De dap an HSG Toan 9 Ma de 01

<span class='text_page_counter'>(1)</span>đề thi học sinh giỏi giỏi cấp huyện n¨m häc 2011 - 2012. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRIỆU SƠN. Ngµy 29 th¸ng 12 n¨m 2011. Đề: 01. C©u 1: 1. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: P = (4x3 - 6x2 - 1)2011 víi x = 1 ( 1+ √3 3+2 √ 2+ √3 3 −2 √ 2 ) . 2 2. ViÕt c¸c ph¬ng tr×nh bËc hai d¹ng: x2 + mx + n = 0. BiÕt r»ng, ph¬ng tr×nh cã nghiệm nguyên, các hệ số m, n đều là những số nguyên và m + n + 1 = 2011. C©u 2: 2. 25 x x+ =11 1. Gi¶i ph¬ng tr×nh: ( x +5 )2 ¿ 3 2 x + y= 2 x 2. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 3 2 y+ x = 2 y ¿{ ¿ 2. C©u 3:. 1 1 1. 1. 1. Cho c¸c sè nguyªn a, b, c tháa m·n: a + b + c =abc . Chøng minh r»ng: (1 + a2) (1 + b2) (1 + c2) lµ sè chÝnh ph¬ng. 2. T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn d¬ng n sao cho: n4 + 2n3 + 2n2 + n + 7 lµ sè chÝnh ph¬ng. C©u 4: 1. Cho đờng tròn (O; R) và đờng thẳng (d) cắt đờng tròn (O) tại hai điểm A, B. Từ một điểm M trên đờng thẳng (d) và ở ngoài (O), (d) không đi qua O, ta vẽ hai tiếp tuyến MN, MP với đờng tròn (O) (N, P là hai tiếp điểm). a. Chøng minh NMO = NPO. b. Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP luôn đi qua hai điểm cố định khi M di động trên đờng thẳng (d). 2. Cho hai điểm A, B cố định và điểm M di động sao cho tam giác AMB có ba góc nhän. Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c AMB vµ K lµ h×nh chiÕu cña M trªn AB. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña tÝch KM.HK. C©u 5: Cho ba sè d¬ng x, y, z tho¶ m·n: xyz = 1. Chøng minh r»ng:. √1+ x 3 + y 3 + √ 1+ y 3+ z 3 + √1+ z 3 + x3 ≥3 √ 3. xy. yz. zx. Hết. phßng gd&®t triÖu s¬n. C©u. §¸p ¸n & biÓu ®iÓm Thi HSG §Ò 09. Nội dung đáp án. §iÓm.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 1. §Æt. ¿ 3 a=√ 3+2 √ 2 3 b=√ 3 − 2 √ 2 ¿{ ¿. ¿ ab=1 3 3  a +b =6 a+b=2 x − 1 ¿{{ ¿3 3 3. Suy ra: (2x - 1)3 = (a + b) = a + b + 3ab(a + b) = 6 + 3(2x - 1)  ( 2 x −1 ) [ ( 2 x −1 )2 −3 ] = 6 4x3 - 6x2 - 1 = 1 VËy P = (4x3 - 6x2 - 1)2011 = 1. 2. Gi¶ sö ph¬ng tr×nh: x2 + mx + n = 0 cã hai nghiÖm nguyªn x1, x2. Theo. 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5. 1 (4,0®). định lí Vi - et, ta có:. ¿ x 1+ x 2=− m x 1 x2 =n ¿{ ¿. 0,25 0,75. Do đó: m + n + 1 = x1x2- (x1 + x2) + 1 = 2011  (x1 - 1)(x2 - 1) = 2011 Vì 2011 là số nguyên tố, giả sử x1 > x2, ta nhận đợc: + x1 - 1 = 2011 => x1 = 2012; x2 - 1 = 1 => x2 = 2 Suy m = -2014; n = 4024. + x1 - 1 = -1 => x1 = 0; x2 - 1 = -2011 => x2 = -2010 Suy m = 2010; n = 0. Từ đó, ta có các phơng trình bậc hai dạng: x2 + mx + n = 0 thỏa mãn điều kiện bµi to¸n: x2 - 2014x + 4024 = 0; x2 + 2010x = 0. 1. §K: x 5 5 x 2 10 x 2 + =11 x +5 x +5 2 2 2 x 10 x + −11=0  x+5 x+ 5 2 Đặt x =t thì phơng trình đã cho trở thành: t2 + 10t -11 = 0 x +5 t=1 ¿ t=−11  ¿ ¿ ¿ ¿ + Víi t = 1 => x2 - x - 5 = 0. Suy ra: x1,2 = 1 ± √21 2. (1) 2 (4,0®). (. x−. ). ( ). + Víi t = -11 => x2 + 11x + 55 = 0 (PTVN) 2. §K: x, y 0 HÖ ph¬ng tr×nh . ¿ 2 x 3 + x 2 y =3 2 y 3 + xy 2=3 ¿{ ¿. Trõ vế với vế của hai phương trình ta được: 2(x3 – y3) + xy(x - y) = 0  2(x - y)(x2 + xy + y2) + xy(x - y) = 0. 0,5 0,5 0,5 0,5. 0,5 0,75 0,25 0,5.

<span class='text_page_counter'>(3)</span>  (x - y)(2x2 + 3xy + 2y2) = 0. (*). 2. V× 2x2 + 3xy +y2 = 2 x + 3 y + 7 y 2 > 0 víi ∀ x, y. (. 3 (4,0®). 4. ). 0. 8. Nªn (*)  x – y = 0  x = y Thay x = y vào phơng trình (1) ta đợc: 3x3 = 3  x3 = 1  x = 1 (TM §K) VËy x = y = 1. 1. Theo đề ra, ta có: 1 + 1 + 1 = 1 => ab + bc + ca = 1 a b c abc Khi đó, ta có: 1 + a2 = ab + bc + ca + a2 = a(a + b) + c(a + b) = (a + b)(a + c) (1) 1 + b2 = ab + bc + ca + b2 = b(a + b) + c(a + b) = (a + b)(b + c) (2) 1 + b2 = ab + bc + ca + c2 = c(a + c) + b(a + c) = (a + c)(b + c) (3) Tõ (1), (2) & (3), suy ra: (1 + a2) (1 + b2) (1 + c2) =[(a + b)(b + c)(c + a)]2 Víi a, b, c lµ c¸c sè nguyªn th× (a + b)(b + c)(c + a) lµ sè nguyªn. VËy (1 + a2) (1 + b2) (1 + c2) = [(a + b)(b + c)(c + a)]2 lµ sè chÝnh ph¬ng. 2. §Æt n4 + 2n3 + 2n2 + n + 7 = y2 (y N) Suy ra: y2 = (n2 + n)2 + n2 + n + 7 > (n2 + n)2 => y > n2+ n. V× y N, n2 + n + 1 N => y n2 + n + 1 => y2 (n2 + n + 1)2 2 4 3 2 Thay y = n + 2n + 2n + n + 7 => n4 + 2n3 + 2n2 + n + 7 (n2 + n + 1)2 2 => n + n - 6 0 => (n - 2)(n + 3) 0 n N* => n + 3 > 0 => n - 2 0 Suy ra n { 1; 2 } Thö víi n = 1 th× n4 + 2n3 + 2n2 + n + 7 = 13 kh«ng lµ sè chÝnh ph¬ng. Thö víi n = 2 th× n4 + 2n3 + 2n2 + n + 7 = 49 lµ sè chÝnh ph¬ng. VËy n = 2.. 0,5. 0,5 0,5 0,5. 0,5. 0,25 0,25 0,25 0,5. 0,25. 4 (6,0®). 1 a. V× MN, MP lµ hai tiÕp tuyến của đờng tròn (O) => ONM = OPM = 900 (1). 0,5 P. 0,5. => ONM + OPM = 1800 Suy ra tø gi¸c MNOP néi tiÕp. O. M. => NMO = NPO (Hai gãc néi b.tiÕp Gäicïng I lµch¾n trung cung ®iÓmON). dây AB ta có I cố định. (d) kh«ng ®i qua O nªn OI AB. 0,5. I. B. A N. 0,5.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> => OIM = ONM = OPM = 900 => I, N, P thuộc đờng tròn đờng kính OM. O và I cố định. Do đó, đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP đi qua hai điểm cố định O và I khi M di động trên đờng thẳng (d). 2. M 2. Δ BKM vµ Δ HKA cã: BKM = HKA (= 900) BMK = HAK (hai gãc nhän c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc) Do đó Δ BKM đồng dạng Δ HKA (g.g). H. B K BK KM = => kh¸c: => BK.KA = KM.HK MÆt HK KA 2 2 BK.KA BK +KA = AB 2 4 2 => KM.HK AB 4 2 VËy max KM.HK = AB khi BK = KA (K lµ trung ®iÓm AB) 4. (. 5 (2,0®). √. √1+ x 3 + y 3 + √ 1+ y 3+ z 3 + √1+ z 3 + x3 ≥3 √ 3 yz. 0.5 0,25. ). áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho 3 số dơng, ta có: 3 1 + x3 + y3 3 √1 . x 3 . y 3 =3 xy 3 3 <=> √1+ x + y ≥ √ 3 (1) xy √ xy 3 3 T¬ng tù: √1+ y + z ≥ √ 3 (2) yz √ yz √1+ z 3 + x 3 ≥ √ 3 (3) zx √ zx Tõ (1), (2) & (3), suy ra: √1+ x 3 + y 3 + √ 1+ y 3+ z 3 + √1+ z 3 + x3 ≥ √3 + √ 3 + √ 3 xy yz zx √ xy √ yz √ zx MÆt kh¸c: √ 3 + √3 + √3 ≥3 3 √ 3 . √ 3 . √ 3 =3 √3 √ xy √ yz √ zx √ xy √ yz √ zx Tõ (*) & (**) suy ra: xy. A. 0,5. 0,5 0,25 0,25. (*). 0,25. (**) 0,5. zx. DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi: x = y = z = 1.. 0,25 0,25. Chó ý: 1. Thí sinh có thể làm bài bằng cách khác, nếu đúng vẫn đợc điểm tối đa. 2. Nếu thí sinh tiếp tục sử dụng kết quả sai để làm bài ở các phần tiếp theo thì không tính điểm ở các phần tiếp theo đó..

<span class='text_page_counter'>(5)</span>