Quan he vuong goc

<span class='text_page_counter'>(1)</span>H TMT. QUAN HỆ VUÔNG GÓC. ------ A. Các vấn đề chính: 1. Véc tơ, các phép toán véc tơ trong không gian và ứng dụng.  Tích vô hướng:  Các đẳng thức vecto thường sử dụng: 2. Chứng minh vuông góc: đường thẳng vuông góc với đường thẳng, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, 2 mặt phẳng vuông góc. a) Chứng minh đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b TH 1) Nếu a và b không đồng phẳng Cách 1: Dùng định nghĩa : - Bước 1 : Xác định góc giữa hai đường thẳng a và b. - Bước 2 : Tính góc giữa hai đường thẳng là 1 vuông Kết luận : a và b vuông góc. Cách 2: Sử dụng tích vô hướng  Chứng minh  a b : - Chọn u ; v là hai  véc tơ chỉ phương của a và b. - Chứng minh : u.v 0 Cách 3: Sử dụng khái niệm đường vuông góc mặt  a  ( P)  a b  b  ( P )   Chứng minh a b : Cách 4: Sử dụng mối quan hệ giữa song song và vuông góc.  a //( P)  a b  b  ( P )   Cách 4.1) Chứng minh a b: a // c  a b  b  c  Cách 4.20- Quan hệ song song và vuông góc: TH2) Nếu a và b đồng phẳng: Chúng ta sử dụng được tất cả kiến thức về hình học phẳng liên quan tới vuông góc. (Xem kiến thức hình phẳng phần trên) b) Phương pháp chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) a  b  ( P )  a  c  ( P )  a  ( P ) b  c  A Cách 1- Chứng minh a  ( P ) :  a // b  a  ( P)  b  ( P ) a  ( P )  Cách 2- Chứng minh : a  (Q )  a  ( P)  ( Q ) //( P ) a  ( P )  Cách 3- Chứng minh : ( P )  (Q) d   a  ( P)  a  (Q ) a  d Cách 4- Chứng minh a  ( P ) : .

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ( P )  (Q)   a  ( P) ( P )  ( R ) (Q )  ( R ) a Cách 5- Chứng minh a  ( P ) :  c) Phương pháp chứng minh : ( P)  (Q) 0 Cách 1- Chứng minh góc giữa (P) và (Q) bằng 90 : - Xác định góc giữa (P) và (Q) là  9 - Tính góc  90 : Vậy ( P)  (Q). a  ( P)  ( P)  (Q )  a  ( Q ) ( P )  ( Q )  Cách 2- Chứng minh : 3.. Các bài toán tính góc: Góc giữa 2 đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa 2 mặt phẳng. *) Góc giữa đường thẳng a và đường thẳng b Cách 1 : - Lấy A trên a - Dựng qua A đường thẳng b’ // b. - Góc giữa a và b là góc giữa b’ và a. Cách 2 : - Lấy B trên b. - Dựng qua B đường thẳng a’ // a - Góc giữa a và b là góc giữa a’ và b.  Cách tính : - Sử dụng Hệ thức lượng trong tam giác: Định lý hàm số Cosin, định lý Pitago.... - Sử dụng tích vô hướng của hai véc tơ. *- Góc giữa đường thẳng a và mp(P): a-Cách xác định : Cách 1 : - Xác định a’ là h.c.v.g của a lên (P). - Góc giữa a và a’ là góc giữa a và (P). Cách 2 : - Xác định d vuông góc (P). - Xác định góc giữa d và a - Góc giữa a và (P) là góc phụ với góc giữa d và a. b- Cách tính - Sử dụng Hệ thức lượng trong tam giác: Định lý hàm số Cosin, định lý Pitago.... - Sử dụng tích vô hướng của hai véc tơ. *- Góc giữa hai mặt phẳng : (P) và (Q) a- Cách xác định : Cách 1 : a  ( P)  - Chọn hai đường thẳng a và b thoả mãn : b  (Q ) - Góc giữa (P) và (Q) là góc giữa a và b. ( P )  (Q) d  a  ( P ) ; a  d b  (Q) ; b  d Cách 2 :  thì góc giữa (P) và (Q) là góc giữa a và b. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Cách 3 :. ( R )  d ( P )  (Q)  ( R )  (Q) a ( R )  ( P ) b . thì góc giữ (P) và (Q) là góc giữ a và b. 4. Các bài toán tính khoảng cách: Từ 1 điểm đến 1 đường thẳng, đến 1 mặt phẳng, khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau. 5. Bài toán dựng thiết diện, tính diện tích thiết diện.. d. a b. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> B. Bài tập: Bài tập mẫu: Bài 1: (Tổng hợp) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA vuông góc với mp(ABCD) 1. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB và SD SC   AMN  a/ Chứng minh rằng MN / / BD và b/ Gọi K là giao điểm của SC với mp (AMN). Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường chéo vuông góc 2. Tính góc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD) khi SA a 2 , AB = a Giải S. N. K M. D. A O B. C. 1.a/ * CMR: MN  BD +) Ta có: SAB SAD  AM  AN (2 đường cao tương ứng)  BM  ND (do MAB NAD )  SB SD  MN / / BD  BM  DN  SBD  +) Xét có SC  mp  AMN  * CMR:  Cách 1:  BC  AB  gt   BC  SA  do SA   ABCD    BC   SAB   BC  MA +) Vì   MA  BC  MA  SB  gt   MA  SC +) Có  (1đường thẳng  với 2 cạnh của 1 tam giác thì  với cạnh còn lại) CM tương tự ta có: NA  SC SC  mp  AMN  Vậy  Cách 2: BC   SAB   +) Vì SB là hình chiếu của SC trên (SAB) MA  SB  MA  SC  1 Lại có: CD   SAD   +) SD là hình chiếu của SC trên (SAD) AN  SD  AN  SC  2  Lại có SC  mp  AMN  Vậy từ (1) và (2) ta có:  Cách 3: +) MN / / BD Mà BD  AC với AC là hình chiếu của SC trên (ABCD). 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>  MN  SC +) AM  SC  SC  ( AMN ). b/ CMR: AK  MN  BD  AC  BD   SAC   BD  SA  Có Mặt khác: BD // MN  MN  ( SAC )  MN  AK 2. Tính góc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD) khi SA a 2 , AB = a +) Vì AC là hình chiếu của SC trên (ABCD)  góc giữa (ABCD) và SC là góc giữa SC và AC +) Vì ASC có AS = AC = a 2  goc SCA 450  góc cần tìm là 450 +) SBC vuông tại B có SB a 3, BC a BC a 1    CSB 300 SB a 3 3 Bài 4: Đường thẳng vuông góc mặt phẳng SA  mp  ABC  Cho hình chóp S.ABC có , các tam giác ABC và SBC không vuông.Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng: a/ AH, SK, BC đồng quy SC  mp  BHK  b/ HK  mp  SBC  c/ Giải tanCSB . S. K A. C. H. A' B. SA   ABC  a/ Gọi AA là đường cao của tam giác ABC, do nên SA  BC (định lý ba đường vuông góc) Vì H là trực tâm của tam giác ABC, K là trực tâm của tam giác SBC nên H thuộc AA , K thuộc SA Vậy AH, SK, BC đồng quy tại A b/ Do H là trực tâm của tam giác ABC nên BH  AC , mà BH  SA nên BH  SC Mặt khác K là trực tâm của tam giác SBC nên BK  SC. Vậy. SC   BHK . BC   SAA c/ Từ câu b ta suy ra HK  SC . Mặt khác HK  BC do HK  mp  SBC  Vậy Bài 13: Hai mặt phẳng vuông góc Cho hình vuông ABCD. Gọi S là điểm trong không gian sao cho SAB là tam giác đều và mp(SAB) vuông góc với mp(ABCD) mp  SAB   mp  SAD  mp  SAB   mp  SBC  a/ Chứng minh rằng và b/ Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC). 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> c/ Gọi h và I lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh rằng Giải. mp  SHC   mp  SDI . S. I. B. C. H A. D. a/ Gọi H là trung điểm của AB thì SH  AB  SAB    ABCD  nên SH   ABCD   SH  AD Do Mặt khác AD  AB AD   SAB  Vậy  SAD    SAB  Từ đó  SBC    SAB  Tương tự như trên ta có  SAD    SBC  St , dễ thấy St // AD, từ đó mp  ASB   St b/ Giả sử 0   SAD  và  SBC  bằng 600 Do ASB 60 nên góc giữa hai mặt phẳng c/ Vì ABCD là hình vuông; H, I lần lượt là trung điểm của AB và BC nên HC  DI , mặt khác DI  SH DI   SHC   SDI    SHC  . Vậy , từ đó Bài 16: chứng minh tam giác vuông 2a 6 AC  3 . Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Trong mp (P), cho hình thoi ABCD với AB = a, (P) tại giao điểm O của hai đường chéo của hình thoi, ta lấy điểm S sao cho SB = a. Chứng minh rằng: a/ Tam giác ASC vuông b/ Mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SAD) vuông góc với nhau. Giải S. A1. D. A O. C. B. 2a 6 4a 2 a2 BD 2   OB 2  3 nên 3 3 a/ Ta có 2 2a a 6 SO 2 SB 2  OB 2   SO  3 3 Xét tam giác vuông SOB, ta có Vậy tam giác SAC có trung tuyến SO bằng nửa AC nên SAC là tam giác vuông cân tại S AC 2  BD 2 4a 2 , AC . 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> SA  mp  A1BD  b/ Trong mặt phẳng (SOA) kẻ OA1 vuông góc với SA thì 0   Từ đó BA1 D hoặc 180  BA1 D là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD). OA1  Ta có. OA.OS OA.OS 1 a 6 a 3   . . 2 2 2 SA 2 3 3 OA  OS. 2a 3 0  3 , từ đó BA1 D 90 hay hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) vuông góc. Mặt khác Bài 20 ( Đề CĐ Khối A- 2007) (Khoảng cách) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a 3 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và Sa = 2a. Tính khoảnh cách từ A đến mặt phẳng (SBC) theo a. Lêi gi¶i BD . S. H. C A. M B. Gợi M là trung điểm của BC ta có BC  AM (ABC đều) BC  SA( gt )  BC  mp ( SAM ) (1) KÎ AH  SM t¹i H, AH  BC theo (1)  AH   SBC  . VËy d ( A, ( SBC ))  AH Có AM là đờng cao của  đều ABC cạnh a 3 (a 3). 3 3a  AM   2 2 Có AH là đờng cao của  vuông SAM ta có 1 1 1 4 1 6a   2  2  2  AH  2 2 AH AM SA 9a 4a 5 (đơn vị dài)Bài 21 ( Đề CĐ cơ khớ luyện kim - 2007)(Đề số 38 – tr 49- stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009) Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a, AD vuông góc BC, AD = a và khoảng cách từ D đến BC bằng a. Gọi H, I lần lượt là trung điểm của BC và AH. Chứng minh BC vuông góc mặt phẳng (ADH) và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AD, BC. Lêi gi¶i. 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> D. K. C A. H. I B. +)Theo giả thiết ABC đều. Vµ HB HC  BC  AH MÆt kh¸c: BC  AD ( gt )  BC  ( ADH ) +)Trong mÆt ph¼ng (ADH) dùng KH  AD V× BC  ( ADH )  BC  HK  KH là đờng vuông góc chung của AD và BC Theo gt ta cã: DH a  DHA c©n t¹i D  DI  AH DI . AH  2 S ADH DI .AH HK . AD  HK  AD. Mµ. a 3 AD a; AH  ; DI  DA2  AI 2  a 2  2. 2. a 3 a 13    4  4 . a 39 8 VËy LUYỆN TẬP Loại 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, với đường thẳng: HK . 1.. 2.. 3.. 4.. 5.. Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với (ABC) và tam giác ABC vuông ở B. a) Chứng minh BC  (SAB) b) Gọi AH là đường cao của  SAB. Chứng minh: AH  (SBC) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O; gọi I, J lần lượt là trung điểm AB, BC. Biết SA = SC, SB = SD. Chứng minh rằng: a) SO  (ABCD) b) IJ  (SBD) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA  (ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên SB, SC, SD. a) Chứng minh rằng: CD  (SAD), BD  (SAC) b) Chứng minh: SC  (AHK) và điểm I cũng thuộc (AHK) c) Chứng minh: HK  (SAC), từ đó suy ra HK  AI Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là 2 tam giác đều, gọi I là trung điểm BC a) Chứng minh: BC  (AID) b) Vẽ đường cao AH của tam giác AID. Chứng minh: AH  (BCD) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là điểm thuộc mp(ABC) sao cho OH  (ABC). Chứng minh rằng: a) BC  (OAH) 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> b) H là trực tâm của  ABC 1 1 1 1 = + 2+ 2 c) 2 2 OH OA OB OC 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và SC = a 2 . Gọi H, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD. a) Chứng minh: SH  (ABCD) b) Chứng minh: AC  SK và CK  SD 7. Gọi I là 1 điểm bất kì nằm trong đường tròn (O; R). CD là dây cung của đường tròn (O) qua I. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa (O) tại I ta lấy điểm S với OS = R. Gọi E là điểm đối tâm của D trên (O). Chứng minh rằng: a) Tam giác SDE vuông ở S b) SD  CE c) Tam giác SCD vuông. Loại 2: Chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc: 8. Cho tứ diện ABCD có 2 mặt phẳng ABC, ABD cùng vuông góc với đáy DBC. Vẽ các đường cao BE, DF của tam giác BCD; đường cao DK của tam giác ACD a) Chứng minh: AB  (BCD) b) Chứng minh 2 mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với (ADC) c) Gọi O và H lần lượt là trực tâm của 2 tam giác BCD và ACD. CM: OH  (ADC) 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a; góc BAC = 600, SA  (ABCD) và SA = a 6 . Chứng minh: a) (SAC)  (ABCD) và (SAC)  (SBD) b) (SBC)  (SDC) 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA = SC, SB = SD. a) Chứng minh: SO  (ABCD); (SAC)  (SBD) b) Một mặt phẳng (  ) đi qua A và song song với BD cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Chứng minh AC’  B’D’ và 2 tam giác AB’C’ và AD’C’ đối xứng với nhau qua mặt phẳng (SAC) 11. Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm của BC, D là điểm đối xứng với A qua I. Dựng đoạn a 6 SD = 2 vuông góc với (ABC). Chứng minh: a) Mặt phẳng (SAB)  (SAC) b) Mặt phẳng (SBC)  (SAD) 2a 12. Trong mặt phẳng (P) cho hình thoi ABCD với AB = a và BD = 3 . Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại giao điểm của 2 đường chéo của hình thoi lấy điểm S sao cho SB = a. a) Chứng minh tam giác ASC vuông b) Chứng minh: (SAB)  (SAD) 13. Cho hình tứ diện ABCD có AB = BC = a; AC = b; DC = DB = x, AD = y. Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, x, y để: a) (ABC)  (BCD) b) (ABC)  (ACD) 14. Cho  ABC vuông tại A. Vẽ BB’ và CC’ cùng vuông góc với (ABC) a) (ABB’)  (ACC’) b) Gọi AH, AK là các đường cao của các tam giác ABC và AB’C’. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (BCC’B’) và (AB’C’) cùng vuông góc với (AHK) Loại 3: Góc của 2 đường thẳng:. 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AD = DC = a, AB = 2a. SA vuông 2a 3 góc với AB và AD, SA = 3 . Tính góc của 2 đường thẳng: a) SB và DC (300) b) SD và BC (cos  = 42 14 ) 16. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, gọi I là trung điểm cạnh AD. Tính góc giữa AB và CI (cos  = 3 6 ) 17.Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ a) Tính góc giữa: AB’ và BC’; AC’ và CD’ (600 và 900) b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, BC, C’D’. Hãy tính góc giữa: MN và C’D’; BD và AD’; MN và  ; A’P và DN. (600, 450, 900) Loại 4: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = a 6 vuông góc với đáy. Tính góc của: a) SC với (ABCD) (600)  7  tan    7   b) SC với (SAB)  14   sin    14   c) SB với (SAC) 19. Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong 2 mặt phẳng vuông góc. Gọi I là trung điểm AB.  15   tan    5   a) Chứng minh SI  (ABCD) và tính góc hợp bởi SC với (ABCD) b) Tính khoảng cách từ B đến (SAD). Suy ra góc của SC với (SAD) c) Gọi J là trung điểm CD, chứng tỏ (SIJ)  (ABCD).. a 3 6 ;sin     4   2. 2    tan    3  Tính góc hợp bởi SI với (SDC) 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a và SO vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SA và BC. Biết góc giữa MN và (ABCD) là 600  a 10 a 30  ; SO   MN   2 2  . a) Tính MN, SO b) Tính góc của MN với mặt phẳng(SBD) 2    sin    5  Loại 5: Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng: 21. Cho tứ diện SABC có SA, SB, Sc đôi một vuông góc và SA = SB = SC. Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB, BC. Tính góc của 2 mặt phẳng: (SAJ) và (SCI) (600) 22. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. a) Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy (300). 1.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> 2    tan    3  b) Tính góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy 23. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đáy đều bằng a. Biết góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là 600 và hình chiếu H của đỉnh A lên (A’B’C’) trùng với trung điểm của B’C’. a) Tính khoảng cách giữa 2 mặt đáy (3a/2) b) Tính góc giữa 2 đường thẳng: BC và AC’ (tan  = 3) tan  2 3 c) Tính góc giữa mặt phẳng (ABB’A’) và mặt đáy 24. Cho hình vuông ABCD cạnh a, vẽ SA = a 3 vuông góc với (ABCD). Tính góc: a) (SAB) và (ABC) (900) b) (SBD) và (ABD) tan   6. . . . . c) (SAB) và (SCD) (300) 25. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O; SA vuông góc với (ABCD). Tính SA theo a để góc giữa (SBC) và (SCD) bằng 600 (SA = a) a a 6 26. Cho hình thoi ABCD cạnh a có tâm O và OB = 3 , vẽ SO  (ABCD) và SO = 3 a) Chứng minh: góc ASC = 900 b) Chứng minh: (SAB)  (SAD) 27. Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều,  DBC vuông cân tại D. Biết AB = 2a, AD = a 7 . Tính góc giữa (ABC) và (DBC) (300) Loại 6: Các bài toán về khoảng cách: 28. Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác đều cạnh a, AB  (BCD) và AB = a. Tính k/c: a 3 a) Từ D đến (ABC) ( 2 ) a 21 b) Từ B đến (ACD) ( 7 ) 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB vuông góc với đáy và SA = SB = b. Tính khoảng cách: a) Từ S đến (ABCD) ( 1 4b2  a2 2 ) b) Từ trung điểm I của CD đến (SHC), H là trung điểm AB c) Từ AD đến (SBC). a 5 ( 5 ) (. a 4b2  a2 2b ) 30. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a. SC = SA = SB = AD = a 2 . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC a) Chứng minh (SIJ)  (SBC) a 42 b) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AD và SB ( 7 ) 31. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có AA’  (ABC) và AA’ = a, đáy là tam giác vuông tại A có BC = 2a, AB = a 3 . 1.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> a 3 a) Tính khoảng cách từ AA’ đến mặt phẳng(BCC’B’) ( 2 ) a 21 b) Tính khoảng cách từ A đến (A’BC) ( 7 ) c) Chứng minh rằng AB vuông góc với mặt phẳng(ACC’A’) và tính khoảng cách từ A’ đến a 2 (ABC’) ( 2 ) 32. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Dựng SA = a và SA  (ABCD). Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của: a 2 a 2 a) SB à AD b) AB và SC ( 2 ; 2 ) 33. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng: a 6 a 3 a) SC va BD b) AC và SD ( 6 ; 3 ). 1.

<span class='text_page_counter'>(13)</span>