. x  2 1 y  2.  x2  x  2  x  y  y  x  11 y  x y   x2  y 2  1  y ( x  x  3)  3    15 /  ;16 /  ;17 /  ;18 /  x  y  x  y  2 x  y  x  1 xy  y  1  1  x  1         x  y  x  y 1.  x 1  7  y  4  x9  y7  4  x3 y3  4   2x y  2 y x  3    19 /  ; 20 /  ; 21/  ; 22 /   x  y  xy  3      y 1  7  x  4  y9  x7  4  y x 2  x 1  y 2  y 1  x2  1  x 2  91  y  2  y 2   x 1  4 y 1  2  x  y  x  y 1    23 /  ; 24 /  ; 25 /  ; 26 /  2 2 2 2 2 2 2 2      x  2 y  xy  0  x  y  x  y 1  x 1  x  y 1  y  0,5  y  91  x  2  x 2 2 1  12 ( y  3x) x  2 3  5 ( y  42 x)  2 y  4   xy  x  y  x  2 y   27 /  ; 28 /  ; 29 /   x 2 y  y x 1  2x  2 y    1  12 ( y  3x) y  6 3  5 ( y  42 x)  x  2. V. Giải HPT bằng pp đánh giá:  x  y  2 yz  x  y  1  x  1/ y  1 2 x 2 /(1  x 2 )  y 2 x 2 /(1  x 2 )  y      z  y  2 xz  2 2 3 4 2 ;  y  z  1;  y  1/ z  1; 2 y /(1  y )  z ; 3 y /( y  y  1)  z   z  1/ x  1 2 z 2 /(1  z 2 )  x 4 z 4 /( z 6  z 4  z 2  1)  x  x  z  2 yx    z  x  1   2 2 2  x  y  z  12.  z 2  1  2 xy 1  4 xy  1  ( z 2  1) 2  x2  y 2  1   x2  y 4  z 6  1    ; 4 ;  2  3 4 5 7 2 x  y  1 x  y  z  1   x  1  2 yz 1  4 xy  x  1  2 yz 1  4 xy     . VI. Một số HPT khác: x y x  y 2 2 2 2 3 3 6 5   2 y ( x  y )  3x  ( x  y ) x  y )  3   x  7 x  y  7 y  x  1/ x  y  1/ y x y ; 2 ; ; 2 ; x y 3 2 2 2 2 x ( x  y )  10 y ( x  y )( x  y )  15 x  y  x  y  2    2 y  x  1  xy  2    .  x 2  y 2  x  y  18  x(3x  2 y)( x  1)  12  x( x  2)(2 x  y)  9 ( x  y)(1  1/ xy)  5 6/ ; 2 ; 2 ;9 /  2 2 2 2  xy( x  1)( y  1)  72  x  4 x  2 y  8 x  4x  y  6 ( x  y )(1  1/ x y )  49.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 3. DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI – HƯNG YÊN  x  2 y  3z  9 x  u  v  9 x  y  z  6 ( x  y )( x  y  z )  45  2    10 /  xy  yz  zx  7 ;11/  x  4 y 2  9 z 2  189   x 2  u 2  v 2  189;12 / ( y  z)( x  y  z)  63  x 2  y 2  z 2  14 3xz  4 y 2  xv  u 2 ( z  x)( x  y  z )  54     5 xy  6( x  y ) 5 xyz  24( x  y)  xy  a  0  x  y  xy  1  x( x  y  z )  2  yz      13 / 7 yz  12( y  z );14 / 7 xyz  24( y  z );  yz  b  0 ;  y  z  yz  5;17 /  y( x  y  z )  3  xz 3xz  4( z  x)  xyz  4( z  x)  zx  c  0  z  x  zx  2  z ( x  y  z )  6  xy      2 2 2 2 2 2 2    x y  2x  y  0  y  2 x / ( x  1)  1  x  1  x  y  3x  4 y  11 18 /  2   ;19 /  2 3 2 3 2 y   1 2 x  4 x  3  y  0 2( x  1)  1  y  0       3x  2 y  9 x  8 y  3 2 2   x2  y 2  x2 y 2 x  y  x( x  y )  6 1/ x  1/ y  1   20 /   2  ;21/   3 3 2 2 2 y   2  x  y  2  2 1  xy  2   x  y  18 y  27    x  1  y  1  xy  2.  x3 y  16  x 2  y 2  x 2 y 2  1  2 xy 4 3 22 /   x, y  0  8  3x  y  4 x y  8  x  y  2;23 /  3x  y  8 ( x  y)(1  xy)  1  xy 2 4   x  32  x  y  3 24 /   ( x  32  x )  ( 4 x  4 32  x )  y 2  6 y  21  12.VT  12  x  16; y  3 4   x  32  x  6 y  24. 4 3 2 2 4 3 2 2 3 3 3 4 2   x  x y  x y  1  x  x y  x y  1 x  x  0 x  y x y  1  2 y 25 /  3    ;26 /  2 2 2 2  x y  x  xy  1 ( xy  1)( x  1)  0 x y  x y  2  y  1  xy  1    2 2  1/ x  y  6 x / y  yz ( z  y)  6 SP  6 S  3  y  1;2 (1/ 2;1)  y  xy  6 x 27 /          2  2 2 2 2 2 2 2 P  2 z  2;1 1/ x  y  5 z  y  5 S  2 P  5 1  x y  5 x    (1;2)    . 1  x3 y 3  19 x3 1/ x3  y 3  19  z 3  y 3  19  xy  x / y  16 / 3  28 /    ;29 /    2 2   xy  y / x  9 / 2 1/ x  y  6 x / y  zy ( z  y )  6  y  xy  6 x. (2 x  y)2  5(4 x 2  y 2 )  6(2 x  y) 2  0 x  y  x y  4 x  2 y  x y  6 31/  ;32 /  2 ;33 /  2 2 x  y  1 (2 x  y)  0  x  xy  y  0  x  2 xy  6 y  0 3 3 3 2   ( x 2  x  1)( y 2  y  1)  3 3x  5 y  z  34  x  y  2 xy( x  y )  6  x  3xy  y 34 /  5 ;35 /  ;36 /  ;37 /  2 5 2  x  y  30 xy  32 x  3y  1  x 6  y 3  z 18 ( x  1)( y  1)  6  . 2 x 2 y 2  x 2  2 x  2  x2 y 2  x2  2  x( x  y  1)  3  xy  x  1  7 y   38 /  ;39 / ; 40 / ; 41/  2 2  2  2 2 2 2 2 2 2 2 2   ( x  y )  5 x  1  0  x y  xy  1  13 y 2 x y  x y  2 xy  13 y  x y  xy  3x  1 2 2 2 2 2 2     x y  y x  26 5  x 2 y 2  x  y  3xy 2( x  y )  1 x  3y  1 x  y  1 42 /  3 ; 43 /  3 ; 44 /  2 ; 45 /  ; 46 /  2 2 2 2 2 2 x  6 xy  1  x  3xy  y 2 x  x  y  3  x  y  24 1 x  1 y  xy  1   .

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 4. DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI – HƯNG YÊN. 2 x 2  4 xy  2 x  y  2  0 2 x 2  5 xy  2 y 2  x  y  1  0 ( x  1)(2 y  1)  x  y  6   47 /  2 ; 48 /  ; 49 /  2 2 3x  6 xy  x  3 y  0  x  4 xy  y  12 x  12 y  10  0 ( x  1)(3 y  2)  2 x  y  3   2 2 2 2    xy  1 xy  x y  y x  13 2 x  4 xy  2 y  3x  3 y  2  0  x  2 xy  2 y  3x  0 50 /  2 ;51/ ;52 /   2 2    xy  1 xy  x y  y x  12 3x  32 y  5  0  xy  y  3 y  1  0.   y  2 x / (1  x 2 ) 2 x  x 2 y  y  y  tan2a  x  tan(k / 7)       2 2 53 / 2 y  y z  z  x  y  z  0    z  2 y / (1  y )   z  tan4a   y  tan(2k / 7)    2 z  z 2 x  x  x  tan8a  z  tan(4k / 7)  2      x  2 z / (1  z )  6 x( y 2  z 2 )  13 yz  x  0  y  0  z  0 6 xy / z  6 xz / y  13 2       xy  y  x  3 y  0 2 2 54 / 3 y ( z  x )  5 zx   y  0   z  0   x  0  6 xy / z  6 yz / x  10;55 /  2   x  xy  2 y  0 6 z ( x 2  y 2 )  5 xy  z  R  x  R  y  R 6 xz / y  6 yz / x  5     . Khảo sát (2) ta thấy: nếu x > 1 thì y > 1 nên (1) VN. Nếu x = 1 thì từ (2) suy ra y = 1, thỏa mãn (1). Nếu HPT có nghdn x = y = 1.. Vậy. Từ ĐK của HPT Vậy HPT có 2 nghiệm là ( 1; 0 ) và ( -2; 3 ). VII. Biện luận hệ phƣơng trình:.  x  y  xy  m. 1/ Tìm gt của m để hpt sau có nghiệm: . 2 2 x  y  m. (1). Giải: Đặt S = x + y; P = xy  S  P  m & S 2  2P  m  S 2  2S  3m  0. '  1  3m  0  m  1/ 3 . Để (1) có nghiệm thì S 2  4P  S 2  2P  2P  m  2P  m  2(m  S )  m  2S  m  2  2 3m  1  0 . Để (1) có nghiệm ta chỉ cần đk: m  2  3m  1  0  3m  1  m  2  0  m  8 ( do m  0 từ pt thứ hai của hệ 2   x  2 xy  y  mx 2/ Giải và bl hpt:  2   y  2 xy  x  my. Giải: Trừ các vế của 2 pt ta đƣợc: ( x  y)( x  y  1  m)  0.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 5. DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI – HƯNG YÊN. a/ x  y  3x2  m( x  1)  0  x  0;(m  1) / 3 b/ y  m  1  x  x 2  (m  1) x  m  1  0.  (m  1)(m  5) Kết luận: +/ 1 < m < 5: hpt có nghiệm x  y  0; x  y  (m  1) / 3 +/ m  1  m  5 : hpt có nghiệm: x  y  0; x  y  (m  1) / 3 ; (. m 1   m 1   ; ) 2 2.  x 2  xy  y 2  1(1)  3/ Tìm m để hpt sau có nghiệm:  2 2   x  3xy  2 y  m(2) Giải: Đặt x  ty  (1) : y 2 (t 2  t  1)  1 (3). Vì t 2  t  1  0 với mọi t nên (3) luôn có nghiệm. Từ hpt ta suy ra:. (t 2  3t  2) /(t 2  t  1)  m  (m  1)t 2  (3  m)t  m  2  0 (4). +/ m = 1: t = 1/2  hpt có nghiệm. +/ m  1: (4) có   3(m  4)(m  6) . Từ đó ta suy ra hpt có nghiệm khi 4  m  6 ..   x 1  y 1  3. 4/ Tìm m để hpt sau có nghiệm: .  x y 1  y x 1  x 1  y  1  m. u  v  3(u, v  0). S  3   hpt có nghiệm khi 0  m  27 / 4 .  2 2 P  m / 3 u (v  1)  v (u  1)  u  v  m. Giải: hpt đã cho tđ với: . 2 3 2   y  x  4 x  ax 5/ Xác định a để hpt sau có nghiệm duy nhất:  2 3 2   x  y  4 x  ay. Giải: a/ đk cần: gs hpt có nghiệm: ( x0 ; y0 ) thì nó cũng có nghiệm ( y0 ; x0 ) do đó để hpt có nghiệm duy nhất thì. x0  y0  x03  5x02  ax0  0 . Vậy nếu hpt có nghiệm dn thì   25  4a  0  a  25/ 4 . 2 3 2   x  y  4 y  ay b/ đk đủ: hpt tđ với  . Do pt x2  xy  y 2  3( x  y)  a  0  2 2   ( x  y )  x  xy  y  3( x  y )  a   0 . x2  ( y  3) x  y 2  3 y  a  0 có  x  ( y  3)2  4( y 2  3 y  a)  3 y 2  6 y  9  4a  0y vì. 'y  12(3  a)  0 do a > 25/4 ..

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 6. DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI – HƯNG YÊN. Với x = y thì hpt trở thành x( x2  5 x  a)  0 . Do a  25/ 4    25  4a  0 nên pt chỉ có nghiệm x = 0 do đó hpt có nghiệm duy nhất x = y = 0 . Vậy với m < 25/4 thì hpt đã cho có nghiệm duy nhất..  x  y  xy  a   x  y  a. 6/ Giải và biện luận hpt: . Giải: trừ các vế của hai pt ta đƣợc: 2 y  xy  0  y  0  x  4 y( y  0) a/ a < 0: hpt có hai nghiệm ( a; 0) và ( 4a/3; a/3) b/ a  0 : hpt có nghiệm duy nhất ( a; 0).. MỘT SỐ BÀI TẬP:  x 2  4 xy  y 2  k  1/ Chứng minh hpt sau luôn có nghiệm:  2   y  3xy  4   x  4  y 1  4 (13/ 3  m  7) x  y  3 m  . 2/ Tìm các GT của m để hpt sau có nghiệm: . 3 2 2   x  y  7 x  mx 3/ Tìm m để hpt sau có nghiệm duy nhất:  3 có nghiệm duy nhất ( m > 16 ) 2 2   y  x  7 y  my.  x  y  xy  2m  1. 4/Cminh với mọi m, hpt sau luôn có nghiệm, tìm m để hpt có nghiệm duy nhất: . 2  xy ( x  y )  m  m. (m  1). 2 2   59  3897 59  3897  3x  2 xy  y  11 5/ Tìm m để hpt sau có nghiệm:  2  m    2 4 4  x  2 xy  3 y  17  m   . 6/ Cho HPT: x  my  m(d ) & x 2  y 2  x(C ) . Biện luận số nghiệm của HPT theo m. Khi HPT có hai nghiệm ( x1; y1 ) & ( x2 ; y2 ) hãy tìm GT của m để GTBT S  ( x2  x1 )2  ( y2  y1 )2 đạt GTLN ( m = 1/2 ). ---------------------- // --------------------.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>